Траектория. Что такое траектория

Положение материальной точки определяется по отношению к какому-либо другому, произвольно выбранному телу, называемому телом отсчета . С ним связывается система отсчета – совокупность системы координат и часов, связанных с телом отсчета.

В декартовой системе координат положение точки А в данный момент времени по отношению к этой системе характеризуется тремя координатами x, y и z или радиусом-вектором r – вектор, проведенный из начала системы координат в данную точку. При движении материальной точки ее координаты с течением времени изменяются.r =r (t) или x=x(t), y=y(t), z=z(t) – кинематические уравнения материальной точки .

Основная задача механики – зная состояние системы в некоторый начальный момент времени t 0 , а также законы, управляющие движением, определить состояния системы во все последующие моменты времени t.

Траектория движения материальной точки – линия, описываемая этой точкой в пространстве. В зависимости от формы траектории различают прямолинейное и криволинейное движение точки. Если траектория точки – плоская кривая, т.е. целиком лежит в одной плоскости, то движение точки называют плоским.

Длина участка траектории АВ, пройденного материальной точкой с момента начала отсчета времени, называется длиной пути Δs и является скалярной функцией времени: Δs=Δs(t). Единица измерения – метр (м)– длина пути, проходимого светом в вакууме за 1/299792458 с.

IV . Векторный способ задания движения

Радиус-вектор r – вектор, проведенный из начала системы координат в данную точку. Вектор Δr =r -r 0 , проведенный из начального положения движущейся точки в положение ее в данный момент времени называется перемещением (приращение радиуса-вектора точки за рассматриваемый промежуток времени).

Вектором средней скорости < v > называется отношение приращения Δ r радиуса-вектора точки к промежутку времени Δt: (1). Направление средней скорости совпадает с направлением Δr .При неограниченном уменьшении Δt средняя скорость стремиться к предельному значению, которое называется мгновенной скоростью v . Мгновенная скорость это скорость тела в данный момент времени и в данной точке траектории: (2). Мгновенная скоростьv есть векторная величина, равная первой производной радиуса-вектора движущейся точки по времени.

Для характеристики быстроты изменения скорости v точки в механике вводится векторная физическая величина, называемая ускорением.

Средним ускорением неравномерного движения в интервале от t до t+Δt называется векторная величина, равная отношению изменения скорости Δv к интервалу времени Δt:

Мгновенным ускорением а материальной точки в момент времени t будет предел среднего ускорения:(4). Ускорениеа есть векторная величина, равная первой производной скорости по времени.

V. Координатный способ задания движения

Положение точки М можно характеризовать радиус – вектором r или тремя координатами x, y и z: М(x,y,z). Радиус - вектор можно представить в виде суммы трех векторов, направленных вдоль осей координат: (5).

Из определения скорости (6). Сравнивая (5) и (6) имеем:(7). Учитывая (7) формулу (6) можно записать(8). Модуль скорости можно найти:(9).

Аналогично для вектора ускорения:

(10),

(11),

Естественный способ задания движения (описание движения с помощью параметров траектории)

Движение описывается формулой s=s(t). Каждая точка траектории характеризуется своим значением s. Радиус – вектор является функцией от s и траектория может быть задана уравнением r =r (s). Тогда r =r (t) можно представить как сложную функцию r . Продифференцируем (14). Величина Δs – расстояние между двумя точками вдоль траектории, |Δr | - расстояние между ними по прямой линии. По мере сближения точек разница уменьшается. , гдеτ – единичный вектор, касательный к траектории. , тогда (13) имеет видv =τ v (15). Следовательно скорость направлена по касательной к траектории.

Ускорение может быть направлено под любым углом к касательной к траектории движения. Из определению ускорения (16). Еслиτ - касательный к траектории, то - вектор перпендикулярный этой касательной, т.е. направлен по нормали. Единичный вектор, в направлении нормали обозначаетсяn . Значение вектора равно 1/R, где R – радиус кривизны траектории.

Точка, отстоящая от траектории на расстоянии и R в направлении нормали n , называется центром кривизны траектории. Тогда (17). Учитывая вышеизложенное формулу (16) можно записать:(18).

