Cálculo dos limites de uma função com solução detalhada. Sequência e limite de função

Resolvendo problemas de determinação de limites Ao resolver problemas de determinação de limites, você deve se lembrar de alguns limites para não calculá-los novamente a cada vez. Combinando estes limites conhecidos, encontraremos novos limites utilizando as propriedades indicadas no § 4. Por conveniência, apresentamos os limites mais frequentemente encontrados: Limites 1 lim x - a x a 2 lim 1 = 0 3 lim x- ± co X ± 00 4 lim -L, = oo X->o\X\ 5 lim sin*- l X -о X 6 lim f(x) = f(a), se f (x) for contínuo x a Se for conhecido que a função é contínua, então, em vez de encontrar o limite, calculamos o valor da função. Exemplo 1. Encontre lim (x*-6l:+ 8). Como a função multitermo X->2 termo é contínua, então lim (x*-6x4- 8) = 2*-6-2 + 8 = 4. x-+2 x*_2x 4-1 Exemplo 2. Encontre lim-G. . Primeiro, encontramos o limite do denominador: lim [xr-\-bx)= 12 + 5-1 =6; não é igual a X-Y1 zero, o que significa que podemos aplicar a propriedade 4 § 4, então x™i *" + &* ~~ lim (x2 bx) - 12 + 5-1 ""6 1. O limite de o denominador X X é igual a zero, portanto, não pode ser aplicada a propriedade 4 do § 4. Como o numerador é um número constante e o denominador [x2x) -> -0 para x - - 1, então toda a fração aumenta ilimitadamente em valor absoluto, ou seja, lim " 1 X - * - - 1 x* + x Exemplo 4. Encontre lim\-ll*"!"" "O limite do denominador é zero: lim (xr-6lg+ 8) = 2*- 6-2 + 8 = 0, então X propriedade 4 § 4 não aplicável. Mas o limite do numerador também é igual a zero: lim (x2 - 5d; + 6) = 22 - 5-2-f 6 = 0. Assim, os limites do numerador e do denominador são simultaneamente iguais a zero. No entanto, o número 2 é a raiz do numerador e do denominador, portanto a fração pode ser reduzida pela diferença x-2 (de acordo com o teorema de Bezout). Na verdade, x*-5x + 6 (x-2) (x-3) x-3 x"-6x + 8~ (x-2) (x-4) ~~ x-4" portanto, xr- - f- 6 g x-3 -1 1 Exemplo 5. Encontre lim xn (n inteiro, positivo). X com Temos xn = X* X . . X, n vezes Como cada fator cresce sem limite, o produto também cresce sem limite, ou seja, lim xn = oo. x oo Exemplo 6. Encontre lim xn(n inteiro, positivo). X -> - CO Temos xn = x x... x. Como cada fator cresce em valor absoluto enquanto permanece negativo, então, no caso de um grau par, o produto crescerá ilimitadamente enquanto permanece positivo, ou seja, lim *n = + oo (para n par). *-* -о No caso de uma potência ímpar, o valor absoluto do produto aumenta, mas permanece negativo, ou seja, lim xn = - oo (para n ímpar). p -- 00 Exemplo 7. Encontre lim . x x-*- co * Se m>pu então podemos escrever: m = n + kt onde k>0. Portanto xm b lim -=- = lim -=-= lim x. UP Yn x - x> A x yu Chegamos ao exemplo 6. Se ti uTL xm I lim lim lim t. X - O x -* yu A X -> co Aqui o numerador permanece constante e o denominador cresce em valor absoluto, então lim -ь = 0. X - *oo X* Recomenda-se lembrar o resultado deste exemplo no seguinte forma: A função potência cresce quanto mais rápido, maior o expoente. $хв_Зхг + 7 Exemplo 8. Encontre lim g L -г-=. Neste exemplo x-*® «J* "Г bХ -ох-о e o numerador e o denominador aumentam sem limite. Vamos dividir o numerador e o denominador pela maior potência de x, ou seja, em xb, então 3 7_ Exemplo 9. Encontre lira... Realizando transformações, obtemos lira... ^ = lim X CO + 3 7 3 Como lim -5 = 0, lim - , = 0 , então o limite do denominador rad-*® X X-+-CD X é zero, enquanto o limite do numerador é 1. Consequentemente, a fração inteira aumenta sem limite, ou seja, 7x hm X-+ yu Exemplo 10. Encontre lim Vamos calcular o limite S do denominador, lembrando que a função cos* é contínua: lira (2 + cos x) = 2 + cosy = 2. Então x->- S lim (l-fsin*) Exemplo 15. Encontre lim *<*-e>2 e lim e "(X"a)\ Polo X-+ ± co X ± CO pressione (l: - a)2 = z; como (Λ;-a)2 sempre cresce de forma não negativa e sem limite com x, então para x - ±oo a nova variável z-*oc. Portanto obtemos qt £<*-«)* = X ->± 00 s=lim ег = oo (ver nota ao §5). g -*■ co Da mesma forma lim e~(X-a)2 = lim e~z=Q, uma vez que x ± oo g m - (x- a)z diminui sem limite à medida que x ->±oo (ver nota para §

