Преобразуване на изрази, съдържащи степени. Преобразуване на изрази

Аритметичната операция, която се изпълнява последна при изчисляване на стойността на израз, е „главната“ операция.

Тоест, ако замените някои (които и да е) числа вместо букви и се опитате да изчислите стойността на израза, тогава ако последното действие е умножение, тогава имаме продукт (изразът е факторизиран).

Ако последното действие е събиране или изваждане, това означава, че изразът не е факторизиран (и следователно не може да бъде намален).

За да подсилите това, решете сами няколко примера:

Примери:

Решения:

1. Надявам се, че не се втурнахте веднага да отрежете и? Все още не беше достатъчно да се „намалят“ единици по този начин:

Първата стъпка трябва да бъде факторизиране:

4. Събиране и изваждане на дроби. Привеждане на дроби към общ знаменател.

Събирането и изваждането на обикновени дроби е позната операция: търсим общ знаменател, умножаваме всяка дроб по липсващия множител и събираме/изваждаме числителите.

Да си припомним:

Отговори:

1. Знаменателите и са относително прости, т.е. нямат общи множители. Следователно LCM на тези числа е равен на техния продукт. Това ще бъде общият знаменател:

2. Тук общият знаменател е:

3. Тук, на първо място, преобразуваме смесените дроби в неправилни, а след това според обичайната схема:

Съвсем друг е въпросът, ако дробите съдържат букви, например:

Да започнем с нещо просто:

а) Знаменателите не съдържат букви

Тук всичко е както при обикновените числови дроби: намираме общия знаменател, умножаваме всяка дроб по липсващия фактор и събираме/изваждаме числителите:

Сега в числителя можете да дадете подобни, ако има такива, и да ги разложите:

Опитайте сами:

Отговори:

б) Знаменателите съдържат букви

Нека си припомним принципа за намиране на общ знаменател без букви:

· на първо място определяме общите фактори;

· след това изписваме всички общи множители един по един;

· и ги умножете по всички други необичайни множители.

За да определим общите множители на знаменателите, първо ги разделяме на прости множители:

Нека подчертаем общите фактори:

Сега нека напишем общите фактори един по един и добавим към тях всички необичайни (неподчертани) фактори:

Това е общият знаменател.

Да се ​​върнем на писмата. Знаменателите са дадени по абсолютно същия начин:

· множете знаменателите на множители;

· определяне на общи (еднакви) фактори;

· изпишете всички общи множители веднъж;

· умножете ги по всички други необичайни множители.

И така, по ред:

1) факторирайте знаменателите:

2) определяне на общи (идентични) фактори:

3) запишете всички общи множители веднъж и ги умножете по всички други (неподчертани) множители:

Така че тук има общ знаменател. Първата дроб трябва да се умножи по, втората - по:

Между другото, има един трик:

Например: .

Виждаме същите фактори в знаменателите, само всички с различни показатели. Общият знаменател ще бъде:

до известна степен

до известна степен

до известна степен

до известна степен.

Нека усложним задачата:

Как да накарам дробите да имат еднакъв знаменател?

Нека си припомним основното свойство на дробта:

Никъде не се казва, че едно и също число може да се извади (или добави) от числителя и знаменателя на дроб. Защото не е истина!

Вижте сами: вземете произволна дроб, например, и добавете някакво число към числителя и знаменателя, например, . Какво научи?

И така, още едно непоклатимо правило:

Когато привеждате дроби към общ знаменател, използвайте само операцията умножение!

Но по какво трябва да умножите, за да получите?

Така че умножете по. И умножете по:

Ще наричаме изрази, които не могат да бъдат факторизирани, „елементарни фактори“.

Например, - това е елементарен фактор. - Един и същ. Но не: може да се факторизира.

Какво ще кажете за израза? Елементарно ли е?

Не, защото може да се разложи на фактори:

(вече прочетохте за факторизацията в темата “”).

И така, елементарните множители, на които разлагате израз с букви, са аналог на простите множители, на които разлагате числата. И ние ще се справим с тях по същия начин.

Виждаме, че и двата знаменателя имат множител. Ще отиде при общия знаменател на степен (помнете защо?).

Факторът е елементарен и те нямат общ фактор, което означава, че първата дроб просто ще трябва да бъде умножена по него:

Друг пример:

Решение:

Преди да умножите тези знаменатели в паника, трябва да помислите как да ги разложите? И двамата представляват:

Страхотен! Тогава:

Друг пример:

Решение:

Както обикновено, нека разложим знаменателите на множители. В първия знаменател просто го поставяме извън скоби; във втория - разликата на квадратите:

Изглежда, че няма общи фактори. Но ако се вгледате внимателно, те си приличат... И е вярно:

Така че нека напишем:

Тоест, получи се така: вътре в скобата сменихме условията и в същото време знакът пред дробта се промени на противоположния. Обърнете внимание, ще трябва да правите това често.

Сега нека го приведем към общ знаменател:

Схванах го? Нека да го проверим сега.

Задачи за самостоятелно решаване:

Отговори:

Тук трябва да запомним още нещо - разликата на кубчетата:

Моля, обърнете внимание, че знаменателят на втората дроб не съдържа формулата „квадрат на сумата“! Квадратът на сумата би изглеждал така: .

А е така нареченият непълен квадрат на сбора: вторият член в него е произведението на първия и последния, а не техният двоен продукт. Частичният квадрат на сумата е един от факторите в разширяването на разликата на кубовете:

Какво да направите, ако вече има три фракции?

Да, същата работа! Първо, нека се уверим, че максималният брой фактори в знаменателите е еднакъв:

Моля, обърнете внимание: ако промените знаците в една скоба, знакът пред дробта се променя на противоположния. Когато променим знаците във втората скоба, знакът пред дробта отново се променя на противоположния. В резултат на това той (знакът пред дробта) не се е променил.

Записваме целия първи знаменател в общия знаменател и след това добавяме към него всички фактори, които все още не са записани, от втория, а след това от третия (и така нататък, ако има повече дроби). Тоест, оказва се така:

Хм... Ясно е какво се прави с дробите. Но какво да кажем за двамата?

Просто е: знаете как да събирате дроби, нали? И така, трябва да накараме две да станат дроб! Нека си припомним: дробта е операция за деление (числителят се дели на знаменателя, ако сте забравили). И няма нищо по-лесно от това да разделите число на. В този случай самото число няма да се промени, а ще се превърне в дроб:

Точно това, което е необходимо!

