1 найти корни квадратного уравнения. Как решать квадратные уравнения
Развитие экономики и постоянное изменение государственных границ создают широкое поле для миграционных процессов. Мы постоянно слышим знакомые термины, но не всегда знаем об их истинном значении. Такие понятия, как эмиграция и иммиграция похожи, но обозначают противоположные явления. Что такое эмиграция? В чем сходства и различия с иммиграцией? Почему люди стремятся уехать из России?
Латинский термин «миграция», что в переводе означает «переселение, перемещение» – это добровольное или принудительное перемещение населения из одних стран в другие. Современные представлены внешней и внутренней. Разница заключается в территориальном переселении – внутри или за пределами страны.
Что такое миграция населения с точки зрения ее видов:
- постоянная – выбрав новое местожительство, человек не возвращается к предыдущему;
- временная – переезд в страну осуществляется не на постоянной основе, а лишь на некоторый срок;
- маятниковая – цикличный переезд на новое место и возвращение к прежнему (например, учеба в другом городе России);
- сезонная – на время выполнения сезонных работ.
Таким образом, миграция – это перемещение по стране или за ее пределами с определенной целью (учеба, работа, отдых). Более конкретные разновидности миграции представлены эмиграцией и иммиграцией.
Эмиграция
Определение понятия «эмиграция» гласит, что это выезд из страны в другое государство на ПМЖ. По своей сути, эмиграция – это поиск лучшего места для проживания, чем успешно пользуются наши соотечественники. Неправильно считать эмигрантом человека, который был выдворен из страны насильно.
Сейчас особо актуальный вопрос, сколько уезжает из России в год? На основе статистики можно сделать вывод, что в ходе эмиграции преследуют две цели:
- покинуть родную страну добровольно и найти лучшее место для проживания;
- уехать из страны вынужденно, ввиду неудовлетворения жизнью.
Второй насущный вопрос, иммигрант и эмигрант: в чем разница понятий? Эмигрант не видит перспектив находиться в своей стране. Иммигрант, напротив, приезжает с целью остаться в стране навсегда или на длительный период. Иммиграция требует обязательного оформления разрешения на проживание. Например, в России действуют миграционные карты, визы, РВП и ВНЖ.
Реэмиграция – это возвращение эмигрантов на родину. Причины могут быть самыми разными, от разочарования в других государствах до патриотизма по отношению к родной стране. Реэмиграция тесно связана с иммиграцией и эмиграцией, поскольку является частью миграционных процессов.
Трудовая миграция – экономические и социальные аспекты: Видео
Почему люди уезжают
Универсальной причины миграции не существует.
Выделяют несколько причин эмиграции:
- экономические неурядицы (отсутствие работы, низкий заработок, высокие цены);
- экологические проблемы (загрязнение воздуха, истощение почв, лесов, водоемов);
- военные конфликты и теракты.
Особенно интересна эмиграция пенсионеров, которые возвращаются на родину своих предков с целью отдать дань памяти. Но в большинстве своем люди ищут лучшее «место под солнцем». Официальная статистика эмиграции из России свидетельствует о том, что не всех устраивает уровень жизни в нашей стране. Куда более перспективными для эмиграции из России считаются Европа, США и ряд восточных государств.
Способы эмиграции
Эмигрировать в другую страну можно в любое время. Стоит ли напоминать, что эмиграция контролируется не всеми государствами. Но в РФ принят , согласно которому иностранцы обязаны зарегистрироваться в ГУВМ МВД и получить разрешение.
Различают следующие способы эмиграции:
- участие в Программе переселения соотечественников – основная цель воссоединиться с семьей;
- трудовая эмиграция;
- получение политического убежища (беженцы);
- бизнес-эмиграция – вложение в экономику другой страны.
Выбор в пользу того или иного способа эмиграции обусловлен статусом человека и его финансовыми возможностями.
Латинский термин «иммиграция» означает «вселение» или «въезд в страну с целью обретения ПМЖ». Сегодня иммиграция – это отличный вариант обосноваться в стране и получить работу. Разумеется, мигранты рассчитывают на пользование всеми благами государства. Иммиграция в Россию привлекает жителей Ближнего зарубежья, в частности, из восточных государств и бывших стран СНГ.
