График уравнения с модулем. График линейного уравнения с двумя переменными

Страница 2

Построить график уравнения х+у=3 и с помощью графика узнать несколько решений этого уравнения.

Далее внимание учащихся обращается на то, что график линейного уравнения с двумя переменными с двумя переменными проще строить, если уравнение преобразовано к виду y=kx+b, для которого употребляется термин «линейная функция». Позднее им сообщается, что существуют и другие функции, например у=х2 (ее изучению посвящена глава 7).

В учебнике вводятся теоремы без доказательства, например:

Теорема 2. Графиком линейной функции y=kx+b является прямая.

Теорема 4. Прямая, служащая графиком линейной функции y=kx+b, параллельна прямой, служащей графиком прямой пропорциональности y=kx.

С квадратичной функцией учащиеся в учебниках Ш.А. Алимова впервые сталкиваются в 8 классе.

В §35 учащиеся знакомятся с определением квадратичной функции. Даются примеры из жизни, где имеет место быть квадратичная функция. Например, зависимость площади квадрата от его стороны является примером функции y=x2.

В §36 предлагается рассмотреть функцию y=x2, т.е. квадратичную функцию y=ax2+bx+c при, а=1, b=0, с=0.

Для построения функции составляется таблица, а затем точки отмечаются на координатной плоскости и соединяются. График функции y=x2 называется параболой.

После чего выясняются некоторые свойства функции y=x2.

В §37 учащимся предлагается построить график функции y=ax2. Сравнивается графики функций y=ax2 и y=x2. Говорят, что график функции y=аx2 получается растяжением графика функции y=x2 от оси Ох вдоль оси Оу в а раз.

Рассматриваются свойства функции y=ax2, где а¹0

1) если а>0, то функция y=ax2 принимает положительные значения при х¹0;

если а<0, то функция y=ax2 принимает отрицательные значения при х¹0;

2) Парабола y=ax2 симметрична относительно оси ординат;

3) Если а>0, то функция y=ax2 возрастает при х³0 убывает и при х£0;

Если а<0, то функция y=ax2 убывает при х³0 и возрастает при х£0.

В §38 автор предлагает построить график квадратичной функции. Для этого предлагается использовать метод выделения полного квадрата (получили у=(х+т)2+п), а затем сравнить полученный график с графиком функции у=х2. Делается вывод что мы получаем параболу сдвинутую на т единиц по оси Ох и на п единиц по оси Оу.

В §39 приводится алгоритм построения графика любой квадратичной функции y=ax2+bx+c:

Построить вершину параболы (х0, у0), вычислив х0, у0 по формулам .

Провести через вершину параболы прямую параллельную оси ординат, - ось симметрии параболы.

Найти нули функции, если они есть, и построить на оси абсцисс соответствующие точки параболы.

Построить две какие-то точки параболы, симметричные относительно ее оси. Для этого надо взять две точки на оси, симметричные относительно точки х0 (х0 ¹ 0), и вычислить соответствующие значения функции (эти значения одинаковы). Например, можно построить точки параболы с абсциссами х=0 и х=2х0 (ординаты этих точек равны с)

Провести через построенные точки параболу.

При изучении темы формируются умения определять по графику промежутки возрастания функции, промежутки знакопостоянства, нули функции. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции и решение задач с их применением не входит в число обязательных.

В заключении, учащимся предоставляется возможность еще раз повторить решение систем двух уравнений, одно из которых первой, а другое второй степени.

В учебниках Ю.Н. Макарычева и др. с функцией y=x2 учащиеся впервые сталкиваются в 7 классе. Все сведения рассматриваются в этом параграфе аналогично учебнику Ш.А. Алимова за 8 класс.

Линейное уравнение с двумя переменными - любое уравнение, которое имеет следующий вид: a*x + b*y =с . Здесь x и y есть две переменные, a,b,c - некоторые числа.

Решением линейного уравнения a*x + b*y = с, называется любая пара чисел (x,y) которая удовлетворяет этому уравнению, то есть обращает уравнение с переменными x и y в верное числовое равенство. Линейное уравнение имеет бесконечное множество решений.

Если каждую пару чисел, которые являются решением линейного уравнения с двумя переменными, изобразить на координатной плоскости в виде точек, то все эти точки образуют график линейного уравнения с двумя переменными. Координатами точками будут служить наши значения x и у. При этом значение х будет являться абсциссой, а значение у - ординатой.

