Poenostavitev trigonometričnih izrazov na spletu. Identitetne transformacije trigonometričnih izrazov

AT identične transformacije trigonometrične izraze uporabimo lahko naslednje algebraične trike: seštevanje in odštevanje enakih členov; jemanje skupnega faktorja iz oklepajev; množenje in deljenje z isto vrednostjo; uporaba formul za skrajšano množenje; izbor polnega kvadrata; faktorizacija kvadratnega trinoma; uvedba novih spremenljivk za poenostavitev transformacij.

Pri pretvarjanju trigonometričnih izrazov, ki vsebujejo ulomke, lahko uporabite lastnosti sorazmerja, redukcije ulomkov ali redukcije ulomkov na skupni imenovalec. Poleg tega lahko uporabite izbiro celega dela ulomka, tako da števec in imenovalec ulomka pomnožite z isto vrednostjo in, če je mogoče, upoštevate enakomernost števca ali imenovalca. Po potrebi lahko ulomek predstavite kot vsoto ali razliko več enostavnejših ulomkov.

Poleg tega je treba pri uporabi vseh potrebnih metod za pretvorbo trigonometričnih izrazov nenehno upoštevati obseg dovoljenih vrednosti pretvorjenih izrazov.

Poglejmo si nekaj primerov.

Primer 1

Izračunajte A = (sin (2x - π) cos (3π - x) + sin (2x - 9π/2) cos (x + π/2)) 2 + (cos (x - π/2) cos ( 2x – 7π) /2) +
+ sin (3π/2 - x) sin (2x -5π/2)) 2

rešitev.

Iz redukcijskih formul sledi:

sin (2x - π) \u003d -sin 2x; cos (3π - x) \u003d -cos x;

sin (2x - 9π / 2) \u003d -cos 2x; cos (x + π/2) = -sin x;

cos (x - π / 2) \u003d sin x; cos (2x - 7π/2) = -sin 2x;

sin (3π / 2 - x) \u003d -cos x; sin (2x - 5π / 2) \u003d -cos 2x.

Od koder na podlagi formul za dodajanje argumentov in osnovne trigonometrične identitete dobimo

A \u003d (sin 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 \u003d sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) \u003d
= sin 2 3x + cos 2 3x = 1

Odgovor: 1.

Primer 2

Pretvorite izraz M = cos α + cos (α + β) cos γ + cos β – sin (α + β) sin γ + cos γ v produkt.

rešitev.

Iz formul za seštevanje argumentov in formul za pretvorbo vsote trigonometričnih funkcij v produkt imamo po ustreznem grupiranju

М = (cos (α + β) cos γ - sin (α + β) sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + 2cos (α + (β + γ)/2) cos ((β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) (cos ((β – γ)/2) + cos (α + (β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) 2cos ((β – γ)/2 + α + (β + γ)/2)/2) cos ((β – γ)/2) – (α + ( β + γ)/2)/2) =

4cos ((β + γ)/2) cos ((α + β)/2) cos ((α + γ)/2).

Odgovor: М = 4cos ((α + β)/2) cos ((α + γ)/2) cos ((β + γ)/2).

Primer 3.

Pokažite, da izraz A \u003d cos 2 (x + π / 6) - cos (x + π / 6) cos (x - π / 6) + cos 2 (x - π / 6) vzame za vse x iz R eno in enako vrednost. Poiščite to vrednost.

rešitev.

Predstavljamo dve metodi za rešitev tega problema. Z uporabo prve metode z izolacijo polnega kvadrata in uporabo ustreznih osnovnih trigonometričnih formul dobimo

A \u003d (cos (x + π / 6) - cos (x - π / 6)) 2 + cos (x - π / 6) cos (x - π / 6) \u003d

4sin 2 x sin 2 π/6 + 1/2(cos 2x + cos π/3) =

Sin 2 x + 1/2 cos 2x + 1/4 = 1/2 (1 - cos 2x) + 1/2 cos 2x + 1/4 = 3/4.