Причины
Иммигрировать в другую страну – значит обрести новую родину, поменять гражданство и стать членом другого общества. Не все люди могут точно ответить, зачем они приезжают в нашу страну? Но основные причины иммиграции в целом понятны:
- лучшие условия для проживания;
- наличие свободных рабочих мест;
- достойный заработок;
- социальные, экономические и иные льготы страны;
- политическая защита;
- национальное и конфессиональное единство.
Многочисленные иммиграционные программы способствуют увеличению миграционного трафика. Одним из видов контроля за въездом мигрантов считается установление квот на рабочие места.
Выбор страны и города
Сталкиваясь с разнородными потоками иностранцев, миграционная политика стран определяет въездной лимит. Российские власти учитывают региональную демографию и количество вакансий. Внутренняя эмиграция связана с уровнем жизни городов и поселений. Неудивительно, что многие спрашивают, (внутренняя эмиграция)? На первый взгляд кажется, что лучше Москвы или Санкт-Петербурга не найти, однако это не так.
Не менее насущный вопрос связан с обратными потоками – из России в другие страны. Прежде чем думать, куда лучше эмигрировать из России, нужно взвесить все за и против, а именно:
- стабильность будущего государства;
- оформление разрешения и визы на проживание в стране;
- легализацию статуса;
- налоговую политику;
- отношение местного населения к приезжим.
Лакомыми странами для россиян становятся США, Германия, Канада, Черногория, ОАЭ и Вьетнам.
Финансовая подготовка
Ускоренное развитие экономических отношений с другими странами повышает шансы на инвестиции. Все большую популярность для наших соотечественников приобретает . Уехав в другую страну, бизнесмены вкладываются в местную экономику. Взамен они получают гражданство иностранного государства + налоговые льготы. Преференции повышают шансы на успешное ведение бизнеса за рубежом. Впрочем, позволить себе финансирование могут лишь состоятельные граждане РФ.
Возможность уехать в другую страну на постоянное место жительства не рассматривал только ленивый. Люди хотят улучшить свою жизнь, но эмиграция не встреча друзей с распростертыми объятиями. Чаще всего, это трудности с адаптацией, поиском работы, получением документов. Поэтому, прежде чем решиться покинуть родину, необходимо изучить все нюансы переезда.
Миграция – это перемещение населения как внутри государства, так и за его пределы. Место жительства меняется с целью постоянного или временного пребывания на новой территории. Благодаря миграции, человечество расселилось по всей поверхности Земного шара.
Простые обыватели точно знают, что смысл понятий заключается в пересечении границы. Но значение терминов «иммиграция» и «эмиграция» часто путают. Оба слова происходят от латинского слова migratio - переселение (людей). Разница состоит в том, что одни приезжают в страну, а другие - уезжают из нее.
Что такое эмиграция? Это отъезд на постоянное место жительства в другую страну. Понятие иммиграции формулируется с точностью до наоборот, и означает въезд на территорию другого государства.
Как связаны между собой понятия
В чем схожесть двух терминов? И тот и другой означает перемену страны проживания. Человек одновременно может иметь два статуса:
- эмигрант - в стране отъезда;
- иммигрант - на территории прибытия.
В любом случае переезд должен быть связан с пересечением государственной границы с целью сменить место жительства. Первая волна эмиграции захлестнула Россию в начале XX века, во времена Гражданской войны. В те неспокойные дни страна хорошо узнала, кто такие эмигранты. По минимальным подсчетам, количество человек, выехавших за границу в тот период, перевалило за миллион.
Что заставляет людей эмигрировать
Мотивы, которые заставляют покинуть родные края, у каждого свои. Но объединяет всех переселенцев одно: желание сделать свою жизнь лучше. Жгучая жажда перемен буквально выталкивает человека из привычной круговерти навстречу новым перспективам. Причины миграции можно разделить на две категории:
- Угроза для жизни (военные действия, экологическая катастрофа).
- Экономический кризис.
В любом из перечисленных вариантов человек стремится покинуть агрессивную среду. Эмигранты выбирают новую страну, основываясь на возможности найти работу. В большинстве случаев, рассчитывать на трудоустройство по профессии не приходится. Иностранцы в первые годы довольствуются рабочими специальностями. Страны, приютившие у себя иммигранта, предоставляют ему один из статусов:
- гражданин;
- постоянный житель;
- временно проживающий.
Следует четко понимать, что статус гражданина получить сложно. В основном выдается разрешение на постоянное проживание. Документ действует определенный срок, он предоставляет человеку право находиться на территории государства на правах гостя. Преференции на медицинское обслуживание и легальное трудоустройство на субъектов с таким статусом не распространяются.
