Основни закони на геометричната оптика. Дължина на оптичния път на светлинна вълна Закон за пречупване на светлината
Дължините на светлинните вълни, възприемани от окото, са много малки (от порядъка на ). Следователно разпространението на видимата светлина може да се разглежда като първо приближение, абстрахирайки се от нейната вълнова природа и приемайки, че светлината се разпространява по определени линии, наречени лъчи. В пределния случай съответните закони на оптиката могат да бъдат формулирани на езика на геометрията.
В съответствие с това клонът от оптиката, в който се пренебрегва ограничеността на дължините на вълните, се нарича геометрична оптика. Друго име за този раздел е лъчева оптика.
Основата на геометричната оптика се формира от четири закона: 1) законът за праволинейното разпространение на светлината; 2) законът за независимостта на светлинните лъчи; 3) законът за отразяване на светлината; 4) законът за пречупване на светлината.
Законът за праволинейното разпространение гласи, че в хомогенна среда светлината се разпространява по права линия. Този закон е приблизителен: когато светлината преминава през много малки отвори, се наблюдават отклонения от праволинейността, колкото по-големи са, толкова по-малък е отворът.
Законът за независимостта на светлинните лъчи гласи, че блатарите не си пречат взаимно, когато се пресичат. Пресечните точки на лъчите не пречат на всеки от тях да се разпространява независимо един от друг. Този закон е валиден само когато интензитетите на светлината не са твърде високи. При интензитети, постигнати с лазери, независимостта на светлинните лъчи вече не се зачита.
Законите за отражение и пречупване на светлината са формулирани в § 112 (виж формули (112.7) и (112.8) и следващия текст).
Геометричната оптика може да се основава на принципа, установен от френския математик Ферма в средата на 17 век. От този принцип следват законите за праволинейно разпространение, отражение и пречупване на светлината. Както е формулиран от самия Ферма, принципът гласи, че светлината се движи по път, за който е необходимо минимално време за пътуване.
За да преминете участък от пътя (фиг.
115.1) светлината изисква време, където v е скоростта на светлината в дадена точка в средата.
Заменяйки v чрез (вижте (110.2)), получаваме, че Следователно времето, прекарано от светлината за пътуване от точка до точка 2, е равно на
(115.1)
Количество, имащо размерността на дължината
нарича дължина на оптичния път.
В хомогенна среда оптичната дължина на пътя е равна на произведението на геометричната дължина на пътя s и индекса на пречупване на средата:
Съгласно (115.1) и (115.2)
Пропорционалността на времето за пътуване към дължината на оптичния път L позволява да се формулира принципът на Ферма, както следва: светлината се разпространява по път, чиято оптична дължина е минимална. По-точно дължината на оптичния път трябва да бъде екстремна, т.е. или минимална, или максимална, или стационарна - еднаква за всички възможни пътища. В последния случай всички светлинни пътища между две точки се оказват тавтохронни (изискващи едно и също време за пътуване).
Принципът на Ферма предполага обратимост на светлинните лъчи. Наистина, оптичният път, който е минимален в случай на разпространение на светлината от точка 1 до точка 2, също ще бъде минимален в случай на разпространение на светлината в обратна посока.
Следователно, лъч, изстрелян към лъч, който е пътувал от точка 1 до точка 2, ще следва същия път, но в обратна посока.
Използвайки принципа на Ферма, получаваме законите за отражение и пречупване на светлината. Нека светлината пада от точка А до точка Б, отразена от повърхността (фиг. 115.2; директният път от А до В е блокиран от непрозрачен екран Е). Средата, в която преминава лъчът, е хомогенна. Следователно минималната дължина на оптичния път се намалява до минимума на неговата геометрична дължина. Геометричната дължина на произволен път е равна на (спомагателна точка A е огледален образ на точка A). От фигурата се вижда, че пътят на лъча, отразен в точка О, за който ъгълът на отражение е равен на ъгъла на падане, има най-малка дължина. Имайте предвид, че когато точка O се отдалечава от точка O, геометричната дължина на пътя се увеличава неограничено, така че в този случай има само един екстремум - минимумът.
