Вопрос выпуклые множества точек и их свойства. Выпуклые множества точек

При исследовании экономических явлений математическими методами весьма значительным оказывается такое свойство многих множеств и функций, как выпуклость. Характер поведения многих экономических объектов связан с тем, что определенные зависимости, описывающие эти объекты, являются выпуклыми.

С выпуклостью функций и множеств часто связано существование или единственность решения экономических задач: на этом же свойстве основаны многие вычислительные алгоритмы.

Справедливость многих утверждений, относящихся к выпуклым множествам и функциям, совершенно ясна, они почти очевидны. В то же время их доказательство зачастую очень сложно. Поэтому здесь будут изложены некоторые основные факты, связанные с выпуклостью, без доказательств, в расчете на их интуитивную убедительность.

Выпуклые множества на плоскости .

Любая геометрическая фигура на плоскости может рассматриваться как множество точек, принадлежащих этой фигуре. Одни множества (например, круг, прямоугольник, полоса между параллельными прямыми) содержат и внутренние, и граничные точки; другие (например, отрезок, окружность) состоят только из граничных точек.

Множество точек на плоскости называется выпуклым, если оно обладает следующим свойством: отрезок, соединяющий любые две точки этого множества, целиком содержится в этом множестве.

Примерами выпуклых множеств являются: треугольник, отрезок, полуплоскость (часть плоскости, лежащая по одну сторону от какой-либо прямой), вся плоскость.

Множество, состоящее из одной-единственной точки, и пустое множество, не содержащее ни одной точки, по принятому соглашению, также считаются выпуклыми. Во всяком случае, в этих множествах невозможно провести отрезок, соединяющий какие-то точки этих множеств и не принадлежащий этим множествам целиком, - в них вообще невозможно выбрать две точки. Поэтому их включение в число выпуклых множеств не приведет к противоречию с определением, а для математических рассуждений этого достаточно.

Пересечение, т. е. общая часть двух выпуклых множеств, всегда выпукло: взяв любые две точки пересечения (а они - общие, т. е. принадлежат каждому из пересекающихся множеств) и соединив их отрезком, мы легко убеждаемся в том, что все точки отрезка являются общими для обоих множеств, так как каждое из них выпукло. Выпуклым будет и пересечение любого числа выпуклых множеств.

Важным свойством выпуклых множеств является их отделимость: если два выпуклых множества не имеют общих внутренних точек, то плоскость можно разрезать по прямой таким образом, что одно из множеств будет целиком лежать в одной полуплоскости, а другое - в другой (на линии разреза могут располагаться точки обоих множеств). Отделяющая их прямая в одних случаях оказывается единственно возможной, в других - нет.

Граничная точка любого выпуклого множества сама может рассматриваться как выпуклое множество, не имеющее с исходным множеством общих внутренних точек, следовательно, она может быть отделена от него некоторой прямой. Прямая, отделяющая от выпуклого множества его граничную точку, называется опорной прямой этого множества в данной точке. Опорные прямые в одних точках контура могут быть единственными, в других - не единственными.

Введем на плоскости систему декартовых координат х, у. Теперь у нас появилась возможность рассматривать различные фигуры как множества таких точек, координаты которых удовлетворяют тем или иным уравнениям или неравенствам (если координаты точки удовлетворяют какому-либо условию, будем для краткости говорить, что сама точка удовлетворяет этому условию).

Пусть х , у , z – элементы n -мерного действительного евклидова пространства Будем называть их также векторами или точками пространства

Определение . Отрезком, соединяющим точки x и y , называется множество точек вида

Определение . Множество точек называется выпуклым множеством , если отрезок, соединяющий любые две точки входит в множество M , то есть

Например, выпуклыми множествами являются точка, отрезок, пространство открытый и замкнутый параллелепипед, открытый и замкнутый шар. Пустое множество не является выпуклым.

Теорема . Непустое пересечение любого числа выпуклых множеств является выпуклым множеством.

Доказательство . Пусть - выпуклые множества, и точки x , y принадлежат всем этим множествам одновременно поэтому Точка по определению выпуклого множества принадлежит всем множествам одновременно. Таким образом, для любых двух точек точки принадлежат множеству M . Поэтому по определению М – выпуклое множество.