5. Умножение и деление на дроби.

Е, най-трудното вече свърши. И пред нас е най-простото, но в същото време и най-важното:

Процедура

Каква е процедурата за изчисляване на числов израз? Запомнете, като изчислите значението на този израз:

броихте ли

Би трябвало да работи.

И така, нека ви напомня.

Първата стъпка е да се изчисли степента.

Второто е умножение и деление. Ако има няколко умножения и деления едновременно, те могат да се извършват в произволен ред.

И накрая, извършваме събиране и изваждане. Отново в произволен ред.

Но: изразът в скоби се оценява извънредно!

Ако няколко скоби се умножат или разделят една на друга, първо изчисляваме израза във всяка от скобите и след това ги умножаваме или разделяме.

Ами ако има повече скоби вътре в скобите? Добре, нека помислим: в скобите е записан някакъв израз. Когато изчислявате израз, какво трябва да направите първо? Точно така, изчислете скобите. Е, разбрахме го: първо изчисляваме вътрешните скоби, след това всичко останало.

И така, процедурата за израза по-горе е следната (текущото действие е маркирано в червено, т.е. действието, което извършвам в момента):

Добре, всичко е просто.

Но това не е същото като израз с букви?

Не, същото е! Само вместо аритметични операции, трябва да извършвате алгебрични, тоест действията, описани в предишния раздел: привеждане на подобни, събиране на дроби, съкращаване на дроби и т.н. Единствената разлика ще бъде действието на факторизиране на полиномите (често използваме това, когато работим с дроби). Най-често, за да разложите на множители, трябва да използвате I или просто да поставите общия множител извън скоби.

Обикновено нашата цел е да представим израза като произведение или частно.

Например:

Нека опростим израза.

1) Първо опростяваме израза в скоби. Там имаме разлика от дроби и нашата цел е да я представим като произведение или частно. И така, привеждаме дробите към общ знаменател и добавяме:

Невъзможно е да се опрости повече този израз; всички фактори тук са елементарни (все още помните ли какво означава това?).

2) Получаваме:

Умножаване на дроби: какво може да бъде по-просто.

3) Сега можете да съкратите:

Добре, всичко свърши. Нищо сложно, нали?

Друг пример:

Опростете израза.

Първо се опитайте да го решите сами и едва след това погледнете решението.

Решение:

Първо, нека определим реда на действията.

Първо, нека съберем дробите в скобите, така че вместо две дроби да получим една.

След това ще направим деление на дроби. Добре, нека съберем резултата с последната дроб.

Ще номерирам стъпките схематично:

Сега ще ви покажа процеса, оцветявайки текущото действие в червено:

1. Ако има подобни, трябва да се донесат веднага. В който и момент да възникнат подобни у нас, препоръчително е веднага да се повдигнат.

2. Същото важи и за редуцирането на дроби: веднага щом се появи възможност за редуциране, трябва да се възползвате от него. Изключението е за дроби, които добавяте или изваждате: ако те сега имат еднакви знаменатели, тогава намаляването трябва да се остави за по-късно.

Ето някои задачи, които можете да решите сами:

И какво беше обещано в самото начало:

Отговори:

Решения (накратко):

Ако сте се справили поне с първите три примера, значи сте усвоили темата.

Сега към ученето!

ПРЕОБРАЗУВАНЕ НА ИЗРАЗИ. ОБОБЩЕНИЕ И ОСНОВНИ ФОРМУЛИ

Основни операции за опростяване:

• Привеждане на подобни: за да добавите (намалите) подобни термини, трябва да добавите техните коефициенти и да зададете буквената част.
• Факторизация:извеждане на общия множител извън скоби, прилагането му и т.н.
• Намаляване на дроб: Числителят и знаменателят на дроб могат да бъдат умножени или разделени на едно и също ненулево число, което не променя стойността на дробта.
  1) числител и знаменател факторизирам
  2) ако числителят и знаменателят имат общи множители, те могат да бъдат задраскани.

  ВАЖНО: могат да се намаляват само множителите!

• Събиране и изваждане на дроби:
  ;
• Умножение и деление на дроби:
  ;

Изрази, преобразуване на изрази

Степенен израз (изрази със степен) и тяхното преобразуване

В тази статия ще говорим за преобразуване на изрази със степени. Първо, ще се съсредоточим върху трансформациите, които се извършват с изрази от всякакъв вид, включително изрази за мощност, като отваряне на скоби и въвеждане на подобни термини. И тогава ще анализираме трансформациите, присъщи конкретно на изразите със степени: работа с основата и показателя, използване на свойствата на степените и т.н.

Навигация в страницата.

Какво представляват изразите на властта?

Терминът „степенни изрази“ практически не се появява в училищните учебници по математика, но се появява доста често в колекции от задачи, особено в тези, предназначени за подготовка за Единния държавен изпит и Единния държавен изпит, например. След анализ на задачите, в които е необходимо да се извършват каквито и да било действия със степенни изрази, става ясно, че степенните изрази се разбират като изрази, съдържащи мощности в своите записи. Следователно можете да приемете следното определение за себе си:

Определение.

Силови изразиса изрази, съдържащи степени.

Да дадем примери за степенни изрази. Нещо повече, ние ще ги представим според това как става развитието на възгледите от степен с естествен показател към степен с реален показател.

Както е известно, първо се запознаваме със степента на число с естествен показател, като на този етап първите най-прости степенни изрази от вида 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0.1) 4, 3 a 2 се появяват −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 и т.н.

Малко по-късно се изучава степента на число с цяло число, което води до появата на степенни изрази с цели отрицателни степени, като следното: 3 −2, , a −2 +2 b −3 +c 2 .

В гимназията се връщат към степени. Там се въвежда степен с рационален показател, което води до появата на съответните степенни изрази: , , и така нататък. Накрая се разглеждат степени с ирационални показатели и изрази, които ги съдържат: , .

Въпросът не се ограничава до изброените степенни изрази: по-нататък променливата прониква в експонента и например възникват следните изрази: 2 x 2 +1 или . И след като се запознаем с , започват да се появяват изрази със степени и логаритми, например x 2·lgx −5·x lgx.

И така, ние се справихме с въпроса какво представляват изразите на мощност. След това ще се научим да ги трансформираме.

Основни видове преобразувания на степенни изрази

Със степенни изрази можете да извършите всяка от основните трансформации на идентичност на изрази. Например, можете да отворите скоби, да замените числови изрази с техните стойности, да добавите подобни термини и т.н. Естествено, в този случай е необходимо да се спазва приетата процедура за извършване на действия. Да дадем примери.

Пример.

Изчислете стойността на степенния израз 2 3 ·(4 2 −12) .

Решение.

Според реда на изпълнение на действията първо изпълнете действията в скоби. Там, първо, заместваме степента 4 2 с нейната стойност 16 (ако е необходимо, вижте), и второ, изчисляваме разликата 16−12=4. Ние имаме 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

В получения израз заместваме степента 2 3 с нейната стойност 8, след което изчисляваме произведението 8·4=32. Това е желаната стойност.

Така, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Отговор:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Пример.

Опростете изрази със степени 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Решение.

Очевидно този израз съдържа подобни членове 3·a 4 ·b −7 и 2·a 4 ·b −7 и можем да ги представим: .

Отговор:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Пример.

Изразете израз със степени като произведение.

Решение.

Можете да се справите със задачата, като представите числото 9 като степен на 3 2 и след това използвате формулата за съкратено умножение - разлика на квадратите:

Отговор:

Съществуват и редица идентични трансформации, присъщи специално на изразите на мощност. Ще ги анализираме допълнително.

Работа с основа и експонента

Има степени, чиято основа и/или експонента не са просто числа или променливи, а някои изрази. Като пример даваме записите (2+0,3·7) 5−3,7 и (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Когато работите с такива изрази, можете да замените както израза в основата на степента, така и израза в експонентата с идентично равен израз в ODZ на неговите променливи. С други думи, според известните ни правила, можем отделно да трансформираме основата на степента и отделно експонентата. Ясно е, че в резултат на тази трансформация ще се получи израз, който е идентично равен на първоначалния.

Такива трансформации ни позволяват да опростим изрази със способности или да постигнем други цели, от които се нуждаем. Например в израза на степен, споменат по-горе (2+0,3 7) 5−3,7, можете да извършвате операции с числата в основата и степента, което ще ви позволи да преминете към степен 4,1 1,3. И след като отворим скобите и приведем подобни членове към основата на степента (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1), получаваме степенен израз на по-проста форма a 2·(x+ 1) .

Използване на свойства на степен

Един от основните инструменти за трансформиране на изрази със степени са равенствата, които отразяват . Нека си припомним основните. За всякакви положителни числа a и b и произволни реални числа r и s са верни следните свойства на степените:

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r·s .

Имайте предвид, че за естествени, цели и положителни показатели ограниченията за числата a и b може да не са толкова строги. Например за естествените числа m и n равенството a m ·a n =a m+n е вярно не само за положително a, но и за отрицателно a, и за a=0.

В училище основният фокус при трансформиране на изрази на мощност е върху способността да се избере подходящото свойство и да се приложи правилно. В този случай основите на степените обикновено са положителни, което позволява свойствата на степените да се използват без ограничения. Същото важи и за трансформацията на изрази, съдържащи променливи в основите на мощностите - обхватът на допустимите стойности на променливите обикновено е такъв, че базите приемат само положителни стойности върху него, което ви позволява свободно да използвате свойствата на мощностите . Като цяло, трябва постоянно да се питате дали е възможно да използвате някакво свойство на степени в този случай, тъй като неточното използване на свойства може да доведе до стесняване на образователната стойност и други проблеми. Тези точки са обсъдени подробно и с примери в статията трансформация на изрази, използващи свойства на степени. Тук ще се ограничим до разглеждането на няколко прости примера.

Пример.

Изразете израза a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 като степен с основа a.

Решение.

Първо, трансформираме втория множител (a 2) −3, използвайки свойството за повишаване на степен на степен: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Оригиналният израз на степента ще приеме формата a 2,5 ·a −6:a −5,5. Очевидно остава да използваме свойствата на умножение и деление на степени с една и съща основа, която имаме
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Отговор:

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.

Свойствата на степените при преобразуване на степенни изрази се използват както отляво надясно, така и отдясно наляво.

Пример.

Намерете стойността на степенния израз.

Решение.

Равенството (a·b) r =a r ·b r, приложено отдясно наляво, ни позволява да преминем от оригиналния израз към продукт на формата и по-нататък. И когато се умножават степени с еднакви основи, показателите се събират: .

Беше възможно да се трансформира оригиналният израз по друг начин:

Отговор:

.

Пример.

При даден степенен израз a 1,5 −a 0,5 −6, въведете нова променлива t=a 0,5.

Решение.

Степента a 1,5 може да бъде представена като 0,5 3 и след това, въз основа на свойството на степента към степен (a r) s =a r s, приложено отдясно наляво, да го трансформира във формата (a 0,5) 3. По този начин, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Сега е лесно да въведем нова променлива t=a 0,5, получаваме t 3 −t−6.

Отговор:

t 3 −t−6 .

Преобразуване на дроби, съдържащи степени

Изразите на степен могат да съдържат или представляват дроби със степени. Всяка от основните трансформации на дроби, които са присъщи на всякакъв вид дроби, е напълно приложима за такива дроби. Тоест дроби, които съдържат степени, могат да бъдат намалени, намалени до нов знаменател, да се работи отделно с техния числител и отделно със знаменателя и т.н. За да илюстрирате тези думи, помислете за решения на няколко примера.

Пример.

Опростете израза на мощността .

Решение.

Този израз на мощност е дроб. Нека работим с неговия числител и знаменател. В числителя отваряме скобите и опростяваме получения израз, използвайки свойствата на степените, а в знаменателя представяме подобни термини:

И нека също да променим знака на знаменателя, като поставим минус пред дробта: .

Отговор:

.

Редуцирането на дроби, съдържащи степени, до нов знаменател се извършва подобно на редуцирането на рационални дроби до нов знаменател. В този случай се намира и допълнителен множител и числителят и знаменателят на дробта се умножават по него. Когато извършвате това действие, си струва да запомните, че намаляването до нов знаменател може да доведе до стесняване на VA. За да предотвратите това да се случи, е необходимо допълнителният коефициент да не отива на нула за никакви стойности на променливите от ODZ променливите за оригиналния израз.

Пример.

Намалете дробите до нов знаменател: а) до знаменател а, б) към знаменателя.

Решение.

а) В този случай е доста лесно да разберете кой допълнителен множител помага за постигане на желания резултат. Това е множител на 0,3, тъй като a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Обърнете внимание, че в диапазона от допустими стойности на променливата a (това е наборът от всички положителни реални числа), силата на a 0,3 не изчезва, следователно имаме право да умножим числителя и знаменателя на даден част от този допълнителен фактор:

б) Ако погледнете по-отблизо знаменателя, ще откриете това

и умножаването на този израз по ще даде сумата от кубове и , т.е. И това е новият знаменател, до който трябва да намалим първоначалната дроб.

Ето как открихме допълнителен фактор. В диапазона от приемливи стойности на променливите x и y, изразът не изчезва, следователно можем да умножим числителя и знаменателя на фракцията по него:

Отговор:

а) , б) .

Също така няма нищо ново в намаляването на дроби, съдържащи степени: числителят и знаменателят са представени като редица множители и същите множители на числителя и знаменателя са намалени.

Пример.

Намалете дроба: а) , б) .

Решение.

а) Първо, числителят и знаменателят могат да бъдат намалени с числата 30 и 45, което е равно на 15. Също така очевидно е възможно да се извърши редукция с x 0,5 +1 и с . Ето какво имаме:

б) В този случай еднаквите множители в числителя и знаменателя не се виждат веднага. За да ги получите, ще трябва да извършите предварителни трансформации. В този случай те се състоят в разлагане на знаменателя на множители с помощта на формулата за разликата на квадратите:

Отговор:

а)

б) .

Преобразуването на дроби в нов знаменател и съкращаването на дроби се използват главно за извършване на неща с дроби. Действията се извършват по известни правила. При събиране (изваждане) на дроби те се свеждат до общ знаменател, след което числителите се събират (изваждат), но знаменателят остава същият. Резултатът е дроб, чийто числител е произведението на числителите, а знаменателят е произведението на знаменателите. Делението с дроб е умножение с обратното му.

Пример.

Следвай стъпките .

Решение.

Първо, изваждаме дробите в скобите. За да направим това, ги привеждаме към общ знаменател, който е , след което изваждаме числителите:

Сега умножаваме дробите:

Очевидно е възможно да се намали на степен x 1/2, след което имаме .

Можете също така да опростите израза на степента в знаменателя, като използвате формулата за разликата на квадратите: .

Отговор:

Пример.

Опростете Power Expression .

Решение.

Очевидно тази дроб може да бъде намалена с (x 2,7 +1) 2, това дава дробта . Ясно е, че трябва да се направи нещо друго със правомощията на X. За да направим това, трансформираме получената фракция в продукт. Това ни дава възможност да се възползваме от свойството на деление на степени с еднакви бази: . И в края на процеса преминаваме от последния продукт към фракцията.

Отговор:

.

И нека добавим също, че е възможно и в много случаи желателно да се прехвърлят множители с отрицателни показатели от числителя към знаменателя или от знаменателя към числителя, като се промени знакът на степента. Такива трансформации често опростяват по-нататъшни действия. Например, степенен израз може да бъде заменен с .

Преобразуване на изрази с корени и степени

Често в изрази, в които се изискват някои трансформации, заедно със степени присъстват и корени с дробни показатели. За да трансформирате такъв израз в желаната форма, в повечето случаи е достатъчно да отидете само до корени или само до степени. Но тъй като е по-удобно да се работи с правомощия, те обикновено преминават от корени към правомощия. Въпреки това е препоръчително да извършите такъв преход, когато ODZ на променливите за оригиналния израз ви позволява да замените корените със степени, без да е необходимо да се позовавате на модула или да разделяте ODZ на няколко интервала (обсъдихме това подробно в статията преход от корени към степени и обратно След запознаване със степента с рационален показател се въвежда степен с ирационален показател, което ни позволява да говорим за степен с произволен реален показател.На този етап училището започва да проучване експоненциална функция, което е аналитично дадено чрез степен, чиято основа е число, а показателят е променлива. Така се сблъскваме със степенни изрази, съдържащи числа в основата на степента, а в степента - изрази с променливи, и естествено възниква необходимостта от извършване на трансформации на такива изрази.

Трябва да се каже, че трансформацията на изрази от посочения тип обикновено трябва да се извърши при решаването експоненциални уравненияИ експоненциални неравенстваи тези преобразувания са доста прости. В преобладаващата част от случаите те се основават на свойствата на степента и са насочени в по-голямата си част към въвеждане на нова променлива в бъдеще. Уравнението ще ни позволи да ги демонстрираме 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Първо, степените, в експонентите на които е сумата от определена променлива (или израз с променливи) и число, се заменят с продукти. Това се отнася за първия и последния член на израза от лявата страна:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

След това двете страни на равенството се разделят на израза 7 2 x, който на ODZ на променливата x за оригиналното уравнение приема само положителни стойности (това е стандартна техника за решаване на уравнения от този тип, ние не сме говорим за това сега, така че се фокусирайте върху последващите трансформации на изрази със степени):

Сега можем да съкратим дроби със степен, което дава .

И накрая, съотношението на степените с еднакви показатели се заменя със степени на отношенията, което води до уравнението , което е еквивалентно . Направените трансформации ни позволяват да въведем нова променлива, която редуцира решението на оригиналното експоненциално уравнение до решението на квадратно уравнение

Общинско държавно учебно заведение

основно средно училище № 25

Урок по алгебра

Предмет:

« Преобразуване на изрази, съдържащи степени с дробни показатели"

Разработено от:

,

учител по математика

по-високо доквалификационна категория

Възлова

2013

Тема на урока: Преобразуване на изрази, съдържащи показатели, с дробни показатели

Целта на урока:

1. По-нататъшно развитие на умения, знания и умения за преобразуване на изрази, съдържащи степени с дробни показатели

2. Развитие на способността за намиране на грешки, развитие на мисленето, креативността, речта, компютърните умения

3. Насърчаване на независимост, интерес към темата, внимание, точност.

TCO:магнитна дъска, тестови карти, таблици, индивидуални карти, учениците разполагат с празни подписани листове на масата за самостоятелна работа, кръстословица, маси за математическа загрявка, мултимедиен проектор.

Тип урок: обезопасяване на ЗУН.

План на урока във времето

1. Организационни аспекти (2 мин.)

2. Проверка на домашното (5 мин.)