Полное ускорение состоит из двух взаимно перпендикулярных векторов: , направленного вдоль траектории движения и называемого тангенциальным, и ускорения, направленного перпендикулярно траектории по нормали, т.е. к центру кривизны траектории и называемого нормальным.

Абсолютное значение полного ускорения найдем: (19).

Лекция 2 Движение материальной точки по окружности. Угловое перемещение, угловая скорость, угловое ускорение. Связь между линейными и угловыми кинематическими величинами. Векторы угловой скорости и ускорения.

План лекции

Кинематика вращательного движения

При вращательном движении мерой перемещения всего тела за малый промежуток времени dt служит векторdφ элементарного поворота тела. Элементарные повороты (обозначаются или) можно рассматривать какпсевдовекторы (как бы).

Угловое перемещение - векторная величина, модуль которой равен углу поворота, а направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта (направленный вдоль оси вращения так, что если смотреть с его конца, то вращение тела кажется происходящим против часовой стрелки). Единица углового перемещения – рад.

Быстроту изменения углового перемещения с течением времени характеризует угловая скорость ω . Угловая скорость твердого тела – векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения углового перемещения тела с течением времени и равная угловому перемещению, совершаемому телом за единицу времени:

Направлен вектор ω вдоль оси вращения в ту же сторону, что и dφ (по правилу правого винта). Единица угловой скорости- рад/с

Быстроту изменения угловой скорости с течением времени характеризует угловое ускорение ε

(2).

Направлен вектор ε вдоль оси вращения в ту же сторону, что и dω, т.е. при ускоренном вращении , при замедленном.

Единица углового ускорения – рад/с 2 .

За время dt произвольная точка твердого тела А переместиться на dr , пройдя путь ds . Из рисунка видно, что dr равно векторному произведению углового перемещения dφ на радиус – вектор точки r : dr =[ dφ · r ] (3).

Линейная скорость точки связана с угловой скоростью и радиусом траектории соотношением:

В векторном виде формулу для линейной скорости можно написать как векторное произведение: (4)

По определению векторного произведения его модуль равен , где - угол между векторами и, а направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к .

Продифференцируем (4) по времени:

Учитывая, что - линейное ускорение,- угловое ускорение, а- линейная скорость, получим:

Первый вектор в правой части направлен по касательной к траектории точки. Он характеризует изменение модуля линейной скорости. Следовательно, этот вектор – касательное ускорение точки: a τ =[ ε · r ] (7). Модуль касательного ускорения равен a τ = ε · r . Второй вектор в (6) направлен к центру окружности и характеризует изменение направления линейной скорости. Этот вектор – нормальное ускорение точки:a n =[ ω · v ] (8). Модуль его равен a n =ω·v или учитывая, что v = ω· r , a n = ω 2 · r = v 2 / r (9).

Частные случаи вращательного движения

При равномерном вращении: , следовательно .

Равномерное вращение можно характеризовать периодом вращения Т - временем, за которое точка совершает один полный оборот,

Частота вращения - число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении по окружности, в единицу времени: (11)

Единица частоты вращения - герц (Гц).

При равноускоренном вращательном движении :

Лекция 3 Первый закон Ньютона. Сила. Принцип независимости действующих сил. Результирующая сила. Масса. Второй закон ньютона. Импульс. Закон сохранения импульса. Третий закон Ньютона. Момент импульса материальной точки, момент силы, момент инерции.

План лекции

Первый закон Ньютона

Второй закон Ньютона

Третий закон Ньютона

Момент импульса материальной точки, момент силы, момент инерции

Первый закон Ньютона. Масса. Сила

Первый закон Ньютона: Существуют такие системы отсчета, относительно которых тела движутся прямолинейно и равномерно или покоятся, если на них не действуют силы или действие сил скомпенсировано.

Первый закон Ньютона выполняется только в инерциальной системе отсчёта и утверждает существование инерциальной системе отсчёта.

Инерция – это свойство тел стремиться сохранять скорость неизменной.

Инертностью называют свойство тел препятствовать изменению скорости под действием приложенной силы.

Масса тела – это физическая величина являющаяся количественной мерой инертности, это скалярная аддитивная величина. Аддитивность массы состоит в том, что масса системы тел всегда равна сумме масс каждого тела в отдельности. Масса – основная единица системы «СИ».