Определение . Гиперплоскостью в называется множество точек

где a – n -мерный направляющий вектор , круглые скобки обозначают скалярное произведение действительное число с называется свободным членом.

Замечания . 1) Гиперплоскость является выпуклым множеством. Действительно, пусть Тогда для любого точка принадлежит G , так как

2) Направляющий вектор a ортогонален гиперплоскости, то есть для любого вектора z = x – y , соединяющего две произвольные несовпадающие точки гиперплоскости (a , z ) = 0. Действительно,

(a , z ) = (a , x ) – (a , y ) = c – c = 0.

Определение . Множество точек вида

называется полупространством в

Направление неравенства в определении можно взять и противоположным.

Замечание . Полупространство является выпуклым множеством. Действительно, пусть Тогда для любого точка принадлежит S , так как

Определение . Непустое пересечение конечного числа полупространств называется выпуклым многогранником .

Применение термина выпуклый многогранник объясняется тем, что полупространство – выпуклое множество, а непустое пересечение конечного числа выпуклых множеств есть выпуклое множество.

Определение . Множество вида

называется положительным ортантом .

Положительный ортант есть выпуклый многогранник. Действительно, неравенство можно интерпретировать как систему неравенств

Определение . Пусть выпуклый многогранник G задан системой неравенств

где - направляющие векторы, k > n . Если точка обращает в равенства не менее n неравенств, причем ранг соответствующей системы векторов равен n , то точка у называется угловой (или крайней) точкой многогранника.

Отметим, что число угловых точек выпуклого многогранника может быть (в зависимости от n и k ) очень большим. Так, при n = 10, k = 20 это число может быть сравнимо с 10 11 .

Замечание . Так как равенство вида

можно заменить системой двух неравенств

то если в определении часть неравенств (или все неравенства) заменить соответствующими равенствами, то получающаяся система условий также определяет выпуклый многогранник.

Напомним определение часто используемого выпуклого множества.

Определение . ε – окрестностью точки называется открытый шар

Очевидно, ε – окрестность точки есть выпуклое множество.

Определение . Точка x называется граничной точкой множества , если ε -окрестность содержит точки, принадлежащие множеству X и точки, не принадлежащие множеству X .

Определение . Точка x называется внутренней точкой множества , если найдется , что ε -окрестность целиком лежит внутри множества X .

Замечание . Граничная точка может и не принадлежать множеству X . Например, для множестваОпределение . Множество Х называется ограниченным , если его диаметр является конечным числом.

Определение . Конусом называется такое множество, что из следует, что .

Замечание . Из определения следует, что конус содержит нулевую точку х = 0. Конус является неограниченным множеством (за исключением вырожденного случая, когда конус содержит всего лишь одну точку х = 0). Конус может быть как замкнутым, так и незамкнутым множеством.

Определение . Компактом называется замкнутое ограниченное множество.

Замечание . Замкнутые ограниченные множества представляют особый интерес в связи с теоремой Вейерштрасса, которая утверждает, что непрерывная функция на замкнутом ограниченном множестве (компакте) достигает своего наибольшего и наименьшего значений.

Задача линейного программирования - это нахождение минимума линейной функции f: n > 1 , заданной на некотором замкнутом выпуклом множестве, выделенном линейными неравенствами.

Общая задача линейного программирования имеет вид:

Дана система m линейных уравнений и неравенств с n переменными

и линейная функция F = c 1 x 1 + c 2 x 2 +… + c n x n min (max)

Система (1) называется системой ограничений, а функция F - линейной функцией, линейной формой, целевой функцией или функцией цели.

Более кратко общую задачу линейного программирования можно представить в виде:

x={x|Axb, A=, b=( T )}

Задачу линейного программирования записывают и в других формах - канонической и нормальной. Канонической задачей - обозначение Зк, назовем такую:

x={x|Axb, ?0, j=)}

Нормальной задачей - обозначение Зн, назовем такую

x={x|Axb, ?0, j=)}

Выпуклые множества и функции

Определение выпуклого множества: множество - - выпуклое, если вместе с любыми двумя точками множеству принадлежат все точки отрезка, соединяющего в пространстве точку с точкой.

На следующем рисунке изображены два множества на плоскости: одно выпуклое, а другое нет.

