Reševanje trigonometričnih enačb. Trigonometrične enačbe Rešite trigonometrično enačbo sinx 1 2

Video tečaj "Get an A" vključuje vse teme, ki so potrebne za uspešno opravljanje izpita iz matematike s 60-65 točkami. Popolnoma vse naloge 1-13 profila USE v matematiki. Primeren tudi za opravljanje osnovne USE iz matematike. Če želite opraviti izpit z 90-100 točkami, morate 1. del rešiti v 30 minutah in brez napak!

Pripravljalni tečaj za izpit za 10.-11. razred, pa tudi za učitelje. Vse, kar potrebujete za rešitev 1. dela izpita iz matematike (prvih 12 nalog) in naloge 13 (trigonometrija). In to je več kot 70 točk na enotnem državnem izpitu in brez njih ne more niti študent s sto točkami niti humanist.

Vsa potrebna teorija. Hitre rešitve, pasti in skrivnosti izpita. Analizirane so vse relevantne naloge 1. dela iz nalog Banke FIPI. Tečaj v celoti ustreza zahtevam USE-2018.

Tečaj obsega 5 velikih tem, vsaka po 2,5 ure. Vsaka tema je podana od začetka, preprosto in jasno.

Na stotine izpitnih nalog. Besedilni problemi in teorija verjetnosti. Preprosti algoritmi za reševanje problemov, ki si jih je lahko zapomniti. Geometrija. Teorija, referenčni material, analiza vseh vrst nalog USE. Stereometrija. Zvit triki za reševanje, koristne goljufije, razvoj prostorske domišljije. Trigonometrija iz nič - do naloge 13. Razumevanje namesto nabijanja. Vizualna razlaga kompleksnih pojmov. Algebra. Koreni, potence in logaritmi, funkcija in odvod. Osnova za reševanje kompleksnih nalog 2. dela izpita.

Vaša zasebnost nam je pomembna. Iz tega razloga smo razvili Politiko zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preberite naš pravilnik o zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.

Zbiranje in uporaba osebnih podatkov

Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo ali vzpostavitev stika z določeno osebo.

Kadar koli stopite v stik z nami, boste morda morali posredovati svoje osebne podatke.

Sledi nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako lahko te podatke uporabimo.

Katere osebne podatke zbiramo:

• Ko na spletnem mestu oddate prijavo, lahko zberemo različne podatke, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, e-poštnim naslovom itd.

Kako uporabljamo vaše osebne podatke:

• Osebni podatki, ki jih zbiramo, nam omogočajo, da vas kontaktiramo in vas obveščamo o edinstvenih ponudbah, promocijah in drugih dogodkih ter prihajajočih dogodkih.
• Občasno lahko uporabimo vaše osebne podatke, da vam pošljemo pomembna obvestila in sporočila.
• Osebne podatke lahko uporabljamo tudi za interne namene, kot so izvajanje revizij, analize podatkov in različne raziskave, da bi izboljšali storitve, ki jih nudimo, in vam dali priporočila glede naših storitev.
• Če sodelujete v nagradnem žrebanju, tekmovanju ali podobni spodbudi, lahko podatke, ki nam jih posredujete, uporabimo za upravljanje takih programov.

Razkritje tretjim osebam

Podatkov, ki jih prejmemo od vas, ne razkrivamo tretjim osebam.

Izjeme:

• V primeru, da je to potrebno - v skladu z zakonom, sodnim redom, v sodnem postopku in / ali na podlagi javnih zahtev ali zahtev državnih organov na ozemlju Ruske federacije - razkriti vaše osebne podatke. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je tako razkritje potrebno ali primerno zaradi varnosti, kazenskega pregona ali drugih namenov javnega interesa.
• V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustreznega tretjega naslednika.

Varstvo osebnih podatkov

Sprejemamo previdnostne ukrepe – vključno z administrativnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo ter pred nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.

Ohranjanje vaše zasebnosti na ravni podjetja

Da zagotovimo, da so vaši osebni podatki varni, našim zaposlenim sporočamo prakse glede zasebnosti in varnosti ter jih strogo uveljavljamo.

Nekoč sem bil priča pogovoru med dvema prosilcema:

– Kdaj morate dodati 2πn in kdaj - πn? Ne morem se spomniti!

- In jaz imam isti problem.

Hotel sem jim reči: "Ni treba zapomniti, ampak razumeti!"

Ta članek je namenjen predvsem srednješolcem in upam, da jim bo pomagal pri "razumevanju" reševanja najpreprostejših trigonometričnih enačb:

Številčni krog

Poleg pojma številska premica obstaja tudi pojem številski krog. Kot vemo, v pravokotnem koordinatnem sistemu se krog s središčem v točki (0; 0) in polmerom 1 imenuje enotski krog. Predstavljajte si številsko premico s tanko nitjo in jo navijte okoli tega kroga: referenčna točka (točka 0), jo pritrdite na "desno" točko enotskega kroga, ovijte pozitivno pol os v nasprotni smeri urinega kazalca in negativno pol os v smeri ( Slika 1). Tak enotski krog se imenuje številski krog.