Одной из форм взаимодействия является механическое взаимодействие . Механическое взаимодействие вызывает деформацию тел, а также изменение их скорости.

Сила – это векторная величина являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел, или полей, в результате которого тело приобретает ускорение или изменяет свою форму и размеры (деформируется). Сила характеризуется модулем, направлением действия, точкой приложения к телу.

Что такое траектория?

Траектория определение

Траектория определение:

Траектория - это линия по которой движится тело.

На картинке тело перемещается из точки А в точку B по кривой линии.

Эта кривая линия и есть траектория.

Вектор перемещения связывает начальную и конечную точки.

А траектория - это последовательность точек, по которым передвигается тело.

Связь между траекторией и системой отсчета

Траектория зависит от системы отсчета. Это надо понимать так: если тело в одной системе отсчета передвигается по прямой линии, то в другой системе отсчета оно может иметь криволинейную траекторию.

Чтоб понять как зависит траектория от системы отсчета приведём пример.

Рассмотрим траекторию точки на поверхности колеса автомобиля.

Относительно водителя, т.е. в системе отсчета, сязанной с этим водителем, точка на поверхности колеса совершает при перемещении автомобиля вращательное движение по окружности.

Относительно же наблюдателя вне автомобиля точка совершает два движения: вращается по окружности колеса и продвигается вперед.

Траектория - это линия, по которой движится тело. В нашем примере получается, что одна и таже точка в одно и тоже время движится по разным траекториям. И это правильно.

Во многих задачах интерес представлю не только перемещения материальных точек в пространстве, но и траектории их движения.

Определение

Линию, которую описывает частица при своем движении, называется траекторией движения .

В зависимости от формы траектории механическое движение можно разделить на:

прямолинейное движение, траекторией движения точки в этом случае является прямая линия;
и криволинейное перемещение (траектория - кривая линия).

Форма траектории зависит от выбора системы отсчета. В разных системах отсчета траектории могут быть представлены разными линиями, могут быть прямыми и кривыми.

При движении точки с постоянным ускорением, которое описывает уравнение:

\[\overline{r}\left(t\right)={\overline{r}}_0+{\overline{v}}_0t+\frac{\overline{a}t^2}{2}\left(1\right),\]

(где $\overline{r}\left(t\right)$ - радиус-вектор точки в момент времени $t$; ${\overline{v}}_0$ - начальная скорость движения точки; $\overline{a}$ - ускорение точки,) траектория движения представляет собой плоскую кривую, что означает все точки этой кривой находятся в одной плоскости. Положение этой плоскости в пространстве задают векторы ускорения и начальной скорости. Ориентацию координатных осей чаще всего выбирают так, чтобы плоскость движения совпадала с одной из координатных плоскостей. В этом случае векторное уравнение (1) можно свести к двум скалярным уравнениям.

Уравнение траектории движения

Рассмотрим свободное движение тела около поверхности Земли. Начало координат разместим в точке бросания тела (рис.1). Оси координат направим так, как изображено на рис.1.

Тогда уравнение движения тела (1) в проекциях на координатные оси декартовой системы координат принимает вид системы из двух уравнений:

\[\left\{ \begin{array}{c} x=v_0t{\cos \alpha \left(2\right),\ } \\ y=v_0t{\sin \alpha \ }-\frac{gt^2}{2}\left(3\right). \end{array} \right.\]

Для того чтобы получить уравнение траектории движения тела ($y=y(x)$) следует исключить время движения тела из уравнений (2) и (3). Выразим из уравнения (2) $t$ и подставим его в выражение (3), получим:

Выражение (4) это уравнение параболы, проходящей через начало координат. Ее верви направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ меньше нуля.

Вершина этой параболы находится в точке с координатами:

\[\left\{ \begin{array}{c} x=\frac{v^2_0{\sin \alpha {\cos \alpha \ }\ }}{g} \\ y=\frac{v^2_0{sin}^2\alpha }{2g} \end{array} \right.\left(5\right).\]

Найти координаты вершины траектории можно при помощи известных правил исследования функций на экстремум. Так, положение максимума функции $y(x)$ определяют, приравнивая к нулю первую производную ($\frac{dy}{dx}$) от нее по $x$.

