Razvoj lekcije iz matematike "pisanje kotov, določenih s točkami enotskega kroga." Kako si zapomniti točke na enotskem krogu

Številčni krog je enotski krog, katerega točke ustrezajo določenim realnim številom.

Enotski krog je krog s polmerom 1.

Splošni pogled številski krog.

1) Njegov polmer je vzet kot merska enota.

2) Vodoravni in navpični premer delita številski krog na štiri četrtine. Imenujejo se prva, druga, tretja in četrta četrtina.

3) Vodoravni premer je označen z AC, pri čemer je A skrajni desno pika.
Navpični premer je označen z BD, pri čemer je B najvišja točka.
Oziroma:

prva četrtina je lok AB

druga četrtina - lok pr

tretja četrtina - lok CD

četrta četrtina - lok DA

4) Začetna točka številskega kroga je točka A.

Štetje vzdolž številskega kroga lahko poteka v smeri urinega kazalca ali v nasprotni smeri urinega kazalca.

Računamo od točke A proti v smeri urinega kazalca se imenuje pozitivno smer.

Računamo od točke A Avtor: imenovano v smeri urinega kazalca negativno smer.

Številski krog na koordinatni ravnini.

Središče polmera številskega kroga ustreza izhodišču (število 0).

Vodoravni premer ustreza osi x, navpična - os l.

Izhodišče Številski krogtee je na osixin ima koordinate (1; 0).

Imena in lokacije glavnih točk na številskem krogu:

Kako si zapomniti imena številskih krogov.

Obstaja več preprostih vzorcev, ki vam bodo pomagali enostavno zapomniti osnovna imena številskega kroga.

Preden začnemo, naj vas spomnimo: štetje poteka v pozitivni smeri, to je od točke A (2π) v nasprotni smeri urinega kazalca.

1) Začnimo z skrajne točke na koordinatnih oseh.

Začetna točka je 2π (skrajna desna točka na osi X, enako 1).

Kot veste, je 2π obseg kroga. To pomeni, da je polovica kroga 1π ali π. os X deli krog točno na pol. V skladu s tem je skrajna leva točka na osi X enako -1 se imenuje π.

Najvišja točka na osi pri, enako 1, deli zgornji polkrog na pol. To pomeni, da če je polkrog π, potem je polkrog π/2.

Hkrati je π/2 tudi četrtina kroga. Preštejmo tri takšne četrtine od prve do tretje - in prišli bomo do najnižje točke na osi pri, enako -1. Če pa vključuje tri četrtine, potem je njegovo ime 3π/2.

2) Zdaj pa preidimo na preostale točke. Prosimo, upoštevajte: vse nasprotne točke imajo isti imenovalec- in to so nasprotne točke in glede na os pri, tako glede na sredino osi kot glede na os X. To nam bo pomagalo vedeti njihove vrednosti točk brez nabijanja.

Zapomniti si morate le pomen točk prve četrtine: π/6, π/4 in π/3. In potem bomo "videli" nekaj vzorcev:

- Glede na os pri v točkah druge četrtine, nasproti točkam prve četrtine, so števila v števcih za 1 manjša od velikosti imenovalcev. Za primer vzemimo točko π/6. Točka nasproti nje glede na os pri ima tudi 6 v imenovalcu in 5 v števcu (1 manj). To pomeni, da je ime te točke: 5π/6. Točka nasproti π/4 ima tudi 4 v imenovalcu in 3 v števcu (1 manj kot 4) - torej je točka 3π/4.
Točka nasproti π/3 ima prav tako 3 v imenovalcu in 1 manj v števcu: 2π/3.

- Glede na središče koordinatnih osi vse je obratno: števila v števcih nasprotnih točk (v tretji četrtini) za 1 večja vrednost imenovalci. Ponovno vzemimo točko π/6. Točka nasproti nje glede na središče ima prav tako 6 v imenovalcu, v števcu pa je številka za 1 večja - torej je 7π/6.
Točka nasproti točke π/4 ima prav tako 4 v imenovalcu, v števcu pa je številka za 1 večja: 5π/4.
Točka nasproti točke π/3 ima prav tako 3 v imenovalcu, v števcu pa je številka za 1 večja: 4π/3.

- Glede na os X(četrta četrtina) zadeva je bolj zapletena. Tukaj morate vrednosti imenovalca dodati številko, ki je za 1 manjša - ta vsota bo enaka številskemu delu števca nasprotne točke. Začnimo znova s ​​π/6. Vrednosti imenovalca, ki je enaka 6, dodamo število, ki je za 1 manjše od tega števila - to je 5. Dobimo: 6 + 5 = 11. To pomeni, da je nasproti osi X točka bo imela 6 v imenovalcu in 11 v števcu - to je 11π/6.

Točka π/4. Vrednosti imenovalca prištejemo za 1 manjše število: 4 + 3 = 7. To pomeni, da je nasproti osi. X točka ima 4 v imenovalcu in 7 v števcu - to je 7π/4.
Točka π/3. Imenovalec je 3. 3 prištejemo za ena manjše število - to je 2. Dobimo 5. To pomeni, da ima nasprotna točka v števcu 5 - in to je točka 5π/3.

