Значит e. Математика, которая мне нравится

Рассмотрим функцию, областью определения которой является множество натуральных чисел: Такая функция называется функцией натурального аргумента или последовательностью. Значения этой функции называются членами последовательности.

Члены последовательности обычно располагаются в порядке возрастания аргумента:

Называется первым членом последовательности, вторым членом, называется или общим членом последовательности. Последовательность кратко обозначают Пример 1. Пусть Выпишем несколько первых членов последовательности:

Пример 2. Пусть Тогда

Пример 3. Пусть . Тогда

Введем теперь понятие предела последовательности.

Определение. Число b называется пределом последовательности если, каково бы ни было , найдется такое натуральное число N, что для всех членов последовательности, номер которых выполняется неравенство (или ).

Если число - предел последовательности, то это записывается так: или

Определение предела последовательности аналогично определению предела функции при Для функции условие выполнялось для всех действительных значений а для последовательности неравенство выпол гнется для всех натуральных чисел

Неравенство равносильно неравенствам

Поэтому, изображая члены последовательности точками плоскости с координатами приходим к следующему геометрическому смыслу предела последовательности: если последовательность имеет пределом число 6, то каково бы ни было найдется такое натуральное число N, что все точки, изображающие члены последовательности с номерами попадут в полосу, ограниченную прямыми (рис. 112).

Все теоремы о пределах функций, доказанные в этом параграфе, остаются справедливыми и для последовательностей.

Рассмотрим пример.

Пример 4. Найти предел последовательности

Решение. Здесь числитель и знаменатель одновременно стремятся к Для отыскания предела преобразуем выразив числитель по формуле суммы арифметической прогрессии:

Пример 5. Рассмотрим последовательность Члены последовательности попеременно принимают значения Эта последовательность, очевидно, не имеет предела.

Пример 6. Рассмотрим последовательность где Покажем, что

Решение. Рели , то при любом . Ясно, что в этом случае

Пусть теперь . Тогда , где . По формуле бинома Ньютона

Так как , то все слагаемые в последней сумме положительны. Отбрасывая все слагаемые, кроме первых двух, получим Отсюда заключаем, что так как при неограниченно растет, то также неограниченно растет, т. е.

Наконец, пусть . Тогда где . На основании выше изложенного поэтому стремится к нулю:

Последовательность называется возрастающей, если с увеличением ее члены увеличиваются, т. е.

Если с увеличением члены последовательности убывают, т. е.

то последовательность называется убывающей.

Последовательность примера 1 возрастающая, а примера 2 - убывающая. Последовательность примера 3 не является ни возрастающей, ни убывающей.

Последовательность называется ограниченной, если существует такое число С, что для всех натуральных чисел выполняется неравенство . Последовательность примера 1 не является ограниченной.

Рассмотрим возрастающую последовательность

Если эта последовательность не является ограниченной, то ее члены будут неограниченно возрастать и, следовательно, такая последовательность не имеет предела. Нели же возрастающая последовательность ограничена, то ее члены, возрастая и не превосходя числа С, должны, очевидно, неограниченно приближаться к некоторому числу (рис. 11.3). Не доказывая этого факта, ограничимся его точной формулировкой.

Теорема (достаточный признак существования предела последовательности). Всякая возрастающая ограниченная последовательность имеет предел

В качестве примера на применение этого признака рассмотрим последовательность, общий член которой Покажем, что эта последовательность возрастает и ограничена.

По формуле бинома Ньютона имеем, полагая (см. сноску на стр. 184):

Замечая, что

С увеличением дроби, уменьшаются, а разности увеличиваются. Поэтому с увеличением и т. д. члены разложения увеличиваются. Кроме того, с увеличением добавляются новые положительные слагаемые. Поэтому с увеличением возрастает. Итак, последовательность - возрастающая. Покажем, что ока ограничена.

Если в разложении для у каждого слагаемого отбросить в скобках дроби то каждое слагаемое увеличится, и мы получим сумму, большую первоначальной:

Сумму найдем формуле суммы членов геометрической прогрессии:.

Решение. Положим . При . Следовательно,

В заключение отметим, что часто приходится рассматривать показательную функцию с основанием

И , а также во многих других разделах .