Рис. 1

Выпуклыми в пространстве являются, например, такие множества: всё пространство, его положительный октант и неотрицательный октант, любой шар, как открытый, так и замкнутый, любая гиперплоскость (заданная некоторым уравнением вида, а также открытое и замкнутое полупространства, заданные, соответственно, условиями и.

Среди точек выпуклого множества можно выделить внутренние, граничные и угловые точки.

Точка множества называется внутренней , если в некоторой ее окрестности содержатся точки только данного множества.

Точка множества называется граничной , если в любой ее окрестности содержатся как точки, принадлежащие данному множеству, так и точки, не принадлежащие ему.

Особый интерес в задачах линейного программирования представляют угловые точки. Точка множества называется угловой (или крайней), если она не является внутренней ни для какого отрезка, целиком принадлежащего данному множеству.

На рис. приведены примеры различных точек многоугольника: внутренней (точки М), граничной (точка N) и угловых (точки А, В, С, D, Е). Точка А - угловая, так как для любого отрезка, целиком принадлежащего многоугольнику, например, отрезка АР, она не является внутренней; точка А - внутренняя для отрезка KL, но этот отрезок не принадлежит целиком многоугольнику.

Для выпуклого множества угловые точки всегда совпадают с вершинами многоугольника (многогранника), в то же время для невыпуклого множества это не обязательно. Множество точек называется замкнутым, если включает все свои граничные точки. Множество точек называется ограниченным , если существует шар (круг) радиуса конечной длины с центром в любой точке множества, который полностью содержит в себе данное множество; в противном случае множество называется неограниченным. Выпуклое замкнутое множество точек плоскости, имеющее конечное число угловых точек, называется выпуклым многоугольником, если оно ограниченное, и выпуклой многоугольной областью, если оно неограниченное.

Функция f: называется выпуклой, если ее надграфик epi f= является выпуклым множеством. На рисунке изображена выпуклая функция, её график выделен синим и надграфик закрашен зеленым.

Функция f: называется замкнутой, если ее надграфик - замкнутое множество.

Геометрический смысл решений неравенств, уравнений и их систем

Рассмотрим решения неравенств.

Утверждение 1. Множество решений неравенства с двумя переменными a11x1+a12x2<=b1 является одной из двух полуплоскостей, на которые вся плоскость делится прямой a11x1+a12x2=b1, включая и эту прямую, а другая полуплоскость с той же прямой есть множество решений неравенства a11x1+a12x2>=b1.

Для определения искомой полуплоскости (верхней или нижней) рекомендуется задать произвольную контрольную точку, не лежащую на ее границе - построенной прямой. Если неравенство выполняется в контрольной точке, то оно выполняется и во всех точках полуплоскости, содержащей контрольную точку, и не выполняется во всех точках другой полуплоскости. И наоборот, в случае невыполнения неравенства в контрольной точке, оно не выполняется во всех точках полуплоскости, содержащей контрольную точку, и выполняется во всех точках другой полуплоскости. В качестве контрольной точки удобно взять начало координат О (0; 0), не лежащее на построенной прямой.

Рассмотрим множество решений систем неравенств.

Утверждение 2. Множество решений совместной системы т линейных неравенств с двумя переменными является выпуклым многоугольником (или выпуклой многоугольной областью).

Каждое из неравенств в соответствии с утверждением 1 определяет одну из полуплоскостей, являющуюся выпуклым множеством точек. Множеством решений совместной системы линейных неравенств служат точки, которые принадлежат полуплоскостям решений всех неравенств, т.е. принадлежат их пересечению. Согласно утверждению о пересечении выпуклых множеств это множество является выпуклым и содержит конечное число угловых точек, т.е. является выпуклым многоугольником (выпуклой многоугольной областью).

Координаты угловых точек - вершин многоугольника находят как координаты точек пересечения соответствующих прямых.

При построении областей решений систем неравенств могут встретиться и другие случаи: множество решений - выпуклая многоугольная область (рис. а); одна точка (рис. б); пустое множество, когда система неравенств несовместна (рис. в).

Определение понятия двойственности с помощью преобразования Лежандра

Пусть f:. Функция f*: определенная равенством f*(x*)==(x*), называется сопряженной функцией к f, а функция f**: определенная по правилу f**(x*)==(x*), называется второй сопряженной функцией к f.

Отображение f* (x*) =< x*, x> ? f(x) называется преобразованием Лежандра.

