Признаки делимости натуральных чисел. Из истории математики

Делимость чисел. Простые и составные числа.

Одной из целей математического образования, нашедшей отражение в федеральном компоненте государственного стандарта по математике, является интеллектуальное развитие учащихся.

Тема «Делимость чисел. Простые и составные числа» – одна из таких тем, которые, начиная с 5 класса, позволяют в большей степени развивать математические способности детей. Работая в школе с углубленным изучением математики, физики и информатики, где обучение ведется с 7 класса, кафедра математики нашей школы заинтересована в том, чтобы ученики уже в 5-7 классах более подробно знакомились с данной темой. Мы стараемся это реализовать на занятиях в школе юных математиков (ШЮМ), а также в региональном летнем математическом лагере, где вместе с учителями нашей школы преподаю и я. Я постаралась подобрать такие задачи, которые интересны учащимся с 5 по 11 класс. Ведь ученики нашей школы изучают данную тему по программе. А выпускники школы последние 2 года встречаются с задачами по этой теме на ЕГЭ (в задачах типа С6). Теоретический материал в различных случаях рассматриваю в разном объеме.

Делимость натуральных чисел.

Некоторые определения:

Говорят, что натуральное число a делится на натуральное число b, если существует такое натуральное число c, что a=bc. При этом пишут: a b . В этом

случае b называют делителем числа a, а a- кратным числа b. Натуральное число называется простым , если у него нет делителей,

отличных от него самого и от единицы (например: 2, 3, 5, 7 и т. д.). Число называетсясоставным , если оно не является простым. Единица не является ни простым, ни составным.

Число n делится на простое число p в том и только в том случае, если p встречается среди простых множителей, на которые разлагается n.

Наибольшим общим делителем чисел a и b называется наибольшее число, одновременно являющееся делителем a и делителем b, обозначается НОД (a;b) или D (a;b).

Наименьшим общим кратным называют наименьшее число, делящееся и на a, и на b, обозначается НОК (a;b) или K (a;b).

Числа a и b называют взаимно простыми , если их наибольший общий делитель равен единице.

Основная теорема арифметики

Всякое натуральное число n единственным образом (с точностью до порядка множителей) раскладывается в произведение степеней простых сомножителей:

n = p1 k 1 p2 k 2 pm k m

здесь p1, p2 ,…pm - различные простыеделители числа n, а k1 , k2 , …km - степени вхождения (степени кратности) этих делителей.

Признаки делимости

∙ Число делится на 2 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 2 (то есть четная).

∙ Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

∙ Число делится на 4 тогда и только тогда, когда двузначное число, составленное из двух последних цифр, делится на 4.

∙ Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5 (то есть равна 0 или 5).

∙ Чтобы узнать, делится ли число на 7 (на 13), надо разбить его десятичную запись справа налево на группы по 3 цифры в каждой (самая левая группа может содержать 1 или 2 цифры), после чего взять группы с нечетными номерами со знаком «минус», а с четными номерами - со знаком «плюс». Если полученное выражение делится на 7 (на 13), то и заданное число делится на 7 (на 13).

∙ Число делится на 8 тогда и только тогда, когда трехзначное число, составленное из трех последних цифр, делится на 8.

∙ Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма цифр делится на 9.

∙ Число делится на 10 тогда и только тогда, когда последняя цифра - ноль.

∙ Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма его цифр, стоящих на четных местах в десятичной записи, и сумма его цифр, стоящих на нечетных местах в десятичной записи, дают одинаковые остатки при делении на 11.

Утверждения, связанные с делимостью чисел.

∙ Еслиa b иb c , тоa c .

∙ Если a m , то и ab m.

∙ Если a m и b m, то a+b m

∙ Если a+.b m и a m, то и b m

∙ Если a m и a k, причем m и kвзаимно просты, то a mk

∙ Если ab m и a взаимно просто с m, то b m

∙ На занятиях по данной теме в зависимости от возраста учеников, места и времени проведения занятий, я рассматриваю различные задачи. Подбираю эти задачи, в основном, из источников, которые указаны в конце работы, в том числе и из материалов Пермского регионального турнира юных математиков прошлых лет и материалов II и III этапов Российской олимпиады школьников по математике прошлых лет.

Следующие задачи использую для проведения занятий в 5, 6, 7 классах в ШЮМ1 е при прохождении темы «Делимость чисел. Простые и составные числа. Признаки делимости».

Устные задачи.

1. К числу 15 слева и справа припишите по 1 цифре так, чтобы число делилось на 15.

Ответ: 1155, 3150, 4155, 6150, 7155, 9150.

2. К числу 10 слева и справа припишите по 1 цифре так, чтобы число делилось на 72.

Ответ: 4104.

3. Некоторое число делится на 6 и на 4. Обязательно ли оно делится на 24?

Ответ: нет, например, 12.

4. Найдите наибольшее натуральное число, кратное 36, в записи которого участвуют все цифры по 1 разу.

Ответ: 9876543120.

5. Дано число 645*7235. Замените * цифрой так, чтобы полученное число стало кратно 3. Ответ: 1, 4, 7.

6. Дано число 72*3*. Замените * цифрами так, чтобы полученное число стало кратно 45. Ответ: 72630, 72135.

«Полуустные» задачи.

1. Сколько воскресений может быть в году?

2. В некотором месяце три воскресенья пришлись на четные числа. Какой день недели был 7 числа этого месяца?

3. Начнем считать пальцы рук следующим образом: первым пусть будет большой палец, вторым – указательный, третьим – средний, четвертым – безымянный, пятым – мизинец, шестым – снова безымянный, седьмым – средний, восьмым – указательный, девятым – большой, десятым – указательный палец и т.д. Какой палец будет 2000-м?

1 ШЮМ – Школа Юных Математиков – субботняя школа при ФМШ №146

При каких n число1111...111 делится на 7?

При каких n число1111...111 делится на 999 999 999?

6. Дробь b a – сократима. Будет ли сократима дробьa a + − b b ?

7. В стране Анчурии в обращении имеются купюры достоинством 1 анчур, 10 анчуров, 100 анчуров, 1000 анчуров. Можно ли отсчитать 1 000 000 анчуров с помощью 500 000 купюр?

8. Найдите двузначное число, первая цифра которого равна разности между этим числом и числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке.

1. В году может быть 365 или 366 дней, каждый седьмой день – воскресенье, значит, 365=52× 7+1 или 366=52× 7+2, их может быть 52, или 53, если воскресенье пришлось на 1 число.

2. Эти 3 воскресенья пришлись на 2, 16 и 30 числа. Значит, 7 число этого месяца будет пятницей.

3. Количество пальцев при счете будут повторяться с периодом 8, значит, достаточно посчитать остаток от деления 2000 на 8. Он равен 0. Т.к. восьмым идет указательный палец, то и 2000-ым будет указательный палец.

нацело на 7, а 111111=7× 15873. Отсюда следует, что если в записи данного числа больше 6 единиц, то после каждой 6 единицы очередной остаток равен 0. Т.о.,

число вида 1111...111 делится на 7 тогда и только тогда, когда количество его

цифр делится на 6 , т.е. n=7× t, где tÎ Z.

одновременно. В данном числе количество единиц кратно 9. Однако первое и второе такие числа 111 111 111 и 111 111 111 111 111 111 не делятся на 999 999 999. А число, в котором 18 единиц, делится на 999 999 999. При этом, начиная с 18-го, каждое 18-ое число делится на 999 999 999, т.е. n=18× t, где tÎ N.

7. Пусть было a купюр достоинством в 1 анчур, b – достоинством в 10 анчуров, c достоинством в 100 анчуров и d достоинством в 1000 анчуров. Получим

Районная научно-исследовательская конференция школьников Лахденпохского муниципального района

«Шаг в будущее»

Проект по математике на тему:

Выполнила: Галкина Наталья

ученица 7 класса

МКОУ «Элисенваарской СОШ»

Руководитель: Васильева

Лариса Владимировна

учитель математики

МКОУ «Элисенваарской СОШ»

Введение 3 стр.

Из истории математики 4 стр.

Основные понятия 4 стр.

Классификация признаков делимости: 5 стр.

1. Делимость чисел определяется по последней(им) цифре(ам) 5 – 6 стр.

   Делимость чисел определяется по сумме цифр числа: 6 стр.

   Делимость чисел определяется после выполнения каких-то действий над цифрами числа 6 - 9 стр.

   Для определения делимости числа используются другие признаки 9 – 10 стр.

Применение признаков делимости на практике 10 – 11 стр.

Заключение 11 стр.

Библиографический список 12 стр.

Введение

Актуальность исследования : Признаки делимости всегда интересовали ученых разных времен и народов. При изучении на уроках математики темы «Признаки делимости чисел на 2, 3, 5, 9, 10» у меня возник интерес к исследованию чисел на делимость. Было предположено, что если можно определить делимость чисел на эти числа, то должны быть признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел и на другие числа. В некоторых случаях, для того, чтобы узнать делится ли какое-либо натуральное число a на натуральное число b без остатка, не обязательно делить данные числа. Достаточно знать некоторые признаки делимости.

Гипотеза – если существуют признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 5, 9 и 10, то существуют и другие признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел.

Цель исследования – дополнить уже известные признаки делимости натуральных чисел нацело, изучаемые в школе и систематизировать эти признаки делимости.

Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи:

Самостоятельно исследовать делимость чисел.

Изучить дополнительную литературу с целью ознакомления с другими признаками делимости.

Объединить и обобщить признаки из разных источников.

Сделать вывод.

Объект исследования – изучение всевозможных признаков делимости.

Предмет исследования – признаки делимости.

Методы исследования – сбор материала, обработка данных, сравнение, анализ, обобщение.

Новизна: в ходе выполнения проекта я пополнила свои знания о признаках делимости натуральных чисел.

Из истории математики

Блез Паскаль (родился в 1623 году) - один из самых знаменитых людей в истории человечества. Паскальумер, когда ему было 39 лет, но, несмотря на столь короткую жизнь, вошел в историю как выдающийся математик, физик, философ и писатель. Его именем названы единица давления (паскаль) и весьма популярный сегодня язык программирования. Блез Паскаль нашёл общий

Признак Паскаля - метод, позволяющий получить признаки делимости на любое число. Своего рода «универсальный признак делимости».

Признак делимости Паскаля: Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа а на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b , делится на это число.

Например : число 2814 делится на 7, так как 2·6+8·2+1·3+4=35 делится на 7. (Здесь 6-остаток отделения 1000 на 7, 2- остаток от деления 100 на 7 и 3- остаток от деления 10 на 7).

Основные понятия

Вспомним некоторые математические понятия, которые нам будут необходимы при изучении данной темы.

Признак делимости - это правило, по которому, не выполняя деления, можно установить, делится ли одно число на другое.

Делителем натурального числа а называют натуральное число, на которое а делится без остатка.

Простыми называются натуральные числа, которые не имеют других натуральных различных делителей, кроме единицы и самого себя.

Составными называются числа, которые имеют и другие натуральные делители кроме 1 и самого себя.

Признаки делимости

Все рассмотренные мною в данной работе признаки делимости натуральных чисел можно разделить на 4 группы:

Рассмотрим более подробно каждую из этих групп.

Делимость чисел определяется по последней (им) цифре (ам)

К первой группе рассмотренных мною признаков делимости натуральных чисел относятся признаки делимости на 2, 4, 5, 8, 20, 25, 50, 125 и разрядные единицы 10, 100 и т.д.

Признак делимости на 2 : число делится на 2 тогда, когда последняя цифра этого числа делится на 2 (т.е. последняя цифра является чётным числом).

Например : 32217864 : 2

Признак делимости на 4 : число делится на 4 тогда, когда две его последние цифры – нули, либо когда двузначное число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 4.

Например , 35324 : 4; 6600 : 4

Признак делимости на 5 : число делится на 5 тогда, когда его последняя цифра - 5 или 0.

Например : 36780 : 5 или 123265 : 5

Признак делимости на 8: число делится на 8 тогда, когда на 8 делится трехзначное число, образованное из трех последних цифр этого числа.

Например : 432240 : 8

Признак делимости на 20: число делится на 20 тогда, когда число, образованное двумя последними цифрами, делится на 20. (Другая формулировка: число делится на 20 тогда, когда последняя цифра числа - 0, а предпоследняя - чётная).

Например : 59640 : 20

Признак делимости на 25: на 25 делятся числа, две последние цифры которых нули или образуют число, которое делится на 25.

Например : 667975 : 25 или 7768900 : 25

Признак делимости на 50: число делится на 50 тогда, когда число, образованное двумя его младшими десятичными цифрами, делится на 50.

Например : 564350 :50 или 554300 :50

Признак делимости на 125: число делится на 125, если три его последние цифры нули или образуют число, которое делится на 125.

Например : 32157000 :125 или 3216250 :125

на разрядную единицу делятся те натуральные числа, у которых количество нулей больше или равно количеству нулей разрядной единицы.

Например , 12 000 делится на 10, 100 и 1000.

Делимость чисел определяется по сумме цифр числа

К этой группе признаков делимости натуральных чисел относятся рассмотренные мною признаки делимости на 3, 9, 11.

Признак делимости на 3: число делится на 3, если его сумма цифр делится на 3.

Например : 5421: 3 т.к. 5+4+2+1=12, (12:3)

Признак делимости на 9: число делится на 9, если его сумма цифр делится на 9.

Например : 653022: 9 т.к. 6+5+3+0+2+2=18, (18:9)

Признак делимости на 11: на 11 делятся те числа, у которых сумма цифр, стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на чётных местах, либо отличается от неё на число, кратное 11.

Например : 865948732:11 т.к. 8+5+4+7+2=26 и 6+9+8+3=26 (26=26); 815248742:11 т.к. 8+5+4+7+2=26 и 1+2+8+4=15, 26-15=11, (11:11)

Делимость чисел определяется после выполнения каких-то действий над цифрами этого числа

К этой группе признаков делимости натуральных чисел относятся признаки делимости на: 6, 7, 11, 13,17, 19, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 41, 59, 79, 101

Признак делимости на 6:

Признак 1 : число делится на 6 тогда, когда результат вычитания удвоенного числа сотен из числа, стоящего после сотен делится на 6.

Например, 138: 6 т.к. 1·2=2, 38 – 2=36, (36:6); 744:6 т.к. 44 – 7·2=30, (30:6)

Признак 2 : число делится на 6 тогда и только тогда, когда учетверённое число десятков, сложенное с числом единиц делится на 6.

Например, 768:6 т.к. 76·4+8=312, 31·4+2=126, 12·4+6=54 (54:6)

Признаки делимости на 7:

Признак 1 : число делится на 7 тогда, когда утроенное число десятков, сложенное с числом единиц, делится на 7.

Например, число 154:7, т.к. на 7 делятся 15·3 + 4 = 49 (49:7)

Признак 2 : число делится на 7 тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по три цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «-» делится на 7.

Например , 138689257:7, т.к. ǀ138-689+257ǀ=294 (294:7)

Признаки делимости на 11:

Признак 1 : число делится на 11 тогда, когда модуль разности между суммой цифр, занимающих нечётные позиции, и суммой цифр, занимающих чётные места делится на 11.

Например , 9163627:11, т.к. ǀ(9+6+6+7)-(1+3+2)ǀ=22 (22:11)

Признак 2 : число делится на 11 тогда, когда на 11 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц).