Поскольку функция интегрируется и дифференцируется «в саму себя», логарифмы именно по основанию e принимаются как .

- - - - - - - - - e - -

Система счисления

Оценка числа

10,101101111110000101010001011001…

2,7182818284590452353602874713527…

2,B7E151628AED2A6A…

2; 43 05 48 52 29 48 35 …

8 / 3 ; 11 / 4 ; 19 / 7 ; 87 / 32 ; 106 / 39 ; 193 / 71 ; 1264 / 465 ; 2721 / 1001 ; 23225 / 8544

(перечислено в порядке увеличения точности)

(Эта непрерывная дробь не . Записана в линейной нотации)

2,7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 4709369995 9574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274 2746639193 2003059921 8174135966 2904357290 0334295260 5956307381 3232862794 3490763233 8298807531 9525101901 1573834187 9307021540 8914993488 4167509244 7614606680 8226480016 8477411853 7423454424 3710753907 7744992069 5517027618 3860626133 1384583000 7520449338 2656029760 6737113200 7093287091 2744374704 7230696977 2093101416 9283681902 5515108657 4637721112 5238978442 5056953696 7707854499 6996794686 4454905987 9316368892 3009879312 7736178215 4249992295 7635148220 8269895193 6680331825 2886939849 6465105820 9392398294 8879332036 2509443117 3012381970 6841614039 7019837679 3206832823 7646480429 5311802328 7825098194 5581530175 6717361332 0698112509 9618188159 3041690351 5988885193 4580727386 6738589422 8792284998 9208680582 5749279610 4841984443 6346324496 8487560233 6248270419 7862320900 2160990235 3043699418 4914631409 3431738143 6405462531 5209618369 0888707016 7683964243 7814059271 4563549061 3031072085 1038375051 0115747704 1718986106 8739696552 1267154688 9570350354

Первые 1000 знаков после запятой числа e

(последовательность в )

Способы определения

Число e может быть определено несколькими способами.

Через предел:

(второй ).

(формула Стирлинга).

Как :

или .

Как единственное число a , для которого выполняется

Как единственное положительное число a , для которого верно

Свойства

Доказательство иррациональности

Предположим, что рационально. Тогда , где - целое, а - натуральное.

Следовательно

Умножая обе части уравнения на , получаем

Переносим в левую часть:

Все слагаемые правой части целые, следовательно, и сумма в левой части - целая. Но эта сумма и положительна, значит, она не меньше 1.

С другой стороны,

Суммируя геометрическую прогрессию в правой части, получаем:

Поскольку ,

Получаем противоречие.

предел

Для любого z верны следующие равенства:

Число e разлагается в бесконечную следующим образом:

То есть

Или эквивалентным ему:

Для быстрого вычисления большого числа знаков удобнее использовать другое разложение:

Представление через :

Через

Числа e равна 2 (что есть наименьшее возможное значение для иррациональных чисел).

История

Данное число иногда называют неперовым в честь шотландского учёного , автора работы «Описание удивительной таблицы логарифмов» (). Однако это название не совсем корректно, так как у него логарифм числа x был равен .

Впервые константа негласно присутствует в приложении к переводу на английский язык вышеупомянутой работы Непера, опубликованному в . Негласно, потому что там содержится только таблица натуральных логарифмов, определённых из кинематических соображений, сама же константа не присутствует.

Саму же константу впервые вычислил швейцарский математик в ходе решения задачи о предельной величине . Он обнаружил, что если исходная сумма $1 и начисляется 100 % годовых один раз в конце года, то итоговая сумма будет $2. Но если те же самые проценты начислять два раза в год, то $1 умножается на 1.5 дважды, получая $1.00×1.5² = $2.25. Начисления процентов раз в квартал приводит к $1.00×1.25 4 = $2.44140625, и так далее. Бернулли показал, что если частоту начисления процентов бесконечно увеличивать, то процентный доход в случае имеет : и этот предел равен 2,71828…

$1.00×(1+1/12) 12 = $2.613035…

$1.00×(1+1/365) 365 = $2.714568…

Таким образом, константа e означает максимально возможную годовую прибыль при 100 % годовых и максимальной частоте .