Сега нека намерим точката, в която лъчът трябва да се пречупи, разпространявайки се от А до В, така че оптичната дължина на пътя да е екстремна (фиг. 115.3). За произволен лъч дължината на оптичния път е равна на
За да намерите екстремната стойност, диференцирайте L по отношение на x и приравнете производната на нула)
Коефициентите за съответно са равни, така получаваме връзката
изразяващи закона за пречупване (виж формула (112.10)).
Нека разгледаме отражението от вътрешната повърхност на елипсоида на въртене (фиг. 115.4; - фокуси на елипсоида). Според дефиницията на елипса пътеките и т.н. са еднакви по дължина.
Следователно всички лъчи, които напускат фокуса и достигат до фокуса след отражение, са тавтохронни. В този случай дължината на оптичния път е стационарна. Ако заменим повърхността на елипсоида с повърхност MM, която има по-малка кривина и е ориентирана така, че лъчът, излизащ от точката след отражение от MM, да удря точката, тогава пътят ще бъде минимален. За повърхност, която има кривина, по-голяма от тази на елипсоида, пътят ще бъде максимален.
Стационарността на оптичните пътища възниква и когато лъчите преминават през леща (фиг. 115.5). Лъчът има най-късия път във въздуха (където индексът на пречупване е почти равен на единица) и най-дългия път в стъклото ( Лъчът има по-дълъг път във въздуха, но по-къс в стъклото. В резултат на това дължината на оптичния път тъй като всички лъчи са еднакви.Следователно лъчите са тавтохронни и дължината на оптичния път е стационарна.
Нека разгледаме вълна, разпространяваща се в нехомогенна изотропна среда по лъчи 1, 2, 3 и т.н. (фиг. 115.6). Ще считаме, че нехомогенността е достатъчно малка, така че индексът на пречупване да може да се счита за постоянен на сегменти от лъчи с дължина X.
Дължина на оптичния път
Дължина на оптичния пътмежду точки A и B на прозрачна среда е разстоянието, на което светлината (оптично лъчение) би се разпространила във вакуум по време на преминаването си от A до B. Дължината на оптичния път в хомогенна среда е произведението на разстоянието, изминато от светлината в среда с индекс на пречупване n чрез индекс на пречупване:
За нехомогенна среда е необходимо да се раздели геометричната дължина на толкова малки интервали, че индексът на пречупване да може да се счита за постоянен в този интервал:
Общата дължина на оптичния път се намира чрез интегриране:
Фондация Уикимедия. 2010 г.
Вижте какво е „дължина на оптичния път“ в други речници:
Произведението от дължината на пътя на светлинния лъч и индекса на пречупване на средата (пътят, който светлината би изминала за същото време, разпространявайки се във вакуум) ... Голям енциклопедичен речник
Между точки A и B на прозрачна среда, разстоянието, върху което светлината (оптично лъчение) би се разпространила във вакуум за същото време, необходимо за пътуване от A до B в средата. Тъй като скоростта на светлината във всяка среда е по-малка от скоростта й във вакуум, O. d ... Физическа енциклопедия
Най-късото разстояние, изминато от вълновия фронт на излъчване на предавател от неговия изходен прозорец до входния прозорец на приемника. Източник: NPB 82 99 EdwART. Речник на термините и определенията за охранителна и противопожарна техника, 2010 ... Речник на извънредните ситуации
дължина на оптичния път- (s) Сумата от произведенията на разстоянията, изминати от монохроматично лъчение в различни среди и съответните индекси на пречупване на тези среди. [GOST 7601 78] Теми: оптика, оптични инструменти и измервания Общи оптични термини... ... Ръководство за технически преводач
Произведението на дължината на пътя на светлинния лъч и индекса на пречупване на средата (пътят, който светлината би изминала за същото време, разпространявайки се във вакуум). * * * ДЪЛЖИНА НА ОПТИЧНИЯ ПЪТ ДЪЛЖИНА НА ОПТИЧНИЯ ПЪТ, произведението на дължината на пътя на светлинен лъч по... ... енциклопедичен речник
дължина на оптичния път- optinis kelio ilgis statusas T sritis fizika atitikmenys: англ. дължина на оптичния път vok. optische Weglänge, е рус. дължина на оптичния път, f пранц. longueur de trajet optique, f … Fizikos terminų žodynas
Оптичен път, между точки А и В на прозрачната среда; разстоянието, върху което светлината (оптично лъчение) би се разпространила във вакуум по време на преминаването си от A до B. Тъй като скоростта на светлината във всяка среда е по-малка от нейната скорост в ... ... Велика съветска енциклопедия
