Намерете надеждни и невъзможни събития сред събития с изкуствен интелект. Тема на урока: „Надеждни, невъзможни и случайни събития“

Само не в онлайн преводач.

Златната порта е символ на Киев, един от най-старите образци на архитектурата, оцелял до наши дни. Златната порта на Киев е построена при известния киевски княз Ярослав Мъдри през 1164 г. Първоначално те се наричаха южни и бяха част от системата от отбранителни укрепления на града, практически не се различаваха от другите охранителни порти на града. Именно Южната порта първият руски митрополит Иларион нарича „Велика“ в своята „Проповед за закона и благодатта“. След построяването на величествената църква "Света София" "Голямата" порта се превръща в главния сухопътен вход на Киев от югозападната страна. Осъзнавайки значението им, Ярослав Мъдри заповядва изграждането на малка църква Благовещение над портите, за да отдаде почит на господстващата християнска религия в града и в Русия. От този момент нататък всички руски летописи започват да наричат ​​Южната порта на Киев Златната врата. Ширината на портата е 7,5 м, височината на прохода е 12 м, а дължината е около 25 м.

le sport ce n"est pas seulement des cours de gym. C"est aussi sauter toujours plus haut nager jouer au ballon danser. le sport développé ton corps et aussi ton cerveau. Quand tu prends l"escalier et non pas l"ascenseur tu fais du sport. Quand tu fais une cabane dans un arbre tu fais du sport. Quand tu te bats avec ton frere tu fais du sport. Quand tu cours, parce que tu es en retard a l"ecole, tu fais du sport.

Едно събитие е резултат от тест. Какво е събитие? Една топка се взема на случаен принцип от урната. Изваждането на топка от урна е изпитание. Появата на топка с определен цвят е събитие. В теорията на вероятностите едно събитие се разбира като нещо, за което след определен момент от време може да се каже едно и само едно от две неща. Да, случи се. Не, не се случи. Възможен резултат от експеримент се нарича елементарно събитие, а набор от такива резултати се нарича просто събитие.

Непредсказуемите събития се наричат ​​случайни. Едно събитие се нарича случайно, ако при едни и същи условия то може или не може да се случи. При хвърляне на зара резултатът ще бъде шестица. Имам билет от лотарията. След публикуването на резултатите от лотарията събитието, което ме интересува - спечелването на хиляда рубли - или се случва, или не се случва. Пример.

Две събития, които при определени условия могат да се случат едновременно, се наричат ​​съвместни, а тези, които не могат да се случат едновременно, се наричат ​​несъвместими. Хвърля се монета. Появата на „герба“ изключва появата на надписа. Събитията „появи се герб“ и „появи се надпис“ са несъвместими. Пример.

Събитие, което винаги се случва, се нарича надеждно. Събитие, което не може да се случи, се нарича невъзможно. Да предположим например, че е изтеглена топка от урна, съдържаща само черни топки. Тогава появата на черната топка е надеждно събитие; появата на бяла топка е невъзможно събитие. Примери. Догодина няма да има сняг. При хвърляне на зара резултатът ще бъде седем. Това са невъзможни събития. Догодина ще има сняг. Когато хвърлите зара, ще получите число, по-малко от седем. Ежедневен изгрев. Това са надеждни събития.

Решаване на проблеми За всяко от описаните събития определете какво е: невъзможно, надеждно или случайно. 1. От 25 ученици в класа двама празнуват рожден ден на а) 30 януари; б) 30 февруари. 2. Учебникът по литература се отваря произволно и втората дума се намира на лявата страница. Тази дума започва: а) с буквата „К”; б) започващи с буквата “Ъ”.

3. Днес в Сочи барометърът показва нормално атмосферно налягане. В този случай: а) водата в тигана е кипнала при температура 80º C; б) когато температурата падне до -5º C, водата в локвата замръзва. 4. Хвърлят се два зара: а) първият зар показва 3 точки, а вторият - 5 точки; б) сумата от хвърлените точки на двата зара е 1; в) сумата от хвърлените точки на двата зара е 13; г) двата зара са получили 3 точки; д) сборът от точки на два зара е по-малък от 15. Решаване на задача

5. Отворихте книгата на произволна страница и прочетохте първото попаднало ви съществително. Оказа се, че: а) изписването на избраната дума съдържа гласна; б) изписването на избраната дума съдържа буквата „О”; в) в изписването на избраната дума няма гласни; г) в изписването на избраната дума има мек знак. Разрешаване на проблем

5 клас. Въведение във вероятността (4 часа)

(разработване на 4 урока по тази тема)

Учебни цели : - въведе определението за случайно, надеждно и невъзможно събитие;

Дайте първи идеи за решаване на комбинаторни задачи: използване на дърво с опции и използване на правилото за умножение.

Образователна цел: развитие на светогледа на учениците.

Цел за развитие : развитие на пространственото въображение, усъвършенстване на умението за работа с линийка.

Надеждни, невъзможни и случайни събития (2 часа)

Комбинаторни задачи (2 часа)

Надеждни, невъзможни и случайни събития.

Първи урок

Оборудване на урока: зарове, монети, табла.

Животът ни до голяма степен се състои от злополуки. Има такава наука като "теория на вероятностите". Използвайки неговия език, можете да опишете много явления и ситуации.

Дори примитивният лидер разбираше, че дузина ловци имат по-голяма „вероятност“ да ударят бизон с копие, отколкото един. Затова тогава са ловували колективно.

Такива древни командири като Александър Велики или Дмитрий Донской, подготвяйки се за битка, разчитаха не само на доблестта и изкуството на воините, но и на шанса.

Много хора обичат математиката заради вечните истини: два пъти две винаги е четири, сборът от четните числа е четен, площта на правоъгълника е равна на произведението на съседните му страни и т.н. Във всяка задача, която решите, всеки получава същия отговор - просто трябва да не правите грешки в решението.

Истинският живот не е толкова прост и еднозначен. Резултатът от много събития не може да се предвиди предварително. Невъзможно е например да се каже със сигурност от коя страна ще падне хвърлена монета, кога ще падне първият сняг през следващата година или колко хора в града ще искат да проведат телефонен разговор в рамките на следващия час. Такива непредвидими събития се наричат случаен .

Случайността обаче има и свои закони, които започват да се проявяват, когато случайните явления се повтарят многократно. Ако хвърлите монета 1000 пъти, тя ще излезе с глави приблизително половината от времето, което не е случаят с две или дори десет хвърляния. „Приблизително“ не означава половината. Това обикновено може да е или да не е така. Законът не казва нищо сигурно, но дава известна степен на увереност, че ще се случи някакво случайно събитие. Такива модели се изучават от специален клон на математиката - Теория на вероятностите . С негова помощ можете да предвидите с по-голяма степен на увереност (но все още не със сигурност) както датата на първия снеговалеж, така и броя на телефонните обаждания.

Теорията на вероятностите е неразривно свързана с нашето ежедневие. Това ни дава прекрасна възможност да установим експериментално много вероятностни закони, повтаряйки произволни експерименти много пъти. Материалите за тези експерименти най-често ще бъдат обикновена монета, зар, комплект домино, табла, рулетка или дори тесте карти. Всеки от тези елементи е свързан с игрите по един или друг начин. Факт е, че случаят се появява тук в най-честата си форма. И първите вероятностни задачи бяха свързани с оценка на шансовете на играчите да спечелят.

Съвременната теория на вероятностите се отдалечи от хазарта, но нейните опори все още остават най-простият и надежден източник на шанс. След като се упражнявате с рулетка и зарове, ще се научите да изчислявате вероятността от случайни събития в ситуации от реалния живот, което ще ви позволи да оцените шансовете си за успех, да тествате хипотези и да вземате оптимални решения не само в игри и лотарии.

Когато решавате вероятностни задачи, бъдете много внимателни, опитайте се да оправдаете всяка стъпка, която предприемате, защото никоя друга област на математиката не съдържа толкова много парадокси. Като теория на вероятностите. И може би основното обяснение за това е връзката му с реалния свят, в който живеем.

Много игри използват зар с различен брой точки, отбелязани от всяка страна от 1 до 6. Играчът хвърля зара, гледа колко точки се появяват (от страната, която е разположена отгоре) и прави съответния брой ходове : 1,2,3 ,4,5 или 6. Хвърлянето на зар може да се счита за опит, експеримент, тест, а полученият резултат може да се счита за събитие. Хората обикновено са много заинтересовани да познаят настъпването на това или онова събитие и да предскажат неговия резултат. Какви прогнози могат да направят, когато хвърлят заровете? Първа прогноза: ще се появи едно от числата 1,2,3,4,5 или 6. Мислите ли, че прогнозираното събитие ще се случи или не? Разбира се, определено ще дойде. Извиква се събитие, което със сигурност ще се случи в даден опит надеждно събитие.