Первое известное использование этой константы, где она обозначалась буквой b , встречается в письмах , - .

Букву e начал использовать Эйлер в , впервые она встречается в письме Эйлера немецкому математику от 25 ноября 1731 года, а первой публикацией с этой буквой была его работа «Механика, или Наука о движении, изложенная аналитически», . Соответственно, e обычно называют числом Эйлера . Хотя впоследствии некоторые учёные использовали букву c , буква e применялась чаще и в наши дни является стандартным обозначением.

Почему была выбрана именно буква e , точно неизвестно. Возможно, это связано с тем, что с неё начинается слово exponential («показательный», «экспоненциальный»). Другое предположение заключается в том, что буквы a , b , c и d уже довольно широко использовались в иных целях, и e была первой «свободной» буквой. Также примечательно, что буква e является первой в фамилии Эйлер (Euler).

Приближения

Число можно запомнить как 2, 7 и повторяющиеся 18, 28, 18, 28.

Мнемоническое правило: два и семь, далее два раза год рождения (), затем углы равнобедренного (45, 90 и 45 градусов). Стихотворная мнемофраза, иллюстрирующая часть этого правила: «Экспоненту помнить способ есть простой: два и семь десятых, дважды Лев Толстой»

Мнемоническое стихотворение, позволяющее запомнить первые 12 знаков после запятой (длины слов кодируют цифры числа e): Мы порхали и блистали, / Но застряли в перевале: / Не признали наши крали / Авторалли .

Правила e связывается с президентом : 2 - столько раз избирался, 7 - он был седьмым президентом США, - год его избрания, повторяется дважды, поскольку Джексон дважды избирался. Затем - равнобедренный прямоугольный треугольник.

С точностью до трёх знаков после запятой через « »: нужно разделить 666 на число, составленное из цифр 6−4, 6−2, 6−1 (три шестёрки, из которых в обратном порядке удаляются три первые степени двойки): .

Запоминание e как (с точностью менее 0.001).

Грубое (с до 0,001) приближение полагает e равным . Совсем грубое (с точностью 0,01) приближение даётся выражением .

Все знают геометрический смысл числа π - это длина окружности с единичным диаметром:

А вот смысл другой важной константы, e , имеет свойство быстро забываться. То есть, не знаю, как вам, а мне каждый раз стоит усилий вспомнить, чем же так замечательно это число, равное 2,7182818284590... (значение я, однако, по памяти записал). Поэтому я решил написать заметку, чтобы больше из памяти не вылетало.

Число e по определению - предел функции y = (1 + 1 / x ) x при x → ∞:

Это определение, к сожалению, не наглядно. Непонятно, чем замечателен этот предел (несмотря на то, что он называется «вторым замечательным»). Подумаешь, взяли какую-то неуклюжую функцию, посчитали предел. У другой функции другой будет.

Но число e почему-то всплывает в целой куче самых разных ситуаций в математике.

Для меня главный смысл числа e раскрывается в поведении другой, куда более интересной функции, y = k x . Эта функция обладает уникальным свойством при k = e , которое можно показать графически так:

В точке 0 функция принимает значение e 0 = 1. Если провести касательную в точке x = 0, то она пройдёт к оси абсцисс под углом с тангенсом 1 (в жёлтом треугольнике отношение противолежащего катета 1 к прилежащему 1 равно 1). В точке 1 функция принимает значение e 1 = e . Если провести касательную в точке x = 1, то она пройдёт под углом с тангенсом e (в зелёном треугольнике отношение противолежащего катета e к прилежащему 1 равно e ). В точке 2 значение e 2 функции снова совпадает с тангенсом угла наклона касательной к ней. Из-за этого, заодно, сами касательные пересекают ось абсцисс ровно в точках −1, 0, 1, 2 и т. д.

Среди всех функций y = k x (например, 2 x , 10 x , π x и т. д.), функция e x - единственная обладает такой красотой, что тангенс угла её наклона в каждой её точке совпадает со значением самой функции. Значит по определению значение этой функции в каждой точке совпадает со значением её производной в этой точке: (e x )´ = e x . Почему-то именно число e = 2,7182818284590... нужно возводить в разные степени, чтобы получилась такая картинка.

