Encontre a expectativa matemática dos valores de uma variável aleatória. Média e Expectativa no EXCEL

Haverá também tarefas para uma solução independente, para as quais você poderá ver as respostas.

A expectativa matemática e a variância são as características numéricas mais comumente usadas de uma variável aleatória. Eles caracterizam as características mais importantes da distribuição: sua posição e grau de dispersão. A expectativa matemática é muitas vezes referida simplesmente como a média. variável aleatória. Dispersão de uma variável aleatória - uma característica de dispersão, dispersão de uma variável aleatória em torno de sua expectativa matemática.

Em muitos problemas da prática, uma descrição completa e exaustiva de uma variável aleatória - a lei da distribuição - não pode ser obtida ou não é necessária. Nesses casos, limitam-se a uma descrição aproximada de uma variável aleatória usando características numéricas.

Expectativa matemática de uma variável aleatória discreta

Vamos ao conceito de expectativa matemática. Seja a massa de alguma substância distribuída entre os pontos do eixo x x1 , x 2 , ..., x n. Além disso, cada ponto material tem uma massa correspondente a ele com probabilidade de p1 , p 2 , ..., p n. É necessário escolher um ponto no eixo x, que caracteriza a posição de todo o sistema de pontos materiais, levando em consideração suas massas. É natural tomar o centro de massa do sistema de pontos materiais como tal ponto. Esta é a média ponderada da variável aleatória X, em que a abcissa de cada ponto xeu entra com um "peso" igual à probabilidade correspondente. O valor médio da variável aleatória assim obtida Xé chamada de esperança matemática.

A expectativa matemática de uma variável aleatória discreta é a soma dos produtos de todos os seus valores possíveis e as probabilidades desses valores:

Exemplo 1 Organizou uma loteria ganha-ganha. Existem 1000 ganhos, 400 dos quais são 10 rublos cada. 300 - 20 rublos cada 200 - 100 rublos cada. e 100 - 200 rublos cada. Qual é a média de ganhos para uma pessoa que compra um bilhete?

Solução. Encontraremos o ganho médio se o valor total dos ganhos, que é igual a 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50.000 rublos, for dividido por 1000 (o valor total dos ganhos). Então obtemos 50000/1000 = 50 rublos. Mas a expressão para calcular o ganho médio também pode ser representada da seguinte forma:

Por outro lado, nessas condições, a quantidade de ganhos é uma variável aleatória que pode assumir os valores de 10, 20, 100 e 200 rublos. com probabilidades iguais a 0,4, respectivamente; 0,3; 0,2; 0,1. Portanto, o payoff médio esperado é igual à soma dos produtos do tamanho dos payoffs e a probabilidade de recebê-los.

Exemplo 2 A editora decidiu publicar um novo livro. Ele vai vender o livro por 280 rublos, dos quais 200 serão entregues a ele, 50 à livraria e 30 ao autor. A tabela fornece informações sobre o custo de publicação de um livro e a probabilidade de venda de um determinado número de exemplares do livro.

Encontre o lucro esperado do editor.

Solução. A variável aleatória "lucro" é igual à diferença entre a receita da venda e o custo dos custos. Por exemplo, se 500 cópias de um livro forem vendidas, a receita da venda será de 200 * 500 = 100.000 e o custo de publicação será de 225.000 rublos. Assim, a editora enfrenta uma perda de 125.000 rublos. A tabela a seguir resume os valores esperados da variável aleatória - lucro:

Assim, obtemos a expectativa matemática do lucro da editora:

.

Exemplo 3 Chance de acertar com um tiro p= 0,2. Determine o consumo de projéteis que fornecem a expectativa matemática do número de acertos igual a 5.

Solução. Da mesma fórmula de expectativa que usamos até agora, expressamos x- consumo de conchas:

.

Exemplo 4 Determine a expectativa matemática de uma variável aleatória x número de acertos com três tiros, se a probabilidade de acertar com cada tiro p = 0,4 .

Dica: encontre a probabilidade dos valores de uma variável aleatória por Fórmula de Bernoulli .

Propriedades da expectativa

Considere as propriedades da esperança matemática.

Propriedade 1. A expectativa matemática de um valor constante é igual a esta constante:

Propriedade 2. O fator constante pode ser retirado do sinal de expectativa:

Propriedade 3. A expectativa matemática da soma (diferença) de variáveis ​​aleatórias é igual à soma (diferença) de suas expectativas matemáticas:

Propriedade 4. A expectativa matemática do produto de variáveis ​​aleatórias é igual ao produto de suas expectativas matemáticas:

Propriedade 5. Se todos os valores da variável aleatória X diminuir (aumentar) pelo mesmo número A PARTIR DE, então sua expectativa matemática diminuirá (aumentará) pelo mesmo número:

Quando você não pode se limitar apenas à expectativa matemática

Na maioria dos casos, apenas a expectativa matemática não pode caracterizar adequadamente uma variável aleatória.

Deixe variáveis ​​aleatórias X e S são dadas pelas seguintes leis de distribuição:

As expectativas matemáticas dessas quantidades são as mesmas - iguais a zero:

No entanto, sua distribuição é diferente. Valor aleatório X só pode assumir valores que são um pouco diferentes da expectativa matemática, e a variável aleatória S pode assumir valores que se desviam significativamente da expectativa matemática. Um exemplo semelhante: o salário médio não permite julgar a proporção de trabalhadores com altos e baixos salários. Em outras palavras, pela expectativa matemática não se pode julgar quais desvios dela, pelo menos em média, são possíveis. Para fazer isso, você precisa encontrar a variância de uma variável aleatória.

Dispersão de uma variável aleatória discreta

dispersão variável aleatória discreta Xé chamado a esperança matemática do quadrado de seu desvio da esperança matemática:

O desvio padrão de uma variável aleatória Xé o valor aritmético da raiz quadrada de sua variância:

.

Exemplo 5 Calcular variâncias e desvios padrão de variáveis ​​aleatórias X e S, cujas leis de distribuição são dadas nas tabelas acima.

Solução. Expectativas matemáticas de variáveis ​​aleatórias X e S, como encontrado acima, são iguais a zero. De acordo com a fórmula de dispersão para E(X)=E(y)=0 obtemos:

Então os desvios padrão das variáveis ​​aleatórias X e S constituir

.

Assim, com as mesmas expectativas matemáticas, a variância da variável aleatória X muito pequeno e aleatório S- significativo. Esta é uma consequência da diferença na sua distribuição.

Exemplo 6 O investidor tem 4 projetos alternativos de investimento. A tabela resume os dados sobre o lucro esperado nesses projetos com a probabilidade correspondente.

Encontre para cada alternativa a expectativa matemática, variância e desvio padrão.

Solução. Vamos mostrar como essas quantidades são calculadas para a 3ª alternativa:

A tabela resume os valores encontrados para todas as alternativas.

Todas as alternativas têm a mesma expectativa matemática. Isso significa que, a longo prazo, todos têm a mesma renda. O desvio padrão pode ser interpretado como uma medida de risco - quanto maior, maior o risco do investimento. Um investidor que não quer muito risco escolherá o projeto 1 porque tem o menor desvio padrão (0). Se o investidor preferir risco e altos retornos em um curto período, ele escolherá o projeto com o maior desvio padrão - projeto 4.

Propriedades de dispersão

Vamos apresentar as propriedades da dispersão.

Propriedade 1. A dispersão de um valor constante é zero:

Propriedade 2. O fator constante pode ser retirado do sinal de dispersão elevando-o ao quadrado:

.

Propriedade 3. A variância de uma variável aleatória é igual à expectativa matemática do quadrado desse valor, do qual é subtraído o quadrado da expectativa matemática do próprio valor:

,

Onde .

Propriedade 4. A variância da soma (diferença) de variáveis ​​aleatórias é igual à soma (diferença) de suas variâncias:

Exemplo 7 Sabe-se que uma variável aleatória discreta X assume apenas dois valores: −3 e 7. Além disso, a expectativa matemática é conhecida: E(X) = 4 . Encontre a variância de uma variável aleatória discreta.

Solução. Denotado por p a probabilidade com que uma variável aleatória assume um valor x1 = −3 . Então a probabilidade do valor x2 = 7 será 1 - p. Vamos derivar a equação para a esperança matemática:

E(X) = x 1 p + x 2 (1 − p) = −3p + 7(1 − p) = 4 ,

onde obtemos as probabilidades: p= 0,3 e 1 − p = 0,7 .

A lei da distribuição de uma variável aleatória:

Calculamos a variância dessa variável aleatória usando a fórmula da propriedade 3 da variância:

D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

Encontre você mesmo a expectativa matemática de uma variável aleatória e, em seguida, veja a solução

Exemplo 8 Variável aleatória discreta X assume apenas dois valores. Leva o maior valor de 3 com uma probabilidade de 0,4. Além disso, a variância da variável aleatória é conhecida D(X) = 6 . Encontre a esperança matemática de uma variável aleatória.

Exemplo 9 Uma urna contém 6 bolas brancas e 4 pretas. 3 bolas são retiradas da urna. O número de bolas brancas entre as bolas sorteadas é uma variável aleatória discreta X. Encontre a expectativa matemática e a variância dessa variável aleatória.

Solução. Valor aleatório X pode assumir os valores 0, 1, 2, 3. As probabilidades correspondentes podem ser calculadas a partir regra de multiplicação de probabilidades. A lei da distribuição de uma variável aleatória:

Daí a expectativa matemática desta variável aleatória:

M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

A variância de uma determinada variável aleatória é:

D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

Expectativa matemática e dispersão de uma variável aleatória contínua

Para uma variável aleatória contínua, a interpretação mecânica da expectativa matemática manterá o mesmo significado: o centro de massa para uma unidade de massa distribuída continuamente no eixo x com densidade f(x). Em contraste com uma variável aleatória discreta, para a qual o argumento da função xeu muda abruptamente, para uma variável aleatória contínua, o argumento muda continuamente. Mas a expectativa matemática de uma variável aleatória contínua também está relacionada ao seu valor médio.

Para encontrar a esperança matemática e a variância de uma variável aleatória contínua, você precisa encontrar integrais definidas . Se uma função densidade de uma variável aleatória contínua é fornecida, ela entra diretamente no integrando. Se uma função de distribuição de probabilidade é fornecida, então, diferenciando-a, você precisa encontrar a função de densidade.

A média aritmética de todos os valores possíveis de uma variável aleatória contínua é chamada de expectativa matemática, denotado por ou .

A expectativa matemática é a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória

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A expectativa matemática é, a definição

Um dos conceitos mais importantes em estatística matemática e teoria das probabilidades, caracterizando a distribuição de valores ou probabilidades de uma variável aleatória. Geralmente expresso como uma média ponderada de todos os parâmetros possíveis de uma variável aleatória. É amplamente utilizado na análise técnica, no estudo de séries numéricas, no estudo de processos contínuos e de longo prazo. É importante na avaliação de riscos, prevendo indicadores de preços ao negociar nos mercados financeiros e é usado no desenvolvimento de estratégias e métodos de táticas de jogo na teoria do jogo.

A esperança matemática é o valor médio de uma variável aleatória, a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória é considerada na teoria da probabilidade.

A esperança matemática é medida do valor médio de uma variável aleatória na teoria da probabilidade. Expectativa matemática de uma variável aleatória x denotado M(x).

A esperança matemática é

A esperança matemática é na teoria da probabilidade, a média ponderada de todos os valores possíveis que essa variável aleatória pode assumir.

A esperança matemática é a soma dos produtos de todos os valores possíveis de uma variável aleatória pelas probabilidades desses valores.

A esperança matemática é o benefício médio de uma determinada decisão, desde que tal decisão possa ser considerada no quadro da teoria dos grandes números e da longa distância.

A esperança matemática é na teoria do jogo, a quantidade de ganhos que um jogador pode ganhar ou perder, em média, para cada aposta. Na linguagem dos jogadores, isso às vezes é chamado de "vantagem do jogador" (se positivo para o jogador) ou "vantagem da casa" (se negativo para o jogador).

A esperança matemática é Porcentagem de lucro por vitória multiplicada pelo lucro médio menos a probabilidade de perda multiplicada pela perda média.

Expectativa matemática de uma variável aleatória na teoria matemática

Uma das características numéricas importantes de uma variável aleatória é a expectativa matemática. Vamos introduzir o conceito de um sistema de variáveis ​​aleatórias. Considere um conjunto de variáveis ​​aleatórias que são os resultados do mesmo experimento aleatório. Se é um dos valores possíveis do sistema, então o evento corresponde a uma certa probabilidade que satisfaz os axiomas de Kolmogorov. Uma função definida para quaisquer valores possíveis de variáveis ​​aleatórias é chamada de lei de distribuição conjunta. Esta função permite calcular as probabilidades de quaisquer eventos de. Em particular, a lei conjunta de distribuição de variáveis ​​aleatórias e, que tiram valores do conjunto e, é dada por probabilidades.

O termo "expectativa" foi introduzido por Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) e originou-se do conceito de "valor esperado do pagamento", que apareceu pela primeira vez no século XVII na teoria do jogo nas obras de Blaise Pascal e Christian Huygens . No entanto, a primeira compreensão e avaliação teórica completa desse conceito foi dada por Pafnuty Lvovich Chebyshev (meados do século XIX).

A lei de distribuição de variáveis ​​numéricas aleatórias (a função de distribuição e a série de distribuição ou densidade de probabilidade) descrevem completamente o comportamento de uma variável aleatória. Mas em vários problemas é suficiente conhecer algumas características numéricas da grandeza em estudo (por exemplo, seu valor médio e possível desvio dele) para responder à questão colocada. As principais características numéricas das variáveis ​​aleatórias são a expectativa matemática, variância, moda e mediana.

A expectativa matemática de uma variável aleatória discreta é a soma dos produtos de seus valores possíveis e suas probabilidades correspondentes. Às vezes, a expectativa matemática é chamada de média ponderada, pois é aproximadamente igual à média aritmética dos valores observados de uma variável aleatória em um grande número de experimentos. Da definição de esperança matemática, segue-se que seu valor não é menor que o menor valor possível de uma variável aleatória e não maior que o maior. A expectativa matemática de uma variável aleatória é uma variável não aleatória (constante).

A expectativa matemática tem um significado físico simples: se uma unidade de massa é colocada em uma linha reta, colocando alguma massa em alguns pontos (para uma distribuição discreta), ou “manchando” com uma certa densidade (para uma distribuição absolutamente contínua), então o ponto correspondente à expectativa matemática será a coordenada “centro de gravidade” reta.

O valor médio de uma variável aleatória é um certo número, que é, por assim dizer, seu “representante” e o substitui em cálculos aproximados. Quando dizemos: “o tempo médio de operação da lâmpada é de 100 horas” ou “o ponto médio de impacto é deslocado em relação ao alvo em 2 m para a direita”, indicamos com isso uma certa característica numérica de uma variável aleatória que descreve sua localização no eixo numérico, ou seja, descrição da posição.

Das características de uma posição na teoria da probabilidade, o papel mais importante é desempenhado pela expectativa matemática de uma variável aleatória, que às vezes é chamada simplesmente de valor médio de uma variável aleatória.

Considere uma variável aleatória X, que tem valores possíveis x1, x2, …, xn com probabilidades p1, p2, …, pn. Precisamos caracterizar por algum número a posição dos valores da variável aleatória no eixo x, levando em consideração o fato de que esses valores têm probabilidades diferentes. Para tanto, é natural utilizar a chamada "média ponderada" dos valores XI, e cada valor xi durante a média deve ser levado em consideração com um “peso” proporcional à probabilidade desse valor. Assim, vamos calcular a média da variável aleatória X, que denotaremos M|X|:

Essa média ponderada é chamada de expectativa matemática da variável aleatória. Assim, introduzimos em consideração um dos conceitos mais importantes da teoria das probabilidades - o conceito de expectativa matemática. A expectativa matemática de uma variável aleatória é a soma dos produtos de todos os valores possíveis de uma variável aleatória e as probabilidades desses valores.

Que seja produzido N experimentos independentes, em cada um dos quais o valor X assume um determinado valor. Suponha o valor x1 apareceu m1 vezes, valor x2 apareceu m2 vezes, significado geral XI apareceu mi vezes. Vamos calcular a média aritmética dos valores observados de X, que, em contraste com a expectativa matemática M|X| nós denotaremos M*|X|:

Com o aumento do número de experimentos N frequências pi aproximará (convergirá em probabilidade) as probabilidades correspondentes. Portanto, a média aritmética dos valores observados da variável aleatória M|X| com um aumento no número de experimentos, ele se aproximará (convergirá em probabilidade) de sua expectativa matemática. A conexão entre a média aritmética e a esperança matemática formulada acima constitui o conteúdo de uma das formas da lei dos grandes números.

Já sabemos que todas as formas da lei dos grandes números afirmam o fato de que certas médias são estáveis ​​em um grande número de experimentos. Aqui estamos falando sobre a estabilidade da média aritmética de uma série de observações do mesmo valor. Com um pequeno número de experimentos, a média aritmética de seus resultados é aleatória; com um aumento suficiente no número de experimentos, torna-se "quase não aleatório" e, estabilizando, aproxima-se de um valor constante - a expectativa matemática.

A propriedade de estabilidade das médias para um grande número de experimentos é fácil de verificar experimentalmente. Por exemplo, pesando qualquer corpo no laboratório em balanças precisas, como resultado da pesagem, obtemos um novo valor a cada vez; para reduzir o erro de observação, pesamos o corpo várias vezes e usamos a média aritmética dos valores obtidos. É fácil ver que com um novo aumento no número de experimentos (pesagens), a média aritmética reage cada vez menos a esse aumento, e com um número suficientemente grande de experimentos ela praticamente deixa de mudar.

Deve-se notar que a característica mais importante da posição de uma variável aleatória - a expectativa matemática - não existe para todas as variáveis ​​aleatórias. É possível fazer exemplos de tais variáveis ​​aleatórias para as quais a expectativa matemática não existe, uma vez que a soma ou integral correspondente diverge. No entanto, para a prática, tais casos não são de interesse significativo. Normalmente, as variáveis ​​aleatórias com as quais estamos lidando têm uma faixa limitada de valores possíveis e, claro, têm uma expectativa.

Além das características mais importantes da posição de uma variável aleatória - a expectativa matemática, outras características de posição são às vezes usadas na prática, em particular, a moda e a mediana da variável aleatória.

A moda de uma variável aleatória é seu valor mais provável. O termo "valor mais provável", estritamente falando, aplica-se apenas a quantidades descontínuas; para uma quantidade contínua, a moda é o valor no qual a densidade de probabilidade é máxima. As figuras mostram a moda para variáveis ​​aleatórias descontínuas e contínuas, respectivamente.

Se o polígono de distribuição (curva de distribuição) tiver mais de um máximo, a distribuição é dita "polimodal".

Às vezes existem distribuições que têm no meio não um máximo, mas um mínimo. Tais distribuições são chamadas de "antimodais".

No caso geral, a moda e a expectativa matemática de uma variável aleatória não coincidem. Em um caso particular, quando a distribuição é simétrica e modal (ou seja, tem uma moda) e há uma expectativa matemática, então ela coincide com a moda e o centro de simetria da distribuição.

Outra característica da posição é frequentemente usada - a chamada mediana de uma variável aleatória. Essa característica geralmente é usada apenas para variáveis ​​aleatórias contínuas, embora possa ser formalmente definida também para uma variável descontínua. Geometricamente, a mediana é a abcissa do ponto em que a área delimitada pela curva de distribuição é bissectada.

No caso de distribuição modal simétrica, a mediana coincide com a média e a moda.

A expectativa matemática é o valor médio de uma variável aleatória - uma característica numérica da distribuição de probabilidade de uma variável aleatória. De maneira mais geral, a expectativa matemática de uma variável aleatória X(w)é definida como a integral de Lebesgue em relação à medida de probabilidade R no espaço de probabilidade original:

A esperança matemática também pode ser calculada como a integral de Lebesgue de X por distribuição de probabilidade px quantidades X:

De forma natural, pode-se definir o conceito de variável aleatória com esperança matemática infinita. Um exemplo típico são os tempos de retorno em alguns passeios aleatórios.

Com a ajuda da expectativa matemática, muitas características numéricas e funcionais da distribuição são determinadas (como a expectativa matemática das funções correspondentes de uma variável aleatória), por exemplo, função geradora, função característica, momentos de qualquer ordem, em particular, dispersão , covariância.

A expectativa matemática é uma característica da localização dos valores de uma variável aleatória (o valor médio de sua distribuição). Nessa capacidade, a expectativa matemática serve como algum parâmetro de distribuição "típico" e seu papel é semelhante ao papel do momento estático - a coordenada do centro de gravidade da distribuição de massa - na mecânica. De outras características de localização, com a ajuda das quais a distribuição é descrita em termos gerais - medianas, modas, a expectativa matemática difere pelo maior valor que ela e a característica de espalhamento correspondente - dispersão - têm nos teoremas limite da teoria da probabilidade. Com a maior completude, o significado da expectativa matemática é revelado pela lei dos grandes números (desigualdade de Chebyshev) e pela lei reforçada dos grandes números.

Expectativa matemática de uma variável aleatória discreta

Seja alguma variável aleatória que possa assumir um dos vários valores numéricos (por exemplo, o número de pontos em uma jogada de dados pode ser 1, 2, 3, 4, 5 ou 6). Muitas vezes, na prática, para tal valor, surge a pergunta: qual valor leva "em média" com um grande número de testes? Qual será nosso retorno médio (ou prejuízo) de cada uma das operações de risco?

Digamos que haja algum tipo de loteria. Queremos entender se é lucrativo ou não participar (ou mesmo participar repetidamente, regularmente). Digamos que a cada quarto bilhete vencedor, o prêmio será de 300 rublos e o preço de qualquer bilhete será de 100 rublos. Com um número infinito de participações, é isso que acontece. Em três quartos dos casos, perderemos, cada três perdas custarão 300 rublos. Em cada quarto caso, ganharemos 200 rublos. (prêmio menos custo), ou seja, para quatro participações, perdemos uma média de 100 rublos, por um - uma média de 25 rublos. No total, a taxa média de nossa ruína será de 25 rublos por ingresso.

Jogamos um dado. Se não for trapaça (sem mudar o centro de gravidade, etc.), então quantos pontos teremos em média de cada vez? Como cada opção é igualmente provável, tomamos a média aritmética estúpida e obtemos 3,5. Como isso é MÉDIO, não há necessidade de se indignar porque nenhum lance específico dará 3,5 pontos - bem, esse cubo não tem uma face com esse número!

Agora vamos resumir nossos exemplos:

Vamos dar uma olhada na imagem logo acima. À esquerda está uma tabela da distribuição de uma variável aleatória. O valor de X pode assumir um dos n valores possíveis (dados na linha superior). Não pode haver outros valores. Sob cada valor possível, sua probabilidade é assinada abaixo. À direita está uma fórmula, onde M(X) é chamado de expectativa matemática. O significado desse valor é que com um grande número de tentativas (com uma amostra grande), o valor médio tenderá a essa expectativa muito matemática.

Vamos voltar ao mesmo cubo de jogo. A expectativa matemática do número de pontos em um arremesso é 3,5 (calcule-se usando a fórmula se você não acredita). Digamos que você jogou algumas vezes. caíram 4 e 6. Em média, saiu 5, ou seja, longe de 3,5. Eles jogaram novamente, 3 caíram, ou seja, em média (4 + 6 + 3) / 3 = 4,3333 ... Um pouco longe da expectativa matemática. Agora faça um experimento maluco - role o cubo 1000 vezes! E se a média não for exatamente 3,5, então será próximo disso.

Vamos calcular a expectativa matemática para a loteria descrita acima. A tabela ficará assim:

Então a esperança matemática será, como estabelecemos acima.:

Outra coisa é que também fica "nos dedos", sem fórmula, seria difícil se houvesse mais opções. Bem, digamos que houve 75% de ingressos perdidos, 20% de ingressos vencedores e 5% de ingressos vencedores.

Agora algumas propriedades da esperança matemática.

É fácil provar:

Um multiplicador constante pode ser retirado do sinal de expectativa, ou seja:

Este é um caso especial da propriedade de linearidade da esperança matemática.

Outra consequência da linearidade da esperança matemática:

ou seja, a expectativa matemática da soma das variáveis ​​aleatórias é igual à soma das expectativas matemáticas das variáveis ​​aleatórias.

Sejam X, Y variáveis ​​aleatórias independentes, então:

Isso também é fácil de provar) XY em si é uma variável aleatória, enquanto se os valores iniciais pudessem levar n e m valores, respectivamente, então XY pode assumir valores nm. A probabilidade de cada um dos valores é calculada com base no fato de que as probabilidades de eventos independentes são multiplicadas. Como resultado, obtemos isso:

Expectativa matemática de uma variável aleatória contínua

As variáveis ​​aleatórias contínuas têm uma característica como densidade de distribuição (densidade de probabilidade). De fato, caracteriza a situação em que uma variável aleatória recebe alguns valores do conjunto de números reais com mais frequência, alguns - com menos frequência. Por exemplo, considere este gráfico:

Aqui X- na verdade, uma variável aleatória, f(x)- densidade de distribuição. A julgar por este gráfico, durante os experimentos, o valor X muitas vezes será um número próximo de zero. chances de ultrapassar 3 ou ser menos -3 mais puramente teórico.

Seja, por exemplo, uma distribuição uniforme:

Isso é bastante consistente com a compreensão intuitiva. Digamos que se obtivermos muitos números reais aleatórios com uma distribuição uniforme, cada um dos segmentos |0; 1| , então a média aritmética deve ser cerca de 0,5.

As propriedades da expectativa matemática - linearidade, etc., aplicáveis ​​a variáveis ​​aleatórias discretas, também são aplicáveis ​​aqui.

A relação da expectativa matemática com outros indicadores estatísticos

Na análise estatística, juntamente com a expectativa matemática, existe um sistema de indicadores interdependentes que refletem a homogeneidade dos fenômenos e a estabilidade dos processos. Muitas vezes, os indicadores de variação não têm significado independente e são usados ​​para análises de dados adicionais. A exceção é o coeficiente de variação, que caracteriza a homogeneidade dos dados, que é uma característica estatística valiosa.

O grau de variabilidade ou estabilidade dos processos em ciência estatística pode ser medido usando vários indicadores.

O indicador mais importante que caracteriza a variabilidade de uma variável aleatória é Dispersão, que está mais próxima e diretamente relacionada à expectativa matemática. Este parâmetro é usado ativamente em outros tipos de análise estatística (teste de hipóteses, análise de relações de causa e efeito, etc.). Assim como o desvio linear médio, a variância também reflete a extensão em que os dados se espalham em torno da média.

É útil traduzir a linguagem dos sinais para a linguagem das palavras. Acontece que a variância é o quadrado médio dos desvios. Ou seja, o valor médio é calculado primeiro, depois a diferença entre cada valor original e médio é tirada, elevada ao quadrado, somada e depois dividida pelo número de valores nessa população. A diferença entre o valor individual e a média reflete a medida do desvio. Ele é elevado ao quadrado para garantir que todos os desvios se tornem exclusivamente números positivos e para evitar o cancelamento mútuo de desvios positivos e negativos quando somados. Então, dados os desvios quadrados, simplesmente calculamos a média aritmética. Média - quadrado - desvios. Os desvios são elevados ao quadrado e a média é considerada. A resposta para a palavra mágica "dispersão" são apenas três palavras.

No entanto, em sua forma pura, como, por exemplo, a média aritmética, ou índice, a dispersão não é utilizada. É antes um indicador auxiliar e intermediário que é usado para outros tipos de análise estatística. Ela nem sequer tem uma unidade de medida normal. A julgar pela fórmula, este é o quadrado da unidade de dados original.

Vamos medir uma variável aleatória N vezes, por exemplo, medimos a velocidade do vento dez vezes e queremos encontrar o valor médio. Como o valor médio está relacionado à função de distribuição?

Ou jogaremos os dados um grande número de vezes. O número de pontos que cairão no dado durante cada lançamento é uma variável aleatória e pode assumir quaisquer valores naturais de 1 a 6. N tende a um número muito específico - a expectativa matemática Mx. Neste caso, Mx = 3,5.

Como surgiu esse valor? Deixe entrar N ensaios n1 uma vez que 1 ponto é perdido, n2 vezes - 2 pontos e assim por diante. Então o número de resultados em que um ponto caiu:

Da mesma forma para os resultados quando 2, 3, 4, 5 e 6 pontos caíram.

Suponhamos agora que conhecemos a lei de distribuição da variável aleatória x, ou seja, sabemos que a variável aleatória x pode assumir os valores x1, x2, ..., xk com probabilidades p1, p2, ... , p.

A esperança matemática Mx de uma variável aleatória x é:

A expectativa matemática nem sempre é uma estimativa razoável de alguma variável aleatória. Assim, para estimar o salário médio, é mais razoável utilizar o conceito de mediana, ou seja, um valor tal que o número de pessoas que recebem menos do que o salário mediano e mais, sejam iguais.

A probabilidade p1 de que a variável aleatória x seja menor que x1/2 e a probabilidade p2 de que a variável aleatória x seja maior que x1/2 são iguais e iguais a 1/2. A mediana não é determinada exclusivamente para todas as distribuições.

Padrão ou Desvio Padrão em estatística, o grau de desvio de dados observacionais ou conjuntos do valor AVERAGE é chamado. Denotado pelas letras s ou s. Um pequeno desvio padrão indica que os dados estão agrupados em torno da média e um grande desvio padrão indica que os dados iniciais estão longe dela. O desvio padrão é igual à raiz quadrada de uma quantidade chamada variância. É a média da soma das diferenças quadradas dos dados iniciais desviando-se da média. O desvio padrão de uma variável aleatória é a raiz quadrada da variância:

Exemplo. Em condições de teste ao atirar em um alvo, calcule a variância e o desvio padrão de uma variável aleatória:

Variação- flutuação, variabilidade do valor do atributo em unidades da população. Valores numéricos separados de um recurso que ocorrem na população estudada são chamados de variantes de valores. A insuficiência do valor médio para uma caracterização completa da população torna necessário complementar os valores médios com indicadores que possibilitem avaliar a tipicidade dessas médias medindo a flutuação (variação) da característica em estudo. O coeficiente de variação é calculado pela fórmula:

Variação do intervalo(R) é a diferença entre os valores máximo e mínimo da característica na população estudada. Este indicador dá a ideia mais geral da flutuação do traço em estudo, pois mostra a diferença apenas entre os valores extremos das variantes. A dependência dos valores extremos do atributo confere ao intervalo de variação um caráter instável e aleatório.

Desvio linear médioé a média aritmética dos desvios absolutos (módulos) de todos os valores da população analisada em relação ao seu valor médio:

Expectativa matemática na teoria do jogo

A esperança matemática é a quantidade média de dinheiro que um jogador pode ganhar ou perder em uma determinada aposta. Este é um conceito muito significativo para um jogador, pois é fundamental para a avaliação da maioria das situações de jogo. A expectativa matemática também é a melhor ferramenta para analisar layouts básicos de cartas e situações de jogo.

Digamos que você esteja jogando uma moeda com um amigo, fazendo uma aposta igual de $ 1 a cada vez, não importa o que aconteça. Coroa - você ganha, cara - você perde. As chances de sair coroa são de uma para uma e você está apostando $ 1 a $ 1. Assim, sua expectativa matemática é zero, porque matematicamente falando, você não pode saber se vai ganhar ou perder depois de duas jogadas ou depois de 200.

Seu ganho por hora é zero. O pagamento por hora é a quantidade de dinheiro que você espera ganhar em uma hora. Você pode jogar uma moeda 500 vezes em uma hora, mas não ganhará nem perderá porque suas chances não são nem positivas nem negativas. Se você olhar, do ponto de vista de um jogador sério, esse sistema de apostas não é ruim. Mas é apenas uma perda de tempo.

Mas suponha que alguém queira apostar $ 2 contra seu $ 1 no mesmo jogo. Então você imediatamente tem uma expectativa positiva de 50 centavos de cada aposta. Por que 50 centavos? Em média, você ganha uma aposta e perde a segunda. Aposte o primeiro dólar e perca $1, aposte o segundo e ganhe $2. Você apostou $1 duas vezes e está à frente por $1. Assim, cada uma de suas apostas de um dólar lhe deu 50 centavos.

Se a moeda cair 500 vezes em uma hora, seu ganho por hora já será de $ 250, porque. em média, você perdeu $ 1.250 vezes e ganhou $ 2.250 vezes. $ 500 menos $ 250 é igual a $ 250, que é a vitória total. Observe que o valor esperado, que é o valor que você ganha em média em uma única aposta, é de 50 centavos. Você ganhou $250 apostando um dólar 500 vezes, o que equivale a 50 centavos de sua aposta.

A expectativa matemática não tem nada a ver com resultados de curto prazo. Seu oponente, que decidiu apostar $ 2 contra você, poderia vencê-lo nas primeiras dez jogadas consecutivas, mas você, com uma vantagem de aposta de 2 para 1, tudo o mais sendo igual, ganha 50 centavos em cada $ 1 apostado em qualquer circunstâncias. Não importa se você ganha ou perde uma aposta ou várias apostas, mas apenas com a condição de ter dinheiro suficiente para compensar facilmente os custos. Se você continuar apostando da mesma maneira, por um longo período de tempo, seus ganhos chegarão à soma dos valores esperados em jogadas individuais.

Toda vez que você fizer uma aposta melhor (uma aposta que pode ser lucrativa a longo prazo) quando as probabilidades estiverem a seu favor, você certamente ganhará algo com ela, perdendo ou não em uma determinada mão. Por outro lado, se você fez uma aposta com um resultado pior (uma aposta que não é lucrativa a longo prazo) quando as probabilidades não estão a seu favor, você perde algo, independentemente de ter ganho ou perdido nesta mão.

Você aposta com o melhor resultado se sua expectativa for positiva, e é positiva se as probabilidades estiverem a seu favor. Ao apostar com o pior resultado, você tem uma expectativa negativa, que acontece quando as probabilidades estão contra você. Jogadores sérios só apostam com o melhor resultado, com o pior - eles dão fold. O que significam as probabilidades a seu favor? Você pode acabar ganhando mais do que as probabilidades reais trazem. As chances reais de acertar coroa são de 1 para 1, mas você obtém 2 para 1 devido à proporção de apostas. Neste caso, as probabilidades estão a seu favor. Você definitivamente obtém o melhor resultado com uma expectativa positiva de 50 centavos por aposta.

Aqui está um exemplo mais complexo de expectativa matemática. O amigo anota os números de um a cinco e aposta $5 contra o seu $1 que você não vai escolher o número. Você concorda com essa aposta? Qual é a expectativa aqui?

Em média, você estará errado quatro vezes. Com base nisso, as chances de você adivinhar o número serão de 4 para 1. As chances são de que você perderá um dólar em uma tentativa. No entanto, você ganha 5 a 1, com a possibilidade de perder 4 a 1. Portanto, as probabilidades estão a seu favor, você pode apostar e esperar o melhor resultado. Se você fizer essa aposta cinco vezes, em média, você perderá quatro vezes $ 1 e ganhará $ 5 uma vez. Com base nisso, para todas as cinco tentativas, você ganhará $ 1 com uma expectativa matemática positiva de 20 centavos por aposta.

Um jogador que vai ganhar mais do que aposta, como no exemplo acima, está pegando as probabilidades. Por outro lado, ele arruína as chances quando espera ganhar menos do que aposta. O apostador pode ter uma expectativa positiva ou negativa, dependendo se ele está pegando ou arruinando as probabilidades.

Se você apostar $ 50 para ganhar $ 10 com uma chance de 4 para 1 de ganhar, você terá uma expectativa negativa de $ 2, porque em média, você ganhará quatro vezes $ 10 e perderá $ 50 uma vez, o que mostra que a perda por aposta será de $ 10. Mas se você apostar $ 30 para ganhar $ 10, com as mesmas chances de ganhar 4 para 1, nesse caso você tem uma expectativa positiva de $ 2, porque você novamente ganha quatro vezes $ 10 e perde $ 30 uma vez, para um lucro de $ 10. Esses exemplos mostram que a primeira aposta é ruim e a segunda é boa.

A expectativa matemática é o centro de qualquer situação de jogo. Quando uma casa de apostas incentiva os fãs de futebol a apostar $ 11 para ganhar $ 10, eles têm uma expectativa positiva de 50 centavos para cada $ 10. Se o cassino pagar o mesmo dinheiro da linha de passe de Craps, então a expectativa positiva da casa é de aproximadamente US$ 1,40 para cada US$ 100; este jogo está estruturado para que todos que apostarem nesta linha percam em média 50,7% e ganhem 49,3% das vezes. Sem dúvida, é essa expectativa positiva aparentemente mínima que traz enormes lucros para os proprietários de cassinos em todo o mundo. Como observou o proprietário do cassino Vegas World, Bob Stupak, “um milésimo de um por cento de probabilidade negativa em uma distância longa o suficiente levará à falência o homem mais rico do mundo”.

Expectativa matemática ao jogar poker

O jogo de Poker é o exemplo mais ilustrativo e ilustrativo em termos de uso da teoria e propriedades da expectativa matemática.

O Valor Esperado no Poker é o benefício médio de uma determinada decisão, desde que tal decisão possa ser considerada no quadro da teoria dos grandes números e da longa distância. O pôquer de sucesso é sempre aceitar movimentos com uma expectativa matemática positiva.

O significado matemático da expectativa matemática ao jogar poker está no fato de que muitas vezes encontramos variáveis ​​aleatórias ao tomar uma decisão (não sabemos quais cartas o oponente tem na mão, quais cartas virão nas rodadas de apostas subsequentes). Devemos considerar cada uma das soluções do ponto de vista da teoria dos grandes números, que diz que com uma amostra suficientemente grande, o valor médio de uma variável aleatória tenderá a sua expectativa matemática.

Entre as fórmulas específicas para calcular a expectativa matemática, a seguinte é mais aplicável no pôquer:

Ao jogar poker, a expectativa matemática pode ser calculada tanto para apostas quanto para chamadas. No primeiro caso, a fold equity deve ser levada em consideração, no segundo, as probabilidades do próprio pote. Ao avaliar a expectativa matemática de um movimento específico, deve-se lembrar que uma dobra sempre tem uma expectativa matemática zero. Assim, descartar cartas sempre será uma decisão mais lucrativa do que qualquer movimento negativo.

A expectativa diz o que você pode esperar (lucro ou prejuízo) para cada dólar que você arrisca. Os cassinos ganham dinheiro porque a expectativa matemática de todos os jogos que são praticados neles é a favor do cassino. Com uma série de jogos suficientemente longa, pode-se esperar que o cliente perca seu dinheiro, já que a “probabilidade” é a favor do cassino. No entanto, os jogadores profissionais de casino limitam os seus jogos a curtos períodos de tempo, aumentando assim as probabilidades a seu favor. O mesmo vale para investir. Se sua expectativa for positiva, você poderá ganhar mais dinheiro fazendo muitos negócios em um curto período de tempo. A expectativa é sua porcentagem de lucro por vitória vezes seu lucro médio menos sua probabilidade de perda vezes sua perda média.

O pôquer também pode ser considerado em termos de expectativa matemática. Você pode assumir que um determinado movimento é lucrativo, mas em alguns casos pode não ser o melhor, porque outro movimento é mais lucrativo. Digamos que você acerte um full house no poker de cinco cartas. Seu oponente aposta. Você sabe que se você aumentar a aposta, ele vai pagar. Então aumentar parece ser a melhor tática. Mas se você aumentar, os dois jogadores restantes vão desistir com certeza. Mas se você pagar a aposta, você terá certeza absoluta de que os outros dois jogadores depois de você farão o mesmo. Quando você aumenta a aposta, você recebe uma unidade, e simplesmente pagando você recebe duas. Então, pagar dá a você um valor esperado positivo mais alto e é a melhor tática.

A expectativa matemática também pode dar uma ideia de quais táticas de poker são menos lucrativas e quais são mais lucrativas. Por exemplo, se você joga uma mão em particular e acha que sua perda média é de 75 centavos incluindo os antes, então você deve jogar essa mão porque isso é melhor do que desistir quando o ante é $1.

Outra razão importante para entender o valor esperado é que isso lhe dá uma sensação de tranquilidade se você ganha ou não uma aposta: se você fizer uma boa aposta ou passar a tempo, saberá que fez ou economizou uma certa quantia dinheiro, que um jogador mais fraco não poderia economizar. É muito mais difícil desistir se você estiver frustrado porque seu oponente tem uma mão melhor no draw. Dito isto, o dinheiro que você economiza por não jogar, em vez de apostar, é adicionado aos seus ganhos noturnos ou mensais.

Apenas lembre-se que se você trocasse de mãos, seu oponente pagaria, e como você verá no artigo do Teorema Fundamental do Poker, esta é apenas uma de suas vantagens. Você deve se alegrar quando isso acontecer. Você pode até aprender a gostar de perder uma mão, porque sabe que outros jogadores no seu lugar perderiam muito mais.

Conforme discutido no exemplo do jogo de moedas no início, a taxa horária de retorno está relacionada à expectativa matemática, e esse conceito é especialmente importante para jogadores profissionais. Quando você vai jogar pôquer, deve estimar mentalmente quanto pode ganhar em uma hora de jogo. Na maioria dos casos, você precisará confiar em sua intuição e experiência, mas também poderá usar alguns cálculos matemáticos. Por exemplo, se você está jogando draw lowball e vê três jogadores apostando $10 e depois tirando duas cartas, o que é uma tática muito ruim, você pode calcular por si mesmo que toda vez que eles apostam $10 eles perdem cerca de $2. Cada um deles faz isso oito vezes por hora, o que significa que todos os três perdem cerca de US$ 48 por hora. Você é um dos quatro jogadores restantes, que são aproximadamente iguais, então esses quatro jogadores (e você entre eles) devem dividir $ 48, e cada um terá um lucro de $ 12 por hora. Sua taxa horária neste caso é simplesmente sua parte da quantidade de dinheiro perdida por três jogadores ruins por hora.

Durante um longo período de tempo, o total de ganhos do jogador é a soma de suas expectativas matemáticas em distribuições separadas. Quanto mais você joga com expectativa positiva, mais você ganha e, inversamente, quanto mais mãos você joga com expectativa negativa, mais você perde. Como resultado, você deve priorizar um jogo que possa maximizar sua expectativa positiva ou negar sua expectativa negativa para que você possa maximizar seu ganho por hora.

Expectativa matemática positiva na estratégia de jogo

Se você sabe contar cartas, pode ter uma vantagem sobre o cassino se eles não notarem e o expulsarem. Os cassinos adoram jogadores bêbados e não suportam contar cartas. A vantagem permitirá que você ganhe mais vezes do que perde ao longo do tempo. Um bom gerenciamento de dinheiro usando cálculos de expectativa pode ajudá-lo a capitalizar sua vantagem e reduzir suas perdas. Sem uma vantagem, é melhor dar o dinheiro para caridade. No jogo na bolsa, a vantagem é dada pelo sistema do jogo, que gera mais lucro do que prejuízo, diferenças de preços e comissões. Nenhuma quantidade de gerenciamento de dinheiro salvará um sistema de jogo ruim.

Uma expectativa positiva é definida por um valor maior que zero. Quanto maior esse número, mais forte a expectativa estatística. Se o valor for menor que zero, a expectativa matemática também será negativa. Quanto maior o módulo de um valor negativo, pior a situação. Se o resultado for zero, então a expectativa é de equilíbrio. Você só pode ganhar quando tem uma expectativa matemática positiva, um sistema de jogo razoável. Jogar com a intuição leva ao desastre.

Expectativa matemática e negociação de ações

A expectativa matemática é um indicador estatístico bastante procurado e popular na negociação de câmbio nos mercados financeiros. Em primeiro lugar, este parâmetro é usado para analisar o sucesso da negociação. Não é difícil adivinhar que quanto maior esse valor, mais motivos para considerar o comércio em estudo bem-sucedido. Obviamente, a análise do trabalho de um trader não pode ser realizada apenas com a ajuda desse parâmetro. No entanto, o valor calculado, em combinação com outros métodos de avaliação da qualidade do trabalho, pode aumentar significativamente a precisão da análise.

A expectativa matemática geralmente é calculada em serviços de monitoramento de contas de negociação, o que permite avaliar rapidamente o trabalho realizado no depósito. Como exceções, podemos citar estratégias que usam o “overstaying” de negociações perdedoras. Um trader pode ter sorte por algum tempo e, portanto, em seu trabalho, pode não haver perdas. Nesse caso, não será possível navegar apenas pela expectativa, pois os riscos utilizados na obra não serão levados em consideração.

Na negociação no mercado, a expectativa matemática é mais frequentemente usada ao prever a lucratividade de uma estratégia de negociação ou ao prever a receita de um trader com base nas estatísticas de suas negociações anteriores.

No que diz respeito à gestão do dinheiro, é muito importante entender que, ao fazer negócios com expectativa negativa, não há esquema de gestão do dinheiro que possa definitivamente trazer altos lucros. Se você continuar a jogar na bolsa nessas condições, independentemente de como gerencie seu dinheiro, perderá toda a sua conta, não importa quão grande ela fosse no início.

Este axioma não é verdadeiro apenas para jogos ou trocas de expectativas negativas, mas também para jogos de probabilidades pares. Portanto, o único caso em que você tem chance de se beneficiar a longo prazo é ao fazer negócios com uma expectativa matemática positiva.

A diferença entre expectativa negativa e expectativa positiva é a diferença entre vida e morte. Não importa quão positiva ou negativa seja a expectativa; o que importa é se é positivo ou negativo. Portanto, antes de considerar a gestão do dinheiro, você deve encontrar um jogo com uma expectativa positiva.

Se você não tiver esse jogo, nenhuma quantidade de gerenciamento de dinheiro no mundo o salvará. Por outro lado, se você tem uma expectativa positiva, então é possível, por meio de uma gestão adequada do dinheiro, transformá-la em uma função de crescimento exponencial. Não importa quão pequena seja a expectativa positiva! Em outras palavras, não importa quão lucrativo seja um sistema de negociação baseado em um contrato. Se você tem um sistema que ganha $ 10 por contrato em uma única negociação (após taxas e derrapagens), você pode usar técnicas de gerenciamento de dinheiro para torná-lo mais lucrativo do que um sistema que mostra um lucro médio de $ 1.000 por negociação (após a dedução de comissões e deslizamento).

O que importa não é quão lucrativo foi o sistema, mas quão certo se pode dizer que o sistema apresentará pelo menos um lucro mínimo no futuro. Portanto, a preparação mais importante que um trader pode fazer é garantir que o sistema mostre um valor esperado positivo no futuro.

Para ter um valor esperado positivo no futuro, é muito importante não limitar os graus de liberdade do seu sistema. Isso é alcançado não apenas eliminando ou reduzindo o número de parâmetros a serem otimizados, mas também reduzindo o maior número possível de regras do sistema. Cada parâmetro que você adiciona, cada regra que você faz, cada pequena mudança que você faz no sistema reduz o número de graus de liberdade. Idealmente, você deseja construir um sistema bastante primitivo e simples que traga constantemente um pequeno lucro em quase todos os mercados. Novamente, é importante que você entenda que não importa quão lucrativo é um sistema, desde que seja lucrativo. O dinheiro que você ganha na negociação será ganho através de uma gestão eficaz do dinheiro.

Um sistema de negociação é simplesmente uma ferramenta que lhe dá uma expectativa matemática positiva para que a gestão do dinheiro possa ser usada. Sistemas que funcionam (mostram pelo menos um lucro mínimo) em apenas um ou alguns mercados, ou têm regras ou parâmetros diferentes para diferentes mercados, provavelmente não funcionarão em tempo real por muito tempo. O problema com a maioria dos traders tecnicamente orientados é que eles gastam muito tempo e esforço otimizando as várias regras e parâmetros de um sistema de negociação. Isso dá resultados completamente opostos. Em vez de desperdiçar energia e tempo de computador aumentando os lucros do sistema de negociação, direcione sua energia para aumentar o nível de confiabilidade de obter um lucro mínimo.

Sabendo que a gestão do dinheiro é apenas um jogo de números que requer o uso de expectativas positivas, um trader pode parar de procurar o "santo graal" da negociação de ações. Em vez disso, ele pode começar a testar seu método de negociação, descobrir como esse método é logicamente correto, se oferece expectativas positivas. Métodos adequados de gerenciamento de dinheiro aplicados a qualquer método de negociação, mesmo medíocre, farão o resto do trabalho.

Qualquer trader para ter sucesso em seu trabalho precisa resolver três tarefas mais importantes: . Garantir que o número de transações bem-sucedidas exceda os inevitáveis ​​erros e erros de cálculo; Configure seu sistema de negociação para que a oportunidade de ganhar dinheiro seja o mais frequente possível; Alcance um resultado positivo estável de suas operações.

E aqui, para nós, traders que trabalham, a expectativa matemática pode fornecer uma boa ajuda. Este termo na teoria da probabilidade é uma das chaves. Com ele, você pode dar uma estimativa média de algum valor aleatório. A expectativa matemática de uma variável aleatória é como o centro de gravidade, se imaginarmos todas as probabilidades possíveis como pontos com massas diferentes.

Em relação a uma estratégia de negociação, para avaliar sua eficácia, a expectativa matemática de lucro (ou prejuízo) é mais utilizada. Este parâmetro é definido como a soma dos produtos de determinados níveis de lucros e perdas e a probabilidade de sua ocorrência. Por exemplo, a estratégia de negociação desenvolvida pressupõe que 37% de todas as operações trarão lucro e a parte restante - 63% - não será lucrativa. Ao mesmo tempo, a receita média de uma transação bem-sucedida será de US$ 7 e a perda média será de US$ 1,4. Vamos calcular a expectativa matemática de negociação usando o seguinte sistema:

O que este número significa? Diz que, seguindo as regras desse sistema, receberemos em média 1.708 dólares por cada transação fechada. Como a pontuação de eficiência resultante é maior que zero, esse sistema pode ser usado para trabalho real. Se, como resultado do cálculo, a expectativa matemática for negativa, isso já indica uma perda média e essa negociação levará à ruína.

A quantidade de lucro por negociação também pode ser expressa como um valor relativo na forma de%. Por exemplo:

– percentual da receita por 1 transação - 5%;

– porcentagem de operações de negociação bem-sucedidas - 62%;

– porcentagem de perda por 1 negociação - 3%;

- a porcentagem de transações malsucedidas - 38%;

Ou seja, a transação média trará 1,96%.

É possível desenvolver um sistema que, apesar da predominância de negociações perdedoras, dará um resultado positivo, uma vez que seu MO>0.

No entanto, esperar sozinho não é suficiente. É difícil ganhar dinheiro se o sistema fornecer muito poucos sinais de negociação. Nesse caso, sua rentabilidade será comparável aos juros bancários. Deixe cada operação render apenas 0,5 dólar em média, mas e se o sistema assumir 1.000 transações por ano? Esta será uma quantidade muito séria em um tempo relativamente curto. Segue-se logicamente disso que outra característica de um bom sistema de negociação pode ser considerada um curto período de espera.

Fontes e links

dic.academic.ru - dicionário acadêmico online

math.ru - site educacional sobre matemática

nsu.ru - site educacional da Universidade Estadual de Novosibirsk

webmath.ru é um portal educacional para estudantes, candidatos e alunos.

site de matemática educacional exponta.ru

ru.tradimo.com - escola de negociação online gratuita

crypto.hut2.ru - recurso de informação multidisciplinar

poker-wiki.ru - enciclopédia gratuita de poker

sernam.ru - Biblioteca científica de publicações selecionadas de ciências naturais

reshim.su - curso de controle de tarefas do site SOLVE

unfx.ru – Forex no UNFX: educação, sinais de negociação, gerenciamento de confiança

slovopedia.com - Grande Dicionário Enciclopédico

pokermansion.3dn.ru - Seu guia para o mundo do poker

statanaliz.info - blog informativo "Análise de dados estatísticos"

forex-trader.rf - portal Forex-Trader

megafx.ru - análise de Forex atualizada

fx-by.com - tudo para um trader

Na teoria da probabilidade e em muitas de suas aplicações, várias características numéricas de variáveis ​​aleatórias são de grande importância. As principais são a esperança matemática e a variância.

1. Expectativa matemática de uma variável aleatória e suas propriedades.

Considere primeiro o exemplo a seguir. Deixe a fábrica receber um lote composto por N rolamentos. Em que:

m 1 x 1,
m2- número de rolamentos com diâmetro externo x 2,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
m n- número de rolamentos com diâmetro externo xn,

Aqui m 1 +m 2 +...+m n =N. Encontre a média aritmética x cf diâmetro externo do rolamento. Obviamente,
O diâmetro externo de um rolamento retirado aleatoriamente pode ser considerado como uma variável aleatória tomando os valores x 1, x 2, ..., xn, com probabilidades correspondentes p 1 \u003d m 1 / N, p 2 \u003d m 2 /N, ..., p n = m n /N, pois a probabilidade pi a aparência de um rolamento com um diâmetro externo XIé igual a m e /N. Assim, a média aritmética x cf o diâmetro externo de um rolamento pode ser determinado usando a relação
Seja uma variável aleatória discreta com uma dada lei de distribuição de probabilidade

expectativa matemática variável aleatória discreta a soma dos produtos aos pares de todos os valores possíveis de uma variável aleatória e suas probabilidades correspondentes é chamada, ou seja, *
Supõe-se que a integral imprópria do lado direito da igualdade (40) existe.

Considere as propriedades da esperança matemática. Ao fazer isso, nos limitamos a provar apenas as duas primeiras propriedades, que realizaremos para variáveis ​​aleatórias discretas.

1°. A esperança matemática da constante C é igual a esta constante.
Prova. Permanente C pode ser pensado como uma variável aleatória que só pode assumir um valor C com probabilidade igual a um. É por isso

2°. O fator constante pode ser retirado do sinal de expectativa, ou seja
Prova. Usando a relação (39), temos

3°. A expectativa matemática da soma de várias variáveis ​​aleatórias é igual à soma das expectativas matemáticas dessas variáveis:

Dispersão variável aleatória contínua X, cujos valores possíveis pertencem a todo o eixo Ox, é determinada pela igualdade:

Atribuição de serviço. A calculadora online foi projetada para resolver problemas em que densidade de distribuição f(x) , ou função de distribuição F(x) (ver exemplo). Normalmente em tais tarefas é necessário encontrar expectativa matemática, desvio padrão, plote as funções f(x) e F(x).

Instrução. Selecione o tipo de dados de entrada: densidade de distribuição f(x) ou função de distribuição F(x) .

A densidade de distribuição f(x) é dada:

A função de distribuição F(x) é dada:

Uma variável aleatória contínua é definida por uma densidade de probabilidade
(Lei de distribuição Rayleigh - usada em engenharia de rádio). Encontre M(x), D(x).

A variável aleatória X é chamada contínuo , se sua função de distribuição F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
A função de distribuição de uma variável aleatória contínua é usada para calcular as probabilidades de uma variável aleatória cair em um determinado intervalo:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
além disso, para uma variável aleatória contínua, não importa se seus limites estão incluídos neste intervalo ou não:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Densidade de distribuição variável aleatória contínua é chamada de função
f(x)=F'(x) , derivada da função de distribuição.

Propriedades de densidade de distribuição