Encontre a derivada da raiz de x. Encontre a derivada: algoritmo e exemplos de soluções

Instruções

Antes de encontrar a derivada da raiz, preste atenção nas demais funções presentes no exemplo que está sendo resolvido. Se o problema tiver muitas expressões radicais, use a seguinte regra para encontrar a derivada da raiz quadrada:

(√x)" = 1/2√x.

E para encontrar a derivada da raiz cúbica, use a fórmula:

(³√x)" = 1/3(³√x)²,

onde ³√x denota a raiz cúbica de x.

Se, destinado à diferenciação, houver uma variável em fracionário , então converta a raiz em uma função de potência com o expoente apropriado. Para uma raiz quadrada será uma potência de ½ e para uma raiz cúbica será ⅓:

√x = x^½,
³√х = x ^ ⅓,

onde ^ denota exponenciação.

Para encontrar a derivada de uma função potência em geral e x^1, x^⅓ em particular, use a seguinte regra:

(x ^ n)" = n * x ^ (n-1).

Para a derivada de uma raiz, esta relação implica:

(x^½)" = ½ x ^ (-½) e
(x ^⅓)" = ⅓ x ^ (-⅔).

Tendo diferenciado tudo, observe atentamente o restante do exemplo. Se você tiver uma expressão muito complicada em sua resposta, provavelmente poderá simplificá-la. A maioria dos exemplos escolares são estruturados de tal forma que o resultado final é um número pequeno ou uma expressão compacta.

Em muitos problemas de derivadas, raízes (quadradas e cúbicas) são encontradas juntamente com outras funções. Para encontrar a derivada da raiz neste caso, use as seguintes regras:
a derivada de uma constante (número constante, C) é igual a zero: C" = 0;
o fator constante é retirado do sinal de derivada: (k*f)" = k * (f)" (f é uma função arbitrária);
a derivada da soma de várias funções é igual à soma das derivadas: (f + g)" = (f)" + (g)";
a derivada do produto de duas funções é igual a... não, não o produto das derivadas, mas a seguinte expressão: (fg)" = (f)"g + f (g)";
a derivada do quociente também não é igual ao quociente das derivadas, mas é encontrada de acordo com a seguinte regra: (f/g)" = ((f)"g – f(g)") / g².

observação

Nesta página você pode calcular a derivada de uma função online e obter uma solução detalhada para o problema. A solução das derivadas de uma função é feita utilizando as regras de diferenciação que os alunos estudam no curso de análise matemática do instituto. Para encontrar a derivada de uma função, é necessário inserir a função de diferenciação no campo "Função" de acordo com as regras de entrada de dados.

Conselho util

A derivada de uma função é o limite da razão entre o incremento de uma função e o incremento do argumento quando o incremento do argumento tende a zero: O significado matemático desta definição não é muito fácil de entender, pois em uma escola curso de álgebra o conceito de limite de uma função ou não é estudado ou é estudado muito superficialmente. Mas para aprender como encontrar derivadas de várias funções, isso não é necessário.

Fontes:

• raiz derivada de x

1. Caso geral da fórmula da derivada de uma raiz de grau arbitrário- uma fração em cujo numerador existe um, e no denominador um número igual à potência da raiz para a qual a derivada foi calculada, multiplicada pela raiz da mesma potência, cuja expressão radical é uma variável em a potência da raiz para a qual a derivada foi calculada, reduzida em um
2. Derivada de raiz quadrada- é um caso especial da fórmula anterior. Derivada da raiz quadrada de xé uma fração cujo numerador é um e o denominador é duas vezes a raiz quadrada de x
3. Derivada da raiz cúbica, também um caso especial da fórmula geral. A derivada de uma raiz cúbica é dividida por três raízes cúbicas de x ao quadrado.

Abaixo estão as transformações que explicam por que as fórmulas para encontrar as derivadas das raízes quadradas e cúbicas são exatamente as mesmas mostradas na figura.

Claro, você não precisa se lembrar dessas fórmulas, se levar em conta que extrair a raiz de uma potência derivada é o mesmo que elevar uma fração cujo denominador é igual à mesma potência. Então encontrar a derivada da raiz se resume a aplicar a fórmula para encontrar a derivada da potência da fração correspondente.

