Turunan dari fungsi kompleks x x. Turunan kompleks

Diberikan contoh penghitungan turunan menggunakan rumus turunan fungsi kompleks.

Lihat juga: Bukti rumus turunan fungsi kompleks

Rumus dasar

Berikut kami berikan contoh penghitungan turunan fungsi berikut:
; ; ; ; .

Jika suatu fungsi dapat direpresentasikan sebagai fungsi kompleks dalam bentuk berikut:
,
maka turunannya ditentukan dengan rumus:
.
Pada contoh di bawah ini, kami akan menulis rumus ini sebagai berikut:
.
Di mana .
Di sini, subskrip atau , yang terletak di bawah tanda turunan, menunjukkan variabel yang digunakan untuk melakukan diferensiasi.

Biasanya dalam tabel turunan diberikan turunan fungsi dari variabel x. Namun, x adalah parameter formal. Variabel x dapat digantikan dengan variabel lain. Oleh karena itu, ketika mendiferensiasikan suatu fungsi dari suatu variabel, kita cukup mengubah, dalam tabel turunan, variabel x menjadi variabel u.

Contoh sederhana

Contoh 1

Temukan turunan dari fungsi kompleks
.

Mari kita tulis fungsi yang diberikan dalam bentuk ekuivalen:
.
Dalam tabel turunan kita menemukan:
;
.

Berdasarkan rumus turunan fungsi kompleks, kita peroleh:
.
Di Sini .

Contoh 2

Temukan turunannya
.

Kita ambil konstanta 5 dari tanda turunannya dan dari tabel turunannya kita temukan:
.

.
Di Sini .

Contoh 3

Temukan turunannya
.

Kami mengambil konstanta -1 untuk tanda turunannya dan dari tabel turunannya kita temukan:
;
Dari tabel turunan kita temukan:
.

Kami menerapkan rumus turunan fungsi kompleks:
.
Di Sini .

Contoh yang lebih kompleks

Dalam contoh yang lebih kompleks, kami menerapkan aturan diferensiasi fungsi kompleks beberapa kali. Dalam hal ini, kami menghitung turunan dari akhir. Artinya, kita memecah fungsi menjadi bagian-bagian komponennya dan mencari turunan dari bagian paling sederhana dengan menggunakan tabel turunan. Kami juga menggunakan aturan untuk membedakan jumlah, produk dan pecahan. Kemudian kita melakukan substitusi dan menerapkan rumus turunan fungsi kompleks.

Contoh 4

Temukan turunannya
.

Mari kita pilih bagian rumus yang paling sederhana dan temukan turunannya. .

.
Di sini kami menggunakan notasi
.

Kami menemukan turunan dari bagian selanjutnya dari fungsi asli menggunakan hasil yang diperoleh. Kami menerapkan aturan untuk membedakan jumlah:
.

Sekali lagi kita menerapkan aturan diferensiasi fungsi kompleks.

.
Di Sini .

Contoh 5

Temukan turunan dari fungsi tersebut
.

Mari kita pilih bagian rumus yang paling sederhana dan cari turunannya dari tabel turunan. .

Kami menerapkan aturan diferensiasi fungsi kompleks.
.
Di Sini
.

Mari kita bedakan bagian selanjutnya menggunakan hasil yang diperoleh.
.
Di Sini
.

Mari kita bedakan bagian selanjutnya.

.
Di Sini
.

Sekarang kita cari turunan dari fungsi yang diinginkan.

.
Di Sini
.

Fungsi bertipe kompleks tidak selalu sesuai dengan definisi fungsi kompleks. Jika terdapat fungsi berbentuk y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, maka tidak dapat dianggap kompleks, berbeda dengan y = sin 2 x.

Artikel ini akan menunjukkan konsep fungsi kompleks dan identifikasinya. Mari kita bekerja dengan rumus untuk mencari turunan dengan contoh solusi di kesimpulan. Penggunaan tabel turunan dan aturan diferensiasi secara signifikan mengurangi waktu untuk mencari turunan.

