Теория о сумме градусных мер треугольников. Сумма углов треугольника
. (Слайд 1)
Тип урока: урок изучения нового материала.
Цели урока:
- Образовательные
:
- рассмотреть теорему о сумме углов треугольника,
- показать применение теоремы при решении задач.
- Воспитательные
:
- воспитание положительного отношения учащихся к знаниям,
- воспитывать в учащихся средствами урока уверенность в своих силах.
- Развивающие
:
- развитие аналитического мышления,
- развитие «умений учиться»: использовать знания, умения и навыки в учебном процессе,
- развитие логического мышления, способности четко формулировать свои мысли.
Оборудование: интерактивная доска, презентация, карточки.
ХОД УРОКА
– Сегодня на уроке мы вспомним определения прямоугольного, равнобедренного, равностороннего треугольников. Повторим свойства углов треугольников. Применяя свойства внутренних односторонних и внутренних накрест лежащих углов докажем теорему о сумме углов треугольника и научимся применять ее при решении задач.
II. Устно (Слайд 2)
1) Найти на рисунках прямоугольный,
равнобедренный, равносторонний треугольники.
2) Дать определение этим треугольникам.
3) Сформулировать свойства углов равностороннего
и равнобедренного треугольника.
4) На рисунке KE II NH. (слайд 3)
– Укажите секущие для этих прямых
– Найти внутренние односторонние углы,
внутренние накрест лежащие углы, назвать их
свойства
III. Объяснение нового материала
Теорема. Сумма углов треугольника равна 180 о
По формулировке теоремы, ребята строят чертеж, записывают условие, заключение. Отвечая на вопросы, самостоятельно доказывают теорему.
Дано: Доказать: |
Доказательство:
1. Через вершину В треугольника проведем прямую
BD II AC.
2. Указать секущие для параллельных прямых.
3. Что можно сказать об углах CBD и ACB? (сделать
запись)
4. Что мы знаем об углах CAB и ABD? (сделать запись)
5. Заменим угол CBD углом ACB
6. Сделать вывод.
IV. Закончи предложение. (Слайд 4)
1. Сумма углов треугольника равна …
2. В треугольнике один из углов равен, другой,
третий угол треугольника равен …
3. Сумма острых углов прямоугольного
треугольника равна …
4. Углы равнобедренного прямоугольного
треугольника равны …
5. Углы равностороннего треугольника равны...
6. Если угол между боковыми сторонами
равнобедренного треугольника равен 1000, то углы
при основании равны …
V. Немного истории. (Слайды 5-7)
Доказательство теоремы о сумме углов
треугольника «Сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым» приписывают Пифагору (580-500 г.г. до н.э.) |
|
Древнегреческий ученый Прокл (410-485 г.г. н.э.), |
“Скажи мне – и я забуду,
Покажи мне – и я запомню,
Вовлеки меня – и я научусь”
Восточная пословица
Цель: Доказать теорему о сумме углов треугольника, упражнять в решении задач, используя данную теорему, развивать познавательную деятельность учащихся, используя дополнительный материал из разных источников, воспитывать умение слушать других.
Оборудование: Транспортир, линейка, модели треугольников, полоска настроения.
ХОД УРОКА
1. Организационный момент.
Отметьте на ленте настроения свое состояние на начало урока.
2. Повторение.
Повторить понятия, которые будут использованы при доказательстве теоремы: свойства углов при параллельных прямых, определение развернутого угла, градусная мера развернутого угла.
3. Новый материал.
3.1. Практическая работа.
У каждого ученика находятся три модели треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. Предлагается измерить углы треугольника и найти их сумму. Проанализировать результат. Могут получиться значения 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183 градуса. Посчитайте среднее арифметическое (=180°) Предлагается вспомнить, когда углы имеют градусную меру 180 градусов. Ученики вспоминают, что это развернутый угол и сумма односторонних углов.
Давайте попробуем получить сумму углов треугольника используя оригами.
Историческая справка
Оригами (яп., букв.: “сложенная бумага”) - древнее искусство складывания фигурок из бумаги. Искусство оригами своими корнями уходит в древний Китай, где и была открыта бумага.
3.2. Доказательство теоремы из учебника Атанасяна Л.С.
Теорема о сумме углов треугольника.
Докажем одну из важнейших теорем геометрии – теорему о сумме углов треугольника.
Теорема. Сумма углов треугольника равна 180°.
Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC и докажем, что A + B + C= 180°.
Проведем через вершину В прямую а, параллельную стороне АС. Углы 1 и 4 являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых а и АС секущей АВ, а углы 3 и 5 - накрест лежащими углами при пересечении тех же параллельных прямых секущей ВС. Поэтому угол 4 равен углу 1, угол 5 равен углу 3.
Очевидно, сумма углов 4, 2 и 5 равна развернутому углу с вершиной В, т. е. угол 4+угол 2+угол 5=180°. Отсюда, учитывая предыдущие равенства, получаем: угол 1 + угол 2+ угол 3= 180°, или A + B+ C=180°. Теорема доказана.
3.3. Доказательство теоремы из учебника Погорелова А. В.
Доказать: A + B + C = 180 °
Доказательство:
1. Проведем через вершину B прямую BD // AC
2. DBC=ACB, как накрест лежащие при AC//BD и секущей BC.
3. ABD =ACB +CBD
Отсюда, A + B+C = ABD+BAC
4. ABD и BAC – односторонние при BD // AC и секущей AB, значит их сумма равна 180 ° , т.е. А+B + C=180 ° , что и требовалось доказать.
3. 4. Доказательство теоремы из учебника Киселева А.Н., Рыбкина Н.А.
Дано: АВС
Доказать: А+B +C=180 °
Доказательство:
1. Продолжим сторону АС. Проведем СЕ//АВ
2. А=ЕСД, как соответственные при АВ//СЕ и АД - секущей
3. В=ВСЕ, как накрест лежащие при АВ//СЕ и ВС - секущей.
4. ЕСД+ВСЕ+С=180 ° , значит А + В + С = 180 ° , что и требовалось доказать.
3.5. Следствия 1. В любом треугольнике все углы острые, либо два угла острых, а третий тупой или прямой.
Следствие 2.
Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов треугольника, не смежных с ним.
3.6. Теорема позволяет классифицировать треугольники не только по сторонам, но и по углам.
Вид треугольника | Равнобедренный | Равносторонний | Разносторонний |
прямоугольный | |||
тупоугольный | |||
остроугольный |
4. Закрепление.
4.1. Решение задач по готовым чертежам.
Найти неизвестные углы треугольника.
4.2. Проверка знаний.
1. В завершении нашего урока, ответьте на вопросы:
Существуют ли треугольники с углами:
а) 30, 60, 90 градусов,
b) 46, 4, 140 градусов,
с) 56, 46, 72 градуса?
2. Может ли в треугольнике быть:
а) два тупых угла,
b) тупой и прямой углы,
с) два прямых угла?
3. Определить вид треугольника, если один угол – 45 градусов, другой – 90 градусов.
4. В каком треугольнике сумма углов больше: в остроугольном, тупоугольном или прямоугольном?
5. Можно ли измерить углы любого треугольника?
Это вопрос-шутка, т.к. существует Бермудский треугольник, находящийся в Атлантическом океане между Бермудскими островами, государством Пуэрто-Рико и полуостровом Флорида, у которого невозможно измерить углы. (Приложение 1)
5. Итог урока.
Отметьте на ленте настроения свое состояние на конец урока.
Домашнее задание.
П. 30–31; № 223 а, б; № 227 а; рабочая тетрадь № 116, 118.
1) Сумма углов треугольника равна 180°.
Доказательство
Пусть ABC" - произвольный треугольник. Проведем через вершину B прямую, параллельную прямой AC (такая прямая называется прямой Евклида) . Отметим на ней точку D так, чтобы точки A и D лежали по разные стороны прямой BC.Углы DBC и ACB равны как внутренние накрест лежащие, образованные секущей BC с параллельными прямыми AC и BD. Поэтому сумма углов треугольника при вершинах B и С равна углу ABD.Сумма всех трех углов треугольника равна сумме углов ABD и BAC. Так как эти углы внутренние односторонние для параллельных AC и BD при секущей AB, то их сумма равна 180°. Теорема доказана.
2)
Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с углом треугольника при этой вершине.
Теорема: Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним
Доказательство. Пусть ABC – данный треугольник. По теореме о сумме углов в треугольнике
∠ ABС + ∠ BCA + ∠ CAB = 180 º.
Отсюда следует
∠ ABС + ∠ CAB = 180 º - ∠ BCA = ∠ BCD
Теорема доказана.
Из теоремы следует:
Внешний угол треугольника больше любого угла треугольника, не смежного с ним.
3)
Сумма углов треугольника = 180 градусов. Если один из углов прямой (90 градусов) на два остальных приходится тоже 90. значит, каждый из них - меньше 90 то есть они - острые. если один из углов - тупой, то на два остальных приходится менее 90 то есть они явно острые.
4)
тупоугольный - больше 90 градусов
остроугольный - меньше 90 градусов
5) а. Треугольник, у которого один из углов равен 90 градусов.
б. Катеты и гипотенуза
6)
6°. В каждом треугольнике против большей стороны лежит больший угол и обратно: против большего угла лежит большая сторона. Любой отрезок имеет одну и только одну середину.
7)
По теореме Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, значит гипотенуза больше каждого из катетов
8) --- тоже самое, что и 7
9)
сумма углов треугольника равно 180 градусов. а если бы аждая сторона треугольника была бы больше суммы двух других сторонон, то сумма углов была бы больше 180, что невозможно. следовательно - каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
10)
Сумма углов любого треугольника равна 180 градусам.
Т. к. этот треугольник прямоугольный, то один из углов у него прямой, т. е. равен 90 градусам.
Следовательно, сумма двух других острых углов равна 180-90=90 градусов.
11)
1. рассмотрим прямоугольный треугольник ABC в которм угол А - прямой, угол В = 30 градусам а угол С = 60.Приложим к треугольнику АВС равный ему треугольник АВD. Получим треугольни BCD в котором угол B = углу D = 60 градусов, следовательно DC = BC. Но по построению АС 1/2 ВС, что и требовалось доказать.2. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета равен 30 градусам.докажем это.рассмотрим прямоугольный треугольник АВC, у которого катет АС равен половине гипотенузы АС.Приложим к треугольнику АВС равный ему треугольник ABD. Получит равносторонний треугольник BCD. Углы равностороннего треугольника равны друг другу(т.к. против равных строн лежат равные углы), поэтому каждый из них = 60 градусам. Но угол DBC = 2 угла ABC, следовательно угол АВС = 30 градусов,что и требовалось доказать.
Теорема. Сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым углам.
Возьмём какой-нибудь треугольник AВС (рис. 208). Обозначим его внутренние углы цифрами 1, 2 и 3. Докажем, что
∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.
Проведём через какую-нибудь вершину треугольника, например В, прямую МN параллельно АС.
При вершине В мы получили три угла: ∠4, ∠2 и ∠5. Их сумма составляет развёрнутый угол, следовательно, она равна 180°:
∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°.
Но ∠4 = ∠1 - это внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых МN и АС и секущей АВ.
∠5 = ∠3 - это внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых МN и АС и секущей ВС.
Значит, ∠4 и ∠5 можно заменить равными им ∠1 и ∠3.
Следовательно, ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. Теорема доказана.
2. Свойство внешнего угла треугольника.
Теорема. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.В самом деле, в треугольнике ABC (рис. 209) ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3, но и ∠ВСD, внешний угол этого треугольника, не смежный с ∠1 и ∠2, также равен 180° - ∠3.
Таким образом:
∠1 + ∠2 = 180° - ∠3;
∠BCD = 180° - ∠3.
Следовательно, ∠1 + ∠2= ∠BCD.
Выведенное свойство внешнего угла треугольника уточняет содержание ранее доказанной теоремы о внешнем угле треугольника, в которой утверждалось только, что внешний угол треугольника больше каждого внутреннего угла треугольника, не смежного с ним; теперь же устанавливается, что внешний угол равен сумме обоих внутренних углов, не смежных с ним.
3. Свойство прямоугольного треугольника с углом в 30°.
Теорема. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.Пусть в прямоугольном треугольнике АСВ угол В равен 30° (рис. 210). Тогда другой его острый угол будет равен 60°.
Докажем, что катет АС равен половине гипотенузы АВ. Продолжим катет АС за вершину прямого угла С и отложим отрезок СМ, равный отрезку АС. Точку М соединим с точкой В. Полученный треугольник ВСМ равен треугольнику АСВ. Мы видим, что каждый угол треугольника АВМ равен 60°, следовательно, этот треугольник - равносторонний.
Катет АС равен половине АМ, а так как АМ равняется АВ, то катет АС будет равен половине гипотенузы АВ.