ABCD -параллелограмм. его координатам

В области геометрии я неудачница. Так что, пожалуйста, прошу вас помочь, ибо нужно очень срочно. Заранее огромное спасибо.

ABCD - параллелограмм. На стороне AD отмечена точка М так, что AM:MD=1:2.
Выразите векторы АС, МВ, МС, DM через векторы АВ=а и АD=b.

• Итак, рисунок с условием выложил, начину объяснять по этому рисунку.
  1)Для начала выразим вектор AC через вектора a и b. Тут всё просто, достаточно увидеть, что вектор AB отложен от начала вектора AC, а затем от конца вектора AB отложен BC и подходит прямо к концу этого вектора, то есть AC = AB + BC = AB + AD = a + b(вектора BC и AD равные, так что я легко могу заменить один другим для удобства).
  2)Выразим вектор MB через a и b. Для этого будем рассуждать таким образом. Ну наверное вектор MB тоже является суммой некий векторов(а иначе и быть не может!), тогда мы просто отметим начало вектора MB(точку M) и пойдём к его концу(точке B). Соберём все векторы, которые попадутся у нас на пути.
  MB = MA + AB. Основная задача, выразить вектор MA через вектор b. Заметим, что длина отрезка AM составляет 1/3 от AD, а MA противоположно направлен вектору AD. Отсюда MA = -1/3 * AD. Теперь всё подставляем обратно и получим:
  MB = -1/3 AD + AB = -1/3 * b + a. Задача выполнена.

  3)Здесь практически полная аналогия. Приведу сразу решение без рассуждений
  MC = MD + DC.
  DC = AB = a
  MD = 2/3 AD = 2/3 b
  MC = 2/3 b + a

  4)Вектор DM противоположно направлен вектору AD, то есть берём его уже со знаком -. Кроме того, MD = 2/3 AD, откуда
  DM = -2/3 AD = -2/3 b

Внимание, только СЕГОДНЯ!

• В трапеции abcd ab|| cd,ab=3cd.Выразите через векторы m=DA и n=dc,векторы am и mn, где м-середина вс,а n-точка на стороне ab,такая,что an:nb=2:3 Люди помогите срочно надо прям вообще срочняк!! пожалуйста как-то…

• Точка К лежит на стороне АВ, а точка М- на стороне СD параллелограмма АBCD, причем АК=КВ, СМ:MD=2:5а) Выразите вектор КМ через вектор p=АВ и q=AD б) Может ли при каком-нибудь…

• Ответы на вопросы к главе 9 из геометрии, на странице 213… Ответы на вопросы к главе 9 из геометрии, на странице 213 анастасян.Плиз побыстрее ответьте буду очень благодарен) 1) Перемещение, скорость, сила тяжести, сила трения, ускорение, импульс2) вектор - это отрезок,…

Амонжалова Лариса Геннадьевна
Должность: учитель математики
Учебное заведение: ГБОУ средняя общеобразовательная школа № 644
Населённый пункт: город Санкт-Петербург
Наименование материала: Статья
Тема: Векторы на плоскости. Метод координат
Дата публикации: 10.11.2016
Раздел: среднее образование

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ по математике занимает не

малую часть времени из жизни выпускника. В современном

мире много информации и много источников, которые могут

использовать учащиеся и их учителя при подготовке к

экзаменам. Однако, среди всего множества тем существует одна,

которая освещена не так глубоко как остальные. Но это не

умаляет ее значимости, ведь благодаря знаниям этой темы

задачи части С формата ЕГЭ решаются намного проще. Тема

«Векторы» рассматривается как в курсе общего среднего

образования, так и в курсе полного среднего образования, как в

геометрии, так и в физике. Предлагаю вашему вниманию более

150 заданий по этой теме, из которых вы можете составить

тесты любого уровня сложности для повторения и закрепление

материала 9 класса темы «Векторы».

Список литературы:

1. Тесты по геометрии. 9кл. к учебн. Атанасяна_Фарков

А.В_2009 -96с

Геометрия. 9кл. КИМы_Рязановский А.Р_2016 -80с

3. Геометрия. 9кл. Экспресс-диагностика_Мельникова Н.Б_2015

4. Геометрия. 9кл. 148 диагност. вариантов_Панарина В.И.

5. Математика. Комплекс материалов для подготовки

учащихся. ОГЭ 2016-192с

Тема «Векторы на плоскости. Метод координат»

1.Понятие вектора. Длина вектора

Понятие коллинеарных векторов. Сонаправленные,

противоположно направленные вектора. Равные вектора

1.01
. Векторной величиной является: а) масса тела; б) скорость тела; в) время; г) площадь. Ответ: б
1.02
. На рисунке ABCD – ромб. Тогда вектор ⃗ СВ будет равен вектору: а) ⃗ AD ; б) ⃗ DA ; в) ⃗ ВC ; г) ⃗ AВ. Ответ: б
1.03
.Коллинеарные сонаправленные векторы изображены на рисунке: а) б) в) г) Ответ: б
1.04
. На рисунке ABCD – прямоугольник. Тогда вектор ⃗ B C будет равен вектору: а) ⃗ AD ; б) ⃗ DA ; в) ⃗ CB ; г) ⃗ AВ. Ответ: а
1.05
. Длина вектора а, изображенного на рисунке равна ______.
Ответ: 5 ед.
1.06
. Векторной величиной является: а) плотность вещества; б) расстояние; в) сила; г) объём тела. Ответ: в
1.07
. Коллинеарные противоположно направленные векторы изображены на рисунке: а) б) в) г) Ответ: в
1.08
. На рисунке ABCD – параллелограмм. Тогда вектор ⃗ AD будет равен вектору: а) ⃗ CB ; б) ⃗ DA ; в) ⃗ ВC ; г) ⃗ AВ. Ответ: в
1.09
. В четырехугольнике ABCD ⃗ AВ = ⃗ DС, точка K - середина AB. Прямая DK пересекает прямую ВС в точке N. Среди указанных пар векторов не являются коллинеарными векторы: а) ⃗ AD и ⃗ NC ; б) ⃗ AK и ⃗ DC ; в) ⃗ BK и ⃗ DA ; г) ⃗ ВN и ⃗ DA . Ответ: в
1.10
. Нулевой вектор изображается _____________________: Ответ: точкой
1.11
. Длина стороны квадрата ABCD равна 4 см. Тогда длина вектора ⃗ BD равна ___________.
Ответ: 4 √ 2 см
1.12
. . На чертеже ABCD – параллелограмм, BM = MC, ⃗ a = ⃗ AB , ⃗ b = ⃗ AD . Тогда через векторы ⃗ a и ⃗ b вектор ⃗ c = ⃗ DM будет выражаться как, ⃗ c = ______________________. Ответ: ⃗ a - 1 2 ⃗ b
1.13
. В четырехугольнике ABCD ⃗ AВ = ⃗ DС. Через точку О пересечения его диагоналей проведена прямая, пересекающая стороны BC и AD соответственно в точках N и M . Тогда среди указанных пар векторов не являются коллинеарными векторы: а) ⃗ AD и ⃗ NC ; б) ⃗ OM и ⃗ BN ; в) ⃗ AM и ⃗ NB ; г) ⃗ ON и ⃗ NM . Ответ: б
1.14
. Вектор ⃗ BC через векторы ⃗ BA , ⃗ AD и ⃗ CD выражается так: ⃗ BC =______________. Ответ: ⃗ BA + ⃗ AD - ⃗ CD
1.15
. В прямоугольнике ABCD стороны AB и BC равны соответственно 5 м и 12 м. Тогда длина вектора ⃗ DB будет равна _______________. Ответ: 13 м
1.16
. На чертеже ABCD – параллелограмм, BM =MC, ⃗ a = ⃗ AB , ⃗ b = ⃗ AD . Тогда через векторы ⃗ a и ⃗ b вектор ⃗ c = ⃗ MD будет выражаться как, ⃗ c = ______________. Ответ: 1 2 ⃗ b - ⃗ a

