Линейна функция и нейните. Линейна функция

Линейната функция е функция от формата y=kx+b, където x е независима променлива, k и b са произволни числа.
Графиката на линейна функция е права линия.

1. За да начертаете функционална графика,имаме нужда от координатите на две точки, принадлежащи на графиката на функцията. За да ги намерите, трябва да вземете две x стойности, да ги замените в уравнението на функцията и да изчислите съответните y стойности от тях.

Например, за да начертаете функцията y= x+2, е удобно да вземете x=0 и x=3, тогава ординатите на тези точки ще бъдат равни на y=2 и y=3. Получаваме точки A(0;2) и B(3;3). Нека ги свържем и да получим графиката на функцията y= x+2:

2. Във формулата y=kx+b числото k се нарича фактор на пропорционалност:
ако k>0, тогава функцията y=kx+b нараства
ако к
Коефициентът b показва изместването на графиката на функцията по оста OY:
ако b>0, тогава графиката на функцията y=kx+b се получава от графиката на функцията y=kx чрез изместване на b единици нагоре по оста OY
ако б
Фигурата по-долу показва графиките на функциите y=2x+3; y= ½x+3; у=х+3

Обърнете внимание, че във всички тези функции коефициентът k Над нулата,и функциите са повишаване на.Освен това, колкото по-голяма е стойността на k, толкова по-голям е ъгълът на наклон на правата линия спрямо положителната посока на оста OX.

Във всички функции b=3 - и виждаме, че всички графики пресичат оста OY в точката (0;3)

Сега разгледайте графиките на функциите y=-2x+3; y=- ½ x+3; у=-х+3

Този път във всички функции коефициентът k по-малко от нулаи функции намаляване.Коефициентът b=3, а графиките, както в предишния случай, пресичат оста OY в точката (0;3)

Разгледайте графиките на функциите y=2x+3; y=2x; y=2x-3

Сега, във всички уравнения на функции, коефициентите k са равни на 2. И имаме три успоредни прави.

Но коефициентите b са различни и тези графики пресичат оста OY в различни точки:
Графиката на функцията y=2x+3 (b=3) пресича оста OY в точката (0;3)
Графиката на функцията y=2x (b=0) пресича оста OY в точката (0;0) - началото.
Графиката на функцията y=2x-3 (b=-3) пресича оста OY в точката (0;-3)

И така, ако знаем знаците на коефициентите k и b, тогава веднага можем да си представим как изглежда графиката на функцията y=kx+b.
Ако k 0

Ако k>0 и b>0, тогава графиката на функцията y=kx+b изглежда така:

Ако k>0 и b, тогава графиката на функцията y=kx+b изглежда така:

Ако k, тогава графиката на функцията y=kx+b изглежда така:

Ако k=0, тогава функцията y=kx+b се превръща във функция y=b и нейната графика изглежда така:

Ординатите на всички точки от графиката на функцията y=b са равни на b Ако b=0, тогава графиката на функцията y=kx (права пропорционалност) минава през началото:

3. Отделно отбелязваме графиката на уравнението x=a.Графиката на това уравнение е права линия, успоредна на оста OY, всички точки на която имат абциса x=a.

Например графиката на уравнението x=3 изглежда така:
внимание!Уравнението x=a не е функция, тъй като една стойност на аргумента съответства на различни стойности на функцията, което не съответства на дефиницията на функцията.

4. Условие за успоредност на две прави:

Графиката на функцията y=k 1 x+b 1 е успоредна на графиката на функцията y=k 2 x+b 2, ако k 1 =k 2

5. Условието две прави да са перпендикулярни:

Графиката на функцията y=k 1 x+b 1 е перпендикулярна на графиката на функцията y=k 2 x+b 2, ако k 1 *k 2 =-1 или k 1 =-1/k 2

6. Пресечни точки на графиката на функцията y=kx+b с координатните оси.

с ос OY. Абсцисата на всяка точка, принадлежаща на оста OY, е равна на нула. Следователно, за да намерите точката на пресичане с оста OY, трябва да замените нула вместо x в уравнението на функцията. Получаваме y=b. Тоест точката на пресичане с оста OY има координати (0;b).