Definisi dasar

Fungsi kompleks adalah fungsi yang argumennya juga merupakan suatu fungsi.

Dilambangkan sebagai berikut: f (g (x)). Kita mengetahui bahwa fungsi g (x) dianggap sebagai argumen f (g (x)).

Definisi 2

Jika terdapat fungsi f dan merupakan fungsi kotangen, maka g(x) = ln x adalah fungsi logaritma natural. Kami menemukan bahwa fungsi kompleks f (g (x)) akan ditulis sebagai arctg(lnx). Atau fungsi f, yaitu fungsi yang dipangkatkan ke 4, dimana g (x) = x 2 + 2 x - 3 dianggap sebagai fungsi rasional keseluruhan, kita memperoleh f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Tentu saja g(x) dapat menjadi kompleks. Dari contoh y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 jelas bahwa nilai g mempunyai akar pangkat tiga dari pecahan tersebut. Ekspresi ini dapat dilambangkan sebagai y = f (f 1 (f 2 (x))). Dari sini diketahui bahwa f adalah fungsi sinus, dan f 1 adalah fungsi yang terletak di bawah akar kuadrat, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 adalah fungsi rasional pecahan.

Definisi 3

Derajat penumpukan ditentukan oleh sembarang bilangan asli dan ditulis sebagai y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) .

Definisi 4

Konsep komposisi fungsi mengacu pada jumlah fungsi yang disarangkan sesuai dengan kondisi permasalahan. Untuk menyelesaikannya, gunakan rumus mencari turunan fungsi kompleks yang bentuknya

(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)

Contoh

Temukan turunan dari fungsi kompleks berbentuk y = (2 x + 1) 2.

Larutan

Kondisi tersebut menunjukkan bahwa f merupakan fungsi kuadrat, dan g(x) = 2 x + 1 dianggap sebagai fungsi linier.

Mari terapkan rumus turunan untuk fungsi kompleks dan tulis:

f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

Turunan harus dicari dengan bentuk asli fungsi yang disederhanakan. Kita mendapatkan:

kamu = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

Dari sini kita memilikinya

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

Hasilnya sama saja.

Saat menyelesaikan masalah jenis ini, penting untuk memahami di mana fungsi bentuk f dan g (x) akan ditempatkan.

Contoh 2

Anda harus mencari turunan fungsi kompleks berbentuk y = sin 2 x dan y = sin x 2.

Larutan

Notasi fungsi pertama menyatakan bahwa f adalah fungsi kuadrat dan g(x) adalah fungsi sinus. Lalu kita mendapatkannya

y" = (sin 2 x) " = 2 sin 2 - 1 x (sin x) " = 2 sin x cos x

Entri kedua menunjukkan bahwa f adalah fungsi sinus, dan g(x) = x 2 menyatakan fungsi pangkat. Oleh karena itu, kita menulis hasil kali fungsi kompleks sebagai

y" = (sin x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

Rumus turunan y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) ditulis sebagai y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (. . . ( f n (x))))) · f 1 " (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))) · · f 2 " (f 3 (. . . (f n (x) )) )) · . . . fn "(x)

Contoh 3

Tentukan turunan dari fungsi y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)).

Larutan

Contoh ini menunjukkan sulitnya menulis dan menentukan letak fungsi. Maka y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) menyatakan dimana f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) adalah fungsi sinus, fungsi menaikkan sampai 3 derajat, fungsi dengan logaritma dan basis e, fungsi tangen busur dan linier.