Lastnosti številskega kroga

• Vsako realno število je na eni točki številskega kroga.
• Na vsaki točki številskega kroga je neskončno veliko realnih števil. Ker je dolžina enotskega kroga 2π, je razlika med poljubnima številoma na eni točki kroga enaka enemu od števil ±2π; ±4π; ±6π; …

Naj zaključimo: če poznamo eno od števil točke A, lahko najdemo vsa števila točke A.

Narišimo AC premer (slika 2). Ker je x_0 eno od števil točke A, potem so števila x_0±π ; x_0±3π; x_0±5π; … in samo oni bodo števila točke C. Izberimo eno od teh števil, recimo x_0+π, in z njim zapišimo vsa števila točke C: x_C=x_0+π+2πk ,k∈ Z. Upoštevajte, da lahko števila v točkah A in C združimo v eno formulo: x_(A ; C)=x_0+πk ,k∈Z (za k = 0; ±2; ±4; ... dobimo števila točka A, za k = ±1, ±3, ±5, … so številke točke C).

Naj zaključimo: če poznamo eno od števil na eni od točk A ali C premera AC, lahko najdemo vsa števila na teh točkah.

• Dve nasprotni števili se nahajata na točkah kroga, ki sta simetrični glede na abscisno os.

Narišimo navpično tetivo AB (slika 2). Ker sta točki A in B simetrični glede na os Ox, se število -x_0 nahaja v točki B in so zato vsa števila točke B podana s formulo: x_B=-x_0+2πk ,k∈Z. Števili v točkah A in B zapišemo z eno formulo: x_(A ; B)=±x_0+2πk ,k∈Z. Zaključimo: če poznamo eno od števil v eni od točk A ali B navpične tetive AB, lahko najdemo vsa števila v teh točkah. Upoštevajte vodoravno tetivo AD in poiščite številke točke D (slika 2). Ker je BD premer in število -x_0 pripada točki B, potem je -x_0 + π eno od števil točke D in so zato vsa števila te točke podana s formulo x_D=-x_0+π+2πk ,k∈Z. Številke v točkah A in D lahko zapišemo z eno formulo: x_(A ; D)=(-1)^k∙x_0+πk ,k∈Z . (pri k= 0; ±2; ±4; ... dobimo številke točke A, pri k = ±1; ±3; ±5; ... - številke točke D).

Naj zaključimo: če poznamo eno od števil v eni od točk A ali D vodoravne tetive AD, lahko najdemo vsa števila v teh točkah.

Šestnajst glavnih točk številskega kroga

V praksi je rešitev večine najpreprostejših trigonometričnih enačb povezana s šestnajstimi točkami kroga (slika 3). Kaj so te pike? Rdeče, modre in zelene pike delijo krog na 12 enakih delov. Ker je dolžina polkroga π, je dolžina loka A1A2 π/2, dolžina loka A1B1 je π/6 in dolžina loka A1C1 je π/3.

Zdaj lahko na točkah določimo eno številko:

π/3 na S1 in

Oglišča oranžnega kvadrata so središča lokov vsake četrtine, zato je dolžina loka A1D1 enaka π/4, zato je π/4 eno od števil točke D1. Z uporabo lastnosti številskega kroga lahko s formulami zapišemo vsa števila na vseh označenih točkah našega kroga. Na sliki so prikazane tudi koordinate teh točk (izpuščamo opis njihovega zajema).

Ko smo se naučili zgoraj, imamo zdaj dovolj pripravljenosti za reševanje posebnih primerov (za devet vrednosti števila a) najpreprostejše enačbe.

Reši enačbe

1)sinx=1⁄(2).

– Kaj se zahteva od nas?

– Poiščite vsa tista števila x, katerih sinus je 1/2.

Spomnite se definicije sinusa: sinx - ordinata točke številskega kroga, na kateri se nahaja število x. Na krožnici imamo dve točki, katerih ordinata je enaka 1/2. To so konci vodoravne tetive B1B2. To pomeni, da je zahteva “reši enačbo sinx=1⁄2” enakovredna zahtevi “poišči vsa števila v točki B1 in vsa števila v točki B2”.

2)sinx=-√3⁄2 .

Poiskati moramo vsa števila v točkah C4 in C3.

3) sinx=1. Na krožnici imamo samo eno točko z ordinato 1 - točko A2, zato moramo najti le vsa števila te točke.

Odgovor: x=π/2+2πk , k∈Z .

4)sinx=-1 .

Samo točka A_4 ima ordinato -1. Vsa števila te točke bodo konji enačbe.

Odgovor: x=-π/2+2πk , k∈Z .

5) sinx=0 .

Na krožnici imamo dve točki z ordinato 0 - točki A1 in A3. Številke lahko določite na vsaki od točk posebej, vendar glede na to, da so te točke diametralno nasprotne, jih je bolje združiti v eno formulo: x=πk ,k∈Z .

Odgovor: x=πk ,k∈Z .

6)cosx=√2⁄2 .

Spomnimo se definicije kosinusa: cosx - abscisa točke številskega kroga, na kateri se nahaja število x. Na krožnici imamo dve točki z absciso √2⁄2 - konci vodoravne tetive D1D4. Na teh točkah moramo najti vse številke. Zapišemo jih tako, da jih združimo v eno formulo.

Odgovor: x=±π/4+2πk , k∈Z .

7) cosx=-1⁄2 .

Poiskati moramo številki v točkah C_2 in C_3.

Odgovor: x=±2π/3+2πk , k∈Z .

10) cosx=0 .

Le točki A2 in A4 imata absciso 0, kar pomeni, da bodo vsa števila v vsaki od teh točk rešitve enačbe.
.

Rešitvi enačbe sistema sta števili v točkah B_3 in B_4 Neenakost cosx<0 удовлетворяют только числа b_3
Odgovor: x=-5π/6+2πk , k∈Z .

Upoštevajte, da je za katero koli dopustno vrednost x drugi faktor pozitiven in je zato enačba enakovredna sistemu

Rešitvi sistemske enačbe sta število točk D_2 in D_3. Števila točke D_2 ne zadoščajo neenakosti sinx≤0,5, števila točke D_3 pa jo.

blog.site, s popolnim ali delnim kopiranjem gradiva je obvezna povezava do vira.

Glavne metode reševanja trigonometričnih enačb so: redukcija enačb na najpreprostejše (z uporabo trigonometričnih formul), uvajanje novih spremenljivk, faktoring. Oglejmo si njihovo uporabo s primeri. Bodite pozorni na registracijo rešitve trigonometričnih enačb.

Nujen pogoj za uspešno reševanje trigonometričnih enačb je poznavanje trigonometričnih formul (13. tema 6. dela).

Primeri.

1. Zmanjšanje enačb na najpreprostejše.

1) Reši enačbo

rešitev:

odgovor:

2) Poiščite korenine enačbe

(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, ki pripada segmentu .

rešitev:

odgovor:

2. Enačbe, ki se reducirajo na kvadratne enačbe.

1) Rešite enačbo 2 sin 2 x - cosx -1 = 0.

rešitev: Z uporabo formule sin 2 x \u003d 1 - cos 2 x dobimo

odgovor:

2) Rešite enačbo cos 2x = 1 + 4 cosx.

rešitev: Z uporabo formule cos 2x = 2 cos 2 x - 1 dobimo

odgovor:

3) Rešite enačbo tgx - 2ctgx + 1 = 0

rešitev:

odgovor:

3. Homogene enačbe

1) Rešite enačbo 2sinx - 3cosx = 0

Rešitev: Naj bo cosx = 0, nato 2sinx = 0 in sinx = 0 – protislovje z dejstvom, da je sin 2 x + cos 2 x = 1. Torej je cosx ≠ 0 in enačbo lahko delite s cosx. Dobiti

odgovor:

2) Rešite enačbo 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x

rešitev:

Z uporabo formul 1 = sin 2 x + cos 2 x in sin 2x = 2 sinxcosx dobimo

sin2x + cos2x + 7cos2x = 6sinxcosx
sin2x - 6sinxcosx+ 8cos2x = 0

Naj bo cosx = 0, potem je sin 2 x = 0 in sinx = 0 – protislovje z dejstvom, da je sin 2 x + cos 2 x = 1.
Torej cosx ≠ 0 in enačbo lahko delimo s cos 2 x . Dobiti

tg 2x – 6 tgx + 8 = 0
Označimo tgx = y
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2=2
a) tanx = 4, x= arctg4 + 2 k, k
b) tgx = 2, x= arctg2 + 2 k, k .

odgovor: arctg4 + 2 k, arctan2 + 2 k, k

4. Enačbe oblike a sinx + b cosx = z, z≠ 0.

1) Reši enačbo.

rešitev:

odgovor:

5. Enačbe, rešene s faktorizacijo.

1) Rešite enačbo sin2x - sinx = 0.

Koren enačbe f (X) = φ ( X) lahko služi samo kot številka 0. Preverimo to:

cos 0 = 0 + 1 - enakost velja.

Število 0 je edini koren te enačbe.

odgovor: 0.