Hatványokat tartalmazó kifejezések konvertálása. Kifejezések konvertálása

A kifejezés értékének kiszámításakor az utolsóként végrehajtott aritmetikai művelet a „fő” művelet.

Vagyis ha betűk helyett behelyettesítünk néhány (bármilyen) számot, és megpróbáljuk kiszámítani a kifejezés értékét, akkor ha az utolsó művelet a szorzás, akkor szorzatunk van (a kifejezés faktorizált).

Ha az utolsó művelet összeadás vagy kivonás, ez azt jelenti, hogy a kifejezés nincs faktorizálva (és ezért nem csökkenthető).

Ennek megerősítésére oldjon meg néhány példát saját maga:

Példák:

Megoldások:

1. Remélem nem rohantál azonnal vágni és? Még mindig nem volt elég az egységeket így „csökkenteni”:

Az első lépés a faktorizálás legyen:

4. Törtek összeadása és kivonása. Törtek redukálása közös nevezőre.

A közönséges törtek összeadása és kivonása ismert művelet: keresünk egy közös nevezőt, minden törtet megszorozunk a hiányzó tényezővel és összeadjuk/kivonjuk a számlálókat.

Emlékezzünk:

Válaszok:

1. A és nevezők viszonylag prímszámúak, vagyis nincs közös tényezőjük. Ezért ezeknek a számoknak az LCM-je megegyezik a szorzatukkal. Ez lesz a közös nevező:

2. Itt a közös nevező:

3. Itt először a kevert frakciókat alakítjuk át nem megfelelővé, majd a szokásos séma szerint:

Teljesen más a helyzet, ha a törtek betűket tartalmaznak, pl.

Kezdjük valami egyszerűvel:

a) A nevezők nem tartalmaznak betűket

Itt minden ugyanúgy történik, mint a közönséges numerikus törteknél: megtaláljuk a közös nevezőt, minden törtet megszorozunk a hiányzó tényezővel, és összeadjuk/kivonjuk a számlálókat:

Most a számlálóban megadhat hasonlókat, ha vannak, és faktorálhatja őket:

Próbáld ki magad:

Válaszok:

b) A nevezők betűket tartalmaznak

Emlékezzünk a betűk nélküli közös nevező megtalálásának elvére:

· mindenekelőtt meghatározzuk a közös tényezőket;

· majd egyenként írjuk ki az összes gyakori tényezőt;

· és szorozza meg ezeket az összes többi nem gyakori tényezővel.

A nevezők közös tényezőinek meghatározásához először prímtényezőkbe soroljuk őket:

Hangsúlyozzuk a közös tényezőket:

Most egyenként írjuk ki a gyakori tényezőket, és adjuk hozzá az összes nem gyakori (nem aláhúzott) tényezőt:

Ez a közös nevező.

Térjünk vissza a levelekhez. A nevezők pontosan ugyanúgy vannak megadva:

· tényező a nevezők;

· közös (azonos) tényezők meghatározása;

· írja ki egyszer az összes gyakori tényezőt;

· szorozza meg ezeket az összes többi nem gyakori tényezővel.

Tehát sorrendben:

1) faktorozza a nevezőket:

2) határozza meg a közös (azonos) tényezőket:

3) írja ki egyszer az összes gyakori tényezőt, és szorozza meg őket az összes többi (nem aláhúzott) tényezővel:

Tehát van itt egy közös nevező. Az első törtet meg kell szorozni a másodikkal:

Egyébként van egy trükk:

Például: .

Ugyanazokat a tényezőket látjuk a nevezőkben, csak mindegyik más mutatókkal. A közös nevező a következő lesz:

bizonyos mértékig

bizonyos mértékig

bizonyos mértékig

bizonyos mértékig.

Bonyolítsuk a feladatot:

Hogyan készítsünk törteket azonos nevezővel?

Emlékezzünk a tört alapvető tulajdonságára:

Sehol nem szerepel, hogy ugyanaz a szám kivonható (vagy összeadható) a tört számlálójából és nevezőjéből. Mert nem igaz!

Győződjön meg saját szemével: vegyen például bármilyen törtet, és adjon hozzá néhány számot a számlálóhoz és a nevezőhöz, például . Mit tanultál?

Tehát még egy megingathatatlan szabály:

Ha törteket közös nevezőre redukál, csak a szorzási műveletet használja!

De mivel kell szorozni, hogy megkapjuk?

Tehát szorozd meg vele. És szorozzuk meg:

A nem faktorizálható kifejezéseket elemi tényezőknek nevezzük.

Például - ez egy elemi tényező. - Azonos. De nem: faktorizálható.

Mi a helyzet a kifejezéssel? Ez elemi?

Nem, mert faktorizálható:

(A faktorizációról már olvasott a "" témában).

Tehát azok az elemi tényezők, amelyekre egy kifejezést betűkkel bont, analógjai azoknak az egyszerű tényezőknek, amelyekre a számokat bontja. És ugyanúgy fogunk bánni velük.

Látjuk, hogy mindkét nevezőnek van szorzója. A fokig a közös nevezőre fog menni (emlékezz, miért?).

A tényező elemi, és nincs közös tényezőjük, ami azt jelenti, hogy az első törtet egyszerűen meg kell szorozni vele:

Egy másik példa:

Megoldás:

Mielőtt pánikszerűen megszorozná ezeket a nevezőket, el kell gondolkodnia azon, hogyan számolja be őket? Mindketten képviselik:

Nagy! Akkor:

Egy másik példa:

Megoldás:

Szokás szerint tizedeljük a nevezőket. Az első nevezőben egyszerűen zárójelbe tesszük; a másodikban - a négyzetek különbsége:

Úgy tűnik, hogy nincsenek közös tényezők. De ha jobban megnézed, hasonlóak... És ez igaz:

Tehát írjuk:

Vagyis így alakult: a zárójelben felcseréltük a kifejezéseket, és ezzel párhuzamosan a tört előtti jel az ellenkezőjére változott. Vegye figyelembe, hogy ezt gyakran meg kell tennie.

Most hozzuk egy közös nevezőre:

Megvan? Most nézzük meg.

Feladatok az önálló megoldáshoz:

Válaszok:

Itt emlékeznünk kell még egy dologra - a kockák különbségére:

Felhívjuk figyelmét, hogy a második tört nevezője nem tartalmazza az „összeg négyzete” képletet! Az összeg négyzete így nézne ki: .

Az A az összeg úgynevezett hiányos négyzete: benne a második tag az első és az utolsó szorzata, nem pedig azok kettős szorzata. Az összeg résznégyzete az egyik tényező a kockák különbségének növekedésében:

Mi a teendő, ha már három tört van?

Igen, ugyanaz! Először is győződjünk meg arról, hogy a nevezőkben szereplő tényezők maximális száma megegyezik:

Figyelem: ha egy zárójelben megváltoztatja a jeleket, a tört előtti jel az ellenkezőjére változik. Amikor a második zárójelben lévő jeleket megváltoztatjuk, a tört előtti jel ismét az ellenkezőjére változik. Ennek eredményeként ez (a tört előtti jel) nem változott.

A teljes első nevezőt kiírjuk a közös nevezőbe, majd hozzáadjuk az összes még fel nem írt tényezőt a másodiktól, majd a harmadiktól (és így tovább, ha több tört van). Vagyis így alakul:

Hmm... Világos, mit kell tenni a törtekkel. De mi van a kettővel?

Ez egyszerű: tudja, hogyan kell törteket adni, igaz? Tehát kettőt kell törtté tenni! Ne feledjük: a tört egy osztási művelet (a számlálót el kell osztani a nevezővel, ha elfelejtette volna). És semmi sem egyszerűbb, mint elosztani egy számot. Ebben az esetben maga a szám nem változik, hanem törtté változik:

Pont ami kell!

5. Törtek szorzása és osztása.

Nos, a legnehezebb része már elmúlt. És előttünk áll a legegyszerűbb, de ugyanakkor a legfontosabb:

Eljárás

Mi a numerikus kifejezés kiszámításának eljárása? Emlékezzen a kifejezés jelentésének kiszámításával:

számoltál?

Működnie kell.

Szóval hadd emlékeztesselek.

Az első lépés a fokozat kiszámítása.

A második a szorzás és az osztás. Ha egyszerre több szorzás és osztás is történik, tetszőleges sorrendben elvégezhető.

Végül végezzük az összeadást és a kivonást. Még egyszer, bármilyen sorrendben.

De: a zárójelben lévő kifejezés soron kívül kiértékelésre kerül!

Ha több zárójelet szorozunk vagy osztunk egymással, először kiszámítjuk az egyes zárójelekben lévő kifejezéseket, majd szorozzuk vagy osztjuk őket.

Mi van, ha több zárójel van a zárójelben? Nos, gondoljuk át: a zárójelek közé valamilyen kifejezés van írva. Egy kifejezés kiszámításakor mit kell tennie először? Így van, számold ki a zárójeleket. Nos, kitaláltuk: először a belső zárójeleket számoljuk ki, aztán minden mást.

Tehát a fenti kifejezés eljárása a következő (az aktuális művelet pirossal van kiemelve, vagyis az a művelet, amelyet éppen végrehajtok):

Oké, minden egyszerű.

De ez nem ugyanaz, mint a betűs kifejezés?

Nem, ez ugyanaz! Csak az aritmetikai műveletek helyett algebrai műveleteket kell végrehajtania, vagyis az előző részben leírt műveleteket: hasonlót hozva, frakciók hozzáadása, frakciók csökkentése stb. Az egyetlen különbség a polinomok faktorálása lesz (gyakran használjuk ezt, amikor törtekkel dolgozunk). A faktorizáláshoz leggyakrabban az I-t kell használnia, vagy egyszerűen csak zárójelbe kell tennie a közös tényezőt.

Általában az a célunk, hogy a kifejezést szorzatként vagy hányadosként ábrázoljuk.

Például:

Egyszerűsítsük a kifejezést.

1) Először is egyszerűsítjük a zárójelben lévő kifejezést. Ott törtek különbség van, és az a célunk, hogy ezt szorzatként vagy hányadosként mutassuk be. Tehát a törteket közös nevezőre hozzuk, és hozzáadjuk:

Ezt a kifejezést nem lehet tovább leegyszerűsíteni, itt minden tényező elemi (emlékszel még, mit jelent ez?).

2) Ezt kapjuk:

Törtek szorzása: mi lehetne egyszerűbb.

3) Most lerövidítheti:

Rendben, most mindennek vége. Semmi bonyolult, igaz?

Egy másik példa:

Egyszerűsítse a kifejezést.

Először próbáld meg magad megoldani, és csak azután nézd meg a megoldást.

Megoldás:

Először is határozzuk meg a műveletek sorrendjét.

Először adjuk hozzá a zárójelben lévő törteket, így két tört helyett egyet kapunk.

Ezután törtosztást végzünk. Nos, adjuk hozzá az eredményt az utolsó törttel.

Sematikusan megszámozom a lépéseket:

Most megmutatom a folyamatot, pirosra színezve az aktuális műveletet:

1. Ha vannak hasonlók, azonnal hozni kell. Bármikor is bukkannak fel hasonlók hazánkban, célszerű azonnal felhozni őket.

2. Ugyanez vonatkozik a frakciók redukálására is: amint megjelenik a redukció lehetősége, azt ki kell használni. Ez alól kivételt képeznek az összeadandó vagy kivont törtek: ha most ugyanazok a nevezők, akkor a csökkentést későbbre kell hagyni.

Íme néhány önálló megoldásra váró feladat:

És amit a legelején ígértek:

Válaszok:

Megoldások (röviden):

Ha legalább az első három példával megbirkózott, akkor elsajátította a témát.

Most pedig a tanuláshoz!

KIFEJEZÉSEK KONVERTÁLÁSA. ÖSSZEFOGLALÁS ÉS ALAPKÉPLETEK

Alapvető egyszerűsítési műveletek:

• Hasonlót hozni: hasonló kifejezések hozzáadásához (kicsinyítéséhez) hozzá kell adni az együtthatóikat és hozzá kell rendelni a betűrészt.
• Faktorizáció: a közös tényező zárójelből való kitétele, alkalmazása stb.
• Töredék csökkentése: A tört számlálója és nevezője ugyanazzal a nullától eltérő számmal szorozható vagy osztható, ami nem változtat a tört értékén.
  1) számláló és nevező tényezőkre bont
  2) ha a számlálónak és a nevezőnek közös tényezői vannak, akkor ezek áthúzhatók.

  FONTOS: csak a szorzók csökkenthetők!

• Törtek összeadása és kivonása:
  ;
• Törtek szorzása és osztása:
  ;

Kifejezések, kifejezéskonverzió

Hatványkifejezések (hatványos kifejezések) és átalakításuk

Ebben a cikkben a kifejezések hatványokkal történő konvertálásáról fogunk beszélni. Először is azokra az átalakításokra fogunk összpontosítani, amelyeket bármilyen kifejezéssel hajtanak végre, beleértve az erőkifejezéseket is, mint például a zárójelek megnyitása és a hasonló kifejezések hozása. Ezután elemezzük a kifejezetten a fokszámú kifejezésekben rejlő transzformációkat: az alappal és a kitevővel való munka, a fokok tulajdonságainak felhasználása stb.

Oldalnavigáció.

Mik azok a hatalom kifejezései?

A „hatalmi kifejezések” kifejezés az iskolai matematika tankönyvekben gyakorlatilag nem jelenik meg, de a feladatgyűjteményekben igen gyakran előfordul, különösen azokban, amelyek például az egységes államvizsgára és az egységes államvizsgára való felkészülést szolgálják. Azokat a feladatokat elemezve, amelyekben erőkifejezésekkel kell műveleteket végrehajtani, világossá válik, hogy a hatalomkifejezések olyan kifejezések alatt értendők, amelyek bejegyzéseikben hatalmat tartalmaznak. Ezért elfogadhatja magának a következő definíciót:

Meghatározás.

Hatalom kifejezések Hatványokat tartalmazó kifejezések.

Adjunk példák a hatalom kifejezéseire. Sőt, aszerint is bemutatjuk őket, hogy hogyan történik a nézetek fejlődése a természetes kitevős fokról a valós kitevős fokra.

Mint ismeretes, először egy természetes kitevős szám hatványával ismerkedünk meg, ebben a szakaszban a 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0,1) típusú első legegyszerűbb hatványkifejezések. 4, 3 a 2 jelenik meg −a+a 2, x 3−1, (a 2) 3 stb.

Kicsit később egy egész kitevőjű szám hatványát tanulmányozzuk, ami negatív egész hatványú hatványkifejezések megjelenéséhez vezet, például: 3 −2, , a −2 +2 b −3 +c 2 .

A középiskolában visszatérnek a diplomához. Itt egy racionális kitevővel rendelkező fokozat kerül bevezetésre, ami a megfelelő hatványkifejezések megjelenését vonja maga után: , , stb. Végül az irracionális kitevővel rendelkező fokokat és az ezeket tartalmazó kifejezéseket tekintjük: , .