1.17
. В четырёхугольнике ABCD ⃗ AB = ⃗ DC , точка К ̶ середина AD. Прямая CK пересекает прямую BA в точке N. Среди указанных пар векторов не являются коллинеарными векторы: а) ⃗ AD и ⃗ NK ; б) ⃗ AK и ⃗ BC ; в) ⃗ AK и ⃗ DA ; г) ⃗ BN и ⃗ DC . Ответ: а
1.18
. Вектор ⃗ AD через векторы ⃗ AB , ⃗ CB и ⃗ CD выражается так: ⃗ AD = ___________________ Ответ: ⃗ AB ̶ ⃗ CB + ⃗ CD
1.19
. Длина стороны квадрата ABCD равна 5 см. Тогда длина вектора ⃗ CA равна: ___________________ Ответ: 5 √ 2 см
2.20
. На чертеже ABCD ̶ параллелограмм, DM = MC, ⃗ a = ⃗ AB , ⃗ b = ⃗ AD . Тогда через векторы ⃗ a и ⃗ b вектор ⃗ c = ⃗ BM будет выражаться как ⃗ c = ___________________ Ответ: ⃗ b ̶ 1 2 ⃗ a
2. Сложение и вычитание векторов.

Умножение вектора на число

2.01
. Равенство ⃗ a + ⃗ b = ⃗ b + ⃗ a называется: а) переместительным законом; б) сочетательным законом; в) правилом параллелограмма; г) правилом треугольника. Ответ: а

2.02
. Вектор ⃗ c является суммой векторов ⃗ a и ⃗ b на рисунке: Ответ: в
2.03
. На рисунке изображены векторы. Вектором, равным вектору 2 ⃗ a , будет вектор: а) ⃗ b ; б) ⃗ c ; в) ⃗ m ; г) ⃗ n . Ответ: г
2.04
. Отрезок MN является средней линией треугольника ABC. Число k, для которого ⃗ MA = k* ⃗ AВ, равно: а) 2 ; б) -2 ; в) 1 2 ; г) − 1 2 . Ответ: г
2.05
. ABCD – параллелограмм, O – точка пересечения его диагоналей. Тогда верным будет равенство: а) ⃗ AO – ⃗ OD = ⃗ AD ; б) ⃗ AO – ⃗ DO = ⃗ AD ; в) ⃗ AB + ⃗ BO = ⃗ OA ; г) ⃗ AB + ⃗ BO = ⃗ AC . Ответ: б

2.06
. Вектор ⃗ AВ через векторы ⃗ AD , ⃗ СD и ⃗ СВ выражается так: AB = __________________________. Ответ: ⃗ AВ = ⃗ AD − ⃗ СD + ⃗ СВ
2.07
. Равенство ⃗ AB + ⃗ BC = ⃗ AC , где A, B, C – произвольные точки, называется: а) переместительным законом; б) сочетательным законом; в) правилом параллелограмма; г) правилом треугольника. Ответ: г
2.08
. Вектор ⃗ c является разностью векторов ⃗ а и ⃗ b на рисунке: Ответ: в
2.09
. На рисунке изображены векторы. Вектором, равным -3 ⃗ a , будет вектор: а) ⃗ b ; б) ⃗ c ; в) ⃗ m ; г) ⃗ n . Ответ: б
2.10
. ABCD – трапеция, BC || AD, BC = 4 см, AD = 16 см. Число k, для которого ⃗ AD = k ∙ ⃗ CB , равно: а) 4; б) -4; в) 1 4 ; г) - 1 4 .
Ответ: б
2.11
. ABCD – параллелограмм, О – точка пересечения его диагоналей. Тогда верным будет равенство: а) ⃗ AO – ⃗ O B = ⃗ AB ; б) ⃗ AO – ⃗ BO = ⃗ AD ; в) ⃗ AB + ⃗ BO = ⃗ AO ; г) ⃗ CB + ⃗ BO = ⃗ АO . Ответ: в
2.12
. Равенство (⃗ b + ⃗ c ⃗ a + ⃗ b ¿+ ⃗ c = ⃗ a +¿) называется: а) переместительным законом; б) сочетательным законом; в) правилом параллелограмма; г) правилом треугольника. Ответ:б
2.13
. Вектор ⃗ c является суммой векторов ⃗ а и ⃗ b на рисунке: Ответ: г
2.14
. На рисунке изображены векторы. Вектор равный вектору 3 ⃗ a , будет вектор: а) ⃗ b ; б) ⃗ c ; в) ⃗ m ; г) ⃗ n . Ответ: б
2.15
. Отрезок MN является средней линией треугольника ABC. Число k, для которого ⃗ AB = k ∙ ⃗ MA , равно: а) 2; б) -2;
в) 1 2 ; г) - 1 2 . Ответ: б
2.16
. ABCD ̶ параллелограмм, О ̶ точка пересечения его диагоналей. Тогда верным будет равенство: а) ⃗ AO ̶ ⃗ OD = ⃗ AD ; б) ⃗ AO ̶ ⃗ BO = ⃗ AD ; в) ⃗ AB + ⃗ BO = ⃗ AO ; г) ⃗ AB + ⃗ BO = ⃗ AC . Ответ: в
2.17
. Правило построения суммы нескольких векторов называется: а) правилом параллелограмма; б) правилом многоугольника; в) правилом трапеции; г) правилом треугольника. Ответ: б
2.18
. Вектор ⃗ c является разностью векторов ⃗ b и ⃗ а на рисунке Ответ: б
2.19
. На рисунке изображены векторы. Вектором, равным -2 ⃗ a , будет вектор: а) ⃗ b ; б) ⃗ c ; в) ⃗ m ; г) ⃗ n . Ответ: б
2.20
. ABCD – трапеция, BC || AD, BC = 4 см, AD = 16 см. Число k, для которого ⃗ CB = k ∙ ⃗ AD , равно: а) 4;
б) -4; в) 1 4 ; г) - 1 4 . Ответ: г
3. Угол между векторами. Скалярное произведение векторов.

Скалярный квадрат. Скалярное произведение в координатах.

