Основные понятия механики деформируемого твердого тела. Общие свойства твердых тел

Механика деформируемого твердого тела - наука, в которой изучаются законы равновесия и движения твердых тел в условиях их деформирования при различных воздействиях. Деформация твердого тела заключается в том, что изменяются его размеры и форма. С этим свойством твердых тел как элементов конструкций, сооружений и машин инженер постоянно встречается в своей практической деятельности. Например, стержень под действием растягивающих сил удлиняется, балка, нагруженная поперечной нагрузкой, изгибается и т.п.

При действии нагрузок, а также при тепловых воздействиях в твердых телах возникают внутренние силы, которые характеризуют сопротивление тела деформации. Внутренние силы, отнесенные к единице площади, называются напряжениями.

Исследование напряженного и деформированного состояний твердых тел при различных воздействиях составляет основную задачу механики деформируемого твердого тела.

Сопротивление материалов, теория упругости, теория пластичности, теория ползучести являются разделами механики деформируемого твердого тела. В технических, в частности строительных, вузах эти разделы имеют прикладной характер и служат для разработки и обоснования методов расчета инженерных конструкций и сооружений на прочность, жесткость и устойчивость. Правильное решение этих задач является основой при расчете и проектировании конструкций, машин, механизмов и т.п., поскольку оно обеспечивает их надежность в течение всего периода эксплуатации.

Под прочностью обычно понимается способность безопасной работы конструкции, сооружения и их отдельных элементов, которая исключала бы возможность их разрушения. Потеря (исчерпание) прочности показана на рис. 1.1 на примере разрушения балки при действии силы Р.

Процесс исчерпания прочности без изменения схемы работы конструкции или формы ее равновесия обычно сопровождается нарастанием характерных явлений, таких, например, как появление и развитие трещин.

Устойчивость конструкции - это ее способность сохранять вплоть до разрушения первоначальную форму равновесия. Например, для стержня на рис. 1.2, а до определенного значения сжимающей силы первоначальная прямолинейная форма равновесия будет устойчивой. Если сила превысит некоторое критическое значение, то устойчивым будет искривленное состояние стержня (рис. 1.2, б). При этом стержень будет работать не только на сжатие, но и на изгиб, что может привести к быстрому его разрушению из-за потери устойчивости или к появлению недопустимо больших деформаций.

Потеря устойчивости очень опасна для сооружений и конструкций, поскольку она может произойти в течение короткого промежутка времени.

Жесткость конструкции характеризует ее способность препятствовать развитию деформаций (удлинений, прогибов, углов закручивания и т.п.). Обычно жесткость конструкций и сооружений регламентируется нормами проектирования. Например, максимальные прогибы балок (рис. 1.3), применяемых в строительстве, должны находиться в пределах /= (1/200 + 1/1000)/, углы закручивания валов обычно не превышают 2° на 1 метр длины вала и т.п.

Решение проблем надежности конструкций сопровождается поисками наиболее оптимальных вариантов с точки зрения эффективности работы или эксплуатации конструкций, расхода материалов, технологичности возведения или изготовления, эстетичности восприятия и т.п.

Сопротивление материалов в технических вузах является по существу первой в процессе обучения инженерной дисциплиной в области проектирования и расчета сооружений и машин. В курсе сопротивления материалов в основном излагаются методы расчета наиболее простых конструктивных элементов - стержней (балок, брусьев). При этом вводятся различные упрощающие гипотезы, с помощью которых выводятся простые расчетные формулы.

В сопротивлении материалов широко используются методы теоретической механики и высшей математики, а также данные экспериментальных исследований. На сопротивление материалов как на базовую дисциплину в значительной степени опираются дисциплины, изучаемые студентами на старших курсах, такие как строительная механика, строительные конструкции, испытание сооружений, динамика и прочность машин и т.д.