Например , 103785:11, т.к. 10+37+85=132 и 01+32=33 (33:11)

Признаки делимости на 13:

Признак 1 : число делится на 13 тогда, когда сумма числа десятков с учетверенным числом единиц делится на 13.

Например , 845:13, т.к. 84+5·4=104, 10+4·4=26 (26:13)

Признак 2 : число делится на 13 тогда, когда разность числа десятков с девятикратным числом единиц делится на 13.

Например , 845:13, т.к. 84-5·9=39 (39:13)

Признак делимости на 17: число делится на 17 тогда, когда модуль разности числа десятков и пятикратного числа единиц делится на 17.

Например , 221:17, т.к. ǀ22-5·1ǀ=17

Признаки делимости на 19: число делится на 19 тогда, когда число десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.

Например , 646:19, т.к. 64+6·2=76, 7+2·6=19, (19:19)

Признаки делимости на 23:

Признак 1 : число делится на 23 тогда, когда число сотен, сложенное с утроенным числом, образованным двумя последними цифрами, делится на 23.

Например , 28842:23, т.к. 288+3·42=414, 4+3·14=46 (46:23)

Признак 2 : число делится на 23 тогда, когда число десятков, сложенное с семикратным числом единиц, делится на 23.

Например , 391:23, т.к. 3 9+7·1=46 (46:23)

Признак 3 : число делится на 23 тогда, когда число сотен, сложенное с семикратным числом десятков и утроенным числом единиц, делится на 23.

Например , 391:23, т.к. 3+7·9+3·1=69 (69:23)

Признак делимости на 27: число делится на 27 тогда, когда на 27 делится сумма чисел, образующих группы по три цифры (начиная с единиц).

Например , 2705427:27 т.к. 427+705+2=1134, 134+1=135, (135:27)

Признак делимости на 29: число делится на 29 тогда, когда число десятков, сложенное с утроенным числом единиц, делится на 29.

Например , 261:29, т.к. 26+3·1=29 (29:29)

Признак делимости на 31: число делится на 31 тогда, когда модуль разности числа десятков и утроенного числа единиц делится на 31.

Например , 217:31, т.к. ǀ21-3·7ǀ= 0, (0:31)

Признаки делимости на 33: если сумма, составленная при разбивании числа справа налево на группы по две цифры, делится на 33, то и число делится на 33.

Например , 396:33, т.к. 96+3=99 (99:33)

Признаки делимости на 37:

Признак 1 : число делится на 37 тогда, когда при разбиении числа на группы по три цифры (начиная с единиц) сумма этих групп кратна 37.

Например , число 100048:37, т.к. 100+048=148, (148:37)

Признак 2 : число делится на 37 тогда, когда на 37 делится модуль утроенного числа сотен, сложенного с учетверённым числом десятков, за вычетом числа единиц, умноженного на семь.

Например , число 481:37, так как на 37 делится ǀ3·4+4·8-7·1ǀ=37

Признаки делимости на 41:

Признак 1 : число делится на 41 тогда, когда модуль разности числа десятков и четырёхкратного числа единиц делится на 41.

Например, 369:41, т.к. ǀ36-4·9ǀ=0, (0:41)

Признак 2 : чтобы проверить, делится ли число на 41, его следует справа налево разбить на группы по 5 цифр в каждой. Затем в каждой группе первую справа цифру умножить на 1, вторую цифру умножить на 10, третью - на 18, четвёртую - на 16, пятую - на 37 и все полученные произведения сложить. Если результат будет делиться на 41, тогда и само число будет делиться на 41.

Признак делимости на 59: число делится на 59 тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 6, делится на 59.

Например , 767:59, т.к. 76+7·6=118, 11+8·6=59, (59:59)

Признак делимости на 79: число делится на 79 тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 8, делится на 79.

Например , 711:79, т.к. 71+8·1=79, (79:79)

Признак делимости на 99: число делится на 99 тогда, когда на 99 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц).

Например , 12573:99, т.к. 1+25+73=99, (99:99)

Признак делимости на 101: число делится на 101 тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по две цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «–» делится на 101.

Например

Для определения делимости числа используются другие признаки делимости

К этой группе признаков делимости натуральных чисел относятся признаки делимости на: 6, 12, 14, 15, 27, 30, 60 и т.д. Эти все числа - составные. Признаки делимости составных чисел строятся на признаках делимости простых чисел, на которые можно разложить любое составное число.

Признак делимости на 6:

Признак 1 : число делится на 6 тогда, когда оно делится и на 2, и на 3, то есть, если оно четное и сумма его цифр делится на 3.

Например , 768:6, т.к. 7+6+8=21 (21:3) и последняя цифра в числе 768 – четная.

Признак делимости на 12 : число делится на 12, тогда, когда оно одновременно делится на 3 и на 4.

Например, 408:12, т.к. 4+0+8=12 (12:3) и две последние цифры делятся на 4 (08:4)

Признак делимости на 14: число делится на 14 тогда, когда оно делится на 2 и на 7.

Например, число 45612:14 т. к. оно делится и на 2 и на 7 , значит, оно делится и на 14.

Признак делимости на 15: число делится на 15 тогда, когда оно делится на 3 и на 5.

Например, 1146795:15 т.к. это число делится и на 3 и на 5.

Признаки делимости на 27: число делится на 27 тогда, когда оно делится на 3 и на 9.

Например , 511704:27 т.к. 5+1+1+7+0+4=18, (18:3 и 18:9)

Признаки делимости на 30: число делится на 30 тогда, когда оно заканчивается на 0 и сумма всех цифр делится на 3.

Например , 510:30 т.к. 5+1+0=6 (6:3) и в числе 510 (последняя цифра 0)

Признаки делимости на 60: для того, чтобы число делилось на 60, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 4, на 3, на 5.

Например , 1620:60 т.к. 1+6+2+0=9 (9:3), число 1620 заканчивается 0, т.е. делится на 5 и 1620: 4 т.к. две последние цифры 20:4

Работа имеет практическое применение. Ее могут использовать школьники и взрослые при решении реальных ситуаций; учителя, как при проведении уроков по математике, так и на факультативных курсах и дополнительных занятий на повторение.

Данное исследование будет полезным для учащихся при самостоятельной подготовке к выпускным и вступительным экзаменам. А также будет полезно и для учеников, целью которых стали высокие места на городских олимпиадах.

Задача № 1 . Можно ли, используя только цифры 3 и 4, записать:

число, которое делиться на 10;

четное число;

число, кратное 5;

нечетное число

Задача № 2

Напишите какое-нибудь девятизначное число, в котором нет повторяющихся цифр (все цифры разные) и которое делится без остатка на 1.

Напишите наибольшее из таких чисел.

Напишите наименьшее из таких чисел.

Ответ: 987652413; 102347586

Задача № 3

Найдите наибольшее четырехзначное число, все цифры которого различны и которое делится на 2, 5, 9, 11.

Ответ: 8910

Задача № 4

Оля задумала простое трехзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру оно может заканчиваться, если его последняя цифра равна сумме первых двух. Приведите примеры таких чисел.

Ответ: только на 7. Есть 4 числа удовлетворяющие условию задачи: 167, 257, 347, 527

Задача № 5

В двух классах вместе 70 учеников. В одном классе 7/17 учеников не явились на занятия, а в другом 2/9 получили отличные отметки по математике. Сколько учеников в каждом классе?

Решение: В первом из этих классов могло быть: 17, 34, 51… - числа, кратные 17. Во втором классе: 9, 18, 27, 36, 45, 54… - числа, кратные 9. Нам нужно выбрать 1 число из первой последовательности, а 2 число из второй так, чтобы они в сумме давали 70. Причем в этих последовательностях только небольшое число членов могут выражать возможное количество детей в классе. Это соображение существенно ограничивает перебор вариантов. Возможным единственным вариантом оказалась пара (34, 36).

