Tema časa: „Međusobni raspored dva kruga. Uzajamni raspored dva kruga u ravni Međusobni raspored dva kruga

Neka su kružnice zadane vektorom od početka do centra i radijusom ove kružnice.

Razmotrimo kružnice A i B sa radijusima Ra i Rb i radijus vektorima (vektor prema centru) a i b. Štaviše, Oa i Ob su njihovi centri. Bez gubitka opštosti, pretpostavićemo da je Ra > Rb.

Tada su ispunjeni sljedeći uslovi:

Tačke preseka dva kruga

Pretpostavimo da se A i B seku u dve tačke. Hajde da pronađemo ove tačke preseka.

Da biste to učinili, vektor iz a u tačku P, koja leži na kružnici A i leži na OaOb. Da biste to učinili, trebate uzeti vektor b - a, koji će biti vektor između dva centra, normalizirati (zamijeniti kosmjernim jediničnim vektorom) i pomnožiti sa Ra. Rezultirajući vektor će biti označen kao p. Ovu konfiguraciju možete vidjeti na sl. 6

Rice. 6. Vektori a,b,p i gdje žive.

Označimo i1 i i2 kao vektore od a do tačaka preseka I1 i I2 dve kružnice. Postaje očigledno da se i1 i i2 dobijaju rotacijom od p. Jer znamo sve stranice trouglova OaI1Ob i OaI2Ob (radijus i rastojanje između centara), možemo dobiti ovaj ugao fi, okretanjem vektora p u jednom pravcu daće se I1, au drugom I2.

Prema zakonu kosinusa, jednako je:

Ako rotirate p za fi, onda ćete dobiti i1 ili i2, ovisno o tome na koji način se okretati. Zatim se vektor i1 ili i2 mora dodati u a da bi se dobila tačka presjeka

Ova metoda će raditi čak i ako središte jednog kruga leži unutar drugog. Ali tamo, upravo, vektor p će morati biti postavljen u smjeru od a do b, što smo i uradili. Ako izgradite p na osnovu drugog kruga, onda od toga neće biti ništa

Pa, u zaključku, jedna činjenica mora biti spomenuta za sve: ako se krugovi dodiruju, onda je lako osigurati da je P tačka kontakta (to vrijedi i za unutrašnji i vanjski dodir).
Ovdje možete vidjeti vizualizaciju (kliknite za pokretanje).

Ova metoda radi, ali umjesto ugla rotacije, možete izračunati njegov kosinus, a kroz njega i sinus, a zatim ih koristiti prilikom rotacije vektora. Ovo će uvelike pojednostaviti proračune, čuvajući kod od trigonometrijskih funkcija.

Klasa 7G, Z

Tema lekcije: "Relativni položaj dva kruga"
Svrha: upoznati moguće slučajeve međusobnog rasporeda dva kruga; primijeniti znanje za rješavanje problema.

Ciljevi: Obrazovni: pomoći učenicima da kreiraju i konsoliduju vizuelni prikaz mogućih slučajeva lokacije dva kruga, učenici će moći:

Uspostaviti vezu između međusobnog rasporeda kružnica, njihovih polumjera i udaljenosti između njihovih centara;

Analizirajte geometrijski dizajn i mentalno ga modificirajte,

Razvijajte planimetrijsku maštu.

Studenti će moći primijeniti teorijska znanja u rješavanju problema.

Vrsta časa: čas uvođenja i učvršćivanja novih znanja o gradivu.

Oprema: prezentacija za čas; šestar, ravnalo, olovka i udžbenik za svakog učenika.

Tutorial: . „Geometrija 7. razred“, Almati „Atamura“ 2012

Tokom nastave.

Organiziranje vremena. Provjera domaćeg.

3. Aktuelizacija osnovnih znanja.

Ponovite definicije kruga, kruga, poluprečnika, prečnika, tetive, udaljenosti od tačke do prave.

1) 1) Koje slučajeve položaja prave i kružnice poznajete?

2) Koja prava se zove tangenta?

3) Koja linija se zove sekansa?

4) Teorema o prečniku okomitom na tetivu?