A dolog nem korlátozódik a felsorolt ​​hatványkifejezésekre: tovább hatol a változó a kitevőbe, és például a következő kifejezések keletkeznek: 2 x 2 +1 ill. . És miután megismerkedtünk a -val, megjelennek a hatványokkal és logaritmusokkal rendelkező kifejezések, például x 2·lgx −5·x lgx.

Tehát foglalkoztunk azzal a kérdéssel, hogy mit jelentenek a hatalom kifejezései. Ezután megtanuljuk átalakítani őket.

A hatványkifejezések transzformációinak főbb típusai

A hatványkifejezésekkel elvégezheti a kifejezések bármely alapvető azonosság-transzformációját. Például megnyithat zárójeleket, lecserélheti a numerikus kifejezéseket azok értékére, hozzáadhat hasonló kifejezéseket stb. Természetesen ebben az esetben a műveletek végrehajtására vonatkozó elfogadott eljárást kell követni. Mondjunk példákat.

Példa.

Számítsa ki a 2 3 ·(4 2 −12) hatványkifejezés értékét!

Megoldás.

A műveletek végrehajtási sorrendjének megfelelően először hajtsa végre a zárójelben lévő műveleteket. Ott először a 4 2 hatványt 16-os értékére cseréljük (ha szükséges, lásd), másodszor pedig kiszámítjuk a 16−12=4 különbséget. Nekünk van 2 3 · (4 2 -12) = 2 3 · (16 - 12) = 2 3 · 4.

A kapott kifejezésben a 2 3 hatványt 8-as értékére cseréljük, ami után kiszámítjuk a 8·4=32 szorzatot. Ez a kívánt érték.

Így, 2 3 · (4 2 -12) = 2 3 · (16 - 12) = 2 3 · 4 = 8 · 4 = 32.

Válasz:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Példa.

Leegyszerűsítse a kifejezéseket erőkkel 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Megoldás.

Nyilvánvaló, hogy ez a kifejezés hasonló 3·a 4 ·b −7 és 2·a 4 ·b −7 kifejezéseket tartalmaz, és bemutathatjuk őket: .

Válasz:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Példa.

Fejezzen ki egy kifejezést hatványokkal szorzatként.

Megoldás.

Megbirkózhat a feladattal, ha a 9-es számot 3 2 hatványaként ábrázolja, majd a rövidített szorzás - négyzetkülönbség képletét használja:

Válasz:

Számos azonos transzformáció is létezik, amelyek kifejezetten az erőkifejezésekben rejlenek. Ezeket tovább elemezzük.

Munka bázissal és kitevővel

Vannak fokok, amelyek bázisa és/vagy kitevője nem csak számok vagy változók, hanem bizonyos kifejezések. Példaként adjuk meg a (2+0.3·7) 5−3.7 és az (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) bejegyzéseket.

Amikor ilyen kifejezésekkel dolgozik, mind a fokalapban, mind a kitevőben lévő kifejezést lecserélheti egy azonos kifejezésre a változóinak ODZ-jében. Vagyis az általunk ismert szabályok szerint külön transzformálhatjuk a fokszám alapját és külön a kitevőt. Nyilvánvaló, hogy ennek az átalakításnak az eredményeként egy olyan kifejezést kapunk, amely megegyezik az eredetivel.

Az ilyen átalakítások lehetővé teszik számunkra, hogy egyszerűsítsük a kifejezéseket, vagy más célokat érjünk el, amelyekre szükségünk van. Például a fent említett hatványkifejezésben (2+0,3 7) 5-3,7 az alapban és a kitevőben lévő számokkal hajthatunk végre műveleteket, amelyek lehetővé teszik, hogy a 4,1 1,3 hatványra lépjünk. És miután kinyitjuk a zárójeleket, és hasonló tagokat hozunk az (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) fok alapjába, egy egyszerűbb formájú a 2·(x+) hatványkifejezést kapunk. 1) .

A fokozat tulajdonságainak használata

A kifejezések hatványokkal történő átalakításának egyik fő eszköze a tükröző egyenlőségek. Emlékezzünk a főbbekre. Bármilyen pozitív a és b számra, valamint tetszőleges r és s valós számokra a hatványok következő tulajdonságai igazak:

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a · b) r =a r · b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r·s .

Vegye figyelembe, hogy természetes, egész és pozitív kitevők esetén az a és b számokra vonatkozó korlátozások nem feltétlenül olyan szigorúak. Például m és n természetes számokra az a m ·a n =a m+n egyenlőség nemcsak pozitív a-ra, hanem negatív a-ra is igaz, és a=0-ra is.

Az iskolában az erőkifejezések átalakításakor a fő hangsúly a megfelelő tulajdonság kiválasztásának és helyes alkalmazásának képességén van. Ebben az esetben a fokok alapjai általában pozitívak, ami lehetővé teszi a fokok tulajdonságainak korlátozás nélküli használatát. Ugyanez vonatkozik a hatványok alapjaiban változókat tartalmazó kifejezések transzformációjára is - a változók megengedett értékeinek tartománya általában olyan, hogy az alapok csak pozitív értékeket vesznek fel rajta, ami lehetővé teszi a hatványok tulajdonságainak szabad használatát . Általában állandóan fel kell kérdezni magától, hogy ebben az esetben használható-e a fokozatok bármely tulajdonsága, mert a tulajdonságok pontatlan használata az oktatási érték beszűküléséhez és egyéb problémákhoz vezethet. Ezeket a pontokat részletesen és példákkal tárgyaljuk a kifejezések transzformációja a fokok tulajdonságaival című cikkben. Itt néhány egyszerű példára szorítkozunk.

Példa.

Fejezzük ki az a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 kifejezést a bázisú hatványként.

Megoldás.

Először a második tényezőt (a 2) −3 alakítjuk át a hatvány hatványra emelésének tulajdonságával: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Az eredeti hatványkifejezés a 2.5 ·a −6:a −5.5 formában lesz. Nyilvánvalóan hátra van, hogy a szorzás és a hatalommegosztás tulajdonságait ugyanazzal az alappal használjuk
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Válasz:

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.

A hatványok tulajdonságai a hatványkifejezések átalakításakor balról jobbra és jobbról balra egyaránt használatosak.

Példa.

Keresse meg a hatványkifejezés értékét!

Megoldás.

Az (a·b) r =a r ·b r egyenlőség jobbról balra alkalmazva lehetővé teszi, hogy az eredeti kifejezésről a forma szorzatára és tovább lépjünk. És ha a hatványokat ugyanazokkal az alapokkal szorozzuk, a kitevők összeadódnak: .

Az eredeti kifejezést más módon is át lehetett alakítani:

Válasz:

.

Példa.

Adott az a 1,5 −a 0,5 −6 hatványkifejezés, vezessen be egy új változót, t=a 0,5.

Megoldás.

Az a 1,5 fokot 0,5 3-ként ábrázolhatjuk, majd a fok (a r) s =a r s fokra vonatkozó tulajdonsága alapján, jobbról balra alkalmazva, transzformáljuk (a 0,5) 3 alakra. És így, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Most már könnyű bevezetni egy új változót, t=a 0,5, így kapjuk a t 3 −t−6.

Válasz:

t 3 −t−6 .

Hatványokat tartalmazó törtek konvertálása

A hatványkifejezések tartalmazhatnak vagy képviselhetnek hatványokkal rendelkező törteket. A törtek bármely alapvető transzformációja, amely bármilyen típusú törtben rejlik, teljes mértékben alkalmazható az ilyen törtekre. Vagyis a hatványokat tartalmazó törtek csökkenthetők, új nevezőre redukálhatók, külön dolgozhatók fel a számlálójukkal és külön a nevezővel stb. Ezeknek a szavaknak a szemléltetésére vegye figyelembe a megoldásokat több példára.