Derivada de uma variável sob raiz quadrada

Explicação:
(√x)" = (x 1/2)"

A raiz quadrada é exatamente a mesma operação que elevar à potência de 1/2,Isso significa que para encontrar a derivada de uma raiz, você pode aplicar a fórmula da regra para encontrar a derivada de uma variável em um grau arbitrário:

(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

Derivada da raiz cúbica (derivada da terceira raiz)

Vamos imaginar a raiz cúbica como uma potência de 1/3 e encontrar a derivada usando as regras gerais de diferenciação. A breve fórmula pode ser vista na imagem acima, e abaixo está uma explicação de por que isso acontece.

A potência -2/3 é obtida subtraindo um de 1/3

Derivação da fórmula para a derivada de uma função de potência (x elevado à potência de a). São consideradas derivadas de raízes de x. Fórmula para a derivada de uma função de potência de ordem superior. Exemplos de cálculo de derivadas.

Veja também: Função de potência e raízes, fórmulas e gráfico
Gráficos de funções de potência

Fórmulas básicas

A derivada de x elevado a a é igual a a vezes x elevado a a menos um:
(1) .

A derivada da enésima raiz de x elevada à mésima potência é:
(2) .

Derivação da fórmula para a derivada de uma função de potência

Caso x > 0

Considere uma função potência da variável x com expoente a:
(3) .
Aqui a é um número real arbitrário. Vamos primeiro considerar o caso.

Para encontrar a derivada da função (3), usamos as propriedades de uma função potência e a transformamos na seguinte forma:
.

Agora encontramos a derivada usando:
;
.
Aqui .

A fórmula (1) foi comprovada.

Derivação da fórmula para a derivada de uma raiz de grau n de x ao grau de m

Agora considere uma função que é a raiz da seguinte forma:
(4) .

Para encontrar a derivada, transformamos a raiz em uma função potência:
.
Comparando com a fórmula (3) vemos que
.
Então
.

Usando a fórmula (1) encontramos a derivada:
(1) ;
;
(2) .

Na prática, não há necessidade de memorizar a fórmula (2). É muito mais conveniente primeiro transformar as raízes em funções de potência e depois encontrar suas derivadas usando a fórmula (1) (veja exemplos no final da página).

Caso x = 0

Se , então a função potência é definida para o valor da variável x = 0 . Vamos encontrar a derivada da função (3) em x = 0 . Para fazer isso, usamos a definição de derivada:
.

Vamos substituir x = 0 :
.
Neste caso, por derivada entendemos o limite à direita para o qual .

Então encontramos:
.
A partir disso, fica claro que para,.
No , .
No , .
Este resultado também é obtido a partir da fórmula (1):
(1) .
Portanto, a fórmula (1) também é válida para x = 0 .

Caso x< 0

Considere a função (3) novamente:
(3) .
Para certos valores da constante a, também é definido para valores negativos da variável x. Ou seja, seja a um número racional. Então pode ser representado como uma fração irredutível:
,
onde m e n são inteiros que não possuem um divisor comum.

Se n for ímpar, então a função potência também é definida para valores negativos da variável x. Por exemplo, quando n = 3 e m = 1 temos a raiz cúbica de x:
.
Também é definido para valores negativos da variável x.

Vamos encontrar a derivada da função potência (3) para e para os valores racionais da constante a para a qual ela está definida. Para fazer isso, vamos representar x na seguinte forma:
.
Então ,
.
Encontramos a derivada colocando a constante fora do sinal da derivada e aplicando a regra para diferenciar uma função complexa:

.
Aqui . Mas
.
Desde então
.
Então
.
Ou seja, a fórmula (1) também é válida para:
(1) .

Derivadas de ordem superior

Agora vamos encontrar derivadas de ordem superior da função potência
(3) .
Já encontramos a derivada de primeira ordem:
.

Tomando a constante a fora do sinal da derivada, encontramos a derivada de segunda ordem:
.
Da mesma forma, encontramos derivadas de terceira e quarta ordens:
;

.

