विभिन्न आकृतियों का क्षेत्रफल. किसी आकृति का क्षेत्रफल क्या है? व्यक्तिगत जानकारी की सुरक्षा

ज्यामितीय क्षेत्र- एक ज्यामितीय आकृति की एक संख्यात्मक विशेषता जो इस आकृति का आकार दिखाती है (इस आकृति के बंद समोच्च से घिरा सतह का हिस्सा)। क्षेत्रफल का आकार उसमें निहित वर्ग इकाइयों की संख्या से व्यक्त किया जाता है।

त्रिभुज क्षेत्र सूत्र

1. भुजा और ऊँचाई के लिए त्रिभुज क्षेत्र सूत्र
   एक त्रिभुज का क्षेत्रफलत्रिभुज की एक भुजा की लंबाई और इस भुजा पर खींची गई ऊँचाई की लंबाई के आधे गुणनफल के बराबर
   
2. एक त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र जिसमें तीन भुजाएँ और परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या दी गई है
   
3. एक त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र जिसमें तीन भुजाएँ और एक अंकित वृत्त की त्रिज्या दी गई है
   एक त्रिभुज का क्षेत्रफलत्रिभुज की आधी परिधि और अंकित वृत्त की त्रिज्या के गुणनफल के बराबर है।
   
जहाँ S त्रिभुज का क्षेत्रफल है,
- त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई,
-त्रिभुज की ऊंचाई,
- भुजाओं के बीच का कोण और,
- अंकित वृत्त की त्रिज्या,
आर - परिचालित वृत्त की त्रिज्या,

वर्ग क्षेत्रफल सूत्र

1. एक वर्ग की एक भुजा की लंबाई को देखते हुए उसके क्षेत्रफल का सूत्र
   वर्गाकार क्षेत्रइसकी भुजा की लंबाई के वर्ग के बराबर है.
2. विकर्ण की लंबाई दिए गए वर्ग के क्षेत्रफल का सूत्र
   वर्गाकार क्षेत्रइसके विकर्ण की लंबाई के आधे वर्ग के बराबर।
   

   एस=	1	2
   	2

जहाँ S वर्ग का क्षेत्रफल है,
वर्ग की भुजा की लंबाई है,
वर्ग के विकर्ण की लंबाई है.

आयत क्षेत्रफल सूत्र

आयताकार क्षेत्रइसकी दो आसन्न भुजाओं की लंबाई के गुणनफल के बराबर है

जहाँ S आयत का क्षेत्रफल है,
आयत की भुजाओं की लंबाई हैं।

समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के सूत्र

1. भुजा की लंबाई और ऊंचाई के लिए समांतर चतुर्भुज क्षेत्र सूत्र
   समांतर चतुर्भुज क्षेत्र
2. समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र जिसमें दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण दिया गया है
   समांतर चतुर्भुज क्षेत्रयह इसकी भुजाओं की लंबाई को उनके बीच के कोण की ज्या से गुणा करने के गुणनफल के बराबर है।
   

   ए बी पापα

जहाँ S समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल है,
समांतर चतुर्भुज की भुजाओं की लंबाई हैं,
समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई है,
समांतर चतुर्भुज की भुजाओं के बीच का कोण है।

एक समचतुर्भुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र

1. समचतुर्भुज क्षेत्रफल सूत्र में भुजा की लंबाई और ऊंचाई दी गई है
   रोम्बस क्षेत्रइसकी भुजा की लंबाई और इस भुजा से नीचे की ऊंचाई की लंबाई के गुणनफल के बराबर है।
2. एक समचतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र, भुजा की लंबाई और कोण दिया गया है
   रोम्बस क्षेत्रयह समचतुर्भुज की भुजा की लंबाई के वर्ग और समचतुर्भुज की भुजाओं के बीच के कोण की ज्या के गुणनफल के बराबर है।
3. एक समचतुर्भुज के विकर्णों की लंबाई से उसके क्षेत्रफल का सूत्र
   रोम्बस क्षेत्रइसके विकर्णों की लंबाई के आधे उत्पाद के बराबर है।
जहाँ S समचतुर्भुज का क्षेत्रफल है,
- समचतुर्भुज के किनारे की लंबाई,
- समचतुर्भुज की ऊंचाई की लंबाई,
- समचतुर्भुज की भुजाओं के बीच का कोण,
1, 2 - विकर्णों की लंबाई।

ट्रैपेज़ियम क्षेत्र सूत्र

1. समलंब चतुर्भुज के लिए बगुला का सूत्र

   जहाँ S समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल है,
   - समलम्ब चतुर्भुज के आधारों की लंबाई,
   - समलम्ब चतुर्भुज की भुजाओं की लंबाई,
   

किसी आकृति का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें?

विभिन्न आकृतियों के क्षेत्रफलों को जानना और उनकी गणना करने में सक्षम होना न केवल सरल ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए आवश्यक है। परिसर की मरम्मत के लिए अनुमान तैयार करने या जांचने, आवश्यक उपभोग्य सामग्रियों की मात्रा की गणना करते समय आप इस ज्ञान के बिना नहीं कर सकते। इसलिए, आइए जानें कि विभिन्न आकृतियों के क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें।

किसी बंद समोच्च के भीतर घिरे हुए समतल के भाग को इस समतल का क्षेत्रफल कहते हैं। क्षेत्रफल को इसमें संलग्न वर्ग इकाइयों की संख्या से व्यक्त किया जाता है।

बुनियादी ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए आपको सही सूत्र का उपयोग करना होगा।

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल

पदनाम:

1. यदि h, a ज्ञात है, तो वांछित त्रिभुज का क्षेत्रफल भुजा की लंबाई और इस भुजा से नीचे त्रिभुज की ऊंचाई के गुणनफल के रूप में निर्धारित किया जाता है, जिसे आधे में विभाजित किया जाता है: S=(a h)/2
2. यदि ए, बी, सी ज्ञात है, तो वांछित क्षेत्र की गणना हेरोन सूत्र का उपयोग करके की जाती है: त्रिभुज की आधी परिधि के उत्पाद से लिया गया वर्गमूल और आधी परिधि और त्रिभुज की प्रत्येक भुजा के तीन अंतर: एस = √ (पी (पी - ए) (पी - बी) (पी - सी))।
3. यदि a, b, γ ज्ञात हैं, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल 2 भुजाओं के आधे गुणनफल के रूप में निर्धारित किया जाता है, जो इन भुजाओं के बीच के कोण की ज्या के मान से गुणा किया जाता है: S=(a b syn γ)/2
4. यदि a, b, c, R ज्ञात हैं, तो आवश्यक क्षेत्रफल को त्रिभुज की सभी भुजाओं की लंबाई के गुणनफल को परिचालित वृत्त की चार त्रिज्याओं से विभाजित करने के रूप में परिभाषित किया गया है: S=(a b c)/4R
5. यदि पी, आर ज्ञात है, तो त्रिभुज का वांछित क्षेत्रफल परिधि के आधे हिस्से को उसमें अंकित वृत्त की त्रिज्या से गुणा करके निर्धारित किया जाता है: एस = पी आर

वर्गाकार क्षेत्र

पदनाम:

1. यदि भुजा ज्ञात हो, तो इस आकृति का क्षेत्रफल उसकी भुजा की लंबाई के वर्ग के रूप में निर्धारित किया जाता है: S=a 2
2. यदि d ज्ञात है, तो वर्ग क्षेत्रफल को उसके विकर्ण की लंबाई के आधे वर्ग के रूप में परिभाषित किया गया है: S=d 2 /2

आयताकार क्षेत्र

पदनाम:

• एस - निर्धारित क्षेत्र,
• a, b आयत की भुजाओं की लंबाई हैं।

1. यदि a, b ज्ञात हो, तो किसी दिए गए आयत का क्षेत्रफल उसकी दोनों भुजाओं की लंबाई के गुणनफल से निर्धारित होता है: S=a b
2. यदि भुजाओं की लंबाई अज्ञात है, तो आयत के क्षेत्रफल को त्रिभुजों में विभाजित किया जाना चाहिए। इस मामले में, एक आयत का क्षेत्रफल उसके घटक त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के योग के रूप में परिभाषित किया गया है।

समांतर चतुर्भुज क्षेत्र

पदनाम:

• एस - वांछित क्षेत्र,
• ए, बी - साइड की लंबाई,
• h दिए गए समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई की लंबाई है,
• d1, d2 - दो विकर्णों की लंबाई,
• α - भुजाओं के बीच का कोण,
• γ विकर्णों के बीच का कोण है।

1. यदि ए, एच ज्ञात है, तो वांछित क्षेत्र किनारे की लंबाई और इस तरफ की ऊंचाई को गुणा करके निर्धारित किया जाता है: एस = ए एच
2. यदि a, b, α ज्ञात हो, तो समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज की भुजाओं की लंबाई और इन भुजाओं के बीच के कोण की ज्या के मान को गुणा करके निर्धारित किया जाता है: S=a b syn α
3. यदि d 1 , d 2 , γ ज्ञात हैं, तो समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल विकर्णों की लंबाई के आधे उत्पाद और इन विकर्णों के बीच के कोण की ज्या के मान के रूप में परिभाषित किया गया है: S=(d 1 d 2 पापγ)/2

रोम्बस क्षेत्र

पदनाम:

• एस - वांछित क्षेत्र,
• ए - साइड की लंबाई,
• एच - ऊंचाई लंबाई,
• α दोनों पक्षों के बीच का छोटा कोण है,
• d1, d2 दो विकर्णों की लंबाई हैं।

1. यदि a, h ज्ञात हो, तो समचतुर्भुज का क्षेत्रफल भुजा की लंबाई को इस ओर कम की गई ऊंचाई की लंबाई से गुणा करके निर्धारित किया जाता है: S = a h
2. यदि a, α ज्ञात हो, तो समचतुर्भुज का क्षेत्रफल भुजा की लंबाई के वर्ग को भुजाओं के बीच के कोण की ज्या से गुणा करके निर्धारित किया जाता है: S=a 2 syn α
3. यदि d 1 और d 2 ज्ञात हैं, तो वांछित क्षेत्र को समचतुर्भुज के विकर्णों की लंबाई के आधे उत्पाद के रूप में निर्धारित किया जाता है: S \u003d (d 1 d 2) / 2

ट्रैपेज़ियम क्षेत्र

पदनाम:

1. यदि a, b, c, d ज्ञात है, तो आवश्यक क्षेत्र सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है: S= (a+b) /2 *√ .
2. ज्ञात ए, बी, एच के साथ, वांछित क्षेत्र को आधारों के आधे योग और ट्रेपेज़ॉइड की ऊंचाई के उत्पाद के रूप में निर्धारित किया जाता है: S=(a+b)/2 h

उत्तल चतुर्भुज का क्षेत्रफल

पदनाम:

1. यदि d 1 , d 2 , α ज्ञात है, तो उत्तल चतुर्भुज का क्षेत्रफल इन विकर्णों के बीच के कोण की ज्या से गुणा किए गए चतुर्भुज के विकर्णों के आधे उत्पाद के रूप में परिभाषित किया गया है: S=(d 1 d 2 पाप α)/2
2. ज्ञात पी, आर के साथ, उत्तल चतुर्भुज का क्षेत्रफल चतुर्भुज के अर्धपरिधि और इस चतुर्भुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या के उत्पाद के रूप में परिभाषित किया गया है: एस = पी आर
3. यदि ए, बी, सी, डी, θ ज्ञात हैं, तो उत्तल चतुर्भुज का क्षेत्रफल अर्धपरिधि के अंतर के उत्पादों के वर्गमूल और प्रत्येक पक्ष की लंबाई की लंबाई के उत्पाद को घटाकर निर्धारित किया जाता है। सभी भुजाएँ और दो विपरीत कोणों के आधे योग की कोज्या का वर्ग: S 2 = (p - a )(p - b)(p - c)(p - d) - abcd cos 2 ((α+β) /2)