Обратимость движения

Из представления о траектории можно конкретизировать смысл обратимости механического движения.

Пусть частица движется в силовом поле таком, что ее ускорение в любой точке обладает определенной величиной, не зависящей от скорости. Как будет двигаться эта частица, если, в какой то точке ее траектории направление скорости заменить противоположным? С точки зрения математики это эквивалентно замене $t\ $ на $-t$ для всех уравнений. Уравнение траектории время не содержит, получается, что частица будет перемещаться «вспять» по той же самой траектории. При этом отрезки времени между любыми точками траектории будут одинаковы при прямом и обратном движении. Всякой точке траектории ставится в соответствие определенное значение величины скорости независимо от направления движения по данной траектории. Данные свойства наглядны в колебательных движениях маятника.

Все сказанное выше справедливо тогда, когда можно пренебречь любым сопротивлением движению. Обратимость движения существует, когда выполняется закон сохранения механической энергии.

Параметры траектории движения

Положение точек системы отсчета можно определять при помощи разных способов. В соответствии с этими способами описывают и движение точки или тела:

Координатная форма описания движения. Выбирается система координат, в ней положение точки характеризуют тремя координатами (в трехмерном пространстве). Это могут быть координаты $x_1=x,x_2=y,x_3=z$, в декартовой системе координат. $x_1=\rho ,x_2=\varphi ,x_3=\ z$ в цилиндрической системе и т.д. При перемещении точки координаты являются функциями времени. Описать движение точки - это значит указать эти функции:
При описании движения в векторной форме положение материальной точки задает радиус-вектор ($\overline{r}$) по отношению к точке, которую принимают начальной. В этом случае вводят точку (тело) отсчета. При перемещении точки вектор $\overline{r}$ постоянно изменяется. Конец этого вектора описывает траекторию. Движение задает выражение:
Третьим способом описания движения является описание с помощью параметров траектории.

Путь - это скалярная величина, равная длине траектории.

Если траектория задана, то задачу описания движения сводят к определению закона движения вдоль нее. При этом выбирается начальная точка траектории. Любая другая точка характеризуется расстоянием $s$ по траектории от начальной точки. В таком случае движение описывают выражением:

Пусть по окружности радиуса R равномерно перемещается точка. Закон движения точки по окружности в рассматриваемом методе запишем как:

где $s$ - путь точки по траектории; $t$ - время движения; $A$ - коэффициент пропорциональности. Известными являются окружность и точка начала движения. Отсчет положительных величин $s$ совпадает с направлением перемещения точки по траектории.

Знание траектории движения тела во многих случаях существенно упрощает процесс описания движения тела.

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание: Точка движется в плоскости XOY из начала координат со скоростью $\overline{v}=A\overline{i}+Bx\overline{j}\ ,\ $где $\overline{i}$, $\overline{j}$ - орты осей X и Y; $A$,B - постоянные величины. Запишите уравнение траектории движения точки ($y(x)$). Изобразите траекторию. \textit{}

Решение: Рассмотрим уравнение изменения скорости частицы:

\[\overline{v}=A\overline{i}+Bx\overline{j}\ \left(1.1\right).\]

Из этого уравнения следует, что:

\[\left\{ \begin{array}{c} v_x=A, \\ v_y=Bx \end{array} \right.\left(1.2\right).\]

Из (1.2) имеем:

Для получения уравнения траектории следует решить дифференциальное уравнение (1.3):

Мы получили уравнение параболы, ветви которой направлены вверх. Эта парабола проходит через начало координат. Минимум этой функции находится в точке с координатами:

\[\left\{ \begin{array}{c} x=0 \\ y=0. \end{array} \right.\]

Пример 2

Задание: Движение материальной точки в плоскости описывает система уравнений: $\left\{ \begin{array}{c} x=At. \\ y=At(1+Bt) \end{array} \right.$, где $A$ и $B$ - положительные постоянные. Запишите уравнение траектории точки.