Példa.

Egyszerűsítse a hatalom kifejezését .

Megoldás.

Ez a hatványkifejezés egy töredék. Dolgozzunk a számlálójával és a nevezőjével. A számlálóban megnyitjuk a zárójeleket, és a hatványok tulajdonságaival egyszerűsítjük a kapott kifejezést, a nevezőben pedig hasonló kifejezéseket adunk meg:

És változtassuk meg a nevező előjelét is úgy, hogy a tört elé mínuszt teszünk: .

Válasz:

.

A hatványokat tartalmazó törtek új nevezőre redukálása a racionális törtek új nevezőre való redukálásához hasonlóan történik. Ebben az esetben egy további tényezőt is találunk, és a tört számlálóját és nevezőjét megszorozzuk vele. Ennek a műveletnek a végrehajtásakor érdemes megjegyezni, hogy az új nevezőre való redukálás a VA szűküléséhez vezethet. Ennek elkerülése érdekében szükséges, hogy a kiegészítő tényező ne menjen nullára az eredeti kifejezés ODZ-változóiból származó változók egyetlen értékénél sem.

Példa.

Csökkentse a törteket új nevezőre: a) a nevezőre, b) a nevezőhöz.

Megoldás.

a) Ebben az esetben meglehetősen könnyű kitalálni, hogy melyik további szorzó segít elérni a kívánt eredményt. Ez egy 0,3 szorzója, mivel a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Vegye figyelembe, hogy az a változó megengedett értékeinek tartományában (ez az összes pozitív valós szám halmaza) a 0,3 hatványa nem tűnik el, ezért jogunk van egy adott számlálóját és nevezőjét megszorozni. töredék ezzel a kiegészítő tényezővel:

b) Ha közelebbről megvizsgáljuk a nevezőt, akkor azt találjuk

és ezt a kifejezést megszorozva a kocka és , azaz . És ez az új nevező, amelyre csökkentenünk kell az eredeti törtet.

Így találtunk egy további tényezőt. Az x és y változók elfogadható értékeinek tartományában a kifejezés nem tűnik el, ezért a tört számlálóját és nevezőjét megszorozhatjuk vele:

Válasz:

A) , b) .

A hatványokat tartalmazó törtek redukálásában sincs semmi újdonság: a számlálót és a nevezőt több tényezőként ábrázoljuk, a számláló és a nevező azonos tényezőit pedig redukáljuk.

Példa.

Csökkentse a törtet: a) , b) .

Megoldás.

a) Először is, a számláló és a nevező csökkenthető a 30 és 45 számokkal, ami egyenlő 15-tel. Nyilvánvalóan lehetséges az x 0,5 +1-gyel és -kal való kicsinyítés is . Íme, amink van:

b) Ebben az esetben a számlálóban és a nevezőben azonos tényezők nem láthatók azonnal. Megszerzésükhöz előzetes átalakításokat kell végrehajtania. Ebben az esetben a nevező faktorálásából áll a négyzetek különbségi képletével:

Válasz:

A)

b) .

A törtek új nevezőre való konvertálása és a törtek redukálása főként törtekkel való műveletekre szolgál. A műveleteket az ismert szabályok szerint hajtják végre. A törtek összeadásánál (kivonásánál) közös nevezőre redukálódnak, majd a számlálókat összeadják (kivonják), de a nevező változatlan marad. Az eredmény egy tört, amelynek a számlálója a számlálók szorzata, a nevező pedig a nevezők szorzata. A törttel való osztás az inverzével való szorzás.

Példa.

Kövesd a lépéseket .

Megoldás.

Először kivonjuk a zárójelben lévő törteket. Ehhez közös nevezőre hozzuk őket, ami az , ami után kivonjuk a számlálókat:

Most megszorozzuk a törteket:

Nyilvánvalóan lehetséges x 1/2 hatványával csökkenteni, ami után megvan .

A nevezőben a hatványkifejezést is egyszerűsítheti a négyzetek különbségi képletével: .

Válasz:

Példa.

Egyszerűsítse az erőkifejezést .

Megoldás.

Nyilvánvaló, hogy ez a tört (x 2,7 +1) 2-vel csökkenthető, ez adja a tört . Nyilvánvaló, hogy valami mást kell tenni X hatalmával. Ehhez a kapott frakciót szorzattá alakítjuk. Ez lehetőséget ad arra, hogy kihasználjuk a hatalmak azonos alapokon történő megosztásának tulajdonságát: . A folyamat végén pedig az utolsó szorzattól a töredékhez lépünk.

Válasz:

.

És tegyük hozzá azt is, hogy lehetséges és sok esetben kívánatos negatív kitevővel rendelkező tényezők átvitele a számlálóból a nevezőbe vagy a nevezőből a számlálóba, a kitevő előjelét megváltoztatva. Az ilyen átalakítások gyakran leegyszerűsítik a további műveleteket. Például egy hatványkifejezés helyettesíthető a következővel.

Kifejezések konvertálása gyökökkel és hatványokkal

Azokban a kifejezésekben, amelyekben bizonyos transzformációk szükségesek, gyakran a törtkitevővel rendelkező gyökök is jelen vannak a hatványokkal együtt. Ahhoz, hogy egy ilyen kifejezést a kívánt formára alakítsunk, a legtöbb esetben elegendő csak a gyökerekhez vagy csak a hatványokhoz menni. De mivel kényelmesebb az erőkkel dolgozni, általában a gyökerektől a hatalmak felé haladnak. Célszerű azonban egy ilyen átmenetet végrehajtani, ha az eredeti kifejezés változóinak ODZ-je lehetővé teszi a gyökök hatványokkal való helyettesítését anélkül, hogy a modulra kellene hivatkozni, vagy az ODZ-t több intervallumra fel kellene osztani (ezt részletesen tárgyaltuk a cikk átmenet a gyökökről a hatványokra és vissza A racionális kitevős fokozat megismerése után bevezetjük az irracionális kitevős fokozatot, amely lehetővé teszi, hogy tetszőleges reálkitevős fokozatról beszéljünk.Ebben a szakaszban az iskola elkezdi a tanulmány exponenciális függvény, amelyet analitikusan egy hatvány ad meg, amelynek alapja egy szám, kitevője pedig változó. Tehát olyan hatványkifejezésekkel állunk szemben, amelyek a hatványalapban számokat, a kitevőben pedig változókat tartalmazó kifejezéseket tartalmaznak, és természetesen felmerül az igény az ilyen kifejezések transzformációinak végrehajtására.

El kell mondani, hogy a jelzett típusú kifejezések transzformációját általában a megoldáskor kell végrehajtani exponenciális egyenletekÉs exponenciális egyenlőtlenségek, és ezek az átalakítások meglehetősen egyszerűek. Az esetek túlnyomó többségében a fokozat tulajdonságain alapulnak, és többnyire egy új változó jövőbeni bevezetésére irányulnak. Az egyenlet lehetővé teszi ezek bemutatását 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Először is, a hatványokat, amelyek kitevőjében egy bizonyos változó (vagy változókkal rendelkező kifejezés) és egy szám összege szerepel, szorzatokkal helyettesítjük. Ez a bal oldalon lévő kifejezés első és utolsó tagjára vonatkozik:
5 2 x 5 1 -3 5 x 7 x -14 7 2 x 7 -1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Ezután az egyenlőség mindkét oldalát elosztjuk a 7 2 x kifejezéssel, amely az x változó ODZ-jén az eredeti egyenlethez csak pozitív értékeket vesz fel (ez egy szabványos technika az ilyen típusú egyenletek megoldására, nem most beszélünk róla, ezért összpontosítson a kifejezések későbbi átalakításaira erővel ):

Most törölhetjük a törteket hatványokkal, ami megadja .

Végül az azonos kitevőjű hatványok arányát relációk hatványai váltják fel, így az egyenlet , ami egyenértékű . Az elvégzett transzformációk lehetővé teszik egy új változó bevezetését, amely az eredeti exponenciális egyenlet megoldását egy másodfokú egyenlet megoldására redukálja

Önkormányzati állami oktatási intézmény

25. szám alatti alapközépiskola

Algebra lecke

Tantárgy:

« Hatványokat tartalmazó kifejezések átalakítása tört kitevővel"

Által kifejlesztett:

,

matematika tanár

magasabbraminősítési kategória

Csomóponti

2013

Óra témája: Kitevőket tartalmazó kifejezések átalakítása tört kitevővel

Az óra célja:

1. A fokszámokat tartalmazó kifejezések törtkitevővel való konvertálásában szerzett készségek, ismeretek és készségek továbbfejlesztése

2. Hibakereső képesség fejlesztése, gondolkodás, kreativitás, beszéd, számítástechnikai készség fejlesztése

3. Az önállóság, a téma iránti érdeklődés, figyelmesség, pontosság elősegítése.

TCO: mágnestábla, tesztkártyák, asztalok, egyéni kártyák, az iskolásoknak üres aláírt lapok vannak az asztalon egyéni munkához, keresztrejtvény, matematikai bemelegítéshez asztalok, multimédiás projektor.

Az óra típusa: ZUN biztosítása.

Óraterv idővel

1. Szervezési szempontok (2 perc)

2. Házi feladat ellenőrzése (5 perc)

3. Keresztrejtvény (3 perc)

4. Matematikai bemelegítés (5 perc)

5. Frontális erősítő gyakorlatok megoldása (7 perc)

6. Egyéni munka (10 perc)

7. Ismétléses gyakorlatok megoldása (5 perc)

8. Óra összefoglalója (2 perc)

9. Házi feladat (1 perc)

Az órák alatt

1) Házi feladat ellenőrzése szakértői értékelés formájában . A jó tanulók ellenőrzik a gyenge gyerekek füzeteit. A gyenge srácok pedig egy minta ellenőrzőkártya segítségével ellenőriznek az erősekkel. A házi feladatot két változatban adjuk meg.

én opció a feladat nem nehéz

II opció a feladat nehéz

Az ellenőrzés eredményeként a srácok egy egyszerű ceruzával kiemelik a hibákat, és értékelnek. Végül megnézem a munkát, miután a gyerekek óra után leadják a füzeteiket. Megkérdezem a srácoktól a tesztjük eredményét, és az ilyen típusú munkákra osztályzatokat teszek az összesítő táblázatomba.

2) Az elméleti anyag teszteléséhez keresztrejtvényt ajánlanak fel.

Függőlegesen:

1. A szorzás tulajdonsága, amelyet egy monom polinommal való szorzásakor használnak?

2. A kitevők hatása egy hatvány hatványra emelésekor?

3. Nulla indexű diploma?

4. Azonos tényezőkből álló termék?

Vízszintesen:

5. Gyökér n – ó, nem negatív szám foka?

6. A kitevők hatása a hatványok szorzásakor?

7. A kitevők hatása a hatványok elosztására?

8. Az összes azonos tényező száma?

3) Matematikai bemelegítés

a) végezze el a számítást, és a rejtjel segítségével olvassa be a feladatban elrejtett szót.

A táblán van egy asztal előtted. Az 1. oszlopban található táblázat példákat tartalmaz, amelyeket ki kell számítani.

Kulcs az asztalhoz

És írja be a választ az oszlopba II, illetve a III írja be a válasznak megfelelő betűt.

Tanár: Tehát a titkosított szó a „fok”. A következő feladatban a 2. és 3. fokkal dolgozunk

b) „Győződjön meg róla, hogy nem hibázik” játék

Pontok helyett írjon be egy számot

a) x=(x...)2; b) a3/2 = (a1/2)…; c) a=(a1/3)…; d) 5... = (51/4)2; e) 34/3=(34/9)…; e) 74/5 = (7...)2; g) x1/2=(x...)2; h) y1/2=(y...)2

Keressük a hibát:

А1/4 – 2а1/2 + 1 = (а1/

Szóval, srácok, mit kellett használni a feladat elvégzéséhez:

Fokok tulajdonsága: a fok hatványra emelésekor a kitevőket megszorozzuk;

4) Most kezdjük a front-end írásos munkával. , korábbi munkák eredményeit felhasználva. Nyisd ki a füzeteket, és írd le az óra dátumát és témáját.

№ 000

a) a – b = (a1/2)2 – (b1/2)2 = (a1/2 – b1/2)*(a1/2 + b1/2)

b) a – c = (a1/3)3 – (b1/3)3 = (a1/3 – c1/3)*(a2/3 + a1/3 b1/3 + b2/3)

000 (a, c, d, e)

A ) m2 – 5 = m2 – (m1/2)2 = (m – 51/2)*(m+51/2)

c) a3 – 4 = (a3/2)2 – 22 = (a3/2 – 2)*(a3/2 +2)

d) x2/5 – y4/5 = (x1/5)2 – (y2/5)2 = (x1/5 – y2/5)*(x1/5 + y2/5)

e) 4 – a = 22 – (a1/2)2 = (2 – a1/2)*(2+a1/2)

000 (a, d, f)

a) x3 – 2 = x3 – (21/3)3 = (x – 21/3)* (x2 + 21/3 x + 22/3)

d) a6/5 + 27 = (a2/5)3 + 33 = (a2/5 + 3)*(a4/3 – 3 a2/5 + 9)

e) 4 + y = (41/3)3 + (y1/3)3 = (41/3 + y1/3)* (42/3 + 41/3 y1/3 + y2/3)

Fokozat

5) Dolgozzon az egyes kártyákon négy opció használatával külön lapokon

A változó nehézségi fokú feladatokat tanári felszólítás nélkül kell elvégezni.

Azonnal ellenőrzöm a munkát, és osztályzatokat teszek a táblázatomba és a srácok lapjaira.

000 (a, c, d, h)

a) 4*31/2/(31/2 – 3) = 4*31/2 /31/2*(1 – 31/2) = 4 / (1 – 31/2)

c) x + x1/2 /2x = x1/2*(x1/2+1)/ 2*(x1/2)2 = (x1/2+1)/ 2x1/2

e) (a2/3 – b2/3)/(a1/3 +b1/3) = (a1/3)2 – (b1/3)2/(a1/3 +b1/3) = (a1/3) + b1/3)*(a1/3 – b1/3)/(a1/3 + b1/3) = a1/3 – b1/3

h) (x2/3 - x1/3 y1/3 + y2/3)/(x + y) = ((x1/3)2 - x1/3 y1/3 + (y1/3)2)/(( x1/3)3 +(y1/3)3) = ((x1/3)2 – x1/3 y1/3 +(y1/3)2)/(x1/3 +y1/3)*((x1) /3)2 – x1/3 y1/3 + (y1/3)2) = 1/ (x1/3 + y1/3)

7) Különböző bonyolultságú egyedi kártyákon történő munkavégzés. Egyes gyakorlatoknál a tanár ajánlásokat tartalmaz, mivel az anyag bonyolult, és a gyenge gyerekek nehezen tudnak megbirkózni a munkával

Négy lehetőség is rendelkezésre áll. Az értékelés azonnal megtörténik. Az összes osztályzatot egy táblázatba tettem.

számú probléma a gyűjteményből

A tanár kérdéseket tesz fel:

1. Mit kell keresni a problémában?

2. Mit kell ehhez tudni?

3. Hogyan kell kifejezni 1 gyalogos és 2 gyalogos idejét?

4. Hasonlítsa össze az 1. és 2. gyalogosok idejét a probléma körülményei szerint, és alkosson egyenletet!

A probléma megoldása:

Legyen x (km/h) 1 gyalogos sebessége

X +1 (km/h) – 2 gyalogos sebessége

4/х (h) – gyalogos idő

4/(x +1) (h) – a második gyalogos ideje

A feladat feltételei szerint 4/x >4/ (x +1) 12 percig

12 perc = 12 /60 óra = 1/5 óra

Készítsünk egy egyenletet

X/4 – 4/ (x +1) = 1/5

NOZ: 5x(x +1) ≠ 0

5*4*(x+1) – 5*4x = x*(x+1)

20x + 20 - 20x - x2 - x = 0

X2 +x –20 = 0

D=1 – 4*(-20) = 81, 81>0, 2 k

x1 = (-1 -√81)/(-2) = 5 km/h – 1 gyalogos sebessége

x2 = (-1 + √81)/(-2) = 4 – nem felel meg a feladat jelentésének, mivel x>0

Válasz: 5 km/h – 2 gyalogos sebessége

9) Óra összefoglalója: Szóval, srácok, ma a leckén összesítettük a tudást, készségeket és a fokozatokat tartalmazó kifejezések átalakításának készségeit, rövidített szorzóképleteket alkalmaztunk, a közös tényezőt zárójelből kihúztuk, és megismételtük a lefedett anyagot. Felhívom a figyelmet az előnyökre és a hátrányokra.

A lecke összefoglalása táblázatban.

10) Kihirdetem az osztályzatokat. Házi feladat

Egyéni kártyák K – 1 és K – 2

B – 1-re és B – 2-re váltok; B – 3 és B – 4, mivel egyenértékűek

Jelentkezések a leckére.

1) Kártyák a házi feladathoz

1. egyszerűsíteni

a) (x1/2 – y1/2)2 + 2x1/2 y1/2

b) (a3/2 + 5a1\2)2 – 10a2

2. összegként jelennek meg

a) a1/3 c1\4*(b2/3 + c3/4)

b) (a1/2 – b1/2)*(a + a1/2 b1\2 + c)

3. vegye ki a teljes szorzót

c) 151/3 +201/3

1. egyszerűsíteni

a) √m + √n – (m1/4 – n1/4)2

b) (a1/4 + b1/4)*(a1/8 + b1/8)*(a1\8 – b1/8)

2. összegként jelennek meg

a) x0,5 y0,5*(x-0,5 – y1,5)

b) (x1/3 + y1/3)*(x2\3 – x1/3 y1\3 + y2/3)

3. Vegye ki a közös tényezőt a zárójelekből

b) c1\3 – c

c) (2a)1/3 – (5a)1\3

2) vezérlőkártya B – 2-hez

a) √m + √n – (m 1|4 – n 1|4)2 = m 1|2 + n 1|2 – ((m 1|2)2 – 2 m 1/4 n 1/4 + (n 1/2) 2) = m 1/2 + n 1/2 – m 1/2 + 2 m 1/4 n 1/4 – n 1/2 = 2 m 1/4 n 1/4

b) (a1/4 + b1/4)*(a1/8 + b1/8)*(a1/8 – b1/8) = (a1/4 + b1/4)*(a1/8)2 – ( в1/8)2 = (а1/4 + в1/4)*(а1/4 – в1/4) = (а1/4)2 – (в1/4)2 = а1/2 – в1/2

a) x0,5 y0,5* (x-0,5-y1,5) = x0,5 y0,5 x-0,5 - x0,5 y0,5 y1,5 = x0 y0,5 - x0,5 y2 = y0. 5 – x0,5 y2

b) (x1/3 + y1/3)*(x2/3 – x1/3 y1\3 + y2/3) = (x1\3 + y1/3)*((x1/3)2 – x1/3 y1\3 + (y1/3)2) = (x1/3)2 + (y1/3)2 = x + y

a) 3 – 31/2 = 31/2 * (31/2 – 1)

b) v1/3 – v = v1/3 *(1 – v2/3)

c) (2a)1/3 – (5a)1/3 = a1/3*(21/3 – 51/3)

3) Kártyák az első egyéni munkához

a) a – y, x ≥ 0, y ≥ 0

b) a – és a ≥ 0

1. Tényezősítse a négyzetek különbségeként

a) a1/2 – b1/2

2. Tényezősítse különbségként vagy kockák összegeként

a) c1/3 + d1/3

1. Tényezősítse a négyzetek különbségeként

a) X1/2 + Y1/2

b) X1/4 – U1/4

2. Tényezősítse különbségként vagy kockák összegeként

4) kártyák a második egyéni munkához

a) (x – x1/2)/ (x1/2 – 1)

Utasítás: x1/2, távolítsa el a számlálókat a zárójelekből

b) (a–c)/(a1/2 – b1/2)

Megjegyzés: a – b = (a1/2)2 – (b1/2)2

Csökkentse a frakciót

a) (21/4 – 2)/ 5*21/4

Utasítás: távolítsa el a 21/4-et a zárójelekből

b) (a – c)/(5а1/2 – 5в1/2)

Megjegyzés: a – b = (a1/2)2 – (b1/2)2

3. lehetőség

1. Csökkentse a törtet

a) (x1/2 – x1/4)/x3/4

Utasítás: helyezze x1/4-ét a zárójelekből

b) (a1/2 – b1/2)/(4a1/4 – 4b1/4)

4. lehetőség

Csökkentse a frakciót

a) 10/ (10 – 101/2)

b) (a - c)/(a2/3 + a1\3b1/3+ B 1/3)

Tantárgy: " Törtkitevővel rendelkező hatványokat tartalmazó kifejezések konvertálása"

"Hagyd, hogy valaki megpróbálja kiiktatni a diplomákat a matematikából, és látni fogja, hogy nélkülük nem jutsz messzire." (M. V. Lomonoszov)

Az óra céljai:

nevelési:összefoglalja és rendszerezi a tanulók tudását a „Fokozat racionális mutatóval” témában; figyelemmel kíséri az anyag elsajátításának szintjét; megszünteti a tanulók tudásában és készségeiben mutatkozó hiányosságokat;

fejlesztés: Fejleszti a tanulók önkontroll-készségeit, teremtsen minden tanuló számára érdeklődésre számot tartó légkört a munkájában, fejlessze a tanulók kognitív tevékenységét;

nevelési: felkelteni az érdeklődést a tantárgy, a matematika története iránt.

Óratípus: az ismeretek általánosításának, rendszerezésének órája

Felszerelés: értékelő lapok, kártyák feladatokkal, dekóderek, keresztrejtvények minden tanulónak.

Előzetes felkészítés: az osztály csoportokra oszlik, minden csoportban a vezető tanácsadó.

AZ ÓRÁK ALATT

I. Szervezési mozzanat.

Tanár: Befejeztük „A racionális kitevővel rendelkező hatvány és tulajdonságai” téma tanulmányozását. Az Ön feladata ezen a leckén, hogy bemutassa, hogyan sajátította el az elsajátított anyagot, és hogyan tudja a megszerzett tudást konkrét problémák megoldására alkalmazni. Mindegyikőtök asztalán van egy pontozólap. Ebben megadja értékelését a lecke minden szakaszára vonatkozóan. Az óra végén átlagos pontszámot adsz a leckére.

Értékelő papír

II. Házi feladat ellenőrzése.

Társellenőrzés ceruzával a kézben, a válaszokat a tanulók olvassák fel.

