Números para encontrar nok. Como encontrar o mínimo múltiplo comum, nok para dois ou mais números

Encontrando o NOC

A fim de encontrar denominador comum Ao adicionar e subtrair frações com denominadores diferentes, você deve saber e ser capaz de calcular mínimo múltiplo comum (LCM).

Um múltiplo de a é um número que é divisível por a sem deixar resto.
Números que são múltiplos de 8 (ou seja, esses números são divisíveis por 8 sem deixar resto): esses são os números 16, 24, 32...
Múltiplos de 9: 18, 27, 36, 45...

Existem infinitos múltiplos de um determinado número a, em contraste com os divisores do mesmo número. Existe um número finito de divisores.

Um múltiplo comum de dois números naturais é um número divisível por ambos.

O mínimo múltiplo comum (MMC) de dois ou mais números naturais é o menor número natural que é divisível por cada um desses números.

Como encontrar o NOC
O LCM pode ser encontrado e escrito de duas maneiras.

A primeira maneira de encontrar o LOC
Este método geralmente é usado para números pequenos.
1. Escreva os múltiplos de cada número em uma linha até encontrar um múltiplo que seja igual para ambos os números.
2. Um múltiplo de a é indicado pela letra “K” maiúscula.

K(a) = (...,...)
Exemplo. Encontre LOC 6 e 8.
K (6) = (12, 18, 24, 30, ...)

K(8) = (8, 16, 24, 32, ...)

MMC(6, 8) = 24

A segunda maneira de encontrar o LOC
Este método é conveniente para encontrar o MMC de três ou mais números.
1. Divida os números fornecidos em simples multiplicadores Você pode ler mais sobre as regras para fatorar fatores primos no tópico como encontrar o máximo divisor comum (MDC).

2. Anote os fatores incluídos na expansão em uma linha o maior de números, e abaixo está a decomposição dos números restantes.

O número de fatores idênticos nas decomposições de números pode ser diferente.

60 = 2 . 2 . 3 . 5

24 = 2 . 2 . 2 . 3
3. Enfatize a decomposição menos números (números menores) fatores que não foram incluídos na expansão do número maior (no nosso exemplo é 2) e somamos esses fatores à expansão do número maior.
MMC(24, 60) = 2. 2. 3. 5. 2
4. Escreva o produto resultante como resposta.
Resposta: MMC (24, 60) = 120

Você também pode formalizar a localização do mínimo múltiplo comum (LCM) da seguinte maneira. Vamos encontrar o LOC (12, 16, 24).

24 = 2 . 2 . 2 . 3

16 = 2 . 2 . 2 . 2

12 = 2 . 2 . 3

Como podemos ver na decomposição dos números, todos os fatores de 12 estão incluídos na decomposição de 24 (o maior dos números), portanto adicionamos apenas um 2 da decomposição do número 16 ao MMC.
MMC(12, 16, 24) = 2. 2. 2. 3. 2 = 48
Resposta: MMC (12, 16, 24) = 48

Casos especiais de localização de um NOC
1. Se um dos números for divisível pelos outros, então o mínimo múltiplo comum desses números é igual a esse número.
Por exemplo, MMC (60, 15) = 60
2. Como os números relativamente primos não possuem fatores primos comuns, seu mínimo múltiplo comum é igual ao produto desses números.
Exemplo.
MMC(8, 9) = 72

Vamos considerar a solução do seguinte problema. O passo do menino é de 75 cm e o da menina é de 60 cm, é necessário encontrar a menor distância em que ambos dão um número inteiro de passos.

Solução. Todo o caminho que as crianças percorrerão deve ser divisível por 60 e 70, pois cada uma delas deve dar um número inteiro de passos. Em outras palavras, a resposta deve ser um múltiplo de 75 e 60.

Primeiro, anotaremos todos os múltiplos do número 75. Obtemos:

75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Agora vamos anotar os números que serão múltiplos de 60. Obtemos:

60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Agora encontramos os números que estão em ambas as linhas.

Múltiplos comuns de números seriam 300, 600, etc.

O menor deles é o número 300. Neste caso, será denominado mínimo múltiplo comum dos números 75 e 60.