Решение: Рассмотрим систему уравнений, которая задана в условии задачи:

\[\left\{ \begin{array}{c} x=At. \\ y=At\left(1+Bt\right) \end{array} \right.\left(2.1\right).\]

Исключим время из уравнений системы. Для этого из первого уравнения системы выразим время, получим:

Подставим вместо $t$ правую (2.2) часть во второе уравнение системы (2.1), имеем:

Ответ: $y=x+\frac{B}{A}x^2$

Траектория (от позднелатинского trajectories – относящийся к перемещению) – это линия, по которой движется тело (материальная точка). Траектория движения может быть прямой (тело перемещается в одном направлении) и криволинейной, то есть механическое движение может быть прямолинейным и криволинейным.

Траектория прямолинейного движения в данной системе координат – это прямая линия. Например, можно считать, что траектория движения автомобиля по ровной дороге без поворотов является прямолинейной.

Криволинейное движение – это движение тел по окружности, эллипсу, параболе или гиперболе. Пример криволинейного движения – движение точки на колесе движущегося автомобиля или движение автомобиля в повороте.

Движение может быть сложным. Например, траектория движения тела в начале пути может быть прямолинейной, затем криволинейной. Например, автомобиль в начале пути движется по прямой дороге, а затем дорога начинает «петлять» и автомобиль начинает криволинейное движение.

Путь

Путь – это длина траектории. Путь является скалярной величиной и в международной системе единиц СИ измеряется в метрах (м). Расчёт пути выполняется во многих задачах по физике. Некоторые примеры будут рассмотрены далее в этом учебнике.

Вектор перемещения

Вектор перемещения (или просто перемещение ) – это направленный отрезок прямой, соединяющий начальное положение тела с его последующим положением (рис. 1.1). Перемещение – величина векторная. Вектор перемещения направлен от начальной точки движения к конечной.

Модуль вектора перемещения (то есть длина отрезка, который соединяет начальную и конечную точки движения) может быть равен пройденному пути или быть меньше пройденного пути. Но никогда модуль вектора перемещения не может быть больше пройденного пути.

Модуль вектора перемещения равен пройденному пути, когда путь совпадает с траекторией (см. разделы и ), например, если из точки А в точку Б автомобиль перемещается по прямой дороге. Модуль вектора перемещения меньше пройденного пути, когда материальная точка движется по криволинейной траектории (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Вектор перемещения и пройденный путь.

На рис. 1.1:

Ещё пример. Если автомобиль проедет по кругу один раз, то получится, что точка начала движения совпадёт с точкой конца движения и тогда вектор перемещения будет равен нулю, а пройденный путь будет равен длине окружности. Таким образом, путь и перемещение – это два разных понятия .

Правило сложения векторов

Векторы перемещений складываются геометрически по правилу сложения векторов (правило треугольника или правило параллелограмма, см. рис. 1.2).

Рис. 1.2. Сложение векторов перемещений.

На рис 1.2 показаны правила сложения векторов S1 и S2:

а) Сложение по правилу треугольника
б) Сложение по правилу параллелограмма

Проекции вектора перемещения

При решении задач по физике часто используют проекции вектора перемещения на координатные оси. Проекции вектора перемещения на координатные оси могут быть выражены через разности координат его конца и начала. Например, если материальная точка переместилась из точки А в точку В, то при этом вектор перемещения (см.рис. 1.3).

Выберем ось ОХ так, чтобы вектор лежал с этой осью в одной плоскости. Опустим перпендикуляры из точек А и В (из начальной и конечной точек вектора перемещения) до пересечения с осью ОХ. Таким образом мы получим проекции точек А и В на ось Х. Обозначим проекции точек А и В соответственно А x и В x . Длина отрезка А x В x на оси ОХ – это и есть проекция вектора перемещения на ось ОХ, то есть

S x = A x B x

ВАЖНО!
Напоминаю для тех, кто не очень хорошо знает математику: не путайте вектор с проекцией вектора на какую-либо ось (например, S x). Вектор всегда обозначается буквой или несколькими буквами, над которыми находится стрелка. В некоторых электронных документах стрелку не ставят, так как это может вызвать затруднения при создании электронного документа. В таких случаях ориентируйтесь на содержание статьи, где рядом с буквой может быть написано слово «вектор» или каким-либо другим способом вам указывают на то, что это именно вектор, а не просто отрезок.

Рис. 1.3. Проекция вектора перемещения.

