Matematični izreki. Malo znana posplošitev Pitagorovega izreka

3. Takole blondinke rešujejo enačbe!

Tale napis, ki sem ga naredil pred nekaj leti, je verjetno najkrajši dokaz, da je... 2 = 3. Nanj postavite ogledalo (ali ga poglejte skozi luč) in videli boste, kako se vrti "dva". v "tri""

Še ena nenavadna formula:

enajst + dva = dvanajst + ena.

Izkazalo se je, da je v angleščini enakost 11 + 2 = 12 + 1 resnična, tudi če je zapisana z besedami - "vsota" črk na levi in ​​desni je enaka! To pomeni, da je desna stran te enakosti anagram leve, torej jo dobimo iz nje s prerazporeditvijo črk.

Podobne, čeprav manj zanimive dobesedne enakosti je mogoče dobiti v ruščini:

petnajst + šest = šestnajst + pet.

Od leta 1960 do 1970 je glavna nacionalna pijača, imenovana "moskovska posebna vodka", stala: pol litra 2,87 in četrt litra 1,49. Te številke je verjetno poznalo skoraj celotno odraslo prebivalstvo ZSSR. Sovjetski matematiki so opazili, da če ceno pol litra dvignemo na potenco, ki je enaka ceni četrtine, dobimo število "Pi":

1,49 2,87 ??

(Poroča B.S. Gorobets).

Po izidu prve izdaje knjige mi je izredni profesor Fakultete za kemijo Moskovske državne univerze Leenzon I. A. poslal zanimiv komentar o tej formuli: »...pred mnogimi leti, ko še ni bilo kalkulatorjev, in ob na oddelku za fiziko smo delali težak test na diametru (!) (kolikokrat je treba premakniti premično ravnilo levo in desno?), jaz sem s pomočjo očetovih najbolj natančnih tabel (bil je geodet, vse življenje je sanjal o izpitu iz višje geodezije), je ugotovil, da je devetinštirideset rupij na dvainosemdeset potenco enako 3, 1408. To me ni zadovoljilo. Naš sovjetski državni odbor za načrtovanje ne bi mogel ravnati tako nesramno. Posvetovanja z ministrstvom za trgovino na Kirovskaya so pokazala, da so bili vsi izračuni cen na nacionalni ravni narejeni z natančnostjo stotink penija. Ampak pokliči natančne številke Zavrnili so me s sklicevanjem na tajnost (takrat me je presenetilo - kakšna tajnost je lahko v desetinkah in stotinkah penija). V zgodnjih devetdesetih letih prejšnjega stoletja mi je uspelo iz arhivov pridobiti natančne številke o stroških vodke, ki je bila do takrat s posebnim odlokom razveljavljena. In tako se je izkazalo: četrtina: 1 rubelj 49,09 kopejk. V prodaji - 1,49 rubljev. Pol litra: 2 rublja 86,63 kopejk. V prodaji - 2,87 rubljev. S pomočjo kalkulatorja sem zlahka ugotovil, da v tem primeru četrtina na potenco pol litra da (po zaokroževanju na 5 pomenljivih številk) točno 3,1416! Človek se lahko samo vpraša matematične sposobnosti delavci Sovjetskega državnega načrtovalnega komiteja, ki so (v to niti za trenutek ne dvomim) posebej prilagodili ocenjeno ceno najbolj priljubljene pijače na predhodno znan rezultat.«

Kateri matematik, znan iz šole, je šifriran v tem rebusu?

Matematik, fizik in inženir so dobili naslednjo nalogo: »Fant in deklica stojita ob nasprotnih stenah dvorane. V nekem trenutku začneta hoditi drug proti drugemu in vsakih deset sekund prehodita polovico razdalje med njima. Vprašanje je, koliko časa bo trajalo, da prideta drug do drugega?«

Matematik je brez oklevanja odgovoril:

Nikoli.

Fizik je po kratkem premisleku rekel:

Skozi neskončni čas.

Inženir je po dolgih izračunih izdal:

Po približno dveh minutah bodo dovolj blizu za vse praktične namene.

Na naslednjo pikantno formulo, ki jo pripisujejo Landauju, velikemu ljubitelju lepšega spola, me je opozoril znameniti landauvedski profesor Gorobets.

Kot nam je povedal izredni profesor MSUIE A.I. Zyulkov, je slišal, da je Landau izpeljal naslednjo formulo za indikator ženske privlačnosti:

kje K- prsni obseg; M- na bokih; n- okoli pasu, T- višina, vse v cm; p- teža v kg.

Torej, če vzamemo parametre za model (1960) približno: 80-80-60-170-60 (v zgornjem zaporedju vrednosti), potem po formuli dobimo 5. Če vzamemo parametre " antimodel«, na primer: 120 -120-120-170-60, potem dobimo 2. V tem intervalu šolske ocene in, grobo rečeno, »Landauova formula« deluje.

(Citirano iz knjige: Gorobec B. Landaujev krog. Življenje genija. M.: Založba LKI/URSS, 2008.)

Še en znanstveni argument o ženski privlačnosti, pripisan Dau.

Določimo privlačnost ženske kot funkcijo oddaljenosti do nje. Ko je argument neskončen, ta funkcija postane nič. Po drugi strani pa je v točki nič tudi nič (govorimo o zunanji privlačnosti, ne o taktilni privlačnosti). Po Lagrangeovem izreku nenegativno neprekinjena funkcija, pri čemer na koncih segmenta ničelne vrednosti, ima največ na tem segmentu. Zato:

1. Obstaja razdalja, s katere je ženska najbolj privlačna.

2. Ta razdalja je drugačna za vsako žensko.

3. Do žensk se morate držati na distanci.

Izrek: Vsi konji so iste barve.

Dokaz. Dokažimo trditev izreka z indukcijo.

pri n= 1, to je za množico, ki jo sestavlja en konj, trditev očitno drži.

Naj izrek velja za n = k. Dokažimo, da velja tudi za n = k+ 1. Če želite to narediti, razmislite o poljubni množici k+ 1 konji. Če odstranite enega konja z njega, potem bo samo k. Po indukcijski hipotezi so vse iste barve. Zdaj pa vrnimo odstranjenega konja na njegovo mesto in vzemimo drugega. Spet po induktivni hipotezi ti k ostali konji so iste barve. Ampak potem je to vse k+ 1 konji bodo iste barve.

Zato so po načelu matematične indukcije vsi konji iste barve. Izrek je dokazan.

Še ena odlična ilustracija aplikacije matematične metode do zoologije.

Izrek: Krokodil je daljši kot širok.

Dokaz. Vzemimo poljubnega krokodila in dokažimo dve pomožni lemi.

Lema 1: Krokodil je daljši od zelenega.

Dokaz. Poglejmo krokodila od zgoraj – dolg je in zelen. Poglejmo krokodila od spodaj - dolg je, a ne tako zelen (pravzaprav je temno siv).

Zato je lema 1 dokazana.

Lema 2: Krokodil je bolj zelen od širokega.

Dokaz.Še enkrat poglejmo krokodila od zgoraj. Zelena je in široka. Poglejmo krokodila s strani: zelen je, vendar ni širok. To dokazuje lemo 2.

Trditev izreka očitno izhaja iz dokazanih lem.

Obratni izrek (»krokodil je širši kot dolg«) lahko dokažemo na podoben način.

Na prvi pogled iz obeh izrekov sledi, da je krokodil kvadraten. Ker pa so neenakosti v njihovih formulacijah stroge, bo pravi matematik zadostoval le pravilen zaključek: KROKODILI NE OBSTAJAJO!