Теория упругости, теория ползучести, теория пластичности являются наиболее общими разделами механики деформируемого твердого тела. Вводимые в этих разделах гипотезы носят общий характер и в основном касаются поведения материала тела в процессе его деформирования под действием нагрузки.

В теориях упругости, пластичности и ползучести используются по возможности точные или достаточно строгие методы аналитического решения задач, что требует привлечения специальных разделов математики. Получаемые здесь результаты позволяют дать методы расчета более сложных конструктивных элементов, например пластин и оболочек, разработать методы решения специальных задач, таких, например, как задача о концентрации напряжений вблизи отверстий, а также установить области использования решений сопротивления материалов.

В тех случаях, когда механика деформируемого твердого тела не может дать достаточно простые и доступные для инженерной практики методы расчета конструкций, используются различные экспериментальные методы определения напряжений и деформаций в реальных конструкциях или в их моделях (например, метод тензометрии, поляризационно-оптический метод, метод голографии и т.п.).

Формирование сопротивления материалов как науки можно отнести к середине прошлого века, что было связано с интенсивным развитием промышленности и строительством железных дорог.

Запросы инженерной практики дали импульс исследованиям в области прочности и надежности конструкций, сооружений и машин. Ученые и инженеры в этот период разработали достаточно простые методы расчета элементов конструкций и заложили основы дальнейшего развития науки о прочности.

Теория упругости начала развиваться в начале XIX века как математическая наука, не имеющая прикладного характера. Теория пластичности и теория ползучести как самостоятельные разделы механики деформируемого твердого тела сформировались в XX веке.

Механика деформируемого твердого тела является во всех своих разделах постоянно развивающейся наукой. Разрабатываются новые методы определения напряженного и деформированного состояний тел. Широкое применение получили различные численные методы решения задач, что связано с внедрением и использованием ЭВМ практически во всех сферах науки и инженерной практики.

Задачи науки

Это наука о прочности и податливости (жесткости) элементов инженерных конструкций. Методами механики деформируемого тела ведутся практические расчеты и определяются надежные (прочные, устойчивые) размеры деталей машин и различ­ных строительных сооружений. Вводной, начальной частью механи­ки деформируемого тела является курс, получивший название сопротивление материалов . Основные положения сопротивления материалов опираются на законы общей механики твердого тела и прежде всего на законы статики, знание которых для изучения механики деформируемого тела является совершенно необходимым. К механике деформируемых тел относятся и другие разделы, такие, как теория упругости, теория пластичности, теория ползучести, где рассматриваются те же вопросы, что и в сопротивлении материалов, но в более полной и строгой постановке.

Сопротивление же материалов ставит своей задачей создание практически приемлемых и простых приемов расчета на прочность и жесткость типичных, наиболее часто встречающихся элементов конструкций. При этом широко используются различные приближенные методы. Необходимость довести решение каждой практической задачи до числового результата заставляет прибегать в ряде слу­чаев к упрощающим гипотезам-предположениям, которые оправдыва­ются в дальнейшем путем сопоставления расчетных данных с экспе­риментом.

Общий подход

Многие физические явления удобно рассмат­ривать при помощи схемы, изображенной на рисунке 13:

Через X здесь обозначено некоторое воздействие (управление), подаваемое на вход системы А (машина, испытуемый образец материала и т. п.), а через Y – реакция (отклик) системы на это воздействие. Будем считать, что реакции Y снимаются с вы­хода системы А .

Под управляемой системой А условимся понимать любой объект, способный детерминированно реагировать на некоторое воздействие. Это значит, что все копии системы А при одинаковых условиях, т.е. при одинаковых воздействиях x(t) , ведут себя строго оди­наково, т.е. выдают одинаковые y(t) . Такой подход, конечно, явля­ется лишь некоторым приближением, так как практически невозможно получить ни две совершенно одинаковые системы, ни два одинаковых воздействия. Поэтому, строго говоря, следовало бы рассматривать не детерминированные, а вероятностные системы. Тем не менее, для ряда явлений удобно игнорировать этот очевидный факт и систему считать детерминированной, понимая все количественные соотношения между рассматриваемыми величинами в смысле соотношений между их математическими ожиданиями.