Произведението от дължината на пътя на светлинния лъч и индекса на пречупване на средата (пътят, който светлината би изминала за същото време, разпространявайки се във вакуум) ... Естествени науки. енциклопедичен речник
Понятието геом. и вълновата оптика, се изразява чрез сумата от произведенията на разстоянията! преминат от радиация в различни среда, към съответните показатели на пречупване на средата. O. d.p. е равно на разстоянието, до което светлината би изминала за същото време, разпространявайки се в... ... Голям енциклопедичен политехнически речник
ДЪЛЖИНАТА НА ПЪТЯ между точки A и B на прозрачна среда е разстоянието, върху което светлината (оптично лъчение) би се разпространила във вакуум за същото време, необходимо за пътуване от A до B в средата. Тъй като скоростта на светлината във всяка среда е по-малка от скоростта й във вакуум... Физическа енциклопедия
От (4) следва, че резултатът от добавянето на два кохерентни светлинни лъча зависи както от разликата в пътя, така и от дължината на светлинната вълна. Дължината на вълната във вакуум се определя от количеството , където с=310 8 m/s е скоростта на светлината във вакуум, и 
– честота на светлинните вибрации. Скоростта на светлината v във всяка оптически прозрачна среда винаги е по-малка от скоростта на светлината във вакуум и съотношението 
Наречен оптична плътностзаобикаляща среда. Тази стойност е числено равна на абсолютния индекс на пречупване на средата.
Честотата на светлинните вибрации определя цвятсветлинна вълна. При преминаване от една среда в друга цветът не се променя. Това означава, че честотата на светлинните вибрации във всички среди е еднаква. Но тогава, когато светлината преминава например от вакуум в среда с коефициент на пречупване ндължината на вълната трябва да се промени 
, което може да се преобразува по следния начин:
,
където 0 е дължината на вълната във вакуум. Тоест, когато светлината преминава от вакуум в оптически по-плътна среда, дължината на вълната на светлината е намалява V нведнъж. По геометричната пътека 
в среда с оптична плътност нще пасне
вълни (5)
величина 
Наречен дължина на оптичния пътсветлина в материята:
Дължина на оптичния път 
светлината в дадено вещество е произведение от геометричната дължина на пътя в тази среда и оптичната плътност на средата:
.
С други думи (виж връзка (5)):
Дължината на оптичния път на светлината в дадено вещество е числено равна на дължината на пътя във вакуум, върху който се побира същият брой светлинни вълни, както и върху геометричната дължина в веществото.
защото резултатът от намесата зависи от фазово изместванемежду интерфериращите светлинни вълни, тогава е необходимо да се оцени резултатът от интерференцията оптиченразлика в пътя между два лъча
,
който съдържа същия брой вълни независимо от товавърху оптичната плътност на средата.
2.1.3. Интерференция в тънки слоеве
Разделянето на светлинните лъчи на „половини“ и появата на интерференчен модел също е възможно при естествени условия. Естествено „устройство“ за разделяне на светлинните лъчи на „половини“ са например тънките филми. Фигура 5 показва тънък прозрачен филм с дебелина 
, към която под ъгъл 
Пада сноп от успоредни светлинни лъчи (плоска електромагнитна вълна). Лъч 1 се отразява частично от горната повърхност на филма (лъч 1) и частично се пречупва във филма
ki при ъгъла на пречупване 
. Пречупеният лъч се отразява частично от долната повърхност и излиза от филма успоредно на лъч 1 (лъч 2). Ако тези лъчи се насочат към събирателна леща Л, то на екрана Е (във фокалната равнина на обектива) ще пречат. Резултатът от намесата ще зависи от оптиченразликата в пътя на тези лъчи от точката на „разделяне“. 
до сборния пункт 
. От фигурата става ясно, че геометриченразликата в пътя на тези лъчи е равна на разликата геом . =ABC–Aд.
Скоростта на светлината във въздуха е почти равна на скоростта на светлината във вакуум. Следователно оптичната плътност на въздуха може да се приеме за единица. Ако оптичната плътност на филмовия материал н, след това дължината на оптичния път на пречупения лъч във филма ABCн. Освен това, когато лъч 1 се отразява от оптично по-плътна среда, фазата на вълната се променя на противоположната, т.е. половината вълна се губи (или обратно, получава се). По този начин оптичната разлика в пътя на тези лъчи трябва да бъде записана във формата
търговия на едро . = ABCн – AD / . (6)
От фигурата става ясно, че ABC = 2д/cos r, А
AD = ACгрях аз = 2дtg rгрях аз.
Ако поставим оптичната плътност на въздуха н V=1, тогава известен от училищния курс Закон на Снелдава за индекса на пречупване (оптичната плътност на филма) зависимостта
. (6а)
Замествайки всичко това в (6), след трансформации получаваме следната зависимост за оптичната разлика в пътя на интерфериращите лъчи:
защото когато лъч 1 се отрази от филма, фазата на вълната се променя на противоположната, тогава условията (4) за максималната и минималната интерференция се обръщат:
- състояние макс
- състояние мин. (8)
Може да се покаже, че когато преминаванесветлина през тънък филм също създава интерференчен модел. В този случай няма да има загуба на половин вълна и са изпълнени условия (4).
По този начин условията максИ минпри интерференция на лъчи, отразени от тънък слой, се определят от връзката (7) между четири параметъра - 
Следва, че:
1) при „сложна“ (немонохроматична) светлина филмът ще бъде боядисан с цвета, чиято дължина на вълната 
удовлетворява условието макс;
2) промяна на наклона на лъчите ( 
), можете да промените условията макс, което прави филма или тъмен, или светъл, и чрез осветяване на филма с разклоняващ се лъч светлинни лъчи, можете да получите ивици« равен наклон“, отговарящ на условието макспо ъгъл на падане 
;
3) ако филмът има различни дебелини на различни места ( 
), тогава ще се вижда ленти с еднаква дебелина, по което са изпълнени условията макспо дебелина 
;
4) при определени условия (условия минкогато лъчите падат вертикално върху филма), светлината, отразена от повърхностите на филма, ще се компенсира взаимно и отраженияняма да има нищо от филма.
ДЪЛЖИНАТА НА ОПТИЧНИЯ ПЪТ е произведението на дължината на пътя на светлинния лъч и индекса на пречупване на средата (пътят, който светлината би изминала за същото време, разпространявайки се във вакуум).
Изчисляване на интерференционната картина от два източника.
Изчисляване на интерференционната картина от два кохерентни източника.
Нека разгледаме две кохерентни светлинни вълни, излъчвани от източници u (фиг. 1.11.).
Екранът за наблюдение на интерферентната картина (редуващи се светли и тъмни ивици) ще бъде поставен успоредно на двата процепа на същото разстояние.Нека обозначим с x разстоянието от центъра на интерференционната картина до изследваната точка P на екрана.
Нека означим разстоянието между източниците като д. Източниците са разположени симетрично спрямо центъра на интерферентната картина. От фигурата става ясно, че
Следователно
и разликата в оптичния път е равна на
Разликата в пътя е няколко дължини на вълната и винаги е значително по-малка, така че можем да приемем това Тогава изразът за оптичната разлика в пътя ще има следния вид:
Тъй като разстоянието от източниците до екрана е многократно по-голямо от разстоянието от центъра на интерферентната картина до точката на наблюдение, можем да приемем, че. д.
Като заместим стойност (1.95) в условие (1.92) и изразим x, получаваме, че максимумите на интензитета ще се наблюдават при стойности
, (1.96)
където е дължината на вълната в средата, и ме редът на намесата и х макс - координати на максимумите на интензитета.
Замествайки (1.95) в условие (1.93), получаваме координатите на минимумите на интензитета
, (1.97)
На екрана ще се вижда модел на смущения, който изглежда като редуващи се светли и тъмни ивици. Цветът на светлинните ивици се определя от използвания филтър при монтажа.
Разстоянието между съседните минимуми (или максимуми) се нарича ширина на интерференционната ивица. От (1.96) и (1.97) следва, че тези разстояния имат еднаква стойност. За да изчислите ширината на интерферентната ивица, трябва да извадите координатата на съседния максимум от координатната стойност на един максимум
За тези цели можете също да използвате координатните стойности на всеки два съседни минимума.
Координати на минимумите и максимумите на интензитета.
Оптична дължина на пътя на лъча. Условия за получаване на максимуми и минимуми на смущението.
Във вакуум скоростта на светлината е равна на , в среда с показател на пречупване n скоростта на светлината v става по-малка и се определя от съотношението (1.52)
Дължината на вълната във вакуум и в среда е n пъти по-малка от тази във вакуум (1,54):
При преминаване от една среда в друга честотата на светлината не се променя, тъй като вторичните електромагнитни вълни, излъчвани от заредени частици в средата, са резултат от принудителни трептения, възникващи при честотата на падащата вълна.
Нека два точкови кохерентни източника на светлина излъчват монохроматична светлина (фиг. 1.11). За тях трябва да бъдат изпълнени условията за съгласуваност: До точка Р първият лъч преминава в среда с показател на пречупване - път, вторият лъч преминава в среда с показател на пречупване - път. Разстоянията от източниците до наблюдаваната точка се наричат геометрични дължини на пътеките на лъчите. Произведението от коефициента на пречупване на средата и геометричната дължина на пътя се нарича дължина на оптичния път L=ns. L 1 = и L 1 = са съответно оптичните дължини на първия и втория път.
Нека u са фазовите скорости на вълните.
Първият лъч ще възбуди трептене в точка P:
, (1.87)
а вторият лъч е вибрация
, (1.88)
Фазовата разлика между трептенията, възбудени от лъчите в точка P, ще бъде равна на:
, (1.89)
Множителят е равен на (- дължина на вълната във вакуум), а изразът за фазовата разлика може да бъде даден под формата
има величина, наречена оптична разлика в пътя. При изчисляването на интерференционните модели трябва да се вземе предвид оптичната разлика в пътя на лъчите, т.е. индексите на пречупване на средата, в която се разпространяват лъчите.
От формула (1.90) става ясно, че ако оптичната разлика в пътя е равна на цяло число дължини на вълните във вакуум
тогава фазовата разлика и трептенията ще се появят със същата фаза. Номер мсе нарича ред на намеса. Следователно условието (1.92) е условието за максимума на смущението.
Ако е равно на половината от цяло число дължини на вълните във вакуум,
, (1.93)
Че 
, така че трептенията в точка P са в противофаза. Условието (1.93) е условието за минимума на смущението.
Така че, ако при дължина, равна на оптичната разлика в пътя на лъчите, се побира четен брой дължини на половин вълна, тогава в дадена точка на екрана се наблюдава максимален интензитет. Ако има нечетен брой дължини на половин вълна по дължината на разликата в пътя на оптичния лъч, тогава се наблюдава минимална осветеност в дадена точка на екрана.
Спомнете си, че ако два пътя на лъча са оптически еквивалентни, те се наричат тавтохронни. Оптичните системи - лещи, огледала - отговарят на условието за тавтохронизъм.
Основните закони на геометричната оптика са известни от древни времена. Така Платон (430 г. пр. н. е.) установява закона за праволинейното разпространение на светлината. В трактатите на Евклид са формулирани законът за праволинейното разпространение на светлината и законът за равенството на ъглите на падане и отражение. Аристотел и Птолемей са изучавали пречупването на светлината. Но точната формулировка на тези законите на геометричната оптика Гръцките философи не можаха да го намерят. Геометрична оптика е граничният случай на вълновата оптика, когато дължината на вълната на светлината клони към нула. Най-простите оптични явления, като появата на сенки и производството на изображения в оптични инструменти, могат да бъдат разбрани в рамките на геометричната оптика.
Формалната конструкция на геометричната оптика се базира на четири закона експериментално установени: · законът за праволинейното разпространение на светлината · законът за независимостта на светлинните лъчи · законът за отражението · законът за пречупването на светлината За да анализира тези закони, Х. Хюйгенс предложи прост и визуален метод, по-късно се обади Принципът на Хюйгенс .Всяка точка, до която достига светлинното възбуждане, е ,на свой ред, център на вторични вълни;повърхността, която обгръща тези вторични вълни в определен момент от времето, показва позицията на фронта на действително разпространяващата се вълна в този момент.
Въз основа на своя метод Хюйгенс обясни праволинейно разпространение на светлината и изведен закони на отражението И пречупване .Закон за праволинейното разпространение на светлината :· светлината се разпространява праволинейно в оптически хомогенна среда.Доказателство за този закон е наличието на сенки с остри граници от непрозрачни обекти, когато са осветени от малки източници.Внимателни експерименти обаче показаха, че този закон се нарушава, ако светлината преминава през много малки дупки, и отклонението от праволинейността на разпространението е по-големи, толкова по-малки са дупките.
Сянката, хвърлена от обект, се определя от праволинейност на светлинните лъчи в оптически хомогенна среда Фигура 7.1 Астрономическа илюстрация праволинейно разпространение на светлината и по-специално образуването на сянка и полусянка може да бъде причинено от засенчването на някои планети от други, напр. лунно затъмнение , когато Луната попадне в сянката на Земята (фиг. 7.1). Поради взаимното движение на Луната и Земята, сянката на Земята се движи по повърхността на Луната и лунното затъмнение преминава през няколко частични фази (фиг. 7.2).
Закон за независимостта на светлинните лъчи :· ефектът, произведен от отделен лъч, не зависи от това дали,дали други пакети действат едновременно или са елиминирани.Чрез разделянето на светлинния поток на отделни светлинни лъчи (например с помощта на диафрагми) може да се покаже, че действието на избраните светлинни лъчи е независимо. Закон за отражението (фиг. 7.3): отразеният лъч лежи в същата равнина като падащия лъч и перпендикуляра,изтеглени към интерфейса между две медии в точката на удара;· ъгъл на паданеα равен на ъгъла на отражениеγ: α = γ
Да се изведе законът за отражението Нека използваме принципа на Хюйгенс. Да приемем, че плоска вълна (вълнов фронт AB с, попада на интерфейса между две медии (фиг. 7.4). Когато фронтът на вълната ABще достигне отразяващата повърхност в точката А, тази точка ще започне да излъчва вторична вълна .· За вълната да измине разстояние слънценеобходимо време Δ T = пр.н.е./ υ . През същото време фронтът на вторичната вълна ще достигне до точките на полусферата, радиуса ADкоето е равно на: υ Δ T= слънце.Позицията на фронта на отразената вълна в този момент от времето, в съответствие с принципа на Хюйгенс, се дава от равнината DC, а посоката на разпространение на тази вълна е лъч II. От равенството на триъгълниците ABCИ ADCизтича закон на отражението: ъгъл на паданеα равен на ъгъла на отражение γ . Закон за пречупване (Закон на Снел) (фиг. 7.5): падащият лъч, пречупеният лъч и перпендикулярът, прекаран към границата в точката на падане, лежат в една и съща равнина;· съотношението на синуса на ъгъла на падане към синуса на ъгъла на пречупване е постоянна стойност за дадена среда.
Извеждане на закона за пречупване. Да приемем, че плоска вълна (вълнов фронт AB), разпространявайки се във вакуум по посока I със скорост с, попада на границата със средата, в която скоростта на нейното разпространение е равна на u(Фиг. 7.6) Нека времето, необходимо на вълната за изминаване на пътя слънце, равно на D T. Тогава BC = sд T. През същото време, предната част на вълната, възбудена от точката Ав среда със скорост u, ще достигне точки от полукълбото, чийто радиус AD = uд T. Позицията на фронта на пречупената вълна в този момент от времето, в съответствие с принципа на Хюйгенс, се дава от равнината DC, а посоката на разпространението му - по лъч III . От фиг. 7.6 е ясно, че, т.е. .Това предполага Закон на Снел : Малко по-различна формулировка на закона за разпространение на светлината е дадена от френския математик и физик П. Ферма.
Физическите изследвания са свързани най-вече с оптиката, където той установява през 1662 г. основния принцип на геометричната оптика (принципа на Ферма). Аналогията между принципа на Ферма и вариационните принципи на механиката изигра значителна роля в развитието на съвременната динамика и теорията на оптичните инструменти. Принцип на Ферма
, светлината се разпространява между две точки по път, който изисква най-малко време.
Нека покажем приложението на този принцип за решаване на същата задача за пречупване на светлината Лъч от светлинен източник Сразположен във вакуум отива към точката IN, намиращ се в някаква среда извън интерфейса (фиг. 7.7). 
