Postupak za procjenu pouzdanosti sistema logičkom vjerovatnoćom. Logičko-vjerovatna metoda za proračun pouzdanosti sistema sa monotonom strukturom

Suština logičko-vjerovatnih metoda je u korištenju funkcija logičke algebre (FAL) za analitičko snimanje stanja performansi sistema i prelazak sa FAL na probabilističke funkcije (WF), koje objektivno izražavaju pouzdanost sistema. One. Logičko-vjerovatnom metodom moguće je opisati IC kola za izračunavanje pouzdanosti pomoću aparata matematičke logike, nakon čega slijedi korištenje teorije vjerovatnoće u određivanju pokazatelja pouzdanosti.

Sistem može biti samo u dva stanja: u stanju pune operativnosti ( at= 1) iu stanju potpunog otkaza ( at= 0). Pretpostavlja se da je djelovanje sistema deterministički zavisno od djelovanja njegovih elemenata, tj. at je funkcija X 1 , X 2 , … , x i , … , x n. Elementi također mogu biti u samo dva nekompatibilna stanja: potpuno zdravlje ( x i= 1) i potpuni kvar ( x i = 0).

Funkcija algebre logike koja povezuje stanje elemenata sa stanjem sistema at (X 1 , X 2 ,…,xn) su pozvani zdravstvena funkcija sistemima F(y)= 1.

Za procjenu operativnih stanja sistema koriste se dva koncepta:

1) najkraći put uspešnog rada (KPUF), koji predstavlja takav spoj njegovih elemenata, od kojih se nijedna komponenta ne može ukloniti bez narušavanja funkcionisanja sistema. Takav veznik se piše kao sljedeći FAL:

gdje i– pripada skupu brojeva koji odgovaraju datom
l-mu način.

Drugim riječima, KPUF sistema opisuje jedno od njegovih mogućih operativnih stanja, koje je određeno minimalnim skupom operativnih elemenata koji su apsolutno neophodni za obavljanje funkcija specificiranih za sistem.

2) minimalni poprečni presek kvara sistema (MSF), koji je takva konjukcija negacija njegovih elemenata, čija se nijedna komponenta ne može ukloniti bez narušavanja uslova neoperabilnosti sistema. Takav veznik se može napisati kao sljedeći FAL:

gdje označava skup brojeva koji odgovaraju datom dijelu.

Drugim riječima, MCO sistema opisuje jedan od mogućih načina da se poremeti sistem uz pomoć minimalnog skupa neispravnih elemenata.

Svaki redundantni sistem ima konačan broj najkraćih puteva ( l= 1, 2,…, m) i minimalni poprečni presjeci ( j = 1, 2,…, m).

Koristeći ove koncepte, možemo zapisati uslove za rad sistema.

1) u obliku disjunkcije svih raspoloživih najkraćih puteva za uspješno djelovanje.

;

2) u obliku konjunkcije negacija svih MKO

;

Dakle, uslovi operabilnosti realnog sistema mogu se predstaviti kao uslovi operabilnosti nekog ekvivalentnog (u smislu pouzdanosti) sistema, čija je struktura paralelna veza najkraćih puteva uspešnog rada, ili drugog ekvivalentnog sistema, strukture od kojih je kombinacija negacija minimalnih sekcija.

Na primjer, za strukturu mosta IC-a, funkcija zdravlja sistema koja koristi KPUF bit će napisana na sljedeći način:

;

funkcija operativnosti istog sistema kroz MCO može se napisati u sljedećem obliku:

Uz mali broj elemenata (ne više od 20) može se koristiti tabelarna metoda za izračunavanje pouzdanosti, koja se temelji na korištenju teoreme sabiranja za vjerovatnoće zajedničkih događaja.

Vjerovatnoća rada sistema bez otkaza može se izračunati po formuli (preko vjerovatnoće funkcije oblika):

Logičko-vjerovatne metode (metode: izrezivanje, tabela, ortogonalizacija) se široko koriste u dijagnostičke procedure prilikom konstruisanja stabala grešaka i utvrđivanja osnovnih (inicijalnih) događaja koji uzrokuju otkaz sistema.

Za pouzdanost računarskog sistema sa složenom redundantnom strukturom može se koristiti metod statističkog modeliranja.

Ideja metode je da generiše logičke varijable x i sa datom vjerovatnoćom pi pojave jedinice, koji se u proizvoljnom obliku zamjenjuju u logičku strukturnu funkciju simuliranog sistema, a zatim se izračunava rezultat.

Agregat X 1 , X 2 ,…, x n nezavisni slučajni događaji koji čine kompletnu grupu karakterišu verovatnoće nastanka svakog od događaja str(x i), i .

Za simulaciju ovog skupa slučajnih događaja koristi se generator slučajnih brojeva, jednoliko raspoređen u intervalu

Značenje pi se bira jednaka vjerovatnoći rada bez otkaza i th podsistema. U ovom slučaju, proces izračunavanja se ponavlja N 0 puta sa novim, nezavisnim slučajnim vrednostima argumenata x i(ovo se broji N(t) pojedinačne vrijednosti logičke strukturne funkcije). Stav N(t)/N 0 je statistička procjena vjerovatnoće produženja rada

gdje N(t) - broj besprijekornih radova do određenog trenutka t objekata, sa njihovim originalnim brojem.

Generiranje slučajnih logičkih varijabli x i sa datom vjerovatnoćom da se dogodi jedan p i vrši se na osnovu slučajnih varijabli ravnomjerno raspoređenih u intervalu, dobijenih korištenjem standardnih programa uključenih u matematički softver svih savremenih računara.

1. Navedite metodu za procjenu pouzdanosti IS-a, gdje je vjerovatnoća neometanog rada sistema definisana kao R n ≤R sa ≤R in.

2. Za izračunavanje pouzdanosti kojih sistema se koristi metoda staza i dionica?

3. Koja metoda se može koristiti za procjenu pouzdanosti uređaja tipa most?

4. Koje metode za određivanje pokazatelja pouzdanosti povratnih sistema su poznate?

5. Strukturno predstavite kolo mosta kao skup minimalnih staza i sekcija.

6. Definirajte minimalnu putanju i minimalni dio.

7. Zabilježiti funkciju zdravlja za razgranati uređaj?

8. Šta se zove zdravstvena funkcija?

9. Koji je najkraći put do uspješnog poslovanja (KPUF). Zapišite uslove rada u obliku KPUF-a.

10. Gdje se koristi logičko-vjerovatni metod procjene pouzdanosti?

Literatura: 1, 2, 3, 5, 6, 8.

Tema: Proračun pouzdanosti povratnih sistema (metoda diferencijalnih jednačina)

1. Opće metode za proračun pouzdanosti povratnih sistema.

2. Izrada grafa mogućih stanja sistema za procjenu pouzdanosti restauriranih sistema.

3. Metoda sistema diferencijalnih jednačina (SDE), Kolmogorovljevo pravilo za kompilaciju SDE

4. Normalizacija i početni uslovi za rješavanje SDE-a.

Ključne riječi

Popravljivi sistem, kvantitativne karakteristike pouzdanosti, graf stanja, operativno stanje, sistem diferencijalnih jednadžbi, Kolmogorovljevo pravilo, verovatnoća neoštećenog rada, stopa oporavka, stopa otkaza, uslovi normalizacije, početni uslovi, parametri pouzdanosti, neredundantni sistem.

Osnovni zadatak proračuna pouzdanosti projektovanih IS je izgradnja matematičkih modela adekvatnih verovatnosnim procesima njihovog funkcionisanja. Ovi modeli omogućavaju procjenu stepena zadovoljenja zahtjeva pouzdanosti za projektovane ili operativne sisteme.