График линейного уравнения с двумя переменными

Графиком линейного уравнения с двумя переменными называется множество всевозможных точек координатной плоскости, координаты которых будут являться решениями этого линейного уравнения. Несложно догадаться, что график будет представлять собой прямую линию. Поэтому такие уравнения и называются линейными.

Алгоритм построения

Алгоритм построения графика линейного уравнения с двумя переменным.

1. Начертить координатные оси, подписать их и отметить единичный масштаб.

2. В линейном уравнении положить х = 0, и решить полученное уравнение относительно у. Отметить полученную точку на графике.

3. В линейном уравнении в качестве у взять число 0, и решить полученное уравнение относительно х. Отметить полученную точку на графике

4. При необходимости взять произвольное значение х, и решить полученное уравнение относительно у. Отметить полученную точку на графике.

5. Соединить полученные точки, продолжить график за них. Подписать получившуюся прямую.

Пример: Построить график уравнения 3*x - 2*y =6;

Положим х=0, тогда - 2*y =6; y= -3;

Положим y=0, тогда 3*x = 6; x=2;

Отмечаем полученные точки на графике, проводим через них прямую и подписываем её. Посмотрите на рисунок ниже, график должен получиться именно таким.

ЦЕЛЬ:1) Познакомить учащихся с понятием «уравнение с двумя переменными»;

2) Научить определять степень уравнения с двумя переменными;

3) Научить определять по заданной функции, какая фигура является графиком

данного уравнения;

4) Рассмотреть преобразования графиков с двумя переменными;

заданному уравнению с двумя переменными, используя программу Agrapher ;

6) Развивать логическое мышление учащихся.

I.Новый материал - объяснительная лекция с элементами беседы.

(лекцияпроводится с использованием авторских слайдов; построение графиков выполнено в программе Agrapher)

У: При изучении линий возникают две задачи:

По геометрическим свойствам данной линии найти её уравнение;

Обратная задача: по заданному уравнению линии исследовать её геометрические свойства.

Первую задачу мы рассматривали в курсе геометрии применительно к окружности и прямой.

Сегодня мы будем рассматривать обратную задачу.

Рассмотрим уравнения вида:

а) х(х-у)=4; б) 2у-х 2 =-2 ; в) х(х+у 2 ) = х +1 .

– это примеры уравнений с двумя переменными.

Уравнения с двумя переменными х и у имеет вид f(x,y)=(x,y) , где f и – выражения с переменными х и у.

Если в уравнении х(х-у)=4 подставить вместо переменной х её значение -1, а вместо у – значение 3, то получится верное равенство: 1*(-1-3)=4,

Пара (-1; 3) значений переменных х и у является решением уравнения х(х-у)=4 .

То есть решением уравнения с двумя переменными называют множество упорядоченных пар значений переменных, образующих это уравнение в верное равенство.

Уравнения с двумя переменными имеет, как правило, бесконечно много решений. Исключения составляют, например, такие уравнения, как х 2 +(у 2 - 4) 2 = 0 или

2х 2 + у 2 = 0 .

Первое из них имеет два решения (0; -2) и (0; 2), второе – одно решение (0;0).

Уравнение х 4 + у 4 +3 = 0 вообще не имеет решений. Представляет интерес, когда значениями переменных в уравнении служат целые числа. Решая такие уравнения с двумя переменными, находят пары целых чисел. В таких случаях говорят, что уравнения решено в целых числах.

Два уравнения, имеющие одно и тоже множество решений, называют равносильными уравнениями . Например, уравнение х(х + у 2) = х + 1 есть уравнение третьей степени, так как его можно преобразовать в уравнение ху 2 + х 2 - х-1 = 0, правая часть которого – многочлен стандартного вида третьей степени.

Степенью уравнения с двумя переменными, представленного в виде F(х, у) = 0, где F(х,у)-многочлен стандартного вида, называют степень многочлена F(х, у).

Если все решения уравнения с двумя переменными изобразить точками в координатной плоскости, то получится график уравнения с двумя переменными.

Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек, координаты которых служат решениями этого уравнения.