Втора прогноза : ще се появи числото 7. Мислите ли, че прогнозираното събитие ще се случи или не? Разбира се, че няма да стане, просто е невъзможно. Извиква се събитие, което не може да се случи в даден опит невъзможно събитие.

Трето предсказание : ще се появи числото 1. Смятате ли, че прогнозираното събитие се е случило или не? Не можем да отговорим на този въпрос с пълна сигурност, тъй като предвиденото събитие може да се случи или да не се случи. Извиква се събитие, което може или не може да се случи в даден опит случайно събитие.

Упражнение : Опишете събитията, разгледани в задачите по-долу. Като сигурно, невъзможно или случайно.

Да хвърлим монета. Появи се герб. (случаен)

Ловецът стрелял по вълка и го улучил. (случаен)

Ученикът всяка вечер излиза на разходка. Докато се разхождал в понеделник, той срещнал трима познати. (случаен)

Нека мислено проведем следния експеримент: обърнете чаша вода с главата надолу. Ако този експеримент се проведе не в космоса, а у дома или в класната стая, тогава водата ще се разлее. (надежден)

Произведени са три изстрела по целта.” Имаше пет удара" (невъзможно)

Хвърлете камъка нагоре. Камъкът остава да виси във въздуха. (невъзможен)

Пренареждаме произволно буквите на думата „антагонизъм“. Резултатът е думата „анахроизъм“. (невъзможен)

№959. Петя се сети за естествено число. Събитието е както следва:

а) предвидено е четно число; (произволно) б) нечетно число е предвидено; (случаен)

в) замислено е число, което не е нито четно, нито нечетно; (невъзможен)

г) замислено е число, което е четно или нечетно. (надежден)

№ 961. Петя и Толя сравняват рождените си дни. Събитието е както следва:

а) рождените им дни не съвпадат; (случаен) б) рождените им дни са еднакви; (случаен)

г) и двамата им рождени дни се падат на празници - Нова година (1 януари) и Ден на независимостта на Русия (12 юни). (случаен)

№ 962. При игра на табла се използват два зара. Броят на ходовете, които участникът в играта прави, се определя, като се съберат изпадналите числа от двете страни на кубчето, а при паднало „удвояване” (1 + 1,2 + 2,3 + 3,4 + 4,5 + 5,6 + 6) ), тогава броят на ходовете се удвоява. Хвърляте зара и смятате колко хода трябва да направите. Събитието е както следва:

а) трябва да направите един ход; б) трябва да направите 7 хода;

в) трябва да направите 24 хода; г) трябва да направите 13 хода.

а) – невъзможен (може да се направи 1 ход, ако се хвърли комбинацията 1 + 0, но на зара няма число 0).

б) – случаен (ако се хвърлят 1 + 6 или 2 + 5).

в) – случаен (ако се появи комбинацията 6 +6).

г) – невъзможно (няма комбинации от числа от 1 до 6, чийто сбор е 13; това число не може да се получи дори при хвърляне на „удвоено“, тъй като е нечетно).

Проверете себе си. (математическа диктовка)

1) Посочете кои от следните събития са невъзможни, кои са надеждни, кои са случайни:

Футболната среща "Спартак" - "Динамо" ще завърши наравно. (случаен)

Ще спечелите, като участвате в печеливша лотария (надеждна)

Сняг ще вали в полунощ и слънцето ще грее 24 часа по-късно. (невъзможен)

Утре ще има контролно по математика. (случаен)

Ще бъдете избран за президент на Съединените щати. (невъзможен)

Вие ще бъдете избран за президент на Русия. (случаен)

2) Купихте телевизор в магазин, за който производителят предоставя две години гаранция. Кои от следните събития са невъзможни, кои са случайни, кои са надеждни:

Телевизорът няма да се счупи една година. (случаен)

Телевизорът няма да се счупи две години. (случаен)

Две години няма да плащате за ремонт на телевизора. (надежден)

Телевизорът ще се счупи на третата година. (случаен)

3) Автобус с 15 пътници трябва да направи 10 спирки. Кои от следните събития са невъзможни, кои са случайни, кои са надеждни:

Всички пътници ще слизат от автобуса на различни спирки. (невъзможен)

Всички пътници ще слизат на една и съща спирка. (случаен)

На всяка спирка поне някой ще слезе. (случаен)

Ще има спирка, от която никой не слиза. (случаен)

Четен брой пътници ще слизат на всички спирки. (невъзможен)

На всички спирки ще слизат нечетен брой пътници. (невъзможен)

Домашна работа : стр. 53 № 960, 963, 965 (сами измислете две надеждни, случайни и невъзможни събития).

Втори урок.

Проверка на домашните. (устно)

а) Обяснете какво представляват определени, случайни и невъзможни събития.

б) Посочете кое от следните събития е надеждно, кое е невъзможно, кое е случайно:

Няма да има лятна ваканция. (невъзможен)

Сандвичът ще падне с маслото надолу. (случаен)

Учебната година все някога ще свърши. (надежден)

Утре ще ме питат в час. (случаен)

Днес ще срещна черна котка. (случаен)

№ 960. Отворихте този учебник на произволна страница и избрахте първото появило се съществително. Събитието е както следва:

а) в изписването на избраната дума има гласна. ((надежден)

б) изписването на избраната дума съдържа буквата „о“. (случаен)

в) в изписването на избраната дума няма гласни. (невъзможен)

г) в изписването на избраната дума има мек знак. (случаен)

№ 963. Отново играете табла. Опишете следното събитие:

а) играчът трябва да направи не повече от два хода. (невъзможно - при комбинация от най-малките числа 1 + 1 играчът прави 4 хода; комбинация от 1 + 2 дава 3 хода; всички останали комбинации дават повече от 3 хода)

б) играчът трябва да направи повече от два хода. (надежден - всяка комбинация дава 3 или повече хода)

в) играчът трябва да направи не повече от 24 хода. (надеждно - комбинацията от най-големите числа 6 + 6 дава 24 хода, а всички останали дават по-малко от 24 хода)

г) играчът трябва да направи двуцифрен брой ходове. (на случаен принцип – например комбинацията 2 + 3 дава едноцифрен брой ходове: 5, а хвърлянето на две четворки дава двуцифрен брой ходове)

2. Разрешаване на проблеми.

№ 964. В торба има 10 топки: 3 сини, 3 бели и 4 червени. Опишете следното събитие:

а) От торбата са извадени 4 топки и всичките са сини; (невъзможен)

б) от торбата са извадени 4 топки и всичките са червени; (случаен)

в) 4 топки бяха извадени от торбата и всичките се оказаха с различни цветове; (невъзможен)

г) От торбата бяха извадени 4 топки, сред които нямаше черна топка. (надежден)

Задача 1. Кутията съдържа 10 червени, 1 зелена и 2 сини химикалки. Два обекта се изтеглят на случаен принцип от кутията. Кои от следните събития са невъзможни, кои са случайни, кои са сигурни:

а) две червени химикалки са извадени (произволно)

б) изваждат се две зелени дръжки; (невъзможен)

в) изваждат се две сини химикалки; (случаен)

г) изваждат се дръжки от два различни цвята; (случаен)

д) две дръжки се отстраняват; (надежден)

е) изваждат се два молива. (невъзможен)

Задача 2. Мечо Пух, Прасчо и всички - всички - всички сядат на кръглата маса да празнуват рождения му ден. При какъв брой всички - всички - всички събитието „Мечо Пух и Прасчо седят един до друг“ е надеждно и при какво число е случайно?

(ако има само 1 от всички - всички - всички, тогава събитието е надеждно, ако има повече от 1, тогава е случайно).

Задача 3. Сред 100 билета за благотворителна лотария печелившите са 20. Колко билета трябва да купите, за да направите събитието „няма да спечелите нищо“ невъзможно?