A partir disso fica claro que derivada de enésima ordem arbitrária tem o seguinte formato:
.

notar que se a é um número natural, então a enésima derivada é constante:
.
Então todas as derivadas subsequentes são iguais a zero:
,
no .

Exemplos de cálculo de derivadas

Exemplo

Encontre a derivada da função:
.

Vamos converter raízes em potências:
;
.
Então a função original assume a forma:
.

Encontrando derivadas de potências:
;
.
A derivada da constante é zero:
.

A operação de encontrar a derivada é chamada de diferenciação.

Como resultado da resolução de problemas para encontrar derivadas das funções mais simples (e não muito simples), definindo a derivada como o limite da razão entre o incremento e o incremento do argumento, surgiu uma tabela de derivadas e regras de diferenciação definidas com precisão. . Os primeiros a trabalhar na área de determinação de derivadas foram Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Portanto, em nosso tempo, para encontrar a derivada de qualquer função, não é necessário calcular o limite acima mencionado da razão entre o incremento da função e o incremento do argumento, mas você só precisa usar a tabela de derivadas e as regras de diferenciação. O algoritmo a seguir é adequado para encontrar a derivada.

Para encontrar a derivada, você precisa de uma expressão sob o sinal principal dividir funções simples em componentes e determinar quais ações (produto, soma, quociente) essas funções estão relacionadas. A seguir, encontramos as derivadas das funções elementares na tabela de derivadas, e as fórmulas para as derivadas do produto, soma e quociente - nas regras de diferenciação. A tabela de derivadas e as regras de diferenciação são fornecidas após os dois primeiros exemplos.

Exemplo 1. Encontre a derivada de uma função

Solução. A partir das regras de diferenciação descobrimos que a derivada de uma soma de funções é a soma das derivadas de funções, ou seja,

Na tabela de derivadas descobrimos que a derivada de “x” é igual a um, e a derivada do seno é igual ao cosseno. Substituímos esses valores na soma das derivadas e encontramos a derivada exigida pela condição do problema:

Exemplo 2. Encontre a derivada de uma função

Solução. Diferenciamos como derivada de uma soma em que o segundo termo tem um fator constante; pode ser retirado do sinal da derivada:

Se ainda surgirem dúvidas sobre a origem de algo, elas geralmente serão esclarecidas depois de se familiarizar com a tabela de derivadas e as regras mais simples de diferenciação. Estamos passando para eles agora.

Tabela de derivadas de funções simples

1. Derivada de uma constante (número). Qualquer número (1, 2, 5, 200...) que esteja na expressão da função. Sempre igual a zero. É muito importante lembrar disso, pois muitas vezes é necessário
2. Derivada da variável independente. Na maioria das vezes "X". Sempre igual a um. Isso também é importante lembrar por muito tempo
3. Derivada de grau. Ao resolver problemas, você precisa converter raízes não quadradas em potências.
4. Derivada de uma variável elevada à potência -1
5. Derivada da raiz quadrada
6. Derivada do seno
7. Derivada do cosseno
8. Derivada da tangente
9. Derivada da cotangente
10. Derivada do arco seno
11. Derivada do arco cosseno
12. Derivada do arco tangente
13. Derivada do arco cotangente
14. Derivada do logaritmo natural
15. Derivada de uma função logarítmica
16. Derivada do expoente
17. Derivada de uma função exponencial

Regras de diferenciação

1. Derivada de uma soma ou diferença
2. Derivada do produto
2a. Derivada de uma expressão multiplicada por um fator constante
3. Derivada do quociente
4. Derivada de uma função complexa

Regra 1.Se as funções

são diferenciáveis ​​em algum ponto, então as funções são diferenciáveis ​​no mesmo ponto

e

aqueles. a derivada de uma soma algébrica de funções é igual à soma algébrica das derivadas dessas funções.

Consequência. Se duas funções diferenciáveis ​​diferem por um termo constante, então suas derivadas são iguais, ou seja

Regra 2.Se as funções

são diferenciáveis ​​em algum ponto, então seu produto é diferenciável no mesmo ponto

e

aqueles. A derivada do produto de duas funções é igual à soma dos produtos de cada uma dessas funções e a derivada da outra.