Так, график уравнения ax + by + c = 0 представляет собой прямую, если хотя бы один из коэффициентов a или b не равен нулю(рис.1) . Если a = b = c = 0 , то графиком этого уравнения является координатная плоскость(рис.2) , если же a = b = 0 , а c0 , то графиком является пустое множество(рис.3) .

График уравнения y = a х 2 + by + c представляет собой параболу(рис.4), график уравнения xy=k (k0) – гиперболу(рис.5) . Графиком уравнения х 2 + у 2 = r , где x и y – переменные, r – положительное число, является окружность с центром в начале координат и радиусом равнымr (рис.6). Графиком уравнения является эллипс , где a и b – большая и малая полуоси эллипса (рис.7).

Построение графиков некоторых уравнений облегчается использованием их преобразований. Рассмотрим преобразования графиков уравнений с двумя переменными и сформулируем правила, по которым выполняются простейшие преобразования графиков уравнений

1) График уравнения F (-x, y) = 0 получается из графика уравнения F (x, y) = 0 с помощью симметрии относительно оси у.

2) График уравнения F (x, -y) = 0 получается из графика уравнения F (x, y) = 0 с помощью симметрии относительно оси х .

3) График уравнения F (-x, -y) = 0 получается из графика уравнения F (x, y) = 0 с помощью центральной симметрии относительно начала координат.

4) График уравнения F (x-а, y) = 0 получается из графика уравнения F (x, y) = 0 с помощью перемещения параллельно оси х на |a| единиц (вправо, если a > 0, и влево, если а < 0).

5) График уравнения F (x, y-b) = 0 получается из графика уравнения F (x, y) = 0 с помощью перемещения на |b| единиц параллельно оси у (вверх, если b > 0, и вниз, если b < 0).

6) График уравнения F (аx, y) = 0 получается из графика уравнения F (x, y) = 0 с помощью сжатия к оси у и а раз, если а > 1, и с помощью растяжения от оси у в раз, если 0 < а < 1.

7) График уравнения F (x, by) = 0 получается из графика уравнения F (x, y) = 0 с помощью с помощью сжатия к оси х в b раз, если b > 1, и с помощью растяжения от оси x в раз, если 0 < b < 1.

Если график некоторого уравнения повернуть на некоторый угол около начала координат, то новый график будет графиком другого уравнения. Важными являются частные случаи поворота на углы 90 0 и 45 0 .

8) График уравнения F (x, y) = 0 в результате поворота около начала координат на угол 90 0 по часовой стрелке переходит в график уравнения F (-y, x) = 0, а против часовой стрелки – в график уравнения F (y, -x) = 0.

9) График уравнения F (x, y) = 0 в результате поворота около начала координат на угол 45 0 по часовой стрелке переходит в график уравнения F = 0, а против часовой стрелки – в график уравнения F = 0.

Из рассмотренных нами правил преобразования графиков уравнений с двумя переменными легко получаются правила преобразования графиков функций.

Пример 1. Покажем, что графиком уравнения х 2 + у 2 + 2х – 8у + 8 = 0 является окружность (рис.17).

Преобразуем уравнение следующим образом:

1) сгруппируем слагаемые, содержащие переменную х и содержащие переменную у , и представим каждую группу слагаемых в виде полного квадрата трехчлена: (х 2 + 2х + 1) + (у 2 -2*4*у + 16) + 8 – 1 – 16 = 0;

2) запишем в виде квадрата суммы (разности) двух выражений полученные трехчлены: (х + 1) 2 + (у – 4) 2 - 9 = 0;

3) проанализируем, согласно правилам преобразования графиков уравнений с двумя переменными, уравнение (х + 1) 2 + (у – 4) 2 = 3 2: графиком данного уравнения является окружность с центром в точке (-1; 4) и радиусом 3 единицы.

Пример 2. Построим график уравнения х 2 + 4у 2 = 9 .

Представим 4у 2 в виде (2у) 2 , получим уравнение х 2 + (2у) 2 = 9, график которого можно получить из окружности х 2 + у 2 = 9 сжатием к оси х в 2 раза.

Начертим окружность с центром в начале координат и радиусом 3 единицы.

Уменьшим в 2 раза расстояние каждой её точки от оси Х, получим график уравнения

х 2 + (2у) 2 = 9.