Pri reševanju problema na drugi način upoštevajte A kot funkcijo x iz R in izračunajte njen odvod. Po transformacijah dobimo

А´ \u003d -2cos (x + π/6) sin (x + π/6) + (sin (x + π/6) cos (x - π/6) + cos (x + π/6) sin ( x + π/6)) - 2cos (x - π/6) sin (x - π/6) =

Sin 2(x + π/6) + sin ((x + π/6) + (x - π/6)) - sin 2(x - π/6) =

Sin 2x - (sin (2x + π/3) + sin (2x - π/3)) =

Sin 2x - 2sin 2x cos π/3 = sin 2x - sin 2x ≡ 0.

Zato na podlagi kriterija konstantnosti funkcije, diferencibilne na intervalu, sklepamo, da

A(x) ≡ (0) = cos 2 π/6 - cos 2 π/6 + cos 2 π/6 = (√3/2) 2 = 3/4, x ∈ R.

Odgovor: A = 3/4 za x € R.

Glavne metode dokazovanja trigonometričnih identitet so:

a) redukcija leve strani identitete na desno stran z ustreznimi transformacijami;
b) zmanjšanje desne strani identitete na levo;
v) redukcija desnega in levega dela identitete na isto obliko;
G) zmanjšanje razlike med levim in desnim delom dokazovane identitete na nič.

Primer 4

Preverite, ali je cos 3x = -4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3).

rešitev.

Če transformiramo desno stran te identitete v skladu z ustreznimi trigonometričnimi formulami, imamo

4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3) =

2cos x (cos ((x + π/3) + (x + 2π/3)) + cos ((x + π/3) – (x + 2π/3))) =

2cos x (cos (2x + π) + cos π/3) =

2cos x cos 2x - cos x = (cos 3x + cos x) - cos x = cos 3x.

Desna stran identitete je zmanjšana na levo stran.

Primer 5

Dokaži, da je sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α cos β cos γ = 2, če so α, β, γ notranji koti nekega trikotnika.

rešitev.

Če upoštevamo, da so α, β, γ notranji koti nekega trikotnika, dobimo, da

α + β + γ = π in torej γ = π – α – β.

sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α cos β cos γ =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (π - α - β) - 2cos α cos β cos (π - α - β) =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α - β) (cos (α + β) =

Sin 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α - β) (cos (α + β) =

1/2 (1 - cos 2α) + ½ (1 - cos 2β) + 1 + 1/2 (cos 2α + cos 2β) = 2.

Prvotna enakost je dokazana.

Primer 6

Dokaži, da je za to, da je eden od kotov α, β, γ trikotnika enak 60°, nujno in zadostno, da je sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

rešitev.

Pogoj tega problema predpostavlja dokaz nujnosti in zadostnosti.

Najprej dokažemo potreba.

Lahko se pokaže, da

sin 3α + sin 3β + sin 3γ = -4cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2).

Torej, ob upoštevanju, da cos (3/2 60°) = cos 90° = 0, dobimo, da če je eden od kotov α, β ali γ enak 60°, potem

cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0 in zato sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Dokažimo zdaj ustreznost določeno stanje.

Če je sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0, potem je cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0, in torej

ali cos (3α/2) = 0 ali cos (3β/2) = 0 ali cos (3γ/2) = 0.

Posledično

ali 3α/2 = π/2 + πk, tj. α = π/3 + 2πk/3,

ali 3β/2 = π/2 + πk, tj. β = π/3 + 2πk/3,

ali 3γ/2 = π/2 + πk,

tiste. γ = π/3 + 2πk/3, kjer je k ϵ Z.

Iz dejstva, da so α, β, γ koti trikotnika, imamo

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

Zato je za α = π/3 + 2πk/3 ali β = π/3 + 2πk/3 oz.

γ = π/3 + 2πk/3 od vseh kϵZ ustreza le k = 0.

Od tod sledi bodisi α = π/3 = 60°, bodisi β = π/3 = 60° bodisi γ = π/3 = 60°.