Dari rumus untuk mendefinisikan fungsi kompleks kita mendapatkan rumus tersebut

y" = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4 (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x)

Kami mendapatkan apa yang perlu kami temukan

1. f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))))) sebagai turunan sinus sesuai tabel turunan, maka f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 ( x)))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1" (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) sebagai turunan fungsi pangkat, maka f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
3. f 2 " (f 3 (f 4 (x))) sebagai turunan logaritma, maka f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3" (f 4 (x)) sebagai turunan dari garis singgung busur, maka f 3 " (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. Saat mencari turunan f 4 (x) = 2 x, hilangkan 2 dari tanda turunannya menggunakan rumus turunan fungsi pangkat yang eksponennya sama dengan 1, maka f 4" (x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Kami menggabungkan hasil antara dan mendapatkannya

y" = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4 (x)) f 3" (f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

Analisis fungsi tersebut mengingatkan kita pada boneka bersarang. Aturan diferensiasi tidak selalu dapat diterapkan secara eksplisit menggunakan tabel turunan. Seringkali Anda perlu menggunakan rumus untuk mencari turunan fungsi kompleks.

Ada beberapa perbedaan antara tampilan kompleks dan fungsi kompleks. Dengan kemampuan yang jelas untuk membedakannya, menemukan turunannya akan menjadi sangat mudah.

Contoh 4

Penting untuk mempertimbangkan untuk memberikan contoh seperti itu. Jika terdapat fungsi berbentuk y = t g 2 x + 3 t g x + 1, maka dapat dianggap sebagai fungsi kompleks yang berbentuk g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 . Jelasnya, perlu menggunakan rumus turunan kompleks:

f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g " (x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3 ; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

Suatu fungsi berbentuk y = t g x 2 + 3 t g x + 1 tidak dianggap kompleks, karena mempunyai jumlah t g x 2, 3 t g x dan 1. Namun jika t g x 2 dianggap sebagai fungsi kompleks, maka diperoleh fungsi pangkat berbentuk g (x) = x 2 dan f yang merupakan fungsi tangen. Untuk melakukan ini, bedakan berdasarkan jumlah. Kami mengerti

y" = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 karena 2 x

Mari kita lanjutkan mencari turunan dari fungsi kompleks (t g x 2) ":

f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

Kita peroleh bahwa y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Fungsi bertipe kompleks dapat dimasukkan ke dalam fungsi kompleks, dan fungsi kompleks itu sendiri dapat menjadi komponen fungsi bertipe kompleks.

Contoh 5

Misalnya, perhatikan fungsi kompleks berbentuk y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Fungsi ini dapat direpresentasikan sebagai y = f (g (x)), dimana nilai f adalah fungsi dari logaritma basis 3, dan g (x) dianggap sebagai jumlah dari dua fungsi berbentuk h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 dan k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . Jelasnya, y = f (h (x) + k (x)).

Perhatikan fungsi h(x). Ini perbandingan l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 dengan m (x) = e x 2 + 3 3

Diketahui l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) adalah jumlah dua fungsi n (x) = x 2 + 7 dan p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , dimana p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) adalah fungsi kompleks dengan koefisien numerik 3, dan p 1 adalah fungsi kubus, p 2 dengan fungsi kosinus, p 3 (x) = 2 x + 1 dengan fungsi linier.

Diketahui bahwa m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) adalah jumlah dua fungsi q (x) = e x 2 dan r (x) = 3 3, di mana q (x) = q 1 (q 2 (x)) adalah fungsi kompleks, q 1 adalah fungsi eksponensial, q 2 (x) = x 2 adalah fungsi pangkat.

Hal ini menunjukkan bahwa h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Jika berpindah ke ekspresi bentuk k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x), jelas bahwa fungsi tersebut direpresentasikan dalam bentuk kompleks s ( x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) dengan bilangan bulat rasional t (x) = x 2 + 1, dimana s 1 adalah fungsi kuadrat, dan s 2 (x) = ln x adalah logaritma dengan dasar e.

Oleh karena itu, ekspresi tersebut akan berbentuk k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x).

Lalu kita mendapatkannya

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Berdasarkan struktur fungsinya, menjadi jelas bagaimana dan rumus apa yang perlu digunakan untuk menyederhanakan ekspresi ketika membedakannya. Untuk memahami permasalahan-permasalahan tersebut dan untuk memahami konsep penyelesaiannya, kita perlu beralih ke diferensiasi suatu fungsi, yaitu mencari turunannya.