Os limites causam muitos problemas a todos os estudantes de matemática. Para resolver um limite, às vezes você precisa usar muitos truques e escolher entre uma variedade de métodos de solução exatamente aquele que é adequado para um exemplo específico.

Neste artigo não iremos ajudá-lo a compreender os limites de suas capacidades ou compreender os limites do controle, mas tentaremos responder à pergunta: como entender os limites na matemática superior? A compreensão vem com a experiência, portanto, ao mesmo tempo, daremos vários exemplos detalhados de resolução de limites com explicações.

O conceito de limite em matemática

A primeira questão é: qual é esse limite e o limite de quê? Podemos falar sobre os limites de sequências numéricas e funções. Estamos interessados ​​no conceito de limite de uma função, pois é isso que os alunos encontram com mais frequência. Mas primeiro, a definição mais geral de limite:

Digamos que haja algum valor variável. Se este valor no processo de mudança se aproximar ilimitadamente de um certo número a , Que a – o limite deste valor.

Para uma função definida em um determinado intervalo f(x)=y tal número é chamado de limite A , para o qual a função tende quando X , tendendo a um certo ponto A . Ponto A pertence ao intervalo no qual a função é definida.

Parece complicado, mas está escrito de forma muito simples:

Lim- do inglês limite- limite.

Há também uma explicação geométrica para a determinação do limite, mas aqui não nos aprofundaremos na teoria, pois estamos mais interessados ​​no lado prático do que no teórico da questão. Quando dizemos isso X tende para algum valor, isso significa que a variável não assume o valor de um número, mas se aproxima dele infinitamente.

Vamos dar um exemplo específico. A tarefa é encontrar o limite.

Para resolver este exemplo, substituímos o valor x=3 em uma função. Nós temos:

A propósito, se você estiver interessado, leia um artigo separado sobre esse assunto.

Em exemplos X pode tender a qualquer valor. Pode ser qualquer número ou infinito. Aqui está um exemplo quando X tende ao infinito:

Intuitivamente, quanto maior o número no denominador, menor será o valor que a função assumirá. Então, com crescimento ilimitado X significado 1/x diminuirá e se aproximará de zero.

Como você pode ver, para resolver o limite, basta substituir o valor pelo qual se esforça na função X . No entanto, este é o caso mais simples. Muitas vezes encontrar o limite não é tão óbvio. Dentro dos limites existem incertezas do tipo 0/0 ou infinito/infinito . O que fazer nesses casos? Recorra a truques!

Incertezas internas

Incerteza da forma infinito/infinito

Que haja um limite:

Se tentarmos substituir o infinito na função, obteremos infinito tanto no numerador quanto no denominador. Em geral, vale dizer que existe um certo elemento de arte na resolução de tais incertezas: é preciso perceber como é possível transformar a função de tal forma que a incerteza desapareça. No nosso caso, dividimos o numerador e o denominador por X no grau sênior. O que vai acontecer?

Pelo exemplo já discutido acima, sabemos que os termos que contêm x no denominador tenderão a zero. Então a solução para o limite é:

Para resolver incertezas de tipo infinito/infinito divida o numerador e o denominador por X ao mais alto grau.

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Outro tipo de incerteza: 0/0

Como sempre, substituindo valores na função x=-1 dá 0 no numerador e no denominador. Olhe um pouco mais de perto e você notará que temos uma equação quadrática no numerador. Vamos encontrar as raízes e escrever:

Vamos reduzir e obter:

Então, se você se deparar com incerteza de tipo 0/0 – fatorar o numerador e o denominador.

Para facilitar a resolução de exemplos, apresentamos uma tabela com os limites de algumas funções:

O governo de L'Hopital dentro

Outra maneira poderosa de eliminar os dois tipos de incerteza. Qual é a essência do método?

Se houver incerteza no limite, calcule a derivada do numerador e do denominador até que a incerteza desapareça.

A regra de L'Hopital é assim:

Ponto importante : deve existir o limite no qual as derivadas do numerador e do denominador estão em vez do numerador e do denominador.

E agora - um exemplo real:

Há uma incerteza típica 0/0 . Vamos pegar as derivadas do numerador e do denominador:

Voila, a incerteza é resolvida de forma rápida e elegante.

Esperamos que você seja capaz de aplicar essas informações na prática de maneira útil e encontrar a resposta para a pergunta “como resolver limites em matemática superior”. Se você precisa calcular o limite de uma sequência ou o limite de uma função em um ponto e não há tempo para esse trabalho, entre em contato com um serviço estudantil profissional para uma solução rápida e detalhada.

Neste tópico consideraremos todos os três grupos de limites com irracionalidade listados acima. Vamos começar com limites contendo incerteza da forma $\frac(0)(0)$.

Divulgação de incerteza $\frac(0)(0)$.

A solução para exemplos padrão deste tipo geralmente consiste em duas etapas:

• Livramo-nos da irracionalidade que causava incerteza multiplicando pela chamada expressão “conjugada”;
• Se necessário, fatore a expressão no numerador ou denominador (ou ambos);
• Reduzimos os fatores que levam à incerteza e calculamos o valor desejado do limite.

O termo "expressão conjugada" utilizado acima será explicado em detalhe nos exemplos. Por enquanto não há razão para insistir nisso em detalhes. Em geral, você pode fazer o contrário, sem usar a expressão conjugada. Às vezes, um substituto bem escolhido pode eliminar a irracionalidade. Tais exemplos são raros em testes padrão, portanto consideraremos apenas um exemplo nº 6 para o uso de substituição (veja a segunda parte deste tópico).

Precisaremos de várias fórmulas, que anotarei abaixo:

\begin(equação) a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b) \end(equação) \begin(equação) a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2 +ab+b^2) \end(equação) \begin(equação) a^3+b^3=(a+b)\cdot(a^2-ab+b^2) \end(equação) \begin (equação) a^4-b^4=(ab)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\end(equação)

Além disso, assumimos que o leitor conhece as fórmulas para resolver equações quadráticas. Se $x_1$ e $x_2$ são as raízes do trinômio quadrático $ax^2+bx+c$, então ele pode ser fatorado usando a seguinte fórmula:

\begin(equação) ax^2+bx+c=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2) \end(equação)

As fórmulas (1)-(5) são suficientes para resolver problemas padrão, aos quais passaremos agora.

Exemplo nº 1

Encontre $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$.

Como $\lim_(x\to 3)(\sqrt(7-x)-2)=\sqrt(7-3)-2=\sqrt(4)-2=0$ e $\lim_(x\ to 3) (x-3)=3-3=0$, então no limite dado temos uma incerteza da forma $\frac(0)(0)$. A diferença $\sqrt(7-x)-2$ nos impede de revelar esta incerteza. Para se livrar de tais irracionalidades, utiliza-se a multiplicação pela chamada “expressão conjugada”. Veremos agora como funciona essa multiplicação. Multiplique $\sqrt(7-x)-2$ por $\sqrt(7-x)+2$:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)$$

Para abrir os colchetes, aplique , substituindo $a=\sqrt(7-x)$, $b=2$ no lado direito da fórmula mencionada:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=(\sqrt(7-x))^2-2^2=7-x-4=3-x .$$

Como você pode ver, se você multiplicar o numerador por $\sqrt(7-x)+2$, então a raiz (ou seja, irracionalidade) no numerador desaparecerá. Esta expressão $\sqrt(7-x)+2$ será conjugado para a expressão $\sqrt(7-x)-2$. No entanto, não podemos simplesmente multiplicar o numerador por $\sqrt(7-x)+2$, porque isso mudará a fração $\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$, que é abaixo do limite. Você precisa multiplicar o numerador e o denominador ao mesmo tempo:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)= \left|\frac(0)(0)\right|=\lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2)) $$

Agora lembre-se disso $(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=3-x$ e abra os colchetes. E após abrir os parênteses e uma pequena transformação $3-x=-(x-3)$, reduzimos a fração em $x-3$:

$$ \lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt( 7-x)+2))= \lim_(x\to 3)\frac(3-x)((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))=\\ =\lim_ (x\to 3)\frac(-(x-3))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))= \lim_(x\to 3)\frac(-1 )(\sqrt(7-x)+2) $$

A incerteza $\frac(0)(0)$ desapareceu. Agora você pode obter facilmente a resposta deste exemplo:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(-1)(\sqrt(7-x)+2)=\frac(-1)(\sqrt(7-3)+2)=-\frac( 1)(\sqrt(4)+2)=-\frac(1)(4).$$

Observo que a expressão conjugada pode mudar sua estrutura, dependendo do tipo de irracionalidade que deve remover. Nos exemplos nº 4 e nº 5 (veja a segunda parte deste tópico) será utilizado um tipo diferente de expressão conjugada.

Responder: $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)=-\frac(1)(4)$.

Exemplo nº 2

Encontre $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$.

Como $\lim_(x\to 2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\sqrt(2^2+5)-\sqrt(7\cdot 2 ^ 2-19)=3-3=0$ e $\lim_(x\to 2)(3x^2-5x-2)=3\cdot2^2-5\cdot 2-2=0$, então nós estão lidando com incerteza da forma $\frac(0)(0)$. Vamos nos livrar da irracionalidade no denominador dessa fração. Para fazer isso, adicionamos o numerador e o denominador da fração $\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$ ao expressão $\sqrt(x^ 2+5)+\sqrt(7x^2-19)$ conjugada ao denominador:

$$ \lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\left|\frac(0 )(0)\direita|= \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) ((\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) $$

Novamente, como no exemplo nº 1, você precisa usar parênteses para expandir. Substituindo $a=\sqrt(x^2+5)$, $b=\sqrt(7x^2-19)$ no lado direito da fórmula mencionada, obtemos a seguinte expressão para o denominador:

$$ \left(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19)\right)\left(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)\ direita)=\\ =\esquerda(\sqrt(x^2+5)\direita)^2-\esquerda(\sqrt(7x^2-19)\direita)^2=x^2+5-(7x ^2-19)=-6x^2+24=-6\cponto(x^2-4) $$

Voltemos ao nosso limite:

$$ \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((\sqrt(x ^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))= \lim_(x\to 2)\frac( (3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(-6\cdot(x^2-4))=\\ =-\ frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x^2-4) $$

No exemplo nº 1, quase imediatamente após a multiplicação pela expressão conjugada, a fração foi reduzida. Aqui, antes da redução, você terá que fatorar as expressões $3x^2-5x-2$ e $x^2-4$, e só então proceder à redução. Para fatorar a expressão $3x^2-5x-2$ você precisa usar . Primeiro, vamos resolver a equação quadrática $3x^2-5x-2=0$:

$$ 3x^2-5x-2=0\\ \begin(alinhado) & D=(-5)^2-4\cdot3\cdot(-2)=25+24=49;\\ & x_1=\ frac(-(-5)-\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5-7)(6)=-\frac(2)(6)=-\frac(1)(3) ;\\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2. \end(alinhado) $$

Substituindo $x_1=-\frac(1)(3)$, $x_2=2$ em , teremos:

$$ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)(x-2)=3\cdot\left(x+\ frac(1)(3)\direita)(x-2)=\esquerda(3\cdot x+3\cdot\frac(1)(3)\direita)(x-2) =(3x+1)( x-2). $$

Agora é hora de fatorar a expressão $x^2-4$. Vamos usar , substituindo $a=x$, $b=2$ nele:

$$ x^2-4=x^2-2^2=(x-2)(x+2) $$

Vamos usar os resultados obtidos. Como $x^2-4=(x-2)(x+2)$ e $3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)$, então:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2 -19)))(x^2-4) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x ^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((x-2)(x+2)) $$

Reduzindo pelo colchete $x-2$ obtemos:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^ 2-19)))((x-2)(x+2)) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt( x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(x+2). $$

Todos! A incerteza desapareceu. Mais um passo e chegamos à resposta:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x+2)=\\ =-\frac(1)(6)\cdot\frac((3\cdot 2+1)(\sqrt(2^2+5)+\sqrt(7\cdot 2 ^2-19)))(2+2)= -\frac(1)(6)\cdot\frac(7(3+3))(4)=-\frac(7)(4). $$

Responder: $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=-\frac(7)( 4)$.

No exemplo a seguir, considere o caso em que irracionalidades estarão presentes tanto no numerador quanto no denominador da fração.

Exemplo nº 3

Encontre $\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))$.

Como $\lim_(x\to 5)(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))=\sqrt(9)-\sqrt(9)=0$ e $\lim_( x \to 5)(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9))=\sqrt(16)-\sqrt(16)=0$, então temos uma incerteza da forma $ \frac(0)(0)$. Como neste caso as raízes estão presentes tanto no denominador quanto no numerador, para se livrar da incerteza você terá que multiplicar por dois colchetes ao mesmo tempo. Primeiro, à expressão $\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)$ conjugada ao numerador. E em segundo lugar, para a expressão $\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9)$ conjugada ao denominador.

$$ \lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))=\esquerda|\frac(0)(0)\direita|=\\ =\lim_(x\to 5)\frac((\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16) )(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((\sqrt(x^2 -3x+6)-\sqrt(5x-9))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9))(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2 -16))) $$ $$ -x^2+x+20=0;\\ \begin(alinhado) & D=1^2-4\cdot(-1)\cdot 20=81;\\ & x_1=\frac(-1-\sqrt(81))(-2)=\frac(-10)(-2)=5;\\ & x_2=\frac(-1+\sqrt(81))( -2)=\frac(8)(-2)=-4. \end(alinhado) \\ -x^2+x+20=-1\cdot(x-5)(x-(-4))=-(x-5)(x+4). $$

Para a expressão $x^2-8x+15$ obtemos:

$$ x^2-8x+15=0;\\ \begin(aligned) & D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 15=4;\\ & x_1=\frac(-(- 8)-\sqrt(4))(2)=\frac(6)(2)=3;\\ & x_2=\frac(-(-8)+\sqrt(4))(2)=\frac (10)(2)=5. \end(alinhado)\\ x^2+8x+15=1\cdot(x-3)(x-5)=(x-3)(x-5). $$

Substituindo as expansões resultantes $-x^2+x+20=-(x-5)(x+4)$ e $x^2+8x+15=(x-3)(x-5)$ no limite em consideração, terá:

$$ \lim_(x\to 5)\frac((-x^2+x+20)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x^2 -8x+15)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \lim_(x\to 5)\frac(-(x-5)(x+4)(\ quadrado(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3)(x-5)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)) )=\\ =\lim_(x\to 5)\frac(-(x+4)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3) (\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \frac(-(5+4)(\sqrt(5^2-3\cdot 5+6)+\sqrt(5 \cdot 5-9)))((5-3)(\sqrt(5+4)+\sqrt(5^2-16)))=-6. $$

Responder: $\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))=-6$.

Na próxima (segunda) parte, consideraremos mais alguns exemplos em que a expressão conjugada terá uma forma diferente dos problemas anteriores. A principal coisa a lembrar é que o propósito de usar uma expressão conjugada é livrar-se da irracionalidade que causa incerteza.

Funções elementares e seus gráficos.

As principais funções elementares são: função potência, função exponencial, função logarítmica, funções trigonométricas e funções trigonométricas inversas, bem como um polinômio e uma função racional, que é a razão de dois polinômios.

As funções elementares também incluem aquelas funções obtidas a partir das elementares aplicando as quatro operações aritméticas básicas e formando uma função complexa.

Gráficos de funções elementares

	Linha reta- gráfico de uma função linear y = machado + b. A função y aumenta monotonicamente para a > 0 e diminui para a< 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т. 0 (y = ax - прямая пропорциональность)
	Parábola- gráfico da função trinomial quadrática y = machado 2 + bx + c. Possui um eixo vertical de simetria. Se a > 0, tem um mínimo se a< 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения machado 2 + bx +c =0
	Hipérbole- gráfico da função. Quando a > O está localizado nos quartos I e III, quando a< 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х(а >0) ou y - - x(uma< 0).
	Função exponencial. Expositor(função exponencial para base e) y = e x. (Outra grafia y = exp(x)). Assíntota é o eixo das abcissas.
	Função logarítmica y = log a x(uma > 0)
	y = senx. Onda senoidal- função periódica com período T = 2π

Limite de função.

A função y=f(x) tem um número A como limite quando x tende para a, se para qualquer número ε › 0 existe um número δ › 0 tal que | y – UMA | ‹ ε se |x - a| ‹δ,

ou lim y = A

Continuidade de função.

A função y=f(x) é contínua no ponto x = a se lim f(x) = f(a), ou seja,

o limite de uma função em um ponto x = a é igual ao valor da função em um determinado ponto.

Encontrando os limites das funções.

Teoremas básicos sobre limites de funções.

1. O limite de um valor constante é igual a este valor constante:

2. O limite de uma soma algébrica é igual à soma algébrica dos limites destas funções:

lim (f + g - h) = lim f + lim g - lim h

3. O limite do produto de várias funções é igual ao produto dos limites dessas funções:

lim (f * g* h) = lim f * lim g * lim h

4. O limite do quociente de duas funções é igual ao quociente dos limites dessas funções se o limite do denominador não for igual a 0:

limite------- = ----------

O primeiro limite notável: lim --------- = 1

Segundo limite notável: lim (1 + 1/x) x = e (e = 2, 718281..)

Exemplos de como encontrar os limites de funções.

5.1. Exemplo:

Qualquer limite consiste em três partes:

1) O conhecido ícone de limite.

2) Entradas sob o ícone de limite. A entrada diz “X tende para um”. Na maioria das vezes é x, embora em vez de “x” possa haver qualquer outra variável. No lugar de um pode haver absolutamente qualquer número, bem como infinito 0 ou .

3) Funções sob o sinal limite, neste caso .

A gravação em si diz assim: “o limite de uma função quando x tende à unidade”.

Uma questão muito importante - o que significa a expressão “x”? se esforça para um"? A expressão "x" se esforça para um” deve ser entendido da seguinte forma: “x” assume consistentemente os valores que se aproximam infinitamente da unidade e praticamente coincidem com ela.

Como resolver o exemplo acima? Com base no exposto, você só precisa substituir um na função sob o sinal de limite:

Então a primeira regra : Quando for fornecido um limite, primeiro basta inserir o número na função.

5.2. Exemplo com infinito:

Vamos descobrir o que é? Este é o caso quando aumenta sem limite.

Então se , então a função tende a menos infinito:

De acordo com nossa primeira regra, em vez de “X” substituímos na função infinito e obtemos a resposta.

5.3. Outro exemplo com infinito:

Novamente começamos a aumentar até o infinito e observamos o comportamento da função.
Conclusão: a função aumenta ilimitadamente

5.4. Uma série de exemplos:

Tente você mesmo analisar mentalmente os seguintes exemplos e resolver os tipos mais simples de limites:

, , , , , , , , ,

O que você precisa lembrar e entender do que foi dito acima?

Quando for dado qualquer limite, primeiro simplesmente insira o número na função. Ao mesmo tempo, você deve compreender e resolver imediatamente os limites mais simples, como , , etc.

6. Limites com incerteza de tipo e um método para resolvê-los.

Agora consideraremos o grupo de limites quando , e a função é uma fração cujo numerador e denominador contêm polinômios.

6.1. Exemplo:

Calcular limite

De acordo com a nossa regra, tentamos substituir o infinito na função. O que obtemos no topo? Infinidade. E o que acontece abaixo? Também infinito. Assim, temos o que é chamado de incerteza de espécie. Pode-se pensar que = 1, e a resposta está pronta, mas no caso geral isso não é o caso, e é necessário aplicar alguma técnica de solução, que consideraremos agora.

Como resolver limites deste tipo?

Primeiro olhamos para o numerador e encontramos a maior potência:

A potência principal no numerador é dois.

Agora olhamos para o denominador e também o encontramos elevado à maior potência:

O grau mais alto do denominador é dois.

Em seguida, escolhemos a maior potência do numerador e do denominador: neste exemplo, eles são iguais e iguais a dois.

Portanto, o método de solução é o seguinte: revelar incerteza você precisa dividir o numerador e o denominador por no grau sênior.

Assim, a resposta não é 1.

Exemplo

Encontre o limite

Novamente no numerador e no denominador encontramos no grau mais alto:

Grau máximo no numerador: 3

Grau máximo no denominador: 4

Escolher o melhor valor, neste caso quatro.
De acordo com nosso algoritmo, para revelar a incerteza, dividimos o numerador e o denominador por.

Exemplo

Encontre o limite

Grau máximo de “X” no numerador: 2

Grau máximo de “X” no denominador: 1 (pode ser escrito como)
Para revelar a incerteza, é necessário dividir o numerador e o denominador por . A solução final pode ser assim:

Divida o numerador e o denominador por

Solução limites de funções on-line. Encontre o valor limite de uma função ou sequência funcional em um ponto, calcule final o valor da função no infinito. determinar a convergência de uma série numérica e muito mais pode ser feito graças ao nosso serviço online -. Permitimos que você encontre limites de função on-line com rapidez e precisão. Você mesmo insere a variável da função e o limite a que ela tende, e nosso serviço faz todos os cálculos para você, dando uma resposta precisa e simples. E para encontrando o limite on-line você pode inserir séries numéricas e funções analíticas contendo constantes em expressão literal. Neste caso, o limite encontrado da função conterá essas constantes como argumentos constantes na expressão. Nosso serviço resolve qualquer problema complexo de localização limites on-line, basta indicar a função e o ponto em que é necessário calcular valor limite da função. Calculando limites on-line, você pode usar vários métodos e regras para resolvê-los, enquanto verifica o resultado obtido com resolvendo limites on-line no www.site, o que levará à conclusão bem-sucedida da tarefa - você evitará seus próprios erros e erros administrativos. Ou você pode confiar totalmente em nós e usar nosso resultado em seu trabalho, sem gastar tempo e esforço extra calculando de forma independente o limite da função. Permitimos a entrada de valores limites como infinito. É necessário inserir um membro comum de uma sequência numérica e www.site vou calcular o valor limite on-line para mais ou menos infinito.

Um dos conceitos básicos da análise matemática é limite de função E limite de sequência em um ponto e no infinito, é importante poder resolver corretamente limites. Com o nosso serviço isso não será difícil. Uma decisão é tomada limites on-line em alguns segundos, a resposta é precisa e completa. O estudo da análise matemática começa com transição para o limite, limites são usados ​​em quase todas as áreas da matemática superior, por isso é útil ter um servidor disponível para soluções de limite on-line, que é o site.