Проекция вектора перемещения на ось ОХ равна разности координат конца и начала вектора, то есть

S x = x – x 0

Аналогично определяются и записываются проекции вектора перемещения на оси OY и OZ:

S y = y – y 0 S z = z – z 0

Здесь x 0 , y 0 , z 0 — начальные координаты, или координаты начального положения тела (материальной точки); x, y, z — конечные координаты, или координаты последующего положения тела (материальной точки).

Проекция вектора перемещения считается положительной, если направление вектора и направление координатной оси совпадают (как на рис 1.3). Если направление вектора и направление координатной оси не совпадают (противоположны), то проекция вектора отрицательна (рис. 1.4).

Если вектор перемещения параллелен оси, то модуль его проекции равен модулю самого Вектора. Если вектор перемещения перпендикулярен оси, то модуль его проекции равен нулю (рис. 1.4).

Рис. 1.4. Модули проекции вектора перемещения.

Разность между последующим и начальным значениями какой-нибудь величины называется изменением этой величины. То есть проекция вектора перемещения на координатную ось равна изменению соответствующей координаты. Например, для случая, когда тело перемещается перпендикулярно оси Х (рис. 1.4) получается, что относительно оси Х тело НЕ ПЕРЕМЕЩАЕТСЯ. То есть перемещение тела по оси Х равно нулю.

Рассмотрим пример движения тела на плоскости. Начальное положение тела – точка А с координатами х 0 и у 0 , то есть А(х 0 , у 0). Конечное положение тела – точка В с координатами х и у, то есть В(х, у). Найдём модуль перемещения тела.

Из точек А и В опустим перпендикуляры на оси координат ОХ и OY (рис. 1.5).

Рис. 1.5. Движение тела на плоскости.

Определим проекции вектора перемещения на осях ОХ и OY:

S x = x – x 0 S y = y – y 0

На рис. 1.5 видно, что треугольник АВС – прямоугольный. Из этого следует, что при решении задачи может использоваться теорема Пифагора , с помощью которой можно найти модуль вектора перемещения, так как

АС = s x CB = s y

По теореме Пифагора

S 2 = S x 2 + S y 2

Откуда можно найти модуль вектора перемещения, то есть длину пути тела из точки А в точку В:

Ну и напоследок предлагаю вам закрепить полученные знания и рассчитать несколько примеров на ваше усмотрение. Для этого введите какие-либо цифры в поля координат и нажмите кнопку РАССЧИТАТЬ. Ваш браузер должен поддерживать выполнение сценариев (скриптов) JavaScript и выполнение сценариев должно быть разрешено в настройках вашего браузера, иначе расчет не будет выполнен. В вещественных числах целая и дробная части должны разделяться точкой, например, 10.5.

Траектория

Траекто́рия материа́льной то́чки - линия в трёхмерном пространстве , представляющая собой множество точек, в которых находилась, находится или будет находиться материальная точка при своём перемещении в пространстве. . Существенно, что понятие о траектории имеет физический смысл даже при отсутствии какого-либо по ней движения.

Кроме того, и при наличии движущегося по ней объекта, траектория, изображаемая в наперёд заданной системе пространственных координат, сама по себе не может ничего определённого сказать в отношении причин его движения, пока не проведён анализ конфигурации поля действующих на него сил в той же координатной системе.

Не менее существенно, что форма траектории неотрывно связана и зависит от конкретной системы отсчёта, в которой описывается движение.

Возможно наблюдение траектории при неподвижности объекта, но при движении системы отсчёта. Так, звёздное небо считается хорошей моделью инерциальной и неподвижной системы отсчёта. Однако при длительной экспозиции эти звёзды представляются движущимися по круговым траекториям (Рис.2)

Возможен и случай, когда тело явно движется, но траектория в проекции на плоскость наблюдения является одной неподвижной точкой. Это, например, случай летящей прямо в глаз наблюдателя пули или уходящего от него поезда.

Траектория свободной материальной точки

В соответствии с Первым законом Ньютона, иногда называемым законом инерции должна существовать такая система, в которой свободное тело сохраняет (как вектор) свою скорость. Такая система отсчёта называется инерциальной . Траекторией такого движения является прямая линия , а само движение называется равномерным и прямолинейным.