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter

Jika G(X) Dan F(kamu) – fungsi argumennya yang dapat didiferensiasi, masing-masing, pada titik X Dan kamu= G(X), maka fungsi kompleksnya juga terdiferensiasi pada suatu titik X dan ditemukan dengan rumus

Kesalahan yang umum terjadi ketika menyelesaikan masalah turunan adalah pemindahan aturan diferensiasi fungsi sederhana ke fungsi kompleks secara mekanis. Mari belajar menghindari kesalahan ini.

Contoh 2. Temukan turunan suatu fungsi

Solusi yang salah: hitung logaritma natural setiap suku dalam tanda kurung dan cari jumlah turunannya:

Solusi yang benar: sekali lagi kita tentukan dimana “apelnya” dan dimana “daging cincangnya”. Di sini logaritma natural dari ekspresi dalam tanda kurung adalah "apel", yaitu fungsi di atas argumen perantara kamu, dan ekspresi dalam tanda kurung adalah “daging cincang”, yang merupakan argumen perantara kamu oleh variabel independen X.

Kemudian (menggunakan rumus 14 dari tabel turunan)

Dalam banyak permasalahan kehidupan nyata, ekspresi dengan logaritma bisa menjadi lebih rumit, itulah sebabnya ada pelajaran

Contoh 3. Temukan turunan suatu fungsi

Solusi yang salah:

Solusi yang benar. Sekali lagi kita tentukan di mana “apel” itu dan di mana “daging cincang” itu. Di sini, kosinus dari ekspresi dalam tanda kurung (rumus 7 dalam tabel turunan) adalah "apel", disiapkan dalam mode 1, yang hanya mempengaruhinya, dan ekspresi dalam tanda kurung (turunan dari derajatnya adalah angka 3 dalam tabel turunannya) adalah “daging cincang”, disiapkan dalam mode 2, yang hanya memengaruhinya. Dan seperti biasa, kita menghubungkan dua turunan dengan tanda perkalian. Hasil:

Turunan dari fungsi logaritma kompleks adalah tugas yang sering dilakukan dalam pengujian, jadi kami sangat menyarankan Anda menghadiri pelajaran “Turunan fungsi logaritma.”

Contoh pertama adalah fungsi kompleks, di mana argumen perantara pada variabel independen adalah fungsi sederhana. Namun dalam tugas-tugas praktis sering kali perlu mencari turunan dari suatu fungsi kompleks, yang argumen perantaranya adalah fungsi kompleks itu sendiri atau berisi fungsi tersebut. Apa yang harus dilakukan dalam kasus seperti itu? Temukan turunan dari fungsi tersebut menggunakan tabel dan aturan diferensiasi. Ketika turunan dari argumen perantara ditemukan, maka turunan tersebut disubstitusikan ke tempat yang tepat dalam rumus. Di bawah ini adalah dua contoh bagaimana hal ini dilakukan.

Selain itu, ada baiknya mengetahui hal berikut. Jika suatu fungsi kompleks dapat direpresentasikan sebagai rantai tiga fungsi

maka turunannya harus dicari sebagai hasil kali turunan masing-masing fungsi berikut:

Banyak pekerjaan rumah Anda mungkin mengharuskan Anda membuka panduan di jendela baru. Tindakan dengan kekuatan dan akar Dan Operasi dengan pecahan .

Contoh 4. Temukan turunan suatu fungsi

Kami menerapkan aturan diferensiasi fungsi kompleks, dengan tidak lupa bahwa dalam produk turunan yang dihasilkan terdapat argumen perantara terhadap variabel bebas. X tidak berubah:

Kami menyiapkan faktor kedua dari produk dan menerapkan aturan untuk membedakan jumlah:

Suku kedua adalah akar kata, jadi

Jadi, kami menemukan bahwa argumen perantara, yang merupakan penjumlahan, mengandung fungsi kompleks sebagai salah satu syarat: menaikkan pangkat adalah fungsi kompleks, dan apa yang dipangkatkan adalah argumen perantara sehubungan dengan independen variabel X.