Мы получили фигуру с помощью сжатия окружности к одному из её диаметров(к диаметру, который лежит на на оси Х). Такую фигуру называют эллипсом (рис.18).

Пример 3. Выясним, что представляет собой график уравнения х 2 - у 2 = 8.

Воспользуемся формулой F= 0.

Подставим в данное уравнение вместо Х и вместо У, получим:

У: Что представляет собой график уравнения у = ?

Д: Графиком уравнения у = является гипербола.

У: Мы преобразовали уравнение вида х 2 - у 2 = 8 в уравнение у = .

Какая линия будет являться графиком данного уравнения?

Д: Значит, и графиком уравнения х 2 - у 2 = 8 является гипербола.

У: Какие прямые являются асимптотами гиперболы у = .

Д: Асимптотами гиперболы у = являются прямые у = 0 и х = 0.

У: При выполненном повороте эти прямые перейдут в прямые = 0 и =0, т.е в прямые у = х и у = - х. (рис.19).

Пример 4: Выясним, какой вид примет уравнение у = х 2 параболы при повороте около начала координат на угол 90 0 по часовой стрелке.

Используя формулу F (-у; х) = 0, заменим в уравнении у = х 2 переменную х на – у, а переменную у на х. Получим уравнение х = (-у) 2 , т. е. х = у 2 (рис.20).

Мы рассмотрели примеры графиков уравнений второй степени с двумя переменными и выяснили, что графиками таких уравнений могут быть парабола, гипербола, эллипс (в частности окружность). Кроме того, графиком уравнения второй степени может являться пара прямых (пересекающихся или параллельных).Это так называемый вырожденный случай. Так графиком уравнения х 2 - у 2 = 0 является пара пересекающихся прямых (рис.21а), а графиком уравнения х 2 - 5х + 6 + 0у = 0- параллельных прямых.

II Закрепление.

(учащимся выдаются «Карточки-инструкции» по выполнению построений графиков уравнений с двумя переменными в программе Agrapher (Приложение 2) и карточки «Практическое задание» (Приложение 3) с формулировкой заданий 1-8 Графики уравнений к заданиям 4-5 учитель демонстрирует на слайдах).

Задание1. Какие из пар (5;4), (1;0), (-5;-4) и (-1; -) являются решениями уравнения:

а) х 2 - у 2 = 0, б) х 3 - 1 = х 2 у + 6у?

Решение:

Подставив в заданное уравнение, поочерёдно координаты данных точек убеждаемся, что ни одна данная пара не является решением уравнения х 2 - у 2 = 0, а решениями уравнения х 3 - 1 = х 2 у + 6у являются пары (5;4), (1;0) и (-1; -).

125 - 1 = 100 + 24 (И)

1 - 1= 0 + 0 (И)

125 – 1 =-100 – 24 (Л)

1 – 1 = - - (И)

Ответ: а); б) (5;4), (1; 0), (-1; -).

Задание 2. Найдите такие решения уравнения ху 2 - х 2 у = 12, в которых значение х равно 3.

Решение: 1)Подставим вместо Х в заданное уравнение значение 3.

2)Получим квадратное уравнение относительно переменной У, имеющее вид:

3у 2 - 9у = 12.

4) Решим это уравнение:

3у 2 - 9у – 12 = 0

Д = 81 + 144 = 225

Ответ: пары (3;4) и (3;-1) являются решениями уравнения ху 2 - х 2 у = 12

Задание3. Определите степень уравнения:

а) 2у 2 - 3х 3 + 4х = 2; в) (3 х 2 + х)(4х - у 2) = х;

б) 5у 2 - 3у 2 х 2 + 2х 3 = 0; г) (2у - х 2) 2 = х(х 2 + 4ху + 1).

Ответ: а) 3; б) 5; в) 4; г) 4.

Задание4. Какая фигура является графиком уравнения:

а) 2х = 5 + 3у; б) 6 х 2 - 5х = у – 1; в) 2(х + 1) = х 2 - у;

г) (х - 1,5)(х – 4) = 0; д) ху – 1,2 = 0; е) х 2 + у 2 = 9.

Задание5. Напишите уравнение, график которого симметричен графику уравнения х 2 - ху + 3 = 0 (рис.24) относительно: а) оси х ; б) оси у ; в)прямой у = х; г) прямой у = -х.