Обычный прием построения двойственной задачи состоит в следующем. Задача минимизации

где X - линейное пространство, включается в класс подобных ей задач, зависящих от параметра:

где Y - некоторое другое линейное пространство, F (x, 0)=f(x) (функцию F называют возмущением f). Обычно F предполагается выпуклой. Двойственной к задаче по отношению к данному возмущению наз. задача

где F* - функция, двойственная (сопряженная) с F в смысле Лежандра - Юнга - Фенхеля. Такая двойственность позволяет связать с каждой выпуклой функцией f: X-> R двойственный объект - сопряженную функцию, заданную на сопряженном пространстве X* и определяемую формулой

Для простейших задач выпуклого программирования типа

где X - линейное пространство, выпуклые функции на X, В-выпуклое множество в X (частными случаями (3) являются задачи линейного программирования), обычно применяются следующие стандартные возмущения, зависящие от параметров y=(у 1 ,…, y m), m, Теоремы двойственности для общих классов задач выпуклого программирования утверждают, что при некоторых допущениях на возмущение F значения задач (2) и (2*) совпадают, и более того, решение одной из задач является множителем Лагранжа для другой.

Выпуклое множество - подмножество евклидова пространства содержащей отрезок, соединяющий любые какие две точки этой множества.

Определение

Другими словами, множество называется выпуклой, если:

То есть, если множество X вместе с любыми двумя точками, которые принадлежат этому множеству, содержит отрезок, их соединяющий:

В пространстве выпуклыми множествами будут прямая, полупрямой, отрезок, интервал, одноточечный множество.

В пространстве выпуклым будет само пространство, любое его линейный подпространство, шар, отрезок, одноточечный множество. Также, выпуклыми будут такие множества:

• гиперплоскости H p? с нормалью p :

• полупространства на которые гиперплоскости разделяет пространство:

Все перечисленные множества (кроме пули) является частным случаем выпуклой множества полиэдры.

Свойства выпуклых множеств

• Пересечение выпуклых множеств является выпуклым.
• Линейная комбинация точек выпуклой множества выпуклая.
• Выпуклая множество содержит любую выпуклую комбинацию своих точек.
• Любую точку n -мерного евклидова пространства с выпуклой оболочки множества можно представить как выпуклую комбинацию не более n +1 точек этого множества

Рассмотрим n - мерное евклидово пространство и пусть  точка в этом пространстве.

Рассмотрим две точки и , принадлежащие .Множество точек , которые могут быть представлены в виде

(в координатах это записывается так:

отрезком , соединяющим точки и . Сами точки и называются концами отрезка . В случаях n =2 и n =3 это  отрезок в обычном понимании этого слова на плоскости или в пространстве (см. рис. 12). Заметим, что при  =0 , а при  =1 , т.е. при  =0 и  =1 получаются концы отрезка.

где все и называется выпуклой комбинацией точек .

Пусть есть некоторая область в пространстве (другими словами,

Определение. Множество (область) называется выпуклым , если из того, что и следует, что для   . Другими словами, G  выпуклое множество, если оно, вместе с любыми двумя своими точками, содержит в себе отрезок, соединяющий эти точки.

На этих рисунках "а" и "б" - выпуклые множества, а "в" не является выпуклым множеством, так как в нём есть такая пара точек, что соединяющий их отрезок не весь принадлежит этому множеству.

Теорема 1. Пусть G  выпуклое множество. Тогда любая выпуклая комбинация точек, принадлежащих этому множеству, также принадлежит этому множеству.

Доказательство

Докажем теорему методом математической индукции. При k =2 теорема верна, так как она просто переходит в определение выпуклого множества.

Пусть теорема верна для некоторого k . Возьмём точку и рассмотрим выпуклую комбинацию

Теорема доказана.

Теорема 2. Допустимая область задачи линейного программирования является выпуклым множеством.

Доказательство.

1. В стандартной форме в матричных обозначениях допустимая область G определяется условием

Т.е. x принадлежит G и, следовательно, выпукло.

2. В канонической форме область G определена условиями

Пусть и принадлежат G, т.е.

.

т.е. и, следовательно, G выпукло. Теорема доказана.