Поведение всякой детерминированной управляемой системы может быть определено некоторым соотношением, связывающим выход с входом, т.е. х с у . Это соотношение будем называть уравнением состояния системы. Символически это записывается так

где буква А , использованная ранее для обозначения системы может быть истолкована как некоторый оператор, позволяющий определить у(t) , если задается х(t) .

Введенное понятие о детерминированной системе с входом и выходом является весьма общим. Вот некоторые примеры таких сис­тем: идеальный газ, характеристики которого связаны уравнением Менделеева-Клапейрона, электрическая схема, подчиняющаяся тому или иному дифференциальному уравнению, лопатка паровой или газовой турбины, деформирующаяся во времени, действующими на нее силами и т. д. Нашей целью не является изучение произвольной управляемой системы, и поэтому в процессе изложения мы будем вводить необходимые дополнительные предположения, которые, ограничивая общность, позволят рассмотреть систему частного ви­да, наиболее подходящую для моделирования поведения деформируемого под нагрузкой тела.

Анализ всякой управляемой системы может быть в принципе осуществлен двумя способами. Первый из них микроскопический , основан на детальном изучении устройства системы и функционирова­ния всех образующих ее элементов. Если все это удается выполнить, то появляется возможность написать уравнение состояния всей системы, так как известно поведение каждого ее элемента и способы их взаимодействия. Так, например, кинетическая теория газов позволяет написать уравнение Менделеева-Клапейрона; знание устройства электрической цепи и всех ее характеристик дает возможность написать ее уравнения на основе законов электротех­ники (закона Ома, Кирхгофа и т. п.). Таким образом, микроскопи­ческий подход к анализу управляемой системы основан на рас­смотрении элементарных процессов, из которых складывается дан­ное явление, и в принципе способен дать прямое исчерпывающее описание рассматриваемой системы.

Однако микроподход не всегда может быть осуществлен ввиду сложного или еще не исследованного строения системы. Например, в настоящее время не представляется возможным написать урав­нение состояния деформируемого тела, как бы тщательно оно не было изучено. То же относится и к более сложным явлениям, протекающим в живом организме. В подобных случаях применяется так называемый макроскопический феноменологический (функциональный) подход, при котором не интересуются детальным устройством системы (например, микроскопическим строением деформиру­емого тела) и ее элементов, а изучают функционирование системы в целом, которое рассматривается как связь между входом и выходом. Вообще говоря, эта связь может быть произвольной. Одна­ко для каждого конкретного класса систем на эту связь наклады­ваются ограничения общего характера, а проведение некоторого минимума экспериментов может оказаться достаточным, чтобы выяснить эту связь с необходимыми подробностями.

Использование макроскопического подхода является, как уже отмечалось, во многих случаях вынужденным. Тем не менее, даже создание последовательной микротеории явления не может полностью обесценить соответствующую макротеорию, так как последняя основана на эксперименте и потому более надежна. Микротеория же при построении модели системы всегда вынуждена идти на некоторые упрощающие предположения, приводящие к различного рода неточностям. Например, все «микроскопические» уравнения состоя­ния идеального газа (уравнения Менделеева-Клапейрона, Ван-дер-Ваальса и др.) имеют неустранимые расхождения с эксперимен­тальными данными о реальных газах. Соответствующие же «макро­скопические» уравнения, основанные на этих экспериментальных данных, могут описать поведение реального газа как угодно точ­но. Более того, микроподход является таковым лишь на опреде­ленном уровне – уровне рассматриваемой системы. На уровне же элементарных частей системы он все же является макроподходом, так что микроанализ системы может рассматриваться как синтез ее составных частей, проанализированных макроскопически.