Задача 4. В класа има 10 момчета и 20 момичета. Кои от следните събития са невъзможни за този клас, кои са случайни, кои са надеждни

В класа има двама души, които са родени в различни месеци. (случаен)

В класа има двама души, родени в един и същи месец. (надежден)

В класа има две момчета, родени в един месец. (случаен)

В класа има две момичета, родени в един месец. (надежден)

Всички момчета са родени в различни месеци. (надежден)

Всички момичета са родени в различни месеци. (случаен)

Има момченце и момиченце родени в един месец. (случаен)

Има момче и момиче родени в различни месеци. (случаен)

Задача 5. В кутията има 3 червени, 3 жълти и 3 зелени топки. Изваждаме произволно 4 топки. Помислете за събитието „Сред изтеглените топки ще има топки от точно M цвята.“ За всяко M от 1 до 4 определете какво е събитието – невъзможно, надеждно или случайно и попълнете таблицата:

Самостоятелна работа.

азопция

а) числото на рождения ден на вашия приятел е по-малко от 32;

в) утре ще има контролно по математика;

г) Догодина първият сняг в Москва ще падне в неделя.

Хвърляне на зарове. Опишете събитието:

а) кубът, паднал, ще стои на ръба си;

б) ще се появи едно от числата: 1, 2, 3, 4, 5, 6;

в) ще се появи числото 6;

г) ще се хвърли число, което е кратно на 7.

Една кутия съдържа 3 червени, 3 жълти и 3 зелени топки. Опишете събитието:

а) всички изтеглени топки са от един и същи цвят;

б) всички изтеглени топки са с различни цветове;

в) сред изтеглените топки има топки с различни цветове;

в) сред изтеглените топки има червена, жълта и зелена топка.

IIопция

Опишете въпросното събитие като надеждно, невъзможно или случайно:

а) сандвич, който падне от масата, ще падне с лицето надолу на пода;

б) сняг ще вали в Москва в полунощ, а след 24 часа ще грее слънце;

в) ще спечелите, като участвате в печеливша лотария;

г) догодина през май ще се чуе първият гръм на пролетта.

На картите са изписани всички двуцифрени числа. Една карта се избира на случаен принцип. Опишете събитието:

а) на картата имаше нула;

б) на картата имаше число, кратно на 5;

в) на картата имаше число, което беше кратно на 100;

г) на картата имаше число, по-голямо от 9 и по-малко от 100.

Кутията съдържа 10 червени, 1 зелена и 2 сини химикалки. Два обекта се изтеглят на случаен принцип от кутията. Опишете събитието:

а) извадени са две сини химикалки;

б) изваждат се две червени химикалки;

в) изваждат се две зелени дръжки;

г) зелената и черната дръжка се изваждат.

Домашна работа: 1). Измислете две надеждни, случайни и невъзможни събития.

2). Задача . В кутията има 3 червени, 3 жълти и 3 зелени топки. Изтегляме N топки на случаен принцип. Помислете за събитието „сред изтеглените топки ще има топки от точно три цвята“. За всяко N от 1 до 9 определете какво е събитието - невъзможно, надеждно или случайно и попълнете таблицата:

Комбинаторни задачи.

Първи урок

Проверка на домашните. (устно)

а) проверяваме проблемите, които учениците измислиха.

б) допълнителна задача.

Чета откъс от книгата на В. Левшин „Три дни в Карликания“.

„Първо под звуците на плавен валс числата образуваха група: 1 + 3 + 4 + 2 = 10. След това младите скейтъри започнаха да сменят местата си, образувайки все повече и повече нови групи: 2 + 3 + 4 + 1 = 10

3 + 1 + 2 + 4 = 10

4 + 1 + 3 + 2 = 10

1 + 4 + 2 + 3 = 10 и т.н.

Това продължи, докато скейтърите се върнаха в изходната си позиция.

Колко пъти смениха местата си?

Днес в клас ще научим как да решаваме такива задачи. Те се наричат комбинативен.

3. Изучаване на нов материал.

Задача 1. Колко двуцифрени числа могат да се съставят от числата 1, 2, 3?

Решение: 11, 12, 13

31, 32, 33. Общо 9 числа.

При решаването на този проблем претърсихме всички възможни варианти или, както обикновено се казва в тези случаи. Всички възможни комбинации. Следователно такива проблеми се наричат комбинативен. В живота доста често трябва да изчислявате възможни (или невъзможни) варианти, така че е полезно да се запознаете с комбинаторни проблеми.

№ 967. Няколко държави решиха да използват символи за националното си знаме под формата на три хоризонтални ивици с еднаква ширина в различни цветове - бяло, синьо, червено. Колко държави могат да използват такива символи, при условие, че всяка държава има свое знаме?

Решение. Да приемем, че първата ивица е бяла. Тогава втората ивица може да бъде синя или червена, а третата ивица, съответно, червена или синя. Имаме две възможности: бяло, синьо, червено или бяло, червено, синьо.

Нека сега първата ивица е синя, тогава отново получаваме две опции: бяло, червено, синьо или синьо, червено, бяло.

Нека първата ивица е червена, тогава има още две опции: червено, бяло, синьо или червено, синьо, бяло.

Имаше общо 6 възможни варианта. Това знаме може да се използва от 6 държави.

Така че, когато решавахме този проблем, ние търсихме начин да изброим възможните опции. В много случаи се оказва полезно да се изгради картина - диаграма с изброени опции. Това, първо, е ясно, и второ, позволява ни да вземем предвид всичко и да не пропуснем нищо.

Тази диаграма се нарича още дърво на възможните опции.

Първа страница

Втора ивица

Трета лента

Получената комбинация

№ 968. Колко двуцифрени числа могат да се съставят от числата 1, 2, 4, 6, 8?

Решение. За двуцифрените числа, които ни интересуват, на първо място може да бъде всяка от дадените цифри, с изключение на 0. Ако поставим числото 2 на първо място, то всяка от дадените цифри може да бъде на второ място. Ще получите пет двуцифрени числа: 2.,22, 24, 26, 28. По същия начин ще има пет двуцифрени числа с първа цифра 4, пет двуцифрени числа с първа цифра 6 и пет двуцифрени числа цифрени числа с първа цифра 8.

Отговор: Ще има общо 20 числа.

Нека изградим дърво от възможни варианти за решаване на този проблем.

Двойни цифри

Първа цифра

Втора цифра

Получени номера

20, 22, 24, 26, 28, 60, 62, 64, 66, 68,

40, 42, 44, 46, 48, 80, 82, 84, 86, 88.

Решете следните задачи, като построите дърво от възможни варианти.

№ 971. Ръководството на определена държава реши да направи националния си флаг така: на едноцветен правоъгълен фон в един от ъглите е поставен кръг с различен цвят. Беше решено да се изберат цветове от три възможни: червено, жълто, зелено. Колко варианта на това знаме?

съществува? Фигурата показва някои от възможните опции.

Отговор: 24 варианта.

№ 973. а) Колко трицифрени числа могат да се съставят от числата 1,3, 5,? (27 числа)

б) Колко трицифрени числа могат да се съставят от числата 1,3,5, при условие че числата не трябва да се повтарят? (6 числа)

№ 979. Съвременните петобойци участват в състезания в пет спорта в рамките на два дни: прескачане на препятствия, фехтовка, плуване, стрелба и бягане.

а) Колко опции има за реда на завършване на видовете състезания? (120 опции)

б) Колко опции има за реда на събитията от състезанието, ако е известно, че трябва да се проведе последното събитие? (24 опции)

в) Колко варианта има за реда на състезателните дисциплини, ако се знае, че последната дисциплина трябва да е бягане, а първата трябва да е прескачане на препятствия? (6 опции)

№ 981. Две урни съдържат по пет топки в пет различни цвята: бяло, синьо, червено, жълто, зелено. От всяка урна се тегли по една топка.

а) колко различни комбинации от изтеглени топки има (комбинации като "бяло - червено" и "червено - бяло" се считат за еднакви)?

(15 комбинации)

б) Колко комбинации има, в които изтеглените топки са от един и същи цвят?

(5 комбинации)

в) колко комбинации има, в които изтеглените топки са с различни цветове?

(15 – 5 = 10 комбинации)

Домашна работа: стр. 54, No 969, 972, измислете сами комбинаторна задача.

№ 969. Няколко държави са решили да използват символи за националното си знаме под формата на три вертикални ивици с еднаква ширина в различни цветове: зелено, черно, жълто. Колко държави могат да използват такива символи, при условие, че всяка държава има свое знаме?

№ 972. а) Колко двуцифрени числа могат да се съставят от числата 1, 3, 5, 7, 9?

б) Колко двуцифрени числа могат да се съставят от числата 1, 3, 5, 7, 9, при условие че числата не трябва да се повтарят?