- Казань;
- Красноярск;
- Краснодар;
- Новосибирск.
Все вышеперечисленные города имеют высокий потенциал, потому что в них активно развивается промышленность, ведется жилищное строительство. Экономика динамично развивается, поэтому перспективна в плане открытия собственного бизнеса.
Вывод
Решение уехать в другую страну не должно быть импульсивным. Каждое государство устанавливает для приезжих жесткие законы. Ощущение уверенности в завтрашнем дне, возможность реализовать свой потенциал иммигранту даст только тщательный сбор информации. Многие страны поддерживают мигрантов, и этим следует воспользоваться.
Юрист: Иван Сердюков
Написано статей
Люди, несведущие в юридических тонкостях, часто не могут понять, в чём заключена разница между такими понятиями, как эмиграция и иммиграция. По их мнению, действия, которые обозначают эти два термина, во многом схожи и касаются вопроса переезда конкретного лица на ПМЖ из одной страны в другую.
На самом деле эмиграция от иммиграции отличается кардинальным образом, а иммигрант и эмигрант - это противоположные понятия. Эмиграция - это выезд навсегда или, по крайней мере, на очень длительный срок из страны, которая для покидающего её лица являлась постоянным местом жительства. Иммиграция - въезд в страну, в которой человек хотел бы обосноваться, при этом ставя одной из целей получение в ней гражданства.
Выезд за пределы страны будет называться эмиграцией, а иммиграцией - въезд в другую страну. Таким образом, для своей новой родины перемещенные лица - иммигранты, а эмигранты - для другой, где они проживали и территорию которой решили покинуть.
В чём разница между миграцией и иммиграцией
Эти понятия являются сходными, так как в обоих случаях речь идёт о перемещении населения. Разница же заключается в том, что при миграции человек перемещается в пределах страны, при этом стремясь достичь определённых целей. Миграция может быть следующих видов.
- Постоянная: это происходит в тех случаях, когда человек навсегда покидает свой регион и переезжает на постоянное место жительства в другой край или область.
- Временная: в этом случае отъезд из родного региона происходит на фиксированный период.
- Маятниковая: типичный пример - отъезд студентов на учёбу в вузы и возвращение домой по окончанию учёбы.
- Сезонная. Этот вид миграции чаще всего имеет место в сельском хозяйстве, когда значительное число населения перемещается из региона в регион для уборки урожая.
- неудовлетворённость своим экономическим положением и желание его улучшить;
- желание посмотреть мир;
- стремление вернуться на историческую родину; указанный мотив характерен прежде всего для лиц еврейской и немецкой национальностей;
- сложная экологическая ситуация в регионе проживания, заставляющая искать новое место для жизни;
- отсутствие перспектив на родине и надежда обрести их за кордоном.
Кроме того, бывают ситуации, когда государство в силу разных причин желает избавиться от конкретного гражданина, объявляя его персоной нон-грата и отправляя в эмиграцию. Иммиграция для таких людей становится единственным выходом из сложившегося положения, и такое случается не так уж редко.
Плюсы и минусы иммиграции
Наивным было бы полагать, что у лица, принявшего решение иммигрировать, после въезда в другую страну сразу же появится возможность решить все имеющиеся у него проблемы - такое практически никогда и никому не удаётся. Государство, принимающее на постоянное жительство иммигрантов, прежде всего заинтересовано в решении собственных проблем и, отправляясь в эмиграцию и подыскивая страну для будущего ПМЖ, это следует учитывать. Принимая к себе тех, кто решил иммигрировать, такое государство рассчитывает получить:
- квалифицированные кадры, владеющие востребованными профессиями: таким образом стране не придётся тратиться на подготовку собственных специалистов;
- дешёвую рабочую силу для выполнения тяжёлых и низкооплачиваемых работ;
- приток «свежей крови» для омоложения нации, так как возраст основной массы желающих иммигрировать не превышает сорока лет.
Поэтому эмиграция, как и иммиграция, - непростой процесс, и приступая к ней, необходимо всё тщательно обдумать и взвесить, чтобы затем правильно действовать. Чтобы заранее быть готовым к ожидающим трудностям и правильно принимать решения по возникающим вопросам, ещё на этапе подготовки к реализации решения эмигрировать следует тщательно изучить следующие вопросы.
- Какова перспектива после иммиграции в выбранную для этой цели страну получить в ней гражданство?