III. A tanulók tudásának frissítése.

Tanár: A híres francia író, Anatole France mondta egyszer: „A tanulásnak szórakoztatónak kell lennie... Ahhoz, hogy a tudást felszívja, étvággyal kell befogadnia.”

Ismételjük el a szükséges elméleti tudnivalókat a keresztrejtvény megfejtése közben.

Vízszintesen:

1. Az a művelet, amellyel a fokozat értékét kiszámítják (Építkezés).

2. Azonos tényezőkből álló termék (fokozat).

3. A kitevők működése egy hatvány hatványra emelésekor (munka).

4. A fokok hatása, amelyeknél a fokok kitevőit kivonjuk (osztály).

Függőlegesen:

5. Az összes azonos tényező száma (index).

6. Fok nulla indexszel (Mértékegység).

7. Ismétlődő szorzó (bázis).

8. 10 5 értéke: (2 3 5 5) (négy).

9. Kitevő, amelyet általában nem írnak le (Mértékegység).

IV. Matematikai bemelegítés.

Tanár. Ismételjük meg a racionális kitevővel rendelkező fok definícióját és tulajdonságait, és végezzük el a következő feladatokat!

1. Mutassa be az x 22 kifejezést két hatvány szorzataként x bázissal, ha az egyik tényező egyenlő: x 2, x 5,5, x 1\3, x 17,5, x 0

2. Egyszerűsítés:

b) y 5\8 y 1\4: y 1\8 = y

c) 1,4-től -0,3-tól 2,9-től

3. Számítsa ki és állítsa össze a szót egy dekóder segítségével.

A feladat elvégzése után megtudhatja annak a német matematikusnak a nevét, aki bevezette a „kitevő” kifejezést.

1) (-8) 1\3 2) 81 1\2 3) (3\5) -1 4) (5\7) 0 5) 27 -1\3 6) (2\3) -2 7) 16 1\2 * 125 1\3

Szó: 1234567 (Stifel)

V. Írásbeli munka jegyzetfüzetbe (a válaszok a táblán vannak kinyitva) .

Feladatok:

1. Egyszerűsítse a kifejezést:

(x-2): (x 1\2 -2 1\2) (y-3): (y 1\2 - 3 1\2) (x-1): (x 2\3 - x 1\3 +1)

2. Keresse meg a kifejezés értékét:

(x 3\8 x 1\4:) 4 x=81-nél

VI. Csoportokban dolgoznak.

Gyakorlat. Oldjon meg egyenleteket és alkosson szavakat dekóder segítségével.

1. számú kártya

Szó: 1234567 (Diophantus)

2. számú kártya

3. számú kártya

Szó: 123451 (Newton)

Dekóder

Tanár. Mindezek a tudósok hozzájárultak a „fok” fogalmának kidolgozásához.

VII. Történelmi információk a fokozat fogalmának kialakulásáról (hallgatói üzenet).

Az ókori népeknél kialakult a természetes jelzővel ellátott fokozat fogalma. A területek és térfogatok kiszámításához négyzet- és kockaszámokat használtak. Egyes számok hatványait az ókori Egyiptom és Babilon tudósai bizonyos problémák megoldására használták.

A 3. században megjelent Diophantus görög tudós „Aritmetika” című könyve, amely megalapozta a betűjelek bevezetését. Diophantus bevezeti az ismeretlen első hat hatványának szimbólumait és azok kölcsönösségét. Ebben a könyvben a négyzetet egy r alsó indexű jel jelöli; kocka – r indexű k jel stb.

Az összetettebb algebrai feladatok megoldásának és a fokozatokkal való operáció gyakorlatából felmerült az igény a fok fogalmának általánosítására és a nulla, negatív és törtszámok kitevőként történő bevezetésével történő bővítésére. A matematikusok arra az ötletre jutottak, hogy fokozatosan általánosítsák a fok fogalmát egy nem természetes kitevővel.

A törtkitevőket és a törtkitevőkkel való műveleti hatványok legegyszerűbb szabályait Nicholas Oresme (1323–1382) francia matematikus „Arányok algoritmusa” című munkájában találja.

Az egyenlőséget, a 0 =1 (a 0 és nem egyenlő 0-val) a 15. század elején használta munkáiban Giyasaddin Kashi Dzhemshid szamarkandi tudós. Ettől függetlenül a nulla mutatót Nikolai Schuke vezette be a 15. században. Ismeretes, hogy Nicholas Shuquet (1445–1500) a fokokat negatív és nulla kitevővel vette figyelembe.

Később tört- és negatív kitevőket találunk M. Stiefel német matematikus „Teljes aritmetikájában” (1544) és Simon Stevinben. Simon Stevin azt javasolta, hogy az 1/n egy gyökér.

M. Stiefel német matematikus (1487–1567) megadta a 0 = 1 at definícióját, és bevezette a névkitevőt (ez a német kitevő szó szerinti fordítása). A német potenzieren azt jelenti, hogy hatalomra emeljük.

A 16. század végén François Viète bevezette a betűket, amelyek nemcsak a változókat, hanem azok együtthatóit is jelölik. Rövidítéseket használt: N, Q, C - az első, második és harmadik fokra. De a modern jelöléseket (például 4-et, 5-öt) Rene Descartes vezette be a 17. században.

A nulla, negatív és tört kitevővel rendelkező hatványok modern definíciói és jelölései John Wallis (1616–1703) és Isaac Newton (1643–1727) angol matematikusok munkáiból származnak.

A nulla, negatív és tört kitevők, valamint modern szimbólumok bevezetésének tanácsosságát először 1665-ben John Wallis angol matematikus írta le részletesen. Munkáját Isaac Newton fejezte be, aki elkezdte szisztematikusan alkalmazni az új szimbólumokat, majd általános használatba lépett.

A racionális kitevővel rendelkező fokozat bevezetése a matematikai cselekvés fogalmainak általánosításának számos példája. A nulla, negatív és tört kitevővel rendelkező fokot úgy határozzuk meg, hogy ugyanazok a cselekvési szabályok vonatkozzanak rá, mint a természetes kitevővel rendelkező fokokra, pl. hogy az eredetileg meghatározott fokfogalom alapvető tulajdonságai megmaradjanak.

A racionális kitevős fok új definíciója nem mond ellent a természetes kitevős fok régi definíciójának, vagyis a racionális kitevős fokozat új definíciójának jelentése a fokozat speciális esetére ugyanaz marad. természetes kitevővel. Ezt a matematikai fogalmak általánosítása során megfigyelt elvet a permanencia (állandóság megőrzése) elvének nevezik. 1830-ban J. Peacock angol matematikus fejezte ki tökéletlen formában, G. Hankel német matematikus pedig teljesen és egyértelműen megállapította 1867-ben.

VIII. Ellenőrizd le magadat.

Önálló munka kártyákkal (a válaszok a táblán láthatók) .

1.opció

1. Számítsd ki: (1 pont)

(a + 3a 1\2): (a 1\2 +3)

2. lehetőség

1. Számítsd ki: (1 pont)

2. Egyszerűsítse a kifejezést: mindegyik 1 pont

a) x 1,6 x 0,4 b) (x 3\8) -5\6

3. Oldja meg az egyenletet: (2 pont)

4. Egyszerűsítse a kifejezést: (2 pont)

5. Keresse meg a kifejezés jelentését: (3 pont)

IX. Összegezve a tanulságot.

Milyen képletekre és szabályokra emlékeztél az órán?

Elemezze a munkáját az órán.

A tanulók órai munkáját értékelik.