Izrek: Vsa naravna števila so med seboj enaka.

Dokaz. To je treba dokazati za katera koli dva naravna števila A in B enakost je zadoščena A = B. Preformulirajmo takole: za katero koli n> 0 in poljubno A in B, ki izpolnjuje enakost max( A, B) = n, mora biti izpolnjena tudi enakost A = B.

Dokažimo to z indukcijo. če n= 1, torej A in B, ker sta naravna, oba enaka 1. Zato A = B.

Predpostavimo zdaj, da je bila izjava dokazana za neko vrednost k. Vzemimo A in B tako da max( A, B) = k+ 1. Nato max( A–1, B–1) = k. Po indukcijski hipotezi sledi, da ( A–1) = (B–1). pomeni, A = B.

Ljubitelji jezikoslovja in matematične uganke Verjetno poznajo refleksivne ali samoopisne (ne mislite nič slabega), samoreferenčne besede, fraze in številke. Slednji na primer vključuje številko 2100010006, v kateri je prva številka enaka številu enic v zapisu te številke, druga - številu dvojk, tretja - številu trojk, ..., deseti - število ničel.

Samoopisne besede vključujejo, recimo, besedo enaindvajset črk, ki sem ga izumil pred nekaj leti. Pravzaprav ima 21 črk!

Znanih je ogromno samoopisnih fraz. Enega prvih primerov v ruščini je pred mnogimi leti iznašel znani karikaturist in besedni duh Vagrich Bakhchanyan: V tem stavku je dvaintrideset črk. Tukaj je nekaj drugih, izumljenih veliko pozneje: 1. Sedemnajst črk. 2. Ta stavek ima na koncu napako. 3. Ta stavek bi imel sedem besed, če bi bil sedem besed krajši. 4. Ste pod mojim nadzorom, saj me boste brali, dokler ne končate z branjem. 5. ...Ta stavek se začne in konča s tremi pikami..

Več jih je kompleksne zasnove. Občudujte na primer to pošast (glej opombo S. Tabachnikova "Duhovnik je imel psa" v reviji "Kvant", št. 6, 1989): V tem stavku se beseda »in« pojavi dvakrat, beseda »this« se pojavi dvakrat, beseda »phrase« se pojavi dvakrat, beseda »occurs« se pojavi štirinajstkrat, beseda »word« se pojavi štirinajstkrat in beseda » raz« se pojavi šestkrat, beseda »raza« se pojavi sedemkrat, beseda »štirinajst« se pojavi trikrat, beseda »devet« se pojavi dvakrat. , beseda “sedem” se pojavi dvakrat, dva Beseda “šest” se pojavi večkrat.

Leto po objavi v Kvantu je I. Akulich prišel do samoopisne fraze, ki opisuje ne le besede, ki so v njej vključene, ampak tudi ločila: Besedna zveza, ki jo berete, vsebuje: dve besedi "fraza", dve besedi "ki", dve besedi "ti", dve besedi "preberi", dve besedi "vsebuje", petindvajset besed "besede", dve besedi "besede" , dve besedi “dvopičje”, dve besedi “vejice”, dve besedi “by”, dve besedi “levo”, dve besedi “in”, dve besedi “desno”, dve besedi “narekovaji”, dve besedi “a”, dve besede »tudi«, dve besedi »pika«, dve besedi »ena«, dve besedi »ena«, dvaindvajset besed »dva«, tri besede »tri«, dve besedi »štiri«, tri besede »pet«, štiri besede »dvajset«, dve besedi »trideset«, eno dvopičje, trideset vejic, petindvajset levih in desnih narekovajev in ena pika.

Končno se je nekaj let kasneje v istem "Kvantu" pojavil zapis A. Khanyana, v katerem je bila podana fraza, ki natančno opisuje vse njegove črke: V tej frazi je dvanajst V, dva E, sedemnajst T, tri O, dva Y, dva F, sedem R, štirinajst A, dva 3, dvanajst E, šestnajst D, sedem H, sedem C, trinajst B, osem C, šest M, pet I, dva H, dva S, tri I, tri Š, dva P.

»Jasno se čuti, da manjka še ena fraza - tista, ki bi povedala o vseh njegovih črkah in ločilih,« mi je v zasebnem pismu zapisal I. Akulich, ki je rodil eno od prej citiranih pošasti. Morda bo kateri od naših bralcev rešil to zelo težko težavo.

V nadaljevanju prejšnje teme velja omeniti refleksivne paradokse.

V prej omenjeni knjigi J. Littlewooda, »Matematična mešanica«, je upravičeno rečeno, da so »vsi refleksivni paradoksi seveda odlične šale«. Med njimi sta tudi dva, ki si ju bom dovolil citirati:

1. Obstajati morajo (pozitivna) cela števila, ki jih ni mogoče izraziti z besednimi zvezami, krajšimi od šestnajstih besed. Vsak niz pozitivnih celih števil vsebuje najmanjše število, zato obstaja številka n, "najmanjše celo število, ki ga ni mogoče izraziti v frazi z manj kot šestnajstimi besedami." Toda ta fraza vsebuje 15 besed in definira n.

2. V reviji Gledalec je bil razpisan natečaj na temo "Kaj bi najraje prebrali, ko odprete jutranji časopis?" Prvo nagrado je prejel odgovor:

Prvo nagrado na drugem letošnjem natečaju je prejel gospod Arthur Robinson, čigar duhovit odgovor je brez težav mogoče označiti za najboljšega. Njegov odgovor na vprašanje: "Kaj bi najraje prebrali, ko odprete jutranji časopis?" je nosil naslov "Naš drugi natečaj", vendar ga zaradi omejitve papirja ne moremo natisniti v celoti.

Obstajajo tako neverjetni stavki, ki se berejo enako od leve proti desni in od desne proti levi. Vsi zagotovo vedo eno stvar: In vrtnica je padla na Azorjevo šapo. Bila je tista, ki jo je muhasta Malvina prosila, naj piše v nareku nevednega Ostržka. Takšne vzajemne besedne zveze se imenujejo palindromi, kar v prevodu iz grščine pomeni "beg nazaj, vračanje". Tu je še nekaj primerov: 1. Liliputanski som žaga na mostu. 2. Splezam na kopalnico. 3. Legel je na tempelj in nadangel je čudovit in neviden. 4. Merjasec stisnjen na jajčevce. 5. Muza, ranjena s šilom izkušenj, molila boš za razum. (D. Avaliani). 6. Redko držim cigaretni ogorek z roko... (B. Goldstein) 7. Ko zavoham mleko, mijavkam. (G. Lukomnikov). 8. On je vrba, ona pa hlod. (S.F.)

Zanima me, ali v matematiki obstajajo palindromi? Da bi odgovorili na to vprašanje, poskusimo prenesti idejo vzajemnega, simetričnega branja na številke in formule. Izkazalo se je, da ni tako težko. Spoznajmo le nekaj tipični primeri iz te palindromske matematike, palindromatika. Če pustimo ob strani palindromske številke – npr. 1991 , 666 itd. - takoj se obrnemo na simetrične formule.

Poskusimo najprej rešiti naslednjo nalogo: poiščimo vse pare takih dvomestnih števil

(x 1 - prva številka, l 1 - druga številka) in

tako da se rezultat njihovega seštevanja ne spremeni zaradi branja vsote od desne proti levi, tj.

Na primer, 42 + 35 = 53 + 24.

