Deljenje celih števil z ostankom, pravila, primeri. Deljenje z ostankom
Znaki deljivosti števil- to so pravila, ki vam omogočajo, da razmeroma hitro ugotovite, brez deljenja, ali je to število deljivo z danim številom brez ostanka.
Nekaj znaki deljivostičisto preprosto, nekaj bolj zapleteno. Na tej strani boste našli tako znake deljivosti praštevil, kot so na primer 2, 3, 5, 7, 11, kot znake deljivosti sestavljenih števil, kot so 6 ali 12.
Upam, da vam bodo te informacije koristile.
Srečno učenje!
Preizkus deljivosti z 2
To je eden najpreprostejših znakov deljivosti. Sliši se takole: če se zapis naravnega števila konča s sodo števko, potem je sodo (deljivo brez ostanka z 2), če pa se zapis naravnega števila konča z liho števko, potem je to število liho .
Z drugimi besedami, če je zadnja številka števila 2
, 4
, 6
, 8
oz 0
- število je deljivo z 2, če ni, potem ni deljivo
Na primer, številke: 23 4
, 8270
, 1276
, 9038
, 502
so deljive z 2, ker so sode.
A številke: 23 5
, 137
, 2303
Niso deljivi z 2, ker so lihi.
Preizkusite deljivost s 3
Ta znak deljivosti ima povsem drugačna pravila: če je vsota števk števila deljiva s 3, potem je število deljivo s 3; Če vsota števk števila ni deljiva s 3, potem število ni deljivo s 3.
To pomeni, da morate za razumevanje, ali je število deljivo s 3, samo sešteti števila, ki ga sestavljajo.
Videti je takole: 3987 in 141 sta deljivi s 3, ker je v prvem primeru 3+9+8+7= 27
(27:3=9 - deljivo s 3), v drugi pa 1+4+1= 6
(6:3=2 - tudi deljivo s 3).
Toda števili: 235 in 566 nista deljivi s 3, ker je 2+3+5= 10
in 5+6+6= 17
(in vemo, da niti 10 niti 17 nista deljiva s 3 brez ostanka).
Preizkusite deljivost s 4
Ta znak deljivosti bo bolj zapleten. Če zadnji 2 števki števila tvorita število, deljivo s 4, ali je 00, potem je število deljivo s 4, sicer dano število ni deljivo s 4 brez ostanka.
Na primer: 1 00
in 3 64
so deljive s 4, ker se v prvem primeru število konča na 00
, v drugi pa na 64
, ki je posledično deljivo s 4 brez ostanka (64:4=16)
Številke 3 57
in 8 86
niso deljive s 4, ker niti 57
niti 86
niso deljive s 4, kar pomeni, da ne ustrezajo temu kriteriju deljivosti.
Test deljivosti s 5
In spet imamo dokaj preprost znak deljivosti: če se zapis naravnega števila konča s številko 0 ali 5, potem je to število brez ostanka deljivo s 5. Če se zapis števila konča z drugo števko, potem število ni deljivo s 5 brez ostanka.
To pomeni, da vse številke, ki se končajo s ciframi 0
in 5
, na primer 1235 5
in 43 0
, spadajo pod pravilo in so deljive s 5.
In na primer 1549 3
in 56 4
se ne končajo s številko 5 ali 0, kar pomeni, da jih ni mogoče deliti s 5 brez ostanka.
Preizkusite deljivost s 6
Pred seboj imamo sestavljeno število 6, ki je zmnožek števil 2 in 3. Sestavljeno je torej tudi znamenje deljivosti s 6: da bi bilo število deljivo s 6, mora ustrezati dvema znakoma deljivost hkrati: znak deljivosti z 2 in znak deljivosti s 3. Upoštevajte, da ima tako sestavljeno število, kot je 4, individualni znak deljivosti, ker je zmnožek števila 2 samega. Toda vrnimo se k preizkusu deljivosti s 6.
Števili 138 in 474 sta sodi in ustrezata kriterijem deljivosti s 3 (1+3+8=12, 12:3=4 in 4+7+4=15, 15:3=5), kar pomeni, da sta deljivi. s 6. Toda 123 in 447 sta sicer deljiva s 3 (1+2+3=6, 6:3=2 in 4+4+7=15, 15:3=5), vendar sta liha, kar pomeni, da ne ustrezajo kriteriju deljivosti z 2 in torej ne ustrezajo kriteriju deljivosti s 6.
Preizkusite deljivost s 7
Ta preizkus deljivosti je bolj zapleten: število je deljivo s 7, če je rezultat dvakratnega odštevanja zadnje števke od števila desetic tega števila deljiv s 7 ali enak 0.
Sliši se precej zmedeno, a v praksi je preprosto. Prepričajte se sami: številka 95
9 je deljivo s 7, ker 95
-2*9=95-18=77, 77:7=11 (77 je deljeno s 7 brez ostanka). Poleg tega, če se pojavijo težave s številom, pridobljenim med transformacijo (zaradi njegove velikosti je težko razumeti, ali je deljivo s 7 ali ne, potem lahko ta postopek nadaljujete tolikokrat, kot se vam zdi potrebno).
na primer 45
5 in 4580
1 imajo lastnosti deljivosti s 7. V prvem primeru je vse precej preprosto: 45
-2*5=45-10=35, 35:7=5. V drugem primeru bomo naredili takole: 4580
-2*1=4580-2=4578. Težko razumemo, ali 457
8 krat 7, zato ponovimo postopek: 457
-2*8=457-16=441. In spet bomo uporabili test deljivosti, saj imamo pred seboj še trimestno število 44
1. Torej, 44
-2*1=44-2=42, 42:7=6, tj. 42 je deljivo s 7 brez ostanka, kar pomeni, da je 45801 deljivo s 7.
Tukaj so številke 11
1 in 34
5 ni deljivo s 7, ker 11
-2*1=11-2=9 (9 ni deljivo s 7) in 34
-2*5=34-10=24 (24 ni deljivo s 7 brez ostanka).
Test deljivosti z 8
Preizkus deljivosti z 8 zveni takole: če zadnje 3 števke tvorijo število, deljivo z 8, ali je 000, potem je dano število deljivo z 8.
Številke 1 000
ali 1 088
deljivo z 8: prvi se konča na 000
, drugi 88
:8=11 (deljivo z 8 brez ostanka).
In tukaj so številke 1 100
ali 4 757
niso deljive z 8, ker števila 100
in 757
niso deljive z 8 brez ostanka.
Test deljivosti z 9
Ta znak deljivosti je podoben znaku deljivosti s 3: če je vsota števk števila deljiva z 9, potem je število deljivo z 9; Če vsota števk števila ni deljiva z 9, potem število ni deljivo z 9.
Na primer: 3987 in 144 sta deljivi z 9, ker je v prvem primeru 3+9+8+7= 27
(27:9=3 - deljivo z 9 brez ostanka), v drugi pa 1+4+4= 9
(9:9=1 - tudi deljivo z 9).
Toda števili: 235 in 141 nista deljivi z 9, ker je 2+3+5= 10
in 1+4+1= 6
(in vemo, da niti 10 niti 6 nista deljiva z 9 brez ostanka).
Znaki deljivosti z 10, 100, 1000 in drugimi številčnimi enotami
Te znake deljivosti sem združil, ker jih je mogoče opisati na enak način: število je deljeno s števčno enoto, če je število ničel na koncu števila večje ali enako številu ničel pri dani števalni enoti .
Z drugimi besedami, na primer, imamo naslednje številke: 654 0
, 46400
, 867000
, 6450
. od katerih so vsi deljivi z 1 0
; 46400
in 867 000
so tudi deljive z 1 00
; in samo eden od njih je 867 000
deljivo z 1 000
.
Številke, ki imajo manj ničel na koncu kot številčna enota, niso deljive s to številčno enoto, na primer 600 30
in 7 93
ni deljivo 1 00
.
Test deljivosti z 11
Da bi ugotovili, ali je število deljivo z 11, morate dobiti razliko med vsoto sodih in lihih števk tega števila. Če je ta razlika enaka 0 ali je deljiva z 11 brez ostanka, potem je samo število deljivo z 11 brez ostanka.
Da bo bolj jasno, predlagam ogled primerov: 2
35
4 je deljivo z 11, ker ( 2
+5
)-(3+4)=7-7=0. 29
19
4 je tudi deljivo z 11, saj ( 9
+9
)-(2+1+4)=18-7=11.
Tukaj je 1 1
1 oz 4
35
4 ni deljivo z 11, saj v prvem primeru dobimo (1+1)- 1
=1, v drugem pa ( 4
+5
)-(3+4)=9-7=2.
Test deljivosti z 12
Število 12 je sestavljeno. Njegov znak deljivosti je skladnost z znakoma deljivosti s 3 in 4 hkrati.
Na primer, 300 in 636 ustrezata obema znakoma deljivosti s 4 (zadnji 2 števki sta ničli ali sta deljivi s 4) in znakoma deljivosti s 3 (vsota števk prvega in tretjega števila je deljiva s 3), končno pa so deljivi z 12 brez ostanka.
Toda 200 ali 630 nista deljiva z 12, ker v prvem primeru število ustreza le kriteriju deljivosti s 4, v drugem pa le kriteriju deljivosti s 3. ne pa obema kriterijema hkrati.
Test deljivosti s 13
Znak deljivosti s 13 je, da če je število desetic števila, dodanih enotam tega števila, pomnoženo s 4, večkratnik 13 ali enako 0, potem je samo število deljivo s 13.
Vzemimo za primer 70
2. Torej, 70
+4*2=78, 78:13=6 (78 je deljivo s 13 brez ostanka), kar pomeni 70
2 je deljivo s 13 brez ostanka. Drug primer je številka 114
4. 114
+4*4=130, 130:13=10. Število 130 je deljivo s 13 brez ostanka, kar pomeni, da dano število ustreza kriteriju deljivosti s 13.
Če vzamemo številke 12
5 oz 21
2, potem dobimo 12
+4*5=32 in 21
+4*2=29 in niti 32 niti 29 nista deljiva s 13 brez ostanka, kar pomeni, da dani števili nista deljivi s 13 brez ostanka.
Deljivost števil
Kot je razvidno iz zgoraj navedenega, lahko domnevamo, da lahko za katero koli naravno število izberete svoj individualni znak deljivosti ali "sestavljen" znak, če je število večkratnik več različnih števil. Toda kot kaže praksa, na splošno večje kot je število, bolj zapleten je njegov znak. Možno je, da je čas, porabljen za preverjanje kriterija deljivosti, enak ali večji od same delitve. Zato običajno uporabljamo najenostavnejše znake deljivosti.
Poglejmo preprost primer:
15:5=3
V tem primeru smo naravno število 15 razdelili popolnoma za 3, brez ostanka.
Včasih naravnega števila ni mogoče v celoti razdeliti. Na primer, razmislite o težavi:
V omari je bilo 16 igrač. V skupini je bilo pet otrok. Vsak otrok je vzel enako število igrač. Koliko igrač ima vsak otrok?
rešitev:
Število 16 delimo s 5 s stolpcem in dobimo:
Vemo, da 16 ni mogoče deliti s 5. Najbližje manjše število, ki je deljivo s 5, je 15 z ostankom 1. Število 15 lahko zapišemo kot 5⋅3. Kot rezultat (16 – dividenda, 5 – delitelj, 3 – nepopoln količnik, 1 – ostanek). dobil formula deljenje z ostankom kar je mogoče storiti preverjanje rešitve.
a=
b⋅
c+
d
a – deljivo,
b - delilnik,
c – nepopoln količnik,
d - ostanek.
Odgovor: vsak otrok bo vzel 3 igrače in ena igrača bo ostala.
Ostanek delitve
Ostanek mora biti vedno manjši od delitelja.
Če je pri deljenju ostanek enak nič, to pomeni, da je dividenda razdeljena popolnoma ali brez ostanka na delitelju.
Če je pri deljenju ostanek večji od delitelja, to pomeni, da najdeno število ni največje. Obstaja večje število, ki bo razdelilo dividendo, preostanek pa bo manjši od delitelja.
Vprašanja na temo "Deljenje z ostankom":
Ali je lahko ostanek večji od delitelja?
Odgovor: ne.
Ali je lahko ostanek enak delitelju?
Odgovor: ne.
Kako najti dividendo z uporabo nepopolnega količnika, delitelja in ostanka?
Odgovor: V formulo nadomestimo vrednosti delnega količnika, delitelja in ostanka in poiščemo dividendo. Formula:
a=b⋅c+d
Primer #1:
Izvedi deljenje z ostankom in preveri: a) 258:7 b) 1873:8
rešitev:
a) Razdeli po stolpcu: 
258 – dividenda,
7 – delilnik,
36 – nepopoln količnik,
6 – ostanek. Ostanek je manjši od delitelja 6<7.
7⋅36+6=252+6=258
b) Razdeli po stolpcu: 
1873 – deljiva,
8 – delilnik,
234 – nepopoln količnik,
1 – ostanek. Ostanek je manjši od delitelja 1<8.
Vstavimo ga v formulo in preverimo, ali smo pravilno rešili primer:
8⋅234+1=1872+1=1873
Primer #2:
Kakšne ostanke dobimo pri deljenju naravnih števil: a) 3 b)8?
odgovor:
a) Ostanek je manjši od delitelja, torej manjši od 3. V našem primeru je lahko ostanek 0, 1 ali 2.
b) Ostanek je manjši od delitelja, torej manjši od 8. V našem primeru je lahko ostanek 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ali 7.
Primer #3:
Kolikšen je največji ostanek, ki ga lahko dobimo pri deljenju naravnih števil: a) 9 b) 15?
odgovor:
a) Ostanek je manjši od delitelja, torej manjši od 9. Vendar moramo navesti največji ostanek. To je število, ki je najbližje delitelju. To je številka 8.
b) Ostanek je manjši od delitelja, torej manjši od 15. Vendar moramo navesti največji ostanek. To je število, ki je najbližje delitelju. Ta številka je 14.
Primer #4:
Poiščite dividendo: a) a:6=3(ost.4) b) c:24=4(ost.11)
rešitev:
a) Reši po formuli:
a=b⋅c+d
(a – dividenda, b – delitelj, c – delni količnik, d – ostanek.)
a:6=3(ost.4)
(a – dividenda, 6 – delitelj, 3 – delni količnik, 4 – ostanek.) Zamenjajmo števila v formulo:
a=6⋅3+4=22
Odgovor: a=22
b) Reši po formuli:
a=b⋅c+d
(a – dividenda, b – delitelj, c – delni količnik, d – ostanek.)
s:24=4(ost.11)
(c – dividenda, 24 – delitelj, 4 – delni količnik, 11 – ostanek.) Zamenjajmo števila v formulo:
с=24⋅4+11=107
Odgovor: c=107
Naloga:
Žica 4m. je treba razrezati na 13 cm velike kose. Koliko bo takšnih kosov?
rešitev:
Najprej morate metre pretvoriti v centimetre.
4m.=400cm.
Lahko delimo po stolpcu ali v mislih dobimo:
400:13=30 (preostalih 10)
Preverimo:
13⋅30+10=390+10=400
Odgovor: Dobili boste 30 kosov in ostalo vam bo 10 cm žice.
Članek preučuje koncept deljenja celih števil z ostankom. Dokažimo izrek o deljivosti celih števil z ostankom in si poglejmo povezave med dividendi in delitelji, nepopolnimi količniki in ostanki. Oglejmo si pravila pri deljenju celih števil z ostanki in si jih podrobneje oglejmo na primerih. Na koncu rešitve bomo izvedli preverjanje.
Splošno razumevanje deljenja celih števil z ostanki
Deljenje celih števil z ostankom obravnavamo kot posplošeno deljenje z ostankom naravnih števil. To se naredi zato, ker so naravna števila sestavni del celih števil.
Deljenje z ostankom poljubnega števila pove, da je celo število a deljeno s številom b, ki ni nič. Če je b = 0, potem ne delite z ostankom.
Tako kot pri deljenju naravnih števil z ostankom delimo celi števili a in b, pri čemer b ni nič, s c in d. V tem primeru a in b imenujemo dividenda in delitelj, d pa je ostanek pri deljenju, c je celo število ali nepopoln količnik.
Če predpostavimo, da je ostanek nenegativno celo število, potem njegova vrednost ni večja od modula števila b. Zapišimo takole: 0 ≤ d ≤ b. Ta veriga neenakosti se uporablja pri primerjavi 3 ali več števil.
Če je c nepopoln količnik, potem je d ostanek deljenja celega števila a z b, kar lahko na kratko izrazimo: a: b = c (ostanek d).
Ostanek pri deljenju števil a z b je lahko nič, takrat pravijo, da je a deljivo z b v celoti, torej brez ostanka. Deljenje brez ostanka velja za poseben primer deljenja.
Če delimo nič z nekim številom, je rezultat nič. Preostanek delitve bo prav tako nič. To lahko izsledimo iz teorije deljenja ničle s celim številom.
Zdaj pa si poglejmo pomen deljenja celih števil z ostankom.
Znano je, da so pozitivna cela števila naravna števila, potem bomo pri deljenju z ostankom dobili enak pomen kot pri deljenju naravnih števil z ostankom.
Smiselno je deliti negativno celo število a s pozitivnim celim številom b. Poglejmo si primer. Predstavljajte si situacijo, ko imamo dolg za predmete v znesku a, ki ga mora vrniti oseba b. Da bi to dosegli, morajo vsi enako prispevati. Za določitev višine dolga za vsako morate biti pozorni na vrednost zasebnega s. Ostanek d pomeni, da je znano število postavk po odplačilu dolgov.
Poglejmo primer jabolk. Če 2 osebi dolgujeta 7 jabolk. Če izračunamo, da mora vsak vrniti 4 jabolka, mu bo po celotnem izračunu ostalo 1 jabolko. Zapišimo to kot enakost: (− 7) : 2 = − 4 (iz t. 1) .
Deljenje poljubnega števila a s celim številom ni smiselno, je pa opcijsko možno.
Izrek o deljivosti celih števil z ostankom
Ugotovili smo, da je a dividenda, potem je b delitelj, c delni količnik in d ostanek. Med seboj so povezani. To povezavo bomo prikazali z enakostjo a = b · c + d. Povezavo med njima označuje izrek o deljivosti z ostankom.
Izrek
Vsako celo število je mogoče predstaviti samo s celim in ničelnim številom b na ta način: a = b · q + r, kjer sta q in r nekaj celih števil. Tukaj imamo 0 ≤ r ≤ b.
Dokažimo možnost obstoja a = b · q + r.
Dokaz
Če obstajata dve števili a in b in je a deljivo z b brez ostanka, potem iz definicije sledi, da obstaja število q in bo veljala enakost a = b · q. Potem se lahko šteje, da je enakost resnična: a = b · q + r za r = 0.
Potem je treba vzeti q tako, da je podan z neenakostjo b · q< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .
Imamo, da je vrednost izraza a − b · q večja od nič in ni večja od vrednosti števila b, iz tega sledi r = a − b · q. Ugotovimo, da lahko število a predstavimo v obliki a = b · q + r.
Zdaj moramo razmisliti o predstavitvi a = b · q + r za negativne vrednosti b.
Izkaže se, da je modul števila pozitiven, potem dobimo a = b · q 1 + r, kjer je vrednost q 1 neko celo število, r je celo število, ki izpolnjuje pogoj 0 ≤ r< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .
Dokaz edinstvenosti
Predpostavimo, da sta a = b q + r, q in r cela števila z veljavnim pogojem 0 ≤ r< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где q 1 in r 1 je nekaj številk, kjer q 1 ≠ q, 0 ≤ r 1< b .
Ko neenakost odštejemo od leve in desne strani, potem dobimo 0 = b · (q − q 1) + r − r 1, kar je enakovredno r - r 1 = b · q 1 - q. Ker je uporabljen modul, dobimo enakost r - r 1 = b · q 1 - q.
Podani pogoj pravi, da je 0 ≤ r< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что q in q 1- cela in q ≠ q 1, potem je q 1 - q ≥ 1. Od tu imamo, da je b · q 1 - q ≥ b. Nastale neenakosti r - r 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.
Iz tega sledi, da števila a ni mogoče predstaviti drugače, kot da zapišemo a = b · q + r.
Razmerje med dividendom, deliteljem, delnim količnikom in ostankom
Z enakostjo a = b · c + d lahko najdete neznani dividendo a, ko je znan delitelj b z nepopolnim kvocientom c in ostankom d.
Primer 1
Določimo dividendo, če dobimo pri deljenju - 21, delni količnik je 5 in ostanek 12.
rešitev
Izračunati je treba dividendo a z znanim deliteljem b = − 21, nepopolnim kvocientom c = 5 in ostankom d = 12. Obrniti se moramo na enakost a = b · c + d, od tu dobimo a = (− 21) · 5 + 12. Če sledimo vrstnemu redu dejanj, pomnožimo - 21 s 5, nakar dobimo (− 21) · 5 + 12 = − 105 + 12 = − 93.
odgovor: - 93 .
Povezavo med deliteljem in delnim količnikom ter ostankom lahko izrazimo z enačbami: b = (a − d) : c , c = (a − d) : b in d = a − b · c . Z njihovo pomočjo lahko izračunamo delitelj, delni količnik in ostanek. To se zmanjša na nenehno iskanje ostanka pri deljenju celega števila celih števil a z b z znanim dividendom, deliteljem in delnim kvocientom. Uporabi se formula d = a − b · c. Razmislimo o rešitvi podrobno.
Primer 2
Poiščite ostanek pri deljenju celega števila - 19 s celim številom 3 z znanim nepopolnim kvocientom, ki je enak - 7.
rešitev
Za izračun ostanka pri deljenju uporabimo formulo oblike d = a − b · c. Po pogoju so na voljo vsi podatki: a = − 19, b = 3, c = − 7. Od tu dobimo d = a − b · c = − 19 − 3 · (− 7) = − 19 − (− 21) = − 19 + 21 = 2 (razlika − 19 − (− 21). Ta primer je izračunan z uporabo pravila odštevanja negativno celo število.
odgovor: 2 .
Vsa pozitivna cela števila so naravna števila. Iz tega sledi, da deljenje poteka po vseh pravilih deljenja z ostankom naravnih števil. Hitrost deljenja z ostankom naravnih števil je pomembna, saj na njej ne temelji le deljenje pozitivnih števil, temveč tudi pravila deljenja poljubnih celih števil.
Najprimernejši način deljenja je stolpec, saj je lažje in hitreje dobiti nepopoln ali preprosto količnik z ostankom. Oglejmo si rešitev podrobneje.
Primer 3
14671 delite s 54.
rešitev
To razdelitev je treba opraviti v stolpcu:
To pomeni, da je delni količnik enak 271, ostanek pa 37.
odgovor: 14.671 : 54 = 271. (ostalo 37)
Pravilo za deljenje z ostankom pozitivnega celega števila z negativnim celim številom, primeri
Za deljenje z ostankom pozitivnega števila z negativnim celim številom je potrebno oblikovati pravilo.
Definicija 1
Nepopolni količnik deljenja pozitivnega celega števila a z negativnim celim številom b daje število, ki je nasprotno nepopolnemu količniku deljenja modulov števil a z b. Potem je ostanek enak ostanku, ko a delimo z b.
Zato imamo, da se nepopolni količnik deljenja pozitivnega celega števila z negativnim celim številom šteje za nepozitivno celo število.
Dobimo algoritem:
- delimo modul dividende z modulom delitelja, potem dobimo nepopoln količnik in
- ostanek;
- Zapišimo nasprotno število od tega, kar smo dobili.
Oglejmo si primer algoritma za deljenje pozitivnega celega števila z negativnim celim številom.
Primer 4
Deli z ostankom 17 na - 5.
rešitev
Uporabimo algoritem za deljenje z ostankom pozitivnega celega števila z negativnim celim številom. Treba je deliti 17 z - 5 modulo. Od tu dobimo, da je delni količnik enak 3, ostanek pa 2.
To zahtevano število dobimo tako, da 17 delimo z - 5 = - 3 z ostankom, ki je enak 2.
odgovor: 17: (− 5) = − 3 (ostala 2).
Primer 5
45 morate deliti z -15.
rešitev
Številke je treba razdeliti modulo. Število 45 delimo s 15, dobimo količnik 3 brez ostanka. To pomeni, da je število 45 deljivo s 15 brez ostanka. Odgovor je - 3, saj je bila deljenje izvedeno modulo.
45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3
odgovor: 45: (− 15) = − 3 .
Formulacija pravila za deljenje z ostankom je naslednja.
Definicija 2
Da bi dobili nepopolni kvocient c pri deljenju negativnega celega števila a s pozitivnim b, morate uporabiti nasprotno od danega števila in od njega odšteti 1, nato pa se ostanek d izračuna po formuli: d = a − b · c.
Na podlagi pravila lahko sklepamo, da pri deljenju dobimo nenegativno celo število. Za zagotovitev točnosti rešitve uporabite algoritem za deljenje a z b z ostankom:
- poiščite modula dividende in delitelja;
- deliti modulo;
- zapišite nasprotno od danega števila in odštejte 1;
- uporabite formulo za ostanek d = a − b · c.
Oglejmo si primer rešitve, kjer je uporabljen ta algoritem.
Primer 6
Poiščite delni količnik in ostanek deljenja - 17 krat 5.
rešitev
Dana števila delimo po modulu. Ugotovimo, da je pri deljenju količnik 3, ostanek pa 2. Ker imamo 3, je nasprotno 3. Odšteti morate 1.
− 3 − 1 = − 4 .
Želena vrednost je enaka - 4.
Za izračun ostanka potrebujete a = − 17, b = 5, c = − 4, nato pa d = a − b c = − 17 − 5 (− 4) = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3.
To pomeni, da je nepopolni količnik deljenja število - 4 z ostankom, ki je enak 3.
odgovor:(− 17) : 5 = − 4 (preostalo 3).
Primer 7
Deli negativno celo število - 1404 s pozitivnim 26.
rešitev
Treba je razdeliti po stolpcu in modulu.
Dobili smo deljenje modulov števil brez ostanka. To pomeni, da se deljenje izvede brez ostanka, želeni količnik pa = - 54.
odgovor: (− 1 404) : 26 = − 54 .
Pravilo deljenja z ostankom za negativna cela števila, primeri
Treba je oblikovati pravilo za deljenje z ostankom negativnih celih števil.
Definicija 3
Da dobimo nepopolni kvocient c z deljenjem negativnega celega števila a z negativnim celim številom b, je treba izvesti modulo izračune, nato dodati 1, nato pa lahko izvedemo izračune z uporabo formule d = a − b · c.
Iz tega sledi, da bo nepopolni količnik deljenja negativnih celih števil pozitivno število.
Oblikujmo to pravilo v obliki algoritma:
- poiščite modula dividende in delitelja;
- delite modul dividende z modulom delitelja, da dobite nepopoln količnik z
- ostanek;
- dodajanje 1 nepopolnemu količniku;
- izračun ostanka po formuli d = a − b · c.
Oglejmo si ta algoritem na primeru.
Primer 8
Poiščite delni količnik in ostanek pri deljenju - 17 s - 5.
rešitev
Za pravilnost rešitve uporabimo algoritem za deljenje z ostankom. Najprej razdelite števila po modulu. Iz tega dobimo, da je delni količnik = 3, ostanek pa 2. V skladu s pravilom morate sešteti nepopolni količnik in 1. Dobimo, da je 3 + 1 = 4. Od tod dobimo, da je delni količnik deljenja danih števil enak 4.
Za izračun ostanka bomo uporabili formulo. Po pogoju velja, da je a = − 17, b = − 5, c = 4, potem z uporabo formule dobimo d = a − b c = − 17 − (− 5) 4 = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3 . Zahtevani odgovor, to je ostanek, je enak 3, delni količnik pa je enak 4.
odgovor:(− 17) : (− 5) = 4 (preostalo 3).
Preverjanje rezultata deljenja celih števil z ostankom
Po delitvi števil z ostankom morate opraviti preverjanje. To preverjanje vključuje 2 stopnji. Najprej se preostanek d preveri glede nenegativnosti, pogoj 0 ≤ d je izpolnjen< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.
Poglejmo si primere.
Primer 9
Delitev je narejena - 521 z - 12. Količnik je 44, ostanek je 7. Izvedite preverjanje.
rešitev
Ker je ostanek pozitivno število, je njegova vrednost manjša od modula delitelja. Delitelj je -12, kar pomeni, da je njegov modul 12. Lahko nadaljujete do naslednje kontrolne točke.
Po pogoju velja, da je a = − 521, b = − 12, c = 44, d = 7. Od tu izračunamo b · c + d, kjer je b · c + d = − 12 · 44 + 7 = − 528 + 7 = − 521. Iz tega sledi, da je enakost resnična. Preverjanje uspešno.
Primer 10
Izvedite preverjanje deljenja (− 17): 5 = − 3 (ostalo − 2). Je enakost resnična?
rešitev
Bistvo prve stopnje je, da je potrebno preveriti deljenje celih števil z ostankom. Iz tega je jasno, da je bilo dejanje izvedeno napačno, saj je podan ostanek, ki je enak - 2. Ostanek ni negativno število.
Imamo, da je drugi pogoj izpolnjen, vendar za ta primer ni zadosten.
odgovor:št.
Primer 11
Število - 19 je bilo deljeno s - 3. Delni količnik je 7, ostanek pa 1. Preverite, ali je bil ta izračun izveden pravilno.
rešitev
Podan ostanek enak 1. On je pozitiven. Vrednost je manjša od modula delilnika, kar pomeni, da je prva stopnja zaključena. Preidimo na drugo stopnjo.
Izračunajmo vrednost izraza b · c + d. Po pogoju velja, da je b = − 3, c = 7, d = 1, kar pomeni, da z zamenjavo številskih vrednosti dobimo b · c + d = − 3 · 7 + 1 = − 21 + 1 = − 20. Iz tega sledi, da a = b · c + d enakost ne velja, saj pogoj daje a = - 19.
Iz tega sledi, da je bila delitev izvedena z napako.
odgovor:št.
Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter
V tem članku si bomo ogledali deljenje celih števil z ostankom. Začnimo s splošnim načelom deljenja celih števil z ostankom, oblikujmo in dokažimo izrek o deljivosti celih števil z ostankom ter zasledimo povezave med dividendom, deliteljem, nepopolnim količnikom in ostankom. Nato bomo predstavili pravila, po katerih se cela števila delijo z ostankom, in razmislili o uporabi teh pravil pri reševanju primerov. Po tem se bomo naučili preveriti rezultat deljenja celih števil z ostankom.
Navigacija po straneh.
Splošno razumevanje deljenja celih števil z ostankom
Deljenje celih števil z ostankom bomo obravnavali kot posplošitev deljenja z ostankom naravnih števil. To je posledica dejstva, da so naravna števila sestavni del celih števil.
Začnimo z izrazi in oznakami, ki so uporabljene v opisu.
Po analogiji z deljenjem naravnih števil z ostankom bomo predpostavili, da sta rezultat deljenja z ostankom dveh celih števil a in b (b ni enako nič) dve celi števili c in d. Števili a in b se imenujeta deljivo in delilnik v skladu s tem število d – preostanek iz deljenja a z b in kličemo celo število c nepopolno zasebno(ali preprosto zasebno, če je ostanek nič).
Predpostavimo, da je ostanek nenegativno celo število in njegova vrednost ne presega b, to je (na podobne verige neenakosti smo naleteli, ko smo govorili o primerjavi treh ali več celih števil).
Če je število c nepopoln količnik, število d pa ostanek deljenja celega števila a s celim številom b, potem bomo to dejstvo na kratko zapisali kot enakost oblike a:b=c (preostanek d).
Upoštevajte, da je pri deljenju celega števila a s celim številom b ostanek lahko enak nič. V tem primeru pravimo, da je a deljiv z b brez sledu(oz popolnoma). Tako je deljenje celih števil brez ostanka poseben primer deljenja celih števil z ostankom.
Omeniti velja tudi, da imamo pri deljenju nič z nekim celim številom vedno opravka z deljenjem brez ostanka, saj bo v tem primeru količnik enak nič (glej teoretični del o deljenju nič s celim številom), ostanek pa bo tudi enako nič.
Odločili smo se za terminologijo in zapis, zdaj pa poglejmo pomen deljenja celih števil z ostankom.
Deljenje negativnega celega števila a s pozitivnim celim številom b je lahko tudi smiselno. Če želite to narediti, upoštevajte negativno celo število kot dolg. Predstavljajmo si to situacijo. Dolg, ki sestavlja postavko, mora odplačati b oseb z enakim prispevkom. Absolutna vrednost nepopolnega količnika c bo v tem primeru določila znesek dolga vsakega od teh ljudi, ostanek d pa bo pokazal, koliko postavk bo ostalo po plačilu dolga. Dajmo primer. Recimo, da 2 osebi dolgujeta 7 jabolk. Če predpostavimo, da je vsak od njih dolžan 4 jabolka, potem jim bo po plačilu dolga ostalo 1 jabolko. Ta situacija ustreza enakosti (−7):2=−4 (preostalo 1).
Deljenju z ostankom poljubnega celega števila a z negativnim celim številom ne bomo pripisovali nobenega pomena, vendar si bomo pridržali pravico do obstoja.
Izrek o deljivosti celih števil z ostankom
Ko smo govorili o deljenju naravnih števil z ostankom, smo ugotovili, da so divident a, delitelj b, delni količnik c in ostanek d povezani z enakostjo a=b·c+d. Cela števila a, b, c in d imajo enak odnos. Ta povezava je potrjena na naslednji način izrek o deljivosti z ostankom.
Izrek.
Vsako celo število a je mogoče enolično predstaviti s celim in ničelnim številom b v obliki a=b·q+r, kjer sta q in r nekaj celih števil in .
Dokaz.
Najprej dokažemo možnost predstavitve a=b·q+r.
Če sta celi števili a in b takšni, da je a deljivo z b, potem po definiciji obstaja celo število q tako, da je a=b·q. V tem primeru velja enakost a=b·q+r pri r=0.
Zdaj bomo predpostavili, da je b pozitivno celo število. Izberimo celo število q tako, da zmnožek b·q ne presega števila a, zmnožek b·(q+1) pa je že večji od a. To pomeni, da vzamemo q tako, da veljajo neenakosti b q Treba je še dokazati možnost predstavitve a=b·q+r za negativni b. Ker je modul števila b v tem primeru pozitivno število, potem za obstaja predstavitev, kjer je q 1 neko celo število, r pa celo število, ki izpolnjuje pogoje. Potem, če vzamemo q=−q 1, dobimo predstavitev, ki jo potrebujemo a=b·q+r za negativni b. Pojdimo k dokazu edinstvenosti. Recimo, da poleg predstavitve a=b·q+r, q in r cela števila in obstaja še ena predstavitev a=b·q 1 +r 1, kjer sta q 1 in r 1 nekaj celih števil in q 1 ≠ q in . Ko odštejemo levo in desno stran druge enakosti od leve oziroma desne strani prve enakosti, dobimo 0=b·(q−q 1)+r−r 1, kar je enako enakosti r− r 1 =b·(q 1 −q) . Nato enakost oblike Iz pogojev lahko sklepamo, da. Ker sta q in q 1 cela števila in q≠q 1, potem sklepamo, da Enačba a=b·c+d vam omogoča, da najdete neznani dividendo a, če so znani delitelj b, delni količnik c in ostanek d. Poglejmo si primer. Primer. Kakšna je vrednost dividende, če je pri deljenju s celim številom −21 rezultat nepopoln količnik 5 in ostanek 12? rešitev. Dividendo a moramo izračunati, ko so znani delitelj b=−21, delni količnik c=5 in ostanek d=12. Če se obrnemo na enakost a=b·c+d, dobimo a=(−21)·5+12. Ob opazovanju najprej pomnožimo celi števili −21 in 5 po pravilu za množenje celih števil z različnimi predznaki, nato pa izvedemo seštevanje celih števil z različnimi predznaki: (−21)·5+12=−105+12=−93 . odgovor: −93
.
Povezave med dividendom, deliteljem, delnim količnikom in ostankom so izražene tudi z enačbami oblike b=(a−d):c, c=(a−d):b in d=a−b·c. Te enakosti vam omogočajo izračun delitelja, delnega količnika oziroma ostanka. Pogosto bomo morali pri deljenju celega števila a s celim številom b, ko so znani dividenda, delitelj in delni količnik, poiskati ostanek z uporabo formule d=a−b·c. Da se izognemo dodatnim vprašanjem, si poglejmo primer izračuna ostanka. Primer. Poiščite ostanek pri deljenju celega števila −19 s celim številom 3, če veste, da je delni količnik enak −7. rešitev. Za izračun ostanka pri deljenju uporabimo formulo oblike d=a−b·c. Iz pogoja imamo vse potrebne podatke a=−19, b=3, c=−7. Dobimo d=a−b·c=−19−3·(−7)= −19−(−21)=−19+21=2 (izračunali smo razliko −19−(−21) z uporabo pravila odštevanje negativnega celega števila). odgovor: Kot smo že večkrat omenili, so pozitivna cela števila naravna števila. Zato deljenje z ostankom naravnih števil poteka po vseh pravilih za deljenje z ostankom naravnih števil. Zelo pomembno je, da lahko enostavno izvedemo deljenje z ostankom naravnih števil, saj je to osnova ne le deljenja pozitivnih celih števil, ampak tudi osnova vseh pravil deljenja z ostankom poljubnih celih števil. Z našega vidika je najbolj priročno izvesti deljenje stolpcev, ta metoda vam omogoča, da dobite nepopoln količnik (ali preprosto količnik) in ostanek. Oglejmo si primer deljenja z ostankom pozitivnih celih števil. Primer. Deli z ostankom 14.671 na 54. rešitev. Razdelimo ta pozitivna cela števila s stolpcem: Izkazalo se je, da je delni količnik enak 271, ostanek pa 37. odgovor: 14 671:54=271 (ost. 37) . Oblikujmo pravilo, ki nam omogoča deljenje z ostankom pozitivnega celega števila z negativnim celim številom. Delni količnik deljenja pozitivnega celega števila a z negativnim celim številom b je nasproten delnemu količniku deljenja a z modulom b, ostanek deljenja a z b pa je enak ostanku deljenja z. Iz tega pravila sledi, da je delni količnik deljenja pozitivnega celega števila z negativnim celim številom nepozitivno celo število. Navedeno pravilo pretvorimo v algoritem za deljenje z ostankom pozitivnega celega števila z negativnim celim številom: Navedimo primer uporabe algoritma za deljenje pozitivnega celega števila z negativnim celim številom. Primer. Deli z ostankom pozitivnega celega števila 17 na negativno celo število −5. rešitev. Uporabimo algoritem za deljenje z ostankom pozitivnega celega števila z negativnim celim številom. Z delitvijo Nasprotno število 3 je −3. Tako je zahtevani delni količnik deljenja 17 z −5 −3, ostanek pa 2. odgovor: 17 :(−5)=−3 (preostala 2). Primer. Razdeli 45 krat −15. rešitev. Modula dividende in delitelja sta 45 oziroma 15. Število 45 je brez ostanka deljivo s 15, količnik pa je 3. Zato je pozitivno celo število 45 deljeno z negativnim celim številom −15 brez ostanka, količnik pa je enak številu nasproti 3, to je −3. Dejansko, v skladu s pravilom za deljenje celih števil z različnimi znaki, imamo . odgovor: 45:(−15)=−3
.
Dajmo formulacijo pravila za deljenje z ostankom negativnega celega števila s pozitivnim celim številom. Če želite dobiti nepopolni kvocient c pri deljenju negativnega celega števila a s pozitivnim celim številom b, morate vzeti število, ki je nasprotno nepopolnemu količniku pri deljenju modulov prvotnih števil, in od tega odšteti eno, nato pa se izračuna ostanek d z uporabo formule d=a−b·c. Iz tega pravila deljenja z ostankom sledi, da je delni količnik deljenja negativnega celega števila s pozitivnim celim številom negativno celo število. Iz navedenega pravila sledi algoritem za deljenje z ostankom negativnega celega števila a s pozitivnim celim številom b: Analizirajmo rešitev primera, v katerem uporabimo pisni algoritem deljenja z ostankom. Primer. Poiščite delni količnik in ostanek pri deljenju negativnega celega števila −17 s pozitivnim celim številom 5. rešitev. Modul dividende −17 je enak 17, modul delitelja 5 pa 5. Z delitvijo 17 krat 5, dobimo delni količnik 3 in ostanek 2. Nasprotje od 3 je −3. Odštej ena od −3: −3−1=−4. Torej je zahtevani delni količnik enak −4. Ostane le še izračunati ostanek. V našem primeru a=−17 , b=5 , c=−4 , potem d=a−b·c=−17−5·(−4)= −17−(−20)=−17+20=3 . Tako je delni količnik deljenja negativnega celega števila −17 s pozitivnim celim številom 5 −4, ostanek pa 3. odgovor: (−17):5=−4 (preostalo 3) . Primer. Deli negativno celo število −1,404 s pozitivnim celim številom 26. rešitev. Modul dividende je 1404, modul delitelja 26. 1404 razdelite na 26 z uporabo stolpca: Ker je modul dividende deljen z modulom delitelja brez ostanka, se prvotna cela števila delijo brez ostanka, želeni količnik pa je enak številu nasproti 54, to je −54. odgovor: (−1 404):26=−54
.
Oblikujmo pravilo za deljenje z ostankom negativnih celih števil. Če želite dobiti nepopolni količnik c z deljenjem negativnega celega števila a z negativnim celim številom b, morate izračunati nepopolni količnik z deljenjem modulov prvotnih števil in mu dodati eno, nato pa se ostanek d izračuna po formuli d =a−b·c. Iz tega pravila sledi, da je delni količnik deljenja negativnih celih števil pozitivno celo število. Prepišimo navedeno pravilo v obliki algoritma za deljenje negativnih celih števil: Razmislimo o uporabi algoritma za deljenje negativnih celih števil pri reševanju primera. Primer. Poiščite delni količnik in ostanek pri deljenju negativnega celega števila −17 z negativnim celim številom −5. rešitev. Uporabimo ustrezen algoritem deljenja z ostankom. Modul dividende je 17, modul delitelja 5. Delitev 17 na 5 daje delni količnik 3 in ostanek 2. Nepopolnemu količniku 3 dodamo ena: 3+1=4. Zato je zahtevani delni količnik deljenja −17 z −5 enak 4. Ostane le še izračunati ostanek. V tem primeru a=−17 , b=−5 , c=4 , potem d=a−b·c=−17−(−5)·4= −17−(−20)=−17+20=3 . Torej je delni količnik deljenja negativnega celega števila −17 z negativnim celim številom −5 4, ostanek pa 3. odgovor: (−17):(−5)=4 (preostalo 3) . Po deljenju celih števil z ostankom je koristno preveriti rezultat. Preverjanje poteka v dveh fazah. Na prvi stopnji se preveri, ali je ostanek d nenegativno število, ter preveri, ali je pogoj izpolnjen. Če so izpolnjeni vsi pogoji prve stopnje preverjanja, lahko nadaljujete na drugo stopnjo preverjanja, sicer lahko trdite, da je pri deljenju z ostankom nekje prišlo do napake. Na drugi stopnji se preveri veljavnost enakosti a=b·c+d. Če ta enakost drži, je bilo deljenje z ostankom izvedeno pravilno, sicer je bila nekje narejena napaka. Oglejmo si rešitve primerov, v katerih se preverja rezultat deljenja celih števil z ostankom. Primer. Pri deljenju števila −521 z −12 je bil delni količnik 44, ostanek pa 7, preveri rezultat. rešitev. −2 za b=−3, c=7, d=1. Imamo b·c+d=−3·7+1=−21+1=−20. Tako je enakost a=b·c+d nepravilna (v našem primeru a=−19). Zato je bilo deljenje z ostankom izvedeno nepravilno.
, zaradi lastnosti modula števil pa enakost 
.
. Iz dobljenih neenakosti in iz tega sledi enakost oblike po naši predpostavki nemogoče. Zato ne obstaja nobena druga predstavitev števila a kot a=b·q+r.Razmerja med dividendom, deliteljem, delnim količnikom in ostankom
Deljenje z ostankom pozitivnih celih števil, primeri
Pravilo za deljenje z ostankom pozitivnega celega števila z negativnim celim številom, primeri
Deljenje z ostankom negativnega celega števila s pozitivnim celim številom, primeri
Pravilo deljenja z ostankom za negativna cela števila, primeri
Preverjanje rezultata deljenja celih števil z ostankom