Задание6. Составьте уравнение, график которого получается растяжением графика уравнения у= х 2 -3 (рис.25):

а) от оси х в 2 раза; б) от оси у в 3 раза.

Проверьте с помощью программы Agrapher правильность выполнения задания.

Ответ: а)у - х 2 + 3 = 0 (рис.25а); б) у-(x) 2 + 3 = 0 (рис.25б).

б) прямые параллельны, перемещение параллельно оси х на 1 единицу вправо и параллельно оси у на 3 единицы вниз (рис.26б);

в) прямые пересекаются, симметричное отображение относительно оси х (рис.26в);

г) прямые пересекаются, симметричное отображение относительно оси у (рис.26г);

д) прямые параллельны, симметричное отображение относительно начала координат (рис.26д);

е) прямые пересекаются, поворот около начала координат на 90по часовой стрелке и симметричное отображение относительно оси х (рис.26е).

III. Самостоятельная работа обучающего характера.

(учащимся выдаются карточки «Самостоятельная работа» и «Отчётная таблица результатов самостоятельной работы», в которую учащиеся записывают свои ответы и после самопроверки, по предложенной схеме оценивают работу) Приложение 4 ..

I.вариант.

а) 5х 3 -3х 2 у 2 + 8 = 0; б) (х + у + 1) 2 -(х-у) 2 = 2(х+у).

а) х 3 + у 3 -5х 2 = 0; б) х 4 +4х 3 у +6х 2 у 2 + 4ху 3 + у 4 = 1.

х 4 + у 4 -8х 2 + 16 = 0.

а) (х + 1) 2 + (у-1) 2 = 4;

б) х 2 -у 2 = 1;

в) х - у 2 = 9.

х 2 - 2х + у 2 - 4у = 20.

Укажите координаты центра окружности и её радиус.

6. Как следует на координатной плоскости переместить гиперболу у = , чтобы её уравнение приняло вид х 2 - у 2 = 16 ?

Проверьте свой ответ, выполнив графическое построение, используя программу Agrapher.

7.Как следует на координатной плоскости переместить параболу у = х 2 , чтобы её уравнение приняло вид х = у 2 - 1

II вариант.

1.Определите степень уравнения:

а)3ху = (у-х 3)(х 2 +у); б) 2у 3 +5х 2 у 2 - 7 = 0.

2. Является ли пара чисел (-2;3) решением уравнения:

а) х 2 -у 2 -3х = 1; б) 8х 3 + 12х 2 у + 6ху 2 +у 3 =-1.

3. Найдите множество решений уравнения:

х 2 + у 2 -2х – 8у + 17 = 0.

4. Какой кривой (гиперболой, окружностью, параболой) является множество точек, если уравнение этой кривой имеет вид:

а) (х-2) 2 + (у + 2) 2 =9

б) у 2 - х 2 =1

в) х = у 2 - 1.

(проверьте с помощью программы Agrapher правильность выполнения задания)

5. Постройте, используя программуAgrapher, график уравнения:

х 2 + у 2 - 6х + 10у = 2.

6.Как следует на координатной плоскости переместить гиперболу у = , чтобы её уравнение приняло вид х 2 - у 2 = 28 ?

7.Как следует на координатной плоскости переместить параболу у = х 2 , чтобы её уравнение приняло вид х = у 2 + 9.

Нарисуйте числовую линию. Поскольку для изображения неравенства с одной переменной достаточно одной оси, нет необходимости рисовать прямоугольную систему координат. Вместо этого просто проведите прямую линию.

Изобразите неравенство. Это довольно просто, так как имеется всего лишь одна координата. Предположим, необходимо изобразить неравенство x <1. Для начала следует найти на оси число 1.

Если неравенство задается знаком > или < (“больше” или “меньше”), обведите заданное число пустым кружком.
Если неравенство задается знаком ≥ {\displaystyle \geq } (“больше или равно”) или ≤ {\displaystyle \leq } (“меньше или равно”), закрасьте кружок вокруг точки.

Проведите линию. Проведите линию из только что отмеченной точки на числовой оси. Если переменная больше данного числа, отложите линию вправо. Если переменная меньше, проведите линию влево. На конце линии поставьте стрелку, чтобы показать, что она не является конечным отрезком и продолжается дальше.

