Сокращенное квадратное уравнение. Неполные квадратные уравнения и методы их решения с примерами

Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.

— это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

1. Не имеют корней;
2. Имеют ровно один корень;
3. Имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант .

Дискриминант

Пусть дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. Тогда — это просто число D = b 2 − 4ac.

Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

1. Если D < 0, корней нет;
2. Если D = 0, есть ровно один корень;
3. Если D > 0, корней будет два.

Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — корень будет один.

Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.

Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

Корни квадратного уравнения

Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:

Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D < 0, корней нет — ничего считать не надо.

Решить квадратные уравнения:

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Первое уравнение:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

Второе уравнение:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их

\[\begin{align} & {{x}_{1}}=\frac{2+\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=-5; \\ & {{x}_{2}}=\frac{2-\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=3. \\ \end{align}\]

Наконец, третье уравнение:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:

Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.

Неполные квадратные уравнения

Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:

Уравнение ax 2 + bx + c = 0 называется, если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.

Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax 2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.

Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax 2 + c = 0. Немного преобразуем его:

Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (−c/a) ≥ 0. Вывод:

1. Если в неполном квадратном уравнении вида ax 2 + c = 0 выполнено неравенство (−c/a) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
2. Если же (−c/a) < 0, корней нет.

Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−c/a) ≥ 0.

Решение неполных квадратных уравнений.

Достаточно выразить величину x 2 и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.

Теперь разберемся с уравнениями вида ax 2 + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:

Задача. Решить квадратные уравнения:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

Смотрите также:

Квадратное уравнение имеет вид ax 2 + bx + c = 0.

Неполными квадратными уравнениями являются уравнения трех видов:

• ax 2 + bx = 0, когда коэффициент c = 0.
• ax 2 + c = 0, когда коэффициент b = 0.
• ax 2 = 0, когда и b и с равны 0.

Коэффициент же a по определению квадратного уравнения не может быть равен нулю.

Неполные квадратные уравнения решаются проще, чем полные квадратные. Способы решения различаются в зависимости от вида неполного квадратного уравнения.

Проще всего решаются уравнения вида ax 2 = 0. Если a по определению квадратного уравнения не может быть равно нулю, то очевидно, что нулю может быть равен только x 2 , а значит, и сам x. У уравнений такого вида всегда есть один корень, он равен 0.

Неполные квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений

Например:

–3x 2 = 0
x 2 = 0/–3
x 2 = 0
x = √0
x = 0

Уравнения вида ax 2 + c = 0 преобразуются к виду ax 2 = –c и решаются аналогично предыдущему. Однако корней здесь либо два, либо не одного.

ax 2 + c = 0
ax 2 = –c
x 2 = –c/a
x = √(–c/a)

Здесь если подкоренное выражение отрицательно, то корней у уравнения нет. Если положительно, то корней будет два: √(–c/a) и –√(–c/a). Пример решения подобного уравнения:

4x 2 – 16 = 0
4x 2 = 16
x 2 = 16 / 4
x 2 = 4
x = √4
x 1 = 2; x 2 = –2

Неполные квадратные уравнения вида ax 2 + bx = 0 решается вынесением общего множителя за скобку. В данном случае им является x. Получается уравнение x(ax + b) = 0. Это уравнение имеет два корня: либо x = 0, либо ax + b = 0. Решая второе уравнение получаем x = –b/a. Таким образом, уравнения вида ax 2 + bx = 0 имеют два корня: x 1 = 0, x 2 = –b/a. Пример решения такого уравнения:

3x 2 – 10x = 0
x(3x – 10) = 0
x 1 = 0; x 2 = 10/3 = 3,(33)

Нахождение корней квадратного уравнения 8 класс

Формула
Корни квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 можно найти по
формуле: , где — дискриминант

квадратного уравнения.

Возможны три правила:

Правило 1
1. D > 0.

8.2.1. Решение неполных квадратных уравнений

Тогда уравнение имеет 2 различных корня:

Пример
2x 2 + 7x — 4 = 0;

a = 2, b = 7, c = -4.

D = 7 2 — 4 2 (- 4) = 81 > 0,

x 1 = -7 — ? 81 2 2 = — 4;

x 2 = -7 + ? 81 2 2 = 1 2 .

Правило 2
2. D = 0. Тогда уравнение имеет единственный корень.

Пример
x 2 — 4x + 4 = 0.

D = (-4) 2 — 4 1 4 = 0, x = — -4 2 1 = 2.

Заметим, что x 2 — 4x + 4 = 0 x = 2.

Правило 3
3. D

Пример
3x 2 — x + 7 = 0.

D = (-1) 2 — 4 3 7 = -83

С четным вторым коэффициентом

Правило, формулы
Если b = 2k, то корни уравнения ax + 2kx + c = 0 находятся по формуле:

Пример 1
1. x + 18x + 32 = 0.

a = 1; b = 18 => k = b 2 = 9; c = 32.

D 1 = D 4 = (18 2 ) 2 — 1 32 = 49 > 0, значит уравнение имеет 2 корня:

x 1 = -9 -? 49 1 = -16, x 2 = -9 + 7 = -2.

Пример 2
2. 3x 2 + 2x + 1 = 0.

a = 3; b 2 = 1; c = 1.

D 1 = D 4 = 1 2 — 1 3 = -2

Пример 3
3. 196x 2 + 28x + 1 = 0.

a = 196; b 2 = -14; c = 1.

D 1 = D 4 = (- 14) 2 — 196 = 0, значит уравнение имеет один корень.

x = 14 196 = 1 14 .

Формулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения.

— Изучение формул сокращенного умножения: квадрата суммы и квадрата разности двух выражений; разности квадратов двух выражений; куба суммы и куба разности двух выражений; суммы и разности кубов двух выражений.

— Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.

Для упрощения выражений, разложения многочленов на множители, приведения многочленов к стандартному виду используются формулы сокращенного умножения.

Решение квадратных уравнений

Формулы сокращенного умножения нужно знать наизусть .

Пусть а, b R. Тогда:

1. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a — b) 2 = a 2 — 2ab + b 2

3. Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы.

a 2 — b 2 = (a -b) (a+b)

4. Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

(a — b) 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3

6. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 — ab + b 2)

7. Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.

Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.

Пример 1.

Вычислить

а) Используя формулу квадрата суммы двух выражений, имеем

(40+1) 2 = 40 2 + 2 · 40 · 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

б) Используя формулу квадрата разности двух выражений, получим

98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 — 2 · 100 · 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604

Пример 2.

Вычислить

Используя формулу разности квадратов двух выражений, получим

Пример 3.

Упростить выражение

(х — у) 2 + (х + у) 2

Воспользуемся формулами квадрата суммы и квадрата разности двух выражений

(х — у) 2 + (х + у) 2 = х 2 — 2ху + у 2 + х 2 + 2ху + у 2 = 2х 2 + 2у 2

Формулы сокращенного умножения в одной таблице:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a — b) 2 = a 2 — 2ab + b 2
a 2 — b 2 = (a — b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a — b) 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 — ab + b 2)
a 3 — b 3 = (a — b) (a 2 + ab + b 2)

1.Выделение полного квадрата. Формулы корней квадратного уравнения.
2.Примеры решения квадратных уравнений.
3.Решение неполных квадратных уравнений.
4.Разложение квадратного трехчлена на сомножители.

Превращение полного квадратного уравнения в неполное выглядит так (для случая \(b=0\)):

Для случаев, когда \(с=0\) или когда оба коэффициента равны нулю - всё аналогично.

Обратите внимание, что про равенство нулю \(a\) речи не идет, оно равно нулю быть не может, так как в этом случае превратиться в :

Решение неполных квадратных уравнений.

Прежде всего, надо понимать, что неполное квадратное уравнение все-таки является , поэтому может быть решено также как и обычное квадратное (через ). Для этого просто дописываем недостающий компонент уравнения с нулевым коэффициентом.

Пример : Найдите корни уравнения \(3x^2-27=0\)
Решение :

Ответ : \(x_{1}=3\); \(x_{2}=-3\)

Пример : Найдите корни уравнения \(-x^2+x=0\)
Решение :

С помощью этой математической программы вы можете решить квадратное уравнение .

Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс решения двумя способами:
- с помощью дискриминанта
- с помощью теоремы Виета (если возможно).

Причём, ответ выводится точный, а не приближенный.
Например, для уравнения \(81x^2-16x-1=0\) ответ выводится в такой форме:

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода квадратного многочлена, рекомендуем с ними ознакомиться.

Правила ввода квадратного многочлена

В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.д.

Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5x - 3,5x^2

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Результат: \(3\frac{1}{3} - 5\frac{6}{5} z + \frac{1}{7}z^2 \)

При вводе выражения можно использовать скобки . В этом случае при решении квадратного уравнения введённое выражение сначала упрощается.
Например: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...

Если вы заметили ошибку в решении , то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудте указать какую задачу вы решаете и что вводите в поля .

Наши игры, головоломки, эмуляторы:

Немного теории.

Квадратное уравнение и его корни. Неполные квадратные уравнения

Каждое из уравнений
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac{4}{9}=0 \)
имеет вид
\(ax^2+bx+c=0, \)
где x - переменная, a, b и c - числа.
В первом уравнении a = -1, b = 6 и c = 1,4, во втором a = 8, b = -7 и c = 0, в третьем a = 1, b = 0 и c = 4/9. Такие уравнения называют квадратными уравнениями .

Определение.
Квадратным уравнением называется уравнение вида ax 2 +bx+c=0, где x - переменная, a, b и c - некоторые числа, причём \(a \neq 0 \).

Числа a, b и c - коэффициенты квадратного уравнения. Число a называют первым коэффициентом, число b - вторым коэффициентом и число c - свободным членом.

В каждом из уравнений вида ax 2 +bx+c=0, где \(a \neq 0 \), наибольшая степень переменной x - квадрат. Отсюда и название: квадратное уравнение.

Заметим, что квадратное уравнение называют ещё уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.

Квадратное уравнение, в котором коэффициент при x 2 равен 1, называют приведённым квадратным уравнением . Например, приведёнными квадратными уравнениями являются уравнения
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Если в квадратном уравнении ax 2 +bx+c=0 хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением . Так, уравнения -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 - неполные квадратные уравнения. В первом из них b=0, во втором c=0, в третьем b=0 и c=0.

Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:
1) ax 2 +c=0, где \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, где \(b \neq 0 \);
3) ax 2 =0.

Рассмотрим решение уравнений каждого из этих видов.

Для решения неполного квадратного уравнения вида ax 2 +c=0 при \(c \neq 0 \) переносят его свободный член в правую часть и делят обе части уравнения на a:
\(x^2 = -\frac{c}{a} \Rightarrow x_{1,2} = \pm \sqrt{ -\frac{c}{a}} \)

Так как \(c \neq 0 \), то \(-\frac{c}{a} \neq 0 \)

Если \(-\frac{c}{a}>0 \), то уравнение имеет два корня.

Если \(-\frac{c}{a} Для решения неполного квадратного уравнения вида ax 2 +bx=0 при \(b \neq 0 \) раскладывают его левую часть на множители и получают уравнение
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=0 \\ ax+b=0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=0 \\ x=-\frac{b}{a} \end{array} \right. \)

Значит, неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0 при \(b \neq 0 \) всегда имеет два корня.

Неполное квадратное уравнение вида ax 2 =0 равносильно уравнению x 2 =0 и поэтому имеет единственный корень 0.

Формула корней квадратного уравнения

Рассмотрим теперь, как решают квадратные уравнения, в которых оба коэффициента при неизвестных и свободный член отличны от нуля.

Решим квадратне уравнение в общем виде и в результате получим формулу корней. Затем эту формулу можно будет применять при решении любого квадратного уравнения.

Решим квадратное уравнение ax 2 +bx+c=0

Разделив обе его части на a, получим равносильное ему приведённое квадратное уравнение
\(x^2+\frac{b}{a}x +\frac{c}{a}=0 \)

Преобразуем это уравнение, выделив квадрат двучлена:
\(x^2+2x \cdot \frac{b}{2a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2- \left(\frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{c}{a} = 0 \Rightarrow \)

Подкоренное выражение называют дискриминантом квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0 («дискриминант» по латыни - различитель). Его обозначают буквой D, т.е.
\(D = b^2-4ac \)

Теперь, используя обозначение дискриминанта, перепишем формулу для корней квадратного уравнения:
\(x_{1,2} = \frac{ -b \pm \sqrt{D} }{2a} \), где \(D= b^2-4ac \)

Очевидно, что:
1) Если D>0, то квадратное уравнение имеет два корня.
2) Если D=0, то квадратное уравнение имеет один корень \(x=-\frac{b}{2a} \).
3) Если D Таким образом, в зависимости от значения дискриминанта квадратное уравнение может иметь два корня (при D > 0), один корень (при D = 0) или не иметь корней (при D При решении квадратного уравнения по данной формуле целесообразно поступать следующим образом:
1) вычислить дискриминант и сравнить его с нулём;
2) если дискриминант положителен или равен нулю, то воспользоваться формулой корней, если дискриминант отрицателен, то записать, что корней нет.

Теорема Виета

Приведённое квадратное уравнение ax 2 -7x+10=0 имеет корни 2 и 5. Сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Мы видим, что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Таким свойством обладает любое приведённое квадратное уравнение, имеющее корни.

Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Т.е. теорема Виета утверждает, что корни x 1 и x 2 приведённого квадратного уравнения x 2 +px+q=0 обладают свойством:
\(\left\{ \begin{array}{l} x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end{array} \right. \)

Фарафонова Наталия Игоревна

Тема: Неполные квадратные уравнения.

Цели урока: - Ввести понятие неполного квадратного уравнения;

Научить решать неполные квадратные уравнения.

Задачи урока: - Уметь определять вид квадратного уравнения;

Решать неполные квадратные уравнения.

Уебник: Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений/ Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. - М. : Просвещение, 2010.

Ход урока.

1. Напомнить учащимся о том, что прежде, чем решать любое квадратное уравнение, необходимо привести его к стандартному виду. Вспомнить определение полного квадратного уравнения: ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0.

В данных квадратных уравнениях назвать коэффициенты a, b, c:

а) 2x 2 - x + 3 = 0; б) x 2 + 4x - 1 = 0; в) x 2 - 4 = 0; г) 5x 2 + 3x = 0.

2. Дать определение неполного квадратного уравнения:

Квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 называют неполным , если хотя бы один из коэффициентов, bили c, равен 0. Обратить внимание, что коэффициент а ≠ 0. Из уравнений представленных выше, выбрать неполные квадратные уравнения.

3. Виды неполных квадратных уравнений с примерами решений удобнее представить в виде таблице:

1. Не решая, определите количество корней для каждого неполного квадратного уравнения:

а) 2x 2 - 3 = 0; б) 3x 2 + 4 = 0; в) 5x 2 - x = 0; г) 0,6x 2 = 0; д) -8x 2 - 4 = 0.

1. Решить неполные квадратные уравнения (решение уравнений, с проверкой у доски, 2 варианта):

в) 2x 2 + 15 = 0

г) 3x 2 + 2x = 0

д) 2x 2 - 16 = 0

е) 5(x 2 + 2) = 2(x 2 + 5)

ж) (x + 1) 2 - 4 = 0

в) 2x 2 + 7 = 0

г) x 2 + 9x = 0

д) 81x 2 - 64 = 0

е) 2(x 2 + 4) = 4(x 2 + 2)

ж) (x - 2) 2 - 8 = 0.

6. Самостоятельная работа по вариантам:

1 вариант

а) 3x 2 - 12 = 0

б) 2x 2 + 6x = 0

д) 7x 2 - 14 = 0

2 вариант

б) 6x 2 + 24 = 0

в) 9y 2 - 4 = 0

г) -y 2 + 5 = 0

д) 1 - 4y 2 = 0

е) 8y 2 + y = 0

3 вариант

а) 6y - y 2 = 0

б) 0,1y 2 - 0,5y = 0

в) (x + 1)(x -2) = 0

г) x(x + 0,5) = 0

д) x 2 - 2x = 0

е) x 2 - 16 = 0

4 вариант

а) 9x 2 - 1 = 0

б) 3x - 2x 2 = 0

г) x 2 + 2x - 3 = 2x + 6

д) 3x 2 + 7 = 12x+ 7

5 вариант

а) 2x 2 - 18 = 0

б) 3x 2 - 12x = 0

г) x 2 + 16 = 0

д) 6x 2 - 18 = 0

е) x 2 - 5x = 0

6 вариант

б) 4x 2 + 36 = 0

в) 25y 2 - 1 = 0

г) -y 2 + 2 = 0

д) 9 - 16y 2 = 0

е) 7y 2 + y = 0

7 вариант

а) 4y - y 2 = 0

б) 0,2y 2 - y = 0

в) (x + 2)(x - 1) = 0

г) (x - 0,3)x = 0

д) x 2 + 4x = 0

е) x 2 - 36 = 0

8 вариант

а) 16x 2 - 1 = 0

б) 4x - 5x 2 = 0

г) x 2 - 3x - 5 = 11 - 3x

д) 5x 2 - 6 = 15x - 6

Ответы к самостоятельной работе:

1 вариант: а)2, б)0;-3; в)0; г)корней нет; д);

2 вариант а)0; б)корней; в); г); д); е)0;- ;

3 вариант а)0;6; б)0;5; в)-1;2; г)0;-0,5; д)0;2; е)4

4 вариант а); б)0;1,5; в)0;3; г)3; д)0;4 е)5

5 вариант а)3; б)0;4; в)0; г)корней нет; д) е)0;5

6 вариант а)0; б)корней нет; в) г) д)е)0;-

7 вариант а)0;4; б)0;5; в)-2;1; г)0;0,03; д)0;-4; е)6

8 вариант а) б)0; в)0;7; г)4; д)0;3; е)

Итоги урока: Сформулировано понятие «неполное квадратное уравнение»; показаны способы решения разных видов неполных квадратных уравнений. В ходе выполнения различных заданий отработаны навыки решения неполных квадратных уравнений.

7. Домашнее задание: №№ 421(2), 422(2), 423(2,4), 425.

Дополнительное задание:

При каких значениях a уравнение является неполным квадратным уравнением? Решите уравнение при полученных значениях a:

а) x 2 + 3ax + a - 1 = 0

б) (a - 2)x 2 + ax = 4 - a 2 = 0

Уравнение принимает вид:

Решим его в общем виде:

Замечание : уравнение будет иметь корни только в том случае, если , иначе окажется, что квадрат

равен отрицательному числу, а это невозможно.

Ответ:

Пример:

Ответ:

Последний переход сделали потому, что иррациональность в знаменателе оставляют крайне редко.

2. Свободный член равен нулю (с=0).

Уравнение принимает вид:

Решим его в общем виде:

Для решения приведённых квадратных уравнений , т.е. если коэффициент

a = 1:

x 2 +bx+c=0,

тогда x 1 x 2 =c

x 1 +x 2 =−b

Для полного квадратного уравнения, в котором a≠1 :

x 2 +b x+ c =0,

делим все уравнение на а:

→ →

где x 1 и x 2 - корни уравнения.

Приём третий . Если в вашем уравнении есть дробные коэффициенты, - избавьтесь от дробей! Домножьте

уравнение на общий знаменатель.

Вывод. Практические советы:

1. Перед решением приводим квадратное уравнение к стандартному виду, выстраиваем его правильно .

2. Если перед иксом в квадрате стоит отрицательный коэффициент, ликвидируем его умножением

всего уравнения на -1.

3. Если коэффициенты дробные - ликвидируем дроби умножением всего уравнения на соответствующий

множитель.

4. Если икс в квадрате - чистый, коэффициент при нём равен единице, решение можно легко проверить по