Втори урок

Проверка на домашните. а) № 969 и № 972а) и № 972б) - изградете дърво на възможните опции на дъската.

б) устно проверяваме изпълнените задачи.

Разрешаване на проблем.

И така, преди това научихме как да решаваме комбинаторни проблеми с помощта на дърво от опции. Това добър начин ли е? Вероятно да, но много тромаво. Нека се опитаме да решим по различен начин домашна задача № 972. Кой може да предположи как може да стане това?

Отговор: Към всеки от петте цвята тениски има 4 цвята бикини. Общо: 4 * 5 = 20 опции.

№ 980. Урните съдържат по пет топки в пет различни цвята: бяло, синьо, червено, жълто, зелено. От всяка урна се тегли по една топка. Опишете следното събитие като сигурно, случайно или невъзможно:

а) извадени топки с различни цветове; (случаен)

б) извадени топки от един и същи цвят; (случаен)

в) изтеглени са черни и бели топки; (невъзможен)

г) изтеглени са две топки, като и двете са оцветени в един от следните цветове: бяло, синьо, червено, жълто, зелено. (надежден)

№ 982. Група туристи планира поход по маршрута Антоново – Борисово – Власово – Грибово. От Антоново до Борисово можете да сплавате по реката или да се разходите. От Борисово до Власово можете да ходите или да карате велосипед. От Власово до Грибово можете да плувате по реката, да карате велосипеди или да ходите. От колко възможности за трекинг могат да избират туристите? Колко варианта за пешеходен туризъм могат да изберат туристите, при условие че трябва да използват велосипеди поне в една част от маршрута?

(12 опции за маршрут, 8 от които с велосипеди)

Самостоятелна работа.

1 вариант

а) Колко трицифрени числа могат да се съставят от цифрите: 0, 1, 3, 5, 7?

б) Колко трицифрени числа могат да се съставят от цифрите: 0, 1, 3, 5, 7, като числата не трябва да се повтарят?

Атос, Портос и Арамис имат само меч, кама и пистолет.

а) По колко начина могат да бъдат въоръжени мускетарите?

б) Колко опции за оръжие има, ако Арамис трябва да владее меч?

в) Колко опции за оръжие има, ако Арамис трябва да владее меча, а Портос трябва да владее пистолета?

Някъде Бог изпрати на Рейвън парче сирене, както и сирене фета, наденица, бял и черен хляб. Кацнала на смърч, враната беше готова да закуси, но започна да мисли: по колко начина могат да се направят сандвичи от тези продукти?

Вариант 2

а) Колко трицифрени числа могат да се съставят от цифрите: 0, 2, 4, 6, 8?

б) Колко трицифрени числа могат да се съставят от цифрите: 0, 2, 4, 6, 8, като цифрите не трябва да се повтарят?

Граф Монте Кристо реши да подари на принцеса Хайде обеци, колие и гривна. Всяко бижу трябва да съдържа един от следните видове скъпоценни камъни: диаманти, рубини или гранати.

а) Колко възможности има за комбиниране на бижута със скъпоценни камъни?

б) Колко варианта за бижута има, ако обеците трябва да са диамантени?

в) Колко варианта за бижута има, ако обеците трябва да са с диамант, а гривната с гранат?

За закуска можете да изберете кифличка, сандвич или меденки с кафе или кефир. Колко опции за закуска можете да създадете?

Домашна работа : № 974, 975. (чрез съставяне на дърво с опции и използване на правилото за умножение)

№ 974 . а) Колко трицифрени числа могат да се съставят от числата 0, 2, 4?

б) Колко трицифрени числа могат да се съставят от числата 0, 2, 4, при условие че числата не трябва да се повтарят?

№ 975 . а) Колко трицифрени числа могат да се съставят от числата 1,3, 5,7?

б) Колко трицифрени числа могат да се съставят от числата 1,3, 5,7 при условието. Кои числа не трябва да се повтарят?

Номерата на задачите са взети от учебника

"Математика-5", I.I. Зубарева, А.Г. Мордкович, 2004.

1.1. Малко информация от комбинаториката

1.1.1. Разположения

Нека разгледаме най-простите концепции, свързани с избора и подреждането на определен набор от обекти.
Преброяването на броя на начините, по които тези действия могат да бъдат извършени, често се прави при решаване на вероятностни проблеми.
Определение. Настаняване от нелементи от к (к ≤н) е всяко подредено подмножество на келементи на набор, състоящ се от нразлични елементи.
Пример.Следните поредици от числа са разположения на 2 елемента от 3 елемента на множеството (1;2;3): 12, 13, 23, 21, 31, 32.
Обърнете внимание, че разположенията се различават по реда на включените в тях елементи и техния състав. Позиции 12 и 21 съдържат едни и същи числа, но редът им е различен. Следователно тези разположения се считат за различни.
Брой различни разположения от нелементи от ксе определя и изчислява по формулата:
,
Където н! = 1∙2∙...∙(н - 1)∙н(чете се " н- факториел").
Броят на двуцифрените числа, които могат да бъдат съставени от цифрите 1, 2, 3, при условие че нито една цифра не се повтаря, равен на: .

1.1.2. Пренареждания

Определение. Пермутации от нелементи се наричат ​​такива разположения на нелементи, които се различават само по разположението на елементите.
Брой пермутации от нелементи Пнизчислено по формулата: Пн=н!
Пример.По колко начина могат да се наредят 5 души? Броят на начините е равен на броя на пермутациите на 5 елемента, т.е.
П 5 =5!=1∙2∙3∙4∙5=120.
Определение. Ако сред нелементи кидентични, след това пренареждане на тези нелементи се нарича пермутация с повторения.
Пример.Нека 2 от 6-те книги са еднакви. Всяко подреждане на всички книги на един рафт е пренареждане с повторение.
Брой различни пермутации с повторения (от нелементи, включително кидентични) се изчислява по формулата: .
В нашия пример броят на начините, по които книгите могат да бъдат подредени на рафт, е: .

1.1.3. Комбинации

Определение. Комбинации от нелементи от ктакива разположения се наричат нелементи от к, които се различават един от друг поне по един елемент.
Брой различни комбинации от нелементи от ксе обозначава и изчислява по формулата: .
По дефиниция 0!=1.
Следните свойства се прилагат за комбинации:
1.
2.
3.
4.
Пример.Има 5 цветя в различни цветове. За букета са избрани 3 цветя. Броят на различните букети от 3 цветя от 5 е равен на: .

1.2. Случайни събития

1.2.1. събития

Познаването на реалността в природните науки възниква в резултат на тестове (експеримент, наблюдения, опит).
Тест или опитът е прилагането на специфичен набор от условия, които могат да бъдат възпроизведени произволно голям брой пъти.
Случаен е събитие, което може или не може да се случи в резултат на някакъв тест (опит).
Така събитието се счита за резултат от теста.
Пример.Хвърлянето на монета е предизвикателство. Появата на орел по време на хвърляне е събитие.
Събитията, които наблюдаваме, се различават по степента на възможността за тяхното възникване и по характера на тяхната взаимовръзка.
Събитието се нарича надежден , ако е сигурно, че ще възникне в резултат на този тест.
Пример.Студент, който получава положителна или отрицателна оценка на изпит, е надеждно събитие, ако изпитът протича по обичайните правила.
Събитието се нарича невъзможен , ако не може да възникне в резултат на този тест.
Пример.Премахването на бяла топка от урна, която съдържа само цветни (небели) топки, е невъзможно събитие. Имайте предвид, че при други експериментални условия не е изключена появата на бяла топка; така че това събитие е невъзможно само при условията на нашия опит.
По-нататък случайни събития ще обозначаваме с главни латински букви A, B, C... Достоверно събитие ще обозначаваме с буквата Ω, а невъзможно събитие с Ø.
Извикват се две или повече събития еднакво възможно в даден тест, ако има причина да се смята, че нито едно от тези събития не е повече или по-малко възможно от останалите.
Пример.С едно хвърляне на зар, появата на 1, 2, 3, 4, 5 и 6 точки са еднакво възможни събития. Предполага се, разбира се, че заровете са направени от хомогенен материал и имат правилната форма.
Двете събития се наричат несъвместими в даден тест, ако появата на един от тях изключва появата на другия, и става в противен случай.
Пример.Кутията съдържа стандартни и нестандартни части. Да вземем един детайл за късмет. Появата на стандартна част елиминира появата на нестандартна част. Тези събития са несъвместими.
Формират се няколко събития пълна група от събития в даден тест, ако поне един от тях е сигурен, че ще се появи в резултат на този тест.
Пример.Събитията от примера образуват пълна група от еднакво възможни и по двойки несъвместими събития.
Извикват се две несъвместими събития, които образуват пълна група от събития в даден опит противоположни събития.
Ако един от тях е определен от А, тогава другият обикновено се обозначава с (прочетете „не А»).
Пример.Попадение и пропуск с един изстрел в целта са противоположни събития.