Задача № 6

В 9 классе за контрольную работу 1/7 учеников получили пятёрки, 1/3 – четверки, ½ - тройки. Остальные работы оказались неудовлетворительными. Сколько было таких рабо

Решение: Решением задачи должно являться число, кратное числам: 7, 3, 2. Найдем сначала наименьшее из таких чисел. НОК (7, 3, 2) = 42. Можно составить выражение по условию задачи: 42 – (42: 7 + 42: 3 + 42: 2) = 1 – 1 неуспевающий. Математические отношение отношения задачи допускают, что число учеников в классе 84, 126 и т.д. человек. Но из соображений здравого смысла следует, что наиболее приемлемым ответом является число 42.

Ответ: 1 работа.

Заключение :

В результате выполнения данной работы я узнала, что кроме известных мне признаков делимости на 2, 3, 5, 9 и 10 существуют еще и другие признаки делимости натуральных чисел. Полученные знания значительно ускоряет решение многих задач. И я смогу использовать эти знания в своей учебной деятельности, как на уроках математики, так и во внеклассных занятиях. Следует так же отметить, что формулировки некоторых признаков делимости сложные. Может быть, поэтому они не изучаются в школе. Предполагаю и в дальнейшем продолжить работу по изучению признаков делимости натуральных чисел.

Энциклопедический словарь юного математика. Савин А.П. Москва «Педагогика» 1989.

Математика. Дополнительные материалы к уроку математики 5-11 классы. Рязановский А.Р., Зайцев Е.А. Москва «Дрофа» 2002.

За страницами учебника математики. Виленкин Н.Я., Депман И.Я. М.: Просвещение, 1989.

Внеклассная работа по математике в 6-8 классах. Москва. «Просвещение» 1984 г. В. А. Гусев, А. И. Орлов, А. Л. Розенталь.

«1001 вопрос и ответ. Большая книга знаний» Москва. «Мир книги» 2004.

Факультативный курс по математике. Никольская И.Л. – Москва. Просвещение 1991.

Олимпиадные задачи по математике и методы их решения. Фарков А. В. - Москва. 2003г.

Интернет ресурсы.

Просмотр содержимого презентации
«Признаки делимости натуральных чисел»

Районная научно-исследовательская конференция школьников

Лахденпохского муниципального района «Шаг в будущее»

«Признаки делимости натуральных чисел»

Выполнила: Галкина Наталья

ученица 7 класса

МКОУ «Элисенваарской СОШ»

Руководитель: Васильева Лариса Владимировна

учитель математики МКОУ «Элисенваарской СОШ»

2014 г.

Актуальность исследования : Признаки делимости всегда интересовали ученых разных времен и народов. При изучении на уроках математики темы «Признаки делимости чисел на 2, 3, 5, 9, 10» у меня возник интерес к исследованию чисел на делимость. Было предположено, что если можно определить делимость чисел на эти числа, то должны быть признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел и на другие числа. В некоторых случаях, для того, чтобы узнать делится ли какое-либо натуральное число a на натуральное число b без остатка, не обязательно делить данные числа. Достаточно знать некоторые признаки делимости. Гипотеза – если существуют признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 5, 9 и 10, то существуют и другие признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел. Цель исследования – дополнить уже известные признаки делимости натуральных чисел нацело, изучаемые в школе и систематизировать эти признаки делимости. Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи:

• Самостоятельно исследовать делимость чисел.
• Изучить дополнительную литературу с целью ознакомления с другими признаками делимости.
• Объединить и обобщить признаки из разных источников.
• Сделать вывод. Объект исследования – делимость натуральных чисел. Предмет исследования – признаки делимости. Методы исследования – сбор материала, обработка данных, сравнение, анализ, обобщение. Новизна : в ходе выполнения проекта я пополнила свои знания о признаках делимости натуральных чисел.

Из истории математики

Блез Паскаль (родился в 1623 году) - один из самых знаменитых людей в истории человечества. Паскаль умер, когда ему было 39 лет, но, несмотря на столь короткую жизнь, вошел в историю как выдающийся математик, физик, философ и писатель. Его именем названы единица давления (паскаль) и весьма популярный сегодня язык программирования. Блез Паскаль нашёл общий алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число.

Признак Паскаля - метод, позволяющий получить признаки делимости на любое число. Своего рода «универсальный признак делимости».

Признак делимости Паскаля: Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа а на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b, делится на это число.

Например : число 2814 делится на 7, так как 2·6+8·2+1·3+4=35 делится на 7. (Здесь 6-остаток отделения 1000 на 7, 2- остаток от деления 100 на 7 и 3- остаток от деления 10 на 7).

Основные понятия

Вспомним некоторые математические понятия, которые нам будут необходимы при изучении данной темы:

• Признак делимости - это правило, по которому, не выполняя деления, можно установить, делится ли одно число на другое.

• Делителем натурального числа а называют натуральное число b , на которое а делится без остатка.

• Простыми называются натуральные числа, которые не имеют других натуральных различных делителей, кроме единицы и самого себя.

• Составными называются числа, которые имеют и другие натуральные делители кроме 1 и самого себя.

Признаки делимости

Все рассмотренные мною в данной работе признаки делимости натуральных чисел можно разделить на 4 группы:

I

• I . Делимость чисел определяется по последней (им) цифре (ам)

К первой группе рассмотренных мною признаков делимости натуральных чисел относятся признаки делимости на 2, 4, 5, 8, 20, 25, 50, 125 и разрядные единицы 10, 100 и т.д.

• Признак делимости на 2 : число делится на 2 тогда, когда последняя цифра этого числа делится на 2 (т.е. последняя цифра является чётным числом).

Например : 3221786 4 : 2

• Признак делимости на 4 : число делится на 4 тогда, когда две его последние цифры – нули, либо когда двузначное число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 4.

Например: 353 24 : 4; 66 00 : 4

• Признак делимости на 5 : число делится на 5 тогда, когда его последняя цифра - 5 или 0.

Например: 3678 0 : 5 или 12326 5 : 5

• Признак делимости на 8: число делится на 8 тогда, когда на 8 делится трехзначное число, образованное из трех последних цифр этого числа.

Например: 432 240 : 8

• Признак делимости на 20: число делится на 20 тогда, когда число, образованное двумя последними цифрами, делится на 20. (Другая формулировка: число делится на 20 тогда, когда последняя цифра числа - 0, а предпоследняя - чётная).

Например: 596 40 : 20

• Признак делимости на 25: на 25 делятся числа, две последние цифры которых нули или образуют число, которое делится на 25.

Например: 6679 75 : 25 или 77689 00 : 25

• Признак делимости на 50: число делится на 50 тогда, когда число, образованное двумя его младшими десятичными цифрами, делится на 50.

Например : 5643 50 : 50 или 5543 00 : 50

• Признак делимости на 125: число делится на 125, если три его последние цифры нули или образуют число, которое делится на 125.

Например: 32157 000 : 125 или 3216 250 : 125

• Признаки делимости на разрядную единицу 10, 100, 1000 и т.д.: на разрядную единицу делятся те натуральные числа, у которых количество нулей больше или равно количеству нулей разрядной единицы.

Например, 12 000 делится на 10, 100 и 1000

II

• II . Делимость чисел определяется по сумме цифр числа

К этой группе признаков делимости натуральных чисел относятся рассмотренные мною признаки делимости на 3, 9, 11

• Признак делимости на 3: число делится на 3, если его сумма цифр делится на 3.

Например: 5421: 3 т.к. 5+4+2+1=12, (12:3)

• Признак делимости на 9: число делится на 9, если его сумма цифр делится на 9.