Vrsta matematičkog modela određuje mogućnost dobijanja proračunskih formula. Za izračunavanje pouzdanosti nadoknadivih redundantnih i neredundantnih sistema koriste se: metoda integralnih jednačina, metoda diferencijalnih jednačina, metoda prelaznih intenziteta, metoda procjene pouzdanosti grafom mogućih stanja itd. .

Metoda integralnih jednačina. Metoda integralnih jednačina je najopštija, može se koristiti za izračunavanje pouzdanosti bilo kojeg (popravljivog i nepovratnog) sistema za bilo koju distribuciju FBG i vremena oporavka.

U ovom slučaju, za određivanje pokazatelja pouzdanosti sistema, sastavljaju se i rješavaju integralne i integro-diferencijalne jednačine koje povezuju karakteristike distribucije FBG, a za restaurirane sisteme vrijeme oporavka elemenata.

U toku sastavljanja integralnih jednačina obično se izdvaja jedan ili više beskonačno malih vremenskih intervala za koje se smatraju složeni događaji koji se manifestuju kombinovanim dejstvom više faktora.

U opštem slučaju, rešenja se pronalaze numeričkim metodama pomoću računara. Metoda integralnih jednadžbi nije u širokoj upotrebi zbog težine rješavanja.

Metoda diferencijalnih jednadžbi. Metoda se koristi za procjenu pouzdanosti oporavljivih objekata i temelji se na pretpostavci eksponencijalne distribucije vremena između kvarova (vrijeme rada) i vremena oporavka. U ovom slučaju, parametar protoka greške w =λ = 1/t cp . i intenzitet oporavka µ = 1/ t in, gdje t cp .- srednje radno vrijeme, t in je prosječno vrijeme oporavka.

Za primenu metode potrebno je imati matematički model za skup mogućih stanja sistema S={S 1 , S 2 ,…, S n), u kojoj se može locirati tokom kvarova i vraćanja sistema. S vremena na vrijeme sistem S skače iz jednog stanja u drugo pod dejstvom kvarova i restauracija pojedinih njegovih elemenata.

Kada se analizira ponašanje sistema u vremenu tokom habanja, zgodno je koristiti graf stanja. Graf stanja je usmjeren graf, gdje krugovi ili pravokutnici predstavljaju moguća stanja sistema. Sadrži onoliko vrhova koliko je mogućih različitih stanja za objekat ili sistem. Rubovi grafikona odražavaju moguće prijelaze iz jednog stanja u sva druga s parametrima kvarova i stopa oporavka (blizu strelica su prikazane stope prijelaza).

Svaka kombinacija neispravnih i operativnih stanja podsistema odgovara jednom stanju sistema. Broj stanja sistema n= 2k, gdje k– broj podsistema (elemenata).

Veza između vjerovatnoća nalaženja sistema u svim njegovim mogućim stanjima izražava se sistemom Kolmogorovljevih diferencijalnih jednačina (jednačina prvog reda).

Struktura Kolmogorovljevih jednačina izgrađena je prema sljedećim pravilima: na lijevoj strani svake jednačine upisana je derivacija vjerovatnoće da se objekt nalazi u razmatranom stanju (vrh grafa), a desna strana sadrži onoliko članova jer postoje ivice grafa stanja pridružene ovom vrhu. Ako je ivica usmjerena od datog vrha, odgovarajući član ima predznak minus, ako je prema datom vrhu znak plus. Svaki član je jednak proizvodu parametra intenziteta kvara (oporavka) povezanog sa datom ivicom i vjerovatnoće da se nalazi na vrhu grafa iz kojeg ivica potiče.

Kolmogorovljev sistem jednačina uključuje onoliko jednačina koliko ima vrhova u grafu stanja objekta.

Sistem diferencijalnih jednadžbi je dopunjen uslovom normalizacije:

gdje Pj(t j-th state;

n je broj mogućih stanja sistema.

Rješenje sistema jednačina pod određenim uslovima daje vrijednost željenih vjerovatnoća Pj(t).

Čitav skup mogućih stanja sistema podijeljen je na dva dijela: podskup stanja n 1, u kojem je sistem operativan, i podskup stanja n 2 u kojoj sistem nije operativan.

Funkcija spreman za sistem:

To G ,

gdje Pj(t) je vjerovatnoća pronalaženja sistema u j uslovi rada;

n 1 je broj stanja u kojima sistem radi.

Kada je potrebno izračunati faktor dostupnosti sistema ili faktor zastoja (prekidi sistema su dozvoljeni), razmotrite rad u stabilnom stanju na t→∞. U ovom slučaju, svi derivati i sistem diferencijalnih jednačina se transformišu u sistem algebarskih jednačina, koje se lako rešavaju.

Primjer grafa stanja neredundantnog povratnog sistema sa n- elementi su prikazani na sl. jedan.

Rice. 1. Grafikon stanja obnovljenog sistema (osenčena stanja označavaju neoperabilna stanja)

Razmotrite moguća stanja u kojima sistem može biti. Ovdje su moguća sljedeća stanja:

S 0 - svi elementi su u funkciji;

S 1 - prvi element je neispravan, ostali su u funkciji;

S 2 - drugi element je neispravan, ostali su u funkciji;

S n – n Ovaj element je neispravan, ostali su u funkciji.

Vjerovatnoća istovremene pojave dva neoperabilna elementa je zanemarljiva. Simboli λ 1 , λ2 ,…, λ n navedene su stope kvarova, µ 1 , µ 2 ,…, µ n intenzitet oporavka odgovarajućih elemenata;

Prema grafu stanja (slika 1), oni sačinjavaju sistem diferencijalnih jednačina (jednačina za stanje S 0 je izostavljeno zbog glomaznosti):

Uz uvjet normalizacije: .

Početni uslovi:

U stabilnom stanju rada (kada t→∞) imamo:

Nakon što smo riješili rezultirajući sistem algebarskih jednačina, uzimajući u obzir normalizacijski uvjet, nalazimo indikatore pouzdanosti.

Prilikom rješavanja sistema jednačina može se koristiti Laplaceova transformacija za vjerovatnoće stanja ili numeričke metode.

Kontrolna pitanja i zadaci

1. Koje metode za određivanje pokazatelja pouzdanosti povratnih sistema su poznate?

2. Kako se određuju stanja IS elemenata i uređaja?

3. Kako odrediti područja zdravih stanja sistema?

4. Zašto se metoda diferencijalnih jednačina široko koristi u procjeni pouzdanosti restauriranih sistema?

5. Šta je neophodan uslov za rešavanje sistema diferencijalnih jednačina?

6. Kako se sastavljaju diferencijalne jednadžbe za određivanje parametara pouzdanosti IS-a?

7. Koji uslov treba dodati sistemu diferencijalnih jednačina (SDE) za efikasnije rješenje.

8. Zapišite uslove rada sistema koji se sastoji od tri elementa.

9. Koliki je broj stanja uređaja koji se sastoji od četiri elementa?

10. Koje pravilo se koristi pri sastavljanju CDS-a?

Literatura: 1, 2, 3, 5, 6, 8.

Tema: Markovljevi modeli za procjenu pouzdanosti redundantnih povratnih informacionih sistema

1. Koncept Markovljevog svojstva, definicija stanja sistema.

2. Metodologija i algoritam za konstruisanje Markovljevog modela.

3. Proračunske formule za izračunavanje pokazatelja pouzdanosti vozila

4. Matrica intenziteta tranzicije za procjenu pokazatelja pouzdanosti redundantnih povratnih IC-a.

Ključne riječi

Markovljev model, stanje sistema, performanse, matrica intenziteta tranzicije, graf stanja, povratni sistem, redundantnost, sekvencijalno kolo, konstantna rezerva, sistem diferencijalnih jednačina, Kolmogorovljevo pravilo, shema proračuna pouzdanosti, približna metoda, algoritmi SDE konstrukcije, uslovi normalizacije, početni uslovi , vjerovatnoća rada bez otkaza, stopa otkaza.