1.2.2. Класическа дефиниция на вероятността

Вероятност за събитие – числена мярка за възможността за възникването му.
Събитие АНаречен благоприятен събитие INако всеки път, когато се случи събитие А, събитието идва IN.
събития А 1 , А 2 , ..., Анформа схема на случай , ако те:
1) еднакво възможно;
2) по двойки несъвместими;
3) образуват пълна група.
В схемата на случаите (и само в тази схема) има място класическото определение на вероятността П(А) събития А. Тук случай е всяко от събитията, принадлежащи към избрана пълна група от еднакво възможни и по двойки несъвместими събития.
Ако не броят на всички случаи в схемата, и м– брой случаи, благоприятни за събитието А, Че вероятност за събитие Асе определя от равенството:

Следните свойства следват от определението за вероятност:
1. Вероятността за надеждно събитие е равна на единица.
Наистина, ако едно събитие е сигурно, тогава всеки случай в схемата от случаи благоприятства събитието. В такъв случай м = ни следователно

2. Вероятността за невъзможно събитие е нула.
Наистина, ако дадено събитие е невъзможно, тогава нито един случай в модела от случаи не благоприятства събитието. Ето защо м=0 и следователно

Вероятността за случайно събитие е положително число между нула и едно.
Наистина, само малка част от общия брой случаи в модела на случаите се предпочита от случайно събитие. Следователно 0<м<н, което означава 0<м/н<1 и, следовательно, 0 < P(A) < 1.
И така, вероятността за всяко събитие удовлетворява неравенствата
0 ≤ P(а) ≤ 1.
Понастоящем свойствата на вероятността са определени под формата на аксиоми, формулирани от A.N. Колмогоров.
Едно от основните предимства на класическата дефиниция на вероятността е възможността да се изчисли директно вероятността за събитие, т.е. без да се прибягва до експерименти, които се заменят с логически разсъждения.

Проблеми на директното изчисляване на вероятностите

Задача 1.1. Каква е вероятността за четен брой точки (събитие А) при хвърляне на зар?
Решение. Помислете за събитията Ааз- отпаднал азочила, аз= 1, 2, …,6. Очевидно е, че тези събития формират модел от случаи. След това броят на всички случаи н= 6. Случаите са в полза на четен брой точки А 2 , А 4 , А 6, т.е. м= 3. Тогава .
Задача 1.2. В една урна има 5 бели и 10 черни топки. Топчетата се разбъркват старателно и след това произволно се изважда 1 топка. Каква е вероятността изтеглената топка да е бяла?
Решение. Има общо 15 случая, които образуват модел на случай. Освен това очакваното събитие А– следователно появата на бяла топка се предпочита от 5 от тях .
Задача 1.3. Дете играе с шест букви от азбуката: A, A, E, K, R, T. Намерете вероятността то да успее произволно да състави думата КАРЕТА (събитие A).
Решение. Решението се усложнява от факта, че сред буквите има еднакви - две букви „А“. Следователно броят на всички възможни случаи в даден тест е равен на броя на пермутациите с повторения на 6 букви:
.
Тези случаи са еднакво възможни, по двойки непоследователни и образуват пълна група от събития, т.е. образуват диаграма на случаите. Само един шанс благоприятства събитието А. Ето защо
.
Задача 1.4. Таня и Ваня се съгласиха да празнуват Нова година в компания от 10 души. И двамата много искаха да седнат един до друг. Каква е вероятността желанието им да бъде изпълнено, ако е обичайно местата между приятелите им да се разпределят чрез жребий?
Решение. Нека означим с Асъбитие „сбъдване на желанията на Таня и Ваня“. 10 души могат да седнат на маса от 10! различни начини. Колко от тези н= 10! еднакво възможните начини са благоприятни за Таня и Ваня? Таня и Ваня, седнали една до друга, могат да заемат 20 различни позиции. В същото време осем техни приятели могат да седнат на маса от 8! по различни начини, т.н м= 20∙8!. следователно
.
Задача 1.5. Група от 5 жени и 20 мъже избира трима делегати. Ако приемем, че всеки присъстващ човек може да бъде избран с еднаква вероятност, намерете вероятността две жени и един мъж да бъдат избрани.
Решение. Общият брой еднакво възможни резултати от теста е равен на броя на начините, по които могат да бъдат избрани трима делегати от 25 души, т.е. . Нека сега преброим броя на благоприятните случаи, т.е. броя на случаите, в които се случва събитието, представляващо интерес. Мъж делегат може да бъде избран по двадесет начина. В същото време останалите двама делегати трябва да са жени, като можете да изберете две жени от пет. Следователно, . Ето защо
.
Задача 1.6.Четири топки са разпръснати на случаен принцип в четири дупки, всяка топка попада в една или друга дупка с еднаква вероятност и независимо от останалите (няма пречки няколко топки да попаднат в една и съща дупка). Намерете вероятността да има три топки в една от дупките, една в другата и нито една топка в другите две дупки.
Решение. Общ брой случаи н=4 4 . Броят начини, по които човек може да избере една дупка, където ще има три топки, . Броят начини, по които можете да изберете дупка, където ще има една топка, . Броят начини, по които три от четирите топки могат да бъдат избрани да бъдат поставени в първата дупка, е . Общ брой благоприятни случаи. Вероятност за събитие:
Задача 1.7.В кутията има 10 еднакви топки, обозначени с цифри 1, 2, ..., 10. Теглени са 6 топки за късмет. Намерете вероятността сред извадените топки да има: а) топка № 1; б) топки №1 и №2.
Решение. а) Общият брой възможни елементарни резултати от теста е равен на броя на начините, по които могат да бъдат извадени шест топки от десет, т.е.
Нека намерим броя на резултатите, които благоприятстват събитието, което ни интересува: сред избраните шест топки има топка № 1 и следователно останалите пет топки имат различни номера. Броят на тези резултати очевидно е равен на броя на начините, по които могат да бъдат избрани пет топки от останалите девет, т.е.
Необходимата вероятност е равна на съотношението на броя на резултатите, благоприятни за въпросното събитие, към общия брой възможни елементарни резултати:
б) Броят на резултатите, благоприятни за събитието, което ни интересува (сред избраните топки има топки № 1 и № 2, следователно четири топки имат различни номера) е равен на броя на начините, по които четири топки могат бъдат извлечени от останалите осем, т.е. Необходима вероятност

1.2.3. Статистическа вероятност

Статистическата дефиниция на вероятността се използва, когато резултатите от даден експеримент не са еднакво възможни.
Относителна честота на събитието Асе определя от равенството:
,
Където м– брой опити, в които събитието Апристигна н– общ брой извършени тестове.
Дж. Бернули доказа, че при неограничено увеличаване на броя на експериментите относителната честота на възникване на дадено събитие ще се различава почти толкова малко, колкото желаете, от някакво постоянно число. Оказа се, че това постоянно число е вероятността събитието да се случи. Следователно е естествено относителната честота на възникване на събитие с достатъчно голям брой опити да се нарече статистическа вероятност, за разлика от въведената по-рано вероятност.
Пример 1.8. Как приблизително да определите броя на рибите в езерото?
Пусни в езерото хриба Хвърляме мрежа и, да кажем, намираме в нея нриба Маркираме всеки от тях и ги пускаме обратно. Няколко дни по-късно, при същото време и на същото място, хвърлихме същата мрежа. Да приемем, че в него намираме m риби, сред които кмаркирани. Нека събитието А- „уловената риба се маркира.“ След това по дефиниция на относителната честота.
Но ако в езерото хриба и я пуснахме в нея нетикетиран, след това .
защото Р * (А) » Р(А), Че .