Именно в этом, на мой вкус, состоит его смысл.

Числа π и e входят в мою любимую формулу - формулу Эйлера, которая связывает 5 самых главных констант - ноль, единицу, мнимую единицу i и, собственно, числа π и е :

e iπ + 1 = 0

Почему число 2,7182818284590... в комплексной степени 3,1415926535...i вдруг равно минус единице? Ответ на этот вопрос выходит за рамки заметки и мог бы составить содержание небольшой книги, которая потребует некоторого начального понимания тригонометрии, пределов и рядов.

Меня всегда поражала красота этой формулы. Возможно, в математике есть и более удивительные факты, но для моего уровня (тройка в физико-математическом лицее и пятёрка за комплексный анализ в универе) это самое главное чудо.

Экспоненту обозначают так , или .

Число e

Основанием степени экспоненты является число e . Это иррациональное число. Оно примерно равно
е ≈ 2,718281828459045...

Число e определяется через предел последовательности. Это, так называемый, второй замечательный предел :
.

Также число e можно представить в виде ряда:
.

График экспоненты

График экспоненты, y = e x .

На графике представлена экспонента, е в степени х .
y(x) = е х
На графике видно, что экспонента монотонно возрастает.

Формулы

Основные формулы такие же, как и для показательной функции с основанием степени е .

;
;
;

Выражение показательной функции с произвольным основанием степени a через экспоненту:
.

Частные значения

Пусть y(x) = e x . Тогда
.

Свойства экспоненты

Экспонента обладает свойствами показательной функции с основанием степени е > 1 .

Область определения, множество значений

Экспонента y(x) = e x определена для всех x .
Ее область определения:
- ∞ < x + ∞ .
Ее множество значений:
0 < y < + ∞ .

Экстремумы, возрастание, убывание

Экспонента является монотонно возрастающей функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные ее свойства представлены в таблице.

Обратная функция

Обратной для экспоненты является натуральный логарифм .
;
.

Производная экспоненты

Производная е в степени х равна е в степени х :
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >

Интеграл

Комплексные числа

Действия с комплексными числами осуществляются при помощи формулы Эйлера :
,
где есть мнимая единица:
.

Выражения через гиперболические функции

; ;
.

Выражения через тригонометрические функции

; ;
;
.

Разложение в степенной ряд

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Число «е» – одна из важнейших математических констант, о которой каждый слышал на школьных уроках математики. Concepture публикует популярное изложение, написанное гуманитарием для гуманитариев, в котором доступным языком расскажет зачем и почему существует число Эйлера.

Что общего у наших денег и числа Эйлера?

В то время как у числа π (пи) есть вполне определенный геометрический смысл и его использовали еще древние математики, то число е (число Эйлера) заняло свое заслуженное место в науке сравнительно недавно и корни его уходят прямиком… к финансовым вопросам.

С момента изобретения денег прошло совсем немного времени, когда люди догадались, что валюту можно одалживать или ссужать под определенный процент. Естественно, «древние» бизнесмены не пользовались привычным нам понятием «процент», но увеличение суммы на какой-то определенный показатель за установленный период времени было им знакомо.

На фото: банкнота стоимостью 10 франков с изображением Леонарда Эйлера (1707-1783).

Мы не будем углубляться в пример с 20% годовых, так как от него добираться до числа Эйлера слишком долго. Воспользуемся самым распространенным и наглядным объяснением значения этой константы, а для этого нам придется немного пофантазировать и вообразить, что какой-то банк предлагает нам положить деньги на депозит под 100% годовых.

Мысленно-финансовый эксперимент

Для этого мысленного эксперимента можно взять любую сумму и результат всегда будет идентичным, но именно начиная с 1, мы сможем прийти непосредственно к первому приближенному значению числа е . Потому, допустим, что мы вкладываем в банк 1 доллар, при ставке 100% годовых в конце года у нас будет 2 доллара.

Но это только если проценты капитализируются (прибавляются) раз в год. А что если они будут капитализироваться два раза в год? То есть будет начисляться по 50% каждые полгода, причем вторые 50% будут начисляться уже не от начальной суммы, а от суммы, увеличенной на первые 50%. Будет ли это выгоднее для нас?