- Есть ли перспектива трудоустройства по специальности, которая имеется у иммигранта?
- Чем отличается жизнь в выбранной стране от той, из которой лицо уезжает, и устраивает ли она иммигранта?
Не следует забывать, что, став эмигрантом на родине, человек не всегда может найти себя в новой стране. Именно поэтому иммиграция и эмиграция хоть и привлекательны, но очень сложны в процессе реализации, и к вероятным сложностям следует тщательно готовиться.
Начальный уровень
Квадратные уравнения. Исчерпывающий гид (2019)
В термине «квадратное уравнение» ключевым является слово «квадратное». Это значит, что в уравнении обязательно должна присутствовать переменная (тот самый икс) в квадрате, и при этом не должно быть иксов в третьей (и большей) степени.
Решение многих уравнений сводится к решению именно квадратных уравнений.
Давай научимся определять, что перед нами квадратное уравнение, а не какое-нибудь другое.
Пример 1.
Избавимся от знаменателя и домножим каждый член уравнения на
Перенесем все в левую часть и расположим члены в порядке убывания степеней икса
Теперь можно с уверенностью сказать, что данное уравнение является квадратным!
Пример 2.
Домножим левую и правую часть на:
Это уравнение, хотя в нем изначально был, не является квадратным!
Пример 3.
Домножим все на:
Страшно? Четвертая и вторая степени… Однако, если произвести замену, то мы увидим, что перед нами простое квадратное уравнение:
Пример 4.
Вроде бы есть, но давай посмотрим внимательнее. Перенесем все в левую часть:
Видишь, сократился - и теперь это простое линейное уравнение!
Теперь попробуй сам определить, какие из следующий уравнений являются квадратными, а какие нет:
Примеры:
Ответы:
- квадратное;
- квадратное;
- не квадратное;
- не квадратное;
- не квадратное;
- квадратное;
- не квадратное;
- квадратное.
Математики условно делят все квадратные уравнения на вида:
- Полные квадратные уравнения - уравнения, в которых коэффициенты и, а также свободный член с не равны нулю (как в примере). Кроме того, среди полных квадратных уравнений выделяют приведенные - это уравнения, в которых коэффициент (уравнение из примера один является не только полным, но еще и приведенным!)
- Неполные квадратные уравнения
- уравнения, в которых коэффициент и или свободный член с равны нулю:
Неполные они, потому что в них не хватает какого-то элемента. Но в уравнении всегда должен присутствовать икс в квадрате!!! Иначе это будет уже не квадратное, а какое-то другое уравнение.
Зачем придумали такое деление? Казалось бы, есть икс в квадрате, и ладно. Такое деление обусловлено методами решения. Рассмотрим каждый из них подробнее.
Решение неполных квадратных уравнений
Для начала остановимся на решении неполных квадратных уравнений - они гораздо проще!
Неполные квадратные уравнения бывают типов:
- , в этом уравнении коэффициент равен.
- , в этом уравнении свободный член равен.
- , в этом уравнении коэффициент и свободный член равны.
1. и. Поскольку мы знаем, как извлекать квадратный корень, то давайте выразим из этого уравнения
Выражение может быть как отрицательным, так и положительным. Число, возведенное в квадрат, не может быть отрицательным, ведь при перемножении двух отрицательных или двух положительных чисел - результатом всегда будет положительное число, так что: если, то уравнение не имеет решений.
А если, то получаем два корня. Эти формулы не нужно запоминать. Главное, ты должен знать и помнить всегда, что не может быть меньше.
Давай попробуем решить несколько примеров.
Пример 5:
Решите уравнение
Теперь осталось извлечь корень из левой и правой части. Ведь ты помнишь как извлекать корни?
Ответ:
Никогда не забывай про корни с отрицательным знаком!!!
Пример 6:
Решите уравнение
Ответ:
Пример 7:
Решите уравнение
Ой! Квадрат числа не может быть отрицательным, а значит у уравнения
нет корней!
Для таких уравнений, в которых нет корней, математики придумали специальный значок - (пустое множество). И ответ можно записать так:
Ответ:
Таким образом, данное квадратное уравнение имеет два корня. Здесь нет никаких ограничений, так как корень мы не извлекали.
Пример 8:
Решите уравнение
Вынесем общий множитель за скобки:
Таким образом,
У этого уравнения два корня.
Ответ:
Самый простой тип неполных квадратных уравнений (хотя они все простые, не так ли?). Очевидно, что данное уравнение всегда имеет только один корень:
Здесь обойдемся без примеров.