1.2.4. Операции върху събития. Теорема за добавяне на вероятности

Количество, или обединението на няколко събития, е събитие, състоящо се от появата на поне едно от тези събития (в едно и също изпитване).
Сума А 1 + А 2 + … + Анозначен по следния начин:
или .
Пример. Хвърлят се два зара. Нека събитието Асе състои от хвърляне на 4 точки на 1 зар и събитието IN– когато се хвърлят 5 точки на друг зар. събития АИ INстава. Следователно събитието А +INсе състои от хвърляне на 4 точки на първия зар, или 5 точки на втория зар, или 4 точки на първия зар и 5 точки на втория по едно и също време.
Пример.Събитие А– печалби за 1 заем, събитие IN– печалби от 2-ри заем. Тогава събитието A+B– спечелване на поне един заем (евентуално два наведнъж).
Работатаили пресичането на няколко събития е събитие, състоящо се от съвместната поява на всички тези събития (в едно и също изпитване).
работа INсъбития А 1 , А 2 , …, Анозначен по следния начин:
.
Пример.събития АИ INсе състои от успешно преминаване на първи и втори кръг, съответно, при приемане в института. Тогава събитието А×Бсе състои от успешно завършване на двата кръга.
Понятията сума и продукт на събитията имат ясна геометрична интерпретация. Нека събитието Аима точка на влизане в зоната А, и събитието IN– точка навлизане в района IN. Тогава събитието A+Bима точка, влизаща в съюза на тези области (фиг. 2.1), и събитието АINима точка, която удря пресечната точка на тези области (фиг. 2.2).

Ориз. 2.1 Фиг. 2.2
Теорема. Ако събития A i(аз = 1, 2, …, н) са непоследователни по двойки, тогава вероятността от сумата от събития е равна на сумата от вероятностите от тези събития:
.
Позволявам АИ Ā – противоположни събития, т.е. A + Ā= Ω, където Ω е надеждно събитие. От теоремата за добавяне следва, че
Р(Ω) = Р(А) + Р(Ā ) = 1, следователно
Р(Ā ) = 1 – Р(А).
Ако събития А 1 и А 2 са съвместими, тогава вероятността за сумата от две едновременни събития е равна на:
Р(А 1 + А 2) = Р(А 1) + Р(А 2) – P( А 1× А 2).
Теоремите за добавяне на вероятности ни позволяват да преминем от директно изчисляване на вероятностите към определяне на вероятностите за настъпване на сложни събития.
Задача 1.8. Стрелецът произвежда един изстрел в целта. Вероятност за отбелязване на 10 точки (събитие А), 9 точки (събитие IN) и 8 точки (събитие СЪС) са равни съответно на 0,11; 0,23; 0,17. Намерете вероятността с един изстрел стрелецът да отбележи по-малко от 8 точки (събитие д).
Решение. Нека да преминем към обратното събитие - с един изстрел стрелецът ще отбележи поне 8 точки. Едно събитие се случва, ако се случи Аили IN, или СЪС, т.е. . От събитията А, Б, СЪСса по двойки непоследователни, тогава, по теоремата за добавяне,
, където .
Задача 1.9. От екипа на бригадата, който се състои от 6 мъже и 4 жени, се избират двама души за синдикалната конференция. Каква е вероятността сред избраните поне една жена (събитие А).
Решение. Ако се случи събитие А, тогава определено ще се случи едно от следните несъвместими събития: IN– „мъж и жена са избрани”; СЪС- „бяха избрани две жени“. Следователно можем да напишем: A=B+C. Нека намерим вероятността от събития INИ СЪС. Двама от 10 души могат да бъдат избрани по различни начини. Две жени от 4 могат да бъдат избрани по различни начини. Мъж и жена могат да бъдат избрани по 6 × 4 начина. Тогава . От събитията INИ СЪСса непоследователни, тогава по теоремата за добавяне,
P(A) = P(B + C) = P(B) + P(C) = 8/15 + 2/15 = 2/3.
Задача 1.10.На рафт в библиотеката има 15 учебника, подредени произволно, пет от тях подвързани. Библиотекарката взима произволно три учебника. Намерете вероятността поне един от взетите учебници да бъде подвързан (събитие А).
Решение. Първи начин. Изискването – взет поне един от трите подвързани учебника – ще бъде изпълнено, ако настъпи някое от следните три несъвместими събития: IN– един подвързан учебник, СЪС– два подвързани учебника, д– три подвързани учебника.
Интересно за нас събитие Аможе да се представи като сбор от събития: A=B+C+D. Според теоремата за добавяне,
P(A) = P(B) + P(C) + P(D). (2.1)
Нека намерим вероятността от събития Б, ВИ д(виж комбинаторни схеми):

Представяйки тези вероятности в равенство (2.1), накрая получаваме
P(A)= 45/91 + 20/91 + 2/91 = 67/91.
Втори начин. Събитие А(поне един от трите взети учебника е подвързан) и Ā (нито един от взетите учебници не е подвързан) - обратно, следователно P(A) + P(Ā) = 1 (сумата от вероятностите за две противоположни събития е равна на 1). Оттук P(A) = 1 – P(Ā).Вероятност за възникване на събитие Ā (нито един от взетите учебници не е подвързан)
Необходима вероятност
P(A) = 1 – P(Ā) = 1 – 24/91 = 67/91.

1.2.5. Условна вероятност. Теорема за умножение на вероятностите

Условна вероятност P(B/А) е вероятността за събитие B, изчислена при предположението, че събитие A вече се е случило.
Теорема. Вероятността за съвместна поява на две събития е равна на произведението на вероятностите за едно от тях и условната вероятност за другото, изчислена при предположението, че първото събитие вече се е случило:
P(A∙B) = P(A)∙P( IN/А). (2.2)
Две събития се наричат ​​независими, ако настъпването на някое от тях не променя вероятността за настъпване на другото, т.е.
P(A) = P(A/B) или P(B) = P(B/А). (2.3)
Ако събития АИ INса независими, то от формули (2.2) и (2.3) следва
P(A∙B) = P(A)∙P(B). (2.4)
Вярно е и обратното твърдение, т.е. ако равенството (2.4) е в сила за две събития, тогава тези събития са независими. Действително, от формули (2.4) и (2.2) следва
P(A∙B) = P(A)∙P(B) = P(A) × P(B/А), където P(A) = P(B/А).
Формула (2.2) може да се обобщи за случай на краен брой събития А 1 , А 2 ,…,A n:
P(A 1 ∙А 2 ∙…∙A n)=P(A 1)∙P(A 2 /А 1)∙P(A 3 /А 1 А 2)∙…∙P(A n/А 1 А 2 …A n -1).
Задача 1.11. От урна, съдържаща 5 бели и 10 черни топки, се изтеглят две топки в редица. Намерете вероятността и двете топки да са бели (събитие А).
Решение. Да разгледаме събитията: IN– първата изтеглена топка е бяла; СЪС– втората изтеглена топка е бяла. Тогава A = BC.
Експериментът може да се проведе по два начина:
1) с връщане: извадената топка, след фиксиране на цвета, се връща в урната. В този случай събитията INИ СЪСнезависим:
P(A) = P(B)∙R(S) = 5/15 × 5/15 = 1/9;
2) без връщане: извадената топка се оставя настрана. В този случай събитията INИ СЪСзависим:
P(A) = P(B)∙R(S/IN).
За събитие INусловията са същите, и за СЪСситуацията се е променила. Се случи IN, следователно в урната са останали 14 топки, включително 4 бели.
Така, .
Задача 1.12. Сред 50-те крушки 3 са нестандартни. Намерете вероятността две електрически крушки, взети едновременно, да са нестандартни.
Решение. Да разгледаме събитията: А– първата крушка е нестандартна, IN– втората крушка е нестандартна, СЪС– двете крушки са нестандартни. Това е ясно C = A∙IN. Събитие А 3 случая от 50 възможни са благоприятни, т.е. P(A) = 3/50. Ако събитието Авече е пристигнал, тогава събитието INдва случая от 49 възможни са благоприятни, т.е. P(B/А) = 2/49. следователно
.
Задача 1.13. Двама атлети стрелят по една и съща мишена независимо един от друг. Вероятността първият атлет да уцели целта е 0,7, а вторият е 0,8. Каква е вероятността целта да бъде ударена?
Решение. Мишената ще бъде улучена, ако или първият стрелец, или вторият, или и двамата я уцелят, т.е. ще се случи събитие A+B, къде е събитието Асе състои от първия атлет, уцелил целта, и събитието IN– второ. Тогава
P(A+IN)=P(A)+P(B)–P(A∙IN)=0, 7+0, 8–0, 7∙0,8=0,94.
Задача 1.14.Читалнята разполага с шест учебника по теория на вероятностите, три от които са подвързани. Библиотекарката взе наслуки два учебника. Намерете вероятността два учебника да бъдат подвързани.
Решение. Нека въведем обозначенията на събитията : А– първият взет учебник е подвързан, IN– вторият учебник е подвързан. Вероятността първият учебник да е подвързан е
P(A) = 3/6 = 1/2.
Вероятността вторият учебник да бъде подвързан, при условие че първият взет учебник е бил подвързан, т.е. условна вероятност за събитие IN, е така: P(B/а) = 2/5.
Желаната вероятност двата учебника да са подвързани, съгласно теоремата за умножение на вероятностите за събития, е равна на
P(AB) = P(A) ∙ P(B/а)= 1/2 · ∙ 2/5 = 0,2.
Задача 1.15.В цеха работят 7 мъже и 3 жени. Трима души бяха избрани на случаен принцип с техните лични номера. Намерете вероятността всички избрани лица да бъдат мъже.
Решение. Нека представим обозначенията на събитията: А– първо се избира мъжът, IN– вторият избран е мъж, С -Третият избран беше мъж. Вероятността първо да бъде избран мъж е P(A) = 7/10.
Вероятността мъж да бъде избран втори, при условие че човек вече е избран първи, т.е. условна вероятност за събитие INследващия : P(B/A) = 6/9 = 2/3.
Вероятността мъж да бъде избран трети, като се има предвид, че вече са избрани двама мъже, т.е. условна вероятност за събитие СЪСтова ли е: НАСТОЛЕН КОМПЮТЪР/AB) = 5/8.
Желаната вероятност и трите избрани лица да бъдат мъже е P(ABC) = P(A) P(B/А) НАСТОЛЕН КОМПЮТЪР/AB) = 7/10 · 2/3 · 5/8 = 7/24.

1.2.6. Формула за пълна вероятност и формула на Байс

Позволявам б 1 , б 2 ,…, Bn– по двойки несъвместими събития (хипотези) и А– събитие, което може да се случи само заедно с един от тях.
Уведомете ни също P(B i) И P(A/B i) (аз = 1, 2, …, н).
При тези условия са валидни формулите:
(2.5)
(2.6)
Формула (2.5) се извиква формула за обща вероятност . Той изчислява вероятността от събитие А(обща вероятност).
Формула (2.6) се извиква Формула на Бейс . Тя ви позволява да преизчислите вероятностите на хипотези, ако събитието Асе случи.
При компилирането на примери е удобно да се приеме, че хипотезите образуват пълна група.
Задача 1.16. Кошницата съдържа ябълки от четири дървета от един и същи сорт. От първия - 15% от всички ябълки, от втория - 35%, от третия - 20%, от четвъртия - 30%. Узрелите ябълки са съответно 99%, 97%, 98%, 95%.
а) Каква е вероятността произволно взета ябълка да е узряла (събитие А).
б) Като се има предвид, че произволно взета ябълка се оказва узряла, изчислете вероятността тя да е от първото дърво.
Решение. а) Имаме 4 хипотези:
B 1 – произволно взета ябълка се взема от 1-во дърво;
B 2 – произволно взета ябълка се взема от 2-то дърво;
B 3 – произволно взета ябълка се взема от 3-то дърво;
B 4 – произволно взета ябълка се взема от 4-то дърво.
Техните вероятности според условието: P(B 1) = 0,15; P(B 2) = 0,35; P(B 3) = 0,2; P(B 4) = 0,3.
Условни вероятности за събитие А:
P(A/б 1) = 0,99; P(A/б 2) = 0,97; P(A/б 3) = 0,98; P(A/б 4) = 0,95.
Вероятността произволно взета ябълка да е узряла се намира с помощта на формулата за обща вероятност:
P(A)=P(B 1)∙P(A/б 1)+P(B 2)∙P(A/б 2)+P(B 3)∙P(A/б 3)+P(B 4)∙P(A/б 4)=0,969.
б) Формулата на Байс за нашия случай изглежда така:
.
Задача 1.17.Бяла топка се пуска в урна, съдържаща две топки, след което една топка се тегли на случаен принцип. Намерете вероятността извадената топка да бъде бяла, ако всички възможни предположения за първоначалния състав на топките (въз основа на цвета) са еднакво възможни.
Решение. Нека означим с Асъбитие – изтеглена е бяла топка. Възможни са следните предположения (хипотези) за първоначалния състав на топките: Б 1– няма бели топки, НА 2– една бяла топка, НА 3- две бели топки.
Тъй като хипотезите са общо три, а сумата от вероятностите на хипотезите е 1 (тъй като те образуват пълна група от събития), то вероятността на всяка от хипотезите е 1/3, т.е.
P(B 1) = P(B 2)= P(B 3) = 1/3.
Условната вероятност да бъде изтеглена бяла топка, като се има предвид, че първоначално в урната не е имало бели топки, P(A/б 1)=1/3. Условната вероятност да бъде изтеглена бяла топка, като се има предвид, че първоначално е имало една бяла топка в урната, P(A/б 2)=2/3. Условна вероятност да бъде изтеглена бяла топка, като се има предвид, че първоначално в урната е имало две бели топки P(A/б 3)=3/ 3=1.
Намираме необходимата вероятност да бъде изтеглена бяла топка, използвайки формулата за обща вероятност:
Р(А)=P(B 1)∙P(A/б 1)+P(B 2)∙P(A/б 2)+P(B 3)∙P(A/б 3)=1/3 1/3+1/3 2/3+1/3 1=2/3 .
Задача 1.18. Две машини произвеждат еднакви части, които отиват на общ конвейер. Производителността на първата машина е два пъти по-голяма от втората. Първата машина произвежда средно 60% части с отлично качество, а втората - 84%. Частта, взета произволно от поточната линия, се оказа с отлично качество. Намерете вероятността тази част да е произведена от първата машина.
Решение. Нека означим с Асъбитие - детайл с отлично качество. Могат да се направят две предположения: Б 1– частта е произведена от първата машина и (тъй като първата машина произвежда два пъти повече части от втората) P(A/б 1) = 2/3; б 2 – частта е произведена от втората машина, и P(B 2) = 1/3.
Условната вероятност частта да бъде с отлично качество, ако бъде произведена от първата машина, P(A/б 1)=0,6.
Условната вероятност частта да бъде с отлично качество, ако бъде произведена от втората машина е P(A/б 1)=0,84.
Вероятността произволно взета част да бъде с отлично качество според формулата за обща вероятност е равна на
P(A)=P(B 1) ∙P(A/б 1)+P(B 2) ∙P(A/б 2)=2/3·0,6+1/3·0,84 = 0,68.
Необходимата вероятност избраната отлична част да е произведена от първата машина, съгласно формулата на Байс, е равна на

Задача 1.19. Има три партиди части, всяка от които съдържа 20 части. Броят на стандартните части в първата, втората и третата партида е съответно 20, 15, 10. Част, която се оказа стандартна, беше извадена на случаен принцип от избраната партида. Частите се връщат в партидата и произволно се изважда част от същата партида, която също се оказва стандартна. Намерете вероятността частите да бъдат извадени от третата партида.
Решение. Нека означим с Асъбитие - във всеки от двата опита (с връщане) е извлечена стандартна част. Могат да се направят три предположения (хипотези): б 1 – части се отстраняват от първата партида, IN 2 – части се отстраняват от втората партида, IN 3 – части се отстраняват от третата партида.
Частите са извлечени на случаен принцип от дадена партида, така че вероятностите на хипотезите са еднакви: P(B 1) = P(B 2) = P(B 3) = 1/3.
Нека намерим условната вероятност P(A/б 1), т.е. вероятността две стандартни части да бъдат последователно премахнати от първата партида. Това събитие е надеждно, т.к в първата партида всички части са стандартни, така че P(A/б 1) = 1.
Нека намерим условната вероятност P(A/б 2), т.е. вероятността две стандартни части да бъдат последователно премахнати (и върнати) от втората партида: P(A/б 2)= 15/20 ∙ 15/20 = 9/16.
Нека намерим условната вероятност P(A/б 3), т.е. вероятността две стандартни части да бъдат последователно премахнати (и върнати) от третата партида: P(A/б 3) = 10/20 · 10/20 = 1/4.
Желаната вероятност и двете извлечени стандартни части да бъдат взети от третата партида, съгласно формулата на Bayes, е равна на

1.2.7. Повтарящи се тестове

Ако се извършат няколко теста и вероятността от събитието Авъв всеки тест не зависи от резултатите от други тестове, тогава такива тестове се наричат независимо по отношение на събитие А.В различни независими изпитания събитието Аможе да има различни вероятности или еднаква вероятност. По-нататък ще разгледаме само такива независими тестове, в които събитието Аима същата вероятност.
Нека се произвежда Пнезависими изпитания, във всяко от които събитието Аможе или не може да се появи. Нека се съгласим да приемем, че вероятността от събитие Авъв всяко изпитание е еднакво, а именно равно Р.Следователно вероятността събитието да не се случи Авъв всеки опит също е постоянна и равна на 1– Р.Тази вероятностна схема се нарича Схема на Бернули. Нека си поставим задачата да изчислим вероятността кога ПТест на Бернули Аще се сбъдне кведнъж ( к– брой успехи) и следователно няма да се сбъдне П-веднъж. Важно е да се подчертае, че не е задължително събитието Аповторено точно кпъти в определена последователност. Означаваме желаната вероятност R p (к). Например символът Р 5(3) означава вероятността при пет опита събитието да се появи точно 3 пъти и следователно да не се случи 2 пъти.
Поставеният проблем може да се реши с помощта на т.нар формули на Бернули,което изглежда така:
.
Задача 1.20.Вероятността потреблението на електроенергия за един ден да не надвишава установената норма е равна на Р=0,75. Намерете вероятността през следващите 6 дни консумацията на електроенергия за 4 дни да не надвишава нормата.
Решение.Вероятността за нормална консумация на енергия през всеки от 6 дни е постоянна и равна на Р=0,75. Следователно вероятността от прекомерна консумация на енергия всеки ден също е постоянна и равна на q= 1–Р=1–0,75=0,25.
Необходимата вероятност според формулата на Бернули е равна на
.
Задача 1.21. Двама равни шахматисти играят шах. Какво е по-вероятно: да спечелите две игри от четири или три игри от шест (равенствата не се вземат предвид)?
Решение. Играят равни шахматисти, така че вероятността за победа е голяма Р= 1/2, следователно вероятността да загубите рсъщо е равно на 1/2. защото във всички игри вероятността за победа е постоянна и няма значение в каква последователност са спечелени игрите, тогава формулата на Бернули е приложима.
Нека намерим вероятността две игри от четири да бъдат спечелени:

Нека намерим вероятността три игри от шест да бъдат спечелени:

защото П 4 (2) > П 6 (3), тогава е по-вероятно да спечелите две игри от четири, отколкото три от шест.
Въпреки това може да се види, че използването на формулата на Бернули за големи стойности ндоста трудно, тъй като формулата изисква операции с огромни числа и поради това се натрупват грешки по време на процеса на изчисление; В резултат на това крайният резултат може да се различава значително от истинския.
За да се реши този проблем, има няколко гранични теореми, които се използват за случай на голям брой тестове.
1. Теорема на Поасон
При провеждане на голям брой тестове с помощта на схемата на Бернули (с н=> ∞) и с малък брой благоприятни резултати к(приема се, че вероятността за успех стрмалък), формулата на Бернули се доближава до формулата на Поасон
.
Пример 1.22.Вероятността за дефекти, когато предприятието произвежда единица продукт, е равна на стр=0,001. Каква е вероятността при производството на 5000 единици продукт по-малко от 4 от тях да бъдат дефектни (събитие А Решение. защото не голямо, използваме локалната теорема на Лаплас:

Нека изчислим х:
функция – дори, така че φ(–1,67) = φ(1,67).
Използвайки таблицата в Приложение A.1, намираме φ(1,67) = 0,0989.
Необходима вероятност П 2400 (1400) = 0,0989.
3. Интегрална теорема на Лаплас
Ако вероятността Рнастъпване на събитие Авъв всеки опит според схемата на Бернули е постоянна и различна от нула и единица, след това с голям брой опити н, вероятност R p (к 1 , к 2) настъпване на събитието Ав тези тестове от к 1 към к 2 пъти приблизително равно
R p(к 1 , к 2) = Φ ( х"") – Φ ( х"), Където
– функция на Лаплас,

Определеният интеграл във функцията на Лаплас не може да бъде изчислен върху класа аналитични функции, така че таблицата се използва за изчисляването му. Клауза 2, дадена в приложението.
Пример 1.24.Вероятността за възникване на събитие във всеки от стоте независими опита е постоянна и равна на стр= 0,8. Намерете вероятността събитието да се появи: а) поне 75 пъти и не повече от 90 пъти; б) най-малко 75 пъти; в) не повече от 74 пъти.
Решение. Нека използваме интегралната теорема на Лаплас:
R p(к 1 , к 2) = Φ ( х"") – Φ( х"), където Ф( х) – функция на Лаплас,

а) Според условието, н = 100, стр = 0,8, р = 0,2, к 1 = 75, к 2 = 90. Да изчислим х""И х" :


Като се има предвид, че функцията на Лаплас е странна, т.е. F(- х) = – Ф( х), получаваме
П 100 (75;90) = Ф (2,5) – Ф(–1,25) = Ф(2,5) + Ф(1,25).
Според таблицата P.2. ще намерим приложения:
F(2,5) = 0,4938; F(1,25) = 0,3944.
Необходима вероятност
П 100 (75; 90) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.
б) Изискването едно събитие да се появява най-малко 75 пъти означава, че броят на повторенията на събитието може да бъде 75, или 76, ..., или 100. Следователно в разглеждания случай трябва да се приеме к 1 = 75, к 2 = 100. Тогава

.
Според таблицата P.2. приложение намираме Ф(1,25) = 0,3944; Ф(5) = 0,5.
Необходима вероятност
П 100 (75;100) = (5) – (–1,25) = (5) + (1,25) = 0,5 + 0,3944 = 0,8944.
в) Събитие – ​​“ Асе появи най-малко 75 пъти" и " Асе появи не повече от 74 пъти" са противоположни, така че сумата от вероятностите за тези събития е равна на 1. Следователно желаната вероятност
П 100 (0;74) = 1 – П 100 (75; 100) = 1 – 0,8944 = 0,1056.

Теорията на вероятностите, както всеки клон на математиката, оперира с определен набор от понятия. На повечето понятия от теорията на вероятностите е дадено определение, но някои се приемат като първични, недефинирани, като точка, права линия, равнина в геометрията. Основното понятие на теорията на вероятностите е събитие. Едно събитие се разбира като нещо, за което след определен момент от време може да се каже едно и само едно от две неща:

• · Да, случи се.
• · Не, не се случи.

Например, имам билет от лотарията. След публикуването на резултатите от лотарията събитието, което ме интересува - спечелването на хиляда рубли - или се случва, или не се случва. Всяко събитие възниква в резултат на тест (или опит). Тестът (или опитът) се отнася до онези условия, в резултат на които възниква събитие. Например хвърлянето на монета е изпитание, а появата на „герб“ върху нея е събитие. Едно събитие обикновено се обозначава с главни латински букви: A,B,C,…. Събитията в материалния свят могат да бъдат разделени на три категории – надеждни, невъзможни и случайни.

Определено събитие е събитие, за което се знае предварително, че ще се случи. Обозначава се с буквата W. По този начин е надеждно, че не повече от шест точки се появяват при хвърляне на обикновен зар, появата на бяла топка, когато се извади от урна, съдържаща само бели топки и т.н.

Невъзможно събитие е събитие, за което се знае предварително, че няма да се случи. Обозначава се с буквата E. Примери за невъзможни събития са теглене на повече от четири аса от обикновено тесте карти, теглене на червена топка от урна, съдържаща само бели и черни топки и т.н.

Случайно събитие е събитие, което може или не може да се случи в резултат на тест. Събития А и Б се наричат ​​несъвместими, ако настъпването на едно от тях изключва възможността за настъпване на другото. По този начин появата на всеки възможен брой точки при хвърляне на зар (събитие A) е несъвместимо с появата на друго число (събитие B). Хвърлянето на четен брой точки е несъвместимо с хвърлянето на нечетен брой. Напротив, хвърлянето на четен брой точки (събитие A) и брой точки, кратен на три (събитие B) няма да бъде несъвместимо, тъй като хвърлянето на шест точки означава появата както на събитие A, така и на събитие B, така че настъпването на едното от тях не изключва настъпването на другото. Можете да извършвате операции върху събития. Обединението на две събития C=AUB е събитие C, което възниква тогава и само ако се случи поне едно от тези събития A и B. Пресечната точка на две събития D=A?? B е събитие, което се случва, ако и само ако се появят събития A и B.