Проверьте ответ. Подставьте вместо переменной x какое-либо число и отметьте его положение на числовой оси. Если это число лежит на проведенной вами линии, график верен.

График линейного неравенства

Используйте формулу прямой линии. Подобная формула использовалась выше для обычных линейных уравнений, однако в данном случае вместо знака ‘=’ следует поставить знак неравенства. Это может быть один из следующих знаков: <, >, ≤ {\displaystyle \leq } или ≥ {\displaystyle \geq } .

Уравнение прямой линии имеет вид y=mx+b , где m соответствует наклону, а b - пересечению с осью y.
Знак неравенства означает, что данное выражение имеет множество решений.

Изобразите неравенство. Найдите точку пересечения прямой с осью y и ее наклон, после чего отметьте соответствующие координаты. В качестве примера рассмотрим неравенство y >1/2x +1. В этом случае прямая будет пересекать ось y при x =1, а ее наклон составит ½, то есть при движении вправо на 2 единицы мы будем подниматься вверх на 1 единицу.

Проведите линию. Перед этим посмотрите на знак неравенства. Если это < или >, следует провести пунктирную линию. Если в неравенстве стоит знак ≤ {\displaystyle \leq } или ≥ {\displaystyle \geq } , линия должна быть сплошной.

Заштрихуйте график. Так как неравенство имеет множество решений, на графике следует показать все возможные решения. Это означает, что следует заштриховать область над линией или под ней.

График квадратного уравнения

Посмотрите на формулу. В квадратном уравнении хотя бы одна переменная возводится в квадрат. Обычно квадратное уравнение записывается в следующем виде: y=ax 2 +bx+c .

При построении графика квадратного уравнения у вас получится парабола, то есть кривая в виде латинской буквы ‘U’.
Для построения параболы необходимо знать координаты хотя бы трех точек, в том числе вершины параболы (ее центральной точки).

Определите a, b и c. Например, в уравнении y=x 2 +2x+1 a =1, b =2 и c =1. Каждый параметр представляет собой число, которое стоит перед переменной в соответствующей степени. Например, если перед x не стоит никакого числа, значит b =1, поскольку соответствующее слагаемое можно записать в виде 1x .

Найдите вершину параболы. Чтобы найти среднюю точку параболы, используйте выражение -b /2a . Для нашего примера получаем -2/2(1), то есть -1.

Составьте таблицу. Итак, мы знаем, что координата x вершины равна -1. Однако это лишь одна координата. Чтобы найти соответствующую ей координату y , а также две другие точки параболы, необходимо составить таблицу.

Постройте таблицу из трех строк и двух столбцов.
- Запишите координату x вершины параболы в центральной ячейке левого столбца.
- Выберите еще две координаты x на одинаковом расстоянии слева и справа (в отрицательную и положительную стороны вдоль горизонтальной оси). Например, можно отступить от вершины на 2 единицы влево и вправо, то есть записать в соответствующих ячейках -3 и 1.
- Можно выбрать любые целые числа, которые отстоят от вершины на равном расстоянии.
- Если вы хотите построить более точный график, вместо трех можно взять пять точек. В этом случае следует делать то же самое, только таблица будет состоять не из трех, а из пяти строк.
Используйте уравнение и таблицу, чтобы найти неизвестные координаты y . Берите по одной координате x из таблицы, подставляйте ее в заданное уравнение и находите соответствующую координату y.
- В нашем случае мы подставляем в уравнение y =x 2 +2x +1 вместо x -3. В результате находим y = -3 2 +2(-3)+1, то есть y =4.
- Записываем найденную координату y в ячейке возле соответствующей ей координаты x.
- Найдите таким образом все три (или пять, если вы используете больше точек) координаты y .
Нанесите на график точки. Итак, у вас получилось по крайней мере три точки с известными координатами, которые можно отметить на графике. Соедините их кривой в форме параболы. Готово!

График квадратного неравенства

Постройте график параболы. В квадратном неравенстве используется формула, аналогичная квадратному уравнению, однако вместо знака ‘=’ стоит знак неравенства. Например, квадратное неравенство может выглядеть следующим образом: y x 2 +bx +c. Используйте шаги из предыдущего метода “График квадратного уравнения” и найдите три точки параболы.