С оста x: Ординатата на всяка точка, принадлежаща на оста x, е нула. Следователно, за да намерите точката на пресичане с оста OX, трябва да замените нула вместо y в уравнението на функцията. Получаваме 0=kx+b. Следователно x=-b/k. Тоест точката на пресичане с оста OX има координати (-b / k; 0):

Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.

Как използваме вашата лична информация:

• Личната информация, която събираме, ни позволява да се свързваме с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да ви изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в томбола, състезание или подобен стимул, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на трети страни

Ние не разкриваме информация, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• В случай, че е необходимо - в съответствие със закона, съдебния ред, в съдебно производство и / или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - разкриване на вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други цели от обществен интерес.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответния приемник на трета страна.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Поддържане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме практиките за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Линейна функциясе нарича функция на формата y = kx + b, дефинирана върху множеството от всички реални числа. Тук к– ъглов коефициент (реално число), b – безплатен член (реален брой), хе независима променлива.

В конкретен случай, ако k = 0, получаваме постоянна функция y=b, чиято графика е права линия, успоредна на оста Ox, минаваща през точката с координати (0;b).

Ако b = 0, тогава получаваме функцията y=kx, кое е в права пропорция.

b – дължина на сегмента, която пресича правата по оста Oy, считано от началото.

Геометричният смисъл на коефициента к – ъгъл на наклоннаправо в положителната посока на оста Ox се счита за обратно на часовниковата стрелка.

Свойства на линейната функция:

1) Домейнът на линейна функция е цялата реална ос;

2) Ако k ≠ 0, тогава диапазонът на линейната функция е цялата реална ос. Ако k = 0, тогава диапазонът на линейната функция се състои от числото b;

3) Четността и нечетността на линейната функция зависят от стойностите на коефициентите ки b.

а) b ≠ 0, k = 0,Следователно, y = b е четен;

б) b = 0, k ≠ 0,Следователно y = kx е нечетно;

° С) b ≠ 0, k ≠ 0,Следователно y = kx + b е обща функция;

д) b = 0, k = 0,Следователно y = 0 е както четна, така и нечетна функция.

4) Линейната функция не притежава свойството периодичност;

5) Пресечни точки с координатни оси:

Вол: y = kx + b = 0, x = -b/k, Следователно (-b/k; 0)- точка на пресичане с абсцисната ос.

ой: y=0k+b=b, Следователно (0;b)е пресечната точка с оста y.

Забележка. Ако b = 0и k = 0, след това функцията y=0изчезва за всяка стойност на променливата х. Ако b ≠ 0и k = 0, след това функцията y=bне изчезва за никоя стойност на променливата х.

6) Интервалите на постоянство на знака зависят от коефициента k.

а) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b- положителен при хот (-b/k; +∞),

y = kx + b- отрицателен при хот (-∞; -b/k).

б) к< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b- положителен при хот (-∞; -b/k),

y = kx + b- отрицателен при хот (-b/k; +∞).

° С) k = 0, b > 0; y = kx + bположителен в цялата област на дефиниция,

k = 0, b< 0; y = kx + b е отрицателна в цялата област на дефиниция.

7) Интервалите на монотонност на линейна функция зависят от коефициента к.

k > 0, Следователно y = kx + bнараства в цялата област на дефиниция,

к< 0 , Следователно y = kx + bнамалява в цялата област на дефиниция.

8) Графиката на линейна функция е права линия. За да начертаете права линия, е достатъчно да знаете две точки. Позицията на правата линия върху координатната равнина зависи от стойностите на коефициентите ки b. По-долу има таблица, която ясно илюстрира това.

Дефиниция на линейна функция

Нека въведем дефиницията на линейна функция

Определение

Функция от вида $y=kx+b$, където $k$ не е нула, се нарича линейна функция.

Графиката на линейна функция е права линия. Числото $k$ се нарича наклон на правата.

За $b=0$ линейната функция се нарича функция на права пропорционалност $y=kx$.