3) Še en vzorec za točke središč četrtin. Jasno je, da je njihov imenovalec 4. Bodimo pozorni na števce. Števec sredine prve četrtine je 1π (vendar ni običajno pisati 1). Števec sredine druge četrtine je 3π. Števec sredine tretje četrtine je 5π. Števec sredine četrte četrtine je 7π. Izkazalo se je, da števci srednjih četrtin vsebujejo prve štiri lihe številke v naraščajočem vrstnem redu:
(1)π, 3π, 5π, 7π.
Tudi to je zelo preprosto. Ker imajo središča vseh četrtin v imenovalcu 4, jih že poznamo polna imena: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.

Značilnosti številskega kroga. Primerjava s številsko premico.

Kot veste, na številski premici vsaka točka ustreza ednina. Na primer, če je točka A na premici enaka 3, potem ne more biti več enaka nobenemu drugemu številu.

Na številskem krogu je drugače, ker je krog. Na primer, če želite priti od točke A kroga do točke M, lahko to storite kot po ravni črti (samo mimo loka) ali pa greste okoli celotnega kroga in nato pridete do točke M. Zaključek:

Naj bo točka M enaka nekemu številu t. Kot vemo, je obseg kroga 2π. To pomeni, da lahko točko na krožnici t zapišemo na dva načina: t ali t + 2π. To so enakovredne vrednosti.
To je t = t + 2π. Edina razlika je v tem, da ste v prvem primeru takoj prišli do točke M, ne da bi naredili krog, v drugem primeru pa ste naredili krog, a končali na isti točki M. Takih lahko naredite dve, tri ali dvesto krogi. Če število krogov označimo s črko n, potem dobimo nov izraz:
t = t + 2π n.

Od tod formula:

Koordinate x točke, ki ležijo na krogu, so enake cos(θ), koordinate pa l ustrezajo sin(θ), kjer je θ velikost kota.

• Če si težko zapomnite to pravilo, si le zapomnite, da je v paru (cos; sin) "sinus zadnji."
• To pravilo je mogoče izpeljati z upoštevanjem pravokotne trikotnike in definicija podatkov trigonometrične funkcije(sinus kota enako razmerju dolžina nasprotne strani, kosinus pa je dolžina sosednje stranice hipotenuzi).

Recimo, da Ahil teče desetkrat hitreje od želve in je tisoč korakov za njo. V času, ki ga Ahil potrebuje, da preteče to razdaljo, bo želva odplazila sto korakov v isto smer. Ko Ahil preteče sto korakov, se želva plazi še deset korakov in tako naprej. Proces se bo nadaljeval ad infinitum, Ahil ne bo nikoli dohitel želve.

To razmišljanje je postalo logični šok za vse naslednje generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Hilbert ... Vsi so tako ali drugače obravnavali Zenonove aporije. Šok je bil tako močan, da " ...razprave se nadaljujejo še danes, da bi dosegli skupno mnenje o bistvu paradoksov znanstvena skupnost do zdaj to ni bilo mogoče ... sodelovali smo pri študiju problematike matematična analiza, teorija množic, novi fizikalni in filozofski pristopi; nobeden od njih ni postal splošno sprejeta rešitev problema ..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Vsi razumejo, da so preslepljeni, vendar nihče ne razume, v čem je prevara.

Z matematičnega vidika je Zenon v svoji aporiji jasno prikazal prehod od kvantitete k . Ta prehod pomeni uporabo namesto stalnih. Kolikor razumem, matematični aparat za uporabo spremenljivih merskih enot še ni bil razvit ali pa ni bil uporabljen pri Zenonovi aporiji. Uporaba naše običajne logike nas pripelje v past. Mi pa zaradi vztrajnosti mišljenja na recipročno vrednost dodajamo stalne časovne enote. Z fizična točka Iz perspektive je videti, kot da se čas upočasnjuje, dokler se popolnoma ne ustavi v trenutku, ko Ahil dohiti želvo. Če se čas ustavi, Ahil ne more več prehiteti želve.

Če obrnemo našo običajno logiko, se vse postavi na svoje mesto. Achilles teče z konstantna hitrost. Vsak naslednji segment njegove poti je desetkrat krajši od prejšnjega. Skladno s tem je čas, porabljen za njegovo premagovanje, desetkrat manjši od prejšnjega. Če v tej situaciji uporabimo koncept "neskončnosti", potem bi bilo pravilno reči, da bo Ahil dohitel želvo neskončno hitro."

Kako se izogniti tej logični pasti? Ostanite v stalnih časovnih enotah in ne preklopite na recipročne enote. V Zenonovem jeziku je to videti takole:

V času, ki ga potrebuje Ahil, da preteče tisoč korakov, bo želva odplazila sto korakov v isto smer. Za naslednji časovni interval, enako prvemu, bo Ahil pretekel še tisoč korakov, želva pa se bo plazila sto korakov. Zdaj je Ahil osemsto korakov pred želvo.

Ta pristop ustrezno opisuje realnost brez logičnih paradoksov. Ampak ni popolna rešitev težave. Einsteinova izjava o neustavljivosti svetlobne hitrosti je zelo podobna Zenonovi aporiji "Ahil in želva". Ta problem moramo še preučiti, premisliti in rešiti. In rešitev je treba iskati ne v neskončno velikem številu, ampak v merskih enotah.

Druga zanimiva Zenonova aporija govori o leteči puščici:

Leteča puščica je negibna, saj v vsakem trenutku miruje, in ker v vsakem trenutku miruje, vedno miruje.