Problem je mogoče rešiti trivialno: vsota prvih števk vseh takih parov števil je enaka vsoti njihovih drugih števk. Zdaj lahko preprosto sestavite podobne primere: 76 + 34 = 43 + 67, 25 + 63 = 36 + 52 in tako naprej.

Če razmišljate na podoben način, lahko preprosto rešite isti problem za ostale aritmetične operacije.

V primeru razlike, tj.

dobimo naslednje primere: 41 – 32 = 23 –14, 46 – 28 = 82 – 64, ... - vsote števk teh števil so enake ( x 1 + y 1 = x 2 + y 2 ).

Pri množenju imamo: 63 48 = 84 36, 82 14 = 41 28, ... - v tem primeru zmnožek prvih števk števil n 1 in n 2 enako zmnožku njihovih drugih števk ( x 1 x 2 = y 1 l 2 ).

Končno za delitev dobimo naslednje primere:

V tem primeru produkt prve števke števila n 1 na drugo števko številke n 2 enak zmnožku njunih drugih dveh števk, tj. x 1 l 2 = x 2 l 1 .

Dokaz naslednjega "teorema", ki se je pojavil v dobi "nerazvitega socializma", temelji na priljubljenih tezah tistih let o vlogi komunistične partije.

Izrek. Vloga stranke je negativna.

Dokaz. Dobro je znano, da:

1. Vloga stranke se nenehno povečuje.

2. V komunizmu, v brezrazredni družbi, bo vloga partije enaka ničli.

Tako imamo stalno naraščajočo funkcijo, ki teži k 0. Zato je negativna. Izrek je dokazan.

Kljub navidezni absurdnosti naslednjega problema ima vendarle povsem strogo rešitev.

Naloga. Mama je 21 let starejša od sina. Čez šest let bo petkrat starejša od njega. Vprašanje je: KJE JE OČKA?!

rešitev. Naj X- starost sina in Y- starost matere. Potem je pogoj problema zapisan kot sistem dveh preprostih enačb:

Nadomeščanje Y = X+ 21 v drugo enačbo, dobimo 5 X + 30 = X+ 21 + 6, od koder X= –3/4. Tako je sedaj sin star minus 3/4 leta, tj. minus 9 mesecev. In to pomeni, da je oče v tem trenutku je na mami!

Ironični izraz »Če si tako pameten, zakaj si potem tako reven?« je dobro znan in, žal, velja za mnoge ljudi. Izkazalo se je, da ima ta žalostni pojav strogo matematično utemeljitev, ki temelji na prav tako neizpodbitnih resnicah.

Začnimo namreč z dvema znanima postulatoma:

Postulat 1: Znanje = moč.

Postulat 2: Čas = denar.

Poleg tega to ve vsak šolar

Pot s = Hitrost x Čas = Delo: Sila,

Delo: Čas = Sila x Hitrost (*)

Če nadomestimo vrednosti za "čas" in "silo" iz obeh postulatov v (*), dobimo:

Delo: (Znanje x Hitrost) = Denar (**)

Iz dobljene enakosti (**) je razvidno, da z usmeritvijo »znanja« ali »hitrosti« na nič lahko za poljubno »delo« dobimo kolikor hočemo denarja.

Zato sklep: bolj neumen in bolj lena oseba, tiste več denarja lahko zasluži denar.

Pred nekaj leti je revija "Znanost in življenje" (št. 1, 2000) objavila zapis profesorja B. Gorobetsa, ki je med bralci vzbudil veliko zanimanja, posvečen čudoviti ugankarski igri, ki jo je izumil akademik Landau, da bi se izognili dolgčasu med potovanjem po avto. Svoje spremljevalce je pogosto vabil k tej igrici, v kateri so registrske tablice mimo vozečih avtomobilov služile kot senzor naključnih števil (tedaj so bile te številke sestavljene iz dveh črk in dveh parov številk). Bistvo igre je bila uporaba aritmetičnih znakov in simbolov za elementarne funkcije(tj. +, –, x, :, v, sin, cos, arcsin, arctan, lg itd.) pripelje ta dva na isto vrednost dvomestna števila z registrske tablice mimo vozečega avtomobila. V tem primeru je dovoljena uporaba faktoriala ( n! = 1 x 2 x ... x n), vendar uporaba sekanta, kosekansa in diferenciacije ni dovoljena.

Na primer, za par 75–33 je želena enakost dosežena na naslednji način:

in za par 00–38 - takole:

Vseh težav pa ni mogoče rešiti tako preprosto. Nekateri od njih (na primer 75–65) niso bili sposobni avtorja igre, Landaua. Zato se postavlja vprašanje o nekem univerzalnem pristopu, neki eni sami formuli, ki vam omogoča, da "rešite" kateri koli par številk. Enako vprašanje sta postavila Landau in njegov študent prof. Kaganov. Tako piše zlasti: »Ali je iz registrske tablice vedno mogoče narediti enakost?« - sem vprašal Landaua. "Ne," je odgovoril zelo odločno. - "Ali ste dokazali izrek o neobstoju rešitve?" - Bil sem presenečen. "Ne," je prepričan Lev Davidovič, "vendar mi niso uspele vse številke."

Toda takšne rešitve so bile najdene, ena od njih v času življenja samega Landaua.

Harkovski matematik Yu Palant je predlagal formulo za izenačevanje parov števil

ki zaradi ponavljajoče se uporabe omogoča izražanje poljubnega števila skozi katero koli manjše. "Prinesel sem Landauov dokaz," o tej odločitvi piše Kaganov. - “Zelo mu je bil všeč ... in sva se napol v šali, napol zares pogovarjala, ali bi to objavila v kakšni znanstveni reviji.”

Vendar pa Palantova formula uporablja zdaj "prepovedani" sekans (ni bil vključen v šolski kurikulum že več kot 20 let), zato je ni mogoče šteti za zadovoljivo. Vendar sem lahko to enostavno popravil s spremenjeno formulo

Nastala formula (spet, če je potrebno, jo je treba uporabiti večkrat) vam omogoča, da izrazite poljubno število skozi katero koli večje število, brez uporabe drugih številk, kar očitno izčrpa Landauov problem.

1. Med številkami naj ne bo ničel. Iz njih sestavimo dve števili ab in CD, (to seveda niso dela). Pokažimo, kdaj n ? 6:

greh[( ab)!]° = sin[( CD)!]° = 0.

Res greh( n!)° = 0 če n? 6, saj je sin(6!)° = sin720° = sin(2 x 360°) = 0. Potem kateri koli faktoriel dobimo z množenjem 6! na naslednja cela števila: 7! = 6! x 7, 8! = 6! x 7 x 8 itd., kar daje večkratnik 360° v argumentu sinusa, zaradi česar je ta (in tudi tangens) enak nič.

2. Naj bo v nekem paru števil ničla. Pomnožimo ga s sosednjo števko in ga enačimo s sinusom faktorijela v stopinjah, vzetega iz števila v drugem delu števila.

3. Na obeh straneh števila naj bodo ničle. Ko jih pomnožimo s sosednjimi števkami, dobimo trivialno enakost 0 = 0.

Razdelitev splošne rešitve na tri točke z množenjem z nič v točkah 2 in 3 je posledica dejstva, da je sin( n!)° ? 0 če n < 6».

Seveda podobno splošne rešitve Landauovi igri odvzamejo prvotni čar in predstavljajo le abstraktno zanimivost. Zato poskusite igrati s posameznimi težkimi številkami brez uporabe univerzalne formule. Tukaj je nekaj izmed njih: 59–58; 47–73; 47–97; 27–37; 00–26.

Več o determinantah.

Povedali so mi, da je bila nekoč med študenti 1. letnika Fakultete za mehaniko in matematiko priljubljena igra »determinator« za denar. Dva igralca narišeta identifikator 3 x 3 na papir s praznimi celicami. Nato se številke od 1 do 9 vstavijo v prazne celice. Ko so vse celice zapolnjene, se izračuna determinanta - odgovor, ob upoštevanju predznaka, je zmaga (ali poraz) prvega igralca. , izraženo v rubljih. To je, če se je na primer izkazalo, da je številka -23, potem prvi igralec plača drugemu 23 rubljev, in če, recimo, 34, potem, nasprotno, drugi igralec plača prvi 34 rubljev.

Čeprav so pravila igre preprosta kot repa, se je zelo težko domisliti prave zmagovalne strategije.

To sporočilo mi je poslal matematik in pisatelj A. Žukov, avtor čudovita knjiga"Vsod prisotno število pi."

Profesor Boris Solomonovič Gorobets, ki poučuje matematiko na dveh moskovskih univerzah, je napisal knjigo o velikem fiziku Levu Davidoviču Landauu (1908–1968) - "Landauov krog". Evo kaj zanimiva zgodba, povezano z eno Fizika in tehnika uvodna naloga, nam je povedal.

Zgodilo se je, da je Landauov kolega in soavtor tečaja v desetih zvezkih o teoretična fizika Akademik Evgenij Mihajlovič Lifšic (1915–1985) je leta 1959 pomagal diplomantu Bori Gorobetsu pri pripravah na vstop v enega vodilnih šol. fizikalne univerze Moskva.

Vklopljeno pisni izpit matematike na Moskovskem inštitutu za fiziko in matematiko je bil predlagan naslednji problem: »Na dnu piramide SABC leži pravokotnik enakokraki trikotnik ABC, s kotom C = 90°, stranica AB = l. Stranski obrazi obliki z osnovno ravnino diedrski koti?, ?, ?. Poiščite polmer krogle, včrtane v piramidi.«

Bodoči profesor takrat ni kos nalogi, vendar se je spomnil njenega stanja in pozneje obvestil Evgenija Mihajloviča. On, ko se je s težavo ukvarjal v prisotnosti študenta, je ni mogel takoj rešiti in jo je odnesel s seboj domov, zvečer pa je poklical in rekel, da je ponudil to težavo, ker je ni rešil v eni uri Levu Davidoviču.

Landau je rad reševal probleme, ki so drugim povzročali težave. Kmalu je Lifšica poklical nazaj in zadovoljen rekel: »Rešil sem problem. Odločitev je trajala točno eno uro. Poklical sem Zeldoviča, zdaj se on odloči.” Naj pojasnimo: Jakov Borisovič Zeldovich (1914–1987) - slavni znanstvenik, ki se je imel za Landauovega učenca, je bil v tistih letih glavni teoretični fizik v strogo zaupni sovjetski Atomski projekt(za kar je takrat seveda malokdo vedel). Približno uro kasneje je E. M. Lifshits ponovno poklical in rekel: Zeldovich ga je pravkar poklical in ne brez ponosa rekel: »Rešil sem vaš problem. Odločil sem se v štiridesetih minutah!«

Koliko časa boste potrebovali za dokončanje te naloge?

V duhoviti zbirki humorja o fiziki in tehniki »Zany Scientific Humor« (Moskva, 2000) je kar nekaj matematičnih šal. Tukaj je le eden od njih.

Med testiranjem enega izdelka je prišlo do ene napake. Kakšna je verjetnost brezhibnega delovanja izdelka?

Izrek. Vsa naravna števila so zanimiva.

Dokaz. Predpostavimo nasprotno. Potem mora obstajati najmanjše nezanimivo naravno število. Ha, to je hudičevo zanimivo!

1 + 1 = 3, ko je vrednost 1 dovolj velika.

E = m c 2 = m(a 2 + b 2).

To smešno zgodbo iz študentskega življenja bi lahko ponudili kot nalogo na seminarjih teorije verjetnosti.

Poleti smo se s prijatelji odpravili na pohod v hribe. Bili smo štirje: Volodja, dva Olega in jaz. Imeli smo šotor in tri spalne vreče, od katerih je bila ena dvojna za naju z Volodjo. Prav s temi spalnimi vrečami, natančneje z njihovo lokacijo v šotoru, je bil problem. Dejstvo je, da je deževalo, šotor je bil tesn, s strani je puščalo in ležečim na robu ni bilo ravno udobno. Zato sem predlagal, da se ta problem reši "pošteno", z uporabo lotov.

Glej, sem rekel Olegsu, z Volodjo imava lahko zakonsko posteljo na robu ali v sredini. Zato bomo vrgli kovanec: če pride do "glav", bo naša zakonska postelja na robu, če "repi" - v sredini.

Olega sta se strinjala, a po več nočitvah na robu (preprosto je izračunati po formuli polna verjetnost, da je za vsakega od naju z Volodjo verjetnost, da ne bova spala na robu šotora, 0,75) Olega sta posumila, da je nekaj narobe, in predlagala, da ponovno razmislita o pogodbi.

Res, sem rekel, možnosti so bile neenake. Pravzaprav so za našo zakonsko posteljo tri možnosti: na levem robu, na desnem in v sredini. Zato bomo vsak večer potegnili eno od treh palic - če potegnemo kratko, bo naš dvojnik v središču.

Olega sta se spet strinjala, čeprav so bile tokrat naše možnosti, da prenočimo ne blizu roba (zdaj je verjetnost 0,66, natančneje dve tretjini), boljše od možnosti vsakega od njih. Po dveh nočeh na robu (na naši strani jih je bilo najboljše možnosti plus sreča) Olega sta spet ugotovila, da sta bila prevarana. Potem pa je na srečo deževje ponehalo in težava je izginila sama od sebe.

A v resnici bi morala biti najina zakonska postelja vedno na robu in z Volodjo sva s kovancem vsakič ugotavljala, kdo je imel srečo. Olegovi bi storili enako. V tem primeru bi bile možnosti spanja na robu enake za vse in enake 0,5.

Opombe:

Včasih je podobna zgodba pripovedana o Jeanu Charlesu Francoisu Sturmu.

Marsikoga zmedejo nerazumljivi matematični simboli in stroga matematična pravila ter se vedno izogibajo reševanju tistih nalog, ki ne vključujejo samo črk, ampak tudi številke. Matematika je seveda lahko zelo zapletena, a rezultati, ki jih z njo dosežemo, so lahko prav nepričakovani, lepi in preprosto osupljivi.

Problem štirih barv

Problem štirih barv je matematični problem, ki ga je leta 1852 oblikoval Francis Guthrie, ki je takrat poskušal pobarvati zemljevid grofij Anglije (takrat še ni bilo interneta, zato ni bilo veliko dela). Odkril je nekaj zanimivega - potrebne so bile le 4 barve, da sta bili pobarvani katerikoli dve področji, ki imata skupno mejo različne barve. Guthrieja je začelo zanimati, ali to pravilo deluje za katero koli drugo kartico, in postavilo se je vprašanje matematična težava, ki ga dolga leta ni bilo mogoče rešiti.