Funkcionisanje IS i njihovih komponenti može se predstaviti kao skup procesa prelaska iz jednog stanja u drugo pod uticajem bilo kojih razloga.

Sa stanovišta pouzdanosti restauriranih IS, njihovo stanje u svakom trenutku karakteriše to koji su elementi u funkciji, a koji se obnavljaju.

Ako je svaki mogući skup operativnih (neoperabilnih) elemenata povezan sa skupom stanja objekta, tada će se kvarovi i vraćanja elemenata prikazati prijelazom objekta iz jednog stanja u drugo:

Neka se, na primjer, objekt sastoji od dva elementa. Tada može biti u jednom od četiri stanja: n = 2k = 2 2 = 4.

S 1 - oba elementa su u funkciji;

S 2 - samo prvi element ne radi;

S 3 - samo drugi element je neispravan;

S 4 - oba elementa nisu u funkciji.

Skup mogućih objekata glasi: S={S 1 , S 2 , S 3 , S 4 }.

Kompletan skup stanja sistema koji se proučava može biti diskretan ili kontinuiran (kontinuirano ispunjava jedan ili više intervala numeričke ose).

U nastavku ćemo razmatrati sisteme sa diskretnim prostorom stanja. Niz stanja takvog sistema i proces prijelaza iz jednog stanja u drugo naziva se lanac.

U zavisnosti od vremena koje sistem provodi u svakom stanju, razlikuju se procesi sa kontinuiranim vremenom i procesi sa diskretnim vremenom. U procesima sa kontinuiranim vremenom, prijelaz sistema iz jednog stanja u drugo se vrši u bilo kojem trenutku. U drugom slučaju, vrijeme koje sistem provede u svakom stanju je fiksirano tako da se prijelazni momenti postavljaju na vremensku osu u pravilnim intervalima.

Trenutno su najviše proučavani lanci s Markovljevim svojstvom. Vjerovatnoće prijelaza su označene simbolima P ij(t), i proces P ij tranzicije se nazivaju Markovljev lanac ili Markovljev lanac.

Svojstvo Markov je povezano sa odsustvom naknadnog efekta. To znači da ponašanje sistema u budućnosti zavisi samo od njegovog stanja u datom trenutku, a ne zavisi od toga kako je došao u to stanje.

Markovljevi procesi omogućavaju opisivanje sekvenci kvarova-oporavaka u sistemima opisanim pomoću grafa stanja.

Najčešće korištena metoda za izračunavanje pouzdanosti su Markovski lanci s kontinuiranim vremenom zasnovani na sistemu diferencijalnih jednadžbi, koji se mogu zapisati u matričnom obliku kao:

gdje P(t)=P 0 – početni uslovi;

i Λ je matrica intenziteta tranzicije (matrica koeficijenta kod vjerovatnoća stanja):

gdje je λ ij– intenzitet prelaska sistema iz i-tog stanja u j-to;

Pj je vjerovatnoća da je sistem u j-tom stanju.

Prilikom procjene pouzdanosti složenih redundantnih i oporavljivih sistema, metoda Markovljevog lanca dovodi do složenih rješenja zbog velikog broja stanja. U slučaju podsistema istog tipa koji rade pod istim uslovima, metoda agregacije se koristi za smanjenje broja stanja. Stanja sa istim brojem podsistema su spojena. Tada se dimenzija jednačina smanjuje.

Redoslijed metodologije za procjenu pouzdanosti redundantnih povratnih sistema metodom Markovljevog lanca je sljedeći:

1. Analizira se sastav uređaja i izrađuje se strukturni dijagram pouzdanosti. Prema šemi, konstruiše se graf u kojem su uzeta u obzir sva moguća stanja;

2. Svi vrhovi grafa kao rezultat analize blok dijagrama podijeljeni su u dva podskupa: vrhove koji odgovaraju operativnom stanju sistema i vrhove koji odgovaraju neoperativnom stanju sistema.

3. Pomoću grafa stanja sastavlja se sistem diferencijalnih jednačina (koristi se Kolmogorovljevo pravilo);

4. Odabrani su početni uslovi za rješavanje problema;

5. Određuju se vjerovatnoće da sistem bude u radnom stanju u proizvoljnom trenutku;

6. Određuje se vjerovatnoća nesmetanog rada sistema;

7. Po potrebi se određuju i drugi pokazatelji.

Kontrolna pitanja i zadaci

1. Šta se podrazumijeva pod Markovljevim lancem?

2. Dajte algoritam za procjenu pouzdanosti IS-a korištenjem Markovljevih modela.

3. Kako se sastavljaju diferencijalne jednadžbe za određivanje parametara pouzdanosti IS-a?

4. Vrijednost kojih pokazatelja pouzdanosti se može dobiti Markovljevom metodom?

5. Navedite glavne faze izgradnje Markovljevog modela za pouzdanost složenog sistema.

6. Šta je neophodan uslov za rešavanje sistema diferencijalnih jednačina?

7. Kako se određuju stanja elemenata i uređaja CS?

8. Definirajte koncept povratnih sistema.

9. Šta je Markovljev lanac?

10. Koji se sistemi procjenjuju korištenjem Markovljevih modela pouzdanosti?

Literatura: 1, 2, 3, 10, 11.

Tema: Približne metode za proračun pouzdanosti hardvera IS

1. Osnovne pretpostavke i ograničenja u procjeni pouzdanosti serijsko-paralelnih konstrukcija.

2. Približne metode za proračun pouzdanosti povratnih IC-a, sa serijskim i paralelnim uključivanjem IC podsistema.

3. Strukturne šeme za proračun pouzdanosti IS.

Ključne riječi

Pouzdanost, serijsko-paralelna struktura, približne metode za proračun pouzdanosti, strukturni dijagram proračuna pouzdanosti, stopa otkaza, stopa oporavka, faktor raspoloživosti, vrijeme oporavka, kompjuterski sistem.

napajanje pomoću stabla grešaka

Logičko-vjerovatni metod koji koristi stablo grešaka je deduktivan (od opšteg ka posebnom) i koristi se u slučajevima kada je broj različitih sistemskih kvarova relativno mali. Upotreba stabla grešaka za opisivanje uzroka kvara sistema olakšava prelazak sa opšte definicije kvara na posebne definicije kvarova i načina rada njegovih elemenata, koje su razumljive specijalističkim programerima i samog sistema i elemenata. . Prelazak sa stabla grešaka na funkciju logičkog kvara otvara mogućnosti za analizu uzroka kvara sistema na formalnoj osnovi. Funkcija logičkog kvara vam omogućava da dobijete formule za analitičko izračunavanje učestalosti i vjerovatnoće kvarova sistema na osnovu poznate učestalosti i vjerovatnoće kvarova elemenata. Upotreba analitičkih izraza u proračunu pokazatelja pouzdanosti daje osnovu za primjenu formula teorije tačnosti za procjenu srednje kvadratne greške rezultata.

Neuspjeh objekta koji funkcionira kao složeni događaj je zbir događaja kvara operativnosti i događaja , koji se sastoji u pojavi kritičnih vanjskih utjecaja. Stanje kvara sistema formulišu stručnjaci iz oblasti specifičnih sistema na osnovu tehničkog dizajna sistema i analize njegovog funkcionisanja u slučaju različitih događaja korišćenjem izjave.

Izjave mogu biti konačni, srednji, primarni, jednostavni, složeni. Jednostavna propozicija se odnosi na događaj ili stanje koje samo po sebi nije ni logički zbir "ILI" ni logički proizvod "I" drugih događaja ili stanja. Složeni iskaz, koji je disjunkcija više iskaza (jednostavnih ili složenih), označen je operatorom "OR", koji povezuje iskaze nižeg nivoa sa iskazima višeg nivoa (slika 3.15, a). Složeni iskaz, koji je spoj više iskaza (jednostavnih ili složenih), označen je operatorom “AND” koji povezuje iskaze nižeg nivoa sa iskazima višeg nivoa (slika 3.15, b).

Sl.3.15. Elementi logičke reprezentacije

Pogodno je kodirati iskaze na način da se po kodu može suditi da li je jednostavan ili složen, na kojem se nivou od konačnog nalazi i šta predstavlja (događaj, stanje, neuspjeh operacije, tip elementa) .

U teoriji grafova, stablo je povezani graf koji ne sadrži zatvorene konture. Stablo grešaka je logičko stablo (slika 3.16), u kojem lukovi predstavljaju događaje kvara na nivou sistema, podsistema ili elemenata, a vrhovi su logičke operacije koje povezuju početne i rezultirajuće događaje kvara.

Rice. 3.16. Primjer izgradnje stabla grešaka

Izgradnja stabla grešaka počinje formulisanjem završne izjave o otkazu sistema. Da bi se okarakterisala pouzdanost sistema, konačna izjava se odnosi na događaj koji dovodi do kvara u razmatranom vremenskom intervalu, pod datim uslovima. Isto za karakteristike spremnosti.

Primjer 8. Napravimo stablo grešaka za mrežni dijagram prikazan na slici 3.17.

Sl.3.17. Mrežni dijagram

Trafostanice AT i OD napaja trafostanica ALI. Krajnji događaj stabla grešaka je kvar cijelog sistema. Ovaj kvar se definiše kao događaj koji

1) ili trafostanica AT ili trafostanice OD potpuno izgubiti hranu;

2) snaga za napajanje ukupnog opterećenja trafostanica AT i OD mora se prenositi preko jedne linije.

Na osnovu definicije završnog događaja i dijagrama kola sistema, gradimo stablo kvarova (niže od završnog događaja) (slika 3.18). Svrha analize stabla grešaka je da se utvrdi vjerovatnoća krajnjeg događaja. Pošto je krajnji događaj kvar sistema, analiza daje vjerovatnoću R(F).

Metoda analize zasniva se na pronalaženju i izračunavanju skupova minimalne sekcije. presjek Poziva se skup elemenata čiji potpuni kvar dovodi do kvara sistema. Minimalni odsjek je takav skup elemenata iz kojeg se ne može ukloniti niti jedan element, inače prestaje biti sekcija.

Krećući se za jedan nivo naniže od vertex (krajnjeg) događaja, prolazimo kroz čvor „ILI“, što ukazuje na postojanje tri sekcije: ( P}, {Q}, {R} (R,Q, R– događaji kvara). Svaka od ovih sekcija može se dalje podijeliti na više sekcija, ali se može otkriti da je kvar sekcija uzrokovan nekoliko događaja, ovisno o tome na koji se tip logičkog čvora naiđe na ruti.

Sl.3.18. Stablo otkaza sistema prema šemi na sl. 3.17:

– kvarovi podsistema koji se mogu dalje analizirati;

Na primjer, (Q) se prvo pretvara u dio (3, T), onda T podijeljeno u sekcije ( X, Y), kao rezultat, umjesto jednog odjeljka (3, T) pojavljuju se dva: (3, X}, {3,At}.

U svakom od narednih koraka identifikuju se setovi sekcija:

Minimalne sekcije su izdvojene sekcije (3,4,5), (2.3), (1.3), (1.2). Odsjek (1,2,3) nije minimalan, jer je (1,2) također dio. U posljednjem koraku, skupovi sekcija se sastoje isključivo od elemenata.

U nekim slučajevima, objekt ili sistem se ne može zamisliti kao da se sastoji od paralelno-serijskih veza. Ovo posebno važi za digitalne elektronske informacione sisteme, u kojima su uvedene unakrsne informacione veze radi poboljšanja pouzdanosti. Na sl. 9.17 prikazuje dio strukture sistema sa unakrsnim vezama (strelice pokazuju moguće smjerove kretanja informacija u sistemu). Za procjenu pouzdanosti takvih konstrukcija, logičko-vjerovatni metod se pokazao djelotvornim.

Rice. 9.17 Šema mosta za dovod goriva;

1-2 - pumpe, 3,4,5 - ventili

Rice. 9.18 Mostno kolo mjerno-računarskog kompleksa;

1,2 - uređaj za skladištenje; 3,4 - procesori; 5 - blok koji omogućava dvosmjerni prijenos digitalnih podataka.

U metodi se predlaže da se operativno stanje konstrukcije opiše pomoću aparata matematičke logike, nakon čega slijedi formalni prijelaz na vjerovatnoću neometanog rada evaluiranog sistema ili uređaja. U ovom slučaju, preko logičke varijable xj označava događaj koji je dat i-th element je u funkciji. Formalno, zdravo stanje cijelog sistema ili objekta predstavljeno je logičkom funkcijom koja se zove funkcija zdravlja. Za pronalaženje ove funkcije potrebno je, slijedeći od ulaza do izlaza strukture sistema, odrediti sve puteve kretanja informacija i radnog tijela koji odgovaraju operativnom stanju sistema. Na primjer, na sl. 9.17. postoje četiri takve staze: put 1 - , put 2 - , put 3 - , put 4 - .

Poznavajući sve puteve koji odgovaraju operativnom stanju strukture, moguće je u simbole algebre logike u disjunktivno-konjunktivnom obliku napisati funkciju operabilnosti (X) / Na primjer, za sl. 9.17 je:

Koristeći poznate metode minimizacije, logička funkcija zdravlja se pojednostavljuje i prenosi iz nje u jednačinu zdravlja sistema u simbolima obične algebre. Takav prijelaz se obavlja formalno koristeći poznate relacije (logička notacija lijevo, algebarska notacija desno):

Vjerovatnoća neispravnog rada objekta (vidi slike 9.16, 9.17) općenito se određuje formalnom zamjenom u algebarski izraz funkcije zdravlja umjesto varijabli, vrijednosti vjerovatnoće neispravnog rada svake i-ti element sistema.

Primjer. Potrebno je općenito pronaći vjerovatnoću neometanog rada objekata čija je struktura prikazana na Sl. 9.16 i 9.17. Uprkos različitim bazama elemenata, elementi strukture ovih objekata su identični sa stanovišta formalne logike. Iz tog razloga, radi jasnoće, na Sl. 9.17 elementi U1, U2 - dvije identične podjednako pouzdane pumpe sa vjerovatnoćom rada bez kvara. Elementi U3, U4 su dva podjednako pouzdana procesora sa vjerovatnoćom rada bez otkaza. Element U5 je preklopni ventil koji obezbjeđuje dvosmjerno dovod radnog fluida (na primjer, goriva) na izlazu iz objekta.

Struktura objekta na sl. 9.17, gde su elementi U1, U2 dva identična podjednako pouzdana uređaja za skladištenje (memorija), sa verovatnoćom neometanog rada. Elementi U3, U4 su dva identična podjednako pouzdana procesora sa vjerovatnoćom rada bez kvarova. Element U5 je blok koji omogućava dvosmjerni prijenos digitalnih podataka. Vjerovatnoća neometanog rada ove jedinice je .

Uzimajući u obzir (9.36), (9.37), (9.38) možemo napraviti formalni prijelaz sa zapisa (9.35) na algebarsku notaciju. Dakle, da bi se pronašla logička funkcija operabilnosti objekta, mogući načini prenošenja informacija (radnog tijela) sa ulaza na izlaz imaju oblik

LOGIČKO-VEROVATNE METODE ANALIZE POUZDANOSTI

Bilo koja metoda analize pouzdanosti zahtijeva opis uslova performansi sistema. Takvi uslovi se mogu formulisati na osnovu:

Strukturni dijagram funkcionisanja sistema (šema proračuna pouzdanosti);

Verbalni opis funkcionisanja sistema;

Grafičke šeme;

Funkcije algebre logike.