Описание траектории

Рис.2 Прямолинейное равномерно ускоряющееся движение в одной инерциальной системе в общем случае будет параболическим в другой равномерно двигающейся инерциальной системе отсчёта.Разложение действующей силы на составляющие произведено формально правильно и обсуждается в тексте

Принято описывать траекторию материальной точки в наперёд заданной системе координат при помощи радиус-вектора , направление, длина и начальная точка которого зависят от времени . При этом кривая, описываемая концом радиус-вектора в пространстве может быть представлена в виде сопряжённых дуг различной кривизны , находящихся в общем случае в пересекающихся плоскостях . При этом кривизна каждой дуги определяется её радиусом кривизны , направленном к дуге из мгновенного центра поворота, находящегося в той же плоскости, что и сама дуга. При том прямая линия рассматривается как предельный случай кривой , радиус кривизны которой может считаться равным бесконечности . И потому траектория в общем случае может быть представлена как совокупность сопряжённых дуг.

Существенно, что форма траектории зависит от системы отсчёта , избранной для описания движения материальной точки. Так прямолинейное равномерно ускоряющееся движение в инерциальной системе в общем случае будет параболическим (до тех пор, пока набираемая скорость тела сравнима по величине со скоростью относительного движения равномерно двигающейся инерциальной системе отсчёта. См. Рисунок 2).

Связь со скоростью и нормальным ускорением

Рис.3 Суточное движение светил в системе отсчёта, связанной с фотоаппаратом в проекции на плоскость рисунка

Скорость материальной точки всегда направлена по касательной к дуге, используемой для описания траектории точки. При этом существует связь между величиной скорости , нормальным ускорением и радиусом кривизны траектории в данной точке:

Однако, не всякое движение с известной скоростью по кривой известного радиуса и найденное по приведённой выше формуле нормальное (центростремительное) ускорение связано с проявлением силы, направленной по нормали к траектории (центростремительной силы). Так, найденное по данным фотографии суточного движения светил ускорение любой из звёзд отнюдь не говорит о существовании вызывающей это ускорение силы, притягивающей её к Полярной звезде, как центру вращения.

Связь с уравнениями динамики

Представление траектории как следа, оставляемого движением материальной точки, связывает чисто кинематическое понятие о траектории, как геометрической проблеме, с динамикой движения материальной точки, то есть проблемой определения причин её движения. Фактически, решение уравнений Ньютона (при наличии полного набора исходных данных) даёт траекторию материальной точки.

В общем случае тело не бывает свободно в своём движении, и на его положение, а в некоторых случаях и на скорость , налагаются ограничения - связи . Если связи накладывают ограничения только на координаты тела, то такие связи называются геометрическими. Если же они распространяются и на скорости, то они называются кинематическими. Если уравнение связи может быть проинтегрировано во времени, то такая связь называется голономной .

Действие связей на систему движущихся тел описывается силами, называемыми реакциями связей. В таком случае сила, входящая в левую часть уравнения (1), есть векторная сумма активных (внешних) сил и реакции связей.

Существенно, что в случае голономных связей становится возможным описать движение механических систем в обобщённых координатах , входящих в уравнения Лагранжа . Число этих уравнений зависит лишь от числа степеней свободы системы и не зависит от количества входящих в систему тел, положение которых необходимо определять для полного описания движения.

Если же связи, действующие в системе идеальны, то есть в них не происходит переход энергии движения в другие виды энергии, то при решении уравнений Лагранжа автоматически исключаются все неизвестные реакции связей.

Наконец, если действующие силы принадлежат к классу потенциальных, то при соответствующем обобщении понятий становится возможным использования уравнений Лагранжа не только в механике, но и других областях физики.

Действующие на материальную точку силы в этом понимании однозначно определяют форму траектории её движения (при известных начальных условиях). Обратное утверждение в общем случае не справедливо, поскольку одна и та же траектория может иметь место при различных комбинациях активных сил и реакций связи.

Движение под действием внешних сил в неинерциальной системе отсчёта

Если система отсчёта неинерциальна (то есть движется с неким ускорением относительно инерциальной системы отсчёта), то в ней также возможно использование выражения (1), однако в левой части необходимо учесть так называемые силы инерции (в том числе, центробежную силу и силу Кориолиса , связанные с вращением неинерциальной системы отсчёта) .