X. Házi feladat. K: R IV (ismétlés) 156-157. cikk 4. (a-c), 7. (a-c),

Kiegészítő: 16. sz

Alkalmazás

Értékelő papír

Név/név/tanuló_______________________________________________________

1. számú kártya

1) X 1\ 3 = 4; 2) y-1 = 3\5; 3) a 1\2 = 2\3; 4) x -0,5 x 1,5 = 1; 5) y 1\3 =2; 6) a 2\7 a 12\7 = 25; 7) a 1\2: a = 1\3

Dekóder

2. számú kártya

1) X 1\ 3 = 4; 2) y-1 = 3; 3) (x+6) 1\2 = 3; 4) y 1\3 =2; 5) (y-3) 1\3 =2; 6) a 1\2: a = 1\3

Dekóder

3. számú kártya

1) a 2\7 a 12\7 = 25; 2) (x-12) 1\3 =2; 3) x -0,7 x 3,7 = 8; 4) a 1\2: a = 1\3; 5) és 1\2 = 2\3

Dekóder

1. számú kártya

1) X 1\ 3 = 4; 2) y-1 = 3\5; 3) a 1\2 = 2\3; 4) x -0,5 x 1,5 = 1; 5) y 1\3 =2; 6) a 2\7 a 12\7 = 25; 7) a 1\2: a = 1\3

Dekóder

2. számú kártya

1) X 1\ 3 = 4; 2) y-1 = 3; 3) (x+6) 1\2 = 3; 4) y 1\3 =2; 5) (y-3) 1\3 =2; 6) a 1\2: a = 1\3

Dekóder

3. számú kártya

1) a 2\7 a 12\7 = 25; 2) (x-12) 1\3 =2; 3) x -0,7 x 3,7 = 8; 4) a 1\2: a = 1\3; 5) és 1\2 = 2\3

Dekóder

1. számú kártya

1) X 1\ 3 = 4; 2) y-1 = 3\5; 3) a 1\2 = 2\3; 4) x -0,5 x 1,5 = 1; 5) y 1\3 =2; 6) a 2\7 a 12\7 = 25; 7) a 1\2: a = 1\3

Dekóder

2. számú kártya

1) X 1\ 3 = 4; 2) y-1 = 3; 3) (x+6) 1\2 = 3; 4) y 1\3 =2; 5) (y-3) 1\3 =2; 6) a 1\2: a = 1\3

Dekóder

3. számú kártya

1) a 2\7 a 12\7 = 25; 2) (x-12) 1\3 =2; 3) x -0,7 x 3,7 = 8; 4) a 1\2: a = 1\3; 5) és 1\2 = 2\3

Dekóder

Szakaszok: Matematika

Osztály: 9

CÉL: A fokozat tulajdonságainak racionális kitevővel való alkalmazásának készségeinek megszilárdítása és fejlesztése; fejleszteni kell a törtkitevővel rendelkező hatványokat tartalmazó kifejezések egyszerű transzformációinak végrehajtásában.

ÓRA TÍPUSA: lecke a témával kapcsolatos ismeretek megszilárdításáról és alkalmazásáról.

TANKÖNYV: Algebra 9. szerk. S.A. Teljakovszkij.

AZ ÓRÁK ALATT

Tanár megnyitó beszéde

"Az algebrát nem ismerő emberek el sem tudják képzelni, milyen csodálatos dolgokat lehet elérni... ennek a tudománynak a segítségével." G.V. Leibniz

Az Algebra megnyitja számunkra a laboratóriumi komplexum kapuit "Oktatás racionális kitevővel."

1. Frontális felmérés

1) Adja meg a fok definícióját tört kitevővel!

2) Milyen törtkitevőre van definiálva egy nullával egyenlő bázisú fok?

3) Negatív bázis esetén a fokot tört kitevővel határozzuk meg?

Feladat: Képzeld el a 64-es számot hatványként, amelynek alapja - 2; 2; 8.

Milyen számból álló kocka a 64?

Van-e más mód a 64-es szám racionális kitevőjű hatványként való ábrázolására?

2. Csoportos munka

1 csoport. Bizonyítsuk be, hogy a (-2) kifejezések 3/4 ; A 0-2-nek nincs értelme.

2. csoport. Képzeljünk el egy hatványt, amelynek törtkitevője gyök formájában van: 2 2/3; 3 -1|3 ; -1,5-ben; 5a 1/2; (x-y) 2/3 .

3. csoport. Hatványként való megjelenítés tört kitevővel: v3; 8 va 4; 3v2 -2 ; v(x+y) 2/3; vvv.

3. Térjünk át a „Cselekvés a hatalomra” laboratóriumra

A laboratórium gyakori vendégei csillagászok. Elhozzák „csillagászati ​​​​számaikat”, algebrai feldolgozásnak vetik alá őket, és hasznos eredményeket kapnak

Például a Föld és az Androméda-köd távolságát a szám fejezi ki

95000000000000000000 = 95 10 18 km;

ezt hívják kvintillion.

A nap tömegét grammban az 1983 10 30 g számmal fejezzük ki - nonnalion.

Emellett további komoly feladatok is várnak a laboratóriumra. Például a következő kifejezések kiszámításának problémája:

A) ; b) ; V) .

A laboratóriumi személyzet az ilyen számításokat a legkényelmesebb módon végzi el.

Csatlakozhat a munkához. Ehhez ismételjük meg a hatványok tulajdonságait racionális kitevőkkel:

Most számítsa ki vagy egyszerűsítse a kifejezést a racionális kitevőkkel rendelkező hatványok tulajdonságaival:

1. csoport:

2. csoport:

3. csoport:

Ellenőrzés: egy személy a csoportból a táblánál.

4. Összehasonlítási feladat

Hogyan hasonlíthatjuk össze a 2 100 és 10 30 kifejezéseket a hatványok tulajdonságaival?

Válasz:

2 100 =(2 10) 10 =1024 10 .

10 30 =(10 3) 10 =1000 10

1024 10 >1000 10

2 100 >10 30

5. És most meghívlak a „Fokozatok Kutatása” laboratóriumba.

Milyen átalakításokat hajthatunk végre a hatalmakon?

1) Képzelje el a 3-at hatványként 2-es kitevővel; 3; -1.

2) Hogyan faktorizálhatók az a-c kifejezések? in+in 1/2; a-2a 1/2; 2 a 2?

3) Csökkentse a törtet, amelyet kölcsönös ellenőrzés követ:

4) Magyarázza el az elvégzett átalakításokat, és találja meg a kifejezés jelentését:

6. Munka a tankönyvvel. No. 611(g, d, f).

1. csoport: (d).

2. csoport: (e).

3. csoport: (f).

629. szám (a, b).

Peer review.

7. Műhelymunkát végzünk (önálló munka).

Adott kifejezések:

Mely törtek redukálásakor a szorzóképletek rövidítése és a közös tényező zárójelbe helyezése?

1. csoport: 1., 2., 3. sz.

2. csoport: 4., 5., 6. sz.

3. csoport: 7., 8., 9. sz.

A feladat elvégzésekor használhatja az ajánlásokat.

1. Ha a példajelölés mindkét racionális kitevővel rendelkező hatványt és az n-edik fokú gyököket tartalmazza, akkor az n-edik fokú gyököket racionális kitevővel rendelkező hatványok alakjában írja fel.
2. Próbálja egyszerűsíteni a kifejezést, amelyen a műveleteket végrehajtja: zárójelek nyitása, a rövidített szorzási képlet használatával, a negatív kitevős hatványról a pozitív kitevővel rendelkező hatványokat tartalmazó kifejezésre való átlépés.
3. Határozza meg a műveletek végrehajtásának sorrendjét.
4. Végezze el a lépéseket a végrehajtás sorrendjében.

A tanár a füzetek összegyűjtése után értékel.

8. Házi feladat: 624., 623. sz.