Logičko-vjerovatni metod analize pouzdanosti omogućava formaliziranje definicije i značenja povoljnih hipoteza. Suština ove metode je sljedeća.

Stanje svakog elementa je kodirano sa nulom i jedan:

U funkcijama algebre logike stanja elemenata su predstavljena u sljedećem obliku:

X i- dobro stanje elementa, koje odgovara šifri 1;

Stanje kvara elementa, koje odgovara kodu 0.

Koristeći funkcije algebre logike, uslov operativnosti sistema se ispisuje kroz operabilnost (stanje) njegovih elemenata. Rezultirajuća funkcija zdravlja sistema je binarna funkcija binarnih argumenata.

Dobijeni FAL se transformiše na način da sadrži termine koji odgovaraju povoljnim hipotezama za ispravan rad sistema.

U FAL-u umjesto binarnih varijabli x i a vjerovatnoće se zamjenjuju za rad bez greške p i i vjerovatnoću kvara q i . Znakovi konjunkcije i disjunkcije zamjenjuju se algebarskim množenjem i sabiranjem.

Rezultirajući izraz je vjerovatnoća neometanog rada sistema Pc(t).

Razmotrimo logičko-vjerovatni metod s primjerima.

PRIMJER 5.10. Blok dijagram sistema je glavna (serijska) veza elemenata (slika 5.14).

Na blok dijagramu x i , i = 1, 2,..., P- stanje i-ti element sistema, kodiran 0 ako je element u neispravnom stanju, i 1 ako je upotrebljiv. U ovom slučaju, sistem je operativan ako su svi njegovi elementi operativni. Tada je FAL konjunkcija logičkih varijabli, tj. y \u003d x 1, x 2, ... .., x p,što je savršena disjunktivno normalna forma sistema.

Zamjenjujući umjesto logičkih varijabli vjerovatnoće dobrih stanja elemenata i zamjenjujući konjunkciju algebarskim množenjem, dobijamo:

PRIMJER 5.11. Blok dijagram sistema je duplirani sistem sa neekvivalentnim, stalno uključenim podsistemima (slika 5.15).

Na sl. 5.15 x 1 i x 2- stanja elemenata sistema. Napravimo tabelu istinitosti od dvije binarne varijable (Tabela 5.2).

U tabeli 0 je stanje kvara elementa, 1 je dobro stanje elementa. U ovom slučaju, sistem je operativan ako su oba elementa (1,1) ili jedan od njih ((0,1) ili (1,0)) operativni. Tada je operativno stanje sistema opisano sljedećom funkcijom logičke algebre:

Ova funkcija je savršena disjunktivna normalna forma. Zamjenom operacija disjunkcije i konjunkcije algebarskim operacijama množenja i sabiranja, te logičke varijable s odgovarajućim vjerovatnoćama stanja elemenata, dobijamo vjerovatnoću neometanog rada sistema:

PRIMJER 5.12. Blok dijagram sistema ima oblik prikazan na sl. 5.16.

Napravimo tabelu istinitosti (tabela 53).

U ovom primjeru, sistem je operativan ako su svi njegovi elementi operativni ili ako je element operativan x i i jedan od elemenata dupliciranog para (x 2, x 3). Na osnovu tabele istinitosti, SDNF će izgledati ovako:

Zamjenom odgovarajućih vjerovatnoća umjesto binarnih varijabli, i algebarskim množenjem i sabiranjem umjesto konjunkcija i disjunkcija, dobijamo vjerovatnoću sigurnog rada sistema:

Funkcija algebre logike može se predstaviti u minimalnom obliku koristeći sljedeće transformacije:

Operacije apsorpcije i lijepljenja nisu primjenjive u algebri. S tim u vezi, nemoguće je minimizirati dobijeni FAL, a zatim zamijeniti vrijednosti vjerojatnosti umjesto logičkih varijabli. Vjerovatnoće stanja elemenata treba zamijeniti u SDNF i pojednostaviti prema pravilima algebre.

Nedostatak opisane metode je potreba za sastavljanjem tablice istinitosti, koja zahtijeva nabrajanje svih operativnih stanja sistema.

5.3.2. Metoda najkraćih puteva i minimalnih dionica

O ovoj metodi je već bilo riječi. u sekciji 5.2.3. Recimo to sa stanovišta algebre logike.

Funkcija operativnosti može se opisati uz pomoć najkraćih puteva hodajućeg funkcionisanja sistema i minimalnih delova njegovog kvara.

Najkraći put je minimalna konjunkcija obradivih:stanica elemenata koji čine radni sistem.

Minimalni presjek je minimalna konjunkcija neoperabilnih stanja elemenata koji čine neoperativno stanje sistema.

PRIMJER 5.13. Potrebno je formirati funkciju operativnosti sistema, čiji je blok dijagram prikazan na sl. 5.17 korištenjem metode najkraćih staza i minimalnih dionica.

Rješenje. U ovom slučaju, najkraći putevi koji formiraju funkcionalan sistem biće: x 1 x 2, x 3 x 4, x 1 x 5 x 4, x 3 x 5 x 2. Tada se funkcija zdravlja može napisati kao sljedeća funkcija logičke algebre:

U skladu sa ovim FAL-om, blok dijagram sistema na Sl. 5.17 može se predstaviti blok dijagramom na sl. 5.18.

Minimalni dijelovi koji čine neoperativni sistem bit će: x 1 x 3, x 2 x 4, x 1 x 5 x 4, x 3 x 5 x 2. Tada se funkcija neoperabilnosti može napisati kao sljedeća funkcija logičke algebre:

U skladu sa ovim FAL-om, blok dijagram sistema će biti predstavljen u obliku prikazanom na sl. 5.19.

Treba imati na umu da blok dijagrami na sl. 5.18 i sl. 5.19 nisu sheme proračuna pouzdanosti, a izrazi za FAL operativnog i neoperativnog stanja nisu izrazi za određivanje vjerovatnoće rada bez otkaza i vjerovatnoće kvara:

Glavne prednosti FAL-a su u tome što omogućavaju da se formalno, bez sastavljanja tabele istinitosti, dobije PDNF i CKNF (savršena konjunktivna normalna forma), koji omogućavaju dobijanje verovatnoće rada bez greške (verovatnoća kvara) sistem zamjenom u FAL-u umjesto logičkih varijabli odgovarajućih vrijednosti vjerojatnosti rada bez greške, zamjenjujući operacije konjunkcije i disjunkcije algebarskim operacijama množenja i sabiranja.

Da biste dobili SDNF, potrebno je pomnožiti svaki disjunktivni član FAL-a sa, gdje x i- argument koji nedostaje i proširite zagrade. Odgovor je SDNF. Razmotrimo ovu metodu na primjeru.

PRIMJER 5.14. Potrebno je utvrditi vjerovatnoću neometanog rada sistema, čiji je blok dijagram prikazan na Sl. 5.17. Vjerojatnosti nesmetanog rada elemenata su jednake p 1, p 2, p 3, p 4, r 5 .

Rješenje. Koristimo metodu najkraće staze. Funkcija logičke algebre dobijena metodom najkraćeg puta ima oblik:

Dobijamo SDNF sistema. Da bismo to učinili, množimo disjunktivne pojmove sa onima koji nedostaju:

Proširujući zagrade i izvodeći transformacije prema pravilima algebre logike, dobijamo SDNF:

Zamjena u SDNF umjesto x 1, x 2, x 3 , x 4, x 5 vjerovatnoće produženja rada p 1, p 2, p 3, p 4, p 5 i koristeći omjere q i = 1–p i, dobijamo sledeći izraz za verovatnoću neometanog rada sistema.