Например: 653022: 9 т.к. 6+5+3+0+2+2=18, (18:9)

• Признак делимости на 11: на 11 делятся те числа, у которых сумма цифр, стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на чётных местах, либо отличается от неё на число, кратное 11.

Например: 865948732:11 т.к. 8+5+4+7+2=26 и 6+9+8+3=26 (26=26); 815248742:11 т.к. 8+5+4+7+2=26 и 1+2+8+4=15, 26-15=11, (11:11)

III . Делимость чисел определяется после выполнения каких-то действий

над цифрами этого числа

К этой группе признаков делимости натуральных чисел относятся признаки делимости на: 6, 7, 11, 13,17, 19, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 41, 59, 79, 99, 101

Признак делимости на 6:

• Признак 1: число делится на 6 тогда, когда результат вычитания удвоенного числа сотен из числа, стоящего после сотен делится на 6.

Например: 138: 6 т.к. 1·2=2, 38 – 2=36, (36:6); 744:6 т.к. 44 – 7·2=30, (30:6)

• Признак 2: число делится на 6 тогда и только тогда, когда учетверённое число десятков, сложенное с числом единиц делится на 6.

Например: 768:6 т.к. 76·4+8=312, 31·4+2=126, 12·4+6=54 (54:6)

Признаки делимости на 7:

• Признак 1: число делится на 7 тогда, когда утроенное число десятков, сложенное с числом единиц, делится на 7.

Например: число 154:7, т.к. на 7 делятся 15·3 + 4 = 49 (49:7)

• Признак 2: число делится на 7 тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по три цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «-» делится на 7.

Например, 138689257:7, т.к. ǀ138-689+257ǀ=294 (294:7)

Признаки делимости на 11:

• Признак 1: число делится на 11 тогда, когда модуль разности между суммой цифр, занимающих нечётные позиции, и суммой цифр, занимающих чётные места делится на 11.

Например, 9163627:11, т.к. ǀ(9+6+6+7)-(1+3+2)ǀ=22 (22:11)

• Признак 2: число делится на 11 тогда, когда на 11 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц).

Например, 103785:11, т.к. 10+37+85=132 и 01+32=33 (33:11)

Признаки делимости на 13:

• Признак 1: число делится на 13 тогда, когда сумма числа десятков с учетверенным числом единиц делится на 13

Например, 845:13, т.к. 84+5·4=104, 10+4·4=26 (26:13)

• Признак 2: число делится на 13 тогда, когда разность числа десятков с девятикратным числом единиц делится на 13.

Например, 845:13, т.к. 84-5·9=39 (39:13)

Признак делимости на 17: число делится на 17 тогда, когда модуль разности числа десятков и пятикратного числа единиц делится на 17.

Например, 221:17, т.к. ǀ22-5·1ǀ=17

Признаки делимости на 19: число делится на 19 тогда, когда число десятков, с ложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.

Например, 646:19, т.к. 64+6·2=76, 7+2·6=19, (19:19)

Признаки делимости на 23:

• Признак 1: число делится на 23 тогда, когда число сотен, сложенное с утроенным числом, образованным двумя последними цифрами, делится на 23.

Например, 28842:23, т.к. 288+3·42=414, 4+3·14=46 (46:23)

• Признак 2: число делится на 23 тогда, когда число десятков, сложенное с семикратным числом единиц, делится на 23.

Например, 391:23, т.к. 39+7·1=46 (46:23)

• Признак 3: число делится на 23 тогда, когда число сотен, сложенное с семикратным числом десятков и утроенным числом единиц, делится на 23.

Например, 391:23, т.к. 3+7·9+3·1=69 (69:23)

Признак делимости на 27: число делится на 27 тогда, когда на 27 делится сумма чисел, образующих группы по три цифры (начиная с единиц).

Например, 2705427:27 т.к. 427+705+2=1134, 134+1=135, (135:27)

Признак делимости на 29: число делится на 29 тогда, когда число десятков, сложенное с утроенным числом единиц, делится на 29

Например, 261:29, т.к. 26+3·1=29 (29:29)

Признак делимости на 31: число делится на 31 тогда, когда модуль разности числа десятков и утроенного числа единиц делится на 31.

Например, 217:31, т.к. ǀ21-3·7ǀ= 0, (0:31)

Признаки делимости на 33: если сумма, составленная при разбивании числа справа налево на группы по две цифры, делится на 33, то и число делится на 33.

Например, 396:33, т.к. 96+3=99 (99:33)

Признаки делимости на 37:

• Признак 1 : число делится на 37 тогда, когда при разбиении числа на группы по три цифры (начиная с единиц) сумма этих групп кратна 37.

Например , число 100048:37, т.к. 100+048=148, (148:37)

• Признак 2: число делится на 37 тогда, когда на 37 делится модуль утроенного числа сотен, сложенного с учетверённым числом десятков, за вычетом числа единиц, умноженного на семь.

Например, число 481:37, так как на 37 делится ǀ3·4+4·8-7·1ǀ=37

Признаки делимости на 41:

• Признак 1: число делится на 41 тогда, когда модуль разности числа десятков и четырёхкратного числа единиц делится на 41.

Например, 369:41, т.к. ǀ36-4·9ǀ=0, (0:41)

• Признак 2: чтобы проверить, делится ли число на 41, его следует справа налево разбить на группы по 5 цифр в каждой. Затем в каждой группе первую справа цифру умножить на 1, вторую цифру умножить на 10, третью - на 18, четвёртую - на 16, пятую - на 37 и все полученные произведения сложить. Если результат будет делиться на 41, тогда и само число будет делиться на 41.

Признак делимости на 59: число делится на 59 тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 6, делится на 59.

Например, 767:59, т.к. 76+7·6=118, 11+8·6=59, (59:59)

Признак делимости на 79: число делится на 79 тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 8, делится на 79.

Например, 711:79, т.к. 71+8·1=79, (79:79)

Признак делимости на 99: число делится на 99 тогда, когда на 99 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц).

Например, 12573:99, т.к. 1+25+73=99, (99:99)

Признак делимости на 101: число делится на 101 тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по две цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «–» делится на 101.

Например , 590547:101, т.к. ǀ59-5+47ǀ=101, (101:101)

IV . Для определения делимости числа используются другие признаки делимости

К этой группе признаков делимости натуральных чисел относятся признаки делимости на: 6, 12, 14, 15, 27, 30, 60 и т.д. Эти все числа - составные. Признаки делимости составных чисел строятся на признаках делимости простых чисел, на которые можно разложить любое составное число.

Признак делимости на 6: число делится на 6 тогда, когда оно делится и на 2, и на 3, то есть, если оно четное и сумма его цифр делится на 3.

Например, 768:6, т.к. 7+6+8=21 (21:3) и последняя цифра в числе 768 – четная.

Признак делимости на 12 : число делится на 12, тогда, когда оно одновременно делится на 3 и на 4.

Например, 408:12, т.к. 4+0+8=12 (12:3) и две последние цифры делятся на 4 (08:4)

Признак делимости на 14: число делится на 14 тогда, когда оно делится на 2 и на 7.

Например, число 45612:14 т. к. оно делится и на 2 и на 7 , значит, оно делится и на 14

Признак делимости на 15: число делится на 15 тогда, когда оно делится на 3 и на 5.

Например, 1146795:15 т.к. это число делится и на 3 и на 5

Признаки делимости на 27: число делится на 27 тогда, когда оно делится на 3 и на 9. Например, 511704:27 т.к. 5+1+1+7+0+4=18, (18:3 и 18:9)

Признаки делимости на 30: число делится на 30 тогда, когда оно заканчивается на 0 и сумма всех цифр делится на 3.

Например, 510:30 т.к. 5+1+0=6 (6:3) и в числе 510 (последняя цифра 0)

Признаки делимости на 60: для того, чтобы число делилось на 60, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 4, на 3, на 5.

Например, 1620:60 т.к. 1+6+2+0=9 (9:3), число 1620 заканчивается 0, т.е. делится на 5 и 1620: 4 т.к. две последние цифры 20:4

Применение признаков делимости на практике

Работа имеет практическое применение. Ее могут использовать школьники и взрослые при решении реальных ситуаций; учителя, как при проведении уроков по математике, так и на факультативных курсах и дополнительных занятий на повторение.

Данное исследование будет полезным для учащихся при самостоятельной подготовке к выпускным и вступительным экзаменам. А также будет полезно и для учеников, целью которых стали высокие места на городских олимпиадах .

Задача № 1 . Можно ли, используя только цифры 3 и 4, записать:

• число, которое делиться на 10;
• четное число;
• число, кратное 5;
• нечетное число

Задача № 3 : Найдите наибольшее четырехзначное число, все цифры которого различны и которое делится на 2, 5, 9, 11.

Ответ: 8910

Задача № 4: Оля задумала простое трехзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру оно может заканчиваться, если его последняя цифра равна сумме первых двух. Приведите примеры таких чисел.

Ответ: только на 7. Есть 4 числа удовлетворяющие условию задачи: 167, 257, 347, 527

Задача № 5 : В двух классах вместе 70 учеников. В одном классе 7/17 учеников не явились на занятия, а в другом 2/9 получили отличные отметки по математике. Сколько учеников в каждом классе?

Решение: В первом из этих классов могло быть: 17, 34, 51… - числа, кратные 17. Во втором классе: 9, 18, 27, 36, 45, 54… - числа, кратные 9. Нам нужно выбрать 1 число из первой последовательности, а 2 число из второй так, чтобы они в сумме давали 70. Причем в этих последовательностях только небольшое число членов могут выражать возможное количество детей в классе. Это соображение существенно ограничивает перебор вариантов. Возможным единственным вариантом оказалась пара (34, 36).

Задача № 6 : В 9 классе за контрольную работу 1/7 учеников получили пятёрки, 1/3 – четверки, ½ - тройки. Остальные работы оказались неудовлетворительными. Сколько было таких работ?

Решение: Решением задачи должно являться число, кратное числам: 7, 3, 2. Найдем сначала наименьшее из таких чисел. НОК (7, 3, 2) = 42. Можно составить выражение по условию задачи: 42 – (42: 7 + 42: 3 + 42: 2) = 1 – 1 неуспевающий. Математические отношение отношения задачи допускают, что число учеников в классе 84, 126 и т.д. человек. Но из соображений здравого смысла следует, что наиболее приемлемым ответом является число 42.

Ответ: 1 работа.

Заключение:

В результате выполнения данной работы я узнала, что кроме известных мне признаков делимости на 2, 3, 5, 9 и 10 существуют еще и другие признаки делимости натуральных чисел. Полученные знания значительно ускоряют решение многих задач. И я смогу использовать эти знания в своей учебной деятельности, как на уроках математики, так и во внеклассных занятиях. Следует так же отметить, что формулировки некоторых признаков делимости сложные. Может быть, поэтому они не изучаются в школе. Предполагаю и в дальнейшем продолжить работу по изучению признаков делимости натуральных чисел.

• Энциклопедический словарь юного математика. Савин А.П. Москва «Педагогика» 1989.
• Математика. Дополнительные материалы к уроку математики 5-11 классы. Рязановский А.Р., Зайцев Е.А. Москва «Дрофа» 2002.
• За страницами учебника математики. Виленкин Н.Я., Депман И.Я. М.: Просвещение, 1989.
• Внеклассная работа по математике в 6-8 классах. Москва. «Просвещение» 1984 г. В. А. Гусев, А. И. Орлов, А. Л. Розенталь.
• «1001 вопрос и ответ. Большая книга знаний» Москва. «Мир книги» 2004.
• Факультативный курс по математике. Никольская И.Л. – Москва. Просвещение 1991.
• Олимпиадные задачи по математике и методы их решения. Фарков А. В. - Москва. 2003г.
• Интернет ресурсы.

Называют числа, используемые для счета. Каждому количеству предметов счета соответствует некоторое натуральное число. Если предметов для счета нет, то используется число 0, но при счете предметов мы никогда не начинают с 0, и соответственно число 0 нельзя отнести к натуральным. Понятно, что наименьшим натуральное число является единица. Наибольшего натурального числа не существует, потому что каким бы большим не было число, всегда можно прибавить к нему 1 и записать следующее натуральное число.

Разберем простейший пример деления: разделим число 30 на число 5 (остаток при делении числа 30 на число 5 равен 0), по- сколку 30 = 5 . 6. Значит число 30 делится нацело на число 5. Число 5 - делитель числа 30, а число 30 — кратно числу 5.

Натуральное число k n , если найдётся такое натуральное число m , для которого справедливо равенство k = n . m .

Или другими словами, чтобы разделить одно число на другое, надо найти такое трете число, которое при умножении на второе дает первое

Если натуральное число k делится нацело на натуральное число n , то число k называют кратным числа ,

число n — делителем числа k .

Числа 1, 2, 3, 6, 10, 15, 30 также являются делителями числа 30, а число 30 является кратным каждого из этих чисел. Заметим, что число 30 не делится нацело, например, на число 7. Поэтому число 7 не является делителем числа 30, а число 30 не кратно числу 7.

Выполнив действия по делению говорят: «Число k делится нацело на число n », «Число n является делителем числа k », «Число k кратно числу n », «Число k является кратным числа n ».

Легко записать все делители числа 6. Это числа 1, 2, 3 и 6. А можно ли перечислить все числа, кратные числу 6? Числа 6. 1, 6. 2, 6. 3, 6. 4, 6. 5 и т. д. кратны числу 6. Получаем, что чисел, кратных числу 6, — бесконечно много. Поэтому перечислить их все невозможно.

Вообще, для любого натурального числа k каждое из чисел

k . 1, k . 2, k . 3, k . 4 , ...

является кратным числа k .

Наименьшим делителем любого натурального чис-ла k является число 1, а наибольшим делителем — само число k .

Среди чисел, кратных числу k , наибольшего нет, а наименьшее есть — это само число k .

Каждое из чисел 21 и 36 делится нацело на число 3, и их сумма, число 57, также делится нацело на число 3. Вообще, если каждое из чисел k и n делится нацело на число m , то и сумма k + n также делится нацело на число m .

Каждое из чисел 4 и 8 не делится нацело на число 3, а их сумма, число 12, делится нацело на число 3. Каждое из чисел 9 и 7 не делится нацело на число 5, и их сумма, число 16, не делится нацело на число 5. Вообще, если ни число k , ни число n не делятся нацело на число m , то сумма k + n может делиться, а может и не делиться нацело на число m.

Число 35 делится без остатка на число 7, а число 17 на число 7 нацело не делится. Сумма 35 + 17 нацело на число 7 также не делится. Вообще, если число k делится нацело на число m и число n не делится нацело на число m , то сумма k + n не делится нацело на число m.

Образовательная область: естествознание.

Раздел: «Математика»

Исследовательская работа на тему:

«Признаки делимости натуральных чисел »

Руководитель: Лапко И.В.

учитель математики

Введение:

1. Факты из истории математики.

2. Признаки делимости на 2, 3, 4, 5 ,6,8, 9, 10.

3. Признаки делимости натуральных чисел на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 25,50.

4.Решение задач с использованием признаков делимости.

6.Список использованной литературы (источников).

Актуальность: Все мы в школе учили признаки делимости, которые по сей день помогают нам без лишней потери времени, быстро и безошибочно разделить то или иное число. Не так давно вспомнив эту тем, мне стало интересно, а существуют ли еще другие признаки делимости на натуральные числа. И именно эта мысль, подтолкнула меня на написание исследовательской работы.
Гипотеза: если можно определить делимость натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10, то вероятней всего есть признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел на другие числа.
Объект исследования: делимость натуральных чисел.

Предмет исследования: признаки делимости натуральных чисел.

Цель: дополнить уже известные признаки делимости натуральных чисел нацело, изучаемые в школе.

Задачи:
1.Дать определение и повторить уже изученные признаки делимости на 2, 3. 5, 9, 10.
2. ​ Изучить дополнительную литературу, подтверждающую правильность поднятого вопроса о существовании других признаков делимости натуральных чисел.
3.Самостоятельно проверить и получить признаки делимости натуральных чисел на 4, 6, 8, 15, 25.
4. Найти из дополнительной литературы признаки делимости натуральных чисел на 7, 11,12,13,14.
5.Сделать вывод.
Новизна: в ходе выполнения проекта я пополнила свои знания о признаках делимости натуральных чисел.

Методы исследования: сбор материала, обработка данных, наблюдение, сравнение, анализ, обобщение.

1. Факты из истории математики

1. При́знак дели́мости — алгоритм , позволяющий сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному
Признак делимости - это правило, по которому, не выполняя деления можно определить, делится ли одно натуральное число на другое. Признаки делимости всегда интересовали ученых разных стран и времен.Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10, были известны с давних времен. Признак делимости на 2 знали древние египтяне за 2 тысячи лет до нашей эры, а признаки делимости на 2, 3, 5 были обстоятельно изложены итальянским математиком Леона́рдо Пиза́нским (лат. Leonardus Pisanus, итал. Leonardo Pisano, около 1170 года, Пиза — около 1250 года, там же) — первый крупный математик средневековой Европы. Наиболее известен под прозвищем Фибона́ччи. над этим же вопросом в свое время задумался живший в 3 веке до нашей эры александрийский ученый Эратосфен. Его метод составления списка простых чисел назвали «решето Эратосфена». Пусть надо найти все простые числа до 100. Напишем подряд все числа до 100.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100.

Оставив число 2, зачеркнем все остальные четные числа. Первым уцелевшим числом после 2 будет 3. Теперь, оставив число 3, зачеркнем числа, делящиеся на 3. Затем зачеркнем числа, делящиеся на 5. В результате все составные числа окажутся вычеркнутыми и останутся только простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. По этому методу можно составлять списки простых чисел, больших 100.

Вопросы делимости чисел рассматривались пифагорейцами. В теории чисел ими была проведена большая работа по типологии натуральных чисел. Пифагорейцы делили их на классы. Выделялись классы: совершенных чисел (число равное сумме своих собственных делителей, например: 6=1+2+3), дружественных чисел (каждое из которых равно сумме делителей другого, например 220 и 284: 284=1+2+4+5+10+20+11+22+44+55+110; 220=1+2+4+71+142), фигурных чисел (треугольное число, квадратное число), простых чисел и др. Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Блез Паскаль (1623-1662г.г.). Юный Блез очень рано проявил выдающиеся математические способности, научившись считать раньше, чем читать. Вообще, его пример - это классический случай детской математической гениальности. Свой первый математический трактат «Опыт теории конических сечений» он написал в 24 года. Примерно в это же время он сконструировал механическую суммирующую машинку, прообраз арифмометра. В ранний период своего творчества (1640-1650г.г.) разносторонний ученый нашел алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, из которого следуют все частные признаки. Его признак состоит в следующем: Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа a на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b, делится на это число.
При изучении данной темы необходимо знать понятия делитель, кратное, простое и составное числа.Делителем натурального числа а называют натуральное число b, на которое а делится без остатка.Часто утверждение о делимости числа а на число b выражают другими равнозначными словами: а кратно b, b - делитель а, b делит а.Простыми называются натуральные числа, которые имеют два делителя: 1 и само число. Например, числа 5,7,19 - простые, т.к. делятся на 1 и само себя. Числа, которые имеют более двух делителей, называются составными. Например, число 14 имеет 4 делителя: 1, 2, 7, 14, значит оно составное.

2. Признаки делимости

Для упрощения деления натуральных чисел были выведены правила деления на числа первого десятка и числа 11, 25, которые объединены в раздел признаков делимости натуральных чисел. Ниже приводятся правила, по которым анализ числа без его деления на другое натуральное число даст ответ на вопрос, кратно ли натуральное число числам 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 25 и разрядной единице?

Натуральные числа, имеющие в первом разряде цифры (оканчивающиеся на) 2,4,6,8,0, называются четными.

Признак делимости чисел на 2

На 2 делятся все четные натуральные числа, например: 172, 94,67 838, 1670.

Например, число 52 738 делится на 2, так как последняя цифра 8 - четная; 7691 не делится на 2, так как 1 - цифра нечетная; 1250 делится на 2, так как последняя цифра нуль.

Признак делимости чисел на 3

На 3 делятся все натуральные числа, сумма цифр которых кратна 3. Например:
39 (3 + 9 = 12; 12: 3 = 4);

16 734 (1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 21; 21:3 = 7).

Примеры.

Число 52 632 делится на 9, так как сумма его цифр (18) делится на 9.

Признак делимости чисел на 4

На 4 делятся все натуральные числа, две последние цифры которых составляют нули или число, кратное 4.
124 (24: 4 = 6);
103 456 (56: 4 = 14).

Примеры.
31 700 делится на 4, так как оканчивается двумя нулями;
215 634 не делится на 4, так как последние две цифры дают число 34, не делящееся на 4;
16 608 делится на 4, так как две последние цифры 08 дают число 8, делящееся, на 4.

Признак делимости чисел на 5

Признак делимости чисел на 6

На 6 делятся те натуральные числа, которые делятся на 2 и на 3 одновременно (все четные числа, которые делятся на 3). Например: 126 (б — четное, 1 + 2 + 6 = 9, 9: 3 = 3).

Признак делимости чисел на 8

На 8 делятся те и только те числа, которые оканчиваются тремя нулями или у которых три последние цифры выражают число, делящееся соответственно на 8 Пример

Число 853 000 заканчивается тремя нулями, значит, оно делится и на 8

Число 381 864 делится на 8, так как число, образованное тремя последними цифрами 864 делится на 8.

Пр изнак делимости чисел на 9

На 9 делятся те натуральные числа, сумма цифр которых кратна 9. Например:
1179 (1 + 1 + 7 + 9 = 18, 18: 9 = 2).

Примеры.
Число 17835 делится на 3 и не делится на 9, так как сумма его цифр 1 +7 + 8 + 3 + 5 = 24 делится на 3 и не делится на 9.
Число 105 499 не делится ни на 3, ни на 9, так как сумма его цифр (29) не делится ни на 3, ни на 9.
Число 52 632 делится на 9, так как сумма его цифр (18) делится на 9

Признак делимости чисел на 10

Примеры.
8200 делится на 10 и на 100;
542000 делится на 10, 100, 1000.

3. Признаки делимости натуральных чисел на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 25,50.