V tej aporiji je logični paradoks premagan zelo preprosto - dovolj je pojasniti, da leteča puščica v vsakem trenutku miruje na različnih točkah v prostoru, kar je pravzaprav gibanje. Tukaj je treba opozoriti na drugo točko. Iz ene fotografije avtomobila na cesti ni mogoče ugotoviti niti dejstva njegovega gibanja niti razdalje do njega. Če želite ugotoviti, ali se avto premika, potrebujete dve fotografiji, posneti z iste točke v različnih časovnih točkah, vendar ne morete določiti razdalje od njiju. Za določitev razdalje do avtomobila potrebujete dve fotografiji različne točke prostora v eni točki časa, vendar je iz njih nemogoče ugotoviti dejstvo gibanja (seveda so za izračune še vedno potrebni dodatni podatki, trigonometrija vam bo pomagala). Kaj želim poudariti posebna pozornost, je, da sta dve točki v času in dve točki v prostoru različni stvari, ki ju ne smemo zamenjevati, saj ponujata različne možnosti za raziskovanje.

Sreda, 4. julij 2018

Razlike med množico in množico so zelo dobro opisane na Wikipediji. Poglejmo.

Kot lahko vidite, »v nizu ne moreta biti dva enaka elementa«, če pa so v nizu enaki elementi, se tak niz imenuje »multiset«. Tako absurdna logika čuteča bitja nikoli ne razumem. To je raven govoreče papige in trenirane opice, ki nimajo nobene inteligence iz besede "popolnoma". Matematiki delujejo kot navadni trenerji in nam pridigajo svoje absurdne ideje.

Nekoč so bili inženirji, ki so gradili most, v čolnu pod mostom med testiranjem mostu. Če se je most zrušil, je povprečen inženir umrl pod ruševinami svoje stvaritve. Če je most zdržal obremenitev, je nadarjeni inženir zgradil druge mostove.

Ne glede na to, kako se matematiki skrivajo za besedno zvezo »pozor, jaz sem v hiši« ali bolje rečeno »matematika preučuje abstraktne pojme«, obstaja ena popkovina, ki jih neločljivo povezuje z realnostjo. Ta popkovina je denar. Uporabno matematična teorija postavlja samim matematikom.

Zelo dobro smo se učili matematiko in zdaj sedimo za blagajno in delimo plače. Matematik torej pride k nam po svoj denar. Celoten znesek mu preštejemo in ga razporedimo po svoji mizi v različne kupčke, v katere damo bankovce enakih vrednosti. Nato iz vsakega kupa vzamemo po en račun in damo matematiku njegov »matematični nabor plače«. Matematiku pojasnimo, da bo preostale račune dobil šele, ko bo dokazal, da množica brez enakih elementov ni enaka množici z enaki elementi. Tukaj se začne zabava.

Najprej bo delovala logika poslancev: "To lahko velja za druge, zame pa ne!" Potem nas bodo začeli prepričevati, da imajo bankovci istega apoena različne številke bankovcev, kar pomeni, da jih ni mogoče šteti za iste elemente. V redu, preštejmo plače v kovancih - na kovancih ni številk. Tu se bo matematik začel mrzlično spominjati fizike: na različnih kovancih obstaja različne količine blato, kristalna struktura in razporeditev atomov v vsakem kovancu je edinstvena ...

In zdaj imam največ zanimivo vprašanje: kje je črta, za katero se elementi multimnožice spremenijo v elemente množice in obratno? Takšna linija ne obstaja – o vsem odločajo šamani, znanost tu niti približno ne laže.

Poglej tukaj. Izberemo nogometne stadione iz isto območje polja. Območja polj so enaka – kar pomeni, da imamo multimnožico. Če pa pogledamo imena teh istih stadionov, jih dobimo veliko, saj so imena različna. Kot lahko vidite, je ista množica elementov hkrati množica in multimnožica. Kaj je pravilno? In tu matematik-šaman-oštar potegne iz rokava asa adutov in nam začne pripovedovati ali o množici ali multimnožici. V vsakem primeru nas bo prepričal, da ima prav.

Da bi razumeli, kako sodobni šamani operirajo s teorijo množic in jo povezujejo z realnostjo, je dovolj odgovoriti na eno vprašanje: kako se elementi enega sklopa razlikujejo od elementov drugega? Pokazal vam bom, brez kakršnih koli "predstavljivo kot enotna celota" ali "ni predstavljivo kot ena sama celota."

Nedelja, 18. marec 2018

Vsota števk števila je ples šamanov s tamburinom, ki nima nobene zveze z matematiko. Da, pri pouku matematike nas učijo najti vsoto števk števila in jo uporabiti, a zato so šamani, da svoje potomce učijo svojih veščin in modrosti, sicer bodo šamani preprosto izumrli.

Potrebujete dokaz? Odprite Wikipedijo in poskusite najti stran "Vsota števk števila." Ona ne obstaja. V matematiki ni formule, s katero bi lahko našli vsoto števk katerega koli števila. Navsezadnje so številke grafični znaki, s katerimi pišemo števila, v matematičnem jeziku pa naloga zveni takole: »Poišči vsoto grafičnih znakov, ki predstavljajo poljubno število.« Matematiki tega problema ne morejo rešiti, šamani pa to z lahkoto.

Ugotovimo, kaj in kako naredimo, da bi našli vsoto števil dano številko. In tako imamo številko 12345. Kaj je treba storiti, da bi našli vsoto števk tega števila? Razmislimo o vseh korakih po vrstnem redu.

1. Zapišite številko na list papirja. Kaj smo storili? Število smo pretvorili v grafični številski simbol. To ni matematična operacija.

2. Eno nastalo sliko razrežemo na več slik, ki vsebujejo posamezne številke. Rezanje slike ni matematična operacija.

3. Posamezne grafične znake pretvorite v številke. To ni matematična operacija.

4. Seštej dobljena števila. Zdaj je to matematika.

Vsota števk števila 12345 je 15. To so »tečaji krojenja in šivanja« šamanov, ki jih uporabljajo matematiki. A to še ni vse.

Z matematičnega vidika ni vseeno, v katerem številskem sistemu zapišemo število. Torej, v različne sisteme V računstvu bo vsota števk istega števila drugačna. V matematiki je številski sistem označen kot indeks na desni strani števila. Z veliko število 12345 Nočem si delati glave, poglejmo številko 26 iz članka o . Zapišimo to število v dvojiškem, osmiškem, decimalnem in šestnajstiškem številskem sistemu. Ne bomo pogledali vsakega koraka pod mikroskopom; Poglejmo rezultat.

Kot lahko vidite, je v različnih številskih sistemih vsota števk istega števila različna. Ta rezultat nima nobene zveze z matematiko. To je enako, kot če bi določili površino pravokotnika v metrih in centimetrih, bi dobili popolnoma drugačne rezultate.

Ničla je videti enako v vseh številskih sistemih in nima vsote števk. To je še en argument v prid dejstvu, da. Vprašanje za matematike: kako se v matematiki označi nekaj, kar ni številka? Kaj, za matematike ne obstaja nič razen številk? Šamanom to lahko dovolim, znanstvenikom pa ne. Realnost niso samo številke.

Dobljeni rezultat je treba obravnavati kot dokaz, da so številski sistemi merske enote za števila. Navsezadnje ne moremo primerjati števil z različnimi merskimi enotami. Če enaka dejanja z različnimi merskimi enotami iste količine po primerjavi privedejo do različnih rezultatov, potem to nima nobene zveze z matematiko.

Kaj je prava matematika? To je takrat, ko rezultat matematične operacije ni odvisen od velikosti števila, uporabljene merske enote in od tega, kdo to dejanje izvaja.

Oh! Ali ni to žensko stranišče?
- Mlada ženska! To je laboratorij za preučevanje nedefilske svetosti duš med njihovim vnebovzetjem v nebesa! Halo na vrhu in puščica navzgor. Kakšno drugo stranišče?

Ženska... Avreol na vrhu in puščica navzdol sta moški.

Če se vam takšno umetniško delo večkrat na dan zasveti pred očmi,

Potem ni presenetljivo, da nenadoma najdete čudno ikono v svojem avtomobilu:

Osebno se potrudim, da pri kakajočem človeku vidim minus štiri stopinje (ena slika) (kompozicija več slik: znak minus, številka štiri, oznaka stopinje). In ne mislim, da je to dekle neumno, ne poznavalec fizike. Ona ima preprosto stereotip dojemanja grafične podobe. In tega nas matematiki ves čas učijo. Tukaj je primer.

1A ni "minus štiri stopinje" ali "en a". To je "človek, ki se pokaka" ali številka "šestindvajset" v šestnajstiškem zapisu. Tisti ljudje, ki nenehno delajo v tem sistemu številk, samodejno zaznavajo številko in črko kot en grafični simbol.

Pri študiju trigonometrije v šoli se vsak učenec sooča z zelo zanimiv koncept"številski krog" Od spretnosti šolski učitelj Razlaga, kaj je to in zakaj je potrebna, je odvisna od tega, kako dobro bo učenec pozneje delal trigonometrijo. Na žalost vsak učitelj tega gradiva ne zna jasno razložiti. Posledično je veliko študentov zmedenih celo glede tega, kako označevati točke na številskem krogu. Če preberete ta članek do konca, se boste naučili, kako to storiti brez težav.

Pa začnimo. Narišimo krog s polmerom 1. Skrajno desno točko tega kroga označimo s črko O:

Čestitamo, pravkar ste narisali enotski krog. Ker je polmer tega kroga 1, je njegova dolžina .

Vsem realno število lahko povežete dolžino poti vzdolž številskega kroga od točke O. Za pozitivno smer se šteje smer gibanja v nasprotni smeri urinega kazalca. Za negativno – v smeri urinega kazalca:

Lokacija točk na številskem krogu

Kot smo že ugotovili, je dolžina številskega kroga (enotski krog) enaka . Kje se bo potem številka nahajala na tem krogu? Očitno, s točke O v nasprotni smeri urnega kazalca moramo iti polovico dolžine kroga in se bomo znašli na želeni točki. Označimo ga s črko B:

Upoštevajte, da lahko isto točko dosežete, če hodite polkrožno negativno smer. Nato bi število narisali na enotski krog. To pomeni, da številke ustrezajo isti točki.

Poleg tega ta ista točka ustreza tudi številkam , , , in na splošno neskončen nizštevila, ki jih lahko zapišemo v obliki , kjer , to je, pripada množici celih števil. Vse to zato, ker s točke B lahko naredite potovanje "okrog sveta" v katero koli smer (prištejte ali odštejte obseg) in pridete do iste točke. Dobimo pomemben zaključek ki jih je treba razumeti in si zapomniti.

Vsaka številka ustreza eni točki na številskem krogu. Toda vsaka točka na številskem krogu ustreza neskončnemu številu števil.

Zgornji polkrog številskega kroga razdelimo na loke enake dolžine pika C. Preprosto je videti, da je dolžina loka O.C. enako . Odložimo zdaj od bistva C lok enake dolžine v nasprotni smeri urinega kazalca. Posledično bomo prišli do bistva B. Rezultat je povsem pričakovan, saj. Ponovno položimo ta lok v isto smer, vendar zdaj od točke B. Posledično bomo prišli do bistva D, kar bo že ustrezalo številki:

Upoštevajte še enkrat, da ta točka ne ustreza samo številu, ampak tudi, na primer, številu, ker to točko lahko dosežete tako, da se oddaljite od točke Očetrt kroga v smeri urinega kazalca (negativna smer).

In na splošno ponovno ugotavljamo, da ta točka ustreza neskončno številnim številkam, ki jih je mogoče zapisati v obliki . Lahko pa jih zapišemo tudi v obliki . Ali, če želite, v obliki. Vsi ti zapisi so popolnoma enakovredni in jih je mogoče dobiti drug od drugega.

Zdaj razdelimo lok na O.C. pol pika M. Zdaj pa ugotovi, kakšna je dolžina loka OM? Tako je, pol loka O.C.. To je . Katerim številom ustreza pika? M na številskem krogu? Prepričan sem, da boste zdaj spoznali, da lahko te številke zapišemo kot .

Lahko pa se naredi drugače. Vzemimo . Potem to razumemo . To pomeni, da lahko te številke zapišemo v obliki . Enak rezultat bi lahko dobili z uporabo številskega kroga. Kot sem že rekel, sta oba zapisa enakovredna in ju je mogoče dobiti drug od drugega.

Zdaj lahko preprosto navedete primer številk, ki jim ustrezajo točke n, p in K na številskem krogu. Na primer, številki in:

Pogosto je minimum pozitivna števila in označujeta ustrezne točke na številskem krogu. Čeprav to sploh ni potrebno, pika n, kot že veste, ustreza neskončnemu številu drugih števil. Vključno, na primer, s številko.

Če zlomite lok O.C. s tremi enaki loki pike S in L, torej to je bistvo S bo ležala med točkama O in L, nato dolžina loka OS bo enako , in dolžina loka OL bo enako . Z znanjem, ki ste ga pridobili v prejšnjem delu lekcije, lahko enostavno ugotovite, kako so se izkazale preostale točke na številskem krogu:

Številke, ki niso večkratniki π na številskem krogu

Vprašajmo se zdaj: kje na številski premici označimo točko, ki ustreza številu 1? Če želite to narediti, morate začeti z najbolj "desne" točke enotskega kroga O narišemo lok, katerega dolžina bi bila enaka 1. Le približno lahko nakažemo lokacijo želene točke. Nadaljujmo takole.

Video lekcija "Definicija sinusa in kosinusa na enotskem krogu" nudi vizualno gradivo za lekcijo o ustrezni temi. Med lekcijo se obravnavajo koncepti sinusa in kosinusa za števila, ki ustrezajo točkam enotskega kroga, opisani so številni primeri, ki oblikujejo sposobnost reševanja problemov, kjer se uporablja to razlago koncepti. Priročne in razumljive ilustracije rešitev, podroben potek sklepanja pomagajo hitro doseči učne cilje in povečati učinkovitost pouka.

Video lekcija se začne s predstavitvijo teme. Na začetku demonstracije je podana definicija sinusa in kosinusa števila. Na zaslonu je prikazan enotski krog s središčem v koordinatnem izhodišču, označene so presečišča enotskega kroga s koordinatnimi osemi A, B, C, D. V okvirju je označena definicija, ki pravi, da če točka M, ki pripada enotskemu krogu, ustreza določenemu številu t, potem je abscisa te točke kosinus števila t in je označena s cos t, ordinata točke pa je sinus in je označena s sin t. Izraz definicije spremlja podoba točke M na enotskem krogu, ki označuje njeno absciso in ordinato. Pojavi se kratka opomba z uporabo zapisa, da je za M(t)=M(x;y), x= cos t, y= sin t. Navedene so omejitve, ki veljajo za vrednost kosinusa in sinusa števila. Po pregledanih podatkih je -1<=cos t<=1 и -1<= sin t<=1.

Iz slike je tudi enostavno videti, kako se predznak funkcije spreminja glede na to, v kateri četrtini se točka nahaja. Na zaslonu je sestavljena tabela, v kateri je za vsako funkcijo naveden njen predznak glede na četrtletje. Predznak cos t je plus v prvi in ​​četrti četrtini ter minus v drugi in tretji četrtini. Predznak sin t je plus v prvi in ​​drugi četrtini, minus v tretji in četrti četrtini.

Učence spomnimo na enačbo enotskega kroga x 2 + y 2 = 1. Opozoriti je treba, da po zamenjavi namesto koordinat ustreznih funkcij dobimo cos 2 t+ sin 2 t=1 - glavno trigonometrično identiteto. Z metodo iskanja sin t in cos t z uporabo enotskega kroga izpolnite tabelo osnovnih vrednosti sinusa in kosinusa za števila od 0 do 2π v korakih po π/4 in za števila od π/6 do 11π /6 v korakih po π/6. Te tabele so prikazane na zaslonu. Z njimi in risbo lahko učitelj preveri, kako dobro je snov obvladana in kako dobro učenci razumejo izvor vrednosti sin t in cos t.

Obravnavan je primer, v katerem sta sin t in cos t izračunana za t=41π/4. Rešitev je ponazorjena s sliko, ki prikazuje enotski krog s središčem v izhodišču. Na njem je označena točka 41π/4. Opozoriti je treba, da ta točka sovpada s položajem točke π/4. To dokažemo tako, da ta ulomek predstavimo kot mešani ulomek 41π/4=π/4+2π·5. Z uporabo tabele kosinusnih vrednosti dobimo vrednosti cos π/4=√2/2 in sinπ/4=√2/2. Iz pridobljenih informacij sledi, da je cos 41π/4=√2/2 in sin 41π/4=√2/2.

V drugem primeru je treba izračunati sin t in cos t za t=-25π/3. Na zaslonu se prikaže enotski krog z označeno točko t=-25π/3. Najprej za rešitev problema število -25π/3 predstavimo kot mešani ulomek, da odkrijemo, kateri vrednosti tabele bosta ustrezala sin t in cos t. Po transformaciji dobimo -25π/3=-π/3+2π·(-4). Očitno bo t=-25π/3 na krožnici sovpadal s točko -π/3 ali 5π/3. Iz tabele izberemo ustrezne vrednosti sinusa in kosinusa cos 5π/3=1/2 in sin 5π/3=-√3/2. Te vrednosti bodo pravilne za zadevno število cos (-25π/3)=1/2 in sin (-25π/3)=-√3/2. Problem je rešen.

Podobno je rešen primer 3, v katerem je treba izračunati sin t in cos t za t=37π. Za rešitev primera se število 37π razširi, tako da se izolirata π in 2π. V tej predstavitvi se izkaže, da je 37π=π+2π·18. Na enotskem krogu, ki je prikazan ob rešitvi, je ta točka označena na presečišču negativnega dela ordinatne osi in enotskega kroga - točka π. Očitno bodo vrednosti sinusa in kosinusa števila sovpadale s tabelarnimi vrednostmi π. Iz tabele najdemo vrednosti sin π=-1 in cos π=0. V skladu s tem so te iste vrednosti želene, to je sin 37π=-1 in cos 37π=0.

V primeru 4 je treba izračunati sin t in cos t pri t=-12π. Število predstavimo kot -12π=0+2π·(-6). V skladu s tem točka -12π sovpada s točko 0. Vrednosti kosinusa in sinusa te točke so sin 0=1 in cos 0=0. Te vrednosti so zahtevane sin (-12π)=1 in cos (-12π)=0.

V petem primeru morate rešiti enačbo sin t=√3/2. Pri reševanju enačbe se uporablja pojem sinusa števila. Ker predstavlja ordinato točke M(t), je potrebno najti točko z ordinato √3/2. Slika, ki spremlja rešitev, kaže, da ordinata √3/2 ustreza dvema točkama - prvi π/3 in drugi 2π/3. Glede na periodičnost funkcije opazimo, da je t=π/3+2πk in t= 2π/3+2πk za celo število k.

V primeru 6 je rešena enačba s kosinusom - cos t=-1/2. Pri iskanju rešitev enačbe najdemo točke na enotskem krogu z absciso 2π/3. Na zaslonu se prikaže slika, na kateri je označena abscisa -1/2. Ustreza dvema točkama na krogu - 2π/3 in -2π/3. Ob upoštevanju periodičnosti funkcij najdeno rešitev zapišemo v obliki t=2π/3+2πk in t=-2π/3+2πk, kjer je k celo število.

V primeru 7 je rešena enačba sin t-1=0. Da bi našli rešitev, se enačba pretvori v sin t=1. Sinus 1 ustreza številu π/2. Ob upoštevanju periodičnosti funkcije najdeno rešitev zapišemo v obliki t=π/2+2πk, kjer je k celo število. Podobno je v primeru 8 rešena enačba cos t+1=0. Transformirajmo enačbo v obliko cos t=-1. Točka, katere abscisa je -1, ustreza številu π. Ta točka je označena na enotskem krogu, prikazanem poleg besedilne rešitve. V skladu s tem je rešitev te enačbe število t=π+2πk, kjer je k celo število. Enačbe cos t+1=1 v primeru 9 ni nič težje rešiti. S transformacijo enačbe dobimo cos t=0. Na enotskem krogu, ki je prikazan poleg rešitve, označimo točki -π/2 in -3π/2, v katerih ima kosinus vrednost 0. Očitno bo rešitev te enačbe vrsta vrednosti t= π/2+πk, kjer je k celo število.

V primeru 10 primerjamo vrednosti sin 2 in cos 3, da je rešitev prikazana na sliki, kjer sta označeni točki 2 in 3. Ocenjujemo razdaljo točk iz tega. Na sliki je razvidno, da je točka 2 oddaljena 0,43 od π/2, medtem ko je točka 3 oddaljena 1,43, tako da ima točka 2 večjo absciso kot točka 3. To pomeni sin 2>cos 3.

Primer 11 opisuje izračun izraza sin 5π/4. Ker je 5π/4 π/4+π, lahko z uporabo redukcijskih formul izraz pretvorimo v - sin π/4. Iz tabele izberemo njegovo vrednost - sin π/4=-√2/2. Podobno je v primeru 12 najdena vrednost izraza cos7π/6. Če ga pretvorimo v obliko cos(π/6+π), dobimo izraz - cos π/6. Vrednost tabele je cos π/6=-√3/2. Ta vrednost bo rešitev.

Nato se predlaga, da se spomnite pomembnih enakosti, ki pomagajo pri reševanju problemov - to sta sin(-t)= -sin t in cos (-t)=cos t. Pravzaprav ta izraz odraža enakost kosinusa in lihost sinusa. Na sliki enotskega kroga poleg enačb lahko vidite, kako te enakosti delujejo na koordinatni ravnini. Predstavljeni sta tudi dve enačbi, ki odražata periodičnost funkcij, ki sta pomembni za reševanje problemov sin(t+2πk)= sin t in cos (t+2πk)=cos t. Prikazane so enakosti, ki odražajo simetrično razporeditev točk na enotskem krogu sin(t+π)= -sin t in cos (t+π)=-cos t. Poleg enačb je sestavljena slika, ki prikazuje lokacijo teh točk na enotskem krogu. In zadnje predstavljene enakosti sin(t+π/2)= cos t in cos (t+π/2)=- sin t.

Video lekcijo "Definicija sinusa in kosinusa na enotskem krogu" priporočamo za uporabo pri tradicionalni šolski lekciji matematike, da povečate njeno učinkovitost in zagotovite jasnost učiteljeve razlage. Za enak namen se gradivo lahko uporablja tudi pri pouku na daljavo. Priročnik je lahko koristen tudi za razvijanje ustreznih sposobnosti reševanja problemov pri učencih pri samostojnem osvajanju snovi.

DEKODIRANJE BESEDILA:

"Definicija sinusa in kosinusa na enotskem krogu."

Določimo sinus in kosinus števila

DEFINICIJA: če točka M numeričnega enotskega kroga ustreza številu t(te), potem absciso točke M imenujemo kosinus števila t(te) in označujemo strošek, ordinato točke M pa se imenuje sinus števila t(te) in je označen kot sint(fig).

To pomeni, da če je M(t) = M (x,y)(em iz te je enako em s koordinatama x in y), potem je x = strošek, y= sint (x je enak kosinusu te, y je Posledično je - 1≤ cost ≤ 1, -1≤ sint ≤1 (kosinus te je večji ali enak minus ena, vendar manjši ali enak ena; sinus te je večji ali enak na minus ena, vendar manjša ali enaka ena). Če veste, da ima vsaka točka na številskem krogu sistem xOy svoje koordinate, lahko naredite tabelo vrednosti sinusa in kosinusa po četrtinah kroga, kjer je vrednost kosinusa pozitivna v prvem in četrtem četrtletju in zato negativna v drugem in tretjem četrtletju.

Vrednost sinusa je v prvem in drugem četrtletju pozitivna, v tretjem in četrtem četrtletju pa negativna. (pokaži na risbi)

Ker ima enačba številskega kroga obliko x 2 + y 2 = 1 (x kvadrat plus y kvadrat je enako ena), potem dobimo enakost:

(kosinus na kvadrat te plus sinus na kvadrat te je enako ena).

Na podlagi tabel, ki smo jih sestavili pri določanju koordinat točk na številskem krogu, bomo sestavili tabele za koordinate točk na številskem krogu za vrednosti cost in sint.

Poglejmo si primere.

PRIMER 1. Izračunajte cos t in sin t, če je t = (te je enako enainštirideset pi na štiri).

rešitev. Število t = ustreza isti točki na številskem krogu kot število, saj je = ∙π = (10 +) ∙π = + 2π ∙ 5 (enainštirideset pi krat štiri je enako vsoti pi krat štiri in produkt dveh pi krat pet). In za točko t = glede na tabelo vrednosti kosinusov 1 imamo cos = in sin =. torej

PRIMER 2. Izračunaj cos t in greh t, če je t = (te je enako minus petindvajset pi na tri).

REŠITEV: Število t = ustreza isti točki na številskem krogu kot število, saj je = ∙ π = - (8 +)∙π = + 2π ∙ (- 4) (minus petindvajset pi na tri je enako vsota minus pi na tri in produkt dveh pi na minus štiri). In številka ustreza isti točki na številskem krogu kot številka. In za točko t = v skladu s tabelo 2 imamo cos = in sin =. Zato je cos () = in sin () =.

PRIMER 3. Izračunajte cos t in sin t, če je t = 37π; (te je enako sedemintrideset pi).

REŠITEV: 37π = 36π + π = π + 2π ∙ 18. To pomeni, da število 37π ustreza isti točki na številskem krogu kot število π. In za točko t = π imamo po tabeli 1 cos π = -1, sin π = 0. To pomeni cos37π = -1, sin37π = 0.

PRIMER 4. Izračunajte cos t in sin t, če je t = -12π (enako minus dvanajst pi).

REŠITEV: - 12π = 0 + 2π ∙ (- 6), to pomeni, da število - 12π ustreza isti točki na številskem krogu kot število nič. In za točko t = 0 imamo po tabeli 1 cos 0 = 1, sin 0 = 0. To pomeni cos(-12π) =1, sin(-12π) =0.

ZGLED 5. Reši enačbo sin t = .

rešitev. Glede na to, da je sin t ordinata točke M(t) (em iz te) številskega kroga, bomo na številskem krogu poiskali točke z ordinato in zapisali, katerim številom t ustrezajo. Ena točka ustreza številu in torej poljubnemu številu oblike + 2πk. Druga točka ustreza številu in torej poljubnemu številu oblike + 2πk. Odgovor: t = + 2πk, kjer je kϵZ (ka pripada zet), t= + 2πk, kjer kϵZ (ka pripada zet).

PRIMER 6. Reši enačbo cos t = .

rešitev. Glede na to, da je cos t abscisa točke M(t) (em iz te) številskega kroga, bomo točke z absciso poiskali na številskem krogu in zapisali, katerim številom t ustrezajo. Ena točka ustreza številu in torej poljubnemu številu oblike + 2πk. In druga točka ustreza številu ali in torej poljubnemu številu v obliki + 2πk ali + 2πk.

Odgovor: t = + 2πk, t=+ 2πk (ali ± + 2πk (plus minus dva pi za tri plus dva pi ka), kjer kϵZ (ka pripada zet).

PRIMER 7. Reši enačbo cos t = .

rešitev. Podobno kot v prejšnjem primeru morate na številskem krogu poiskati točke z absciso in zapisati, katerim številom t ustrezajo.

Na sliki je razvidno, da imata dve točki E in S absciso, vendar še ne moremo reči, katerim številom ustrezata. K temu vprašanju se bomo vrnili pozneje.

PRIMER 8. Reši enačbo sin t = - 0,3.

rešitev. Na številskem krogu poiščemo točke z ordinato - 0,3 in zapišemo, katerim številom t ustrezajo.

Ordinata - 0,3 ima dve točki P in H, vendar še ne moremo reči, katerim številom ustrezata. Tudi k temu vprašanju se bomo vrnili pozneje.

PRIMER 9. Reši enačbo sin t -1 =0

rešitev. Premaknimo se minus ena na desno stran enačbe, dobimo sinus te enako ena (sin t = 1). Na številskem krogu moramo najti točko, katere ordinata je enaka ena. Ta točka ustreza številu in torej vsem številom v obliki + 2πk (pi krat dva plus dva vrhova).

Odgovor: t = + 2πk, kϵZ(ka pripada zet).

PRIMER 10. Reši enačbo cos t + 1 = 0.

Premaknimo se za eno na desno stran enačbe, dobimo kosinus te enak minus ena (cos t = - 1) ima točko na številskem krogu, ki ustreza številu π, kar pomeni vse). števila oblike π+2πk. Odgovor: t = π+ 2πk, kϵZ.

PRIMER 11. Rešite enačbo cos t + 1 = 1.

Prestavimo enoto na desno stran enačbe, dobimo kosinus te enak nič (cos t = 0 ima točki B in D (slika 1), ki ustrezata številkam itd. Te številke lahko zapišemo). kot + πk. Odgovor: t = + πk, kϵZ.

PRIMER 12. Katero od obeh števil je večje, cos 2 ali cos 3? (kosinus dveh ali kosinus treh)

rešitev. Preoblikujmo vprašanje drugače: na številskem krogu sta označeni točki 2 in 3, katera ima večjo absciso?

Na številskem krogu označite točki 2 in 3. To pomeni, da je točka 2 odmaknjena od kroga za približno 0,43 (nič pika triinštirideset stotink) (2 -≈ 2 - 1,57 = 0,43), točka 3 pa za 1,43 (ena pika štirideset tri stotinke). Zato je točka 2 bližje točki kot točka 3, zato ima večjo absciso (upoštevali smo, da sta obe abscisi negativni).

Odgovor: cos 2 > cos 3.

PRIMER 13. Izračunajte sin (sinus pet pi krat štiri)

rešitev. sin(+ π) = - sin = (sinus pet pi na štiri je enako vsoti pi na štiri in pi je enako minus sinus pi na štiri je enako minus koren dva na dva).

PRIMER 14. Izračunajte cos (kosinus sedem pi krat šest).

cos(+ π) = - cos =. (predstavili smo sedem pi na šest kot vsoto pi na šest in pi ter uporabili tretjo enakost).

Za sinus in kosinus dobimo nekaj pomembnih formul.

1. Za poljubno vrednost t veljajo naslednje enakosti:

sin (-t) = -sin t

cos (-t) = cos t

Sinus minus te je enak minus sinus te

Kosinus minute te je enak kosinusu te.

Slika prikazuje, da imata točki E in L, simetrični glede na abscisno os, enako absciso, kar pomeni

cos(-t) = stroški, vendar sta ordinati enaki po velikosti in nasprotnega predznaka (to pomeni sin(- t) = - sint.

2. Za poljubno vrednost t veljajo naslednje enakosti:

sin (t+2πk) = sin t

cos (t+2πk) = cos t

Sinus te plus dva pi je enak sinusu te

Kosinus te plus dva pi je enak kosinus te

To drži, saj števili t in t+2πk ustrezata isti točki.

3. Za poljubno vrednost t veljajo naslednje enakosti:

sin (t+π) = -sin t

cos (t+π) = -cos t

Sinus od te plus pi je enak minus sin od te

kosinus te plus pi je enako minus kosinus te

Naj število t ustreza točki E številskega kroga, potem število t+π ustreza točki L, ki je simetrična točki E glede na izhodišče. Iz slike je razvidno, da sta v teh točkah abscisa in ordinata enaki po velikosti in nasprotnega predznaka. To pomeni,

cos(t +π)= - stroški;

sin(t +π)= - sint.

4. Za poljubno vrednost t veljajo naslednje enakosti:

sin(t+) = cos t

cos(t+) = -sin t

Sinus te plus pi za dva je enako kosinus te

Kosinus te plus pi za dva je enako minus sinus te.