3. Кръстословица (3 мин.)

4. Математическа загрявка (5 минути)

5. Решаване на фронтални укрепващи упражнения (7 минути)

6. Индивидуална работа (10 мин.)

7. Решение на упражнения за повторение (5 минути)

8. Обобщение на урока (2 мин.)

9. Домашна работа (1 мин.)

По време на часовете

1) Проверка на домашните под формата на партньорска проверка . Добрите ученици проверяват тетрадките на слабите деца. И слабите момчета проверяват със силните, използвайки примерна контролна карта. Домашната работа е дадена в два варианта.

аз вариант задачата не е трудна

II вариант задачата е трудна

В резултат на проверката момчетата подчертават грешките с обикновен молив и дават оценка. Накрая проверявам работата, след като децата си предадат тетрадките след часа. Питам момчетата за резултатите от техния тест и поставям оценки за този вид работа в моята обобщена таблица.

2) За проверка на теоретичния материал се предлага кръстословица.

Вертикално:

1. Свойство на умножение, използвано при умножаване на моном по полином?

2. Ефектът на показателите при повишаване на степен на степен?

3. Диплома с нулев индекс?

4. Продукт, състоящ се от идентични фактори?

Хоризонтално:

5. Корен n – о степен на неотрицателно число?

6. Действието на показателите при умножение на степени?

7. Ефектът на показателите при деление на степени?

8. Броят на всички еднакви фактори?

3) Математическа загрявка

а) извършете изчислението и използвайте шифъра, за да прочетете думата, скрита в проблема.

На дъската пред вас има маса. Таблицата в колона 1 съдържа примери, които трябва да бъдат изчислени.

Ключ към масата

И напишете отговора в колоната II, а в колона III поставете буквата, съответстваща на този отговор.

Учителят: И така, криптираната дума е „степен“. В следващата задача работим с 2-ра и 3-та степен

б) Игра „Уверете се, че не правите грешка“

Вместо точки поставете число

а) x=(x...)2; б) a3/2 = (a1/2)…; в) a=(a1/3)…; г) 5... = (51/4)2; д) 34/3=(34/9)…; д) 74/5 = (7...)2; g) x1/2=(x...)2; з) y1/2=(y...)2

Да намерим грешката:

А1/4 – 2а1/2 + 1 = (а1/

И така, момчета, какво трябва да се използва за изпълнение на тази задача:

Свойство на степените: при повдигане на степен на степен показателите се умножават;

4) Сега нека започнем с предната писмена работа. , използвайки резултатите от предишна работа. Отворете тетрадките и запишете датата и темата на урока.

№ 000

a) a – b = (a1/2)2 – (b1/2)2 = (a1/2 – b1/2)*(a1/2 + b1/2)

b) a – c = (a1/3)3 – (b1/3)3 = (a1/3 – c1/3)*(a2/3 + a1/3 b1/3 + b2/3)

№ 000 (a, c, d, e)

А ) m2 – 5 = m2 – (m1/2)2 = (m – 51/2)*(m+51/2)

в) a3 – 4 = (a3/2)2 – 22 = (a3/2 – 2)*(a3/2 +2)

г) x2/5 – y4/5 = (x1/5)2 – (y2/5)2 = (x1/5 – y2/5)*(x1/5 + y2/5)

д) 4 – a = 22 – (a1/2)2 = (2 – a1/2)*(2+a1/2)

№ 000 (a, d, f)

а) x3 – 2 = x3 – (21/3)3 = (x – 21/3)*(x2 + 21/3 x + 22/3)

г) a6/5 + 27 = (a2/5)3 + 33 = (a2/5 + 3)*(a4/3 – 3 a2/5 + 9)

д) 4 + y = (41/3)3 + (y1/3)3 = (41/3 + y1/3)*(42/3 + 41/3 y1/3 + y2/3)

Степен

5) Работете върху отделни карти, като използвате четири опции на отделни листове

Задачи с различна степен на трудност се изпълняват без подкана от учителя.

Веднага проверявам работата и поставям оценки в таблицата си и в листовете на момчетата.

№ 000 (a, c, d, h)

а) 4*31/2/(31/2 – 3) = 4*31/2 /31/2*(1 – 31/2) = 4 / (1 – 31/2)

в) x + x1/2 /2x = x1/2*(x1/2+1)/ 2*(x1/2)2 = (x1/2+1)/ 2x1/2

д) (a2/3 – b2/3)/(a1/3 +b1/3) = (a1/3)2 – (b1/3)2/(a1/3 +b1/3) = (a1/3 + b1/3)*(a1/3 – b1/3)/(a1/3 + b1/3) = a1/3 – b1/3

з) (x2/3 - x1/3 y1/3 + y2/3)/(x + y) = ((x1/3)2 – x1/3 y1/3 + (y1/3)2)/(( x1/3)3 +(y1/3)3) = ((x1/3)2 – x1/3 y1/3 +(y1/3)2)/(x1/3 +y1/3)*((x1 /3)2 – x1/3 y1/3 + (y1/3)2) = 1/ (x1/3 + y1/3)

7) Работа по индивидуални карти с различна степен на сложност. В някои упражнения има препоръки от учителя, тъй като материалът е сложен и за слабите деца е трудно да се справят с работата

Налични са и четири опции. Оценката се извършва веднага. Сложих всички оценки в електронна таблица.

Задача No от сборника

Учителят задава въпроси:

1. Какво трябва да се намери в проблема?

2. Какво трябва да знаете за това?

3. Как да изразим времето на 1 пешеходец и 2 пешеходци?

4. Сравнете времената на пешеходци 1 и 2 според условията на задачата и създайте уравнение.

Решението на проблема:

Нека x (km/h) е скоростта на 1 пешеходец

X +1 (км/ч) – скорост на 2 пешеходци

4/х (h) – пешеходно време

4/(x +1) (h) – време на втория пешеходец

Според условията на задачата 4/x >4/ (x +1) за 12 минути

12 минути = 12 /60 часа = 1/5 часа

Нека съставим уравнение

X/4 – 4/ (x +1) = 1/5

NOZ: 5x(x +1) ≠ 0

5*4*(x+1) – 5*4x = x*(x+1)

20x + 20 – 20x – x2 – x = 0

X2 +x –20 = 0

D=1 – 4*(-20) = 81, 81>0, 2 k

x1 = (-1 -√81)/(-2) = 5 км/ч – скорост на 1 пешеходец

x2 = (-1 + √81)/(-2) = 4 – не отговаря на смисъла на задачата, тъй като x>0

Отговор: 5 км/ч – скорост на 2 пешеходци

9) Обобщение на урока: И така, момчета, днес в урока консолидирахме знания, умения и умения за преобразуване на изрази, съдържащи степени, приложихме съкратени формули за умножение, преместихме общия множител извън скобите и повторихме преминатия материал. Посочвам предимствата и недостатъците.

Обобщаване на урока в таблица.

10) Обявявам оценките. Домашна работа

Индивидуални карти К – 1 и К – 2

сменям B – 1 и B – 2; B – 3 и B – 4, тъй като са еквивалентни

Приложения към урока.

1) Карти за домашна работа

1. опростявам

а) (x1/2 – y1/2)2 + 2x1/2 y1/2

б) (a3/2 + 5a1\2)2 – 10a2

2. представя се като сума

a) a1/3 c1\4*(b2/3 + c3/4)

b) (a1/2 – b1/2)*(a + a1/2 b1\2 + c)

3. извадете общия множител

в) 151/3 +201/3

1. опростявам

а) √m + √n – (m1/4 – n1/4)2

б) (a1/4 + b1/4)*(a1/8 + b1/8)*(a1\8 – b1/8)

2. представя се като сума

а) x0,5 y0,5*(x-0,5 – y1,5)

б) (x1/3 + y1/3)*(x2\3 – x1/3 y1\3 + y2/3)

3. Извадете общия множител от скоби

б) c1\3 – c

в) (2а)1/3 – (5а)1\3

2) контролна карта за Б – 2

а) √m + √n – (m 1|4 – n 1|4)2 = m 1|2 + n 1|2 – ((m 1|2)2 – 2 m 1/4 n 1/4 + (n 1/2)2) = m 1/2 + n 1/2 – m 1/2 + 2 m 1/4 n 1/4 – n 1/2 = 2 m 1/4 n 1/4

b) (a1/4 + b1/4)*(a1/8 + b1/8)*(a1/8 – b1/8) = (a1/4 + b1/4)*(a1/8)2 – ( в1/8)2 = (а1/4 + в1/4)*(а1/4 – в1/4) = (а1/4)2 – (в1/4)2 = а1/2 – в1/2

а) x0,5 y0,5* (x-0,5-y1,5) = x0,5 y0,5 x-0,5 – x0,5 y0,5y1,5 = x0 y0,5 – x0,5 y2 = y0. 5 – x0,5 y2

б) (x1/3 + y1/3)*(x2/3 – x1/3 y1\3 + y2/3) = (x1\3 + y1/3)*((x1/3)2 – x1/3 y1\3 + (y1/3)2) = (x1/3)2 + (y1/3)2 = x + y

а) 3 – 31/2 = 31/2 * (31/2 - 1)

б) v1/3 – v = v1/3 *(1 – v2/3)

в) (2a)1/3 – (5a)1/3 = a1/3*(21/3 – 51/3)

3) Карти за първа самостоятелна работа

а) a – y, x ≥ 0, y ≥ 0

б) a – и a ≥ 0

1. Разложете на множители като разлика от квадрати

а) a1/2 – b1/2

2. Разложете на множители като разлика или сбор от кубове

а) c1/3 + d1/3

1. Разложете на множители като разлика от квадрати

а) X1/2 + Y1/2

б) X1/4 – U1/4

2. Разложете на множители като разлика или сбор от кубове

4) карти за втората самостоятелна работа

а) (x – x1/2)/ (x1/2 – 1)

Инструкция: x1/2, премахнете числителите от скобите

b) (a - c)/(a1/2 – b1/2)

Забележка: a – b = (a1/2)2 – (b1/2)2

Намалете фракцията

а) (21/4 – 2)/ 5*21/4

Инструкция: премахнете 21/4 от скобите

б) (а – в)/(5а1/2 – 5в1/2)

Забележка: a – b = (a1/2)2 – (b1/2)2

Вариант 3

1. Намалете фракцията

а) (x1/2 – x1/4)/x3/4

Инструкция: поставете x1/4 извън скобите

б) (a1/2 – b1/2)/(4a1/4 – 4b1/4)

Вариант 4

Намалете фракцията

а) 10/ (10 – 101/2)

b) (a - c)/(a2/3 + a1\3b1/3+ B 1/3)

Предмет: " Преобразуване на изрази, съдържащи степени с дробен показател"

„Нека някой се опита да премахне дипломите по математика и ще види, че без тях няма да стигнете далеч.“ (М. В. Ломоносов)

Цели на урока:

образователен:обобщават и систематизират знанията на учениците по темата „Степен с рационален показател“; наблюдават нивото на овладяване на материала; премахват пропуските в знанията и уменията на учениците;

развитие:развиват уменията за самоконтрол на учениците; създават атмосфера на интерес за всеки ученик към тяхната работа, развиват познавателната активност на учениците;

образователен:култивирайте интерес към предмета, към историята на математиката.

Тип на урока: урок за обобщаване и систематизиране на знанията

Оборудване: листове за оценка, карти със задачи, декодери, кръстословици за всеки ученик.

Предварителна подготовка: класът се разделя на групи, във всяка група ръководителят е консултант.

ПО ВРЕМЕ НА ЗАНЯТИЯТА

I. Организационен момент.

Учител:Завършихме изучаването на темата „Степен с рационален показател и неговите свойства.“ Вашата задача в този урок е да покажете как сте усвоили изучавания материал и как можете да приложите придобитите знания за решаване на конкретни задачи. Всеки от вас има лист с резултати на бюрото си. В него ще въведете своята оценка за всеки етап от урока. В края на урока ще дадете средна оценка за урока.

Оценъчна хартия

II. Проверка на домашните.

Взаимна проверка с молив в ръка, отговорите се четат от учениците.

III. Актуализиране на знанията на учениците.

Учител:Известният френски писател Анатол Франс веднъж каза: „Ученето трябва да е забавно... За да усвоиш знанията, трябва да ги усвоиш с апетит.“

Нека повторим необходимата теоретична информация, докато решаваме кръстословицата.

Хоризонтално:

1. Действието, чрез което се изчислява стойността на степента (строителство).

2. Продукт, състоящ се от еднакви фактори (степен).

3. Действието на показателите при степен на степен (работа).

