Равнобедренной трапеции меньшее. У равнобедренной трапеции меньшее основание рано боковой стороне и в два раза меньше большего основания

Углы равнобокой (равнобедренной) трапеции

Задача .

Решение .
Для выпуклого n-угольника сумма углов равна 180°(n-2).

Таким образом, сумма углов равнобокой (равнобедренной) трапеции равна:
180 (4 - 2) = 360 градусов.

Исходя из свойств равнобокой трапеции о том, что ее углы попарно равны, обозначим одну пару углов как х. Поскольку один угол на 30 градусов больше второго, то сумма углов равнобокой трапеции равна:
х + (х + 30) + х + (х + 30) = 360
4х + 60 = 360
х = 75

Ответ : углы равнобокой (равнобедренной) трапеции равны 75 и 105 градусов попарно.

Задача .
Найдите углы равнобокой трапеции, если один угол на 30 градусов больше второго.

Решение .
Для решения задачи воспользуемся следующей теоремой:

Равнобокая трапеция

Примечание . Это часть курса обучения с задачами по геометрии (раздел равнобокая трапеция). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. Для обозначения действия извлечения квадратного корня в решениях задач используется символ √ или sqrt(), при чем в скобках указано подкоренное выражение .

Задача

Основания равнобедренной (равнобокой) трапеции равны 8 и 20 сантиметров. Боковая сторона равна 10 см. Найдите площадь трапеции, подобной данной, которая имеет высоту 12 см.

Решение .
Из вершины B трапеции ABCD опустим высоту BM на основание AD. Из вершины C на основание AD опустим высоту CN. Поскольку MBCN является прямоугольником, то

AD = BC + AM + ND

Треугольники, получившиеся в результате того, что мы опустили из меньшего основания равнобокой трапеции на большее две высоты - равны. Таким образом,

AD = BC + AM * 2
AM = (AD - BC) / 2
AM = (20 - 8) / 2 = 6 см

Таким образом, в треугольнике ABM, образованном высотой, опущенной из меньшего основания трапеции на большее нам известны катет и гипотенуза. Оставшийся катет, который одновременно является высотой трапеции, найдем по теореме Пифагора:

BM 2 = AB 2 - AM 2
BM 2 = 102 - 62
BM = 8 см

Поскольку высота трапеции ABCD равна 8 см, а высота подобной трапеции - 12 см, то коэффициент подобия будет равен

k = 12 / 8 = 1,5

Поскольку в подобных фигурах все геометрические размеры пропорциональны друг другу с коэффициентом подобия, найдем площадь подобной трапеции. Произведение полусуммы оснований подобной трапеции на высоту выразим через известные геометрические размеры исходной трапеции и коэффициент подобия:

Sпод = (AD * k + BC * k) / 2 * (BM * k)
Sпод = (20 * 1,5 + 8 * 1,5) / 2 * (8 * 1,5) = (30 + 12) / 2 * 12 = 252 см 2

Ответ : 252 см 2

Задача

В равнобокой трапеции большее основание 36см,боковая сторона 25см, диагональ 29см.найти площадь трапеции.

Решение .

Из вершины B трапеции ABCD опустим высоту BM на основание AD. Для получившихся прямоугольных треугольников ABM и BMD справедливо следующее:
AB 2 = BM 2 + AM 2
AD 2 = BM 2 + MD 2

Поскольку высота равнобокой трапеции одновременно равна
BM 2 = AB 2 - AM 2
BM 2 = AD 2 - MD 2

Таким образом,
AB 2 - AM 2 = AD 2 - MD 2
25 2 - AM 2 = 29 2 - MD 2

Так как AD = AM + MD, то
AM + MD = 36
MD = 36 - AM

Откуда
25 2 - AM 2 = 29 2 - (36 -AM) 2
625 - AM 2 = 841 - (36 -AM) 2
625 - AM 2 = 841 - (1296 - 72AM + AM 2)
625 - AM 2 = 72AM - 455 - AM 2
625 = 72AM - 455
AM = 15

Откуда MD = 36 - 15 = 21

Поскольку AM = 15, то величина меньшего основания равнобокой трапеции будет равна 36 - 15 *2 = 6 см

Высоту равнобокой трапеции найдем по теореме Пифагора:
BM 2 = AB 2 - AM 2
BM 2 = 625 - 225
BM = 20

Площадь равнобокой трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту трапеции.
S = 1/2 (36 + 6) * 20 = 420 см 2 .

Ответ : 420 см 2 .

Равнобокая трапеция (часть 2)

Примечание . Это часть курса обучения с задачами по геометрии (раздел равнобокая трапеция). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. Для обозначения действия извлечения квадратного корня в решениях задач используется символ √ или sqrt(), при чем в скобках указано подкоренное выражение.

Задача.

В равнобедренной трапеции ABCD меньшее основание BC = 5 см, угол ABC = 135 градусов, высота трапеции равна 3 см. Найдите большее основание.

Решение .
Опустим из вершины B на основание AD высоту BE.

В результате угол ABC равен сумме градусных мер углов ABE и EBC. Поскольку основания трапеции параллельны, то угол EBC равен 90 градусов. Откуда угол ABE = 135 - 90 = 45 градусов.

Поскольку BE - высота, то треугольник ABE - прямоугольный. Зная угол ABE, определим, что угол EAB равен 180º - 90º - 45º = 45º . Откуда следует, что треугольник ABE - равнобедренный, то есть AE = BE = 3 см.

Поскольку трапеция ABCD - равнобокая, то большее основание равно 5 + 3 + 3 = 11 см.

Ответ : большее основание равнобокой трапеции равно 11 см.

Задача

Найти среднюю линию равнобокой трапеции, диагональ которой является биссектрисой острого угла, боковая сторона 5, а одно из оснований в 2 раза больше другого.

Решение .
Поскольку основания трапеции параллельны, то угол ADB равен углу DBC, как внутренние накрест лежащие углы. Так как по условию диагональ является биссектрисой, то углы ADB и BDC равны. Откуда следует, что углы CBD и CDB равны.

Углы равнобедренной трапеции. Здравствуйте! В этой статье речь пойдёт о решении задач с трапецией. Данная группа заданий входит в состав экзамена, задачки простые. Будем вычислять углы трапеции, основания и высоты. Решение ряда задач сводится к решению , как говориться: куда мы без теоремы Пифагора, ?

Работать будем с равнобедренной трапецией. У неё равны боковые стороны и углы при основаниях. О трапеции есть статья на блоге, .

Отметим небольшой и важный нюанс, который в процессе решения самих заданий подробно расписывать не будем. Посмотрите, если у нас дано два основания, то большее основание высотами, опущенными к нему, разбивается на три отрезка – один равен меньшему основанию (это противолежащие стороны прямоугольника), два других равны друг другу (это катеты равных прямоугольных треугольников):

Простой пример: дано два основания равнобедренной трапеции 25 и 65. Большее основание разбивается на отрезки следующим образом:

*И ещё! В задачах не введены буквенные обозначения. Это сделано умышленно, чтобы не перегружать решение алгебраическими изысками. Согласен, что это математически неграмотно, но цель донести суть. А обозначения вершин и прочих элементов вы всегда можете сделать сами и записать математически корректное решение.

Рассмотрим задачи:

27439. Основания равнобедренной трапеции равны 51 и 65. Боковые стороны равны 25. Найдите синус острого угла трапеции.

Для того чтобы найти угол необходимо построить высоты. На эскизе обозначим данные в условии величины. Нижнее основание равно 65, высотами оно разбивается на отрезки 7, 51 и 7:

В прямоугольном треугольнике нам известна гипотенуза и катет, можем найти второй катет (высоту трапеции) и далее уже вычислить синус угла.

По теореме Пифагора указанный катет равен:

Таким образом:

Ответ: 0,96

27440. Основания равнобедренной трапеции равны 43 и 73. Косинус острого угла трапеции равен 5/7. Найдите боковую сторону.

Построим высоты и отметим данные в условии величины, нижнее основание разбивается на отрезки 15, 43 и 15:

27441. Большее основание равнобедренной трапеции равно 34. Боковая сторона равна 14. Синус острого угла равен (2√10)/7. Найдите меньшее основание.

Построим высоты. Для того чтобы найти меньшее основание нам необходимо найти чему равен отрезок являющийся катетом в прямоугольном треугольнике (обозначен синим):

Можем вычислить высоту трапеции, а затем найти катет:

По теореме Пифагора вычисляем катет:

Таким образом, меньшее основание равно:

27442. Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 51. Тангенс острого угла равен 5/11. Найдите высоту трапеции.

Построим высоты и отметим данные в условии величины. Нижнее основание разбивается на отрезки:

Что делать? Выражаем тангенс известного нам угла при основании в прямоугольном треугольнике:

27443. Меньшее основание равнобедренной трапеции равно 23. Высота трапеции равна 39. Тангенс острого угла равен 13/8. Найдите большее основание.

Строим высоты и вычисляем чему равен катет:

Таким образом большее основание будет равно:

27444. Основания равнобедренной трапеции равны 17 и 87. Высота трапеции равна 14. Найдите тангенс острого угла.

Строим высоты и отмечаем известные величины на эскизе. Нижнее основание разбивается на отрезки 35, 17, 35:

По определению тангенса:

77152. Основания равнобедренной трапеции равны 6 и 12. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Найдите боковую сторону.

Построим эскиз, построим высоты и отметим известные величины, большее основание разбивается на отрезки 3, 6 и 3:

Выразим гипотенузу обозначенную как х через косинус:

Из основного тригонометрического тождества найдём cosα

Таким образом:

27818. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна 50 0 ? Ответ дайте в градусах.

Из курса геометрии нам известно, что если имеем две параллельные прямые и секущую, что сумма внутренних односторонних углов равна 180 0 . В нашем случае это

C условии сказано, что разность противолежащих углов равна 50 0 , то есть

Из точек D и C опустим две высоты:

Как уже сказано выше они разбивают большее основание на три отрезка: один равен меньшему основанию, два других равны друг другу.

В данном случае они равны 3, 9 и 3 (в сумме 15). Кроме того, отметим что высотами отсекаются прямоугольные треугольники, причём они являются равнобедренными, так как углы при основании равны по 45 0 . Отсюда следует, что высота трапеции будет равна 3.

На этом всё! Успеха вам!

С уважением, Александр.

В самом начале уточним, что трапеция – это геометрическая фигура, которая представляет собой четырехугольник с двумя параллельными противолежащими сторонами. Они-то и называются основаниями трапеции, а две другие – её боковыми сторонами. При соединении центральных точек боковых сторон можно получить среднюю линию фигуры. Эти свойства трапеции лежат в основе вычисления всех остальных ее характеристик. Для того, чтобы вычислить основание трапеции (большое или малое) можно использовать массу разных подходов. Все зависит от полноты имеющихся сведений о геометрическом объекте. Большая часть задач имеют в условии данные о других сторонах и углах трапеции, что заметно упрощает задачу. Часто решение состоит в том, чтобы опустить высоту на основание и с помощью теоремы Пифагора найти нужные параметры. Вычисление одного из оснований при имеющихся сведениях о площади трапеции и втором основании и вовсе не предоставляет никаких проблем. Рассмотрим наиболее частые случаи на примерах.

Как найти основание прямоугольной трапеции

Прямоугольной трапецией называют такую трапецию, в которой один из углов равен 90 градусам. Это наиболее простой из всех вариантов вычисления основания. Как правило, условие задачи содержит данные о втором основании, и решение состоит только в том, чтобы определить тот фрагмент основания, который образует второй угол фигуры с боковой стороной. Как и в вышеописанном случае, рассматриваем отдельный треугольник с основанием из искомого фрагмента. По теореме Пифагора, вычисляем эту часть, прибавляем или отнимаем ее от второго основания и получаем искомый параметр.

Как найти основание равнобедренной трапеции

Похоже обстоят дела с равнобедренной трапецией. Под этим понятием понимают такую трапецию, чьи боковые стороны равны. Эта фигура абсолютно симметрична относительно центра, потому пары углов в ней равны. Это довольно удобно, поскольку, обладая сведениями о хотя бы одном угле, мы можем запросто вычислить параметры и всех остальных. Так как боковые части трапеции равны друг другу, то как и в прошлой задаче, мы должны найти основание через один небольшой его фрагмент. Длина второго фрагмента будет точно совпадать с длиной первого. Делается это также через изображение высоты, образующей треугольник. Через параметры углов и одной стороны этого треугольника мы с легкостью получим искомую часть большего основания.

Как найти меньшее основание равнобедренной трапеции

Если нам известны параметры большего основания, боковых сторон, то это можно сделать так. На большее основание опускаем высоту и записываем две теоремы Пифагора. Одна будет отражать параметры треугольника, в котором в качестве гипотенузы выступает диагональ, в качестве одного катета – высота, а в качестве другого катета – большее основание без отрезка, отсеченного высотой.

Вторая теорема должна быть актуальна для треугольника, который состоит из гипотенузы – боковой стороны, катета – высоты и катета – отрезка от большего основания.

Составляем систему этих уравнений и решаем ее. Находим отрезок, отсеченный высотой от большего расстояния. Отнимаем удвоенные параметры этого отрезка от параметров большего основания и получаем длину меньшего основания.