Таким образом, допустимая область в задаче линейного программирования является выпуклым множеством. По аналогии с двумерным или трехмерным случаями, при любом n эту область называют выпуклым

Теорема 3. Множество оптимальных планов задачи линейного программирования выпукло (если оно не пусто).

Доказательство

Если решение задачи линейного программирования единственно, то оно выпукло по определению  точка считается выпуклым множеством Пусть теперь и два оптимальных плана задачи линейного программирования.

т.е. есть также оптимальный план и, в силу этого, множество оптимальный планов выпукло. Теорема доказана.

Теорема 4. Для того, чтобы задача линейного программирования имела решение, необходимо и достаточно, чтобы целевая функция на допустимом множестве была ограничена сверху (при решении задачи на максимум) или снизу (при решении задачи на минимум).

Эту теорему мы даем без доказательства.

III. Выпуклые множества и функции 569

3. Все функции одной переменной с постоянной эластичность ю имеют вид (8) (воспользоваться равенством (4)).

4. Функции нескольких переменных с постоянными частными эластичностями - это степенные функции вида

y = Ax1 B 1 x2 B 2 ,...,xN B N .

III. Выпуклые множества и функции

При исследовании экономических явлений математическими методами весьма значительным оказывается такое свойство м ногих множеств и функций, как выпуклость. Характер поведения мн огих экономических объектов связан с тем. что определенные зав исимости, описывающие эти объекты, являются выпуклыми. С выпукл о- стью функций и множеств часто связано существование или е динственность решения экономических задач: на этом же свойст ве основаны многие вычислительные алгоритмы.

Справедливость многих утверждений, относящихся к выпукл ым множествам и функциям, совершенно ясна, они почти очевидн ы. В то же время их доказательство зачастую очень сложно. Поэтому здесь будут изложены некоторые основные факты, связанные с выпу клостью, без доказательств, в расчете на их интуитивную убедит ельность.

1. Выпуклые множества на плоскости

Любая геометрическая фигура на плоскости может рассматр иваться как множество точек, принадлежащих этой фигуре. Одни множества (например, круг, прямоугольник, полоса между параллел ьными прямыми) содержат и внутренние, и граничные точки; другие (например, отрезок, окружность) состоят только из граничных точе к.

Множество точек на плоскости называется выпуклым, если он о обладает следующим свойством: отрезок, соединяющий любые две точки этого множества, целиком содержится в этом множестве (рис. 1).

Примерами выпуклых множеств являются: треугольник, отрезок, полуплоскость (часть плоскости, лежащая по одну сторону от какой-либо прямой), вся плоскость. Другие примеры выпуклых множеств приведены на рис. 2,а. На рис. 2,б приведены примеры невыпуклых множеств.

Множество, состоящее из одной-единственной точки, и пусто е множество, не содержащее ни одной точки, по принятому соглаше нию, также считаются выпуклыми. Во всяком случае, в этих множес твах невозможно провести отрезок, соединяющий какие-то точки э тих множеств и не принадлежащий этим множествам целиком, - в них

570 Математическое приложение

Рис. 1. Отрезок, соединяющий любые две точки выпуклой фигуры, содержится в ней целиком.

Рис. 2. Выпуклые (а) и невыпуклые (б) множества на плоскости.

вообще невозможно выбрать две точки. Поэтому их включение в число выпуклых множеств не приведет к противоречию с опре делением, а для математических рассуждений этого достаточно.

Пересечение, т. е. общая часть двух выпуклых множеств, всегда выпукло: взяв любые две точки пересечения (а они - общие, т. е. принадлежат каждому из пересекающихся множеств) и соедин ив их отрезком, мы легко убеждаемся в том, что все точки отрезка я вляются общими для обоих множеств, так как каждое из них выпукло. Вы - пуклым будет и пересечение любого числа выпуклых множест в.

Важным свойством выпуклых множеств является их отделимость: если два выпуклых множества не имеют общих внутрен них точек, то плоскость можно разрезать по прямой таким образ ом, что одно из множеств будет целиком лежать в одной полупло скости, а другое - в другой (на линии разреза могут располагат ься точки обоих множеств). Отделяющая их прямая в одних случая х оказывается единственно возможной, в других - нет (рис. 3).

Граничная точка любого выпуклого множества сама может ра с- сматриваться как выпуклое множество, не имеющее с исходным множе-

Рис. 3. Отделяющие прямые. Рис. 4. Опорные прямые.

III. Выпуклые множества и функции 571

ством общих внутренних точек, следовательно, она может быть отделена от него некоторой прямой. Прямая, отделяющая от выпуклого множества его граничную точку, называется опорной прямой этого множества в данной точке. Опорные прямые в одних точках контура могу т быть единственными, в других - не единственными (рис. 4).

Введем на плоскости систему декартовых координат х, у. Теперь у нас появилась возможность рассматривать различные фиг уры как множества таких точек, координаты которых удовлетвор яют тем или иным уравнениям или неравенствам (если координат ы точки удовлетворяют какому-либо условию, будем для кратко сти говорить, что сама точка удовлетворяет этому условию).

Упражнение 1

Рассмотрите фигуры, точки которых удовлетворяют неравен ствам: а) y ³ x2 ; á)xy ³ 1; â)xy ³ 1, õ > 0; ã) |õ| + |ó|£ 2;

ä) (õ+1)2 + (ó – 2)2 £ 9. Какие из них выпуклы?

Линейному уравнению ах + by = с удовлетворяют точки прямой. Иными словами, прямая является решением этого уравнения. Решением линейного неравенства

Решением каждого из неравенств является полуплоскость. Р ешение системы - это множество точек, каждая из которых удовл етворяет всем неравенствам системы, т. е. решение системы неравенств - это пересечение всех решений отдельных неравенств, составляющих систему. Полуплоскость - выпуклое множество, а пересече- ние выпуклых множеств всегда выпукло. Таким образом, решение системы (2) - выпуклое множество. На рис. 5 показано решение системы неравенств

ïî - 2x - y ³ -7.

Рис. 5. Решение системы из трех линейных неравенств.

572 Математическое приложение

Заметим, что неравенство ах + by £ с может быть заменено равносильным ему неравенством –àõ – by³ –ñ, имеющим вид (1). Кроме того, уравнение ах + by = с равносильно такой паре неравенств:

{ ax + by ³ c; ax + by £ c.

Таким образом, решение системы линейных уравнений и неравенств - всегда выпуклое множество.

Упражнение 2

Будет ли решение системы

ai x + bi y > ci , i = l, 2, ..., N

выпуклым множеством? Чем оно отличается от решения систем ы (2)?

Упражнение 3

Придумайте системы неравенств, решениями которых будут: а) параллелограмм; б) внутренность угла; в) полоса между двумя параллельными прямыми; г) единственная точка; д) пустое множество.

2. Выпуклые функции одной переменной

Проще всего определить выпуклую функцию геометрически. Д ля этого полезно ввести понятие надграфика функции. Надграфиком функции называется множество точек, расположенных над графиком ф ункции и на самом графике. Более строго, надграфик функции f(х) - это множество таких точек, координата х которых лежит в области определения функции, а координата у удовлетворяет неравенству у ³ f(x).

Функция называется выпуклой вниз, если ее надграфик - выпуклое множество. Рис. 6 иллюстрирует это определение.

Рис. 6. Надграфик выпуклой функции.

Рис. 7. Точка хорды не может располагаться ниже графика.

III. Выпуклые множества и функции 573

Приведенное определение является вполне строгим и может быть однозначно переведено на аналитический язык.

Во-первых, функция f(х) должна иметь выпуклую область определения - отрезок, луч или всю прямую.

В противном случае надграфик распался бы на несколько отдельных областей, и отрезок, соединяющий точки из разных о бластей, проходил бы через «запретную зону».

Для выяснения того, какому условию должны отвечать значе- ния выпуклой вниз функции f(x) «выберем какие-либо две точки M1 è M2 на ее графике и проведем хорду M1 M2 (рис. 7). Она целиком должна лежать в надграфике, т. е. надграфику должна принадлежать любая точка М хорды.

Рассмотрим число l , показывающее, в какой пропорции точка M делит хорду:

l = M 2 M .

M2 M1

Эта величина лежит в пределах 0 £ l £ 1. Ясно, что в такой же пропорции абсцисса и ордината точки М делят отрезки è [ó1 , ó2 ]:

õ2 – õ3 =l ·(õ2 – x1 ); y2 – y3 =l ·(y2 – y1 );

õ3 =l ·x1 + (1 –l )õ2 ; y3 =l ·y1 + (1 –l )y2 .

Условие принадлежности точки ние неравенства y3 ³ f(õ3 ). А так неравенство можно представить в

М надграфику - это выполне- âèäå êàê y 1 = f(x 1 ), y 2 = f(õ 2 ) - ýòî

Если неравенство (3) выполняется для любых значений x1 è õ2 , то любая хорда лежит в надграфике, тем более в надграфике л ежит любой отрезок, соединяющий точки, расположенные выше.

Таким образом, функция f(х), заданная на выпуклом множестве, выпукла вниз, если она обладает следующим свойством: для л ю- бых двух чисел x1 è õ2 из области определения функции и любого числаl из отрезка выполняется неравенство (3).

Неравенство (3) часто записывают в «симметричном» виде

574 Математическое приложение

Рис. 8. Функции: выпуклая вниз (а), выпуклая вверх (б), не имеющая постоянного знака выпуклости (в).

Аналогично можно определить и функции, выпуклые вверх: дл я этого нужно знаки неравенства (3) и (4) заменить на противоположные.

Функции, выпуклые вниз, часто называют просто «выпуклыми» . Выпуклые функции обладают свойством более общим, чем нера венство (4). Если x1 , õ2 ,..., xN - произвольные значения аргументаl 1 ,l 2 ,...,

l N - неотрицательные числа, сумма которых равна единице, то

III. Выпуклые множества и функции 575

Если производная f¢(x) дифференцируема (т. е. выпуклая функция f(х) дважды дифференцируема), то f¢¢(x) ³ 0. Для дважды дифференцируемых функций это неравенство оказывается р авносильным приведенному выше определению выпуклой функции; в курсах математического анализа выпуклость обычно опред еляют по знаку второй производной. Но в экономических приложени ях, где часто приходится иметь дело с функциями, графики кото рых имеют изломы, такое определение оказывается мало полезны м.

Если f(х) и g(x) - выпуклые функции и а ³ 0, то выпуклыми будут функции

á) f(x) + g(x);

â) max(f(õ), g(x)).

Выпуклость функций в а) и б) проверяется непосредственно с помощью неравенства (3) или (4). Функция в) при каждом х принимает значение, равное большему из значений f(х) и g(x) (и любому из них, если они равны). Надграфик функции max(f(x), g(x)) есть пересечение надграфиков функций f(х) и g(x) (проверьте!) - отсюда и выпуклость функции в).

Упражнение 4

Существуют ли функции, выпуклые вниз и выпуклые вверх одновременно?

Упражнение 5

Ê ак выглядит график функции f(х) = = mах (0, а + bх) при различных значе- ниях параметров а и b? Выпуклы ли эти функции?

Упражнение 6

Выпукла ли функция

Рис. 10. Графики функций f(х) (1), g(x)

N (2) è max(f(x), g(x)) (3). f(x) = å fi (x) ,

fi (x) = max (0, ai + bi x)?

Как выглядит ее график?

576 Математическое приложение

При каких значения а и b эта функция

Выпукла вниз?

Выпукла вверх?

- не имеет постоянного знака выпуклости?

IV. Пространство благ

Основные понятия

Многие теоретические вопросы обсуждаются в нашем учебни ке применительно к случаю двух продуктов. В качестве удобного средства, существенно упрощающего их анализ, использовались г рафические построения, в которых набор, включающий два продукта в коли- чествах x1 , è x2 изображался точкой на плоскости с декартовыми координатами (x1 , x2 ). Перевод теоретических понятий на геометри- ческий язык делал свойства обсуждаемых явлений весьма на глядными и при этом не приводил к потере строгости: все геометрические понятия (прямые, кривые, углы наклона и т. п.) имели точно определенные аналитические эквиваленты - уравнения, производные, с оотношения между параметрами и т. д. Поэтому такие построения широко используются и в учебниках по экономике, и в научных публикациях.

Однако эти геометрические рассуждения были строгими и то ч- ными лишь для случаев, когда перечень потребляемых благ в клю- чал всего два наименования. В действительности же число б лаг, которыми пользуются люди, значительно больше. Выводы, пол у- ченные геометрическим путем, можно считать обладающими д остаточной общностью, если их удастся распространить на слу чаи произвольного числа благ.