Šele leta 1976 sta ta problem rešila Kenneth Appel in Wolfgang Haken. Za dokaz so uporabili računalnik in izkazalo se je, da je precej zapleteno. Vendar je dokazano, da popolnoma vsaka kartica (npr. politični zemljevid svet) je mogoče pobarvati samo s 4 barvami, tako da se nobena država ne dotika druge obarvane v isto barvo.

Brouwerjev izrek o fiksni točki

Ta izrek iz veje matematike, kot je topologija, je dokazal Leutzen Brouwer. Njegov čisto matematični izraz je precej abstrakten, vendar je lahko na nepričakovan način veljajo za različne resnični dogodki. Recimo, da imamo neko sliko (na primer Mona Lisa) in lahko naredimo njeno kopijo. Potem lahko s to kopijo počnemo, kar hočemo – povečujemo, pomanjšujemo, vrtimo, mečkamo, karkoli. Brouwerjev izrek o fiksni točki navaja, da če je ta deformirana kopija postavljena na izvirnik, bo na kopiji vedno obstajala vsaj ena točka, ki se bo nahajala natančno nad isto točko slike na izvirniku. Lahko je košček Moninega ušesa, ust ali očesa, a takšna točka bo zagotovo obstajala.

Izrek deluje tudi v tridimenzionalnem prostoru. Predstavljajte si, da imamo kozarec vode, v katerega damo žlico in vodo mešamo, kolikor želimo. Po Brouwerjevem izreku bo vedno obstajala vsaj ena molekula vode, ki bo končala na točno istem mestu kot pred mešanjem.

Russellov paradoks

Na prelomu 20. stoletja je mnoge znanstvenike navdušila nova veja matematike – teorija množic. Načeloma je množica zbirka poljubnih predmetov. V tistih časih je veljalo, da se lahko kateri koli sklop predmetov šteje za komplet - niz vseh sadežev, niz vseh ameriških predsednikov, in vse to je veljalo za resnično. Velja dodati, da en sklop lahko vključuje druge sklope. Leta 1901 je slavni matematik Bertrand Russell prišel do senzacionalnega odkritja, ko je ugotovil, da je ta način razmišljanja napačen – pravzaprav vseh zbirk predmetov ni mogoče imenovati niz.

Ko se je odločil preučiti to vprašanje, je Russell opisal množico vseh množic, ki ne vsebujejo same sebe kot svojih elementov. Komplet vsega sadja ne vsebuje samega sebe, zato ga lahko vključimo v komplet Russell, tako kot ogromno drugi sklopi. Kaj pa sam set Russell? Ne vsebuje samega sebe, zato mora biti tudi v tem kompletu. Čakaj malo ... zdaj vsebuje samega sebe, zato ga moramo izključiti. Zdaj pa ga je treba spet vključiti vase, saj v tem trenutku ne vsebuje samega sebe. In tako dalje. Ta logični paradoks je pripeljal do revizije teorije množic, enega najpomembnejših področij sodobne matematike.

Fermatov zadnji izrek

Se spomnite Pitagorovega izreka iz šole? Piše, da v pravokotni trikotnik kvadrat hipotenuze enaka vsoti kvadratov nog (x2 + y2 = z2). Najbolj slavni izrek Pierre Fermat pravi, da tega istega izraza nima naravne rešitve x, y in z, če je katerokoli naravno število, večje od dve, na potencah.

Kot je zapisal sam Fermat: »... ni mogoče razstaviti kocke na dve kocki, bikvadrata na dva bikvadrata in na splošno nobene potence, ki je večja od kvadrata, na dve potenci z istim eksponentom. Našel sem res čudovit dokaz za to, vendar so robovi knjige zanj preozki.« Težava je v tem, da je Fermat to napisal leta 1637 in je ostalo nedokazano že mnogo let. In šele leta 1995 (358 let kasneje) je izrek dokazal Andrew Wiles.

Teorem o koncu sveta

Velika verjetnost je, da je večina bralcev tega članka ljudi. To je za nas ljudi streznitveno – z matematiko je mogoče ugotoviti, kdaj bo naša vrsta popolnoma izumrla. Uporaba verjetnosti, a vseeno.
Ta izrek (ki obstaja že približno 30 let in je bil večkrat odkrit in ponovno odkrit) nakazuje, da se čas človeštva izteka. Eden od dokazov (zaradi astrofizika Richarda Gotta) je presenetljivo preprost: če upoštevate celoten obstoj človeška vrsta kot življenjski proces posameznega organizma je mogoče ugotoviti, na kateri stopnji življenja se nahaja naša vrsta.

Na podlagi predpostavke, da se danes živeči ljudje nahajajo na naključnem mestu v celotni kronologiji človeške zgodovine, lahko s 95% zanesljivostjo trdimo, da smo med zadnjimi 95% ljudi, ki so se kdajkoli rodili. Poleg tega Gott poskuša dati 95-odstotni interval zaupanja med najmanjšim in največji čas preživetje. Ker daje 2,5-odstotno možnost podcenjevanja najnižjega časa, ostane samo 2,5 % za precenjevanje največjega. Po Gottu bo človeštvo izumrlo med 5100 leti in 7,8 milijona let od danes. Torej, človeštvo, čas je, da napišete svojo oporoko.

TEMELJNI IZREK ALGEBRE Izrek, da je vsak polinom stopnje n (n>0): f(z) = a0zn + a1zn-1 + … + an, kjer je a0 / 0, nad poljem kompleksna števila ima vsaj en koren z1, torej f(z1)=0. Od O.T.A. in iz Bezoutovega izreka sledi, da ima polinom f(z) natanko n korenin v polju kompleksnih števil (upoštevajoč njihovo mnogokratnost). Dejansko je po Bezoutovem izreku f(z) deljiv z z – z1 (brez ostanka), tj. f(z) = f1(z)(z – z1), in s tem polinom f1(z) (n – 1) stopnje po O.T.A. ima tudi koren z2 itd. Na koncu bomo prišli do zaključka, da ima f(z) točno n korenin: f(z) = a0(z – z1)(z – z2) (z – zn). O.T.A. tako imenovano, ker je bila glavna vsebina algebre v 17.-18. prišel do reševanja enačb.

O.T.A. je bilo prvič dokazano v 17. stoletju. francoski matematik Girard, strog dokaz pa je leta 1799 podal nemški matematik Gauss. BEZOUJEV IZREK Izrek o ostanku pri deljenju poljubnega polinoma z linearnim binomom Formuliramo ga takole: ostanek pri deljenju poljubnega polinoma f(x) z binomom x – a je enak f(a). ). T.B. poimenovana po francoskem matematiku iz 18. stoletja, ki jo je prvi oblikoval in dokazal. Bezu. Od T.B. sledijo naslednje posledice: 1) če je polinom f(x) deljiv (brez ostanka) z x – a, potem je število a koren iz f(x); 2) če je število a koren polinoma f(x), potem je f(x) deljiv (brez ostanka) z binomom x – a; 3) če ima polinom f(x) vsaj en koren, potem ima ta polinom natanko toliko korenin, kolikor je stopnja tega polinoma (upošteva se mnogoterost korenin). ČEVIN IZREK Če premice, ki povezujejo oglišča trikotnik ABC s točko O, ki leži v ravnini trikotnika, se nasprotni strani (ali njuni podaljški) sekata v točkah A' B' C', potem velja naslednja enakost: (*) V tem primeru je razmerje med segmenti se štejejo za pozitivne, če imajo ti segmenti isto smer, in negativne - drugače.

T.Č. lahko zapišemo tudi v tej obliki: (ABC’)*(BCA’)*(CAB’) = 1, kjer je (ABC’) preprosta relacija tri točke A, B in C'. Pošteno in obratni izrek: če se točke C', A', B' nahajajo na stranicah AB, BC in CA trikotnika ali njihovih podaljškov, tako da je izpolnjena enakost (*), potem se premice AA', BB' in CC' sekajo v eno točko ali sta vzporedna (sekata se v nepravilni točki). Črte AA', BB' in CC', ki se sekajo v eni točki in potekajo skozi oglišča trikotnika, imenujemo Chevyjeve črte ali Chevyanove črte.

T.Č. je projektivne narave. T.Č. je metrično dvojna na Menelajev izrek.

T.Č. poimenovana po italijanskem geometru Giovanniju Cevi, ki jo je dokazal (1678). KOZINUSNI IZREK 1. T.K. ravninska trigonometrija - trditev, da je v katerem koli trikotniku kvadrat katere koli njegove stranice enak vsoti kvadratov njegovih dveh drugih strani brez podvojitve produkta teh strani s kosinusom kota med njima: c2 = a2 + b2 – 2abcosC, kjer so a, b, c dolžine stranic trikotnika, C pa je kot med stranicama a in b. T.K. pogosto uporablja pri reševanju problemov elementarne geometrije in trigonometrije 2. T.K. za stranico sferičnega trikotnika: kosinus ene stranice sferičnega trikotnika je enak zmnožku kosinusov njegovih dveh drugih strani in zmnožku sinusov istih stranic s kosinusom kota med njima: cosa = cosb*cosc + sinb*sinc*cosA 3. T.K. za kot sferičnega trikotnika: kosinus kota sferičnega trikotnika enako zmnožku kosinusi drugih dveh kotov, vzeti iz nasprotno znamenje, plus produkt sinusov drugih dveh kotov s kosinusom strani nasproti prvega kota: cosA = -cosBcosC + sinBsinCcosa. EULERJEV TEOREM 1. T.E. v teoriji primerjav navaja, da če je (a, m)=1, potem kjer je f(m) Eulerjeva funkcija (število celih števil pozitivna števila enako praštevilna m in ne presega m). 2. T.E. o poliedrih navaja, da za vsak polieder ničelnega rodu velja formula: B + G – P = 2, kjer je B število oglišč, G število ploskev, P število robov poliedra.

Vendar pa je Descartes prvi opazil takšno odvisnost.

Zato T.E. na poliedrih je zgodovinsko bolj pravilno imenovati Descartes-Eulerjev izrek.

Število B + G – P imenujemo Eulerjeva karakteristika poliedra.

T.E. velja tudi za zaprte grafe. Thalesov izrek Eden od izrekov elementarne geometrije o proporcionalnih odsekih T.F. navaja, da če so na eni od strani kota iz njegovega vrha zaporedoma položeni enaki segmenti in skozi konca teh segmentov narišemo vzporedne črte, ki sekajo drugo stran kota, bodo enaki segmenti položeni tudi na drugo stran kota. stran kota.

Poseben primer T.F. izraža nekatere lastnosti srednja črta trikotnik. Fermatov zadnji izrek P. Fermata, da enačba xn + yn = zn (kjer je n celo število, večje od dve) nima rešitev v pozitivnih celih številih, kljub izjavi P. Fermata, da mu je uspelo najti neverjeten dokaz B .F.T zaradi pomanjkanja prostora ne navaja (to opombo je zapisal P. Fermat ob robu Diofantove knjige), do nedavnega (sredi 90. let) je W.T.F. V splošni pogled ni dokazano. FERMAJIN MALI IZREK Poseben primer Eulerjevega izreka, ko je modul m=p praštevilo.

M.T.F. formuliran na naslednji način: če je p praštevilo, potem je ap=a(mod p). V primeru, ko a ni deljivo s p, iz M.T.F. sledi: ap-1=1(mod p). M.T.F. je odkril francoski znanstvenik Pierre Fermat. HÖLDERJEVA NEENAKOST Za končne vsote ima obliko: , ali v integralni obliki: , kjer je p > 1 in. N.G. pogosto uporablja v matematični analizi.

N.G. je posplošitev Cauchyjeve neenakosti v algebraični obliki in neenakosti Bunyakovskega v integralni obliki, v katero je N.G. obrne pri p = 2. CARDANOVA FORMULA Formula, ki izraža korene kubične enačbe: x3+px+q=0 (*) skozi njene koeficiente. Vsaka kubična enačba je reducirana na obliko (*). je zapisan takole: . S poljubno izbiro vrednosti prvega kubičnega radikala morate izbrati vrednost drugega radikala (iz možne tri), kar v produktu z izbrano vrednostjo prvega radikala da (-p/3). Tako dobimo vse tri korene enačbe (*). Še vedno ni jasno, kdo je lastnik F.K.: G. Cardano, N. Tartaglie ali S. Ferro. F.K. sega v 16. stoletje. CAUCHYJEVA NEENAKOST Neenakost, ki velja za končne vsote; zelo pomembna in najpogosteje uporabljena različna področja matematika in matematična fizika neenakost.

Prvič ga je vzpostavil Cauchy leta 1821. Integralni analog N.K.: je ustanovil ruski matematik V.Ya. Bunyakovsky. MENELOV IZREK Če premica seka stranice trikotnika ABC ali njune podaljške v točkah C', A' in B', velja naslednja relacija: (*) Razmerje odsekov je pozitivno, če premica seka stranico trikotnika in negativno, če premica seka podaljšek stranice.

Velja tudi obratni izraz: če je izpolnjena enakost (*), kjer so A, B, C oglišča trikotnika, A’, B’, C’ pa ležijo na isti premici.

T.M. lahko formuliramo v obliki merila za lokacijo treh točk A', B' in C' na eni premici: da bi 3 točke A', B' in C' ležale na isti premici, potrebno in zadostuje, da je izpolnjena relacija (*), kjer so A, B, C oglišča trikotnika, A', B', C' pa pripadajo premicam BC, AC in AB. T.M. je dokazal starogrški znanstvenik Menelaj (1. stoletje) za sferični trikotnik in je bil očitno znan Evklidu (3. stoletje pr. n. št.). T.M. poseben primer splošnejšega Carnotovega izreka. NEENAKOST MINKOWSKEGA Neenakost za p-te potenceštevila, ki imajo obliko: , kjer je celo število p>1, ak in bk pa sta nenegativni števili.

N.M. je posplošitev dobro znane "neenakosti trikotnika", ki pravi, da dolžina ene stranice trikotnika ni večja od vsote dolžin njegovih dveh drugih strani; Za n-dimenzionalni prostor razdalja med točkama x=(x1, x2, …, xn) in y=(y1, y2, …, yn) je določena s številom N.M. uvedel nemški matematik G. Minkowski leta 1896. MOHLWEIDE FORMULE Ravninske trigonometrične formule, ki izražajo naslednje razmerje med stranicami (njihovimi dolžinami) in koti trikotnika: ; , kjer so a, b, c stranice, A, B, C pa koti trikotnika.

F.M. poimenovana po nemškem matematiku K. Molweideju, ki jih je uporabljal, čeprav so te formule poznali tudi drugi matematiki NEWTONOV BINOMI Ime formule, ki izraža nenegativno celo potenco binoma a + b kot vsoto potenc. njegove pogoje.

B.N. ima obliko: , kjer so Cnk binomski koeficienti, ki so enaki številu kombinacij n elementov po k, tj. oz. Če binomske koeficiente za različne n=0, 1, 2, ... zapišemo v zaporednih vrsticah, potem pridemo do Pascalovega trikotnika. V primeru poljubne realno število(in ne samo nenegativno celo število) B.N. posplošeno v binomsko vrsto, v primeru povečanja števila členov z dveh na večje število– v polinomski izrek. Posplošitev Newtonove binomske formule na primer povišanja vsote k členov (k>2) na nenegativno celo potenco n: , kjer se seštevek na desni strani razširi na vse. možne množice nenegativnih celih števil a1, a2, ..., ak, ki dajejo skupno n. Koeficienti A(n)a1, a2, … ,ak se imenujejo polinomski in so izraženi na naslednji način: Ko je k=2, postanejo polinomski koeficienti binomski koeficienti.

POLKEJOV IZREK Formuliran kot sledi: trije odseki poljubne dolžine, ki ležijo v isti ravnini in izhajajo iz skupna točka pod poljubni koti med seboj, lahko vzamemo kot vzporedno projekcijo prostorskega pravokotnega okvirja i, j, k (|i| = |j| =|k|). Izrek je oblikoval nemški geometer K. Polke (1860) brez dokaza, nato pa ga je posplošil nemški matematik G. Schwarz, ki je podal njegov elementarni dokaz.

Polke-Schwartzov izrek lahko formuliramo takole: vsak nedegeneriran štirikotnik s svojimi diagonalami je mogoče obravnavati kot vzporedno projekcijo tetraedra, ki je podoben kateremu koli danemu.

T.P. ima velik praktični pomen (katerikoli štirikotnik s svojimi diagonalami lahko vzamemo npr. za podobo pravilnega tetraedra) in je eden glavnih izrekov aksonometrije PTOLEMEJEV IZREK Izrek elementarne geometrije, ki ugotavlja razmerje med stranicami in. diagonali štirikotnika, včrtanega krogu: v poljubnem konveksni štirikotnik, včrtana v krog, je zmnožek diagonal enak vsoti zmnožkov njegovih nasprotnih stranic, tj. enakost velja: AC*BD = AB*CD + BC*AD Itd. poimenovana po starogrškem znanstveniku Klavdiju Ptolomeju, ki je dokazal ta izrek.

T.P. uporabljamo pri reševanju nalog v elementarni geometriji, pri dokazovanju posebnega primera izreka sinusov. SIMPSONOVA FORMULA Formula za izračun prostornin teles z dvema vzporedne baze: , kjer je Qn območje spodnje baze, Qv je območje zgornje baze, Qс je območje srednjega dela telesa. Povprečni prerez telesa tukaj pomeni sliko, ki jo dobimo iz presečišča telesa z ravnino, vzporedno z ravninami baze in se nahajajo na enaki razdalji od teh ravnin.

h označuje višino telesa. Od F.S poseben primer, veliko jih je znane formule količine teles, ki se jih učijo v šoli ( prisekana piramida, valj, krogla itd.). SINUSNI IZREK Izrek ravninske trigonometrije, ki določa razmerje med stranicami a, b, c poljuben trikotnik in sinusi kotov, nasprotnih tem stranicam: , kjer je R polmer kroga, ki je opisan okoli trikotnika.

Za sferično trigonometrijo T.S. analitično izraženo kot sledi: . STEWARTOV IZREK je naslednji: če so A, B, C tri oglišča trikotnika in je D poljubna točka na stranici BC, potem velja naslednja relacija: AD2*BC = AB2*CD + AC2*BD – BC*BD* CD, T .Z. poimenovan po osebi, ki je to dokazala angleška matematika M. Stewart in ga objavil v delu »Some splošni izreki«(1746, Edinburgh). Izrek je Stewartu povedal njegov učitelj R. Simson, ki je ta izrek objavil šele leta 1749. T.S. uporablja se za iskanje median in simetral trikotnikov.

TEOREM O TANGENTU (REGIOMONTANSKA FORMULA) Formula ravninske trigonometrije, ki ugotavlja razmerje med dolžinama dveh stranic trikotnika ter tangentama polvsote in polrazlike kotov nasproti njima T.T. ima obliko: , kjer sta a, b stranice trikotnika, A, B sta kota, ki sta nasproti tem stranicam. T.T. imenovana tudi Regiomontanova formula po nemškem astronomu in matematiku Johannesu Mullerju (v latinščini Regiomontanus), ki je to formulo uvedel. I. Müllerja so imenovali »Königsberger«: v nemščini je König kralj, Berg je gora, v latinščini pa »kralj« in »gora« v rodilnik– regis in montis.

Zato je »Regiomontan« latiniziran priimek I. Mullerja. " Slovar matematični izrazi«, O.V. Manturov FORMULE IN TEOREMI NA VADIMSOFT-BEST. NAROD.RU.

Kaj bomo naredili s prejetim materialom:

Če vam je bilo to gradivo koristno, ga lahko shranite na svojo stran v socialna omrežja:

Izrek- izjava, katere pravilnost se ugotavlja z obrazložitvijo, dokazi. Primer izreka bi bila trditev, da je vsota kotov poljubnega trikotnika enaka 180°. To bi lahko preverili eksperimentalno: narišite trikotnik, izmerite vrednosti njegovih kotov s kotomerom in jih seštejte. , se prepričajte, da je vsota enaka 180° (v vsakem primeru v mejah natančnosti merjenja, ki jo omogoča kotomer).

To preverjanje je mogoče večkrat ponoviti različne trikotnike. Veljavnost te trditve pa se pri tečaju geometrije ugotavlja ne z eksperimentalnim preverjanjem, temveč z dokazom, ki nas prepriča, da je ta trditev resnična za vsak trikotnik. Tako je trditev o vsoti kotov trikotnika izrek.

V formulacijah izrekov praviloma najdemo besede "če". potem...", "od... naslednjega:- .." itd. V teh primerih se uporablja znak za skrajšanje zapisa => Vzemimo za primer izrek, da točka M, ki je enako oddaljena od dveh točk A in B, pripada simetrični osi teh točk (1). Podrobneje jo lahko formuliramo takole: (za poljubne točke A, B, M) (MA - MB) => (M pripada simetrični osi točk A in B).

Druge geometrijske izreke lahko zapišemo na podoben način: najprej sledi razlagalni del izreka (ki opisuje, katere točke ali liki so obravnavani v izreku), nato pa dve trditvi, povezani z znakom =>. Prvo izmed teh izjav, ki stoji za pojasnjevalnim delom in pred znakom =>, imenujemo pogoj izreka, drugo, ki stoji za znakom =>, pa sklep izreka.

Če zamenjamo pogoj in sklep ter pustimo obrazložitveni del nespremenjen, dobimo nov izrek, ki ga imenujemo inverz prvotnega. Na primer, za zgoraj obravnavani izrek bo obratno naslednje: (za poljubne točke A, B, M) (točka M pripada simetrični osi točk A in B) => (MA - MB). Na kratko: če točka M pripada simetrični osi točk A in B, potem je točka M enako oddaljena od točk A in B. V tem primeru veljata tako prvotni kot njegov obratni izrek.

Vendar samo zato, ker je nek izrek resničen, ne sledi vedno, da je resničen tudi njegov obrat.

Veliko vlogo v matematiki igrajo tako imenovani eksistencialni izreki, ki le navajajo obstoj števila, številke itd., ne nakazujejo pa, kako to število (ali številko) najti. Na primer: vsaka enačba x" + -t-atx"-1 + a2xb~2 + ...I z realnimi koeficienti ima vsaj en realni koren za liho n, kar pomeni, da obstaja število x0eR, ki je koren iz ta enačba.

Nekatere vrste izrekov imajo posebna imena, na primer lema, posledica. Imajo dodatno senco. Lemo običajno imenujemo pomožni izrek, ki je sam po sebi malo zanimiv, vendar je potreben za to, kar sledi. Posledica je izjava, ki jo je mogoče zlahka izpeljati iz nečesa, kar je bilo predhodno dokazano.

Včasih se izrek imenuje nekaj, kar bi pravilneje imenovali hipoteza. Na primer Fermatov zadnji izrek, ki pravi, da enačba x* + y" = z* nima pozitivnih celih rešitev za n > 2, še ni dokazan.

Izreki so poleg aksiomov in definicij glavne vrste matematičnih stavkov. Pomembna dejstva vsak matematična znanost(geometrija, algebra, teorija funkcij, teorija verjetnosti itd.) so oblikovane v obliki izrekov.

Vendar obvladovanje matematike ni omejeno na učenje aksiome, definicije in osnovne izreke. Matematična izobrazba vključuje tudi sposobnost krmarjenja po bogastvu dejstev matematične teorije, obvladovanje osnovnih metod za reševanje problemov, razumevanje idej, na katerih temelji matematika, in sposobnost uporabe matematičnega znanja pri reševanju praktičnih problemov.

Nič manj pomembna prostorsko predstavo, spretnosti grafične "vizije", sposobnost iskanja primerov, ki ponazarjajo to ali ono matematični koncept itd. Izreki torej predstavljajo le formalni »okvir« matematične teorije, poznavanje izrekov pa predstavlja šele začetek globokega obvladovanja matematike.

Pogosto, ko se s srednješolci pogovarjamo o raziskovalno delo pri matematiki slišim naslednje: "Kaj je novega mogoče odkriti v matematiki?" Ampak res: morda so bila vsa velika odkritja narejena in izreki dokazani?

8. avgusta 1900 je na mednarodnem matematičnem kongresu v Parizu matematik David Hilbert orisal seznam problemov, za katere je verjel, da jih bo treba rešiti v dvajsetem stoletju. Na seznamu je bilo 23 postavk. Doslej so jih rešili enaindvajset. Zadnji problem na Hilbertovem seznamu, ki ga je bilo treba rešiti, je bil slavni Fermatov izrek, ki ga znanstveniki niso mogli rešiti 358 let. Leta 1994 je Britanec Andrew Wiles predlagal svojo rešitev. Izkazalo se je za res.

Po zgledu Gilberta so ob koncu prejšnjega stoletja številni matematiki poskušali oblikovati podobne strateške naloge za 21. stoletje. Eden od teh seznamov je postal splošno znan po zaslugi bostonskega milijarderja Landona T. Claya. Leta 1998 je bila z njegovimi sredstvi ustanovljena Univerza v Cambridgeu (Massachusetts, ZDA). Matematični inštitut Clay (Clay Mathematics Institute) in ustanovil nagrade za reševanje serije najpomembnejše težave moderna matematika. 24. maja 2000 so strokovnjaki inštituta izbrali sedem problemov - glede na število milijonov dolarjev, namenjenih za nagrado. Seznam se imenuje Millennium Prize Problems:

1. Cookov problem (oblikovan leta 1971)

Recimo, da se v veliki družbi želite prepričati, da je tam tudi vaš prijatelj. Če vam povedo, da sedi v kotu, bo že delček sekunde dovolj, da boste lahko pogledali in se prepričali o resničnosti informacije. Brez teh informacij boste prisiljeni hoditi po celotni sobi in gledati goste. To nakazuje, da reševanje problema pogosto traja dlje kot preverjanje pravilnosti rešitve.

Stephen Cook je formuliral problem: ali lahko preverjanje pravilnosti rešitve problema traja dlje kot pridobivanje same rešitve, ne glede na algoritem preverjanja. Ta problem je tudi eden od nerešenih problemov na področju logike in računalništva. Njena odločitev bi lahko na revolucionaren način spremeniti osnove kriptografije, ki se uporablja pri prenosu in shranjevanju podatkov.

2. Riemannova hipoteza (oblikovana leta 1859)

Nekaterih celih števil ni mogoče izraziti kot zmnožek dveh manjših celih števil, na primer 2, 3, 5, 7 itd. Takšna števila se imenujejo praštevila in igrajo pomembno vlogo v čisti matematiki in njenih aplikacijah. Distribucija praštevila med serijami vseh naravnih števil ne sledi nobenemu vzorcu. Vendar pa je nemški matematik Riemann podal domnevo o lastnostih zaporedja praštevil. Če bo Riemannova hipoteza dokazana, bo to vodilo do revolucionarna sprememba našega znanja na področju šifriranja in do izjemnega preboja v internetni varnosti.

3. Hipoteza Bircha in Swinnerton-Dyerja (oblikovana leta 1960)

Povezan z opisom številnih rešitev nekaterih algebraične enačbe iz več spremenljivk s celimi koeficienti. Primer podobna enačba je izraz x2 + y2 = z2. Evklid je dal popoln opis rešitve te enačbe, ampak za več kompleksne enačbe iskanje rešitev postane izjemno težko.

4. Hodgejeva hipoteza (oblikovana leta 1941)

V 20. stoletju so matematiki odkrili močno metodo za preučevanje oblike kompleksnih predmetov. Glavna ideja je uporaba preprostih "opek" namesto samega predmeta, ki so zlepljene skupaj in tvorijo njegovo podobo. Hodgejeva hipoteza je povezana z nekaterimi predpostavkami o lastnostih takih »opek« in predmetov.

5. Navier - Stokesove enačbe (oblikovana leta 1822)

Če plujete s čolnom po jezeru, bodo nastali valovi, če pa letite z letalom, bodo v zraku nastali turbulentni tokovi. Predpostavlja se, da te in druge pojave opisujejo enačbe, znane kot Navier-Stokesove enačbe. Rešitve teh enačb so neznane, niti se ne ve, kako jih rešiti. Pokazati je treba, da rešitev obstaja in je dovolj gladka funkcija. Rešitev tega problema bo bistveno spremenila metode izvajanja hidro- in aerodinamičnih izračunov.

6. Poincaréjev problem (oblikovan leta 1904)

Če povlečete gumico čez jabolko, jo lahko s počasnim premikanjem traku, ne da bi ga dvignili s površine, stisnete do točke. Po drugi strani pa, če je isti gumijasti trak primerno raztegnjen okoli krofa, traku ni mogoče stisniti do točke, ne da bi strgali trak ali zlomili krof. Pravijo, da je površina jabolka preprosto povezana, površina krofa pa ne. Izkazalo se je tako težko dokazati, da je le krogla preprosto povezana, da matematiki še vedno iščejo pravi odgovor.

7. Yang-Millsove enačbe (oblikovana leta 1954)

Enačbe kvantna fizika opisati svet elementarni delci. Fizika Young in Mills sta po odkritju povezave med geometrijo in fiziko delcev napisala svoje enačbe. Tako so našli način za poenotenje teorij o elektromagnetnem, šibkem in močne interakcije. Yang-Millsove enačbe so implicirale obstoj delcev, ki so jih dejansko opazovali v laboratorijih po vsem svetu, zato Yang-Millsovo teorijo sprejema večina fizikov kljub dejstvu, da v okviru te teorije še vedno ni mogoče napovedati mase osnovnih delcev.