Oleh karena itu, kami kembali menerapkan aturan untuk membedakan fungsi kompleks:

Kita ubah derajat faktor pertama menjadi akar, dan saat mendiferensiasikan faktor kedua, jangan lupa bahwa turunan dari konstanta sama dengan nol:

Sekarang kita dapat menemukan turunan dari argumen perantara yang diperlukan untuk menghitung turunan fungsi kompleks yang diperlukan dalam rumusan masalah kamu:

Contoh 5. Temukan turunan suatu fungsi

Pertama, kita menggunakan aturan untuk membedakan jumlah:

Kami memperoleh jumlah turunan dari dua fungsi kompleks. Mari kita temukan yang pertama:

Di sini, menaikkan sinus ke pangkat adalah fungsi yang kompleks, dan sinus itu sendiri adalah argumen perantara untuk variabel independen X. Oleh karena itu, kita akan menggunakan aturan diferensiasi fungsi kompleks mengeluarkan faktor tersebut dari tanda kurung :

Sekarang kita cari suku kedua dari turunan fungsi tersebut kamu:

Di sini menaikkan kosinus ke pangkat adalah fungsi yang kompleks F, dan kosinus itu sendiri merupakan argumen perantara dalam variabel bebas X. Mari kita gunakan kembali aturan untuk mendiferensiasikan fungsi kompleks:

Hasilnya adalah turunan yang diperlukan:

Tabel turunan beberapa fungsi kompleks

Untuk fungsi kompleks, berdasarkan aturan diferensiasi fungsi kompleks, rumus turunan fungsi sederhana mempunyai bentuk yang berbeda.

1. Turunan dari fungsi pangkat kompleks, dimana kamu X
2. Turunan dari akar ekspresi
3. Turunan dari fungsi eksponensial
4. Kasus khusus fungsi eksponensial
5. Turunan fungsi logaritma dengan basis positif sembarang A
6. Turunan dari fungsi logaritma kompleks, dimana kamu– fungsi argumen yang dapat dibedakan X
7. Turunan dari sinus
8. Turunan dari kosinus
9. Turunan dari garis singgung
10. Turunan dari kotangen
11. Turunan dari arcsinus
12. Turunan dari arccosine
13. Turunan dari arctangent
14. Turunan dari kotangen busur

Sangat mudah diingat.

Baiklah, tidak usah jauh-jauh, langsung saja kita bahas fungsi inversnya. Fungsi manakah yang merupakan kebalikan dari fungsi eksponensial? Logaritma:

Dalam kasus kami, basisnya adalah angka:

Logaritma seperti itu (yaitu, logaritma dengan basis) disebut “alami”, dan kami menggunakan notasi khusus untuk itu: kami menulisnya.

Sama dengan apa? Tentu saja, .

Turunan dari logaritma natural juga sangat sederhana:

Contoh:

1. Temukan turunan dari fungsi tersebut.
2. Berapakah turunan dari fungsi tersebut?

Jawaban: Logaritma eksponensial dan natural adalah fungsi unik dan sederhana dari perspektif turunan. Fungsi eksponensial dan logaritma dengan basis lain akan mempunyai turunan yang berbeda, yang akan kita analisis nanti, setelah kita membahas aturan diferensiasi.

Aturan diferensiasi

Aturan apa? Lagi istilah baru, lagi?!...

Diferensiasi adalah proses mencari turunannya.

Itu saja. Apa lagi yang bisa Anda sebut proses ini dalam satu kata? Bukan turunan... Matematikawan menyebut diferensial sebagai pertambahan fungsi yang sama di. Istilah ini berasal dari bahasa Latin differential – perbedaan. Di Sini.

Saat menurunkan semua aturan ini, kita akan menggunakan dua fungsi, misalnya, dan. Kita juga memerlukan rumus untuk kenaikannya:

Total ada 5 aturan.