3.01
.В треугольнике, изображенном на рисунке, косинус угла С равен 1 3 . Найдите скалярное произведение векторов ⃗ CA и ⃗ CB . а) 11; б) 6; в) 22; г) 66. Ответ: г
3.02
.Найдите скалярное произведение векторов ⃗ a {2; -3} и ⃗ b {4; 2}. а) 5; б) 2; в) -6; г) 8. Ответ: б
3.03
.Треугольник МАВ – равнобедренный с основанием АВ, его боковая сторона равна 6. Найдите косинус угла между векторами ⃗ MA и ⃗ MB , если ⃗ MA · ⃗ MB = 12. а) 1 3 ; б) 2; в) 1 2 ;
г) 1 6 . Ответ: а
3.04
.Какие из указанных векторов перпендикулярны? а) ⃗ a {2; 1} и ⃗ b {-3; 4}; б) ⃗ m {2; -3} и ⃗ n {6; 4}; в) ⃗ c {-2; 3} и ⃗ d {4; 6}; г) ⃗ h {4; -6} и ⃗ l {4; 6}. Ответ: б
3
.
05
. В треугольнике, изображенном на рисунке, косинус угла A равен 2 3 . Найдите скалярное произведение векторов ⃗ AC и ⃗ AB . а) 8; б) 15; в) 80; г) 40. Ответ: в
3.06
.Найдите скалярное произведение векторов ⃗ a {3; 5} и ⃗ b {-2; 1}. а) 1; б) -11; в) 7; г) -1. Ответ: г
3.07
.Треугольник KBC – равнобедренный с основанием BC, его боковая сторона равна 8. Найдите косинус угла между векторами ⃗ KB и ⃗ KC , если ⃗ KB · ⃗ KC = 16. а) 1 2 ; б) 2; в) 1 4 ;
г) 4. Ответ: в
3.08
.Какие из указанных векторов перпендикулярны? а) ⃗ a {2; 1} и ⃗ b {-2; 1}; б) ⃗ m {2; -3} и ⃗ n {4; 6}; в) ⃗ c {-2; 3} и ⃗ d {-4; 6}; г) ⃗ h {4; 3} и ⃗ l {6; -8}. Ответ: г
3.09
.В треугольнике, изображенном на рисунке, косинус угла A равен 3 4 . Найдите скалярное произведение векторов ⃗ AC и ⃗ AB . а) 63; б) 21; в) 12; г) 7. Ответ: а
3.10
.Найдите скалярное произведение векторов ⃗ a {-2; 6} и ⃗ b {5; 1}. а) -7; б) -4; в) 10; г) -17. Ответ: б
3.11
.Треугольник PAE – равнобедренный с основанием AE, его боковая сторона равна 6. Найдите косинус угла между векторами ⃗ PA и ⃗ PE , если ⃗ PA · ⃗ PE = 9. а) 2; б) 1 3 ; в) 3 4 ; г) 1 4 . Ответ: г
3.12
.Какие из указанных векторов перпендикулярны? а) ⃗ a {-2; 1} и ⃗ b {-3; 4};
б) ⃗ m {1; -3} и ⃗ n {2; -6}; в) ⃗ c {-2; 8} и ⃗ d {4; 1}; г) ⃗ h {3; -6} и ⃗ l {3; 6}. Ответ: в
3.13
.В треугольнике, изображенном на рисунке, косинус угла C равен 2 5 . Найдите скалярное произведение векторов ⃗ CA и ⃗ CB . а) 16; б) 10; в) 32; г) 80. Ответ: в
3.14
.Найдите скалярное произведение векторов ⃗ a {2; -4} и ⃗ b {6; 2}. а) 4; б) 6; в) -2; г) 20. Ответ: а
3.15
.Треугольник MBC – равнобедренный с основанием BC, его боковая сторона равна 4. Найдите косинус угла между векторами ⃗ MB и ⃗ MC , если ⃗ MB · ⃗ MC = 2. а) 1 4 ; б) 1 8 ; в) 8; г) 1 2 . Ответ: б
3.16
.Какие из указанных векторов перпендикулярны? а) ⃗ a {2; -6} и ⃗ b {1; -3}; б) ⃗ m {3; 9} и ⃗ n {6; -2}; в) ⃗ c {-2; 3} и ⃗ d {6; 9}; г) ⃗ h {5; -6} и ⃗ l {5; 6}. Ответ: б

3.17
.Какую градусную меру имеет угол между векторами, если их скалярное произведение равно 0? а) 180 0 ; б) 90 0 ; в) 0 0 ; г) 360 0 . Ответ: б
3.18
.Чему равно скалярное произведение векторов, если угол между ними равен 90 0 ? а) 1; б) -1; в) 90; г) 0. Ответ: г
3.19
. Треугольник MBC – равнобедренный с основанием BC, его боковая сторона равна 3. Найдите косинус угла между векторами ⃗ MB и ⃗ MC , если ⃗ MB · ⃗ MC = 1. а) 1 9 ; б) 1 3 ; в) 9; г) 1. Ответ: а
3.20
. Какие из указанных векторов перпендикулярны? а) ⃗ a {2; -6} и ⃗ b {9; -3}; б) ⃗ m {-3; 9} и ⃗ n {6; -2}; в) ⃗ c {-2; 3} и ⃗ d {6; 9}; г) ⃗ h {5; -6} и ⃗ l {5; 6}. Ответ: а
4. Применение векторов к решению задач. Средняя линия

трапеции.

4.01
.Основания трапеции ABCD равны 10 см и 17 см. Средняя линия трапеции равна... 1. 13 см; 2. 27 см; 3. 13,5 см;
4. 7,5 см. Ответ: 3
4.02
. Основания трапеции ABCD равны 6 см и 12 см. Средняя линия трапеции равна... 1. 18 см; 2. 9 см; 3. 8 см 4. 8,5 см Ответ: 2
4.03
.Средняя линия трапеции равна 16, а одно из оснований 23. Найдите другое основание трапеции. 1. 11; 2. 13; 3. 9; 4. 15. Ответ: 3
4.04
.Средняя линия трапеции равна 19, а одно из оснований 7. Найдите другое основание трапеции. 1. 19; 2. 31; 3. 21; 4. 12. Ответ: 2
4.05
.Основания трапеции равны 5 и 12. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию одна из ее диагоналей. 1. 6; 2. 2,5; 3. 8,5; 4. 5. Ответ: 1
4.06
. Основания трапеции равны 37 и 40. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию одна из ее диагоналей. 1. 38,5; 2. 18,5; 3. 20; 4. 27. Ответ: 3
4.07
.Основания трапеции равны 5 и 12. Найдите меньший из отрезков, на которые делит среднюю линию одна из ее диагоналей.
1. 6; 2. 2,5; 3. 8,5; 4. 5. Ответ: 2
4.08
. Основания трапеции равны 37 и 40. Найдите меньший из отрезков, на которые делит среднюю линию одна из ее диагоналей. 1. 38,5; 2. 18,5; 3. 20; 4. 27. Ответ: 2
4.09
.Основания трапеции ABCD равны 14 см и 19 см. Средняя линия трапеции равна... 1. 17 см; 2. 33 см; 3. 16,5 см; 4. 17,5 см. Ответ: 3
4.10
. Основания трапеции ABCD равны 8 см и 14 см. Средняя линия трапеции равна... 1. 22 см; 2. 11 см; 3. 9 см 4. 10,5 см Ответ: 2
4.11
.Средняя линия трапеции равна 11, а одно из оснований 17. Найдите другое основание трапеции. 1. 14; 2. 13; 3. 9; 4. 5. Ответ: 4
4.12
.Средняя линия трапеции равна 15, а одно из оснований 6. Найдите другое основание трапеции. 1. 10,5; 2. 21; 3. 24; 4. 12.
Ответ: 3
4.13
.Основания трапеции равны 17 и 12. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию одна из ее диагоналей. 1. 17; 2. 14,5; 3. 8,5; 4. 6. Ответ: 3
4.14
. Основания трапеции равны 37 и 30. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию одна из ее диагоналей. 1. 37; 2. 18,5; 3. 15; 4. 33,5. Ответ: 2
4.15
.Основания трапеции равны 15 и 12. Найдите меньший из отрезков, на которые делит среднюю линию одна из ее диагоналей. 1. 6; 2. 7,5; 3. 13,5; 4. 12. Ответ: 1
4.16
. Основания трапеции равны 37 и 30. Найдите меньший из отрезков, на которые делит среднюю линию одна из ее диагоналей. 1. 30; 2. 33,5; 3. 18,5; 4. 15. Ответ: 4
4.17
. Основания трапеции ABCD равны 24 см и 19 см. Средняя линия трапеции равна... 1. 21 см; 2. 12 см; 3. 21,5 см; 4. 17,5 см. Ответ: 3
4.18
. Основания трапеции ABCD равны 18 см и 14 см. Средняя линия трапеции равна... 1. 32 см;
2. 12 см; 3. 9 см 4. 15,5 см Ответ: 2
4.19
.Средняя линия трапеции равна 14, а одно из оснований 17. Найдите другое основание трапеции. 1. 14; 2. 15,5; 3. 9; 4. 11. Ответ: 4
4.20
.Средняя линия трапеции равна 12, а одно из оснований 9. Найдите другое основание трапеции. 1. 15; 2. 13; 3. 10,5; 4. 12. Ответ: 1
5. Координаты вектора. Простейшие задачи в координатах.

Координаты середины отрезка. Вычисление длины вектора по

его координатам. Расстояние между двумя точками.

5.01
. Точка D(-3;4) находится в: а) I четверти; б) II четверти; в) III четверти; г) IV четверти. Ответ: б
5.02
. Координаты вектора ⃗ а =3 ⃗ i - 2 ⃗ j равны: а) ⃗ а {-2; 3}; б) ⃗ а {3; -2}; в) ⃗ а {0; -2}; г) ⃗ а {3; 0}. Ответ: б
5.03
. Векторы ⃗ а =2 ⃗ i + 3 ⃗ j и ⃗ b = –6 ⃗ i + k ⃗ j будут коллинеарны, если число k равно:
а) 3; б) 9; в) -9; г) -5. Ответ: в
5.04
. Если А(3; 4) и В(-2; 5), то вектор ⃗ AB имеет координаты: а) {1; 9}; б) {5; -1}; в) {-5; 1}; г) {-5; 9}. Ответ: в
5.05
. Длина вектора ⃗ MN {-4; 3} равна ______________________. Ответ: 5
5.06
. Даны точки A(2; 0), B(-1; 3), C(4; 6). Тогда вектор ⃗ a = ⃗ BA – ⃗ BC имеет координаты ___________________. Ответ: {-2; -6}
5.07.
Точка А(2; 3) – один из концов отрезка АВ. С(2; 1) – середина отрезка АВ. Тогда координаты точки В будут _____________. Ответ: (2; -1)
5.08
. АВ – диаметр окружности. А(1; 4), В(-3; 7). Тогда координаты центра данной окружности будут __________________. Ответ: {-1; 5,5}
5.09
. Точка S(2; -4) находятся в: а) 1 четверти; б) 2 четверти; в) 3 четверти; г) 4 четверти; Ответ: г
5.10
. Даны точки A(2; -3) и B(-1; 2). Векторы ⃗ AB и ⃗ CA равны. Тогда координаты точки C будут равны: а) С (5; -8) б) C (-1; 2) в) С (1; -2) г) C (-1; -1) Ответ: а

5.11
. Радиус-вектор точки M изображен на рисунке: Ответ: в
5.12
. Расстояние от точки B (-8; 6) до оси ординат равно; а) -8; б) 6; в) 10; г) 8. Ответ: г
5.13
. Если окружность задана уравнением (x-3) 2 + (y+2) 2 =9, то координаты ее центра M и радиус r равны: а) M (3;2), r=9; б) M (3;-2), r=3 ; в) M (-3;2), r=3 ; г) M (-3;-2), r=9 . Ответ: б 5.14. Координаты вектора ⃗ a , изображенного на рисунке, будут равны__________________ Ответ: {4;-2}
5.15
. Расстояние между точками A(2;6) и B(4;8) будет равно _____________________ _ _____________________ _ __
Ответ:√8
5.16
. L(5;9), K(1;7). Тогда координаты точки C – середины отрезка LK будут равны ______________________________________ Ответ: (3;8)
5.17
. Даны векторы ⃗ a {4;-3}, ⃗ b {-2;6}. Тогда координаты вектора ⃗ c = -3 ⃗ a + 0,5 ⃗ b будут равны______________________________ Ответ: {-13;-6}
5.18
. Координаты вектора ⃗ a =-3 ⃗ i +4 ⃗ j равны: А) {-3;4} Б) {4;-3} В) {0;4} Г) {-3;0} Ответ: А
5.19
. Векторы ⃗ a =-2 ⃗ i +4 ⃗ j и ⃗ b =k ⃗ i -8 ⃗ j будут коллинеарные, если k равно: А) -4 Б) 4 В) -1 Г) 1 Ответ: Б
5.20
. Если А(-2;4) и B(1;-3), то вектор ⃗ AB имеет координаты: А) {-1;1} Б) {-3;7} В) {3;-7} Г) {3;-7} Ответ: В
5.21
. Даны точки А(2;-3) и В(-1;2). Векторы ⃗ AB и ⃗ AC равны. Тогда координаты точки С будут равны: А) С (-3;5); Б) С (-1;2); В) С (1;-2); Г) С (-1;-1); Ответ: Б
5.22
. Даны точки А(2;4), В(-1;3), (0;5). Тогда вектор ⃗ a = ⃗ AB - ⃗ CA имеет координаты: Ответ: {-5;0)
5.23
. Координаты из концов отрезка B(-1;1), С(2;1)- середина отрезка АВ. Тогда координаты точки А будут: Ответ: {5;1}
5.24. Даны точки А(-2;4) и В(3;8). Векторы ⃗ AB и ⃗ CA равны. Тогда координаты точки С будут равны: Ответ: (-7;0) 5.25. 5.26. Расстояние от точки B(-3;-4) до оси абсцисс равно: А) -4; Б) 3; В) 4; Г) 5; Ответ: В 5.27. Координаты вектора ⃗ a , изображенного на рисунке, будут равны:_________ Ответ:{3; 2} 5.28. Расстояние между точками А(1;5) и В(2;7) будет равно: __________________________________________________ Ответ:√5 5.29. А(2;7), В(4;-1). Тогда координаты точки С - середины отрезка АВ будут:_____________________________________ Ответ:(3; 3) 5.30. Координаты точки М(х,у) - середины отрезка АВ, где А(х 1 ,у 1), В(х 2 ,у 2), будут:______________________________________ Ответ: х = x 1 + х 2 2 , у = y 1 + y 2 2 5.31. Даны векторы ⃗ a {6;-9}, ⃗ b {1;-3}. Тогда координаты вектора ⃗ c = 1 3 ⃗ a -2 ⃗ b будут равны:______________________________ Ответ: {0;3} 5.32. Даны 4 вектора (см. рис.) Какой из них имеет координаты (-1;2)?
Варианты ответа: 1. a → 2. b → 3. c → 4. d → 5. Ни один из векторов на рисунке Ответ: 5 5.33. Даны 4 вектора (см. рис.) Один из них равен вектору − 2 ⃗ i − 4 ⃗ i . Запишите, какой. Варианты ответа: 1. a → 2. b → 3. c → 4. d → Ответ: 1 5.34. Даны векторы a → = i → − 2 j → ; b → =− 4 i → + 6 j → . Найдите координаты вектора a → + 3b → .
Варианты ответа: 1. 5 i → − 7 j → 2. − 11 i → + 16 j → 3. − 13 i → − 20 j → 4. 11 i → − 18 j → 5. 5 i → + 7 j → Ответ: 2 5.35. Найдите модуль вектора a → + b → , если a → = 5 i → − 7 j → ; b → =− i → + 10 j → . Варианты ответа: 1. 1 2. 7 3. 3 4. 10 5. 5 Ответ: 5 5.36. Даны 4 вектора (см. рис.) Какой из них имеет координаты (5;-3)? Варианты ответа: 1. a → 2. b → 3. c → 4. d → 5. Ни один из векторов на рисунке
Ответ: 2 5.37. Даны 4 вектора (см. рис.) Один из них равен вектору − 2 ⃗ i + 4 ⃗ i . Запишите, какой. Варианты ответа: 1. a → 2. b → 3. c → 4. d → 5. Ни один из векторов на рисунке Ответ: 4 5.38. Даны векторы a → = 3 i → + j → ; b → =− i → − 2 j → . Найдите координаты вектора 2 a → + b → . Варианты ответа: 1. 5 i → 2. − 7 j → 3. 2 i → − j → 4. i → − 2 j → 5. − 3 i → − j → Ответ: 1 5.39. Найдите модуль вектора a → − 2 b → , если a → = 8 i → − 2 j → ; b → =− 2 i → − 9 j → .
Варианты ответа: 1. 9 2. 10 3. 14 4. 20 5. 40 Ответ: 4 5.40. Найдите координаты вектора ⃗ a = 2 ⃗ i − 1 2 ⃗ j . Ответ: (2; -0.5) 5.41. Разложите вектор ⃗ b (-3; 6) по координатным векторам. Ответ: ⃗ b =− 3 ⃗ i + 6 ⃗ j 5.42. Найдите координаты вектора ⃗ a + 3 ⃗ b − 1 2 ⃗ c , если ⃗ a (4; 9), ⃗ b (- 1; 2) и ⃗ c (-6;8) Ответ: (4; 11) 5.43. Найдите координаты вектора ⃗ m =− 7 ⃗ i + 3 8 ⃗ j . Ответ: (-7; 0.375) 5.44.Разложите вектор ⃗ c (3; -7) по координатным векторам. Ответ: ⃗ c = 3 ⃗ i − 7 ⃗ j 5.45.Найдите координаты вектора ⃗ a − 4 ⃗ b + 1 3 ⃗ c , если ⃗ a (4; 9), ⃗ b (-1; 2) и ⃗ c (-6;9) Ответ: (6; 4) 5.46. Найдите координаты вектора ⃗ k = 1 7 ⃗ i − ⃗ j Ответ: (1 7 ; -1) 5.47.Разложите вектор ⃗ a (0; -9) по координатным векторам. Ответ: ⃗ a =− 9 ⃗ j 5.48.Найдите координаты вектора 2 ⃗ a − ⃗ b + 1 4 ⃗ c , если ⃗ a (2; 1), ⃗ b (-5; 7) и ⃗ c (8; -12) Ответ: (11; -8) 5.49. Найдите координаты вектора ⃗ a = − 2 5 ⃗ i + 6 ⃗ j Ответ: (-0.4; 6) 5.50.Разложите вектор ⃗ b (3; 2) по координатным векторам. Ответ: ⃗ b = 3 ⃗ i + 2 ⃗ j 5.51.Найдите координаты вектора ⃗ a − 2 ⃗ b − 1 3 ⃗ c , если ⃗ a (10; -3),
⃗ b (2; -5) и ⃗ c (12; -6) Ответ: (2; 9) 5.52. Даны точки М(3;-1) и К(4;-3). Найдите координаты вектора ⃗ MK . 1){-1;-2} 2){1;-2} 3){1;2} 4){-1;2} Ответ:2 5.53.Найдите длину отрезка, изображенного на рисунке. Ответ:10 1) 5.54. ;2} 2) {-5;2} 3) {5;-2} 4) {-5;-2} Ответ:4 5.55. Найдите длину отрезка, изображенного на рисунке. Ответ:13 5.56. Даны точки В(3 ;-4) и D(1;2). Найдите координаты вектора ⃗ BD .
1) {-2;-6} 3) {-2;6} 2) {4;6} 4){2;-2} Ответ:3 5.57. Найдите длину отрезка,изображенного на рисунке. Ответ:13 5.58. Даны точки О (5;1) и Р(3;-4). Найдите координаты вектора ⃗ OP . 1) {-2;-5} 3) {-2;5} 2) {2;-5} 4) {2;-3} Ответ:1 5.58. Найдите длину отрезка изображенного на рисунке. Ответ:10
6. Уравнение прямой в прямоугольной системе координат.