Решение полных квадратных уравнений
Напоминаем, что полное квадратное уравнение, это уравнение вида уравнение где
Решение полных квадратных уравнений немного сложнее (совсем чуть-чуть), чем приведенных.
Запомни, любое квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта! Даже неполное.
Остальные способы помогут сделать это быстрее, но если у тебя возникают проблемы с квадратными уравнениями, для начала освой решение с помощью дискриминанта.
1. Решение квадратных уравнений с помощью дискриминанта.
Решение квадратных уравнений этим способом очень простое, главное запомнить последовательность действий и пару формул.
Если, то уравнение имеет корняНужно особое внимание обратить на шаг. Дискриминант () указывает нам на количество корней уравнения.
- Если, то формула на шаге сократится до. Таким образом, уравнение будет иметь всего корень.
- Если, то мы не сможем извлечь корень из дискриминанта на шаге. Это указывает на то, что уравнение не имеет корней.
Вернемся к нашим уравнениям и рассмотрим несколько примеров.
Пример 9:
Решите уравнение
Шаг 1 пропускаем.
Шаг 2.
Находим дискриминант:
А значит уравнение имеет два корня.
Шаг 3.
Ответ:
Пример 10:
Решите уравнение
Уравнение представлено в стандартном виде, поэтому Шаг 1 пропускаем.
Шаг 2.
Находим дискриминант:
А значит уравнение имеет один корень.
Ответ:
Пример 11:
Решите уравнение
Уравнение представлено в стандартном виде, поэтому Шаг 1 пропускаем.
Шаг 2.
Находим дискриминант:
Азначит мы не сможем извлечь корень из дискриминанта. Корней уравнения не существует.
Теперь мы знаем, как правильно записывать такие ответы.
Ответ: Корней нет
2. Решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета.
Если ты помнишь, то есть такой тип уравнений, которые называются приведенными (когда коэффициент а равен):
Такие уравнения очень просто решать, используя теорему Виета:
Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна, а произведение корней равно.
Пример 12:
Решите уравнение
Это уравнение подходит для решения с использованием теоремы Виета, т.к. .
Сумма корней уравнения равна, т.е. получаем первое уравнение:
А произведение равно:
Составим и решим систему:
- и. Сумма равна;
- и. Сумма равна;
- и. Сумма равна.
и являются решением системы:
Ответ: ; .
Пример 13:
Решите уравнение
Ответ:
Пример 14:
Решите уравнение
Уравнение приведенное, а значит:
Ответ:
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ
Что такое квадратное уравнение?
Другими словами, квадратное уравнение - это уравнение вида, где - неизвестное, - некоторые числа, причем.
Число называют старшим или первым коэффициентом квадратного уравнения, - вторым коэффициентом , а - свободным членом .
Почему? Потому что если, уравнение сразу станет линейным, т.к. пропадет.
При этом и могут быть равны нулю. В этом стулчае уравнение называют неполным. Если же все слагаемые на месте, то есть, уравнение - полное.
Решения различных типов квадратных уравнений
Методы решения неполных квадратных уравнений:
Для начала разберем методы решений неполных квадратных уравнений - они проще.
Можно выделить типа таких уравнений:
I. , в этом уравнении коэффициент и свободный член равны.
II. , в этом уравнении коэффициент равен.
III. , в этом уравнении свободный член равен.
Теперь рассмотрим решение каждого из этих подтипов.
Очевидно, что данное уравнение всегда имеет только один корень:
Число, возведенное в квадрат, не может быть отрицательным, ведь при перемножении двух отрицательных или двух положительных чисел результатом всегда будет положительное число. Поэтому:
если, то уравнение не имеет решений;
если, имеем учаем два корня
Эти формулы не нужно запоминать. Главное помнить, что не может быть меньше.
Примеры:
Решения:
Ответ:
Никогда не забывай про корни с отрицательным знаком!
Квадрат числа не может быть отрицательным, а значит у уравнения
нет корней.
Чтобы коротко записать, что у задачи нет решений, используем значок пустого множества.
Ответ:
Итак, это уравнение имеет два корня: и.
Ответ:
Вынесем общим множитель за скобки:
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. А это значит, что уравнение имеет решение, когда:
Итак, данное квадратное уравнение имеет два корня: и.
Пример:
Решите уравнение.