Konstanta tersebut dikeluarkan dari tanda turunannya.

Jika - suatu bilangan konstan (konstan), maka.

Tentu saja, aturan ini juga berlaku untuk perbedaannya: .

Mari kita buktikan. Biarlah, atau lebih sederhana.

Contoh.

Temukan turunan dari fungsi:

1. pada suatu titik;
2. pada suatu titik;
3. pada suatu titik;
4. pada intinya.

Solusi:

1. (turunannya sama di semua titik, karena merupakan fungsi linier, ingat?);

Turunan dari produk

Semuanya serupa di sini: mari perkenalkan fungsi baru dan temukan kenaikannya:

Turunan:

Contoh:

1. Temukan turunan dari fungsi dan;
2. Temukan turunan fungsi di suatu titik.

Solusi:

Turunan dari fungsi eksponensial

Sekarang pengetahuan Anda sudah cukup untuk mempelajari cara mencari turunan fungsi eksponensial apa pun, dan bukan hanya eksponen (apakah Anda sudah lupa apa itu?).

Jadi, di mana nomornya.

Kita sudah mengetahui turunan dari fungsi tersebut, jadi mari kita coba mereduksi fungsi kita ke basis baru:

Untuk melakukan ini, kita akan menggunakan aturan sederhana: . Kemudian:

Ya, itu berhasil. Sekarang coba cari turunannya, dan jangan lupa bahwa fungsi ini kompleks.

Telah terjadi?

Di sini, periksa diri Anda:

Rumusnya ternyata sangat mirip dengan turunan eksponen: semula tetap sama, hanya muncul faktor yang hanya berupa bilangan, bukan variabel.

Contoh:
Temukan turunan dari fungsi:

Jawaban:

Ini hanyalah bilangan yang tidak dapat dihitung tanpa kalkulator, yaitu tidak dapat dituliskan dalam bentuk yang lebih sederhana. Oleh karena itu, kami membiarkannya dalam bentuk ini dalam jawabannya.

Perhatikan bahwa ini adalah hasil bagi dua fungsi, jadi kami menerapkan aturan diferensiasi yang sesuai:

Dalam contoh ini, hasil kali dua fungsi:

Turunan dari fungsi logaritma

Di sini serupa: Anda sudah mengetahui turunan dari logaritma natural:

Oleh karena itu, untuk mencari logaritma sembarang dengan basis berbeda, misalnya:

Kita perlu mengurangi logaritma ini ke basis. Bagaimana cara mengubah basis logaritma? Saya harap Anda ingat rumus ini:

Hanya sekarang kami akan menulis:

Penyebutnya hanyalah sebuah konstanta (bilangan konstan, tanpa variabel). Turunannya diperoleh dengan sangat sederhana:

Turunan dari fungsi eksponensial dan logaritma hampir tidak pernah ditemukan dalam Unified State Examination, namun tidak akan berlebihan untuk mengetahuinya.

Turunan dari fungsi kompleks.

Apa yang dimaksud dengan "fungsi kompleks"? Tidak, ini bukan logaritma, dan bukan tangen busur. Fungsi-fungsi ini mungkin sulit untuk dipahami (walaupun jika Anda merasa logaritmanya sulit, bacalah topik “Logaritma” dan Anda akan baik-baik saja), tetapi dari sudut pandang matematika, kata “kompleks” tidak berarti “sulit”.

Bayangkan sebuah ban berjalan kecil: dua orang sedang duduk dan melakukan beberapa tindakan dengan beberapa benda. Misalnya, yang pertama membungkus sebatang coklat dengan bungkusnya, dan yang kedua mengikatnya dengan pita. Hasilnya adalah sebuah benda gabungan: sebatang coklat yang dibungkus dan diikat dengan pita. Untuk memakan sebatang coklat, Anda perlu melakukan langkah sebaliknya dalam urutan terbalik.