Corolário 1. O fator constante pode ser retirado do sinal da derivada:

Corolário 2. A derivada do produto de várias funções diferenciáveis ​​é igual à soma dos produtos da derivada de cada fator e de todos os outros.

Por exemplo, para três multiplicadores:

Regra 3.Se as funções

diferenciável em algum ponto E , então neste ponto seu quociente também é diferenciávelvocê/v e

aqueles. a derivada do quociente de duas funções é igual a uma fração, cujo numerador é a diferença entre os produtos do denominador e a derivada do numerador e o numerador e a derivada do denominador, e o denominador é o quadrado de o antigo numerador.

Onde procurar coisas em outras páginas

Ao encontrar a derivada de um produto e um quociente em problemas reais, é sempre necessário aplicar várias regras de diferenciação ao mesmo tempo, por isso há mais exemplos sobre essas derivadas no artigo"Derivada do produto e quociente de funções".

Comente. Você não deve confundir uma constante (isto é, um número) como um termo em uma soma e como um fator constante! No caso de um termo, sua derivada é igual a zero e, no caso de um fator constante, é retirada do sinal das derivadas. Este é um erro típico que ocorre na fase inicial do estudo das derivadas, mas à medida que o aluno médio resolve vários exemplos de uma e duas partes, ele não comete mais esse erro.

E se, ao diferenciar um produto ou quociente, você tiver um termo você"v, no qual você- um número, por exemplo, 2 ou 5, ou seja, uma constante, então a derivada desse número será igual a zero e, portanto, todo o termo será igual a zero (este caso é discutido no exemplo 10).

Outro erro comum é resolver mecanicamente a derivada de uma função complexa como a derivada de uma função simples. É por isso derivada de uma função complexa um artigo separado é dedicado. Mas primeiro aprenderemos a determinar derivadas de funções simples.

Ao longo do caminho, você não pode prescindir da transformação de expressões. Para fazer isso, pode ser necessário abrir o manual em novas janelas. Ações com poderes e raízes E Operações com frações .

Se você está procurando soluções para derivadas de frações com potências e raízes, ou seja, quando a função se parece com , depois siga a lição “Derivada de somas de frações com potências e raízes”.

Se você tem uma tarefa como , então você fará a lição “Derivadas de funções trigonométricas simples”.

Exemplos passo a passo - como encontrar a derivada

Exemplo 3. Encontre a derivada de uma função

Solução. Definimos as partes da expressão da função: toda a expressão representa um produto, e seus fatores são somas, na segunda das quais um dos termos contém um fator constante. Aplicamos a regra de diferenciação do produto: a derivada do produto de duas funções é igual à soma dos produtos de cada uma dessas funções pela derivada da outra:

A seguir, aplicamos a regra de diferenciação da soma: a derivada da soma algébrica das funções é igual à soma algébrica das derivadas dessas funções. No nosso caso, em cada soma o segundo termo possui um sinal negativo. Em cada soma vemos tanto uma variável independente, cuja derivada é igual a um, quanto uma constante (número), cuja derivada é igual a zero. Então, “X” se transforma em um e menos 5 se transforma em zero. Na segunda expressão, “x” é multiplicado por 2, então multiplicamos dois pela mesma unidade que a derivada de “x”. Obtemos os seguintes valores derivados:

Substituímos as derivadas encontradas na soma dos produtos e obtemos a derivada de toda a função exigida pela condição do problema:

E você pode verificar a solução para o problema da derivada em.

Exemplo 4. Encontre a derivada de uma função

Solução. Somos obrigados a encontrar a derivada do quociente. Aplicamos a fórmula para diferenciar o quociente: a derivada do quociente de duas funções é igual a uma fração, cujo numerador é a diferença entre os produtos do denominador e a derivada do numerador e o numerador e a derivada do denominador, e o denominador é o quadrado do antigo numerador. Nós temos:

Já encontramos a derivada dos fatores no numerador no exemplo 2. Não esqueçamos também que o produto, que é o segundo fator no numerador no exemplo atual, é considerado com sinal de menos:

Se você está procurando soluções para problemas em que precisa encontrar a derivada de uma função, onde existe uma pilha contínua de raízes e potências, como, por exemplo, , então seja bem-vindo à aula "Derivada de somas de frações com potências e raízes" .

Se você precisar aprender mais sobre derivadas de senos, cossenos, tangentes e outras funções trigonométricas, ou seja, quando a função se parece com , então uma lição para você "Derivadas de funções trigonométricas simples" .

Exemplo 5. Encontre a derivada de uma função

Solução. Nesta função vemos um produto, um dos fatores do qual é a raiz quadrada da variável independente, cuja derivada conhecemos na tabela de derivadas. Usando a regra de diferenciação do produto e o valor tabular da derivada da raiz quadrada, obtemos:

Você pode verificar a solução para o problema da derivada em calculadora de derivativos on-line .

Exemplo 6. Encontre a derivada de uma função

Solução. Nesta função vemos um quociente cujo dividendo é a raiz quadrada da variável independente. Utilizando a regra de diferenciação de quocientes, que repetimos e aplicamos no exemplo 4, e o valor tabulado da derivada da raiz quadrada, obtemos:

Para eliminar uma fração no numerador, multiplique o numerador e o denominador por .

Funções de tipo complexo nem sempre se enquadram na definição de função complexa. Se existe uma função da forma y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, então ela não pode ser considerada complexa, ao contrário de y = sin 2 x.

Este artigo mostrará o conceito de função complexa e sua identificação. Vamos trabalhar com fórmulas para encontrar a derivada com exemplos de soluções na conclusão. O uso da tabela de derivadas e das regras de diferenciação reduz significativamente o tempo para encontrar a derivada.

Definições básicas

Uma função complexa é aquela cujo argumento também é uma função.

É denotado desta forma: f (g (x)). Temos que a função g(x) é considerada um argumento f(g(x)).

Definição 2

Se existe uma função f e é uma função cotangente, então g(x) = ln x é a função logaritmo natural. Descobrimos que a função complexa f (g (x)) será escrita como arctg(lnx). Ou uma função f, que é uma função elevada à 4ª potência, onde g (x) = x 2 + 2 x - 3 é considerada uma função racional inteira, obtemos que f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Obviamente g(x) pode ser complexo. Do exemplo y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 fica claro que o valor de g tem a raiz cúbica da fração. Esta expressão pode ser denotada como y = f (f 1 (f 2 (x))). De onde temos que f é uma função seno, e f 1 é uma função localizada sob a raiz quadrada, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 é uma função racional fracionária.

Definição 3

O grau de aninhamento é determinado por qualquer número natural e é escrito como y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))))) .

Definição 4

O conceito de composição de funções refere-se ao número de funções aninhadas de acordo com as condições do problema. Para resolver, use a fórmula para encontrar a derivada de uma função complexa da forma

(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)

Exemplos

Encontre a derivada de uma função complexa da forma y = (2 x + 1) 2.

Solução

A condição mostra que f é uma função quadrada e g(x) = 2 x + 1 é considerada uma função linear.

Vamos aplicar a fórmula derivada para uma função complexa e escrever:

f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

É necessário encontrar a derivada com uma forma original simplificada da função. Nós temos:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

A partir daqui temos isso

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

Os resultados foram os mesmos.

Ao resolver problemas deste tipo, é importante entender onde estará localizada a função da forma f e g (x).

Exemplo 2

Você deve encontrar as derivadas de funções complexas da forma y = sin 2 x e y = sin x 2.

Solução

A primeira notação de função diz que f é a função quadratura e g(x) é a função seno. Então nós entendemos isso

y "= (sen 2 x)" = 2 sen 2 - 1 x (sen x) "= 2 sen x cos x

A segunda entrada mostra que f é uma função seno e g(x) = x 2 denota uma função de potência. Segue-se que escrevemos o produto de uma função complexa como

y " = (sen x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

A fórmula para a derivada y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))))) será escrita como y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (. . . ( f n (x))))) · f 1 " (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))) · · f 2 " (f 3 (. . . (f n (x) )) )) · . . . fn "(x)

Exemplo 3

Encontre a derivada da função y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)).