एक वृत्त का क्षेत्रफल

पदनाम:

यदि r ज्ञात है, तो वांछित क्षेत्र संख्या π और त्रिज्या वर्ग के गुणनफल के रूप में निर्धारित किया जाता है: S=π r 2

यदि d ज्ञात है, तो वृत्त का क्षेत्रफल चार से विभाजित संख्या π गुणा व्यास के वर्ग के गुणनफल के रूप में निर्धारित किया जाता है: S=(π d 2)/4

एक जटिल आकृति का क्षेत्रफल

कॉम्प्लेक्स को सरल ज्यामितीय आकृतियों में तोड़ा जा सकता है। किसी जटिल आकृति के क्षेत्रफल को घटक क्षेत्रों के योग या अंतर के रूप में परिभाषित किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक अंगूठी पर विचार करें।

पद का नाम:

• S वलय का क्षेत्रफल है,
• आर, आर क्रमशः बाहरी वृत्त और आंतरिक वृत्त की त्रिज्याएँ हैं,
• डी, डी क्रमशः बाहरी वृत्त और आंतरिक वृत्त के व्यास हैं।

वलय का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, बड़े वृत्त के क्षेत्रफल से क्षेत्रफल घटाएँ। छोटा वृत्त. S = S1-S2 = πR 2 -πr 2 = π (R 2 -r 2)।

इस प्रकार, यदि R और r ज्ञात हैं, तो वलय का क्षेत्रफल बाहरी और आंतरिक वृत्तों की त्रिज्याओं के वर्गों के बीच के अंतर के रूप में निर्धारित किया जाता है, जिसे संख्या pi से गुणा किया जाता है: S=π(R 2 -r 2 ).

यदि डी और डी ज्ञात हैं, तो रिंग का क्षेत्रफल बाहरी और आंतरिक वृत्तों के व्यास के वर्गों में अंतर के एक चौथाई के रूप में निर्धारित किया जाता है, जिसे संख्या पीआई से गुणा किया जाता है: एस = (1/4) ( डी 2 -डी 2) π.

पैच क्षेत्र

मान लीजिए कि एक वर्ग (ए) के अंदर एक और (बी) (छोटा) है, और हमें आंकड़े "ए" और "बी" के बीच एक भरा हुआ गुहा ढूंढना होगा। मान लीजिए, एक छोटे वर्ग का एक "फ़्रेम"। इसके लिए:

1. आकृति "ए" का क्षेत्रफल ज्ञात करें (वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्र द्वारा गणना)।
2. इसी प्रकार, हम आकृति "बी" का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं।
3. क्षेत्र "ए" से क्षेत्र "बी" घटाएं। और इस प्रकार हमें छायांकित आकृति का क्षेत्रफल प्राप्त होता है।

अब आप जानते हैं कि विभिन्न आकृतियों के क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें।

कक्षा: 5

मेरी राय में, शिक्षक का कार्य केवल पढ़ाना नहीं है, बल्कि छात्र की संज्ञानात्मक रुचि विकसित करना है। इसलिए, जब संभव हो, मैं पाठ के विषयों को व्यावहारिक कार्यों से जोड़ता हूँ।

पाठ में, छात्र, एक शिक्षक के मार्गदर्शन में, एक "जटिल आकृति" (मरम्मत अनुमानों की गणना के लिए) के क्षेत्र को खोजने के लिए समस्याओं को हल करने के लिए एक योजना तैयार करते हैं, खोजने के लिए समस्याओं को हल करने के कौशल को मजबूत करते हैं क्षेत्र; ध्यान का विकास, अनुसंधान गतिविधियों की क्षमता, गतिविधि की शिक्षा, स्वतंत्रता है।

जोड़े में काम करने से उन लोगों के बीच संचार की स्थिति पैदा होती है जिनके पास ज्ञान है और जो इसे हासिल करते हैं; ऐसे कार्य का आधार विषय में प्रशिक्षण की गुणवत्ता में सुधार करना है। सीखने की प्रक्रिया में रुचि के विकास और शैक्षिक सामग्री को गहराई से आत्मसात करने को बढ़ावा देता है।

पाठ न केवल छात्रों के ज्ञान को व्यवस्थित करता है, बल्कि रचनात्मक, विश्लेषणात्मक क्षमताओं के विकास में भी योगदान देता है। पाठ में व्यावहारिक सामग्री वाले कार्यों का उपयोग आपको रोजमर्रा की जिंदगी में गणितीय ज्ञान की प्रासंगिकता दिखाने की अनुमति देता है।

पाठ मकसद:

शैक्षिक:

• एक आयत, एक समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्रों के ज्ञान का समेकन;
• एक "जटिल" आकृति के क्षेत्र और उनके कार्यान्वयन के तरीकों की गणना के लिए कार्यों का विश्लेषण;
• ज्ञान, कौशल, क्षमताओं का परीक्षण करने के लिए कार्यों का स्वतंत्र प्रदर्शन।

विकसित होना:

• मानसिक और अनुसंधान गतिविधि के तरीकों का विकास;
• किसी निर्णय को सुनने और समझाने की क्षमता विकसित करना।

शैक्षिक:

• छात्रों को शैक्षिक कार्य के कौशल में शिक्षित करना;
• मौखिक और लिखित गणितीय भाषण की संस्कृति विकसित करना;
• कक्षा में मित्रता और समूहों में काम करने की क्षमता विकसित करना।

पाठ का प्रकार:संयुक्त.