Иллюстрация

Траектории одного и того же движения в неподвижной и вращающейся системах отсчёта. Вверху в инерциальной системе видно, что тело двигается по прямой. Внизу в неинерциальной видно, что тело повернуло в сторону от наблюдателя по кривой.

Как пример, рассмотрим работника театра, передвигающегося в колосниковом пространстве над сценой по отношению к зданию театра равномерно и прямолинейно и несущего над вращающейся сценой дырявое ведро с краской. Он будет оставлять на ней след от падающей краски в форме раскручивающейся спирали (если движется от центра вращения сцены) и закручивающейся - в противоположном случае. В это время его коллега, отвечающий за чистоту вращающейся сцены и на ней находящийся, будет поэтому вынужден нести под первым недырявое ведро, постоянно находясь под первым. И его движение по отношению к зданию также будет равномерным и прямолинейным , хотя по отношению к сцене, которая является неинерциальной системой , его движение будет искривлённым и неравномерным . Более того, для того, чтобы противодействовать сносу в направлении вращения, он должен мышечным усилием преодолевать действие силы Кориолиса , которое не испытывает его верхний коллега над сценой, хотя траектории обоих в инерциальной системе здания театра будут представлять прямые линии .

Но можно себе представить, что задачей рассматривающихся здесь коллег является именно нанесение прямой линии на вращающейся сцене . В этом случае нижний должен потребовать от верхнего движения по кривой, являющейся зеркальным отражением следа от ранее пролитой краски,оставаясь при этом над любой точкой прямой, проходящей в избранном радиальном направлении. Следовательно, прямолинейное движение в неинерциальной системе отсчёта не будет являться таковым для наблюдателя в инерциальной системе .

Более того, равномерное движение тела в одной системе, может быть неравномерным в другой. Так, две капли краски, упавшие в разные моменты времени из дырявого ведра, как в собственной системе отсчёта, так и в системе неподвижного по отношению к зданию нижнего коллеги (на уже прекратившей вращение сцене), будут двигаться по прямой (к центру Земли). Различие будет заключаться в том, что для нижнего наблюдателя это движение будет ускоренным , а для верхнего его коллеги, если он, оступившись, будет падать , двигаясь вместе с любой из капель, расстояние между каплями будет увеличиваться пропорционально первой степени времени, то есть взаимное движение капель и их наблюдателя в его ускоренной системе координат будет равномерным со скоростью , определяемой задержкой между моментами падения капель:

Где - ускорение свободного падения .

Поэтому форма траектории и скорость движения по ней тела, рассматриваемая в некоторой системе отсчёта, о которой заранее ничего не известно , не даёт однозначного представления о силах, действующих на тело. Решить вопрос о том, является ли эта система в достаточной степени инерциальной, можно лишь на основе анализа причин возникновения действующих сил.

Таким образом, в неинерциальной системе:

Кривизна траектории и/или непостоянство скорости являются недостаточным аргументом в пользу утверждения о том, что на движущееся по ней тело действуют внешние силы, которые в конечном случае могут быть объяснены гравитационными или электромагнитными полями.
Прямолинейность траектории является недостаточным аргументом в пользу утверждения о том, что на движущееся по ней тело не действуют никакие силы.

Примечания

В физике есть ещё одна формула измерения траектории (пути): s=4Atv, где A - амплитуда, t - время, v - частота колебаний

Литература

Ньютон И. Математические начала натуральной философии. Пер. и прим. А. Н. Крылова. М.: Наука, 1989
Фриш С. А. и Тиморева А. В. Курс общей физики, Учебник для физико-математических и физико-технических факультетов государственных университетов, Том I. М.: ГИТТЛ, 1957

Ссылки

Траектория и вектор перемещения, раздел учебника по физике [неавторитетный источник? ]

Wikimedia Foundation . 2010 .

Синонимы :

Мне не больно (фильм)
Американская история Икс (фильм)

Смотреть что такое "Траектория" в других словарях:

ТРАЕКТОРИЯ - (от лат. trajicere перебрасывать, пересекать), в геометрии: прямая или кривая линия, которую описывает движущееся или падающее тело, напр., ядро, по выходе из пушки. 2) кривая, пересекающая систему однородных кривых под одним и тем же углом.… … Словарь иностранных слов русского языка