Във всяка среда най-краткият път ще бъде прав S.A.И AB. Точка Ахарактеризират с разстояние хот перпендикуляра, пуснат от източника към интерфейса. Нека определим времето, изразходвано за изминаване на пътя SAB:
.За да намерим минимума, намираме първата производна на τ по отношение на хи го приравняваме към нула: , оттук стигаме до същия израз, получен въз основа на принципа на Хюйгенс: принципът на Ферма е запазил своето значение и до днес и служи като основа за общата формулировка на законите на механиката (включително теория на относителността и квантовата механика).От принципа на Ферма има няколко следствия. Обратимост на светлинните лъчи
: ако обърнете лъча III (фиг. 7.7), което го кара да падне върху интерфейса под ъгълβ, тогава пречупеният лъч в първата среда ще се разпространява под ъгъл α, т.е. ще върви в обратна посока по гредатааз .
Друг пример е мираж
, което често се наблюдава от пътуващите по горещи пътища. Виждат оазис пред себе си, но когато стигнат там, наоколо има пясък. Същността е, че в този случай виждаме светлина, преминаваща върху пясъка. Въздухът е много горещ над самия път, а в горните слоеве е по-студен. Горещият въздух, разширявайки се, става по-разреден и скоростта на светлината в него е по-голяма, отколкото в студения въздух. Следователно светлината не се движи по права линия, а по траектория с най-кратко време, превръщайки се в топли слоеве въздух. Ако идва светлина от среда с висок индекс на пречупване
(оптически по-плътен) в среда с по-нисък индекс на пречупване
(оптически по-малка плътност) ( > ) ,
например от стъкло във въздух, тогава според закона за пречупване, пречупеният лъч се отдалечава от нормалния
и ъгълът на пречупване β е по-голям от ъгъла на падане α (фиг. 7.8). А).
С увеличаването на ъгъла на падане ъгълът на пречупване се увеличава (фиг. 7.8). b, V), докато при определен ъгъл на падане () ъгълът на пречупване стане равен на π / 2. Ъгълът се нарича граничен ъгъл
. При ъгли на падане α >
цялата падаща светлина се отразява напълно (фиг. 7.8 Ж).
· Когато ъгълът на падане се доближи до граничния, интензитетът на пречупения лъч намалява, а на отразения се увеличава · Ако , тогава интензитетът на пречупения лъч става нула, а интензитетът на отразения лъч е равен на интензитета на инцидента (фиг. 7.8 Ж).
· По този начин,при ъгли на падане, вариращи от до π/2,лъчът не се пречупва,и се отразява изцяло в първата сряда,Освен това интензитетите на отразения и падащия лъч са еднакви. Това явление се нарича пълно отражение.
Граничният ъгъл се определя от формулата: 
;
.Феноменът на пълно отражение се използва в призмите с пълно отражение
(фиг. 7.9). 
Индексът на пречупване на стъклото е n » 1,5, следователно граничният ъгъл за интерфейса стъкло-въздух = arcsin (1/1,5) = 42° Когато светлината пада върху границата стъкло-въздух при α > 42° винаги ще има пълно отражение На фиг. Фигура 7.9 показва призми за пълно отражение, които позволяват: а) завъртане на лъча на 90°; б) завъртане на изображението; в) обвиване на лъчите. Призмите с пълно отражение се използват в оптичните инструменти (например в бинокли, перископи), както и в рефрактометри, които позволяват да се определи индексът на пречупване на телата (според закона за пречупване, чрез измерване, ние определяме относителния индекс на пречупване на две среди, както и абсолютният индекс на пречупване на една от средите, ако е известен индексът на пречупване на втората среда).
Феноменът на пълното отражение също се използва в световоди , които са тънки произволно извити нишки (влакна), направени от оптически прозрачен материал. 7.10 Във влакнестите части се използва стъклено влакно, чието светловодно ядро (ядро) е заобиколено от стъкло - обвивка, изработена от друго стъкло с по-нисък индекс на пречупване. Светлина пада в края на световода при ъгли, по-големи от ограничението , се подлага на интерфейса ядро-обвивка пълно отражение и се разпространява само по сърцевината на световода Световодите се използват за създаване телеграфно-телефонни кабели с голям капацитет . Кабелът се състои от стотици и хиляди оптични влакна, тънки колкото човешка коса. Чрез такъв кабел с дебелината на обикновен молив могат да се предават едновременно до осемдесет хиляди телефонни разговора.Освен това световодите се използват във влакнесто-оптични електронно-лъчеви тръби, в електронни преброяващи машини, за кодиране на информация, в медицината ( например стомашна диагностика), за целите на интегрираната оптика.