Наглядная инфографика, отображающая геометрический смысл числа π .

Разумеется, будет. При капитализации два раза в год, спустя полгода у нас будет 1,50 доллара на счете. К концу года прибавится еще 50% от 1,50 доллара, то есть общая сумма составит 2,25 доллара. Что же будет, если капитализацию проводить каждый месяц?

Нам будут начислять по 100/12% (то есть, примерно по 8,(3)%) каждый месяц, что окажется еще более выгодным - к концу года у нас будет 2,61 доллара. Общая формула для вычисления итоговой суммы при произвольном количестве капитализаций (n) в год выглядит так:

Итоговая сумма = 1(1+1/n) n

Получается, при значении n = 365 (то есть, если наши проценты будут капитализироваться каждый день), мы получим вот такую формулу: 1(1+1/365) 365 = 2,71 доллара. Из учебников и справочников мы знаем, что е приблизительно равно 2,71828, то есть, рассматривая ежедневную капитализацию нашего сказочного вклада мы уже подошли к приблизительному значению е, которое уже достаточно для многих вычислений.

Рост n можно продолжать бесконечно и чем больше будет его значение, тем точнее мы сможем вычислить число Эйлера, вплоть до необходимого нам, по какой-либо причине, знака после запятой.

Это правило, конечно, не ограничивается только нашими финансовыми интересами. Математические константы далеко не «узкие специалисты» - они действуют одинаково хорошо вне зависимости от области применения. Поэтому хорошенько покопавшись, можно обнаружить их практически в любой сфере жизни.

Получается, число е что-то вроде меры всех изменений и «натуральный язык математического анализа». Ведь «матан» крепко повязан с понятиями дифференцирования и интегрирования, а обе эти операции имеют дело с бесконечно малыми изменениями, которые так великолепно характеризует число е .

Уникальные свойства числа Эйлера

Рассмотрев самый доходчивый пример объяснения построения одной из формул для вычисления числа е , кратко рассмотрим еще пару вопросов, которые к нему напрямую относятся. И один из них: что же такого уникального в числе Эйлера?

По идее, абсолютно любая математическая константа уникальна и у каждой есть своя история, но, согласитесь, претензия на звание натурального языка математического анализа - довольно весомая претензия.

Первая тысяча значений ϕ (n) для функции Эйлера.

Однако, у числа е есть на то основания. При построении графика функции y = e x выясняется поразительный факт: не только y равен e x , этому же показателю равен градиент кривой и площадь под кривой. То есть площадь под кривой от определенного значения y до минус бесконечности.

Никакое другое число этим похвастаться не может. Нам, гуманитариям (ну, или просто НЕ математикам), такое заявление мало что говорит, но сами математики утверждают, что это очень важно. Почему важно? Мы попробуем разобраться в этом вопросе в другой раз.

Логарифм, как предпосылка Числа Эйлера

Возможно, кто-то помнит со школы, что число Эйлера - это также основание натурального логарифма. Что ж, это согласуется с его природой, как меры всех изменений. Все-таки, причем же тут Эйлер? Справедливости ради нужно отметить, что е также иногда называется числом Непера, но без Эйлера история будет неполной, как и без упоминания о логарифмах.

Изобретение в XVII веке логарифмов шотландским математиком Джоном Непером стало одним из важнейших событий истории математики. На праздновании в честь юбилея этого события, которое прошло в 1914 году Лорд Мултон (Lord Moulton) так отозвался о нем:

«Изобретение логарифмов было для научного мира как гром среди ясного неба. Никакая предшествующая работа не вела к нему, не предсказывала и не обещала это открытие. Оно стоит особняком, оно прорывается из человеческой мысли внезапно, не заимствуя ничего из работы других разумов и не следуя уже известным тогда направлениям математической мысли».

Пьер-Симон Лаплас, знаменитый французский математик и астроном, еще более драматично выразил важность этого открытия: «Изобретение логарифмов, уменьшив часы кропотливого труда, вдвое увеличило жизнь астронома». Что же так впечатлило Лапласа? А причина очень проста - логарифмы позволили ученым в разы уменьшить время, обычно затрачиваемое для громоздких вычислений.

В общем и целом, логарифмы упрощали вычисления - опускали их на один уровень ниже по шкале сложности. Проще говоря, вместо умножения и деления приходилось совершать операции сложения и вычитания. А это намного эффективнее.

е - основание натурального логарифма

Давайте примем за данность тот факт, что Непер был первопроходцем в сфере логарифмов - их изобретателем. По крайней мере, он опубликовал свои открытия первым. В таком случае возникает вопрос: в чем заслуга Эйлера?

Все просто - его можно назвать идейным наследником Непера и человеком, который довел дело жизни шотландского ученного до логарифмического (читать логического) завершения. Интересное такое вообще возможно?

Какой-то очень важный график построенный при помощи натурального логорифма.

Если говорить конкретнее, то Эйлер вывел основание натурального логарифма, теперь известное как число е или число Эйлера. Кроме этого, он вписал свое имя в историю науки столько раз, сколько и не снилось Васе, который, кажется, успел «побывать» везде.

К сожалению, конкретно принципы работы с логарифмами - это тема отдельной большой статьи. Поэтому пока будет достаточно сказать, что благодаря работе ряда самоотверженных ученых, которые, буквально, посвятили годы своей жизни составлению логарифмических таблиц в те времена, когда никто и слыхом не слыхивал о калькуляторах, прогресс науки сильно ускорился.

На фото: Джон Непер - шотландский математик, изобретатель логарифма (1550—1617.)

Забавно, но этот прогресс, в конце концов, привел к выходу из употребления данных таблиц, а причиной тому послужило именно появление ручных калькуляторов, которые полностью переняли на себя задачу по выполнению такого рода вычислений.

Возможно, вы еще слышали о логарифмических линейках? Когда-то без них инженерам или математикам бывало не обойтись, а сейчас это почти как астролябия - интересный инструмент, но скорее в плане истории науки, чем повседневной практики.

Почему так важно быть основанием логарифма?

Оказывается, основанием логарифма может быть любое число (например, 2 или 10), но, именно благодаря уникальным свойствам числа Эйлера логарифм по основанию е называется натуральным. Он как бы встроен в структуру реальности - от него никуда не убежать, да и не нужно, ведь он значительно упрощает жизнь ученым, работающим в самых разных областях.

Приведем доходчивое объяснение природы логарифма с сайта Павла Бердова . Логарифм по основанию a от аргумента x - это степень, в которую надо возвести число a, чтобы получить число x. Графически это обозначается так:

log a x = b, где a - основание, x - аргумент, b - это то, чему равен логарифм.

Например, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (логарифм по основанию 2 от числа 8 равен 3-м, поскольку 2 3 = 8).

Выше мы видели число 2 в образе основания логарифма, но математики говорят, что самый талантливый актер на эту роль - число Эйлера. Поверим им на слово… А потом проверим, чтобы убедиться самим.

Выводы

Наверное, плохо, что в рамках высшего образования так сильно разделены естественные и гуманитарные науки. Иногда это приводит к слишком сильному «перекосу» и получается так, что с человеком, прекрасно разбирающимся, допустим, в физике и математике, абсолютно неинтересно говорить на другие темы.

И наоборот, можно быть первоклассным специалистом-литературоведом, но, в то же время, быть совершенно беспомощным, когда речь заходит о той же физике и математике. А ведь все науки интересны по-своему.

Надеемся, что мы, пытаясь преодолеть свою собственную ограниченность в рамках импровизированной программы «я - гуманитарий, но я лечусь», помогли и вам узнать и, главное, понять, что-то новое из не совсем привычной научной сферы.

Ну а тем, кто захочет поподробнее узнать о числе Эйлера, можем порекомендовать несколько источников, в которых может при желании разобраться даже далекий от математики человек: Эли Маор в своей книге «е: история одного числа» («e: the story of a number») подробно и доступно описывает предысторию и историю числа Эйлера.

Также, в разделе «Рекомендуем« под этой статьей Вы сможете название youtube-каналов и видео, которые были сняты профессиональными математиками, пытающимися доходчиво объяснить число Эйлера так, чтобы это было понятно даже не специалистам Русские субтитры в наличие.