उपकरण:

• गणित: 5 कक्षों के लिए पाठ्यपुस्तक। सामान्य शिक्षा संस्थान / एन.वाई.ए. विलेनकिन, वी.आई. ज़ोखोव एट अल., एम.: मेनेमोज़िना, 2010।
• एक जटिल आकृति के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए आंकड़ों वाले छात्रों के समूहों के लिए कार्ड।
• चित्रकारी के औज़ार।

शिक्षण योजना:

1. आयोजन का समय.
2. ज्ञान अद्यतन.
   ए) सैद्धांतिक प्रश्न (परीक्षण)।
   बी) समस्या का विवरण.
3. नई सामग्री सीखी.
   क) समस्या का समाधान खोजना;
   बी) समस्या का समाधान।
4. सामग्री को ठीक करना.
   क) सामूहिक समस्या समाधान;
   Fizcultminutka।
   बी) स्वतंत्र कार्य।
5. गृहकार्य।
6. पाठ का सारांश. प्रतिबिंब।

कक्षाओं के दौरान

I. संगठनात्मक क्षण।

आइए पाठ की शुरुआत प्रोत्साहन के इन शब्दों से करें:

गणित, दोस्तों,
निःसंदेह हर किसी को इसकी जरूरत है।
कक्षा में कड़ी मेहनत करें
और सफलता आपका इंतजार कर रही है!

द्वितीय. ज्ञान अद्यतन.

ए)सिग्नल कार्ड के साथ फ्रंटल कार्य (प्रत्येक छात्र के पास 1, 2, 3, 4 नंबर वाले कार्ड होते हैं; एक परीक्षण प्रश्न का उत्तर देते समय, छात्र सही उत्तर की संख्या वाला एक कार्ड उठाता है)।

1. एक वर्ग सेंटीमीटर है:

1. 1 सेमी भुजा वाले एक वर्ग का क्षेत्रफल;
2. 1 सेमी भुजा वाला एक वर्ग;
3. 1 सेमी की परिधि वाला वर्ग।

2. चित्र में दर्शायी गयी आकृति का क्षेत्रफल है:

1. 8 डीएम;
2. 8 डीएम 2;
3. 15 डीएम 2.

3. क्या यह सत्य है कि समान आकृतियों के परिमाप और क्षेत्रफल समान होते हैं?

4. एक आयत का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

1. एस = ए 2 ;
2. एस = 2 (ए + बी);
3. एस = ए बी.

5. चित्र में दर्शायी गयी आकृति का क्षेत्रफल है:

1. 12 सेमी;
2. 8 सेमी;
3. 16 सेमी

बी) (समस्या का निरूपण)। काम। यदि प्रति 1 मी 2 में 200 ग्राम पेंट की खपत होती है, तो निम्नलिखित आकार वाले फर्श को पेंट करने के लिए कितने पेंट की आवश्यकता होगी (चित्र देखें)।

तृतीय. नई सामग्री सीखना.

अंतिम समस्या को हल करने के लिए हमें क्या जानने की आवश्यकता है? (फर्श का क्षेत्रफल ज्ञात करें, जो एक "जटिल आकृति" जैसा दिखता है।)

छात्र पाठ का विषय और उद्देश्य तैयार करते हैं (यदि आवश्यक हो, तो शिक्षक मदद करता है)।

एक आयत पर विचार करें ए बी सी डी. चलो इसमें एक रेखा खींचते हैं केपीएमएनआयत को तोड़कर ए बी सी डीदो भागों में: एबीएनएमपीकेऔर केपीएमएनसीडी.

क्षेत्रफल कितना है ए बी सी डी? (15 सेमी 2)

आकृति का क्षेत्रफल क्या है? एबीएमएनपीके? (7 सेमी 2)

आकृति का क्षेत्रफल क्या है? केपीएमएनसीडी? (8 सेमी 2)

परिणामों का विश्लेषण करें. (15==7+8)

निष्कर्ष? (संपूर्ण आकृति का क्षेत्रफल उसके भागों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है।

एस = एस 1 + एस 2

हम अपनी समस्या को हल करने के लिए इस संपत्ति का उपयोग कैसे कर सकते हैं? (आइए जटिल आकृति को भागों में तोड़ें, भागों का क्षेत्रफल ज्ञात करें, फिर संपूर्ण आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करें।)

एस 1 = 7 2 = 14 (एम 2)
एस 2 = (7 - 4) (8 - 2 - 3) = 3 3 = 9 (एम 2)
एस 3 = 7 3 = 21 (एम 2)
एस = एस 1 + एस 2 + एस 3 = 14 + 9 + 21 = 44 (एम 2)

चलो श्रृंगार करते हैं "जटिल आकृति" का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए समस्याओं को हल करने की योजना:

1. हम आकृति को सरल आकृतियों में तोड़ते हैं।
2. सरल आकृतियों का क्षेत्रफल ज्ञात करना।

ए) कार्य 1. निम्नलिखित आकारों का एक मंच तैयार करने के लिए कितनी टाइलों की आवश्यकता होगी:

एस = एस 1 + एस 2
एस 1 = (60 - 30) 20 = 600 (डीएम 2)
एस 2 = 30 50 = 1500 (डीएम 2)
एस = 600 + 1500 = 2100 (डीएम 2)

क्या हल करने का कोई और तरीका है? (हम प्रस्तावित विकल्पों पर विचार करते हैं।)

उत्तर: 2100 डीएम 2.

कार्य 2. (बोर्ड और नोटबुक में सामूहिक निर्णय।)निम्नलिखित आकार वाले एक कमरे की मरम्मत के लिए कितने मी 2 लिनोलियम की आवश्यकता होगी:

एस = एस 1 + एस 2
एस 1 = 3 2 = 6 (एम 2)
एस 2 = ((5 - 3) 2): 2 = 2 (एम 2)
एस = 6 + 2 = 8 (एम 2)

उत्तर: 8 मीटर 2.

Fizcultminutka।

अब, दोस्तों, उठो।
उन्होंने झट से हाथ उठा दिए.
बग़ल में, आगे, पीछे।
दाएँ मुड़ा, बाएँ।
हम चुपचाप बैठ गए, वापस काम पर लग गए।

बी) स्वतंत्र कार्य (शैक्षिक) .

छात्रों को समूहों में विभाजित किया गया है (संख्या 5-8 अधिक मजबूत हैं)। प्रत्येक समूह एक मरम्मत दल है।

टीमों के लिए कार्य: निर्धारित करें कि कार्ड पर दिखाए गए चित्र के आकार वाले फर्श को पेंट करने के लिए कितने पेंट की आवश्यकता है, यदि प्रति 1 मी 2 पर 200 ग्राम पेंट की आवश्यकता है।

आप इस आकृति को अपनी नोटबुक में बनाएं और सारा डेटा लिखकर कार्य के लिए आगे बढ़ें। आप समाधान पर चर्चा कर सकते हैं (लेकिन केवल अपने समूह में!) यदि कोई समूह कार्य को शीघ्रता से पूरा कर लेता है, तो उसे एक अतिरिक्त कार्य प्राप्त होगा (स्वतंत्र कार्य के सत्यापन के बाद)।

समूहों के लिए कार्य:

वी. होमवर्क.

मद 18, क्रमांक 718, क्रमांक 749.

अतिरिक्त कार्य.समर गार्डन (सेंट पीटर्सबर्ग) की योजना-योजना। इसके क्षेत्रफल की गणना करें।

VI. पाठ के परिणाम.

प्रतिबिंब।वाक्यांश जारी रखें:

• आज मुझे पता चला...
• यह दिलचस्प था…
• वह मुश्किल था…
• अब मैं कर सकता हूँ…
• सबक मुझे जीवन भर के लिए सिखाया...

पिछले अनुभाग में, एक निश्चित अभिन्न अंग के ज्यामितीय अर्थ के विश्लेषण के लिए समर्पित, हमने एक घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र की गणना के लिए कई सूत्र प्राप्त किए:

S (G) = ∫ a b f (x) d x एक सतत और गैर-नकारात्मक फलन y = f (x) के लिए खंड पर [ a ; बी] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x एक सतत और गैर-सकारात्मक फलन y = f (x) के लिए खंड पर [ a ; बी] ।

ये सूत्र अपेक्षाकृत सरल समस्याओं को हल करने के लिए लागू होते हैं। दरअसल, हमें अक्सर अधिक जटिल आकृतियों के साथ काम करना पड़ता है। इस संबंध में, हम इस अनुभाग को आंकड़ों के क्षेत्र की गणना के लिए एल्गोरिदम के विश्लेषण के लिए समर्पित करेंगे, जो स्पष्ट रूप में कार्यों द्वारा सीमित हैं, अर्थात। जैसे y = f(x) या x = g(y) .

मान लीजिए कि फलन y = f 1 (x) और y = f 2 (x) खंड पर परिभाषित और निरंतर हैं [ a ; b ] , और f 1 (x) ≤ f 2 (x) किसी भी मान x के लिए [ a ; बी] । फिर रेखा x = a, x = b, y = f 1 (x) और y = f 2 (x) से घिरी आकृति G के क्षेत्रफल की गणना करने का सूत्र S जैसा दिखेगा ( जी) = ∫ ए बी एफ 2 (एक्स) - एफ 1 (एक्स) डी एक्स।

एक समान सूत्र रेखाओं y = c, y = d, x = g 1 (y) और x = g 2 (y) से घिरी आकृति के क्षेत्र के लिए लागू होगा: S (जी) = ∫ सी डी (जी 2 (वाई) - जी 1 (वाई) डी वाई।

सबूत

हम तीन मामलों का विश्लेषण करेंगे जिनके लिए सूत्र मान्य होगा।

पहले मामले में, क्षेत्र की योगात्मकता संपत्ति को ध्यान में रखते हुए, मूल आकृति जी और वक्ररेखीय ट्रेपेज़ॉइड जी 1 के क्षेत्रों का योग आकृति जी 2 के क्षेत्र के बराबर है। यह मतलब है कि

इसलिए, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) डी एक्स .

हम निश्चित समाकलन के तीसरे गुण का उपयोग करके अंतिम परिवर्तन कर सकते हैं।

दूसरे मामले में, समानता सत्य है: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( एक्स) - एफ 1 (एक्स)) डी एक्स

ग्राफिक चित्रण इस प्रकार दिखेगा:

यदि दोनों फ़ंक्शन गैर-सकारात्मक हैं, तो हमें मिलता है: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f) 2 (एक्स) - एफ 1 (एक्स)) डी एक्स। ग्राफिक चित्रण इस प्रकार दिखेगा:

आइए सामान्य स्थिति पर विचार करें जब y = f 1 (x) और y = f 2 (x) अक्ष O x को प्रतिच्छेद करते हैं।

हम प्रतिच्छेदन बिंदुओं को x i , i = 1 , 2 , के रूप में निरूपित करेंगे। . . , एन - 1 . ये बिंदु खंड को तोड़ते हैं [ ए ; b ] n भागों में x i - 1 ; एक्स मैं , मैं = 1 , 2 , . . . , n , जहां α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

इस तरह,

एस (जी) = ∑ आई = 1 एन एस (जी आई) = ∑ आई = 1 एन ∫ एक्स आई एक्स आई एफ 2 (एक्स) - एफ 1 (एक्स)) डी एक्स = = ∫ एक्स 0 एक्स एन (एफ 2 (एक्स) - एफ ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

हम निश्चित समाकलन के पांचवें गुण का उपयोग करके अंतिम परिवर्तन कर सकते हैं।

आइए ग्राफ़ पर सामान्य मामले को चित्रित करें।

सूत्र S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x को सिद्ध माना जा सकता है।

और अब आइए रेखाओं y \u003d f (x) और x \u003d g (y) द्वारा सीमित आंकड़ों के क्षेत्र की गणना के उदाहरणों के विश्लेषण पर आगे बढ़ें।

किसी भी उदाहरण पर विचार करते हुए, हम एक ग्राफ़ के निर्माण से शुरुआत करेंगे। छवि हमें जटिल आकृतियों को सरल आकृतियों के संयोजन के रूप में प्रस्तुत करने की अनुमति देगी। यदि आपके लिए ग्राफ़ और उन पर आकृतियाँ बनाना कठिन है, तो आप बुनियादी प्राथमिक फ़ंक्शंस, फ़ंक्शंस के ग्राफ़ के ज्यामितीय परिवर्तन, साथ ही किसी फ़ंक्शन के अध्ययन के दौरान प्लॉटिंग पर अनुभाग का अध्ययन कर सकते हैं।

उदाहरण 1

आकृति का क्षेत्रफल निर्धारित करना आवश्यक है, जो परवलय y \u003d - x 2 + 6 x - 5 और सीधी रेखाओं y \u003d - 1 3 x - 1 2, x \u003d द्वारा सीमित है। 1, x = 4.

समाधान

आइए कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में ग्राफ़ पर रेखाएँ आलेखित करें।

अंतराल पर [ 1 ; 4] परवलय y = - x 2 + 6 x - 5 का ग्राफ सीधी रेखा y = - 1 3 x - 1 2 के ऊपर स्थित है। इस संबंध में, उत्तर प्राप्त करने के लिए, हम पहले प्राप्त सूत्र का उपयोग करते हैं, साथ ही न्यूटन-लीबनिज सूत्र का उपयोग करके एक निश्चित अभिन्न अंग की गणना करने की विधि का उपयोग करते हैं:

एस (जी) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

उत्तर: एस (जी) = 13

आइए एक अधिक जटिल उदाहरण देखें।

उदाहरण 2

आकृति के क्षेत्रफल की गणना करना आवश्यक है, जो रेखाओं y = x + 2 , y = x , x = 7 द्वारा सीमित है।

समाधान

इस मामले में, हमारे पास x-अक्ष के समानांतर केवल एक सीधी रेखा है। यह x = 7 है. इसके लिए हमें स्वयं दूसरी एकीकरण सीमा ढूंढनी होगी।

आइए एक ग्राफ़ बनाएं और उस पर समस्या की स्थिति में दी गई पंक्तियाँ डालें।

ग्राफ को अपनी आंखों के सामने रखते हुए, हम आसानी से यह निर्धारित कर सकते हैं कि एकीकरण की निचली सीमा एक सीधी रेखा y \u003d x और एक अर्ध-परवलय y \u003d x + 2 के साथ ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज होगा। . भुज को खोजने के लिए, हम समानता का उपयोग करते हैं:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O D G x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O D G

इससे पता चलता है कि प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज x = 2 है।

हम इस तथ्य पर आपका ध्यान आकर्षित करते हैं कि ड्राइंग में सामान्य उदाहरण में, रेखाएं y = x + 2 , y = x बिंदु (2 ; 2) पर प्रतिच्छेद करती हैं, इसलिए ऐसी विस्तृत गणनाएं अनावश्यक लग सकती हैं। हमने यहां इतना विस्तृत समाधान केवल इसलिए प्रदान किया है क्योंकि अधिक जटिल मामलों में समाधान इतना स्पष्ट नहीं हो सकता है। इसका मतलब यह है कि हमेशा विश्लेषणात्मक रूप से रेखाओं के प्रतिच्छेदन के निर्देशांक की गणना करना बेहतर होता है।

अंतराल पर [2 ; 7 ] फ़ंक्शन y = x का ग्राफ़ फ़ंक्शन y = x + 2 के ग्राफ़ के ऊपर स्थित है। क्षेत्रफल की गणना के लिए सूत्र लागू करें:

एस (जी) = ∫ 2 7 (एक्स - एक्स + 2) डी एक्स = एक्स 2 2 - 2 3 (एक्स + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

उत्तर: एस (जी) = 59 6

उदाहरण 3

आकृति के क्षेत्र की गणना करना आवश्यक है, जो फ़ंक्शन y \u003d 1 x और y \u003d - x 2 + 4 x - 2 के ग्राफ़ द्वारा सीमित है।

समाधान

आइए ग्राफ़ पर रेखाएँ खींचें।

आइए एकीकरण की सीमाएँ परिभाषित करें। ऐसा करने के लिए, हम अभिव्यक्ति 1 x और - x 2 + 4 x - 2 को बराबर करके रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित करते हैं। बशर्ते कि x शून्य के बराबर नहीं है, समानता 1 x \u003d - x 2 + 4 x - 2 तीसरी डिग्री के समीकरण के बराबर हो जाती है - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 \u003d 0 पूर्णांक गुणांक के साथ . आप "घन समीकरणों का समाधान" अनुभाग का संदर्भ लेकर ऐसे समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम की मेमोरी को ताज़ा कर सकते हैं।

इस समीकरण का मूल x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0 है।

व्यंजक - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 को द्विपद x - 1 से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

हम समीकरण x 2 - 3 x - 1 = 0 से शेष मूल ज्ञात कर सकते हैं:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 1 (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3। 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0। 3

हमें एक अंतराल x ∈ 1 मिला है; 3 + 13 2, जहां जी नीली रेखा के ऊपर और लाल रेखा के नीचे घिरा हुआ है। इससे हमें आकृति का क्षेत्रफल निर्धारित करने में मदद मिलती है:

एस (जी) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - एलएन 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - एलएन 1 = 7 + 13 3 - एलएन 3 + 13 2

उत्तर: एस (जी) = 7 + 13 3 - एलएन 3 + 13 2

उदाहरण 4

आकृति के क्षेत्र की गणना करना आवश्यक है, जो वक्र y \u003d x 3, y \u003d - log 2 x + 1 और भुज अक्ष द्वारा सीमित है।

समाधान

आइए सभी पंक्तियों को ग्राफ़ पर रखें। हम फ़ंक्शन y = - log 2 x + 1 का ग्राफ़ y = log 2 x से प्राप्त कर सकते हैं यदि हम इसे x-अक्ष के बारे में सममित रूप से रखते हैं और इसे एक इकाई ऊपर ले जाते हैं। x-अक्ष का समीकरण y = 0.

आइए रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को निरूपित करें।

जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है, फ़ंक्शन y \u003d x 3 और y \u003d 0 के ग्राफ़ बिंदु (0; 0) पर प्रतिच्छेद करते हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि x = 0 समीकरण x 3 = 0 का एकमात्र वास्तविक मूल है।

x = 2 समीकरण का एकमात्र मूल है - log 2 x + 1 = 0, इसलिए फलन y = - log 2 x + 1 और y = 0 के ग्राफ़ बिंदु (2 ; 0) पर प्रतिच्छेद करते हैं।

x = 1 समीकरण x 3 = - log 2 x + 1 का एकमात्र मूल है। इस संबंध में, फ़ंक्शन y \u003d x 3 और y \u003d - log 2 x + 1 के ग्राफ़ बिंदु (1; 1) पर प्रतिच्छेद करते हैं। अंतिम कथन स्पष्ट नहीं हो सकता है, लेकिन समीकरण x 3 \u003d - लॉग 2 x + 1 में एक से अधिक रूट नहीं हो सकते हैं, क्योंकि फ़ंक्शन y \u003d x 3 सख्ती से बढ़ रहा है, और फ़ंक्शन y \u003d - लॉग 2 x +1 सख्ती से घट रहा है।

अगले चरण में कई विकल्प शामिल हैं।

विकल्प संख्या 1

हम आकृति G को एब्सिस्सा अक्ष के ऊपर स्थित दो घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड के योग के रूप में प्रस्तुत कर सकते हैं, जिनमें से पहला खंड x ∈ 0 पर मध्य रेखा के नीचे स्थित है; 1 , और दूसरा खंड x ∈ 1 पर लाल रेखा के नीचे है ; 2. इसका मतलब है कि क्षेत्रफल S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x के बराबर होगा।

विकल्प संख्या 2

आकृति G को दो आकृतियों के अंतर के रूप में दर्शाया जा सकता है, जिनमें से पहला x-अक्ष के ऊपर और खंड x ∈ 0 पर नीली रेखा के नीचे स्थित है; 2 , और दूसरा खंड x ∈ 1 पर लाल और नीली रेखाओं के बीच है ; 2. यह हमें इस प्रकार क्षेत्र ढूंढने की अनुमति देता है:

एस (जी) = ∫ 0 2 एक्स 3 डी एक्स - ∫ 1 2 एक्स 3 - (- लॉग 2 एक्स + 1) डी एक्स

इस स्थिति में, क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y रूप के सूत्र का उपयोग करना होगा। वास्तव में, आकृति को बांधने वाली रेखाओं को y तर्क के कार्यों के रूप में दर्शाया जा सकता है।

आइए समीकरण y = x 3 और - x के संबंध में लघुगणक 2 x + 1 को हल करें:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - लघुगणक 2 x + 1 ⇒ लघुगणक 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

हमें आवश्यक क्षेत्र मिलता है:

एस (जी) = ∫ 0 1 (2 1 - वाई - वाई 3) डी वाई = - 2 1 - वाई एलएन 2 - वाई 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 एलएन 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 एलएन 2 - 0 4 4 = - 1 एलएन 2 - 1 4 + 2 एलएन 2 = 1 एलएन 2 - 1 4

उत्तर: एस (जी) = 1 एलएन 2 - 1 4

उदाहरण 5

आकृति के क्षेत्रफल की गणना करना आवश्यक है, जो रेखाओं y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4 द्वारा सीमित है।

समाधान

फ़ंक्शन y = x द्वारा दी गई लाल रेखा के साथ चार्ट पर एक रेखा खींचें। रेखा y = - 1 2 x + 4 को नीले रंग से खींचें, और रेखा y = 2 3 x - 3 को काले रंग से चिह्नित करें।

प्रतिच्छेदन बिंदुओं पर ध्यान दें.

फ़ंक्शन y = x और y = - 1 2 x + 4 के ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु खोजें:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 i हल है x 2 = 4 = 2 , - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 समीकरण का हल है ⇒ (4 ; 2) प्रतिच्छेदन बिंदु i y = x और y = - 1 2 x + 4

फ़ंक्शन y = x और y = 2 3 x - 3 के ग्राफ़ का प्रतिच्छेदन बिंदु खोजें:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 जांचें: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 समीकरण का हल है ⇒ (9; 3) बिंदु और प्रतिच्छेदन y = x और y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2 , 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 समीकरण का हल नहीं है

रेखाओं y = - 1 2 x + 4 और y = 2 3 x - 3 का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 1) प्रतिच्छेदन बिंदु y = - 1 2 x + 4 और y = 2 3 x - 3

विधि संख्या 1

हम वांछित आकृति के क्षेत्रफल को व्यक्तिगत आकृतियों के क्षेत्रफलों के योग के रूप में निरूपित करते हैं।

तब आकृति का क्षेत्रफल है:

एस (जी) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

विधि संख्या 2

मूल आकृति का क्षेत्रफल अन्य दो आकृतियों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है।

फिर हम x के लिए रेखा समीकरण को हल करते हैं, और उसके बाद ही हम आकृति के क्षेत्रफल की गणना के लिए सूत्र लागू करते हैं।

y = x ⇒ x = y 2 लाल रेखा y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 काली रेखा y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i i l i n i

तो क्षेत्र है:

एस (जी) = ∫ 1 2 3 2 वाई + 9 2 - - 2 वाई + 8 डी वाई + ∫ 2 3 3 3 2 वाई + 9 2 - वाई 2 डी वाई = = ∫ 1 2 7 2 वाई - 7 2 डी वाई + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

जैसा कि आप देख सकते हैं, मान मेल खाते हैं।

उत्तर: एस (जी) = 11 3

परिणाम

किसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए जो दी गई रेखाओं से घिरी हुई है, हमें एक समतल पर रेखाएँ खींचने, उनके प्रतिच्छेदन बिंदु खोजने और क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए सूत्र लागू करने की आवश्यकता है। इस अनुभाग में, हमने कार्यों के लिए सबसे सामान्य विकल्पों की समीक्षा की है।