Условие перпендикулярности ненулевых векторов. Вычисление

косинуса угла между ненулевыми векторами.

6.01
. Уравнением прямой, перпендикулярной оси абсцисс, будет уравнение: а) у = х; б) у = - 4;
в) х = 3; г) у + 1 = 0. Ответ: в
6.02
. Управлением прямой, проходящей через точку C (2; 3), будет уравнение: а) 2x-3y-5=0; б) x+2=0; в) y+3=0; г) x-4y+10=0. Ответ: г
6.03
.Не является уравнением прямой уравнение линии под буквой: а) y=4; б) y 2 +x 2 =4; в) x=0; г) x-2y+3=0. Ответ: б
6.04
. Укажите уравнение, которое задает прямую, параллельную оси ординат и проходящую через точку А(-4;5). 1) х=-4 3) -4х+5у=0 2) у=5 4) у=-4х+5 Ответ: 1
6.05
. Чему равен угловой коэффициент прямой, заданной уравнением у= -х + 2? 1) -2 2) 2 3) -1 4) -х Ответ: 3
6.06
. Уравнение прямой перпендикулярной оси ординат, будет уравнение: 1) y=x 2) y=-4 3) x=-3 4) x-4=0 Ответ: 2
6.07
. Не является уравнением прямой уравнение линии под буквой: 1) х = 4; 2) у + х 2 = -3; 3) у = 0;
4) 3х + у - 4 = 0; Ответ: 2
6.08
. Укажите уравнение, которое задает прямую, параллельную оси ординат и проходящую через точку А(-2;4). 1) х=-2 3) -2х+4у=0 2) у=4 4) у=-2х+4 Ответ: 1
6.09
. Чему равен угловой коэффициент прямой, заданной уравнением у= х – 4? 1) -4 2) 4 3) 0 4) 1 Ответ: 4
6.10
. Какая из прямых,изображенных на рисунке,задается уравнением y=2x-3 ? 1)a 3)m 2)b 4)n Ответ:3
6.11
. Укажите уравнение, которое задает прямую, параллельную оси ординат и проходящую через точку М(-2;6). 1) х=-2 3) -2х+6у=0 2) у=6 4) у=-2х+2 Ответ: 1
6.12
. Какая из прямых,изображенных на рисунке,задается уравнением У=-2х+3?
1)a 3)m 2)b 4)n Ответ:2
6.13
. Укажите уравнение, которое задает прямую, параллельную оси ординат и проходящую через точку М(-1;5). 1) х=-1 3) -х+5у=0 2) у=5 4) у= -х+4 Ответ: 1
6.14
. Какая из прямых, изображенных на рисунке, задается уравнением У=-2х-3? 1) a 3)m 2) b 4)n Ответ: 1
6.15
.Укажите уравнение, которое задает прямую, параллельную оси абсцисс и проходящую через точку М(-3;4). 1) -3х+4у=0 3) у=4 2) у=-3х+5 4) х=-3 Ответ: 3
6.16
. Какая из прямых,изображенных на рисунке,задается уравнением у=2х+3? 1) a 3)m
2) b 4)n Ответ: 4
6.17
.Укажите уравнение, которое задает прямую, параллельную оси абсцисс и проходящую через точку М(-2;3). 1) у=3 3) -2х+3у=0 2) х= -2 4) у= -2х-1 Ответ: 1
6.18
.Чему равен угловой коэффициент прямой, заданной уравнением у=3х – 7? 1) -7 2) 3 3) -3 4) 7 Ответ: 2
6.19
.Какие координаты имеет точка пересечения прямой, заданной уравнением у=3х – 7 и оси ординат? 1) (0;3) 2) (0;-7) 3) (3;-7) 4) (0;7) Ответ: 2
6.20
. Какие координаты имеет точка пересечения прямой, заданной уравнением у=-2х + 3 и оси ординат? 1) (0;3) 2) (0;-2) 3) (-2;3)
4) (0;-3) Ответ: 1
6.21

«ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ГИА И ЕГЭ 2012 ГОДА» Бисярина Н. В., учитель математики ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ ПРОДОЛЖАЕТ СОВЕРШЕНСТВОВАТЬСЯ: 1. В КОНТРОЛЬНЫЕ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ГИА ВКЛЮЧАЮТСЯ ЗАДАНИЯ ПО ГЕОМЕТРИИ. 2. В ЗАДАНИЯХ ГИА СТАНЕТ БОЛЬШЕ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАНИЙ, В КОТОРЫХ ПРОВЕРЯЕТСЯ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКАЯ КОМПЕТЕНТНОСТЬ ВЫПУСКНИКА. КОЛИЧЕСТВО ЗАДАНИЙ: 1 часть – 18 заданий, из них 4 – по геометрии; 2 часть – 5 заданий, из них 2 по геометрии. ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ ЭКЗАМЕНАЦИОННОЙ РАБОТЫ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ В 2012 ГОДУ ГОСУДАРСТВЕННОЙ (ИТОГОВОЙ) АТТЕСТАЦИИ (В НОВОЙ ФОРМЕ) ПО МАТЕМАТИКЕ. Пример 1. Укажите номера верных утверждений: 1) Диагонали параллелограмма равны. 2) Два различных диаметра окружности пересекаются в точке, являющейся центром этой окружности. 3) Сумма углов трапеции равна 360°. 4) Площадь прямоугольного треугольника равна произведению катетов. 5) Синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Ответ: 235 ОСОБЕННОСТИ ЗАДАНИЯ: 1. Для выполнения этого задания необходимо знать: Свойства параллелограмма. Свойства окружности. Свойства трапеции. Формулу площади прямоугольного треугольника. Формулу нахождения sin острого угла. 2. Возможность выбора нескольких вариантов. 3. Специфика задания: «Укажите номера верных (или НЕ верных) утверждений» ПРИМЕР 2. Площадь треугольника АВС равна 40. Биссектриса AD пересекает медиану ВК в точке Е, при этом BD:CD = 3:2. Найдите площадь четырехугольника EDCK. ДАНО: B S = 40. BD: CD = 3:2 НАЙТИ: SEDCK РЕШЕНИЕ: 1. По св. медианы АК = КС = х AB BD 3 2. По св. биссектрисы =>   AС CD 2 AB 3 AB 3  => АВ  2 х  3  3 хA  => AС 2 2х 2 3. Рассмотрим ∆ ABK 2 АВ ВЕ 3 х   3 АК КЕ х BC  h K => ВЕ  3 КЕ 4. Пусть S – площадь ∆ АВС, тогда S  2 и S ACD  DC  S 2S CD 2 S h S ACD  S  S BC BC CB 5 Тогда S AEK  KE  S ABK  KE  AK  S  BK S EDCK  S ADC  S AEK BK AC D E C DC  h 2 x x S  S  3x  x 2 x 8 2 S 2 1 16 5   S   S ()  S ()  11 5 8 5 8 40 40 5. Т.о. Ответ: 11 КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ Критерии оценивания выполнения задания Баллы Решение задачи верное, все его шаги обоснованы, получен верный ответ 4 Решение задачи в целом верное, получен верный ответ, но решение обосновано недостаточно; или: решение задачи в целом верное, но допущена одна вычислительная ошибка, из-за которой получен неверный ответ 3 Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям 0 Максимальный балл 4 О ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ В ЕГЭ. ИЗ 6 ЗАДАЧ РАЗДЕЛА С ЭКЗАМЕНА ЕГЭ 2011 ГОДА ЗАДАЧИ С2 И С4 - ПО ГЕОМЕТРИИ: - С2 - ЗАДАЧА ПО СТЕРЕОМЕТРИИ, - С4 - ПО ПЛАНИМЕТРИИ. С5: НАЙДИТЕ ВСЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ А, ПРИ КАЖДОМ ИЗ КОТОРЫХ СИСТЕМА ИМЕЕТ ЕДИНСТВЕННОЕ РЕШЕНИЕ). 2 2      х  5  y  4 4   2 2    x  2  y a  Задача является также геометрической, соответствуя таким разделам планиметрии как «Окружность» и «Координатный метод». РАССМОТРИМ ЗАДАЧУ ПО ГЕОМЕТРИИ ОДНОГО ИЗ ВАРИАНТОВ ЕГЭ 2011 ГОДА. Задача С4 (планиметрическая, максимальный балл - 3). Прямая, перпендикулярная боковой стороне равнобедренного треугольника, отсекает от него четырехугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок прямой, заключенный внутри треугольника, равен 6, а отношение боковой стороны треугольника к его основанию равно 5/6. ДВА РЕШЕНИЯ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ЧЕРТЕЖА. ЗАДАЧУ МОЖНО РЕШИТЬ ЕЩЕ И БЕЗ ПРИМЕНЕНИЯ ФОРМУЛ ТРИГОНОМЕТРИИ. ЕСЛИ УЧАЩИЙСЯ ЗАМЕТИЛ, ЧТО ОКРУЖНОСТЬ ЯВЛЯЕТСЯ ВНЕВПИСАННОЙ ДЛЯ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА ANM, ТО ОН МОЖЕТ НАЙТИ ЕЕ РАДИУС, ИСПОЛЬЗУЯ ФОРМУЛУ ДЛЯ РАДИУСА ВНЕВПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ: 7 6 S AM  MN 21 4 ra     p  a AM  AN  MN 7  25  6 4 4 4 ТАБЛИЦА КРИТЕРИЕВ: 3 БАЛЛА - ЗА ВЕРНЫЙ ОТВЕТ; 2 БАЛЛА - ЗА ВЕРНОЕ РАССМОТРЕНИЕ ОДНОГО ИЗ ДВУХ СЛУЧАЕВ; 1 БАЛЛ - ЗА РАССМОТРЕНИЕ ХОТЯ БЫ ОДНОГО ИЗ ВОЗМОЖНЫХ СЛУЧАЕВ, СОДЕРЖАЩЕЕ АРИФМЕТИЧЕСКУЮ ОШИБКУ, ПРИВЕДШУЮ К НЕВЕРНОМУ ОТВЕТУ. ДЛЯ РАЗВИТИЯ НАВЫКОВ РЕШЕНИЯ ПОДОБНЫХ ЗАДАЧ НЕОБХОДИМО: 1. На уроках геометрии, разобрать не простую задачу, для которой легко создать подобную, после чего предложить учащимся в качестве домашнего задания самостоятельно придумать несколько подобных задач и решить их. На следующем уроке необходимо уделить внимание разбору домашней работы и авторов лучших задач поощрить положительной отметкой. 2. Решить на уроке (или задать на дом) несколько весьма простых задач, в которых требуется рассмотреть два или более вариантов решения. РЕЗУЛЬТАТ РАБОТЫ: 1. Отработка навыков применения знаний, полученных на уроках. 2. Развитие творческой активности учащихся. 3. Выработка умений и навыков быстрого нахождения связей между уже решенными и новыми, более трудными, задачами. ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ: АВ 2 Задача 1. Точки А, В и С лежат на одной прямой, причем АС  3 Найдите АВ, если АС =15. (Два варианта.) Задача 2. Точки А, В и С лежат на одной прямой, причем точка С расположена вдвое дальше от одной из точек А и В, чем от другой. Найдите АВ, если АС = 18. (Четыре варианта.) Задача 3. Катет прямоугольного треугольника равен 5, а один из углов в два раза больше другого. Найдите периметр треугольника. (Три варианта.) Задача 4. Даны два подобных треугольника. Стороны первого равны 8; 10 и 16. Одна из сторон второго равна 2. Найдите периметр второго треугольника. (Три варианта.) С4 Найти длину отрезка общей касательной к двум окружностям, заключенного между точками касания, если радиусы окружностей равны 23 и 7, а расстояние между центрами окружностей равно 34. Решение. Возможны два случая: В 23 Н А 7 О Н  В 23 О1  О 7 34 О1 34 А ОАВО1 – прямая трапеция, ОН=АВ - высота ОНО1 – прямоугольный, AB  OO 21   R  r   AB  OO 21   R  r    342  162  30  342  302  16 2 Ответ: 30 или 16 ОН=АВ - высота 2 №2 В треугольнике АВС АВ=15, ВС = 12, СА = 9. Точка D лежит на прямой ВС так, что BD:DC = 3:8. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB, касаются стороны AD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF. Решение. А Возможны два случая: точка D лежит на отрезке ВС и точка D лежит вне отрезка ВС. Рассмотрим 1 случай. А E E F F С В D 8ч 3ч С В 8ч 3ч D №3 В треугольнике АВС АВ=15, ВС = 12, СА = 9. Точка D лежит на прямой ВС так, что BD:DC = 3:8. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB, касаются стороны AD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF. Решение. А Возможны два случая: точка D лежит на отрезке ВС и точка D лежит вне отрезка ВС. Рассмотрим 1 случай. Найдем: BD  3 36 8 96  BC  , DC   BC  . 11 11 11 11 AD  DC  AC AD  DC  9  , 2 2 Из ADВ, DF  AD  BD  AB  AD  BD  15 . 2 2 Значит, 6  DC  BD 63 EF  DE  DF   . 2 11 Из ADC, DE  E F С В D 8ч 3ч В треугольнике АВС АВ=15, ВС = 12, СА = 9. Точка D лежит на прямой ВС так, что BD:DC = 3:8. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB, касаются стороны AD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF. Решение. А Возможны два случая: точка D лежит на отрезке ВС и точка D лежит вне отрезка ВС. Рассмотрим 2 случай. E F С В 8ч 3ч 5 96 BC   DC  8, DC  , 8 5 96 36 BD  DC  BC   12  . 5 5 Из ADC, DE  AD  DC  AC  AD  DC  9 , 2 2 AD  BD  AB AD  BD  15  . Из ADВ, DF  2 2 D 6  DC  BD Значит, EF  DE  DF   9. 63 . Ответ: 9 или 11 2 №2 Точка H – основание высоты треугольника со сторонами 10, 12, 14 , опущенной на сторону, равную 12. Через точку H проведена прямая, отсекающая от треугольника подобный ему треугольник и пересекающая сторону, равную 10, в точке M . Найдите HM . Пусть АВ = 10, ВС = 12, АС = 14. Решение. AB 2  BC 2  AC 2 100  144  196 1 cos B    . 2  AB  BC 2  10  12 5 А АВН – прямоугольный, BН = АВ·cosB = 2. 10 14 По условию АВСНВМ, и имеют общий угол В, значит возможны два случая. М 1 случай. ВМН = ВАС; С 12 Н В значит, k BH 2 1   , BC 12 6 1 1 7 HM   AC   14  . 6 6 3 BH 2 1 , значит, HM  1  AC  1  14  14 . 2 случай. ВМН = АСВ; k    5 5 5 AB 10 5 7 14 или. Ответ: 3 5 №3 Площадь трапеции ABCD равна 240. Диагонали пересекаются в точке O , отрезки, соединяющие середину P основания AD с вершинами B и C , пересекаются с диагоналями трапеции в точках M и N . Найдите площадь четырехугольника OMPN , если одно из оснований трапеции втрое больше другого. Решение. S ABCD Возможно два вида трапеции. В обоих случаях: BC  1) ADнижнееa основание  3a 4вдвое больше верхнего, BC = a, АD = 2a,  h   h   ah  2ah  240, ah  120. 2) верхнее основание 2 2 2вдвое больше нижнего, AD = a, BC = 2a. Найдем площадь ОMPN: SMONP=SAOD – SAMP – SPND. В С O Рассмотрим первый случай. N M А P D а По условию BC = a, АD = 3a, аh = 120. SMONP=SAOD – SAMP – SPND. h 1) BOCAOD , по трем углам k 3а BC a 1   . AD 3a 3 Значит высота AOD равна 3 ,h 4 тогда: 1 3 3 9 SAOD   AD  h   3ah   120  135. 2 4 8 8 2) BMCAMP , по трем углам, k BC a 2   . AP 3a / 2 3 Тогда высота треугольника АМР равна 3/5 высоты трапеции. 1 3 1 3a 3 9 SAMP  SPND   AD  h    h   120  54. 2 5 2 2 5 20 SMONP=SAOD – 2SAMP =135 - 2·54 = 27. 3) Находим искомую площадь: 3а В С По условию BC = 3a, АD = a, аh = 120. SMONP=SAOD – SAMP – SPND. h 1) BOCAOD , по трем углам O M А k N P а D Значит высота AOD равна 1 1 1 1 SAOD   AD  h   ah   120  15. 2 4 8 8 2) BMCAMP , по трем углам, BC 3a   3. AD a k 1 ,h 4 тогда: BC 3a   6. AP a / 2 Тогда высота треугольника АМР равна 1/7 высоты трапеции. 1 1 1 a 1 1 30 SAMP  SPND   AD  h    h   120  . 2 7 2 2 7 28 7 30 3) Находим искомую площадь: SMONP  SAOD  2SAMP  15  2   5. 7 Ответ: 27 или 5. В параллелограмме ABCD AB=12, биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N, так что BM:MN=1:7. Найдите ВС. №4 Решение. Пусть О – точка пересечения биссектрис. По условию B BM 1   1, значит М лежит между точками В и N. MN 7 М N C O B М C N 12 O A D A Возможны два случая. 1) точка О – лежит внутри параллелограмма; 2) точка О – лежит вне параллелограмма. Рассмотрим первый случай. D №4 В параллелограмме ABCD AB=12, биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N, так что BM:MN=1:7. Найдите ВС. Решение. Пусть О – точка пересечения биссектрис. По условию М B 1,5 BM 1   1, значит М лежит между точками В и N. MN 7 N 10,5 C 1,5 ВNА=NAD- накрест лежащие; АN – биссектриса А, 12 O A 1) ABN – равнобедренный, т.к. D значит ВNА= ВAN и AB=BN=12, 1 1 тогда BM  BN   12  1,5. 8 8 Найдем MN=BN-BM=12-1,5=10,5. 2) Аналогично, DMC – равнобедренный, MC=DC=12. Тогда NC= MC-MN=12-10,5=1,5. 3) Значит, ВС=ВМ+MN+NC=13,5. Рассмотрим первый случай. №4 В параллелограмме ABCD AB=12, биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N, так что BM:MN=1:7. Найдите ВС. Решение. Рассмотрим второй случай: точка О – лежит вне параллелограмма. O B 12 М N C 12 1)ABМ– равнобедренный, т.к. ВMА=MAD- накрест лежащие; 12 12 АМ – биссектриса А, значит ВMА= ВAM. D A По условию BM 1  значит, MN 7 1 BM  BN ,  BN  8  12  96. 8 2) Аналогично DNC– равнобедренный, 3) Значит, ВС=ВN+NC=96+12=108. Ответ: 13,5 или 108. Тогда АВ=ВМ=12. тогда NC=DC=12. Презентация к урокам по геометрии по теме «ПАРАЛЛЕЛОГРАММ» Параллелограмм определение В Четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны называется А параллелограммом ABCD – четырехугольник AB ║CD BC ║AD => ABCD -параллелограмм С D Свойства параллелограмма В С O А D 1.