Solução

Este exemplo mostra a dificuldade de escrever e determinar a localização das funções. Então y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))))) denota onde f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) é a função seno, a função de aumentar a 3 graus, função com logaritmo e base e, arco tangente e função linear.

Da fórmula para definir uma função complexa, temos que

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4 (x)) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x)

Nós conseguimos o que precisamos encontrar

1. f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))))) como a derivada do seno de acordo com a tabela de derivadas, então f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 ( x)))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) como a derivada de uma função de potência, então f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
3. f 2 " (f 3 (f 4 (x))) como uma derivada logarítmica, então f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3 " (f 4 (x)) como a derivada do arco tangente, então f 3 " (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. Ao encontrar a derivada f 4 (x) = 2 x, remova 2 do sinal da derivada usando a fórmula da derivada de uma função de potência com um expoente igual a 1, então f 4 " (x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Combinamos os resultados intermediários e obtemos isso

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4 (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

A análise de tais funções lembra as bonecas aninhadas. As regras de diferenciação nem sempre podem ser aplicadas explicitamente usando uma tabela de derivadas. Muitas vezes você precisa usar uma fórmula para encontrar derivadas de funções complexas.

Existem algumas diferenças entre aparência complexa e funções complexas. Com uma capacidade clara de distinguir isso, encontrar derivadas será especialmente fácil.

Exemplo 4

É necessário considerar dar tal exemplo. Se houver uma função da forma y = t g 2 x + 3 t g x + 1, então ela pode ser considerada como uma função complexa da forma g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 . Obviamente, é necessário usar a fórmula para uma derivada complexa:

f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g " (x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3 ; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

Uma função da forma y = t g x 2 + 3 t g x + 1 não é considerada complexa, pois possui a soma de t g x 2, 3 t g x e ​​1. Porém, t g x 2 é considerada uma função complexa, então obtemos uma função de potência da forma g (x) = x 2 e f, que é uma função tangente. Para fazer isso, diferencie por quantidade. Nós entendemos isso

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 porque 2 x

Vamos prosseguir para encontrar a derivada de uma função complexa (t g x 2) ":

f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

Obtemos que y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Funções de tipo complexo podem ser incluídas em funções complexas, e as próprias funções complexas podem ser componentes de funções de tipo complexo.

Exemplo 5

Por exemplo, considere uma função complexa da forma y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Esta função pode ser representada como y = f (g (x)), onde o valor de f é uma função do logaritmo de base 3, e g (x) é considerado a soma de duas funções da forma h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 e k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . Obviamente, y = f (h (x) + k (x)).

Considere a função h(x). Esta é a razão l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 para m (x) = e x 2 + 3 3

Temos que l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) é a soma de duas funções n (x) = x 2 + 7 e p ​​( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , onde p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) é uma função complexa com coeficiente numérico 3, e p 1 é uma função cúbica, p 2 por uma função cosseno, p 3 (x) = 2 x + 1 por uma função linear.

Descobrimos que m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) é a soma de duas funções q (x) = e x 2 e r (x) = 3 3, onde q (x) = q 1 (q 2 (x)) é uma função complexa, q 1 é uma função com exponencial, q 2 (x) = x 2 é uma função de potência.

Isso mostra que h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Ao passar para uma expressão da forma k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x), fica claro que a função é apresentada na forma de um complexo s ( x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) com um número inteiro racional t (x) = x 2 + 1, onde s 1 é uma função quadratura e s 2 (x) = ln x é logarítmico com base e.

Segue-se que a expressão assumirá a forma k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x).

Então nós entendemos isso

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Com base nas estruturas da função, ficou claro como e quais fórmulas devem ser utilizadas para simplificar a expressão na sua diferenciação. Para se familiarizar com tais problemas e para o conceito de sua solução, é necessário ir ao ponto de diferenciar uma função, ou seja, encontrar sua derivada.

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