Решение:
Разложим левую часть уравнения на множители и найдем корни:
Ответ:
Методы решения полных квадратных уравнений:
1. Дискриминант
Решать квадратные уравнения этим способом легко, главное запомнить последовательность действий и пару формул. Запомни, любое квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта! Даже неполное.
Ты заметил корень из дискриминанта в формуле для корней? Но ведь дискриминант может быть отрицательным. Что делать? Нужно особое внимание обратить на шаг 2. Дискриминант указывает нам на количество корней уравнения.
- Если, то уравнение имеет корня:
- Если, то уравнение имеет одинаковых корня, а по сути, один корень:
Такие корни называются двукратными.
- Если, то корень из дискриминанта не извлекается. Это указывает на то, что уравнение не имеет корней.
Почему возможно разное количество корней? Обратимся к геометрическому смыслу квадратного уравнения. График функции является параболой:
В частном случае, которым является квадратное уравнение, . А это значит, что корни квадратного уравнения, это точки пересечения с осью абсцисс (ось). Парабола может вообще не пересекать ось, либо пересекать ее в одной (когда вершина параболы лежит на оси) или двух точках.
Кроме того, за направление ветвей параболы отвечает коэффициент. Если, то ветви параболы направлены вверх, а если - то вниз.
Примеры:
Решения:
Ответ:
Ответ: .
Ответ:
А значит, решений нет.
Ответ: .
2. Теорема Виета
Использовать теорему Виета очень легко: нужно всего лишь подобрать такую пару чисел, произведение которых равно свободному члену уравнения, а сумма - второму коэффициенту, взятому с обратным знаком.
Важно помнить, что теорему Виета можно применять только в приведенных квадратных уравнениях ().
Рассмотрим несколько примеров:
Пример №1:
Решите уравнение.
Решение:
Это уравнение подходит для решения с использованием теоремы Виета, т.к. . Остальные коэффициенты: ; .
Сумма корней уравнения равна:
А произведение равно:
Подберем такие пары чисел, произведение которых равно, и проверим, равна ли их сумма:
- и. Сумма равна;
- и. Сумма равна;
- и. Сумма равна.
и являются решением системы:
Таким образом, и - корни нашего уравнения.
Ответ: ; .
Пример №2:
Решение:
Подберем такие пары чисел, которые в произведении дают, а затем проверим, равна ли их сумма:
и: в сумме дают.
и: в сумме дают. Чтобы получить, достаточно просто поменять знаки предполагаемых корней: и, ведь произведение.
Ответ:
Пример №3:
Решение:
Свободный член уравнения отрицательный, а значит и произведение корней - отрицательное число. Это возможно только если один из корней отрицательный, а другой - положительный. Поэтому сумма корней равна разности их модулей .
Подберем такие пары чисел, которые в произведении дают, и разность которых равна:
и: их разность равна - не подходит;
и: - не подходит;
и: - не подходит;
и: - подходит. Остается только вспомнить, что один из корней отрицательный. Так как их сумма должна равняться, то отрицательным должен быть меньший по модулю корень: . Проверяем:
Ответ:
Пример №4:
Решите уравнение.
Решение:
Уравнение приведенное, а значит:
Свободный член отрицателен, а значит и произведение корней отрицательно. А это возможно только тогда, когда один корень уравнения отрицателен, а другой положителен.
Подберем такие пары чисел, произведение которых равно, а затем определим, какой корней должен иметь отрицательный знак:
Очевидно, что под первое условие подходят только корни и:
Ответ:
Пример №5:
Решите уравнение.
Решение:
Уравнение приведенное, а значит:
Сумма корней отрицательна, а это значит что, по крайней мере, один из корней отрицателен. Но поскольку их произведение положительно, то значит оба корня со знаком минус.
Подберем такие пары чисел, произведение которых равно:
Очевидно, что корнями являются числа и.
Ответ:
Согласись, это очень удобно - придумывать корни устно, вместо того, чтобы считать этот противный дискриминант. Старайся использовать теорему Виета как можно чаще.
Но теорема Виета нужна для того, чтобы облегчить и ускорить нахождение корней. Чтобы тебе было выгодно ее использовать, ты должен довести действия до автоматизма. А для этого порешай-ка еще пяток примеров. Но не жульничай: дискриминант использовать нельзя! Только теорему Виета:
Решения заданий для самостоятельной работы:
Задание 1. {{x}^{2}}-8x+12=0
По теореме Виета:
Как обычно, начинаем подбор с произведения:
Не подходит, так как сумма;
: сумма - то что надо.
Ответ: ; .
Задание 2.
И снова наша любимая теорема Виета : в сумме должно получиться, а произведение равно.
Но так как должно быть не, а, меняем знаки корней: и (в сумме).
Ответ: ; .
Задание 3.
Хм… А где тут что?
Надо перенести все слагаемые в одну часть:
Сумма корней равна, произведение.
Так, стоп! Уравнение-то не приведенное. Но теорема Виета применима только в приведенных уравнениях. Так что сперва нужно уравнение привести. Если привести не получается, бросай эту затею и решай другим способом (например, через дискриминант). Напомню, что привести квадратное уравнение - значит сделать старший коэффициент равным:
Отлично. Тогда сумма корней равна, а произведение.
Тут подобрать проще простого: ведь - простое число (извини за тавтологию).
Ответ: ; .
Задание 4.
Свободный член отрицательный. Что в этом особенного? А то, что корни будут разных знаков. И теперь во время подбора проверяем не сумму корней, а разность их модулей: эта разность равна, а произведение.
Итак, корни равны и, но один из них с минусом. Теорема Виета говорит нам, что сумма корней равна второму коэффициенту с обратным знаком, то есть. Значит, минус будет у меньшего корня: и, так как.
Ответ: ; .
Задание 5.
Что нужно сделать первым делом? Правильно, привести уравнение:
Снова: подбираем множители числа, и их разность должна равняться:
Корни равны и, но один из них с минусом. Какой? Их сумма должна быть равна, значит, с минусом будет больший корень.
Ответ: ; .
Подведу итог:
- Теорема Виета используется только в приведенных квадратных уравнениях.
- Используя теорему Виета можно найти корни подбором, устно.
- Если уравнение не приводится или не нашлось ни одной подходящей пары множителей свободного члена, значит целых корней нет, и нужно решать другим способом (например, через дискриминант).
3. Метод выделения полного квадрата
Если все слагаемые, содержащие неизвестное, представить в виде слагаемых из формул сокращенного умножения - квадрата суммы или разности - то после замены переменных можно представить уравнение в виде неполного квадратного уравнения типа.
Например:
Пример 1:
Решите уравнение: .
Решение:
Ответ:
Пример 2:
Решите уравнение: .
Решение:
Ответ:
В общем виде преобразование будет выглядеть так:
Отсюда следует: .
Ничего не напоминает? Это же дискриминант! Вот именно, формулу дискриминанта так и получили.
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ
Квадратное уравнение - это уравнение вида, где - неизвестное, - коэффициенты квадратного уравнения, - свободный член.
Полное квадратное уравнение - уравнение, в котором коэффициенты, не равны нулю.
Приведенное квадратное уравнение - уравнение, в котором коэффициент, то есть: .
Неполное квадратное уравнение - уравнение, в котором коэффициент и или свободный член с равны нулю:
- если коэффициент, уравнение имеет вид: ,
- если свободный член, уравнение имеет вид: ,
- если и, уравнение имеет вид: .
1. Алгоритм решения неполных квадратных уравнений
1.1. Неполное квадратное уравнение вида, где, :
1) Выразим неизвестное: ,
2) Проверяем знак выражения:
- если, то уравнение не имеет решений,
- если, то уравнение имеет два корня.
1.2. Неполное квадратное уравнение вида, где, :
1) Вынесем общим множитель за скобки: ,
2) Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, уравнение имеет два корня:
1.3. Неполное квадратное уравнение вида, где:
Данное уравнение всегда имеет только один корень: .
2. Алгоритм решения полных квадратных уравнений вида где
2.1. Решение с помощью дискриминанта
1) Приведем уравнение к стандартному виду: ,
2) Вычислим дискриминант по формуле: , который указывает на количество корней уравнения:
3) Найдем корни уравнения:
- если, то уравнение имеет корня, которые находятся по формуле:
- если, то уравнение имеет корень, который находится по формуле:
- если, то уравнение не имеет корней.
2.2. Решение с помощью теоремы Виета
Сумма корней приведенного квадратного уравнения (уравнения вида, где) равна, а произведение корней равно, т.е. , а.
2.3. Решение методом выделения полного квадрата
Если квадратное уравнение вида имеет корни, то его можно записать в виде: .
Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.
Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!
Теперь самое главное.
Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.
Проблема в том, что этого может не хватить…
Для чего?
Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.
Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…
Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.
Но и это - не главное.
Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...
Но, думай сам...
Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?
НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.
На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.
Тебе нужно будет решать задачи на время .
И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.
Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.
Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!
Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.
Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.
Как? Есть два варианта:
- Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - 299 руб.
- Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - 499 руб.
Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.
Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.
И в заключение...
Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.
“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.
Найди задачи и решай!
Копьевская сельская средняя общеобразовательная школа
10 способов решения квадратных уравнений
Руководитель: Патрикеева Галина Анатольевна,
учитель математики
с.Копьево, 2007
1. История развития квадратных уравнений
1.1 Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне
1.2 Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения
1.3 Квадратные уравнения в Индии
1.4 Квадратные уравнения у ал- Хорезми
1.5 Квадратные уравнения в Европе XIII - XVII вв
1.6 О теореме Виета
2. Способы решения квадратных уравнений
Заключение
Литература
1. История развития квадратных уравнений
1.1 Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне
Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне.
Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:
X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5
Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.
Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.
1.2 Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения.
В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.
При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.
Вот, к примеру, одна из его задач.
Задача 11. «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение - 96»
Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + х , другое же меньше, т.е. 10 - х . Разность между ними 2х .
Отсюда уравнение:
(10 + х)(10 - х) = 96
100 - х 2 = 96
х 2 - 4 = 0 (1)
Отсюда х = 2 . Одно из искомых чисел равно 12 , другое 8 . Решение х = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.
Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения
у(20 - у) = 96,
у 2 - 20у + 96 = 0. (2)
Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения (1).
1.3 Квадратные уравнения в Индии
Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученный, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:
ах 2 + b х = с, а > 0. (1)
В уравнении (1) коэфиценты, кроме а , могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.
В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.
Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.
Задача 13.
«Обезьянок резвых стая А двенадцать по лианам…
Власть поевши, развлекалась. Стали прыгать, повисая…
Их в квадрате часть восьмая Сколько ж было обезьянок,
На поляне забавлялась. Ты скажи мне, в этой стае?»
Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений (рис. 3).
Соответствующее задаче 13 уравнение:
( x /8) 2 + 12 = x
Бхаскара пишет под видом:
х 2 - 64х = -768
и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 32 2 , получая затем:
х 2 - 64х + 32 2 = -768 + 1024,
(х - 32) 2 = 256,
х - 32 = ± 16,
х 1 = 16, х 2 = 48.
1.4 Квадратные уравнения у ал – Хорезми
В алгебраическом трактате ал - Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:
1) «Квадраты равны корнями», т.е. ах 2 + с = b х.
2) «Квадраты равны числу», т.е. ах 2 = с.
3) «Корни равны числу», т.е. ах = с.
4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. ах 2 + с = b х.
5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах 2 + bx = с.
6) «Корни и числа равны квадратам», т.е. bx + с = ах 2 .
Для ал - Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого их этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал - джабр и ал - мукабала. Его решения, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида
ал - Хорезми, как и все математики до XVII в., е учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений ал - Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем и геометрические доказательства.
Задача 14. «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (подразумевается корень уравнения х 2 + 21 = 10х).
Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножишь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.
Трактат ал - Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.
1.5 Квадратные уравнения в Европе XIII - XVII вв
Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал - Хорезми в Европе были впервые изложены в « Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемистый труд, в котором отражено влияние математики, как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из « Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI - XVII вв. и частично XVIII.
Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду:
х 2 + bx = с,
при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b , с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.
Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. Учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. Благодаря труда Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.
1.6 О теореме Виета
Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г. следующим образом: «Если B + D , умноженное на A - A 2 , равно BD , то A равно В и равноD ».
Чтобы понять Виета, следует вспомнить, что А , как и всякая гласная буква, означало у него неизвестное (наше х ), гласные же В, D - коэффициенты при неизвестном. На языке современной алгебры вышеприведенная формулировка Виета означает: если имеет место
(а + b )х - х 2 = ab ,
х 2 - (а + b )х + а b = 0,
х 1 = а, х 2 = b .
Выражая зависимость между корнями и коэффициентами уравнений общими формулами, записанными с помощью символов, Виет установил единообразие в приемах решения уравнений. Однако символика Виета еще далека от современного вида. Он не признавал отрицательных чисел и по этому при решении уравнений рассматривал лишь случаи, когда все корни положительны.
2. Способы решения квадратных уравнений
Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств. Все мы умеем решать квадратные уравнения со школьной скамьи (8 класс), до окончания вуза.