Разгледайте фигура 1.

Ориз. 1. Геометричният смисъл на наклона на правата линия

Да разгледаме триъгълника ABC. Виждаме, че $BC=kx_0+b$. Намерете пресечната точка на правата $y=kx+b$ с оста $Ox$:

\ \

Така че $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Нека намерим отношението на тези страни:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

От друга страна, $\frac(BC)(AC)=tg\angle A$.

Така може да се направи следното заключение:

Заключение

Геометричен смисъл на коефициента $k$. Наклонът на правата $k$ е равен на тангенса на наклона на тази права към оста $Ox$.

Изследване на линейната функция $f\left(x\right)=kx+b$ и нейната графика

Първо, разгледайте функцията $f\left(x\right)=kx+b$, където $k > 0$.

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx+b\right))"=k>0$. Следователно тази функция се увеличава в цялата област на дефиниране. Няма крайни точки.
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. Графика (фиг. 2).

Ориз. 2. Графики на функцията $y=kx+b$, за $k > 0$.

Сега разгледайте функцията $f\left(x\right)=kx$, където $k

1. Обхватът е всички числа.
2. Обхватът е всички числа.
3. $f\left(-x\right)=-kx+b$. Функцията не е нито четна, нито нечетна.
4. За $x=0,f\left(0\right)=b$. За $y=0,0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$.

Пресечни точки с координатни оси: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ и $\left(0,\ b\right)$

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Следователно функцията няма инфлексни точки.
3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
4. Графика (фиг. 3).

Понятието числова функция. Начини за задаване на функция. Функционални свойства.

Числовата функция е функция, която действа от едно числово пространство (набор) към друго числово пространство (набор).

Има три основни начина за дефиниране на функция: аналитичен, табличен и графичен.

1. Аналитичен.

Методът за определяне на функция с помощта на формула се нарича аналитичен. Този метод е основният в мат. анализ, но на практика не е удобно.

2. Табличен начин на задаване на функцията.

Една функция може да бъде дефинирана с помощта на таблица, съдържаща стойностите на аргументите и съответните им функционални стойности.

3. Графичен начин за задаване на функцията.

Функцията y \u003d f (x) се нарича дадена графично, ако нейната графика е построена. Този метод за настройка на функцията позволява да се определят стойностите на функцията само приблизително, тъй като изграждането на графика и намирането на стойностите на функцията върху нея е свързано с грешки.

Свойства на функция, които трябва да се вземат предвид при начертаване на нейната графика:

1) Обхватът на функцията.

Обхват на функцията,т.е. тези стойности, които аргументът x на функцията F =y (x) може да приеме.

2) Интервали на нарастващи и намаляващи функции.

Функцията се нарича нарастващавърху разглеждания интервал, ако на по-голямата стойност на аргумента съответства по-голямата стойност на функцията y(x). Това означава, че ако два произволни аргумента x 1 и x 2 са взети от разглеждания интервал и x 1 > x 2, тогава y (x 1) > y (x 2).

Функцията се нарича намаляващавърху разглеждания интервал, ако по-голямата стойност на аргумента съответства на по-малката стойност на функцията y(x). Това означава, че ако два произволни аргумента x 1 и x 2 са взети от разглеждания интервал, и x 1< х 2 , то у(х 1) < у(х 2).

3) Функционални нули.

Точките, в които функцията F \u003d y (x) пресича абсцисната ос (те се получават чрез решаване на уравнението y (x) \u003d 0) и се наричат ​​нули на функцията.

4) Четни и нечетни функции.

Функцията се нарича дори,ако за всички стойности на аргумента от обхвата

y(-x) = y(x).

Графиката на четната функция е симетрична спрямо оста y.

Функцията се нарича странна, ако за всички стойности на аргумента от обхвата

y(-x) = -y(x).

Графиката на четната функция е симетрична спрямо началото.

Много функции не са нито четни, нито нечетни.

5) Периодичност на функцията.

Функцията се нарича периодична,ако има число P такова, че за всички стойности на аргумента от областта на дефиницията

y(x + P) = y(x).

Линейна функция, нейните свойства и графика.

Линейната функция е функция на формата y = kx + b, дефинирана върху множеството от всички реални числа.

к– коефициент на наклон (реално число)

b– свободен срок (реално число)

хе независима променлива.

· В частен случай, ако k = 0, получаваме постоянна функция y = b, чиято графика е права линия, успоредна на оста Ox, минаваща през точката с координати (0; b).

· Ако b = 0, тогава получаваме функцията y = kx, която е права пропорционалност.

o Геометричното значение на коефициента b е дължината на отсечката, която правата отрязва по оста Oy, считано от началото.

o Геометричният смисъл на коефициента k е ъгълът на наклона на правата към положителната посока на оста Ox, счита се обратно на часовниковата стрелка.

Свойства на линейната функция:

1) Областта на дефиниране на линейна функция е цялата реална ос;

2) Ако k ≠ 0, тогава диапазонът на линейната функция е цялата реална ос.

Ако k = 0, тогава диапазонът на линейната функция се състои от числото b;

3) Четността и нечетността на линейната функция зависят от стойностите на коефициентите k и b.

а) b ≠ 0, k = 0, следователно y = b е четно;

b) b = 0, k ≠ 0, следователно y = kx е нечетно;

в) b ≠ 0, k ≠ 0, следователно y = kx + b е обща функция;

г) b = 0, k = 0, следователно y = 0 е едновременно четна и нечетна функция.

4) Линейната функция не притежава свойството периодичност;

5) Пресечни точки с координатни оси:

Ox: y \u003d kx + b \u003d 0, x \u003d -b / k, следователно (-b / k; 0) е пресечната точка с абсцисната ос.

Oy: y = 0k + b = b, следователно (0; b) е пресечната точка с оста y.

Коментирайте. Ако b = 0 и k = 0, тогава функцията y = 0 изчезва за всяка стойност на x. Ако b ≠ 0 и k = 0, тогава функцията y = b не изчезва за никакви стойности на променливата x.

6) Интервалите на постоянство на знака зависят от коефициента k.

а) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b е положителен за x от (-b/k; +∞),

y = kx + b е отрицателно за x от (-∞; -b/k).

б) к< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b е положителен за x от (-∞; -b/k),

y = kx + b е отрицателно за x от (-b/k; +∞).

в) k = 0, b > 0; y = kx + b е положителен в цялата област,

k = 0, b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) Интервалите на монотонност на линейна функция зависят от коефициента k.

k > 0, следователно y = kx + b нараства в цялата област,

к< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

11. Функция y \u003d ax 2 + bx + c, нейните свойства и графика.

Функцията y \u003d ax 2 + bx + c (a, b, c са постоянни стойности, a ≠ 0) се нарича квадратна.В най-простия случай, y \u003d ax 2 (b \u003d c \u003d 0), графиката е крива линия, минаваща през началото. Кривата, служеща като графика на функцията y \u003d ax 2, е парабола. Всяка парабола има ос на симетрия, наречена оста на параболата.Точката O на пресичането на параболата с нейната ос се нарича върха на параболата.

Графиката може да се построи по следната схема: 1) Намерете координатите на върха на параболата x 0 = -b/2a; y 0 \u003d y (x 0). 2) Изграждаме още няколко точки, които принадлежат на параболата, при изграждането можете да използвате симетриите на параболата по отношение на правата линия x = -b / 2a. 3) Свързваме посочените точки с гладка линия. Пример. Постройте графика на функцията в \u003d x 2 + 2x - 3.Решения. Графиката на функцията е парабола, чиито клонове са насочени нагоре. Абсцисата на върха на параболата x 0 \u003d 2 / (2 ∙ 1) \u003d -1, нейните ординати y (-1) = (1) 2 + 2 (-1) - 3 \u003d -4. И така, върхът на параболата е точката (-1; -4). Нека направим таблица със стойности за няколко точки, които са поставени вдясно от оста на симетрия на параболата - правата линия x \u003d -1. Функционални свойства.