5) Kako prolazi tangenta u odnosu na poluprečnik kružnice?

6) Popunite tabelu (na karticama).

Učenici pod vodstvom nastavnika rješavaju i analiziraju probleme.

1) Prava a je tangenta na kružnicu sa centrom O. Tačka A je data na pravoj a. Ugao između tangente i segmenta OA je 300. Nađite dužinu segmenta OA ako je poluprečnik 2,5 m.

2) Odredite relativni položaj prave i kružnice ako:

1. R=16cm, d=12cm 2. R=5cm, d=4.2cm 3. R=7.2cm, d=3.7cm 4. R=8cm, d=1.2cm 5. R=5 cm, d=50mm

a) prava i kružnica nemaju zajedničke tačke;

b) prava je tangenta na kružnicu;

c) prava seče kružnicu.

d je udaljenost od centra kružnice do prave linije, R je polumjer kružnice.

3) Šta se može reći o relativnom položaju prave i kružnice, ako je prečnik kruga 10,3 cm, a rastojanje od centra kružnice do prave 4,15 cm; 2 dm; 103 mm; 5,15 cm, 1 dm 3 cm.

4) Dat je krug sa centrom O i tačkom A. Gdje je tačka A ako je poluprečnik kružnice 7 cm, a dužina segmenta OA: a) 4 cm; b) 10 cm; c) 70 mm.

4. Zajedno sa učenicima saznati temu časa, formulisati ciljeve časa.

5. Uvođenje novog materijala.

Praktični rad u grupama.

Konstruišite 3 kruga. Za svaki krug napravite još jedan krug, tako da se 1) 2 kruga ne seku, 2) 2 kruga se dodiruju, 3) da se dva kruga seku. Pronađite polumjer svakog kruga i udaljenost između centara krugova, uporedite rezultate. Šta može biti zaključak?
2) Sažmite i zapišite u svesku slučajeve međusobnog rasporeda dva kruga.

Međusobni raspored dva kruga na ravni.

Krugovi nemaju zajedničke tačke (ne seku se). (R1 i R2 su radijusi kruga)

Ako je R1 + R2< d,

d - Udaljenost između centara krugova.

c) Krugovi imaju dvije zajedničke tačke. (presjecati).

Ako je R1 + R2 > d,

Pitanje. Mogu li dva kruga imati tri zajedničke tačke?

6. Konsolidacija proučenog gradiva.

Pronađite grešku u podacima ili izjavi i ispravite je navodeći razloge za svoje mišljenje:
a) Dva kruga se dodiruju. Njihovi polumjeri su R = 8 cm i r = 2 cm, udaljenost između centara je d = 6.
B) Dva kruga imaju najmanje dvije zajedničke tačke.
C) R = 4, r = 3, d = 5. Krugovi nemaju zajedničkih tačaka.
D) R \u003d 8, r \u003d 6, d \u003d 4. Manji krug se nalazi unutar većeg.
E) Dva kruga se ne mogu locirati tako da je jedan unutar drugog.

7. Rezultati lekcije. Šta ste naučili na lekciji? Koje je pravilo uspostavljeno?

Kako se mogu locirati dva kruga? Kada krugovi imaju jednu zajedničku tačku? Kako se zove zajednička tačka dva kruga? Koje dodire poznajete? Kada se krugovi seku? Koji se krugovi nazivaju koncentričnimi?

Tema lekcije: " Međusobni raspored dva kruga na ravni.

Target :

obrazovni - savladavanje novih znanja o relativnom položaju dva kruga, priprema za test

Obrazovni - razvoj računalnih sposobnosti, razvoj logičkog i strukturalnog mišljenja; formiranje vještina za pronalaženje racionalnih rješenja i postizanje konačnih rezultata; razvoj kognitivne aktivnosti i kreativnog mišljenja.

Obrazovni – formiranje odgovornosti, dosljednosti učenika; razvoj kognitivnih i estetskih kvaliteta; formiranje informatičke kulture učenika.

Popravni - razvijati prostorno razmišljanje, pamćenje, motoriku ruku.

Vrsta lekcije: proučavanje novog nastavnog materijala, konsolidacija.

Vrsta lekcije: mješovita lekcija.

Metoda nastave: verbalno, vizuelno, praktično.

Forma studija: kolektivno.

Sredstva obrazovanja: board

TOKOM NASTAVE:

1. Organizaciona faza

- pozdravi;

- provjera spremnosti za nastavu;

2. Ažuriranje osnovnih znanja.
Koje smo teme obrađivali u prethodnim lekcijama?

Opšti pogled na jednadžbu kružnice?

Izvršite usmeno:

Blitz anketa

3. Uvođenje novog materijala.

Šta mislite i koju cifru ćemo danas razmotriti.... Šta ako su dva?

Kako se mogu locirati???

Djeca pokazuju rukama (komšijama) kako se mogu locirati krugovi ( fizičko vaspitanje)

Pa, šta mislite da bismo danas trebali razmotriti??Danas treba razmotriti relativni položaj dva kruga. I saznajte kolika je udaljenost između centara ovisno o lokaciji.

Tema lekcije:« Međusobni raspored dva kruga. Rješavanje problema.»

1. Koncentrični krugovi

2. Krugovi koji se ne seku

3.External touch

4. Ukrštanje kružnica

5. Unutrašnji dodir

Pa da zaključimo

4. Formiranje vještina i sposobnosti

Pronađite grešku u podacima ili izjavi i ispravite je navodeći razloge za svoje mišljenje:

a) Dva kruga se dodiruju. Njihovi polumjeri su R = 8 cm i r = 2 cm, udaljenost između centara je d = 6.
B) Dva kruga imaju najmanje dvije zajedničke tačke.

C) R = 4, r = 3, d = 5. Krugovi nemaju zajedničkih tačaka.

D) R \u003d 8, r \u003d 6, d \u003d 4. Manji krug se nalazi unutar većeg.

E) Dva kruga se ne mogu locirati tako da je jedan unutar drugog.

5. Konsolidacija vještina i sposobnosti.

Krugovi se dodiruju spolja. Poluprečnik manjeg kruga je 3 cm, poluprečnik većeg je 5 cm.Koliko je rastojanje između centara?

Rješenje: 3+5=8(cm)

Krugovi se dodiruju iznutra. Poluprečnik manjeg kruga je 3 cm, poluprečnik većeg kruga je 5 cm. Kolika je udaljenost između centara kružnica?

Rješenje: 5-3=2(cm)

Krugovi se dodiruju iznutra. Udaljenost između centara kružnica je 2,5 cm.Koji su polumjeri kružnica?

odgovor: (5,5 cm i 3 cm), (6,5 cm i 4 cm) itd.

PROVJERA RAZUMIJEVANJA

1) Kako se mogu locirati dva kruga?

2) Kada kružnice imaju jednu zajedničku tačku?

3) Kako se zove zajednička tačka dvije kružnice?

4) Koje dodire poznajete?

5) Kada se kružnice seku?

6) Koje kružnice se nazivaju koncentričnimi?

Dodatni zadaci na temu: Vektori. Metoda koordinata'(ako ima vremena)

1)E(4;12), F(-4;-10), G(-2;6), H(4;-2) Pronađite:

a) koordinate vektora EF,GH

b) dužina vektora FG

c) koordinate tačke O - sredina EF

koordinate tačke W - sredina GH

d) jednačina kružnice sa prečnikom FG

e) jednačina prave FH

6. Domaći

& 96 #1000. Koje su od ovih jednačina kružne jednačine. Pronađite centar i radijus

7. Sumiranje lekcije(3 min.)

(dati kvalitativnu ocjenu rada odjeljenja i pojedinih učenika).

8. Faza refleksije(2 minute.)

(pokrenuti promišljanje učenika o svom emocionalnom stanju, njihovim aktivnostima, interakciji sa nastavnikom i drugovima iz razreda uz pomoć crteža)

Ministarstvo obrazovanja i nauke Ruske Federacije

Opštinska budžetska obrazovna ustanova

grad Novosibirsk "Gimnazija br. 4"

Sekcija: matematika

ISTRAŽIVAČKI RAD

na ovu temu:

SVOJSTVA DVA KRUGA DIRANJA

Učenici 10. razreda:

Khaziakhmetov Radik Ildarovich

Zubarev Evgenij Vladimirovič

Supervizor:

LL. Barinova

Nastavnik matematike

Najviša kvalifikaciona kategorija

§ 1.Uvod…………………………………………………………………………………………………3

§ 1.1 Međusobni raspored dva kruga………………………………………………………………3

§ 2 Svojstva i njihovi dokazi………………………………………..………………………………4

§ 2.1 Svojstvo 1……………………………………………………………………………………..…………….…4

§ 2.2 Svojstvo 2…………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………

§ 2.3 Svojstvo 3…………………………………………………………………..……………………………6

§ 2.4 Svojstvo 4…………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………….

§ 2.5 Svojstvo 5……………………………………………..………………………………………………8

§ 2.6 Svojstvo 6……………………………………………………………………………………………………………9

§ 3 Zadaci………………………………………………………………………..………………..…11

Reference………………………………………………………………………………………….13

§ jedan. Uvod

Mnogi problemi koji uključuju dvije tangentne kružnice mogu se riješiti sažetije i jednostavnije poznavanjem nekih svojstava koja će biti predstavljena kasnije.

Međusobni raspored dva kruga

Za početak ćemo razgovarati o mogućem međusobnom rasporedu dva kruga. Mogu postojati 4 različita slučaja.

1. Krugovi se ne smiju ukrštati.

2. Križ.

3. Dodirnite na jednom mjestu izvana.

4. Dodirnite u jednom trenutku unutra.

§ 2. Svojstva i njihovi dokazi

Prijeđimo direktno na dokaz svojstava.

§ 2.1 Svojstvo 1

Segmenti između tačaka preseka tangenti sa kružnicama su međusobno jednaki i jednaki su dva srednja geometrijska poluprečnika ovih kružnica.

Dokaz 1. O 1 A 1 i O 2 V 1 - radijusi povučeni do dodirnih tačaka.

2. O 1 A 1 ┴ A 1 V 1, O2V1 ┴ A 1 V 1 → O 1 A 1 ║ O 2 V 1. (prema stavu 1)

1. ▲O 1 O 2 D - pravougaona, jer O 2 D ┴ O 2 V 1
2. O 1 O 2 \u003d R + r, O 2 D \u003d R - r

1. Po Pitagorinoj teoremi A 1 V 1 = 2√Rr

(O 1 D 2 =(R+r) 2 -(R-r) 2 =R 2 +2Rr+r2-R 2 +2Rr-r 2 =√4Rr=2√Rr)

A 2 B 2 = 2√Rr (slično dokazano)

1) Nacrtajte poluprečnike do preseka tangenti sa kružnicama.

2) Ovi radijusi će biti okomiti na tangente i paralelni jedan s drugim.

3) Spustite okomicu iz središta manjeg kruga na poluprečnik većeg kruga.

4) Hipotenuza rezultirajućeg pravouglog trougla jednaka je zbiru poluprečnika kružnica. Noga je jednaka njihovoj razlici.

5) Pitagorinom teoremom dobijamo željenu relaciju.

§ 2.2 Svojstvo 2

Tačke presjeka prave koja siječe tačku dodira kružnica i ne leži ni u jednoj od njih, s tangentama dijele segmente vanjskih tangenta ograničene tačkama dodira, na dijelove, od kojih je svaki jednak geometrijska sredina poluprečnika ovih kružnica.

Dokaz 1.GOSPOĐA= MA 1 (kao segmenti tangenti)

2.MS = MV 1 (kao segmenti tangenti)

3.A 1 M \u003d MV 1 = √Rr, A 2 N = NB 2 = √Rr (prema stavu 1 i 2 )

Izjave korištene u dokazu Segmenti tangenti povučeni iz jedne tačke u neki krug su jednaki. Koristimo ovo svojstvo za oba data kruga.

§ 2.3 Svojstvo 3

Dužina segmenta unutrašnje tangente zatvorene između vanjskih tangenta jednaka je dužini segmenta vanjske tangente između dodirnih tačaka i jednaka je dvama srednjim geometrijskim polumjerima ovih kružnica.

Dokaz Ovaj zaključak proizilazi iz prethodnog svojstva.

MN = MC + CN = 2MC = 2A 1 M = A 1 B 1 = 2√Rr

§ 2.4 Svojstvo 4

Trokut formiran središtima tangentnih kružnica i središtem tangentnog segmenta između polumjera povučenih do tačaka dodira je pravougaonog oblika. Omjer njegovih nogu jednak je količniku korijena polumjera ovih kružnica.

Dokaz 1.MO 1 je simetrala ugla A 1 MC, MO 2 je simetrala ugla B 1 MC, jer Središte kružnice upisane u kut leži na simetrali tog ugla.

2. Prema stavu 1 RO 1 MS + RSMO 2 = 0,5 (RA1MS + RSMV 1) = 0,5p = p/2

3.RO 1 MO 2 - ravno. MS - visina trougla O 1 MO 2, jer tangenta MN je okomita na poluprečnike povučene do dodirnih tačaka → trouglovi O 1 MS i MO 2 S su slični.

4.O 1 M / MO 2 \u003d O 1 C / MS \u003d r / √Rr = √r / R (po sličnosti)

Izjave korištene u dokazu 1) Središte kružnice upisane u ugao leži na simetrali tog ugla. Kraci trougla su simetrale uglova.

2) Koristeći činjenicu da su ovako formirani uglovi jednaki, dobijamo da je ugao koji tražimo pravi ugao. Zaključujemo da je ovaj trokut zaista pravougli trokut.

3) Dokazujemo sličnost trouglova na koje visina (pošto je tangenta okomita na poluprečnike povučene u dodirnim tačkama) deli pravougli trougao i sličnošću dobijamo željeni odnos.

§ 2.5 Svojstvo 5

Trougao formiran dodirnom tačkom kružnica jedne s drugom i tačkama preseka kružnica sa tangentom, je pravougaoni trokut. Omjer njegovih nogu jednak je količniku korijena polumjera ovih kružnica.

Dokaz

1. ▲A 1 MS i ▲SMV 1 su jednakokračne → RMA 1 S = RMSA 1 = α, RMV 1 S = RMSV 1 = β.

1. 2α + 2β + RA 1 MS + RSMV 1 = 2p → 2α + 2β = 2p - (RA 1 MS + RSMV 1) = 2p - p = p, α + β = p/2

1. Ali RA 1 SV 1 = α + β → RA 1 SV 1 - direktno → RV 1 CO 2 = RSV 1 O 2 = p/2 - β = α

1. ▲A 1 MS i ▲CO 2 B 1 su slični → A 1 C / SV 1 = MS / O 2 B 1 = √Rr / R = √r / R

Izjave korištene u dokazu 1) Slikamo zbir uglova trouglova, koristeći činjenicu da su jednakokraki. Jednakokračni trouglovi se dokazuju korištenjem svojstva o jednakosti tangentnih segmenata.

2) Oslikavajući zbir uglova na ovaj način, dobijamo da u trouglu koji se razmatra postoji pravi ugao, dakle pravougaonog oblika. Prvi dio tvrdnje je dokazan.

3) Po sličnosti trouglova (kod opravdavanja koristimo znak sličnosti pod dva ugla) nalazimo omjer krakova pravouglog trougla.

§ 2.6 Svojstvo 6

Četvorokut formiran od presjeka kružnica s tangentom je trapez u koji se može upisati kružnica.

Dokaz 1.▲A 1 RA 2 i ▲B 1 RV 2 su jednakokračne jer A 1 P = RA 2 i B 1 P = PB 2 kao segmenti tangenti → ▲A 1 RA 2 i ▲B 1 PB 2 su slični.

2.A 1 A 2 ║ B 1 B 2, jer odgovarajući uglovi formirani na preseku sekante A 1 B 1 su jednaki.

1. MN - srednja linija po svojstvu 2 → A 1 A 2 + B 1 B 2 = 2MN = 4√Rr

1. A 1 B 1 + A 2 B 2 \u003d 2 √ Rr + 2 √ Rr \u003d 4 √ Rr \u003d A 1 A 2 + B 1 B 2 → u trapezu A 2 A 1 B 1 B 2 zbir osnovica jednaka je zbiru stranica, a to je neophodan i dovoljan uslov za postojanje upisane kružnice.

Izjave korištene u dokazu 1) Koristimo ponovo svojstvo tangentnih segmenata. Uz nju ćemo dokazati jednakokračne trouglove formirane od presjeka tangenta i tangentnih tačaka.

2) Iz ovoga slijedi sličnost ovih trouglova i paralelizam njihovih osnova. Na osnovu toga zaključujemo da je ovaj četverougao trapez.

3) Prema svojstvu (2) koje smo ranije dokazali, nalazimo srednju liniju trapeza. Jednaka je sa dva srednja geometrijska poluprečnika kružnica. U rezultirajućem trapezu zbir osnova jednak je zbiru stranica, a to je neophodan i dovoljan uslov za postojanje upisane kružnice.

§ 3. Zadaci

Razmotrimo, koristeći praktičan primjer, kako se rješenje problema može pojednostaviti korištenjem gornjih svojstava.

Zadatak 1

U trouglu ABC, stranica AC = 15 cm, u trokut je upisan krug. Drugi krug dodiruje prvi i stranice AB i BC. Tačka F se bira na strani AB, a tačka M na strani BC tako da je odsječak FM zajednička tangenta na kružnice. Nađite omjer površina trougla BFM i četverougla AFMC ako je FM 4 cm, a tačka M je dvostruko udaljenija od centra jedne kružnice nego od centra druge.

Dato: FM zajednička tangenta AC=15cm FM=4cm O 2 M=2O 1 M

Pronađite S BFM /S AFMC

Rješenje:

1)FM=2√Rr,O 1 M/O 2 M=√r/R

2)2√Rr=4, √r/R=0,5 →r=1,R=4; PQ=FM=4

3)▲BO 1 P i ▲BO 2 Q su slični → BP/BQ=O 1 P/O 2 Q, BP/(BP+PQ)=r/R,BP/(BP+4)=0,25;BP = 4/3

4)FM+BP=16/3, S FBM=r*P FBM=1*(16/3)=16/3; AC+BQ=15+4/3+4=61/3

5) S ABC \u003d R * R ABC \u003d 4 * (61/3) = 244/3 → S BFM / S AFMC \u003d (16/3): (244/3) \u003d 4/61

Zadatak 2

Dvije tangentne kružnice sa zajedničkom tačkom D i zajedničkom tangentom FK koja prolazi kroz ovu tačku upisane su u jednakokraki trougao ABC. Nađite rastojanje između centara ovih kružnica ako je osnova trokuta AC = 9 cm, a odsječak bočne stranice trokuta zatvoren između dodirnih tačaka kružnica 4 cm.

Dato: ABC je jednakokraki trougao; FK je zajednička tangenta upisanih kružnica. AC = 9 cm; NE = 4 cm

Rješenje:

Neka se prave AB i CD sijeku u tački O. Tada je OA = OD, OB = OC, pa je CD = AB = 2√Rr

Tačke O 1 i O 2 leže na simetrali ugla AOD. Simetrala jednakokračnog trougla AOD je njegova visina, pa AD ┴ O 1 O 2 i BC ┴ O 1 O 2, pa

AD ║ BC i ABCD je jednakokraki trapez.

Segment MN je njegova srednja linija, tako da je AD + BC = 2MN = 2AB = AB + CD

Stoga se u ovaj trapez može upisati kružnica.

Neka je AP visina trapeza, pravokutni trouglovi ARV i O 1 FO 2 su slični, pa je AR/O 1 F = AV/O 1 O 2 .

Odavde to nalazimo

Bibliografija

• Prilog listu "Prvi septembar" "Matematika" br. 43, 2003.
• USE 2010. Matematika. Zadatak C4. Gordin R.K.