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नियमित और अनियमित दोनों तरह की विभिन्न आकृतियों की अनंत संख्या में सपाट आकृतियाँ हैं। सभी आकृतियों का एक सामान्य गुण यह है कि उनमें से किसी का एक क्षेत्रफल होता है। आकृतियों का क्षेत्रफल इन आकृतियों द्वारा व्याप्त समतल के भाग के आयाम हैं, जिन्हें कुछ इकाइयों में व्यक्त किया गया है। यह मान हमेशा एक सकारात्मक संख्या के रूप में व्यक्त किया जाता है। माप की इकाई एक वर्ग का क्षेत्रफल है जिसकी भुजा लंबाई की एक इकाई (उदाहरण के लिए, एक मीटर या एक सेंटीमीटर) के बराबर होती है। किसी भी आकृति के क्षेत्रफल के अनुमानित मान की गणना उन इकाई वर्गों की संख्या को गुणा करके की जा सकती है जिनमें इसे एक वर्ग के क्षेत्रफल से विभाजित किया गया है।

इस अवधारणा की अन्य परिभाषाएँ इस प्रकार हैं:

1. सरल आकृतियों के क्षेत्रफल अदिश धनात्मक मात्राएँ हैं जो शर्तों को पूरा करते हैं:

समान आकृतियों के क्षेत्रफल समान होते हैं;

यदि किसी आकृति को भागों (सरल आकृतियों) में विभाजित किया जाता है, तो उसका क्षेत्रफल इन आकृतियों के क्षेत्रफलों का योग होता है;

माप की एक भुजा इकाई वाला एक वर्ग क्षेत्रफल की एक इकाई के रूप में कार्य करता है।

2. जटिल आकृतियों (बहुभुज) के क्षेत्रफल निम्नलिखित गुणों वाली धनात्मक मात्राएँ हैं:

समान बहुभुजों का क्षेत्रफल समान होता है;

यदि एक बहुभुज में कई अन्य बहुभुज होते हैं, तो इसका क्षेत्रफल बाद वाले बहुभुज के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है। यह नियम गैर-अतिव्यापी बहुभुजों के लिए सत्य है।

एक सिद्धांत के रूप में, यह कथन स्वीकार किया जाता है कि आकृतियों (बहुभुज) के क्षेत्र सकारात्मक मान हैं।

किसी वृत्त के क्षेत्रफल की परिभाषा उस मान के रूप में अलग से दी जाती है जिस पर किसी वृत्त में अंकित किसी दिए गए वृत्त का क्षेत्रफल झुकता है - इस तथ्य के बावजूद कि इसकी भुजाओं की संख्या अनंत हो जाती है।

अनियमित आकार की आकृतियों (मनमानी आकृतियों) के क्षेत्रफलों की कोई परिभाषा नहीं होती, केवल उनकी गणना करने की विधियाँ निर्धारित की जाती हैं।

प्राचीन काल में ही भूमि भूखंडों के आकार को निर्धारित करने में क्षेत्रों की गणना एक महत्वपूर्ण व्यावहारिक कार्य था। कई सौ वर्षों तक क्षेत्रफलों की गणना के नियम यूनानी वैज्ञानिकों द्वारा तैयार किए गए और यूक्लिड के तत्वों में प्रमेय के रूप में प्रस्तुत किए गए। दिलचस्प बात यह है कि इनमें साधारण आकृतियों का क्षेत्रफल निर्धारित करने के नियम वर्तमान जैसे ही हैं। वक्ररेखीय समोच्च वाले क्षेत्रों की गणना सीमा संक्रमण का उपयोग करके की गई थी।

सरल आयतों, वर्गों के क्षेत्रफलों की गणना करना, जो स्कूल के सभी लोगों से परिचित है, काफी सरल है। आकृतियों के क्षेत्रफलों के लिए अक्षर पदनाम वाले सूत्रों को याद रखना भी आवश्यक नहीं है। बस कुछ सरल नियम याद रखें:

2. किसी आयत के क्षेत्रफल की गणना उसकी लंबाई को उसकी चौड़ाई से गुणा करके की जाती है। इस मामले में, यह आवश्यक है कि लंबाई और चौड़ाई को माप की समान इकाइयों में व्यक्त किया जाए।

3. हम एक जटिल आकृति के क्षेत्रफल की गणना इसे कई सरल आकृतियों में विभाजित करके और परिणामी क्षेत्रों को जोड़कर करते हैं।

4. एक आयत का विकर्ण उसे दो त्रिभुजों में विभाजित करता है जिनका क्षेत्रफल बराबर और उसके क्षेत्रफल के आधे के बराबर होता है।

5. एक त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना उसकी ऊंचाई और आधार के आधे उत्पाद के रूप में की जाती है।

6. एक वृत्त का क्षेत्रफल त्रिज्या के वर्ग और सुप्रसिद्ध संख्या "π" के गुणनफल के बराबर होता है।

7. समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना आसन्न भुजाओं और उनके बीच स्थित कोण की ज्या के गुणनफल के रूप में की जाती है।

8. एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके विकर्णों को आंतरिक कोण की ज्या से गुणा करने के परिणाम का ½ है।

9. समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसकी ऊंचाई को मध्य रेखा की लंबाई से गुणा करके पाया जाता है, जो आधारों के अंकगणितीय माध्य के बराबर होता है। समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल निर्धारित करने का एक अन्य विकल्प इसके विकर्णों और उनके बीच स्थित कोण की ज्या को गुणा करना है।

स्पष्टता के लिए, प्राथमिक विद्यालय में बच्चों को अक्सर कार्य दिए जाते हैं: पैलेट या कोशिकाओं में विभाजित पारदर्शी कागज की एक शीट का उपयोग करके कागज पर खींची गई आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करना। कागज की ऐसी शीट को मापी गई आकृति पर लगाया जाता है, इसके समोच्च में फिट होने वाली पूर्ण कोशिकाओं (क्षेत्र इकाइयों) की संख्या की गणना की जाती है, फिर अपूर्ण कोशिकाओं की संख्या, जो आधे में विभाजित होती है।