Iz gornjeg primjera se vidi da nas je metoda najkraćih puteva oslobodila definicije povoljnih hipoteza. Isti rezultat se može dobiti metodom minimalnih presjeka.

5.3.3. Algoritam rezanja

Algoritam rezanja omogućava dobijanje FAL-a, zamenjujući u koji se, umesto logičkih varijabli, verovatnoća neometanog rada (verovatnoća otkaza) elemenata, može naći verovatnoća neometanog rada sistema. Za ovu svrhu nije potrebno dobiti CDNF.

Algoritam rezanja se zasniva na sljedećem teoremu logičke algebre: funkcija logičke algebre y(x b x 2 ,...,x n) može se predstaviti u sljedećem obliku:

Pokažimo primjenjivost ove teoreme na tri primjera:

Primjenom drugog distributivnog zakona algebre logike dobijamo:

PRIMJER 5.15. Odrediti vjerovatnoću neometanog rada sistema, čiji je blok dijagram prikazan na sl. 5.16 korištenjem algoritma rezanja.

Rješenje. Koristeći metodu najkraće staze, dobijamo sljedeći FAL:

Primijenimo algoritam rezanja:

Zamjenom sada umjesto logičkih varijabli vjerovatnoćama i zamjenom operacija konjunkcije i disjunkcije sa algebarskim množenjem i sabiranjem, dobijamo:

PRIMJER 5.16. Odrediti vjerovatnoću neometanog rada sistema, čiji je blok dijagram prikazan na sl. 5.17. Koristite algoritam rezanja.

Rješenje. Funkcija logičke algebre dobijena metodom minimalnih presjeka ima oblik:

Algoritam rezanja implementiramo u odnosu na X 5:

Dobiveni izraz pojednostavljujemo koristeći pravila algebre logike. Pojednostavljujemo izraz u prvim zagradama koristeći pravilo zagrada:

Tada će FAL izgledati ovako:

Ovaj izraz odgovara blok dijagramu na sl. 5.20.

Rezultirajuća shema je također shema proračuna pouzdanosti, ako se logičke varijable zamjene vjerovatnoćama rada bez greške p 1, p 2, p 3, p 4, p 5, a varijabla je vjerovatnoća neuspjeha q 5 . Od sl. 5.20 može se vidjeti da je blok dijagram sistema sveden na serijsko-paralelno kolo. Vjerovatnoća rada bez kvara izračunava se po sljedećoj formuli:

Formulu nije potrebno objašnjavati, ona je napisana direktno prema blok dijagramu.

5.3.4. Algoritam ortogonalizacije

Algoritam ortogonalizacije, kao i algoritam rezanja, dozvoljava formalnim procedurama da formiraju funkciju algebre logike, zamjenjujući u nju umjesto logičkih varijabli vjerovatnoće, a umjesto disjunkcija i konjunkcija - algebarsko sabiranje i množenje, kako bi se dobila vjerovatnoća problema - slobodan rad sistema. Algoritam se zasniva na transformaciji funkcija logičke algebre u ortogonalni disjunktivni normalni oblik (ODNF), koji je mnogo kraći od SDNF. Prije nego što opišemo metodologiju, formuliramo niz definicija i dajemo primjere.

Dva veznici pozvao ortogonalno, ako je njihov proizvod identično nula. Disjunktivni normalni oblik pozvao ortogonalno, ako su svi njegovi članovi po paru ortogonalni. SDNF je ortogonalna, ali najduža od svih ortogonalnih funkcija.

Ortogonalni DNF se može dobiti pomoću sljedećih formula:

Ove formule je lako dokazati korištenjem drugog distributivnog zakona algebre logike i De Morganove teoreme. Algoritam za dobijanje ortogonalne disjunktivne normalne forme je sljedeća procedura transformacije funkcije y(x 1, x 2,..., x n) u ODNF:

Funkcija y(x 1, x 2,..., x n) pretvoren u DNF metodom najkraćih puteva ili minimalnih sekcija;

Ortogonalni disjunktivno-normalni oblik nalazi se korištenjem formula (5.10) i (5.11);

Funkcija se minimizira izjednačavanjem sa nulom ortogonalnih članova ODNF-a;

Booleove varijable zamjenjuju se vjerovatnoćama neometanog rada (vjerovatnosti otkaza) elemenata sistema;

Konačno rješenje se dobija nakon pojednostavljenja izraza dobijenog u prethodnom koraku.

Razmotrimo tehniku na primjeru.

PRIMJER 5.17. Odrediti vjerovatnoću neometanog rada sistema, čiji je blok dijagram prikazan na sl. 5.17. Primijenite metod ortogonalizacije.

Rješenje. U ovom slučaju, funkcionisanje sistema je opisano sledećom funkcijom logičke algebre (metoda minimalnih sekcija):

Označite K 1= x 1 x 2, K 2= x 3 x 4, K 3= x 1 x 5 x 4, K 4 = x 3 x 5 x 2. Tada će ODNF biti napisan u sljedećem obliku:

Vrijednosti , i= 1,2,3, na osnovu formule (5.10) imaće oblik:

Zamjenom ovih izraza u (5.12) dobijamo:

Zamjenom logičkih varijabli u ovom izrazu odgovarajućim vjerovatnoćama i izvođenjem algebarskih operacija sabiranja i množenja, dobijamo vjerovatnoću sigurnosne operacije sistema:

Odgovor je isti kao u primjeru 5.14.

Primjer pokazuje da je ortogonalizacijski algoritam produktivniji od metoda o kojima smo ranije raspravljali. Detaljnije su opisane logičko-vjerovatne metode analize pouzdanosti. Logičko-vjerovatna metoda, kao i svaka druga, ima svoje prednosti i nedostatke. Njegove zasluge su već spomenute. Istaknimo njegove nedostatke.

Početni podaci u logičko-vjerovatnoj metodi su vjerovatnoće neometanog rada elemenata strukturnog dijagrama sistema. Međutim, u mnogim slučajevima ovi podaci se ne mogu dobiti. I to ne zato što je pouzdanost elemenata nepoznata, već zato što je vrijeme rada elementa slučajna varijabla. To se dešava u slučaju redundantnosti zamjenom, prisutnosti naknadnog efekta kvara, neistovremenosti rada elemenata, prisutnosti restauracije s drugom disciplinom servisa i u mnogim drugim slučajevima.

Navedimo primjere koji ilustruju ove nedostatke. Blok dijagram sistema ima oblik prikazan na sl. 5.21, gdje su prihvaćene sljedeće oznake: x i- logičke varijable sa vrijednostima 0 i 1, koje odgovaraju kvaru i ispravnom radu elementa, x i = 1, 2, 3.

U ovom slučaju, logička varijabla ds 3 je 0 do trenutka τ otkaza glavnog elementa i 1 tokom vremena (t-τ), gdje t- vrijeme tokom kojeg se utvrđuje vjerovatnoća neometanog rada sistema. Vrijeme τ je slučajna vrijednost, dakle vrijednost r(τ) nepoznato. U ovom slučaju, nemoguće je sastaviti FAL, a još više SDNF. Nijedna od logičko-vjerovatnih metoda koje smo razmatrali ne omogućava nam da pronađemo vjerovatnoću sigurnog rada sistema.

Evo još jednog tipičnog primjera. Energetski sistem se sastoji od regulatora napona R n i dva paralelna generatora G 1 i G 2 . Blok dijagram sistema je prikazan na sl. 5.22.

