Video lekcija "Krug. Konstrukcije sa šestarom i ravnalom

Krug je zatvorena kriva linija, čija se svaka tačka nalazi na istoj udaljenosti od jedne tačke O, koja se naziva središte.

Zovu se prave linije koje spajaju bilo koju tačku na kružnici sa njenim središtem radijusi R.

Zove se prava AB koja spaja dvije tačke kruga i prolazi kroz njegovo središte O prečnika D.

Dijelovi krugova se nazivaju lukovi.

Zove se prava CD koja spaja dvije tačke na kružnici akord.

Zove se prava MN koja ima samo jednu zajedničku tačku sa kružnicom tangenta.

Zove se dio kružnice omeđen tetivom CD i lukom segment.

Zove se dio kružnice ograničen s dva polumjera i lukom sektoru.

Zovu se dvije međusobno okomite horizontalne i okomite linije koje se sijeku u središtu kružnice kružne osi.

Ugao koji čine dva poluprečnika KOA naziva se centralni ugao.

Dva međusobno okomit polumjer napraviti ugao od 90 0 i ograničiti 1/4 kruga.

Crtamo krug s horizontalnim i okomitim osama koje ga dijele na 4 jednaka dijela. Nacrtane šestarom ili kvadratom na 45 0, dvije međusobno okomite linije dijele krug na 8 jednakih dijelova.

Podjela kruga na 3 i 6 jednakih dijelova (množenja 3 po tri)

Da bismo krug podijelili na 3, 6 i više njih, nacrtamo krug zadanog polumjera i odgovarajuće ose. Podjela se može započeti od točke presjeka horizontalne ili vertikalne ose sa kružnicom. Navedeni radijus kruga se uzastopno odgađa 6 puta. Tada se dobijene tačke na kružnici sukcesivno povezuju pravim linijama i formiraju pravilan upisani šestougao. Spajanjem tačaka kroz jednu daje se jednakostranični trougao, a dijeljenje kružnice na tri jednaka dijela.

Konstrukcija pravilnog pentagona izvodi se na sljedeći način. Crtamo dvije međusobno okomite ose kružnice jednake promjeru kružnice. Podijelite desnu polovicu horizontalnog promjera na pola pomoću luka R1. Iz dobijene tačke "a" u sredini ovog segmenta poluprečnika R2 povlačimo luk kruga sve dok se ne siječe sa horizontalnim prečnikom u tački "b". Radijus R3 iz tačke "1" nacrtajte luk kružnice do raskrsnice sa datom kružnicom (tačka 5) i dobijete stranu pravilnog petougla. Udaljenost "b-O" daje stranu pravilnog desetougla.

Podjela kruga na N-ti broj identičnih dijelova (izgradnja pravilnog poligona sa N strana)

Izvodi se na sljedeći način. Crtamo horizontalne i vertikalne međusobno okomite ose kružnice. Od gornje tačke "1" kruga povlačimo pravu liniju pod proizvoljnim uglom u odnosu na vertikalnu os. Na njemu odvajamo jednake segmente proizvoljne dužine, čiji je broj jednak broju dijelova na koje dijelimo dati krug, na primjer 9. Kraj posljednjeg segmenta povezujemo sa donjom tačkom vertikalnog prečnika . Od krajeva segmenata do raskrsnice sa vertikalnim prečnikom povlačimo linije paralelne sa dobijenom i tako delimo vertikalni prečnik date kružnice na zadati broj delova. S polumjerom jednakim promjeru kruga, od donje tačke vertikalne ose povlačimo luk MN dok se ne siječe s nastavkom horizontalne ose kružnice. Iz tačaka M i N povlačimo zrake kroz parne (ili neparne) podjele vertikalnog prečnika dok se ne sijeku sa kružnicom. Rezultirajući segmenti kruga će biti željeni, jer tačke 1, 2, …. 9 podijelite krug na 9 (N) jednakih dijelova.

Zove se rečenica koja objašnjava značenje određenog izraza ili imena definicija. Već smo se susreli sa definicijama, na primjer, sa definicijom ugla, susjednih uglova, jednakokračnog trokuta, itd. Hajde da damo definiciju druge geometrijske figure - kruga.

Definicija

Ova tačka se zove centar kruga, a segment koji povezuje centar s bilo kojom točkom kružnice je radijus kruga(Sl. 77). Iz definicije kružnice proizilazi da svi polumjeri imaju istu dužinu.

Rice. 77

Odsječak koji spaja dvije tačke na kružnici naziva se njegova tetiva. Tetiva koja prolazi kroz centar kruga naziva se njena prečnika.

Na slici 78, segmenti AB i EF su tetive kružnice, segment CD je prečnik kružnice. Očigledno, prečnik kruga je dvostruko veći od njegovog radijusa. Središte kružnice je središte bilo kojeg prečnika.

Rice. 78

Bilo koje dvije tačke na kružnici dijele ga na dva dijela. Svaki od ovih dijelova naziva se luk kružnice. Na slici 79, ALB i AMB su lukovi omeđeni tačkama A i B.

Rice. 79

Da biste prikazali krug na crtežu, koristite kompas(Sl. 80).

Rice. 80

Za crtanje kruga na tlu možete koristiti uže (Sl. 81).

Rice. 81

Dio ravni omeđen kružnicom naziva se kružnica (slika 82).

Rice. 82

Konstrukcije sa šestarom i ravnalom

Već smo se bavili geometrijskim konstrukcijama: crtali smo prave linije, odvajali segmente jednake datim, crtali uglove, trouglove i druge figure. Istovremeno smo koristili ravnalo, šestar, kutomjer, kvadrat za crtanje.

Ispostavilo se da se mnoge konstrukcije mogu napraviti koristeći samo šestar i ravnalo bez podjela mjerila. Stoga se u geometriji posebno izdvajaju oni zadaci konstrukcije koji se rješavaju samo pomoću ova dva alata.

Šta se može učiniti s njima? Jasno je da lenjir omogućava crtanje proizvoljne prave, kao i konstruisanje prave koja prolazi kroz dve date tačke. Koristeći šestar, možete nacrtati krug proizvoljnog radijusa, kao i krug sa centrom u datoj tački i radijusom jednakim datom segmentu. Izvođenjem ovih jednostavnih operacija možemo riješiti mnoge zanimljive građevinske probleme:

konstruisati ugao jednak datom;
kroz datu tačku povući pravu okomitu na datu pravu;
podijelite ovaj segment na pola i druge zadatke.

Počnimo s jednostavnim zadatkom.

Zadatak

Na datom zraku od njegovog početka odvojite segment jednak datom.

Rješenje

Oslikajmo figure date u uslovu zadatka: zrak OS i segment AB (slika 83, a). Zatim šestarom konstruišemo krug poluprečnika AB sa centrom O (Sl. 83, b). Ovaj krug će presjeći zrak OS u nekoj tački D. Segment OD je traženi.

Rice. 83

Primjeri građevinskih zadataka

Konstruisanje ugla jednakog datom

Zadatak

Od date zrake odvojite ugao jednak datom.

Rješenje

Ovaj ugao sa vrhom A i zrakom OM prikazani su na slici 84. Potrebno je konstruisati ugao jednak uglu A, tako da mu se jedna strana poklapa sa zrakom OM.

Rice. 84

Nacrtajmo kružnicu proizvoljnog radijusa sa centrom u vrhu A datog ugla. Ova kružnica seče stranice ugla u tačkama B i C (slika 85, a). Zatim nacrtamo krug istog polumjera sa centrom na početku date zrake OM. Presijeca gredu u tački D (Sl. 85, b). Nakon toga konstruiramo kružnicu sa centrom D, čiji je polumjer jednak BC. Krugovi sa centrima O i D seku se u dve tačke. Označimo jednu od ovih tačaka slovom E. Dokažimo da je ugao MOE traženi.

Rice. 85

Razmotrimo trouglove ABC i ODE. Segmenti AB i AC su poluprečnici kruga sa centrom A, a segmenti OD i OE su poluprečnici kružnice sa centrom O (vidi sliku 85, b). Pošto po konstrukciji ove kružnice imaju jednake polumjere, onda je AB = OD, AC = OE. Također, po konstrukciji, BC = DE.

Dakle, Δ ABC = Δ ODE sa tri strane. Dakle, ∠DOE = ∠BAC, tj. konstruisani ugao MOE jednak je datom uglu A.

Ista konstrukcija se može izvesti i na tlu, ako umjesto kompasa koristimo uže.

Konstrukcija simetrale ugla

Zadatak

Konstruisati simetralu datog ugla.

Rješenje

Ovaj ugao BAC prikazan je na slici 86. Nacrtajmo kružnicu proizvoljnog poluprečnika sa centrom u vrhu A. On će preseći stranice ugla u tačkama B i C.

Rice. 86

Zatim nacrtamo dva kruga istog polumjera BC sa centrima u tačkama B i C (na slici su prikazani samo dijelovi ovih kružnica). Seku se u dve tačke, od kojih se najmanje jedna nalazi unutar ugla. Označavamo ga slovom E. Dokažimo da je zraka AE simetrala datog ugla BAC.

Razmotrimo trouglove ACE i ABE. Oni su jednaki sa tri strane. Zaista, AE je zajednička strana; AC i AB su jednaki kao poluprečnici iste kružnice; CE = BE po konstrukciji.

Iz jednakosti trouglova ACE i ABE slijedi da je ∠CAE = ∠BAE, tj. zraka AE je simetrala datog ugla BAC.

Komentar

Može li se dati ugao podijeliti na dva jednaka ugla koristeći šestar i ravnalu? Jasno je da je to moguće - za to morate nacrtati simetralu ovog ugla.

Ovaj ugao se takođe može podeliti na četiri jednaka ugla. Da biste to učinili, morate ga podijeliti na pola, a zatim svaku polovinu ponovo podijeliti na pola.

Da li je moguće podijeliti dati ugao na tri jednaka ugla koristeći šestar i ravnalu? Ovaj zadatak, tzv problemi sa trisekcijom ugla, vekovima je privlačio pažnju matematičara. Tek u 19. veku je dokazano da je takva konstrukcija nemoguća za proizvoljan ugao.

Konstrukcija okomitih linija

Zadatak

Zadana prava i tačka na njoj. Konstruisati pravu koja prolazi kroz datu tačku i okomita na datu pravu.

Rješenje

Zadata prava a i data tačka M koja pripada ovoj pravoj prikazani su na slici 87.

Rice. 87

Na zrakama prave a, koja izlazi iz tačke M, odvajamo jednake segmente MA i MB. Zatim konstruišemo dva kruga sa centrima A i B poluprečnika AB. Seku se u dve tačke: P i Q.

Povučemo pravu kroz tačku M i jednu od ovih tačaka, na primer pravu MP (vidi sliku 87), i dokažimo da je ta prava željena, odnosno da je okomita na datu pravu a .

Zaista, pošto je medijan PM jednakokračnog trougla PAB ujedno i visina, onda je PM ⊥ a.

Konstrukcija sredine segmenta

Zadatak

Konstruirajte sredinu ovog segmenta.

Rješenje

Neka je AB dati segment. Konstruišemo dva kruga sa centrima A i B poluprečnika AB. Seku se u tačkama P i Q. Nacrtajte pravu PQ. Tačka O preseka ove prave sa segmentom AB je željena sredina segmenta AB.

Zaista, trouglovi APQ i BPQ su jednaki po tri strane, pa je ∠1 = ∠2 (slika 89).

Rice. 89

Prema tome, odsječak RO je simetrala jednakokračnog trougla ARV, pa je medijana, odnosno tačka O središte segmenta AB.

Zadaci

143. Koji od segmenata prikazanih na slici 90 su: a) tetive kružnice; b) prečnike kruga; c) poluprečnika kružnice?

Rice. 90

144. Segmenti AB i CD su prečnici kružnice. Dokazati da su: a) tetivi BD i AC jednaki; b) akordi AD i BC su jednaki; c) ∠BAD = ∠BCD.

145. Odsječak MK je prečnik kružnice sa centrom O, a MR i RK su jednake tetive ove kružnice. Pronađite ∠POM.

146. Segmenti AB i CD su prečnici kruga sa centrom O. Nađi obim trougla AOD, ako je poznato da je CB = 13 cm, AB = 16 cm.

147. Tačke A i B označene su na kružnici sa centrom O tako da je ugao AOB pravi. Segment BC je prečnik kružnice. Dokazati da su tetivi AB i AC jednaki.

148. Dvije tačke A i B date su na pravoj liniji. Na nastavku grede BA odvojite segment BC tako da BC = 2AB.

149. Date su prava a, tačka B koja ne leži na njoj i odsječak PQ. Konstruisati tačku M na pravoj a tako da je BM = PQ. Da li problem uvijek ima rješenje?

150. Dat je krug, tačka A koja ne leži na njoj i segment PQ. Konstruirajte tačku M na kružnici tako da je AM = PQ. Da li problem uvijek ima rješenje?

151. Dati su oštar ugao BAC i zraka XY. Konstruisati ugao YXZ tako da je ∠YXZ = 2∠BAC.

152. Dat je tupi ugao AOB. Konstruirajte zraku OX tako da uglovi XOA i XOB budu jednaki tupi uglovi.

153. Date su prava a i tačka M koja ne leži na njoj. Konstruisati pravu koja prolazi kroz tačku M i okomita na pravu a.

Rješenje

Konstruirajmo kružnicu sa centrom u datoj tački M, koja siječe datu pravu liniju a u dvije tačke, koje označavamo slovima A i B (slika 91). Zatim konstruiramo dva kruga sa centrima A i B koji prolaze kroz tačku M. Ove kružnice se sijeku u tački M i u još jednoj tački, koju označavamo slovom N. Povučemo pravu MN i dokažemo da je ta prava željena jedan, tj. okomita je na pravu a.

Rice. 91

Zaista, trouglovi AMN i BMN su jednaki po tri strane, pa je ∠1 = ∠2. Slijedi da je segment MC (C je tačka preseka pravih a i MN) simetrala jednakokračnog trougla AMB, a samim tim i visina. Dakle, MN ⊥ AB, tj. MN ⊥ a.

154. Dat je trougao ABC. Konstruisati: a) simetralu AK; b) VM medijan; c) visina CH trougla. 155. Koristeći šestar i lenjir konstruišite ugao jednak: a) 45°; b) 22°30".

Odgovori na zadatke

152. Uputstvo. Prvo konstruirajte simetralu ugla AOB.

§ 1 Krug. Osnovni koncepti

U matematici postoje rečenice koje objašnjavaju značenje određenog imena ili izraza. Takve rečenice se nazivaju definicijama.

Hajde da definišemo pojam kruga. Krug je geometrijska figura koja se sastoji od svih tačaka ravni koja se nalazi na datoj udaljenosti od date tačke.

Ova tačka, nazovimo je tačka O, naziva se središtem kružnice.

Segment koji povezuje centar sa bilo kojom tačkom kružnice naziva se poluprečnik kružnice. Postoji mnogo takvih segmenata, na primjer, OA, OB, OS. Svi će imati istu dužinu.

Odsječak koji spaja dvije tačke na kružnici naziva se tetiva. MN je tetiva kružnice.

Tetiva koja prolazi kroz centar kruga naziva se prečnik. AB je prečnik kruga. Prečnik se sastoji od dva poluprečnika, što znači da je dužina prečnika dvostruko veća od radijusa. Središte kružnice je središte bilo kojeg prečnika.

Bilo koje dvije tačke na kružnici dijele ga na dva dijela. Ovi dijelovi se nazivaju lukovi kružnice.

ANB i AMB su kružni lukovi.

Dio ravnine koji je omeđen kružnicom naziva se kružnica.

Kompas se koristi za prikaz kruga na crtežu. Krug se može nacrtati i na tlu. Da biste to učinili, samo koristite uže. Pričvrstite jedan kraj užeta na klin zabijen u zemlju, a drugim krajem opišite krug.

§ 2 Konstrukcije sa šestarom i lenjirom

U geometriji se mnoge konstrukcije mogu izvesti samo pomoću šestara i ravnala bez podjela na skali.

Koristeći samo ravnalo, možete nacrtati proizvoljnu liniju, kao i proizvoljnu pravu koja prolazi kroz datu tačku, ili pravu koja prolazi kroz dvije date tačke.

Kompas vam omogućava da nacrtate krug proizvoljnog poluprečnika, takođe krug sa centrom u datoj tački i poluprečnikom jednakim datom segmentu.

Zasebno, svaki od ovih alata omogućava izradu najjednostavnijih konstrukcija, ali uz pomoć ova dva alata već možete izvoditi složenije operacije, na primjer,

rješavaju građevinske probleme kao npr

Konstruisati ugao jednak datom,

Konstruisati trougao sa datim stranicama,

Podijelite segment na pola

Kroz datu tačku povucite pravu okomitu na datu pravu, i tako dalje.

Hajde da razmotrimo problem.

Zadatak: Na datoj zraci od njenog početka izdvojiti segment jednak datom.

Dati zrak OS i segment AB. Potrebno je konstruisati segment OD, jednak segmentu AB.

Koristeći šestar, konstruišemo krug poluprečnika jednak dužini segmenta AB, sa centrom u tački O. Ova kružnica će preseći datu zraku OS u nekoj tački D. Segment OD je željeni segment.

Spisak korišćene literature:

1. Geometrija. 7-9 razredi: udžbenik. za opšte obrazovanje organizacije / L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomcev i drugi - M.: Obrazovanje, 2013. - 383 str.: ilustr.
2. Gavrilova N.F. Pourochnye razvoj u geometriji 7 razred. - M.: "WAKO", 2004. - 288s. - (Za pomoć učitelju).
3. Belitskaya O.V. Geometrija. 7. razred. Dio 1. Testovi. - Saratov: Licej, 2014. - 64 str.

U proizvodnji ili obradi drvenih dijelova u nekim slučajevima je potrebno odrediti gdje se nalazi njihov geometrijski centar. Ako dio ima kvadratni ili pravokutni oblik, onda to nije teško učiniti. Dovoljno je spojiti suprotne uglove dijagonalama, koje se istovremeno sijeku tačno u sredini naše figure.
Za proizvode koji imaju oblik kruga, ovo rješenje neće raditi, jer nemaju uglove, a samim tim i dijagonale. U ovom slučaju je potreban neki drugi pristup zasnovan na drugim principima.

I postoje, i to u mnogo varijanti. Neki od njih su prilično složeni i zahtijevaju nekoliko alata, drugi su jednostavni za implementaciju i ne zahtijevaju cijeli skup uređaja za njihovu implementaciju.
Sada ćemo pogledati jedan od najjednostavnijih načina za pronalaženje centra kruga pomoću običnog ravnala i olovke.

Redoslijed pronalaženja centra kruga: