Resolva exemplos de sistemas homogêneos de equações algébricas lineares. Sistema de decisão fundamental (exemplo específico)

Objetivo do serviço. A calculadora online foi projetada para encontrar uma solução fundamental e não trivial para o SLAE. A solução resultante é salva em um arquivo Word (ver exemplo de solução).

Instruções. Selecione a dimensão da matriz:

Propriedades de sistemas de equações lineares homogêneas

Teorema. Um sistema no caso m=n tem uma solução não trivial se e somente se o determinante deste sistema for igual a zero.

Teorema. Qualquer combinação linear de soluções para um sistema também é uma solução para esse sistema.
Definição. O conjunto de soluções para um sistema de equações lineares homogêneas é chamado sistema fundamental de soluções, se este conjunto consiste em soluções linearmente independentes e qualquer solução do sistema é uma combinação linear dessas soluções.

Teorema. Se a classificação r da matriz do sistema for menor que o número n de incógnitas, então existe um sistema fundamental de soluções que consiste em (n-r) soluções.

Algoritmo para resolução de sistemas de equações lineares homogêneas

1. Encontrando a classificação da matriz.
2. Selecionamos o menor básico. Distinguimos incógnitas dependentes (básicas) e livres.
3. Riscamos aquelas equações do sistema cujos coeficientes não estão incluídos na base menor, pois são consequências dos demais (de acordo com o teorema da base menor).
4. Movemos os termos das equações contendo incógnitas livres para o lado direito. Como resultado, obtemos um sistema de r equações com r incógnitas, equivalente à dada, cujo determinante é diferente de zero.
5. Resolvemos o sistema resultante eliminando incógnitas. Encontramos relações que expressam variáveis ​​dependentes através de variáveis ​​livres.
6. Se a classificação da matriz não for igual ao número de variáveis, encontramos a solução fundamental do sistema.
7. No caso rang = n temos uma solução trivial.

Exemplo. Encontre a base do sistema de vetores (a 1, a 2,...,a m), classifique e expresse os vetores com base na base. Se 1 = (0,0,1,-1) e 2 = (1,1,2,0) e 3 = (1,1,1,1) e 4 = (3,2,1 ,4) e 5 =(2,1,0,3).
Vamos anotar a matriz principal do sistema:

Um sistema homogêneo é sempre consistente e tem uma solução trivial
. Para que exista uma solução não trivial, é necessário que o posto da matriz foi menor que o número de incógnitas:

.

Sistema fundamental de soluções sistema homogêneo
chame um sistema de soluções na forma de vetores coluna
, que correspondem à base canônica, ou seja, base na qual constantes arbitrárias
são alternadamente definidos como iguais a um, enquanto o restante é definido como zero.

Então a solução geral do sistema homogêneo tem a forma:

Onde
- constantes arbitrárias. Em outras palavras, a solução global é uma combinação linear do sistema fundamental de soluções.

Assim, soluções básicas podem ser obtidas a partir da solução geral se às incógnitas livres for dado o valor de um por vez, igualando todas as outras a zero.

Exemplo. Vamos encontrar uma solução para o sistema

Vamos aceitar, então obtemos uma solução na forma:

Vamos agora construir um sistema fundamental de soluções:

.

A solução geral será escrita como:

As soluções de um sistema de equações lineares homogêneas têm as seguintes propriedades:

Em outras palavras, qualquer combinação linear de soluções para um sistema homogêneo é novamente uma solução.

Resolvendo sistemas de equações lineares usando o método de Gauss

A resolução de sistemas de equações lineares interessa aos matemáticos há vários séculos. Os primeiros resultados foram obtidos no século XVIII. Em 1750, G. Kramer (1704–1752) publicou seus trabalhos sobre os determinantes de matrizes quadradas e propôs um algoritmo para encontrar a matriz inversa. Em 1809, Gauss delineou um novo método de solução conhecido como método de eliminação.

O método de Gauss, ou método de eliminação sequencial de incógnitas, consiste no fato de que, por meio de transformações elementares, um sistema de equações é reduzido a um sistema equivalente de forma escalonada (ou triangular). Tais sistemas permitem encontrar sequencialmente todas as incógnitas em uma determinada ordem.

Suponhamos que no sistema (1)
(o que é sempre possível).

(1)

Multiplicando a primeira equação uma por uma pela chamada números adequados

e somando o resultado da multiplicação com as equações correspondentes do sistema, obtemos um sistema equivalente no qual em todas as equações exceto a primeira não haverá incógnita X 1

(2)

Vamos agora multiplicar a segunda equação do sistema (2) por números adequados, assumindo que

,

e somando com os inferiores, eliminamos a variável de todas as equações, começando pela terceira.

Continuando esse processo, após
passo obtemos:

(3)

Se pelo menos um dos números
não é igual a zero, então a igualdade correspondente é contraditória e o sistema (1) é inconsistente. Por outro lado, para qualquer sistema numérico conjunto
são iguais a zero. Número nada mais é do que o posto da matriz do sistema (1).

A transição do sistema (1) para (3) é chamada direto em frente Método de Gauss e determinação das incógnitas de (3) – ao contrário .

Comente : É mais conveniente realizar transformações não com as próprias equações, mas com a matriz estendida do sistema (1).

Exemplo. Vamos encontrar uma solução para o sistema

.

Vamos escrever a matriz estendida do sistema:

.

Vamos adicionar o primeiro às linhas 2,3,4, multiplicado por (-2), (-3), (-2) respectivamente:

.

Vamos trocar as linhas 2 e 3 e, na matriz resultante, adicionar a linha 2 à linha 4, multiplicada por :

.

Adicione à linha 4 a linha 3 multiplicada por
:

.

É óbvio que
, portanto, o sistema é consistente. Do sistema de equações resultante

encontramos a solução por substituição reversa:

,
,
,
.

Exemplo 2. Encontre uma solução para o sistema:

.

É óbvio que o sistema é inconsistente, porque
, A
.

Vantagens do método Gauss :

Menos trabalhoso que o método de Cramer.

Estabelece inequivocamente a compatibilidade do sistema e permite encontrar uma solução.

Torna possível determinar a classificação de quaisquer matrizes.

A equação linear é chamada homogêneo, se seu termo livre for igual a zero, e não homogêneo caso contrário. Um sistema que consiste em equações homogêneas é chamado de homogêneo e tem a forma geral:

É óbvio que todo sistema homogêneo é consistente e tem solução zero (trivial). Portanto, quando aplicado a sistemas homogêneos de equações lineares, muitas vezes é preciso buscar uma resposta para a questão da existência de soluções diferentes de zero. A resposta a esta questão pode ser formulada como o seguinte teorema.

Teorema . Um sistema homogêneo de equações lineares tem uma solução diferente de zero se e somente se sua classificação for menor que o número de incógnitas .

Prova: Suponhamos que um sistema cuja classificação é igual tenha uma solução diferente de zero. Obviamente não excede. Caso o sistema tenha uma solução única. Como um sistema de equações lineares homogêneas sempre tem uma solução zero, então a solução zero será esta solução única. Assim, soluções diferentes de zero são possíveis apenas para.

Corolário 1 : Um sistema homogêneo de equações, em que o número de equações é menor que o número de incógnitas, sempre tem uma solução diferente de zero.

Prova: Se um sistema de equações tiver , então a classificação do sistema não excede o número de equações, ou seja, . Assim, a condição é satisfeita e, portanto, o sistema tem uma solução diferente de zero.

Corolário 2 : Um sistema homogêneo de equações com incógnitas tem uma solução diferente de zero se e somente se seu determinante for zero.

Prova: Suponhamos que um sistema de equações lineares homogêneas, cuja matriz com o determinante , tenha uma solução diferente de zero. Então, de acordo com o teorema comprovado, e isso significa que a matriz é singular, ou seja, .

Sistema homogêneo de equações algébricas lineares.

Um sistema de m equações lineares com n variáveis ​​é chamado de sistema de equações lineares homogêneas se todos os termos livres forem iguais a 0. Um sistema de equações lineares homogêneas é sempre consistente, porque sempre tem pelo menos uma solução zero. Um sistema de equações lineares homogêneas tem uma solução diferente de zero se e somente se a classificação de sua matriz de coeficientes para variáveis ​​​​for menor que o número de variáveis, ou seja, para classificação A (n. Qualquer combinação linear

Soluções de sistema Lin. homogêneo. ur-ii também é uma solução para este sistema.

Um sistema de soluções lineares independentes e1, e2,...,еk é chamado fundamental se cada solução do sistema for uma combinação linear de soluções. Teorema: se a classificação r da matriz de coeficientes para as variáveis ​​​​de um sistema de equações lineares homogêneas for menor que o número de variáveis ​​n, então todo sistema fundamental de soluções para o sistema consiste em n-r soluções. Portanto, a solução geral do sistema linear. um dia ur-th tem a forma: c1e1+c2e2+...+skek, onde e1, e2,..., ek é qualquer sistema fundamental de soluções, c1, c2,...,ck são números arbitrários e k=n-r. A solução geral de um sistema de m equações lineares com n variáveis ​​é igual à soma

da solução geral do sistema que lhe corresponde é homogênea. equações lineares e uma solução particular arbitrária deste sistema.

7. Espaços lineares. Subespaços. Base, dimensão. Concha linear. O espaço linear é chamado n-dimensional, se nele houver um sistema de vetores linearmente independentes, e qualquer sistema com um número maior de vetores for linearmente dependente. O número é chamado dimensão (número de dimensões) espaço linear e é denotado por . Em outras palavras, a dimensão de um espaço é o número máximo de vetores linearmente independentes deste espaço. Se tal número existir, então o espaço é chamado de dimensão finita. Se, para qualquer número natural n, existe um sistema no espaço que consiste em vetores linearmente independentes, então tal espaço é chamado de dimensão infinita (escrito: ). A seguir, salvo indicação em contrário, serão considerados espaços de dimensão finita.

A base de um espaço linear n-dimensional é uma coleção ordenada de vetores linearmente independentes ( vetores de base).

Teorema 8.1 sobre a expansão de um vetor em termos de base. Se é a base de um espaço linear n-dimensional, então qualquer vetor pode ser representado como uma combinação linear de vetores de base:

V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
e, além disso, da única maneira, ou seja, os coeficientes são determinados exclusivamente. Em outras palavras, qualquer vetor de espaço pode ser expandido em uma base e, além disso, de forma única.

Na verdade, a dimensão do espaço é. O sistema de vetores é linearmente independente (isto é uma base). Após adicionar qualquer vetor à base, obtemos um sistema linearmente dependente (já que este sistema consiste em vetores do espaço n-dimensional). Usando a propriedade de 7 vetores linearmente dependentes e linearmente independentes, obtemos a conclusão do teorema.

6.3. SISTEMAS HOMOGÊNEOS DE EQUAÇÕES LINEARES

Deixe agora no sistema (6.1).

Um sistema homogêneo é sempre consistente. Solução () é chamado zero, ou trivial.

Um sistema homogêneo (6.1) tem uma solução diferente de zero se e somente se seu posto ( ) é menor que o número de incógnitas. Em particular, um sistema homogêneo em que o número de equações é igual ao número de incógnitas tem uma solução diferente de zero se e somente se o seu determinante for zero.

Porque desta vez tudo, em vez das fórmulas (6.6) obtemos o seguinte:

(6.7)

As fórmulas (6.7) contêm qualquer solução do sistema homogêneo (6.1).

1. O conjunto de todas as soluções do sistema homogêneo de equações lineares (6.1) forma um espaço linear.

2. Espaço linearRtodas as soluções do sistema homogêneo de equações lineares (6.1) comnincógnitas e a classificação da matriz principal igual aR, tem dimensãon–r.

Qualquer conjunto de (n–r) soluções linearmente independentes do sistema homogêneo (6.1) formam uma base no espaçoRtodas as decisões. É chamado fundamental um conjunto de soluções para o sistema homogêneo de equações (6.1). Ênfase especial é dada "normal" conjunto fundamental de soluções do sistema homogêneo (6.1):

(6.8)

Por definição de base, qualquer solução X sistema homogêneo (6.1) pode ser representado na forma

(6.9)

Onde – constantes arbitrárias.

Como a fórmula (6.9) contém qualquer solução para o sistema homogêneo (6.1), ela dá decisão comum este sistema.

Exemplo.

Solução encontre usando uma calculadora. O algoritmo de solução é o mesmo dos sistemas de equações lineares não homogêneas.
Operando apenas com linhas, encontramos o posto da matriz, a base menor; Declaramos incógnitas dependentes e livres e encontramos uma solução geral.

Exemplo 2. Encontre a solução geral e o sistema fundamental de soluções do sistema
Solução.



,
segue-se que a classificação da matriz é 3 e igual ao número de incógnitas. Isso significa que o sistema não possui incógnitas livres e, portanto, possui uma solução única - trivial.

Exercício . Explore e resolva um sistema de equações lineares.
Exemplo 4

Exercício . Encontre as soluções gerais e particulares de cada sistema.
Solução. Vamos anotar a matriz principal do sistema:

Tarefa . Encontre um conjunto fundamental de soluções para um sistema homogêneo de equações lineares.