Voltando à condição do problema, a menor distância que os rapazes darão um número inteiro de passos será de 300 cm, o menino percorrerá esse caminho em 4 passos e a menina precisará dar 5 passos.

Determinando o mínimo múltiplo comum

O mínimo múltiplo comum de dois números naturais a e b é o menor número natural que é múltiplo de a e b.

Para encontrar o mínimo múltiplo comum de dois números, não é necessário anotar todos os múltiplos desses números consecutivos.

Você pode usar o seguinte método.

Como encontrar o mínimo múltiplo comum

Primeiro você precisa fatorar esses números em fatores primos.

60 = 2*2*3*5,
75=3*5*5.

Agora vamos anotar todos os fatores que estão na expansão do primeiro número (2,2,3,5) e adicionar a ele todos os fatores que faltam na expansão do segundo número (5).

Como resultado, obtemos uma série de números primos: 2,2,3,5,5. O produto desses números será o mínimo divisor comum para esses números. 2*2*3*5*5 = 300.

Esquema geral para encontrar o mínimo múltiplo comum

1. Divida os números em fatores primos.
2. Anote os fatores primos que fazem parte de um deles.
3. Some a esses fatores todos aqueles que estão na expansão dos demais, mas não no selecionado.
4. Encontre o produto de todos os fatores escritos.

Este método é universal. Pode ser usado para encontrar o mínimo múltiplo comum de qualquer número de números naturais.

O mínimo múltiplo comum de dois números está diretamente relacionado ao máximo divisor comum desses números. Esse conexão entre GCD e NOCé determinado pelo seguinte teorema.

Teorema.

O mínimo múltiplo comum de dois inteiros positivos aeb é igual ao produto de aeb dividido pelo máximo divisor comum de aeb, ou seja, MMC(a, b)=a b:MDC(a, b).

Prova.

Deixar M é algum múltiplo dos números a e b. Isto é, M é divisível por a, e pela definição de divisibilidade, existe algum inteiro k tal que a igualdade M=a·k é verdadeira. Mas M também é divisível por b, então a·k é divisível por b.

Vamos denotar mdc(a, b) como d. Então podemos escrever as igualdades a=a 1 ·d e b=b 1 ·d, e a 1 =a:d e b 1 =b:d serão números relativamente primos. Consequentemente, a condição obtida no parágrafo anterior de que a · k é divisível por b pode ser reformulada da seguinte forma: a 1 · d · k é dividido por b 1 · d , e isso, devido às propriedades de divisibilidade, é equivalente à condição que a 1 · k é divisível por b 1 .

Você também precisa anotar dois corolários importantes do teorema considerado.

Os múltiplos comuns de dois números são iguais aos múltiplos do seu mínimo múltiplo comum.

Este é realmente o caso, uma vez que qualquer múltiplo comum de M dos números a e b é determinado pela igualdade M=LMK(a, b)·t para algum valor inteiro t.

O mínimo múltiplo comum de números positivos mutuamente primos a e b é igual ao seu produto.

A razão para este facto é bastante óbvia. Como aeb são relativamente primos, então mdc(a, b)=1, portanto, MDC(a, b)=a b: MDC(a, b)=a b:1=a b.

Mínimo múltiplo comum de três ou mais números

Encontrar o mínimo múltiplo comum de três ou mais números pode ser reduzido a encontrar sequencialmente o MMC de dois números. Como isso é feito é indicado no seguinte teorema: a 1 , a 2 , …, a k coincidem com os múltiplos comuns dos números m k-1 e a k , portanto, coincidem com os múltiplos comuns do número m k . E como o menor múltiplo positivo do número m k é o próprio número m k, então o menor múltiplo comum dos números a 1, a 2, ..., a k é m k.

Bibliografia.

Vilenkin N.Ya. e outros.Matemática. 6ª série: livro didático para instituições de ensino geral.
Vinogradov I.M. Fundamentos da teoria dos números.
Mikhelovich Sh.H. Teoria dos Números.
Kulikov L.Ya. e outros Coleção de problemas de álgebra e teoria dos números: livro didático para estudantes de física e matemática. especialidades dos institutos pedagógicos.

Um múltiplo é um número que é divisível por um determinado número sem deixar resto. O mínimo múltiplo comum (MCM) de um grupo de números é o menor número divisível por cada número do grupo sem deixar resto. Para encontrar o mínimo múltiplo comum, você precisa encontrar os fatores primos de determinados números. O MMC também pode ser calculado usando vários outros métodos que se aplicam a grupos de dois ou mais números.

Passos

Série de múltiplos

Veja esses números. O método descrito aqui é melhor usado quando são fornecidos dois números, cada um deles menor que 10. Se forem fornecidos números maiores, use um método diferente.

Por exemplo, encontre o mínimo múltiplo comum de 5 e 8. Esses números são pequenos, então você pode usar este método.

Um múltiplo é um número que é divisível por um determinado número sem deixar resto. Os múltiplos podem ser encontrados na tabuada.
- Por exemplo, os números múltiplos de 5 são: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.
Escreva uma série de números que sejam múltiplos do primeiro número. Faça isso sob múltiplos do primeiro número para comparar dois conjuntos de números.
- Por exemplo, os números múltiplos de 8 são: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 e 64.
Encontre o menor número presente em ambos os conjuntos de múltiplos. Talvez seja necessário escrever longas séries de múltiplos para encontrar o número total. O menor número presente em ambos os conjuntos de múltiplos é o mínimo múltiplo comum.
- Por exemplo, o menor número que aparece na série de múltiplos de 5 e 8 é o número 40. Portanto, 40 é o mínimo múltiplo comum de 5 e 8.
Fatoração principal
1. Veja esses números. O método descrito aqui é melhor usado quando são fornecidos dois números, cada um deles maior que 10. Se forem fornecidos números menores, use um método diferente.
  - Por exemplo, encontre o mínimo múltiplo comum dos números 20 e 84. Cada um dos números é maior que 10, então você pode usar este método.
2. Fatore em fatores primos primeiro número. Ou seja, você precisa encontrar os números primos que, quando multiplicados, resultarão em um determinado número. Depois de encontrar os fatores primos, escreva-os como igualdades.
  
  Fatore o segundo número em fatores primos. Faça isso da mesma forma que fatorou o primeiro número, ou seja, encontre os números primos que, quando multiplicados, resultarão no número fornecido.
  
  Anote os fatores comuns a ambos os números. Escreva esses fatores como uma operação de multiplicação. Ao escrever cada fator, risque-o em ambas as expressões (expressões que descrevem a fatoração de números em fatores primos).
  
  Adicione os fatores restantes à operação de multiplicação. São fatores que não estão riscados em ambas as expressões, ou seja, fatores que não são comuns aos dois números.
  
  Calcule o mínimo múltiplo comum. Para fazer isso, multiplique os números na operação de multiplicação escrita.
Encontrando fatores comuns
1. Encontre o divisor comum a ambos os números. Escreva na primeira linha e na primeira coluna. É melhor procurar fatores primos, mas isso não é obrigatório.
  - Por exemplo, 18 e 30 são números pares, então seu fator comum é 2. Portanto, escreva 2 na primeira linha e na primeira coluna.
2. Divida cada número pelo primeiro divisor. Escreva cada quociente sob o número apropriado. Um quociente é o resultado da divisão de dois números.
  
  Encontre o divisor comum a ambos os quocientes. Se não existir tal divisor, pule as próximas duas etapas. Caso contrário, escreva o divisor na segunda linha e na primeira coluna.
  - Por exemplo, 9 e 15 são divisíveis por 3, então escreva 3 na segunda linha e na primeira coluna.
3. Divida cada quociente por seu segundo divisor. Escreva cada resultado de divisão sob o quociente correspondente.
  
  Se necessário, adicione células adicionais à grade. Repita as etapas descritas até que os quocientes tenham um divisor comum.
  
  Circule os números na primeira coluna e na última linha da grade. Em seguida, escreva os números selecionados como uma operação de multiplicação.
Algoritmo de Euclides

Vamos continuar a conversa sobre o mínimo múltiplo comum, que iniciamos na seção “LCM - mínimo múltiplo comum, definição, exemplos”. Neste tópico, veremos maneiras de determinar o MMC de três ou mais números e veremos a questão de como determinar o MMC de um número negativo.

Cálculo do mínimo múltiplo comum (LCM) via GCD

Já estabelecemos a relação entre o mínimo múltiplo comum e o máximo divisor comum. Agora vamos aprender como determinar o MMC por meio do GCD. Primeiro, vamos descobrir como fazer isso para números positivos.

Definição 1

Você pode encontrar o mínimo múltiplo comum através do máximo divisor comum usando a fórmula LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).

Exemplo 1

Você precisa encontrar o MMC dos números 126 e 70.

Solução

Tomemos a = 126, b = 70. Vamos substituir os valores na fórmula de cálculo do mínimo múltiplo comum através do máximo divisor comum LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Encontra o mdc dos números 70 e 126. Para isso precisamos do algoritmo euclidiano: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, portanto GCD (126 , 70) = 14 .

Vamos calcular o MMC: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Responder: MMC(126, 70) = 630.

Exemplo 2

Encontre os números 68 e 34.

Solução

O GCD, neste caso, não é difícil de encontrar, pois 68 é divisível por 34. Vamos calcular o mínimo múltiplo comum usando a fórmula: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Responder: MMC(68, 34) = 68.

Neste exemplo, usamos a regra para encontrar o mínimo múltiplo comum de inteiros positivos a e b: se o primeiro número for divisível pelo segundo, o MMC desses números será igual ao primeiro número.

Encontrando o MMC fatorando números em fatores primos

Agora vamos examinar o método para encontrar o MMC, que se baseia na fatoração de números em fatores primos.

Definição 2

Para encontrar o mínimo múltiplo comum, precisamos realizar uma série de etapas simples:

compomos o produto de todos os fatores primos dos números para os quais precisamos encontrar o MMC;
excluímos todos os fatores primos dos seus produtos resultantes;
o produto obtido após a eliminação dos fatores primos comuns será igual ao MMC dos números fornecidos.

Este método de encontrar o mínimo múltiplo comum é baseado na igualdade LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b). Se você olhar a fórmula, ficará claro: o produto dos números aeb é igual ao produto de todos os fatores que participam da decomposição desses dois números. Neste caso, o mdc de dois números é igual ao produto de todos os fatores primos que estão simultaneamente presentes nas fatorações desses dois números.

Exemplo 3

Temos dois números 75 e 210. Podemos fatorá-los da seguinte forma: 75 = 3 5 5 E 210 = 2 3 5 7. Se você compor o produto de todos os fatores dos dois números originais, obterá: 2 3 3 5 5 5 7.

Se excluirmos os fatores comuns aos números 3 e 5, obteremos um produto da seguinte forma: 2 3 5 5 7 = 1050. Este produto será nosso LCM para os números 75 e 210.

Exemplo 4

Encontre o MMC dos números 441 E 700 , fatorando ambos os números em fatores primos.

Solução

Vamos encontrar todos os fatores primos dos números dados na condição:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Obtemos duas cadeias de números: 441 = 3 3 7 7 e 700 = 2 2 5 5 7.

O produto de todos os fatores que participaram da decomposição desses números terá a forma: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Vamos encontrar fatores comuns. Este é o número 7. Vamos excluí-lo do produto total: 2 2 3 3 5 5 7 7. Acontece que NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Responder: LOC(441, 700) = 44.100.

Vamos dar outra formulação do método para encontrar o MMC decompondo números em fatores primos.

Definição 3

Anteriormente, excluímos do total o número de fatores comuns a ambos os números. Agora faremos diferente:

Vamos fatorar ambos os números em fatores primos:
adicione ao produto dos fatores primos do primeiro número os fatores ausentes do segundo número;
obtemos o produto, que será o MMC desejado de dois números.

Exemplo 5

Voltemos aos números 75 e 210, para os quais já procuramos o MMC num dos exemplos anteriores. Vamos dividi-los em fatores simples: 75 = 3 5 5 E 210 = 2 3 5 7. Ao produto dos fatores 3, 5 e 5 números 75 somam os fatores que faltam 2 E 7 números 210. Nós temos: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . Este é o MMC dos números 75 e 210.

Exemplo 6

É necessário calcular o MMC dos números 84 e 648.

Solução

Vamos fatorar os números da condição em fatores simples: 84 = 2 2 3 7 E 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Vamos adicionar ao produto os fatores 2, 2, 3 e 7 números 84 fatores faltantes 2, 3, 3 e
3 números 648. Recebemos o produto 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Este é o mínimo múltiplo comum de 84 e 648.

Responder: MMC(84, 648) = 4.536.

Encontrando o MMC de três ou mais números

Independentemente de quantos números estejamos lidando, o algoritmo de nossas ações será sempre o mesmo: encontraremos sequencialmente o MMC de dois números. Existe um teorema para este caso.

Teorema 1

Vamos supor que temos números inteiros uma 1 , uma 2 , … , uma k. NOC mk esses números são encontrados calculando sequencialmente m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k).

Agora vamos ver como o teorema pode ser aplicado para resolver problemas específicos.

Exemplo 7

Você precisa calcular o mínimo múltiplo comum de quatro números 140, 9, 54 e 250 .

Solução

Vamos introduzir a notação: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Vamos começar calculando m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). Vamos aplicar o algoritmo euclidiano para calcular o MDC dos números 140 e 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Obtemos: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1.260. Portanto, m 2 = 1.260.

Agora vamos calcular usando o mesmo algoritmo m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). Durante os cálculos obtemos m 3 = 3 780.

Só temos que calcular m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250). Seguimos o mesmo algoritmo. Obtemos m 4 = 94.500.

O MMC dos quatro números da condição de exemplo é 94.500.

Responder: NOC (140, 9, 54, 250) = 94.500.

Como você pode ver, os cálculos são simples, mas bastante trabalhosos. Para economizar tempo, você pode seguir outro caminho.

Definição 4

Oferecemos-lhe o seguinte algoritmo de ações:

decompomos todos os números em fatores primos;
ao produto dos fatores do primeiro número somamos os fatores que faltam no produto do segundo número;
ao produto obtido na etapa anterior somamos os fatores faltantes do terceiro número, etc.;
o produto resultante será o mínimo múltiplo comum de todos os números da condição.

Exemplo 8

Você precisa encontrar o MMC de cinco números 84, 6, 48, 7, 143.

Solução

Vamos fatorar todos os cinco números em fatores primos: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Os números primos, que é o número 7, não podem ser decompostos em fatores primos. Tais números coincidem com a sua decomposição em fatores primos.

Agora vamos pegar o produto dos fatores primos 2, 2, 3 e 7 do número 84 e adicionar a eles os fatores que faltam no segundo número. Decompomos o número 6 em 2 e 3. Esses fatores já estão no produto do primeiro número. Portanto, nós os omitimos.

Continuamos a adicionar os multiplicadores que faltam. Passemos ao número 48, do produto de cujos fatores primos tomamos 2 e 2. Depois somamos o fator primo de 7 do quarto número e os fatores de 11 e 13 do quinto. Obtemos: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. Este é o mínimo múltiplo comum dos cinco números originais.

Responder: MMC(84, 6, 48, 7, 143) = 48.048.

Encontrando o mínimo múltiplo comum de números negativos

Para encontrar o mínimo múltiplo comum de números negativos, esses números devem primeiro ser substituídos por números com sinal oposto e, em seguida, os cálculos devem ser realizados usando os algoritmos acima.

Exemplo 9

LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) e LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).

Tais ações são permitidas devido ao fato de que se aceitarmos que a E - um– números opostos,
então o conjunto dos múltiplos de um número a corresponde ao conjunto dos múltiplos de um número - um.

Exemplo 10

É necessário calcular o MMC de números negativos − 145 E − 45 .

Solução

Vamos substituir os números − 145 E − 45 para seus números opostos 145 E 45 . Agora, utilizando o algoritmo, calculamos o MMC (145, 45) = 145 · 45: MDC (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1.305, tendo previamente determinado o MDC usando o algoritmo euclidiano.

Obtemos que o MMC dos números é - 145 e − 45 é igual a 1 305 .

Responder: MMC (- 145, - 45) = 1.305.

Se você notar um erro no texto, destaque-o e pressione Ctrl+Enter