Из дополнительной литературы мы нашли подтверждение правильности сформулированных нами признаков делимости натуральных чисел на 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000. Так же мы нашли несколько признаков делимости на 7:
1) Натуральное число делится на 7 тогда и только тогда, когда разность числа тысяч и числа, выражаемого последними тремя цифрами, делится на 7.
Примеры:
478009 делится на 7, т.к. 478-9=469, 469 делится на 7.
479345 не делится на 7, т.к. 479-345=134, 134 не делится на 7.
2) Натуральное число делится на 7, если сумма удвоенного числа, стоящего до десятков и оставшегося числа делится на 7.
Примеры:
4592 делится на 7, т.к. 45·2=90, 90+92=182, 182 делится на 7.
57384 не делится на 7, т.к. 573·2=1146, 1146+84=1230, 1230 не делится на 7.
3) Трехзначное натуральное число вида аbа будет делиться на 7, если а+b делится на 7.
Примеры:
252 делится на 7, т.к. 2+5=7, 7/7.
636 не делится на 7, т.к. 6+3=9, 9 не делится на 7.
4) Трехзначное натуральное число вида bаа будет делиться на 7, если сумма цифр числа делится на 7.
Примеры:
455 делится на 7, т.к. 4+5+5=14, 14/7.
244 не делится на 7, т.к. 2+4+4=12, 12 не делится на 7.
5) Трехзначное натуральное число вида ааb будет делиться на 7, если 2а-b делится на 7.
Примеры:
882 делится на 7,т.к. 8+8-2=14, 14/7.
996 не делится на 7, т.к. 9+9-6=12, 12 не делится на 7.
6) Четырехзначное натуральное число вида bаа, где b-двухзначное число, будет делиться на 7, если b+2а делится на 7.
Примеры:
2744 делится на 7, т.к. 27+4+4=35, 35/7.
1955 не делится на 7, т.к. 19+5+5=29, 29 не делится на 7.
7) Натуральное число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.
Примеры:
483 делится на 7, т.к. 48-3·2=42, 42/7.
564 не делится на 7, т.к. 56-4·2=48, 48 не делится на 7.
8) Натуральное число делится на 7 тогда и только тогда, когда сумма произведений цифр числа на соответствующие остатки получаемые при делении разрядных единиц на число 7, делится на 7.
Примеры:
10׃7=1 (ост 3)
100׃7=14 (ост 2)
1000׃7=142 (ост 6)
10000׃7=1428 (ост 4)
100000׃7=14285 (ост 5)
1000000׃7=142857 (ост 1) и снова повторяются остатки.
Число 1316 делится на 7, т.к. 1·6+3·2+1·3+6=21, 21/7(6-ост. от деления 1000 на 7; 2-ост. от деления 100 на 7; 3- ост. от деления 10 на 7).
Число 354722 не делится на7,т.к. 3·5+5·4+4·6+7·2+2·3+2=81, 81 не делится на 7(5-ост. от деления 100 000 на 7; 4 -ост. от деления 10 000 на 7; 6-ост. от деления 1000 на 7; 2-ост. от деления 100 на 7; 3-ост. от деления 10 на 7).
Признаки делимости на 11 .
1) Число делится на 11, если разность суммы цифр стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах, кратна 11.
Разность может быть отрицательным числом или 0, но обязательно должна быть кратной 11. Нумерация идет слева направо.
Пример:
2135704 2+3+7+4=16, 1+5+0=6, 16-6=10, 10 не кратно 11, значит, это число не делится на 11.
1352736 1+5+7+6=19, 3+2+3=8, 19-8=11, 11 кратно 11, значит, это число делится на 11.
2) Натуральное число разбивают справа налево на группы по 2 цифры в каждой и складывают эти группы. Если получаемая сумма кратна 11, то испытуемое число кратно 11.
Пример: Определим, делится ли число 12561714 на 11.
Разобьем число на группы по две цифры в каждой: 12/56/17/14; 12+56+17+14=99, 99 делится на 11, значит, данное число делится на 11.
3) Трехзначное натуральное число делится на 11, если сумма боковых цифр числа равна цифре, которая в середине. Ответ будет состоять из тех самых боковых цифр.
Примеры:
594 делится на11, т.к. 5+4=9, 9-в середине.
473 делится на 11, т.к. 4+3=7, 7- в середине.
861 не делится на 11, т.к. 8+1=9, а в середине 6.
Признак делимости на 12
Натуральное число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и 4 одновременно.
Примеры:
636 делится на 3 и на 4, значит, оно делится на 12.
587 не делится ни на 3, ни на 4, значит, оно не делится на 12.
27126 делится на 3, но не делится на 4, значит, оно не делится на 12.
Признаки делимости на 13
1) Натуральное число делится на 13, если разность числа тысяч и числа, образованного последними тремя цифрами, делится на 13.
Примеры:
Число 465400 делится на 13, т.к. 465 - 400 = 65, 65 делится на 13.
Число 256184 не делится на 13, т.к. 256 - 184 = 72, 72 не делится на 13.
2) Натуральное число делится на 13 тогда и только тогда, когда результат вычитания последней цифры, умноженной на 9, из этого числа без последней цифры, делится на 13.
Примеры:
988 делится на 13, т.к. 98 - 9·8 = 26, 26 делится на 13.
853 не делится на 13, т.к. 85 - 3·9 = 58, 58 не делится на 13.
Признак делимости на 14
Натуральное число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7 одновременно.
Примеры:
Число 45826 делится на 2, но не делится на 7, значит, оно не делится на 14.
Число 1771 делится на 7, но не делится на 2, значит, оно не делится на 14.
Число 35882 делится на 2 и на 7, значит, оно делится на 14.
Признак делимости на 19
Натуральное число делится на 19 без остатка тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.
Следует учесть, что число десятков в числе надо считать не цифру в разряде десятков, а общее число целых десятков во всем числе.
Примеры:
1534 десятков-153, 4·2=8, 153+8=161, 161 не делится на 19,значит, и 1534 не делится на 19.
1824 182+4·2=190, 190/19, значит, число 1824/19.
Признак делимости на 25 и 50
на 25 или на 50 делятся те и только те числа, которые оканчиваются двумя нулями или у которых две последние цифры выражают число, делящееся соответственно на 25 или на 50.

Число 97300 заканчивается двумя нулями, значит, оно делится, и на 25, и на 50.

Число 79 450 делится на 25, и на 50, так как число, образованное двумя последними цифрами 50 делится и на 25, и на 50.

4.Решение задач с использованием признаков делимости.

Продавец в магазине.

Покупатель взял в магазине пакет молока, стоимостью 34,5 рубля, коробку творога, стоимостью 36 рублей, 6 пирожных и 3 килограмма сахара. Когда кассир выбила чек на 296 рублей, покупатель потребовал проверить расчет и исправить ошибку. Как определил покупатель, что счёт неверен?

Решение: Стоимость купленных товаров каждого вида выражается числом, кратным 3-м (для товаров первых двух видов цена кратна 3-м, а для остальных - кол-во купленных товаров кратно 3-м).Если каждое из слагаемых делится на 3, то и сумма должна делиться на 3. Число 296 на 3 не делится, следовательно, расчет неверен.

Яблоки в ящи ке.

Число яблок в ящике меньше 200. Их можно разделить поровну между 2,3,4,5 и 6 детьми. Какое максимальное количество яблок может быть в ящике?

Решение.

НОК(2,3,4,5,6) = 60.

60х < 200, значит максимальное количество яблок в ящике = 180

Ответ: 180 яблок.

5. Вывод:

Выполняя работу, я познакомилась с историей развития признаков делимости, сформулировала признаки делимости натуральных чисел на 4, 6, 8, 15, 25,50 и нашла подтверждение этого из дополнительной литературы. А так же убедилась в том, что существуют другие признаки делимости натуральных чисел (на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37), что подтвердило правильность гипотезы о существовании других признаков делимости натуральных чисел.

Список использованной литературы (источников):

1.​ Галкин В.А. Задачи по теме «Признаки делимости ».// Математика, 1999.-№5.-С.9.

2.​ Гусев В.А., Орлов А.И., Розенталь А.Л. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах.- М.: Просвещение, 1984.

3.​ Каплун Л.М. НОД и НОК в задачах. // Математика, 1999.- №7. - С. 4-6.

4.​ Пельман Я.И. Математика - это интересно! - М.: ТЕРРА - Книжный клуб, 2006

5.​ Энциклопедический словарь юного математика./ Сост. Савин А.П. - М.: Педагогика, 1989. - С. 352.

6.​ Ресурсы- Internet.