Поскольку в настоящее время микроподход еще не в силах привести к уравнению состояния деформируемого тела, естест­венно решать эту задачу макроскопически. Такой точки зрения и будем придерживаться в дальнейшем.

Перемещения и деформации

Реальное твердое тело, лишен­ное всех степеней свободы (возможности перемещаться в прост­ранстве) и находящееся под действием внешних сил, деформируется . Под деформацией понимаем изменение формы и размеров те­ла, связанное с перемещением отдельных точек и элементов тела. В сопротивлении материалов рассматриваются только такие пере­мещения.

Различают линейные и угловые перемещения отдельных точек и элементов тела. Этим перемещениям соответствуют линейные и уг­ловые деформации (относительное удлинение и относительный сдвиг).

Деформации делятся на упругие , исчезающие после снятия нагрузки, и остаточные .

Гипотезы о деформируемом теле. Упругие деформации обыч­но (во всяком случае, в конструкционных материалах, таких, как металлы, бетон, дерево и др.) незначительны, поэтому принимаются следующие упрощающие положения:

1. Принцип начальных размеров. В соответствии с ним принима­ется, что уравнения равновесия для деформируемого тела могут быть составлены без учета изменения формы и размеров тела, т.е. как для абсолютно твердого тела.

2. Принцип независимости действия сил. В соответствии с ним, если к телу приложена система сил (несколько сил), то действие каждой из них можно рассматривать независимо от действия остальных сил.

Напряжения

Под действием внешних сил в теле возникают внутренние силы, являющиеся распределенными по сечениям тела. Для определения меры внутренних сил в каждой точке вводится понятие напряжения . Напряжение определяется как внутренняя сила, приходящаяся на единицу площади сечения тела. Пусть упруго-деформированное тело находится в состоянии равновесия под действием некоторой системы внешних сил (рис.1). Через точку (например, k ), в которой хотим определить напряжение, мыс­ленно проводится произвольное сечение и отбрасывается часть тела (II) .Чтобы оставшаяся часть тела находилась в равновесии, взамен отброшенной части должны быть приложены внутренние силы. Взаимодействие двух частей тела происходит во всех точ­ках проведенного сечения, а потому внутренние силы действуют по всей площади сечения. В окрестности исследуемой точки выде­лим площадку dА . Равнодействующую внутренних сил на этой пло­щадке обозначим dF . Тогда напряжение в окрестности точки будет (по определению)

Н/м 2 .

Напряжение имеет размерность силы, деленной на площадь, Н/м 2 .

В данной точке тела напряжение имеет множество значений, в зависимости от направления сечений, которых через точку можно провести множество. Следовательно, говоря о напряжении, необходимо указать сечение.

В общем случае напряжение направлено под некоторым углом к сечению. Это полное напряжение можно разложить на две составляющие:

1. Перпендикулярную плоскости сечения – нормальное напряжение s .

2. Лежащую в плоскости сечения – касательное напряжение t .

Определение напряжений. Задача решается в три этапа.

1. Через рассматриваемую точку проводится сечение, в котором хотят определить напряжение. Одна часть тела отбрасывается и ее действие заменяется внутренними силами. Если все тело находится в равновесии, то и оставшаяся часть также должна нахо­диться в равновесии. Поэтому для сил, действующих на рассматриваемую часть тела, можно составить уравнения равновесия. В эти уравнения войдут как внешние, так и неизвестные внутренние си­лы (напряжения). Поэтому запишем их в виде

Первые слагаемые есть суммы проекций и суммы моментов всех внешних сил, действующих на оставшуюся после сечения часть те­ла, а вторые – суммы проекций и моментов всех внутренних сил, дейст­вующих в проведенном сечении. Как уже отмечено, в эти уравне­ния входят неизвестные внутренние силы (напряжения). Однако для их определения уравнений статики недостаточно , так как в противном случае пропадает разница между абсолютно твердым и деформируемым телом. Таким образом, задача определения напряжений является статически неопределимой .

2. Для составления дополнительных уравнений рассматриваются перемещения и деформации тела, в результате чего получают закон распределения напряжений по сечению.

3. Решая совместно уравнения статики и уравнения деформа­ций можно определить напряжения.

Силовые факторы. Условимся суммы проекций и суммы моментов внешних или внутренних сил называть силовыми факторами . Следовательно, силовые факторы в рассматриваемом сечении определяются как суммы проекций и суммы моментов всех внешних сил, расположенных по одну сторону этого сечения. Точно так же силовые факторы можно определить и по внутренним силам, действующим в рассматриваемом сечении. Силовые факторы, определенные по внешним и внутренним силам равны по величине и противоположны по знаку. Обычно в задачах бывают известны внешние силы, через которые и определяются силовые факторы, а по ним уже определяются напряжения.

Модель деформируемого тела

В сопротивлении материалов рассматривается модель деформируемого тела. Предполагается, что тело является деформируемым, сплошным и изотропным. В соп­ротивлении материалов рассматриваются преимущественно тела, имеющие форму стержней (иногда пластин и оболочек). Это объясняется тем, что во многих практических задачах схема конст­рукции приводится к прямолинейному стержню или к системе та­ких стержней (фермы, рамы).

Основные виды деформированного состояния стержней. Стержень (брус) – тело, у которого два размера малы по срав­нению с третьим (рис.15).

Рассмотрим стержень, находящийся в равновесии под действием приложенных к нему сил, как угодно расположенных в пространстве (рис.16).

Проводим сечение 1-1 и отбрасываем одну часть стержня. Рассмотрим равновесие оставшейся части. Воспользуемся пря­моугольной системой координат, за начало которой примем центр тяжести поперечного сечения. Ось X направим вдоль стержня в сторону внешней нормали к сечению, оси Y и Z – главные центральные оси сечения. Используя уравнения статики найдем силовые факторы

три силы

три момента или три пары сил

Таким образом, в общем случае в поперечном сечении стержня возникают шесть силовых факторов. В зависимости от характера внешних сил, действующих на стержень, возможны различные виды деформации стержня. Основными видами деформаций стержня яв­ляются растяжение , сжатие , сдвиг , кручение , изгиб . Соответственно им простейшие схемы нагружения выглядят следующим образом.

Растяжение-сжатие. Силы приложены вдоль оси стержня. Отбросив правую часть стержня, выделим силовые факторы по левым внешним силам (рис.17)

Имеем один ненулевой фактор – продольную силу F .

Строим диаграмму силовых факторов (эпюру).

Кручение стержня. В плоскостях торцевых сечений стерж­ня приложены две равные и противоположные пары сил с моментом М кр =Т , называемым крутящим моментом (рис.18).

Как видно, в поперечном сечении скручиваемого стержня действует только один силовой фактор – момент Т = F h .

Поперечный изгиб. Он вызывается силами (сосредоточен­ными и распределенными), перпендикулярными оси балки и расположенными в плоскости, проходящей через ось балки, а также парами сил, действующими в одной из главных плоскостей стержня.

Балки имеют опоры, т.е. являются несвободными телами, типичной опорой является шарнирно-подвижная опора (рис.19).

Иногда используется балка с одним заделанным и другим свободным концом – консольная балка (рис.20).

Рассмотрим определение силовых факторов на примере рис.21a. Сначала необходимо найти реакции опор R A и .

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МЕХАНИКИ

ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

В настоящей главе приведены основные понятия, которые ранее изучались в курсах физики, теоретической механики и сопротивления материалов.

1.1. Предмет механики деформируемого твердого тела

Механика деформируемого твердого тела – это наука о равновесии и движении твердых тел и отдельных их частиц, учитывающая изменения расстояний между отдельными точками тела, которые возникают в результате внешних воздействий на твердое тело. В основу механики деформируемого твердого тела положены законы движения, открытые Ньютоном, поскольку скорости движения реальных твердых тел и отдельных их частиц относительно друг друга существенно меньше скорости света. В отличие от теоретической механики здесь рассматриваются изменения расстояний между отдельными частицами тела. Последнее обстоятельство налагает определенные ограничения на принципы теоретической механики. В частности в механике деформируемого твердого тела недопустим перенос точек приложения внешних сил и моментов.

Анализ поведения деформируемых твердых тел под воздействием внешних сил производится на базе математических моделей, отражающих наиболее существенные свойства деформируемых тел и материалов, из которых они выполнены. При этом для описания свойств материала используются результаты экспериментальных исследований, которые послужили основой для создания моделей материала. В зависимости от модели материала механика деформируемого твердого тела делится на разделы: теорию упругости, теорию пластичности, теорию ползучести, теорию вязкоупругости. В свою очередь механика деформируемого твердого тела входит в состав более общей части механики – механики сплошных сред. Механика сплошных сред, являясь разделом теоретической физики, изучает законы движения твердых, жидких и газообразных сред, а также плазмы и непрерывных физических полей.

Развитие механики деформируемого твердого тела в значительной мере связано с задачами создания надежных сооружений и машин. Надежность сооружения и машины, так же как и надежность всех их элементов обеспечиваются прочностью, жесткостью, устойчивостью и выносливостью в течение всего срока эксплуатации. Под прочностью понимается способность сооружения (машины) и всех его (ее) элементов сохранять свою целостность при внешних воздействиях без разделения на заранее не предусмотренные части. При недостаточной прочности сооружение или отдельные его элементы разрушаются путем разделения единого целого на части. Жесткость сооружения определяется мерой изменения формы и размеров сооружения и его элементов при внешних воздействиях. Если изменения формы и размеров сооружения и его элементов не велики и не мешают нормальной эксплуатации, то такое сооружение считается достаточно жестким. В противном случае жесткость считается недостаточной. Устойчивость сооружения характеризуется способностью сооружения и его элементов сохранять свою форму равновесия при действии случайных не предусмотренных условиями эксплуатации сил (возмущающих сил). Сооружение находится в устойчивом состоянии, если после устранения возмущающих сил оно возвращается к исходной форме равновесия. В противном случае происходит потеря устойчивости исходной формы равновесия, которая, как правило, сопровождается разрушением сооружения. Под выносливостью понимается способность сооружения сопротивляться воздействию переменных во времени сил. Переменные силы вызывают рост микроскопических трещин внутри материала сооружения, которые могут привести к разрушению элементов конструкции и сооружения в целом. Поэтому для предотвращения разрушения приходится ограничивать величины переменных во времени сил. Кроме того, низшие частоты собственных колебаний сооружения и его элементов не должны совпадать (или находиться вблизи) с частотами колебаний внешних сил. В противном случае сооружение или его отдельные элементы входят в резонанс, что может явиться причиной разрушения и вывода из строя сооружения.

Подавляющее большинство исследований в области механики деформируемого твердого тела направлено на создание надежных сооружений и машин. Сюда входят вопросы проектирования сооружений и машин и проблемы технологических процессов обработки материалов. Но сфера применения механики деформируемого твердого тела не ограничивается одними техническими науками. Ее методы широко используются в естественных науках, таких как геофизика, физика твердого тела, геология, биология. Так в геофизике с помощью механики деформируемого твердого тела изучаются процессы распространения сейсмических волн и процессы формирования земной коры, изучаются фундаментальные вопросы строения земной коры и т.д.

1.2. Общие свойства твердых тел

Все твердые тела состоят из реальных материалов, обладающих огромным количеством разнообразных свойств. Из них лишь только некоторые имеют существенное значение для механики деформируемого твердого тела. Поэтому материал наделяется лишь теми свойствами, которые позволяют с наименьшими затратами изучить поведение твердых тел в рамках рассматриваемой науки.