Ako jedan od generatora pokvari, preostali servisni generator radi jedno zajedničko opterećenje. Stopa neuspjeha se povećava. Ako je prije trenutka τ otkaza jednog od generatora, intenzitet njegovog kvara bio jednak λ , zatim nakon odbijanja λ1 > λ2. Od vremena τ je onda nasumično R(τ) nepoznato. Ovdje su, kao iu slučaju redundancije zamjenom, nemoćne logičko-vjerovatne metode. Dakle, ovi nedostaci logičko-vjerovatnih metoda smanjuju njihovu praktičnu primjenu u proračunu pouzdanosti složenih sistema.

5.4. Topološke metode analize pouzdanosti

Nazvat ćemo topološke metode koje vam omogućavaju da odredite pokazatelje pouzdanosti bilo grafom stanja ili strukturnim dijagramom sistema, bez sastavljanja ili rješavanja jednačina. Veliki broj radova posvećen je topološkim metodama, koji opisuju različite načine njihove praktične implementacije. Ovaj odjeljak opisuje metode za određivanje indikatora pouzdanosti iz grafa stanja.

Topološke metode omogućavaju izračunavanje sljedećih pokazatelja pouzdanosti:

- P(t)- vjerovatnoća rada bez otkaza tokom, vrijeme t;

- T1, - srednje vrijeme rada bez otkaza;

- K g (t)- funkcija spremnosti (vjerovatnoća da je sistem operativan u bilo kojem proizvoljnom trenutku t);

- Kg= - faktor spremnosti;

T- vrijeme između kvarova obnovljenog sistema.

Topološke metode imaju sljedeće karakteristike:

Jednostavnost računskih algoritama;

Visoka jasnoća procedura za određivanje kvantitativnih karakteristika pouzdanosti;

Mogućnost približnih procjena;

Nema ograničenja na tip blok dijagrama (sistemi, povratni i nepovratni, neredundantni i redundantni sa bilo kojom vrstom redundantnosti i bilo koje višestrukosti).

Ovo poglavlje govori o ograničenjima topoloških metoda:

Stope otkaza i oporavka elemenata složenog sistema su konstantne vrijednosti”;

Vremenski indikatori pouzdanosti, kao što su vjerovatnoća rada bez otkaza i funkcija dostupnosti, određuju se u Laplaceovim transformacijama;

Poteškoće, u nekim slučajevima nepremostive, u analizi pouzdanosti složenih sistema opisanih višestruko povezanim grafom stanja.

Ideja topoloških metoda je sljedeća.

Grafikon stanja je jedan od načina da se opiše funkcionisanje sistema. Određuje vrstu diferencijalnih jednadžbi i njihov broj. Intenzitet prijelaza, koji karakterizira pouzdanost elemenata i njihovu nadoknadivost, određuju koeficijente diferencijalnih jednadžbi. Početni uslovi se biraju kodiranjem čvorova grafa.

Grafikon stanja sadrži sve informacije o pouzdanosti sistema. I to je razlog da vjerujemo da se pokazatelji pouzdanosti mogu izračunati direktno iz grafa stanja.

5.4.1. Određivanje vjerovatnoća stanja sistema

Vjerovatnoća pronalaženja povratnog sistema u stanju i u određenom trenutku t u Laplaceovoj transformaciji može se napisati u sljedećem obliku:

gdje ∆(s)- glavna determinanta sistema diferencijalnih jednačina napisanih u Laplasovim transformacijama; Δi(s) je privatna determinanta sistema.

Iz izraza (5.13) se vidi da pi(e)će se odrediti ako se stepeni pronađu iz grafa stanja vrstu polinomi brojioca i nazivnika, kao i koeficijenti Bij (j = 0,1,2,..., m) i A i(i = 0,1, 2,..., n-1).

Razmotrimo prvo metodu određivanja pi(e) graf stanja samo takvih sistema, u čijem grafu stanja nema prelaza kroz stanja. Tu spadaju svi neredundantni sistemi, redundantni sistemi sa opštom redundantnošću sa celobrojnim i razlomkom, redundantni sistemi bilo koje strukture sa održavanjem pokvarenih uređaja obrnutim redosledom od njihovog prijema na popravku. Ova klasa sistema uključuje i neke redundantne sisteme sa podjednako pouzdanim uređajima sa različitim disciplinama za njihovo održavanje.

Funkcionisanje sistema opisuje se diferencijalnim jednadžbama čiji je broj jednak broju čvorova grafa. To znači da je glavna determinanta sistema ∆(s) općenito će biti polinom n stepena, gde n je broj čvorova grafa stanja. Lako je pokazati da polinom nazivnika ne sadrži presek. Zaista, pošto zatim nazivnik funkcije pi(e) mora sadržavati s kao faktor, inače konačna vjerovatnoća pi (∞)će biti jednaka nuli. Izuzetak je kada je broj popravaka ograničen.

Stepen brojivog polinoma∆ i pronađeno iz izraza:

m i \u003d n - 1 - l i,

gdje n- broj čvorova grafa stanja; l i- broj prelazaka iz početnog stanja sistema, određenog početnim uslovima njegovog funkcionisanja, u stanje i najkraćom stazom.

Ako je početno stanje sistema stanje kada su svi uređaji operativni, onda l i- broj državnog nivoa i, tj. l i jednak je minimalnom broju neispravnih sistemskih uređaja u stanju i. Dakle, stepen polinoma brojioca vjerovatnoće P i (s) boravak sistema unutra i-to stanje zavisi od broja stanja i i od početnih uslova. Od broja prelaza l i možda 0,1,2,..., n-1, zatim stepen polinomaΔi(s) na osnovu (5.14) također može uzeti vrijednosti m i = 0,1,2,..., n-1.

Predavanje 9

Tema: Procjena pouzdanosti metodom staza i dionica. Logičko-vjerovatne metode za analizu složenih sistema

Plan

1. Metoda minimalnih putanja i sekcija za proračun pokazatelja pouzdanosti sistema sa razgranatom strukturom.

2. Osnovne definicije i koncepti logičko-vjerovatnih metoda analize i procjene pouzdanosti IS.

3. Suština metode najkraćeg puta uspješnog rada i minimalnog dijela kvarova.

4. Proračun funkcije zdravlja i funkcije otkaza za konstrukciju mosta.

5. Područja primjene ovih metoda. Statističko modeliranje za procjenu pouzdanosti IS-a.

Ključne riječi

Pokazatelji pouzdanosti, razgranana struktura IS, minimalna putanja, presjek, logičko-vjerovatna metoda, mostno kolo, zdravstvena funkcija, najkraći put uspješnog rada, minimalni dio kvara, vjerovatnoća rada bez otkaza, funkcija logičke algebre, strukturni dijagram proračuna pouzdanosti .

Postoje strukture i načini organizovanja IS-a kada dođe do redundancije, ali se to ne može predstaviti shemom serijskog i paralelnog uključivanja elemenata ili podsistema. Za analizu pouzdanosti takvih konstrukcija koristi se metoda minimalnih staza i presjeka, koja se odnosi na približne metode i omogućava vam da odredite granične procjene pouzdanosti odozgo i odozdo.

Put u složenoj strukturi je niz elemenata koji osiguravaju funkcionisanje (operabilnost) sistema.

Sekcija je skup elemenata čiji kvarovi dovode do kvara sistema.

Verovatnoća neometanog rada serijski povezanih paralelnih kola daje gornju procenu za FBG sistema ove strukture. Verovatnoća neometanog rada paralelno povezanih serijskih kola elemenata putanje daje nižu procenu za FBG sistema ove strukture. Stvarna vrijednost indikatora pouzdanosti je između gornje i donje granice.

Razmotrimo mostno kolo za povezivanje elemenata sistema koji se sastoji od pet elemenata (slika 1).

Rice. 1. Mostno kolo za spojne elemente (podsistem)

Ovdje skup elemenata formira minimalnu putanju ako izuzimanje bilo kojeg elementa iz skupa uzrokuje neuspjeh putanje. Iz ovoga slijedi da su u granicama jedne staze elementi u glavnoj vezi, a sami putevi su povezani paralelno. Skup minimalnih staza za premošćivanje predstavljeno na sl. 2. Staze formiraju element 1, 3; 2, 4; 1, 5, 4; 2, 5, 3.

Rice. 2. Skup minimalnih putanja.

Za sve elemente kola poznati su FBG-ovi R 1 , R 2 , R 3 , R 4 , R 5 i njihove odgovarajuće vjerovatnoće kvara "otvorenog" tipaQ 1 sat Q 5 , potrebno je odrediti vjerovatnoću prisustva lanca između tačaka a i in. Budući da je isti element uključen u dva paralelna puta, rezultat proračuna je gornja procjena pouzdanosti.

R u = 1- Q 13 ∙ Q 24 ∙ Q 154 ∙ Q 253 = 1- (1-R 1 R 3)(1-R 2 R 4)(1-R 1 R 5 R 4)(1-R 2 R 5 R 3)

Prilikom određivanja minimalnih poprečnih presjeka vrši se odabir minimalnog broja elemenata čiji prijenos iz operativnog stanja u neoperativno uzrokuje kvar sistema.

Pravilnim odabirom elemenata sekcije, vraćanje bilo kojeg od elemenata u radno stanje vraća radno stanje sistema.

Budući da kvar svake od sekcija uzrokuje kvar sistema, prvi su povezani u seriju. U granicama svake sekcije, elementi su povezani paralelno, jer da bi sistem funkcionisao, dovoljno je da bilo koji element sekcije ima operativno stanje.

Dijagram minimalnih poprečnih presjeka za mosni krug je prikazan na sl. 3. Pošto je isti element uključen u dva dijela, rezultirajuća procjena je niža procjena.

Pn = P 12 ∙ P 34 ∙ P 154 ∙ P 253 = (1- q 1 q 2 )∙ (1- q 3 q 4 )∙ (1- q 1 q 5 q 4 )∙ (1- q 2 q 5 q 3 )

Rice. 3. Skup minimalnih sekcija

Vjerovatnoća rada sistema R s se tada procjenjuje dvostrukom nejednakošću

R n ≤R sa ≤R in

Dakle, ova metoda omogućava da se sistem sa proizvoljnom strukturom predstavi u obliku paralelnih i serijskih kola. (Prilikom sastavljanja minimalnih putanja i sekcija, svaki sistem se transformiše u strukturu sa paralelno-serijskim ili serijsko-paralelnim povezivanjem elemenata). Metoda je jednostavna, ali zahtijeva preciznu definiciju svih staza i dionica. Široko se koristi u proračunu pouzdanosti ACS podsistema, posebno u odnosu na sisteme zaštite i logičke kontrole. Koristi se u sistemima upravljanja snagom reaktora, koji omogućavaju prelazak s jednog neispravnog upravljačkog kruga na drugi, koji je u stanju pripravnosti.

Logičke i probabilističke metode za analizu pouzdanosti sistema

Sistem može biti samo u dva stanja: u stanju pune operativnosti ( at= 1) iu stanju potpunog otkaza ( at= 0). Pretpostavlja se da je djelovanje sistema deterministički zavisno od djelovanja njegovih elemenata, tj. at je funkcija X 1 , X 2 , … , x i, … , x n. Predmeti mogu biti također u samo dva nekompatibilna stanja: puna operativnost (x i = 1) i potpuni kvar (x i = 0).

Funkcija algebre logike koja povezuje stanje elemenata sa stanjem sistema at (X 1 , X 2 ,…, x n) su pozvani zdravstvena funkcija sistemimaF(y) = 1.

Za procjenu operativnih stanja sistema koriste se dva koncepta:

1) najkraći put uspešnog rada (KPUF), koji je takva spoj njegovih elemenata, od kojih se nijedna komponenta ne može ukloniti bez narušavanja funkcionisanja sistema. Takav veznik se piše kao sljedeći FAL:

gdje i- pripada više brojeva odgovara ovome
l-mu način.

gdje označava skup brojeva koji odgovaraju datom odeljku.

Drugim riječima, MCO sistema opisuje jedan od mogućih načina da se poremeti sistem uz pomoć minimalnog skupa neispravnih elemenata.

Svaki redundantni sistem ima konačan broj najkraćih puteva (l= 1, 2,…, m ) i minimalni poprečni presjeci (j= 1, 2,…, m).

Koristeći ove koncepte, možemo zapisati uslove za rad sistema.

1) u vidu disjunkcije svih raspoloživih najkraćih puteva za uspešno funkcionisanje.

;

2) u obliku konjunkcije negacija svih MKO

;

Na primjer, za strukturu mosta IC-a, funkcija zdravlja sistema koja koristi KPUF bit će napisana na sljedeći način:

;

funkcija operativnosti istog sistema kroz MCO može se napisati u sljedećem obliku:

Uz mali broj elemenata (ne više od 20) može se koristiti tabelarna metoda za izračunavanje pouzdanosti, koja se temelji na korištenju teoreme sabiranja za vjerovatnoće zajedničkih događaja.

Vjerovatnoća rada sistema bez otkaza može se izračunati po formuli (preko vjerovatnoće funkcije oblika):

Za pouzdanost računarskog sistema sa složenom redundantnom strukturom može se koristiti metod statističkog modeliranja.

Ideja metode je da generiše logičke varijablex i c data verovatnoća pi pojavljivanja jedinice, koje se supstituiraju u logičku strukturnu funkciju simuliranog sistema u proizvoljnom obliku, a zatim se izračunava rezultat.

Agregat X 1 , X 2 ,…, X nnezavisni slučajni događaji koji čine kompletnu grupu karakterišu verovatnoće nastanka svakog od događajastr(x i), i .

Za simulaciju ovog skupa slučajnih događaja koristi se generator slučajnih brojeva, jednoliko raspoređen u intervalu

Značenje pi se bira jednaka vjerovatnoći rada bez otkazaith podsistema. U ovom slučaju, proces izračunavanja se ponavljaN 0 puta s novim, neovisnim vrijednostima slučajnih argumenatax i(ovo se brojiN(t) pojedinačne vrijednosti logičke strukturne funkcije). StavN(t)/ N 0 je statistička procjena vjerovatnoće produženja rada

gdje N(t) - broj besprijekornih radova do određenog trenutkatobjekata, sa njihovim originalnim brojem.

Generiranje slučajnih logičkih varijablix isa datom vjerovatnoćom da se dogodi jedan R ivrši se na osnovu slučajnih varijabli ravnomjerno raspoređenih u intervalu, dobijenih korištenjem standardnih programa uključenih u matematički softver svih savremenih računara.

Kontrolna pitanja i zadaci

1. Koja je metoda za procjenu pouzdanosti IS-a, gdje je vjerovatnoća neometanog rada sistema definisana kao R n ≤R sa ≤R in.

2. Za izračunavanje pouzdanosti kojih sistema se koristi metoda staza i sekcija?

3. Koja metoda se može koristiti za procjenu pouzdanosti uređaja tipa mosta?

4. Koje metode za određivanje pokazatelja pouzdanosti povratnih sistema su poznate?

5. Strukturno predstavite mostno kolo kao skup minimalnih staza i sekcija.

6. Definirajte minimalnu putanju i minimalni dio.

7. Napisati zdravstvenu funkciju za razgranati uređaj?

8. Šta je funkcija performansi?

9. Koji je najkraći put do uspješnog poslovanja (KPUF). Zapišite uslove rada u obliku KPUF-a.

10. Gdje se koristi logičko-vjerovatni metod procjene pouzdanosti?

Literatura: 1, 2, 3, 5, 6, 8.