Mari kita membuat alur matematika serupa: pertama kita akan mencari kosinus suatu bilangan, lalu mengkuadratkan bilangan yang dihasilkan. Jadi, kita diberi nomor (cokelat), saya mencari cosinusnya (pembungkusnya), lalu Anda mengkuadratkan apa yang saya dapat (ikat dengan pita). Apa yang telah terjadi? Fungsi. Ini adalah contoh fungsi kompleks: ketika, untuk mencari nilainya, kita melakukan tindakan pertama secara langsung dengan variabel, dan kemudian tindakan kedua dengan hasil yang pertama.

Dengan kata lain, fungsi kompleks adalah fungsi yang argumennya merupakan fungsi lain: .

Sebagai contoh kita, .

Kita dapat dengan mudah melakukan langkah yang sama dalam urutan terbalik: pertama Anda mengkuadratkannya, lalu saya mencari kosinus dari bilangan yang dihasilkan: . Mudah ditebak bahwa hasilnya hampir selalu berbeda. Fitur penting dari fungsi kompleks: ketika urutan tindakan berubah, fungsinya pun berubah.

Contoh kedua: (hal yang sama). .

Tindakan yang terakhir kita lakukan akan dipanggil fungsi "eksternal"., dan tindakan yang dilakukan pertama kali - sesuai fungsi "internal".(ini nama informal, saya menggunakannya hanya untuk menjelaskan materi dalam bahasa sederhana).

Coba tentukan sendiri mana fungsi eksternal dan mana internal:

Jawaban: Memisahkan fungsi dalam dan luar sangat mirip dengan mengubah variabel: misalnya, dalam suatu fungsi

1. Tindakan apa yang akan kita lakukan pertama kali? Pertama, mari kita hitung sinusnya, lalu pangkatkan. Artinya, ini adalah fungsi internal, tetapi fungsi eksternal.
   Dan fungsi aslinya adalah komposisinya: .
2. Dalaman: ; eksternal: .
   Penyelidikan: .
3. Dalaman: ; eksternal: .
   Penyelidikan: .
4. Dalaman: ; eksternal: .
   Penyelidikan: .
5. Dalaman: ; eksternal: .
   Penyelidikan: .

Kami mengubah variabel dan mendapatkan fungsi.

Nah, sekarang kita akan mengekstrak coklat batangan kita dan mencari turunannya. Prosedurnya selalu terbalik: pertama kita mencari turunan fungsi luar, lalu kita mengalikan hasilnya dengan turunan fungsi dalam. Sehubungan dengan contoh aslinya, tampilannya seperti ini:

Contoh lain:

Jadi, mari kita rumuskan aturan resminya:

Algoritma untuk mencari turunan fungsi kompleks:

Tampaknya sederhana, bukan?

Mari kita periksa dengan contoh:

Solusi:

1) Dalaman: ;

Eksternal: ;

2) Dalaman: ;

(Hanya saja, jangan mencoba memotongnya sekarang! Tidak ada yang keluar dari bawah kosinus, ingat?)

3) Dalaman: ;

Eksternal: ;

Segera jelas bahwa ini adalah fungsi kompleks tiga tingkat: lagi pula, ini sudah merupakan fungsi kompleks itu sendiri, dan kami juga mengekstrak akarnya, yaitu, kami melakukan tindakan ketiga (memasukkan coklat ke dalam bungkusnya dan dengan pita di tas kerja). Namun tidak ada alasan untuk takut: kami akan tetap “membongkar” fungsi ini dengan urutan yang sama seperti biasanya: dari akhir.

Artinya, pertama-tama kita bedakan akarnya, lalu kosinusnya, dan baru kemudian ekspresi dalam tanda kurung. Dan kemudian kita kalikan semuanya.

Dalam kasus seperti itu, akan lebih mudah untuk memberi nomor pada tindakan. Artinya, mari kita bayangkan apa yang kita ketahui. Dalam urutan apa kita akan melakukan tindakan untuk menghitung nilai ekspresi ini? Mari kita lihat sebuah contoh:

Semakin lama suatu tindakan dilakukan, semakin “eksternal” fungsi yang bersangkutan. Urutan tindakannya sama seperti sebelumnya:

Di sini sarangnya umumnya 4 tingkat. Mari kita tentukan tindakannya.