Trditev je dokazana.

Imaš kakšno vprašanje? Ne veste, kako poenostaviti trigonometrične izraze?
Za pomoč mentorja - registrirajte se.
Prva lekcija je brezplačna!

spletno mesto, s popolnim ali delnim kopiranjem gradiva je obvezna povezava do vira.

Oddelki: matematika

Razred: 11

Lekcija 1

Tema: 11. razred (priprava na izpit)

Poenostavitev trigonometričnih izrazov.

Rešitev najenostavnejših trigonometričnih enačb. (2 uri)

Cilji:

• Sistematizirati, posplošiti, razširiti znanje in spretnosti učencev v zvezi z uporabo trigonometričnih formul in reševanjem najpreprostejših trigonometričnih enačb.

Oprema za lekcijo:

Struktura lekcije:

1. Orgmoment
2. Testiranje na prenosnikih. Razprava o rezultatih.
3. Poenostavitev trigonometričnih izrazov
4. Rešitev najenostavnejših trigonometričnih enačb
5. Samostojno delo.
6. Povzetek lekcije. Razlaga domače naloge.

1. Organizacijski trenutek. (2 minuti.)

Učitelj pozdravi občinstvo, napove temo lekcije, se spomni, da je bila prej dana naloga ponoviti trigonometrične formule in učence pripravi na testiranje.

2. Testiranje. (15min + 3min razprave)

Cilj je preveriti poznavanje trigonometričnih formul in sposobnost njihove uporabe. Vsak učenec ima na mizi prenosni računalnik, v katerem je možnost testiranja.

Možnosti je lahko poljubno, dal bom primer ene od njih:

I možnost.

Poenostavite izraze:

a) osnovne trigonometrične identitete

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) adicijske formule

3. sin5x - sin3x;

c) pretvarjanje zmnožka v vsoto

6. 2sin8y cos3y;

d) formule dvojnega kota

7,2sin5x cos5x;

e) formule polovičnega kota

f) formule trojnega kota

g) univerzalna zamenjava

h) znižanje stopnje

16. cos 2 (3x/7);

Učenci na prenosnem računalniku pred vsako formulo vidijo svoje odgovore.

Delo takoj preveri računalnik. Rezultati so prikazani na velikem zaslonu, ki ga lahko vidijo vsi.

Prav tako se po koncu dela na prenosnih računalnikih učencev prikažejo pravilni odgovori. Vsak učenec vidi, kje je bila storjena napaka in katere formule mora ponoviti.

3. Poenostavitev trigonometričnih izrazov. (25 min.)

Cilj je ponoviti, obdelati in utrditi uporabo osnovnih formul trigonometrije. Reševanje nalog B7 iz izpita.

Na tej stopnji je priporočljivo razdeliti razred v skupine močnih (samostojno delo z naknadnim preverjanjem) in šibkih učencev, ki delajo z učiteljem.

Naloga za močnejše študente (vnaprej pripravljena v tiskani obliki). Glavni poudarek je na formulah redukcije in dvojnega kota, glede na USE 2011.

Poenostavite izraze (za močne učence):

Vzporedno učitelj dela s šibkimi učenci, razpravlja in rešuje naloge na ekranu po nareku učencev.

Izračunajte:

5) sin(270º - α) + cos(270º + α)

6)

Poenostavite:

Na vrsti je bila razprava o rezultatih dela močne skupine.

Na zaslonu se prikažejo odgovori, prav tako pa se s pomočjo video kamere prikaže delo 5 različnih učencev (za vsakega ena naloga).

Šibka skupina vidi stanje in način rešitve. Obstaja razprava in analiza. Z uporabo tehničnih sredstev se to zgodi hitro.

4. Rešitev najenostavnejših trigonometričnih enačb. (30 minut.)

Cilj je ponoviti, sistematizirati in posplošiti reševanje najpreprostejših trigonometričnih enačb z zapisom njihovih korenov. Rešitev problema B3.

Vsaka trigonometrična enačba, ne glede na to, kako jo rešimo, vodi do najpreprostejše.

Pri reševanju naloge naj bodo učenci pozorni na pisanje korenov enačb posameznih primerov in splošne oblike ter na izbiro korenov v zadnji enačbi.

Reši enačbe:

Zapišite najmanjši pozitivni koren odgovora.

5. Samostojno delo (10 min.)

Cilj je preizkus osvojenih veščin, prepoznavanje težav, napak in načinov njihove odprave.

Študentom so na voljo različna dela po izbiri.

Možnost za "3"

1) Poiščite vrednost izraza

2) Poenostavite izraz 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Reši enačbo

Možnost za "4"

1) Poiščite vrednost izraza

2) Reši enačbo Zapišite najmanjši pozitivni koren svojega odgovora.

Možnost za "5"

1) Poiščite tgα, če

2) Poiščite koren enačbe Zapišite najmanjši pozitivni koren svojega odgovora.

6. Povzetek lekcije (5 min.)

Učitelj povzame dejstvo, da je lekcija ponovila in utrdila trigonometrične formule, rešitve najpreprostejših trigonometričnih enačb.

Domača naloga je dodeljena (natisnjena vnaprej pripravljena) z naključnim preverjanjem v naslednji lekciji.

Reši enačbe:

9)

10) Podajte svoj odgovor kot najmanjši pozitivni koren.

Lekcija 2

Tema: 11. razred (priprava na izpit)

Metode reševanja trigonometričnih enačb. Izbira korenin. (2 uri)

Cilji:

• Posplošite in sistematizirajte znanje o reševanju trigonometričnih enačb različnih vrst.
• Spodbujati razvoj matematičnega mišljenja učencev, sposobnosti opazovanja, primerjanja, posploševanja, razvrščanja.
• Spodbujajte študente k premagovanju težav v procesu duševne dejavnosti, k samokontroli, introspekciji svojih dejavnosti.

Oprema za lekcijo: KRMu, prenosniki za vsakega študenta.

Struktura lekcije:

1. Orgmoment
2. Razprava d / s in samot. delo zadnje lekcije
3. Ponovitev metod reševanja trigonometričnih enačb.
4. Reševanje trigonometričnih enačb
5. Izbira korenin v trigonometričnih enačbah.
6. Samostojno delo.
7. Povzetek lekcije. Domača naloga.

1. Organizacijski trenutek (2 min.)

Učitelj pozdravi občinstvo, napove temo lekcije in delovni načrt.

2. a) Analiza domače naloge (5 min.)

Cilj je preveriti uspešnost. Eno delo s pomočjo video kamere je prikazano na ekranu, ostala so selektivno zbrana, da jih učitelj preveri.

b) Analiza samostojnega dela (3 min.)

Cilj je razvrstiti napake, nakazati načine za njihovo premagovanje.

Na ekranu so odgovori in rešitve, učenci so svoja dela že vnaprej izdali. Analiza poteka hitro.

3. Ponovitev metod reševanja trigonometričnih enačb (5 min.)

Cilj je spomniti se metod za reševanje trigonometričnih enačb.

Učence vprašajte, katere metode reševanja trigonometričnih enačb poznajo. Poudarite, da obstajajo tako imenovane osnovne (pogosto uporabljene) metode:

• spremenljiva zamenjava,
• faktorizacija,
• homogene enačbe,

in obstajajo uporabljene metode:

• po formulah za pretvorbo vsote v zmnožek in zmnožek v vsoto,
• z redukcijskimi formulami,
• univerzalna trigonometrična zamenjava
• uvedba pomožnega kota,
• množenje z neko trigonometrično funkcijo.

Prav tako je treba spomniti, da je eno enačbo mogoče rešiti na različne načine.

4. Reševanje trigonometričnih enačb (30 min.)

Cilj je posplošiti in utrditi znanje in spretnosti o tej temi, pripraviti se na reševanje C1 iz USE.

Zdi se mi smotrno enačbe za vsako metodo reševati skupaj z učenci.

Učenec narekuje rešitev, učitelj zapisuje na tablico, celoten postopek se prikaže na ekranu. To vam bo omogočilo hitro in učinkovito obnovitev predhodno obdelanega gradiva v vašem spominu.

Reši enačbe:

1) sprememba spremenljivke 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) faktorizacija 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) homogene enačbe sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) pretvorba vsote v produkt cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) pretvorba produkta v vsoto 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) znižanje stopnje sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x \u003d 0,5

7) univerzalna trigonometrična zamenjava sinx + 5cosx + 5 = 0.

Pri reševanju te enačbe je treba upoštevati, da uporaba te metode vodi do zožitve domene definicije, saj sinus in kosinus nadomestita tg(x/2). Zato je treba pred izpisom odgovora preveriti, ali so števila iz množice π + 2πn, n Z konji te enačbe.

8) uvedba pomožnega kota √3sinx + cosx - √2 = 0

9) množenje z neko trigonometrično funkcijo cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Izbira korenov trigonometričnih enačb (20 min.)

Ker v pogojih hude konkurence pri vpisu na univerze rešitev enega prvega dela izpita ni dovolj, bi morala biti večina študentov pozorna na naloge drugega dela (C1, C2, C3).

Zato je namen te stopnje lekcije spomniti predhodno preučenega gradiva, se pripraviti na reševanje problema C1 iz USE leta 2011.

Obstajajo trigonometrične enačbe, v katerih morate pri zapisovanju odgovora izbrati korenine. To je posledica nekaterih omejitev, na primer: imenovalec ulomka ni enak nič, izraz pod korenom sode stopnje je nenegativen, izraz pod znakom logaritma je pozitiven itd.

Takšne enačbe veljajo za enačbe povečane kompleksnosti in so v različici USE v drugem delu, in sicer C1.

Reši enačbo:

Ulomek je nič, če potem z uporabo enotskega kroga bomo izbrali korenine (glej sliko 1)

Slika 1.

dobimo x = π + 2πn, n Z

Odgovor: π + 2πn, n Z

Na zaslonu je izbor korenin prikazan na krogu v barvni sliki.

Produkt je enak nič, ko je vsaj eden od faktorjev enak nič, lok pa pri tem ne izgubi pomena. Potem

Z uporabo enotskega kroga izberite korenine (glejte sliko 2)

Video lekcija "Poenostavitev trigonometričnih izrazov" je zasnovana tako, da razvija spretnosti študentov pri reševanju trigonometričnih problemov z uporabo osnovnih trigonometričnih identitet. Med video lekcijo so obravnavane vrste trigonometričnih identitet, primeri reševanja problemov z njihovo uporabo. Z uporabo vizualnih pripomočkov učitelj lažje doseže cilje lekcije. Živahna predstavitev gradiva prispeva k zapomnitvi pomembnih točk. Uporaba animacijskih učinkov in glasovne igre vam omogoča, da popolnoma nadomestite učitelja na stopnji razlage gradiva. Tako lahko učitelj z uporabo tega vizualnega pripomočka pri pouku matematike poveča učinkovitost poučevanja.

Na začetku video lekcije je napovedana njena tema. Nato se spomnimo trigonometričnih identitet, ki smo jih preučevali prej. Na zaslonu so prikazane enakosti sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t, kjer je t≠π/2+πk za kϵZ, ctg t=cos t/sin t, velja za t≠πk, kjer je kϵZ, tan t · ctg t=1, pri t≠πk/2, kjer je kϵZ, imenovane osnovne trigonometrične identitete. Opozoriti je treba, da se te identitete pogosto uporabljajo pri reševanju problemov, kjer je treba dokazati enakost ali poenostaviti izraz.

Nadalje so obravnavani primeri uporabe teh identitet pri reševanju problemov. Najprej je predlagano, da razmislimo o reševanju problemov poenostavljanja izrazov. V primeru 1 je potrebno poenostaviti izraz cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t. Za rešitev primera je skupni faktor cos 2 t najprej v oklepaju. Kot rezultat takšne transformacije v oklepajih dobimo izraz 1- cos 2 t, katerega vrednost iz osnovne identitete trigonometrije je enaka sin 2 t. Po transformaciji izraza je očitno, da lahko iz oklepaja vzamemo še en skupni faktor sin 2 t, po katerem izraz dobi obliko sin 2 t (sin 2 t + cos 2 t). Iz iste osnovne identitete izpeljemo vrednost izraza v oklepaju, ki je enaka 1. Kot rezultat poenostavitve dobimo cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t.

V primeru 2 je treba poenostaviti tudi izraz cost/(1- sint)+ cost/(1+ sint). Ker je cena izraza v števcih obeh ulomkov, jo lahko označimo kot skupni faktor. Nato se ulomki v oklepajih zmanjšajo na skupni imenovalec z množenjem (1- sint) (1+ sint). Po zmanjšanju podobnih členov ostane 2 v števcu, 1 - sin 2 t pa v imenovalcu. Na desni strani zaslona se prikliče osnovna trigonometrična identiteta sin 2 t+cos 2 t=1. Z njim poiščemo imenovalec ulomka cos 2 t. Po zmanjšanju ulomka dobimo poenostavljeno obliko izraza stroški / (1- sint) + stroški / (1 + sint) \u003d 2 / stroški.

V nadaljevanju obravnavamo primere dokazovanja identitet, v katerih uporabimo pridobljeno znanje o osnovnih identitetah trigonometrije. V primeru 3 je potrebno dokazati istovetnost (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t. Na desni strani zaslona so prikazane tri identitete, ki bodo potrebne za dokaz - tg t·ctg t=1, ctg t=cos t/sin t in tg t=sin t/cos t z omejitvami. Za dokaz identitete se najprej odprejo oklepaji, nato pa se oblikuje produkt, ki odraža izraz glavne trigonometrične identitete tg t·ctg t=1. Nato se po identiteti iz definicije kotangensa transformira ctg 2 t. Kot rezultat transformacij dobimo izraz 1-cos 2 t. Z uporabo osnovne identitete poiščemo vrednost izraza. Tako je dokazano, da (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t.

V primeru 4 morate poiskati vrednost izraza tg 2 t+ctg 2 t, če je tg t+ctg t=6. Za ovrednotenje izraza najprej kvadriramo desno in levo stran enačbe (tg t+ctg t) 2 =6 2. Na desni strani zaslona je prikazana skrajšana formula za množenje. Po odprtju oklepajev na levi strani izraza nastane vsota tg 2 t+2 tg t ctg t+ctg 2 t, za transformacijo katere lahko uporabimo eno od trigonometričnih identitet tg t ctg t=1, katerega oblika se prikliče na desni strani zaslona. Po transformaciji dobimo enakost tg 2 t+ctg 2 t=34. Leva stran enačbe sovpada s pogojem naloge, zato je odgovor 34. Naloga je rešena.

Video lekcijo "Poenostavitev trigonometričnih izrazov" priporočamo za uporabo pri tradicionalni šolski lekciji matematike. Gradivo bo koristno tudi učitelju, ki izvaja učenje na daljavo. Da bi oblikovali veščino reševanja trigonometričnih problemov.

INTERPRETACIJA BESEDILA:

"Poenostavitev trigonometričnih izrazov".

Enakopravnost

1)sin 2 t + cos 2 t = 1 (sinus na kvadrat te plus kosinus na kvadrat te je enako ena)

2) tgt =, pri t ≠ + πk, kϵZ (tangens te je enak razmerju med sinusom te in kosinusom te, ko te ni enak pi za dva plus pi ka, ka pripada zet)

3) ctgt = , pri t ≠ πk, kϵZ (kotangens te je enak razmerju med kosinusom te in sinusom te, kadar te ni enak vrhu ka, ki pripada z).

4)tgt ∙ ctgt = 1 za t ≠ , kϵZ

imenujemo osnovne trigonometrične identitete.

Pogosto se uporabljajo za poenostavljanje in dokazovanje trigonometričnih izrazov.

Razmislite o primerih uporabe teh formul pri poenostavljanju trigonometričnih izrazov.

PRIMER 1. Poenostavite izraz: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (izraz a kosinus na kvadrat te minus kosinus četrte stopnje te plus sinus četrte stopnje te).

rešitev. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t = cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) = sin 2 t 1 = sin 2 t

(odvzamemo skupni faktor kosinus kvadrat te, v oklepaju dobimo razliko med enoto in kvadratom kosinusa te, ki je po prvi istovetnosti enak kvadratu sinusa te. Dobimo vsoto sinusa četrtega stopnja te zmnožka kosinusa kvadrata te in sinusa kvadrata te Izven oklepaja iznesemo skupni faktor sinus kvadrat te, v oklepaju dobimo vsoto kvadratov kosinusa in sinusa, ki glede na osnovno trigonometrijo identiteta, je enaka 1. Kot rezultat dobimo kvadrat sinusa te).

PRIMER 2. Poenostavimo izraz: + .

(izraz je vsota dveh ulomkov v števcu prvega kosinusa te v imenovalcu ena minus sinus te, v števcu drugega kosinusa te v imenovalcu drugega plus sinus te).

(Skupni faktor kosinus te vzamemo iz oklepajev, v oklepajih pa ga pripeljemo na skupni imenovalec, ki je zmnožek ena minus sinus te z ena plus sinus te.

V števcu dobimo: ena plus sinus te plus ena minus sinus te, damo podobne, števec je enak dvema po prinašanju podobnih.

V imenovalcu lahko uporabimo skrajšano formulo množenja (razlika kvadratov) in dobimo razliko med enoto in kvadratom sinusa te, ki po osnovni trigonometrični istovetnosti

je enak kvadratu kosinusa te. Po zmanjšanju s kosinusom te dobimo končni odgovor: dva deljeno s kosinusom te).

Razmislite o primerih uporabe teh formul pri dokazovanju trigonometričnih izrazov.

PRIMER 3. Dokažite istovetnost (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t \u003d sin 2 t (zmnožek razlike med kvadratoma tangensa te in sinusa te ter kvadrata kotangensa od te je enako kvadratu sinusa te).

Dokaz.

Transformirajmo levo stran enakosti:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t =1 - sin 2 t ∙ = 1 - cos 2 t = greh 2 t

(Odprimo oklepaje, iz prej pridobljene relacije je znano, da je zmnožek kvadratov tangensa te in kotangensa te enak ena. Spomnimo se, da je kotangens te enak razmerju kosinusa te te na sinus od te, kar pomeni, da je kvadrat kotangensa razmerje med kvadratom kosinusa od te in kvadratom sinusa od te.

Po zmanjšanju za sinus kvadrat te dobimo razliko med enoto in kosinusom kvadrata te, ki je enak sinusu kvadrata te). Q.E.D.

PRIMER 4. Poiščite vrednost izraza tg 2 t + ctg 2 t, če je tgt + ctgt = 6.

(vsota kvadratov tangensa te in kotangensa te, če je vsota tangensa in kotangensa šest).

rešitev. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

Kvadrirajmo oba dela prvotne enakosti:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (kvadrat vsote tangensa te in kotangensa te je šest na kvadrat). Spomnimo se skrajšane formule množenja: Kvadrat vsote dveh količin je enak kvadratu prve plus dvakratni produkt prve in druge plus kvadrat druge. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Dobimo tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 .

Ker je produkt tangensa te in kotangensa te enak ena, potem je tg 2 t + 2 + ctg 2 t \u003d 36 (vsota kvadratov tangensa te in kotangensa te in dva je šestintrideset),