Противоположные стороны попарно равны AD=BC AB=CD 2.Противоположные углы попарно равны  В = D  А = С 3.Диагонали точкой пересечения делятся пополам AO=OC BO=OD Свойства параллелограмма В А F N К С D 4.Сумма смежных углов равна180 А + В = 180 5.Биссектриса угла отсекает от него равнобедренный треугольник. BF – биссектриса, ∆ ABF –равнобедренный, AB=BF 6.Биссектрисы соседних углов перпендикулярны.  AF, BK – биссектрисы, AF BK 7.Биссектрисы противоположных углов параллельны или совпадают. AF, CN – биссектрисы, AF|| CN Признаки параллелограмма Если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны и равны, то этот четырехугольник параллелограмм. В ABCD – четырехугольник AB || CD AB = CD С => ABCD- параллелограмм А D Признаки параллелограмма Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм ABCD – четырехугольник ВС = АD AB = CD В С => ABCD- параллелограмм А D Признаки параллелограмма Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм В ABCD – четырехугольник AО = CО ВО = ОD С => ABCD- параллелограмм О А D ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА СУММА СОСЕДНИХ УГЛОВ РАВНА 180 ГРАДУСОВ: Сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырехугольника равна его полупериметру. Сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов сторон параллелограмма: Задачи на готовых чертежах В 1) С F В 2) 10 см С 60 2 см 32 А E D ABCD – параллелограмм Найти  C ,  D Ответ:С  64, D  116 А D ABCD – параллелограмм Найти AD , CD Ответ:AD=4 cм, CD=10 см Задачи на готовых чертежах В F С 25 60 С 40 N M NMCF – параллелограмм Найти все углы NMCF Ответ: F  M  115, N  C  65 А 2 см E 3 см ABCD – параллелограмм Найти PABCD Ответ: PABCD  16см D Задачи на готовых чертежах В С F В С E 60 M 5 см F N А 4 см M NBCM – параллелограмм Найти BF, FM Ответ: BF=4 см, FM=5cм А K ABCD – параллелограмм PABCD = 20 cм Найти ME, MK Ответ: ME=3 см, MK=7см D кроссворд 4 2 3 1.Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно равны 8 1 5 11 3.Отрезок, соединяющий две несмежные вершины 6 9 4.Луч, делящий угол пополам 7 10 Посмотреть ответ 8.(вертикаль) Точка из которой исходят стороны многоугольника 9. «+», 2.Единица измерения угла  - это … 10.Стороны прямоугольного треугольника, образующие прямой угол. 11Отрезок исходящий из вершины треугольника к середине противоположной стороны (множественное число). 5.Множество точек прямой, заключенных между двумя точками. 6.Фигура,состоящая из двух лучей, исходящих из одной точки. 7.Сколько сантиметров в метре? 8.(горизонталь) Отрезок, перпендикулярный к стороне. кроссворд 4 б и 2 г 3 д с 8 в р и с е п а р а л л е л о г р т г к ш д 5 р у г о л т и е н р н с 9 а з н а и л 7 т о с 10 ь к а т а ы с о т а 2.Единица измерения угла а м м е д и к а н е т ы 3.Отрезок, соединяющий две несмежные вершины 4.Луч, делящий угол пополам назад 8.(вертикаль) Точка из которой исходят стороны многоугольника 9. «+», 1.Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно равны  - это … 10.Стороны прямоугольного треугольника, образующие прямой угол. 11Отрезок исходящий из вершины треугольника к середине противоположной стороны (множественное число). 5.Множество точек прямой, заключенных между двумя точками. 6.Фигура,состоящая из двух лучей, исходящих из одной точки. 7.Сколько сантиметров в метре? 8.(горизонталь) Отрезок, перпендикулярный к стороне. ИЗУЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИИ В 7 – 9 КЛАССЕ ВЛЕЧЕТ ЗА СОБОЙ РАЗВИТИЕ ОБРАЗНОГО И ЛОГИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ, ЧТО ЯВЛЯЕТСЯ ОДНИМ ИЗ ВАЖНЕЙШИХ ФАКТОРОВ В ДОСТИЖЕНИИ УСПЕХА В ДАЛЬНЕЙШЕМ ОБУЧЕНИИ. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ, НЕОБХОДИМОЙ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ГИА 2012. 1. ОБЯЗАТЕЛЬНЫЙ МИНИМУМ СОДЕРЖАНИЯ ОСНОВНОГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ. 2. ФЕДЕРАЛЬНЫЙ КОМПОНЕНТ ГОСУДАРСТВЕННОГО СТАНДАРТА ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ. МАТЕМАТИКА. ОСНОВНОЕ ОБЩЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ. 3. МАТЕМАТИКА 9 КЛАСС. ПОДГОТОВКА К ГИА 2012. ПОД РЕД. Ф. Ф. ЛЫСЕНКО, Ф. Ю. КАЛАБУХОВА. 4. ГЕОМЕТРИЯ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ЭКЗАМЕНА В 9 КЛАССЕ. А. Д. БЛИНКОВ, Т. М. МИЩЕНКО. 5. ЕГЭ 2011. МАТЕМАТИКА: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ / И.Р. ВЫСОЦКИЙ [И ДР.]; ПОД РЕД. А.Л. СЕМЕНОВА И И.В. ЯЩЕНКО. - М.: 1 НАЦИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ, 2010. 6. ГОРДИН Р.К. ЕГЭ 2011. МАТЕМАТИКА. ЗАДАЧА С4. ГЕОМЕТРИЯ. ПЛАНИМЕТРИЯ / ПОД РЕД. А.Л. СЕМЕНОВА И И.В. ЯЩЕНКО. - М.: МЦНМО, 2011. 7. ПОТОСКУЕВ Е.В, ЗВАВИЧ Л.И. ГЕОМЕТРИЯ, 10 КЛАСС: ЗАДАЧНИК ДЛЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ УЧРЕЖДЕНИЙ С УГЛУБЛЕННЫМ И ПРОФИЛЬНЫМ ИЗУЧЕНИЕМ МАТЕМАТИКИ / ПОД НАУЧ. РЕД. А.Р. РЯЗАНОВСКОГО. - М.: ДРОФА, 2003-2011. 8. ПОТОСКУЕВ Е.В, ЗВАВИЧ Л.И. ГЕОМЕТРИЯ: КОНТРОЛЬНЫЕ И ПРОВЕРОЧНЫЕ РАБОТЫ. 10-11 КЛАССЫ. - М.: ДРОФА, 2007. 9. ЗВАВИЧ Л.И., РЯЗАНОВСКИЙ А.Р. ГЕОМЕТРИЯ В ТАБЛИЦАХ. 7-11 КЛ.: СПРАВ, ПОСОБИЕ. - М.: ДРОФА, 1997-2011. 10. ПОТОСКУЕВ Е.В, ЗВАВИЧ Л.И. ГЕОМЕТРИЯ. 10 КЛАСС: УЧЕБ. ДЛЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ УЧРЕЖДЕНИЙ С УГЛУБЛЕННЫМ И ПРОФИЛЬНЫМ ИЗУЧЕНИЕМ МАТЕМАТИКИ / ПОД НАУЧ. РЕД. А.Р. РЯЗАНОВСКОГО. - М.: ДРОФА, 2003-2011. 11. СМИРНОВ В.А. ЕГЭ 2011. МАТЕМАТИКА. ЗАДАЧА С2. ГЕОМЕТРИЯ. СТЕРЕОМЕТРИЯ / ПОД РЕД. А.Л. СЕМЕНОВА И И.В. ЯЩЕНКО. - М.: МЦНМО, 2011. 12. ЦИФРОВЫЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ. СПАСИБО ЗА Спасибо за ВНИМАНИЕ! внимание!