1. Ekspresi radikal. .

2. Akar. .

3. Sinus. .

4. Kotak. .

5. Menyatukan semuanya:

TURUNAN. SECARA SINGKAT TENTANG HAL-HAL UTAMA

Turunan dari suatu fungsi- rasio pertambahan fungsi dengan pertambahan argumen untuk pertambahan argumen yang sangat kecil:

Turunan dasar:

Aturan diferensiasi:

Konstanta dikeluarkan dari tanda turunannya:

Turunan dari jumlah:

Turunan dari produk:

Turunan dari hasil bagi:

Turunan dari fungsi kompleks:

Algoritma untuk mencari turunan fungsi kompleks:

1. Kami mendefinisikan fungsi "internal" dan mencari turunannya.
2. Kami mendefinisikan fungsi "eksternal" dan mencari turunannya.
3. Kita kalikan hasil poin pertama dan kedua.

Dalam buku teks “lama” ini juga disebut aturan “rantai”. Jadi jika y = f (u), dan u = φ (x), itu adalah

kamu = f (φ (x))

kompleks - fungsi komposit (komposisi fungsi) lalu

Di mana , setelah perhitungan dianggap pada kamu = φ (x).

Perhatikan bahwa di sini kami mengambil komposisi "berbeda" dari fungsi yang sama, dan hasil diferensiasi secara alami bergantung pada urutan "pencampuran".

Aturan rantai secara alami meluas ke komposisi tiga fungsi atau lebih. Dalam hal ini, akan ada tiga atau lebih “mata rantai” dalam “rantai” yang membentuk turunannya. Berikut analogi perkalian: “kita memiliki” tabel turunan; "di sana" - tabel perkalian; “bersama kita” adalah aturan rantai dan “di sana” adalah aturan perkalian “kolom”. Saat menghitung turunan "kompleks" seperti itu, tentu saja tidak ada argumen tambahan (u¸v, dll.), yang diperkenalkan, tetapi, setelah mencatat sendiri jumlah dan urutan fungsi yang terlibat dalam komposisi, tautan yang sesuai adalah "rangkai" dalam urutan yang ditunjukkan.

. Di sini, dengan "x" untuk mendapatkan nilai "y", lima operasi dilakukan, yaitu, terdapat komposisi lima fungsi: "eksternal" (yang terakhir) - eksponensial - e  ; lalu dalam urutan terbalik, kekuasaan. (♦) 2 ; dosa trigonometri(); tenang. () 3 dan terakhir logaritma ln.(). Itu sebabnya

Dengan contoh berikut kita akan “membunuh sepasang burung dengan satu batu”: kita akan berlatih membedakan fungsi kompleks dan menambahkan tabel turunan fungsi dasar. Jadi:

4. Untuk fungsi pangkat - y = x α - menulis ulang menggunakan “identitas logaritma dasar” yang terkenal - b=e ln b - dalam bentuk x α = x α ln x kita peroleh

5. Untuk fungsi eksponensial sembarang, gunakan teknik yang sama seperti yang kita miliki

6. Untuk fungsi logaritma sembarang, dengan menggunakan rumus terkenal untuk transisi ke basis baru, kita peroleh secara konsisten

.

7. Untuk membedakan garis singgung (kotangen), kita menggunakan aturan membedakan hasil bagi:

Untuk memperoleh turunan fungsi trigonometri invers, kita menggunakan relasi yang dipenuhi oleh turunan dua fungsi yang saling invers, yaitu fungsi φ (x) dan f (x) yang dihubungkan oleh relasi:

Ini adalah rasionya

Dari rumus fungsi yang saling invers ini

Dan
,

Terakhir, mari kita rangkum hal ini dan beberapa turunan lainnya yang juga mudah diperoleh pada tabel berikut.