4. Действието на степените, при което се изваждат показателите на степени (разделяне).

Вертикално:

5. Брой на всички еднакви фактори (индекс).

6. Степен с нулев индекс (мерна единица).

7. Повтарящ се множител (база).

8. Стойност на 10 5: (2 3 5 5) (четири).

9. Показателен показател, който обикновено не се пише (мерна единица).

IV. Математическа загрявка.

Учител.Нека повторим определението за степен с рационален показател и нейните свойства и изпълним следните задачи.

1. Представете израза x 22 като произведение на две степени с основа x, ако един от множителите е равен на: x 2, x 5,5, x 1\3, x 17,5, x 0

2. Опростете:

б) y 5\8 y 1\4: y 1\8 = y

в) от 1,4 от -0,3 от 2,9

3. Пресметнете и съставете думата с декодер.

След като изпълните тази задача, вие ще разберете името на немския математик, който въвежда термина „експонента“.

1) (-8) 1\3 2) 81 1\2 3) (3\5) -1 4) (5\7) 0 5) 27 -1\3 6) (2\3) -2 7) 16 1\2 * 125 1\3

дума: 1234567 (Stifel)

V. Писмена работа в тетрадки (отговорите се отварят на дъската) .

Задачи:

1. Опростете израза:

(x-2): (x 1\2 -2 1\2) (y-3): (y 1\2 – 3 1\2) (x-1): (x 2\3 - x 1\3 +1)

2. Намерете стойността на израза:

(x 3\8 x 1\4:) 4 при x=81

VI. Работа в групи.

Упражнение. Решете уравнения и образувайте думи с помощта на декодер.

Карта №1

дума: 1234567 (Диофант)

Карта №2

Карта №3

дума: 123451 (Нютон)

Декодер

Учител.Всички тези учени допринесоха за развитието на понятието „степен“.

VII. Исторически сведения за развитието на понятието степен (студентско съобщение).

Концепцията за степен с естествен показател се формира сред древните народи. За изчисляване на площи и обеми са използвани квадратни и кубични числа. Силите на някои числа са използвани при решаването на определени проблеми от учени от Древен Египет и Вавилон.

През III век е публикувана книгата на гръцкия учен Диофант „Аритметика“, която поставя началото на въвеждането на буквените символи. Диофант въвежда символи за първите шест степени на неизвестното и техните реципрочни величини. В тази книга квадратът се означава със знак с долен индекс r; куб – знак k с индекс r и др.

От практиката за решаване на по-сложни алгебрични задачи и работа със степени възниква необходимостта от обобщаване на понятието степен и разширяването му чрез въвеждане на нула, отрицателни и дробни числа като показател. Математиците постепенно стигнаха до идеята за обобщаване на понятието степен до степен с неестествен показател.

Дробните показатели и най-простите правила за работа със степени с дробни показатели се намират у френския математик Никола Оресме (1323–1382) в неговия труд „Алгоритъм на пропорциите“.

Равенството, a 0 =1 (за и не е равно на 0) е използвано в своите трудове в началото на 15 век от самаркандския учен Гиясаддин Каши Джемшид. Независимо от това нулевият индикатор е въведен от Николай Шуке през 15 век. Известно е, че Николас Шукет (1445–1500) разглежда степени с отрицателни и нулеви показатели.

По-късно дробни и отрицателни експоненти се срещат в „Пълна аритметика“ (1544 г.) на немския математик М. Щифел и в Симон Стевин. Саймън Стевин предположи, че 1/n е предназначено да бъде корен.

Немският математик M. Stiefel (1487–1567) дава дефиницията на 0 = 1 at и въвежда името експонента (това е буквален превод от немски експонент). Немското potenzieren означава издигане до степен.

В края на 16 век Франсоа Виете въвежда букви за обозначаване не само на променливи, но и на техните коефициенти. Той използва съкращения: N, Q, C - за първа, втора и трета степен. Но съвременните обозначения (като 4, 5) са въведени през 17 век от Рене Декарт.

Съвременните дефиниции и обозначения за степени с нулеви, отрицателни и дробни показатели произхождат от работата на английските математици Джон Уолис (1616–1703) и Исак Нютон (1643–1727).

Целесъобразността от въвеждане на нулеви, отрицателни и дробни показатели и съвременни символи е описана за първи път подробно през 1665 г. от английския математик Джон Уолис. Неговата работа е завършена от Исак Нютон, който започва систематично да прилага нови символи, след което те влизат в обща употреба.

Въвеждането на степен с рационален показател е един от многото примери за обобщаване на понятията за математическо действие. Степен с нулев, отрицателен и дробен показател се определя по такъв начин, че към него се прилагат същите правила за действие, както за степен с естествен показател, т.е. така че да се запазят основните свойства на първоначално дефинираната концепция за степен.

Новата дефиниция на степен с рационален показател не противоречи на старата дефиниция на степен с естествен показател, т.е. значението на новата дефиниция на степен с рационален показател остава същото за специалния случай на степен с естествен показател. Този принцип, наблюдаван при обобщаване на математическите понятия, се нарича принцип на постоянство (запазване на постоянството). Изразено е в несъвършена форма през 1830 г. от английския математик Дж. Пийкок и е напълно и ясно установено от немския математик Г. Ханкел през 1867 г.

VIII. Проверете себе си.

Самостоятелна работа с помощта на карти (отговорите се показват на дъската) .

Опция 1

1. Изчислете: (1 точка)

(a + 3a 1\2): (a 1\2 +3)

Вариант 2

1. Изчислете: (1 точка)

2. Опростете израза: по 1 точка

а) х 1,6 х 0,4 б) (х 3\8) -5\6

3. Решете уравнението: (2 точки)

4. Опростете израза: (2 точки)

5. Намерете значението на израза: (3 точки)

IX. Обобщаване на урока.

Какви формули и правила запомнихте в клас?

Анализирайте работата си в клас.

Оценява се работата на учениците в клас.

X. Домашна работа. K: R IV (повторение) чл.156-157 № 4 (а-в), № 7 (а-в),

Допълнителни: No16

Приложение

Оценъчна хартия

Име/име/ученик____________________________________________________

Карта №1

1) X 1\3 =4; 2) y -1 =3\5; 3) a 1\2 = 2\3; 4) x -0,5 x 1,5 = 1; 5) y 1\3 =2; 6) a 2\7 a 12\7 = 25; 7) a 1\2: a = 1\3

Декодер

Карта №2

1) X 1\3 =4; 2) y -1 = 3; 3) (x+6) 1\2 = 3; 4) y 1\3 =2; 5) (y-3) 1\3 =2; 6) a 1\2: a = 1\3

Декодер

Карта №3

1) a 2\7 a 12\7 = 25; 2) (x-12) 1\3 =2; 3) x -0,7 x 3,7 = 8; 4) a 1\2: a = 1\3; 5) и 1\2 = 2\3

Декодер

Карта №1

1) X 1\3 =4; 2) y -1 =3\5; 3) a 1\2 = 2\3; 4) x -0,5 x 1,5 = 1; 5) y 1\3 =2; 6) a 2\7 a 12\7 = 25; 7) a 1\2: a = 1\3

Декодер

Карта №2

1) X 1\3 =4; 2) y -1 = 3; 3) (x+6) 1\2 = 3; 4) y 1\3 =2; 5) (y-3) 1\3 =2; 6) a 1\2: a = 1\3

Декодер

Карта №3

1) a 2\7 a 12\7 = 25; 2) (x-12) 1\3 =2; 3) x -0,7 x 3,7 = 8; 4) a 1\2: a = 1\3; 5) и 1\2 = 2\3

Декодер

Карта №1

1) X 1\3 =4; 2) y -1 =3\5; 3) a 1\2 = 2\3; 4) x -0,5 x 1,5 = 1; 5) y 1\3 =2; 6) a 2\7 a 12\7 = 25; 7) a 1\2: a = 1\3

Декодер

Карта №2

1) X 1\3 =4; 2) y -1 = 3; 3) (x+6) 1\2 = 3; 4) y 1\3 =2; 5) (y-3) 1\3 =2; 6) a 1\2: a = 1\3

Декодер

Карта №3

1) a 2\7 a 12\7 = 25; 2) (x-12) 1\3 =2; 3) x -0,7 x 3,7 = 8; 4) a 1\2: a = 1\3; 5) и 1\2 = 2\3

Декодер

Раздели: Математика

клас: 9

ЦЕЛ: Да се ​​консолидират и подобрят уменията за прилагане на свойствата на степен с рационален показател; развиват умения за извършване на прости трансформации на изрази, съдържащи степени с дробен показател.

ВИД НА УРОК: урок за затвърждаване и прилагане на знания по тази тема.

УЧЕБНИК: Алгебра 9 изд. S.A. Теляковски.

ПО ВРЕМЕ НА ЗАНЯТИЯТА

Встъпително слово на учителя

„Хората, които не са запознати с алгебрата, не могат да си представят удивителните неща, които могат да бъдат постигнати... с помощта на тази наука.“ Г.В. Лайбниц

Алгебра отваря вратите на лабораторния комплекс за нас „Степен с рационален показател.“

1. Фронтално проучване

1) Дайте дефиницията на степен с дробен показател.

2) За какъв дробен показател е определена степен с основа равна на нула?

3) Степента ще се определя ли с дробен показател за отрицателна основа?

Задание: Представете си числото 64 като степен с основа – 2; 2; 8.

Кубът на кое число е 64?

Има ли друг начин да представим числото 64 като степен с рационален показател?

2. Работа в групи

1 група. Докажете, че изразите (-2) 3/4 ; 0-2 няма смисъл.

2-ра група. Представете си степен с дробен показател под формата на корен: 2 2/3; 3 -1|3 ; -в 1,5; 5а 1/2; (x-y) 2/3.

3-та група. Представя се като степен с дробен показател: v3; 8 va 4; 3v2 -2; v(x+y) 2/3; vvv.

3. Да преминем към лабораторията „Действие върху правомощията“

Чести гости на лабораторията са астрономи. Те носят своите „астрономически числа“, подлагат ги на алгебрична обработка и получават полезни резултати

Например разстоянието от Земята до мъглявината Андромеда се изразява с числото

9500000000000000000 = 95 10 18 км;

нарича се квинтилион.

Масата на слънцето в грамове се изразява с числото 1983 10 30 g - nonnalion.

Освен това пред лабораторията стоят и други сериозни задачи. Например проблемът с изчисляването на изрази като:

А) ; б) ; V) .

Персоналът на лабораторията извършва такива изчисления по най-удобния начин.

Можете да се свържете с работата. За да направим това, нека повторим свойствата на степените с рационални показатели:

Сега изчислете или опростете израза, като използвате свойствата на степените с рационални показатели:

1-ва група:

Група 2:

Група 3:

Проверка: един човек от групата на дъската.

4. Сравнителна задача

Как можем да сравним изразите 2 100 и 10 30, използвайки свойствата на степените?

Отговор:

2 100 =(2 10) 10 =1024 10 .

10 30 =(10 3) 10 =1000 10

1024 10 >1000 10

2 100 >10 30

5. А сега ви каня в лабораторията „Изследване на степени“.

Какви трансформации можем да извършим върху степени?

1) Представете си числото 3 като степен със степен 2; 3; -1.

2) Как изразите a-c могат да бъдат разложени на множители? в+в 1/2; а-2а 1/2; 2 е 2?

3) Намаляване на фракцията, последвано от взаимна проверка:

4) Обяснете извършените трансформации и намерете значението на израза:

6. Работа с учебника.№ 611(g, d, f).

Група 1: (d).

Група 2: (e).

Група 3: (f).

№ 629 (а, б).

Партньорска проверка.

7. Провеждаме семинар (самостоятелна работа).

Дадени изрази:

При съкращаване кои дроби са съкратени формули за умножение и поставяне на общия множител извън скоби?

Група 1: № 1, 2, 3.

Група 2: № 4, 5, 6.

Група 3: № 7, 8, 9.

Когато изпълнявате задачата, можете да използвате препоръки.

1. Ако примерната нотация съдържа както степени с рационален показател, така и корени от n-та степен, тогава запишете корените от n-та степен под формата на степени с рационален показател.
2. Опитайте се да опростите израза, върху който се извършват действията: отваряне на скоби, използване на формулата за съкратено умножение, преминаване от степен с отрицателна степен към израз, съдържащ степени с положителна степен.
3. Определете реда, в който трябва да се извършват действията.
4. Изпълнете стъпките в реда, в който са изпълнени.

Учителят оценява след събиране на тетрадките.

8. Домашна работа: No 624, 623.