Hitrost gibanja pri gibanju v krogu. Gibanje telesa po krožnici s konstantno absolutno hitrostjo
V tej lekciji si bomo ogledali krivuljno gibanje, in sicer enakomerno gibanje telesa v krožnici. Spoznali bomo, kaj je linearna hitrost, centripetalni pospešek pri gibanju telesa po krožnici. Predstavili bomo tudi količine, ki označujejo rotacijsko gibanje (rotacijska doba, vrtilna frekvenca, kotna hitrost), in te količine med seboj povezali.
Z enakomernim krožnim gibanjem razumemo, da se telo zavrti za isti kot v poljubnem enakem časovnem obdobju (glej sliko 6).
riž. 6. Enakomerno gibanje v krogu
To pomeni, da se modul trenutne hitrosti ne spremeni:
Ta hitrost se imenuje linearni.
Čeprav se velikost hitrosti ne spremeni, se smer hitrosti nenehno spreminja. Oglejmo si vektorje hitrosti v točkah A in B(glej sliko 7). Usmerjeni so v različne smeri, zato niso enaki. Če odštejemo hitrost v točki B hitrost na točki A, dobimo vektor.
riž. 7. Vektorji hitrosti
Razmerje med spremembo hitrosti () in časom, v katerem se je zgodila ta sprememba (), je pospešek.
Zato je vsako krivuljično gibanje pospešeno.
Če upoštevamo trikotnik hitrosti, dobljen na sliki 7, potem z zelo tesno razporeditvijo točk A in B med seboj bo kot (α) med vektorjema hitrosti blizu nič:
Znano je tudi, da je ta trikotnik enakokrak, zato sta modula hitrosti enaka (enakomerno gibanje):
Zato sta oba kota na dnu tega trikotnika neomejeno blizu:
To pomeni, da je pospešek, ki je usmerjen vzdolž vektorja, dejansko pravokoten na tangento. Znano je, da je premica v krogu, pravokotna na tangento, torej polmer pospešek je usmerjen vzdolž polmera proti središču kroga. Ta pospešek se imenuje centripetalni.
Slika 8 prikazuje prej obravnavani trikotnik hitrosti in enakokraki trikotnik (dve stranici sta polmera kroga). Ti trikotniki so si podobni, ker imata enake kote, ki jih tvorita medsebojno pravokotna premica (polmer in vektor sta pravokotna na tangento).
riž. 8. Ilustracija za izpeljavo formule za centripetalni pospešek
Odsek črte AB je premakni(). Upoštevamo enakomerno gibanje v krogu, torej:
Nadomestimo dobljeni izraz za AB v formulo podobnosti trikotnika:
Pojmi "linearna hitrost", "pospešek", "koordinata" niso dovolj za opis gibanja po ukrivljeni poti. Zato je treba uvesti količine, ki označujejo rotacijsko gibanje.
1. Obdobje rotacije (T ) se imenuje čas ene polne revolucije. Merjeno v enotah SI v sekundah.
Primeri obdobij: Zemlja se vrti okoli svoje osi v 24 urah (), okoli Sonca pa v 1 letu ().
Formula za izračun obdobja:
kjer je skupni čas vrtenja; - število vrtljajev.
2. Frekvenca vrtenja (n ) - število vrtljajev, ki jih telo naredi na enoto časa. Merjeno v enotah SI v recipročnih sekundah.
Formula za iskanje frekvence:
kjer je skupni čas vrtenja; - število vrtljajev
Frekvenca in perioda sta obratno sorazmerni količini:
3. Kotna hitrost () imenujemo razmerje med spremembo kota, za katerega se je telo obrnilo, in časom, v katerem je prišlo do tega vrtenja. Merjeno v enotah SI v radianih deljenih s sekundami.
Formula za iskanje kotne hitrosti:
kje je sprememba kota; - čas, v katerem je prišlo do obrata skozi kot.
Pomemben poseben primer gibanja delcev po določeni trajektoriji je gibanje v krožnici. Položaj delca na krogu (slika 46) lahko določimo tako, da ne navedemo razdalje od neke začetne točke A, temveč kot, ki ga tvori polmer, narisan iz središča O kroga na delec s polmerom, narisanim na izhodišče A.
Skupaj s hitrostjo gibanja po poti, ki je opredeljena kot
priročno je uvesti kotno hitrost, ki označuje hitrost spremembe kota
Hitrost gibanja vzdolž trajektorije imenujemo tudi linearna hitrost. Ugotovimo povezavo med linearno in kotno hitrostjo. Dolžina loka I, ki zajema kot, je enaka polmeru kroga, kot pa se meri v radianih. Zato je kotna hitrost co povezana z linearno hitrostjo z razmerjem
riž. 46. Kot določa položaj točke na krogu
Pospešek pri gibanju v krogu, pa tudi med poljubnim krivuljnim gibanjem, ima v splošnem dve komponenti: tangencialno, usmerjeno tangencialno na krog in označuje hitrost spremembe vrednosti hitrosti, in normalno, usmerjeno proti središču kroga. krog in označuje hitrost spremembe v smeri hitrosti.
Vrednost normalne komponente pospeška, ki se v tem primeru (krožno gibanje) imenuje centripetalni pospešek, je podana s splošno formulo (3) § 8, v kateri je sedaj mogoče linearno hitrost izraziti v kotni hitrosti z uporabo formule (3 ):
Pri tem je polmer kroga seveda enak za vse točke trajektorije.
Pri enakomernem gibanju v krožnici, ko je vrednost konstantna, je konstantna tudi kotna hitrost co, kot je razvidno iz (3). V tem primeru se včasih imenuje ciklična frekvenca.
Obdobje in pogostost. Za karakterizacijo enakomernega krožnega gibanja je skupaj s c priročno uporabiti obdobje vrtljaja T, definirano kot čas, v katerem se naredi en polni obrat, in frekvenco - recipročno obdobje T, ki je enako številu vrtljajev. vrtljajev na enoto časa:
Iz definicije (2) kotne hitrosti sledi razmerje med količinama
To razmerje nam omogoča, da formulo (4) za centripetalni pospešek zapišemo v naslednji obliki:
Upoštevajte, da se kotna hitrost co meri v radianih na sekundo, frekvenca pa se meri v obratih na sekundo. Meri in sta enaki, saj se ti količini razlikujeta le za numerični faktor
Naloga
Ob obvoznici. Tirnice igralne železnice tvorijo polmerni obroč (slika 47). Avto se premika po njih, potiska ga palica, ki se vrti s konstantno kotno hitrostjo okoli točke, ki leži znotraj obroča skoraj na samih tirnicah. Kako se spreminja hitrost prikolice med premikanjem?
riž. 47. Iskanje kotne hitrosti pri vožnji po obvoznici
rešitev. Kot, ki ga tvori palica z določeno smerjo, se s časom spreminja po linearnem zakonu: . Kot smer, iz katere se meri kot, je priročno vzeti premer kroga, ki poteka skozi točko (slika 47). Točka O je središče kroga. Očitno je, da je središčni kot, ki določa položaj prikolice na krogu, dvakrat večji od včrtanega kota, ki leži na istem loku: Zato je kotna hitrost prikolice, ko se premika vzdolž tirnic, dvakrat večja od kotne hitrosti, s katero palica vrti:
Tako se je izkazalo, da je kotna hitrost iz prikolice konstantna. To pomeni, da se prikolica enakomerno premika po tirnicah. Njegova linearna hitrost je konstantna in enaka
Pospešek priklopnika pri tako enakomernem krožnem gibanju je vedno usmerjen proti središču O, njegov modul pa je podan z izrazom (4):
Poglej formulo (4). Kako naj razumemo: ali je pospešek še sorazmeren ali obratno sorazmeren?
Pojasnite, zakaj pri neenakomernem gibanju po krogu kotna hitrost co ohrani pomen, izgubi pa ga?
Kotna hitrost kot vektor. V nekaterih primerih je priročno obravnavati kotno hitrost kot vektor, katerega velikost je enaka in njegova konstantna smer je pravokotna na ravnino, v kateri leži krog. S pomočjo takega vektorja lahko zapišete formulo, podobno (3), ki izraža vektor hitrosti delca, ki se giblje v krogu.
riž. 48. Vektor kotne hitrosti
Postavimo izhodišče v središče O kroga. Ko se delec giblje, se bo njegov polmerni vektor vrtel samo s kotno hitrostjo co, njegov modul pa bo vedno enak polmeru kroga (slika 48). Vidimo lahko, da lahko vektor hitrosti, usmerjen tangencialno na krog, predstavimo kot vektorski produkt vektorja kotne hitrosti с in vektorja radija delca:
Vektorska umetnina. Po definiciji je navzkrižni produkt dveh vektorjev vektor, pravokoten na ravnino, v kateri ležita pomnožena vektorja. Smer vektorskega produkta je izbrana po naslednjem pravilu. Prvi dejavnik je miselno obrnjen proti drugemu, kot bi bil ročaj ključa. Vektorski produkt je usmerjen v isto smer, kamor bi se premikal vijak z desnim navojem.
Če se faktorji v vektorskem produktu zamenjajo, bo spremenil smer v nasprotno: To pomeni, da je vektorski produkt nekomutativen.
Iz sl. 48 je razvidno, da bo formula (8) dala pravilno smer za vektor, če je vektor co usmerjen točno tako, kot je prikazano na tej sliki. Zato lahko oblikujemo naslednje pravilo: smer vektorja kotne hitrosti sovpada s smerjo gibanja vijaka z desnim navojem, katerega glava se vrti v isti smeri, v kateri se delec giblje po krogu.
Po definiciji je modul vektorskega produkta enak produktu modulov pomnoženih vektorjev in sinusa kota a med njimi:
V formuli (8) sta pomnožena vektorja с in pravokotna drug na drugega, torej tako, kot bi moralo biti v skladu s formulo (3).
Kaj lahko rečete o navzkrižnem produktu dveh vzporednih vektorjev?
Kakšna je smer vektorja kotne hitrosti urinega kazalca? Kako se ti vektorji razlikujejo za minutni in urni kazalec?
Enakomerno gibanje po krogu- to je najpreprostejši primer. Na primer, konec urinega kazalca se premika v krogu okoli številčnice. Hitrost telesa, ki se giblje po krožnici, se imenuje linearna hitrost.
Pri enakomernem gibanju telesa po krožnici se modul hitrosti telesa s časom ne spreminja, to je v = const, spreminja pa se le smer vektorja hitrosti, v tem primeru ni spremembe (a r = 0), spremembo vektorja hitrosti v smeri pa označuje količina, imenovana centripetalni pospešek() a n ali CS. V vsaki točki je vektor centripetalnega pospeška usmerjen proti središču kroga vzdolž polmera.
Modul centripetalnega pospeška je enak
a CS =v 2 / R
Kjer je v linearna hitrost, je R polmer kroga
riž. 1.22. Gibanje telesa v krogu.
Pri opisovanju gibanja telesa v krožnici uporabljamo kot rotacije polmera– kot φ, skozi katerega se v času t obrne polmer, narisan iz središča kroga do točke, v kateri se v tem trenutku nahaja gibajoče se telo. Rotacijski kot se meri v radianih. enaka kotu med dvema polmeroma kroga, dolžina loka med katerima je enaka polmeru kroga (slika 1.23). To je, če je l = R, potem
1 radian = l / R
Ker obseg enako
l = 2πR
360 o = 2πR / R = 2π rad.
Zato
1 rad. = 57,2958 o = 57 o 18'
Kotna hitrost Enakomerno gibanje telesa v krogu je vrednost ω, ki je enaka razmerju med kotom vrtenja polmera φ in časovnim obdobjem, v katerem se to vrtenje izvede:
ω = φ / t
Merska enota za kotno hitrost je radian na sekundo [rad/s]. Modul linearne hitrosti je določen z razmerjem med dolžino prevožene poti l in časovnim intervalom t:
v=l/t
Linearna hitrost z enakomernim gibanjem po krogu je usmerjena vzdolž tangente na dano točko na krogu. Ko se točka premakne, je dolžina l krožnega loka, ki ga prečka točka, povezana z rotacijskim kotom φ z izrazom
l = Rφ
kjer je R polmer kroga.
Tedaj sta v primeru enakomernega gibanja točke linearna in kotna hitrost povezani z razmerjem:
v = l / t = Rφ / t = Rω ali v = Rω
riž. 1.23. Radian.
Obdobje obtoka– to je čas T, v katerem telo (točka) naredi en obrat po krogu. Pogostost– to je recipročna vrednost obdobja vrtenja – število vrtljajev na časovno enoto (na sekundo). Pogostost kroženja je označena s črko n.
n=1/T
V eni periodi je rotacijski kot φ točke enak 2π rad, torej 2π = ωT, od koder
T = 2π/ω
To pomeni, da je kotna hitrost enaka
ω = 2π / T = 2πn
Centripetalni pospešek se lahko izrazi z obdobjem T in frekvenco kroženja n:
a CS = (4π 2 R) / T 2 = 4π 2 Rn 2
Ker linearna hitrost enakomerno spreminja smer, krožnega gibanja ne moremo imenovati enakomerno, je enakomerno pospešeno.
Kotna hitrost
Izberimo točko na krožnici 1 . Zgradimo radij. V časovni enoti se bo točka premaknila na točko 2 . V tem primeru polmer opisuje kot. Kotna hitrost je številčno enaka kotu zasuka polmera na časovno enoto.
Obdobje in pogostost
Obdobje rotacije T- to je čas, v katerem telo naredi en obrat.
Frekvenca vrtenja je število vrtljajev na sekundo.
Frekvenca in obdobje sta med seboj povezani z razmerjem
Povezava s kotno hitrostjo
Linearna hitrost
Vsaka točka na krogu se premika z določeno hitrostjo. Ta hitrost se imenuje linearna. Smer vektorja linearne hitrosti vedno sovpada s tangento na krožnico. Na primer, iskre izpod brusilnega stroja se premikajo in ponavljajo smer trenutne hitrosti.
Razmislite o točki na krogu, ki naredi en obrat, porabljeni čas je obdobje T Pot, ki jo točka prepotuje, je obseg.
Centripetalni pospešek
Pri gibanju v krogu je vektor pospeška vedno pravokoten na vektor hitrosti, usmerjen proti središču kroga.
Z uporabo prejšnjih formul lahko izpeljemo naslednja razmerja
Točke, ki ležijo na isti ravni črti, ki izhaja iz središča kroga (to so lahko na primer točke, ki ležijo na naperah kolesa), bodo imele enake kotne hitrosti, periodo in frekvenco. To pomeni, da se bodo vrteli na enak način, vendar z različnimi linearnimi hitrostmi. Dlje kot je točka od središča, hitreje se bo premikala.
Zakon seštevanja hitrosti velja tudi za rotacijsko gibanje. Če gibanje telesa ali referenčnega sistema ni enakomerno, velja zakon za trenutne hitrosti. Na primer, hitrost osebe, ki hodi po robu vrtečega se vrtiljaka, je enaka vektorski vsoti linearne hitrosti vrtenja roba vrtiljaka in hitrosti osebe.
Zemlja sodeluje pri dveh glavnih rotacijskih gibanjih: dnevnem (okoli svoje osi) in orbitalnem (okoli Sonca). Obdobje vrtenja Zemlje okoli Sonca je 1 leto ali 365 dni. Zemlja se vrti okoli svoje osi od zahoda proti vzhodu, čas tega vrtenja je 1 dan ali 24 ur. Zemljepisna širina je kot med ravnino ekvatorja in smerjo od središča Zemlje do točke na njeni površini.
Po drugem Newtonovem zakonu je vzrok vsakega pospeška sila. Če premikajoče se telo doživi centripetalni pospešek, potem je narava sil, ki povzročajo ta pospešek, lahko drugačna. Na primer, če se telo giblje v krogu po vrvi, ki je privezana nanj, potem je delujoča sila elastična sila.
Če se telo, ki leži na disku, vrti z diskom okoli svoje osi, potem je taka sila sila trenja. Če sila preneha delovati, se bo telo naprej gibalo premočrtno
Razmislite o gibanju točke na krožnici od A do B. Linearna hitrost je enaka
Zdaj pa preidimo na stacionarni sistem, povezan s tlemi. Skupni pospešek točke A bo ostal enak tako v velikosti kot v smeri, saj se pri premikanju iz enega inercialnega referenčnega sistema v drugega pospešek ne spremeni. Z vidika mirujočega opazovalca trajektorija točke A ni več krožnica, temveč kompleksnejša krivulja (cikloida), po kateri se točka giblje neenakomerno.
Krožno gibanje je najenostavnejši primer krivočrtnega gibanja telesa. Ko se telo giblje okoli določene točke, je poleg vektorja premika priročno vnesti kotni premik ∆ φ (rotacijski kot glede na središče kroga), merjen v radianih.
Če poznate kotni premik, lahko izračunate dolžino krožnega loka (pot), ki jo je telo prehodilo.
∆ l = R ∆ φ
Če je vrtilni kot majhen, potem je ∆ l ≈ ∆ s.
Naj ponazorimo povedano:
Kotna hitrost
Pri krivuljnem gibanju je uveden koncept kotne hitrosti ω, to je hitrost spremembe kota vrtenja.
Opredelitev. Kotna hitrost
Kotna hitrost na določeni točki trajektorije je meja razmerja kotnega premika ∆ φ in časovnega obdobja ∆ t, v katerem se je zgodil. ∆ t → 0 .
ω = ∆ φ ∆ t , ∆ t → 0 .
Merska enota za kotno hitrost je radian na sekundo (r a d s).
Med kotno in linearno hitrostjo telesa pri krožnem gibanju obstaja povezava. Formula za iskanje kotne hitrosti:
Pri enakomernem gibanju v krožnici ostaneta hitrosti v in ω nespremenjeni. Spremeni se samo smer vektorja linearne hitrosti.
V tem primeru enakomerno gibanje v krogu vpliva na telo s centripetalnim ali normalnim pospeškom, usmerjenim vzdolž polmera kroga v njegovo središče.
a n = ∆ v → ∆ t, ∆ t → 0
Modul centripetalnega pospeška lahko izračunamo po formuli:
a n = v 2 R = ω 2 R
Dokažimo ta razmerja.
Razmislimo, kako se spremeni vektor v → v kratkem času ∆ t. ∆ v → = v B → - v A → .
V točkah A in B je vektor hitrosti usmerjen tangencialno na krožnico, medtem ko sta modula hitrosti v obeh točkah enaka.
Po definiciji pospeška:
a → = ∆ v → ∆ t, ∆ t → 0
Poglejmo sliko:
Trikotnika OAB in BCD sta si podobna. Iz tega sledi O A A B = B C C D .
Če je vrednost kota ∆ φ majhna, je razdalja A B = ∆ s ≈ v · ∆ t. Ob upoštevanju, da je O A = R in C D = ∆ v za zgoraj obravnavane podobne trikotnike, dobimo:
R v ∆ t = v ∆ v ali ∆ v ∆ t = v 2 R
Ko je ∆ φ → 0, se smer vektorja ∆ v → = v B → - v A → približa smeri v središče kroga. Ob predpostavki, da je ∆ t → 0, dobimo:
a → = a n → = ∆ v → ∆ t ; ∆ t → 0 ; a n → = v 2 R .
Pri enakomernem gibanju po krogu ostaja modul pospeška konstanten, smer vektorja pa se s časom spreminja, pri čemer ohranja usmerjenost v središče kroga. Zato se ta pospešek imenuje centripetalen: vektor je v katerem koli trenutku usmerjen proti središču kroga.
Zapis centripetalnega pospeška v vektorski obliki izgleda takole:
a n → = - ω 2 R → .
Tukaj je R → vektor radij točke na krogu z izhodiščem v središču.
Na splošno je pospešek pri gibanju v krogu sestavljen iz dveh komponent - normalne in tangencialne.
Oglejmo si primer, ko se telo neenakomerno giblje po krogu. Uvedimo pojem tangencialnega (tangencialnega) pospeška. Njegova smer sovpada s smerjo linearne hitrosti telesa in je v vsaki točki kroga usmerjena tangentno nanjo.
a τ = ∆ v τ ∆ t ; ∆ t → 0
Tukaj je ∆ v τ = v 2 - v 1 - sprememba modula hitrosti v intervalu ∆ t
Smer celotnega pospeška je določena z vektorsko vsoto normalnega in tangencialnega pospeška.
Krožno gibanje v ravnini lahko opišemo z dvema koordinatama: x in y. V vsakem trenutku je mogoče hitrost telesa razstaviti na komponenti v x in v y.
Če je gibanje enakomerno, se bosta količini v x in v y ter pripadajoči koordinati spreminjali v času po harmoničnem zakonu s periodo T = 2 π R v = 2 π ω
Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter
