Пересечение цилиндра и конуса. Изучение теории конических сечений Текстовая расшифровка урока

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

Мы продолжаем изучение раздела стереометрии «Тела вращения».

К телам вращения относят: цилиндры, конусы, шары.

Вспомним, определения.

Высота - это расстояние от вершины фигуры или тела до основания фигуры (тела). Иначе - отрезок, соединяющий вершину и основание фигуры и перпендикулярный ему.

Вспомним, чтобы найти площадь круга нужно пи умножить на квадрат радиуса.

Площадь круга равна.

Вспомним, как найти площадь круга, зная диаметр? Так как

подставим в формулу:

Конус тоже является телом вращения.

Конусом (точнее, круговым конусом) называется тело, которое состоит из круга — основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга, — вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основа¬ния.

Познакомимся с формулой нахождения объема конуса.

Теорема. Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Докажем данную теорему.

Дано: конус, S — площадь его основания,

h — высота конуса

Доказать: V=

Доказательство: Рассмотрим конус объемом V, радиусом основания R, высотой h и вершиной в точке O.

Введем ось Оx через ОМ — ось конуса. Произвольное сечение конуса плоскостью, перпендикулярной к оси Ох, является кругом с центром в точке

М1 - точке пересечения этой плоскости с осью Ох. Обозначим радиус этого круга через R1, а площадь сечения через S(х), где х — абсцисса точки М1.

Из подобия прямоугольных треугольников ОМ1A1 и ОМА (ے ОМ1A1 = ے ОМА — прямые, ےМОА-общий, значит, треугольники подобны по двум углам) следует, что

Из рисунка видно что ОМ1=х, OM=h

или откуда по свойству пропорции находим R1 = .

Поскольку сечением является круг, то S(х)=πR12 , подставим вместо R1 предыдущее выражение, площадь сечения равна отношению произведения пи эр квадрата на квадрат х к квадрату высоты:

Применим основную формулу

вычисления объёмов тел, при а=0, b=h, получим выражение (1)

Так как основание конуса - круг, то площадь S основания конуса будет равна пи эр квадрат

в формуле вычисления объема тела заменим значение пи эр квадрат на площадь основания и получим, что объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту

Теорема доказана.

Следствие из теоремы (формула объема усеченного конуса)

Объем V усеченного конуса, высота которого равна h, а площади оснований S и S1, вычисляется по формуле

Вэ равно одна третья аш умноженное на сумму площадей оснований и корня квадратного из произведения площадей основания.

Решение задач

Прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см вращается около гипотенузы. Определите объем полученного тела.

При вращении треугольника вокруг гипотенузы получаем конус. При решении данной задачи важно понимать, что возможно два случая. В каждом из них мы применяем формулу для нахождения объема конуса: объем конуса равен одной трети произведения основания на высоту

В первом случае рисунок будет выглядеть следующим образом: дан конус. Пусть радиус r = 4, высота h = 3

Площадь основания равна произведению π на квадрат радиуса

Тогда объем конуса равен одной трети произведения π на квадрат радиуса и на высоту.

Подставим в формулу значение, получается, объем конуса равен 16π.

Во втором случае вот так: дан конус. Пусть радиус r = 3, высота h = 4

Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту:

Площадь основания равна произведению π на квадрат радиуса:

Тогда объем конуса равен одной трети произведения π на квадрат радиуса и на высоту:

Подставим в формулу значение, получается, объем конуса равен 12π.

Ответ: Объём конуса V равен 16 π или 12 π

Задача 2. Дан прямой круговой конус с радиусом 6 см, угол ВСО = 45 .

Найдите объем конуса.

Решение: К данной задаче дается готовый чертеж.

Запишем формулу для нахождения объема конуса:

Выразим её через радиус основания R:

Находим h =BO по построению, - прямоугольный, т.к. угол ВОС=90 (сумма углов треугольника), углы при основании равны, значит треугольник ΔBOC равнобедренный и BO=OC=6 см.

V цилиндра = S осн. ∙ h

Пример 2. Дан прямой круговой конус АВС равносторонний, ВО = 10 . Найдите объем конуса.

Решение

Найдем радиус основания конуса. С= 60 0 , В=30 0 ,

Пусть ОС = а , тогда ВС = 2а . По теореме Пифагора:

Ответ: .

Пример 3 . Вычислить объемы фигур, образованных вращением площадей, ограниченных указанными линиями.

y 2 = 4x; y = 0; x = 4.

Пределы интегрирования a = 0, b = 4.

V= | =32π

Задания

Вариант 1

1. Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 4 дм. Найти объем цилиндра.

2. Внешний диаметр полого шара равен 18 см, толщина стенок 3 см. Найти объем стенок шара.

х фигуры, ограниченной линиями у 2 =х, у=0, х=1, х=2.

Вариант 2

1. Радиусы трех шаров равны 6 см, 8 см, 10 см. определить радиус шара, объем которого равен сумме объемов данных шаров.

2. Площадь основания конуса 9 см 2 , площадь полной поверхности его 24 см 2 . Найти объем конуса.

3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями у 2 =2х, у=0, х=2, х=4.

Контрольные вопросы:

1. Напишите свойства объемов тел.

2. Напишите формулу для вычисления объема тела вращения вокруг оси Оу.

Диагностическая работа состоит из двух частей, включающих в себя 19 заданий. Часть 1 содержит 8 заданий базового уровня сложности с кратким ответом. Часть 2 содержит 4 задания повышенного уровня сложности с кратким ответом и 7 заданий повышенного и высокого уровней сложности с развернутым ответом.
На выполнение диагностической работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут).
Ответы к заданиям 1-12 записываются в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Числа запишите в поля ответов в тексте работы, а затем перенесите в бланк ответов № 1. При выполнении заданий 13-19 требуется записать полное решение и ответ в бланк ответов № 2.
Все бланки заполняются яркими чёрными чернилами. Допускается использование гелевой, капиллярной или перьевой ручек.
При выполнении заданий можно пользоваться черновиком. Записи в черновике не учитываются при оценивании работы.
Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются.
Желаем успеха!

Условия задач

1. Найдите , если
2. Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием = 30 см. Расстояние от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 40 до 65 см, а расстояние от линзы до экрана - в пределах от 75 до 100 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение . Укажите, на каком наибольшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким. Ответ выразите в сантиметрах.
3. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 300 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 15 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 50 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.
4. Найдите наименьшее значение функции на отрезке
5. а) Решите уравнение б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
6. Дан прямой круговой конус с вершиной М . Осевое сечение конуса - треугольник с углом 120° при вершине М . Образующая конуса равна . Через точку М проведено сечение конуса, перпендикулярное одной из образующих.
   а) Докажите, что получившийся в сечении треугольник - тупоугольный.
   б) Найдите расстояние от центра О основания конуса до плоскости сечения.
7. Решите уравнение
8. Окружность с центром О касается боковой стороны АВ равнобедренного треугольника ABC, продолжения боковой стороны АС и продолжения основания ВС в точке N . Точка М - середина основания ВС.
   а) Докажите, что MN = АС.
   б) Найдите ОС, если стороны треугольника ABC равны 5, 5 и 8.
9. Бизнес-проект «А» предполагает в течение первых двух лет рост вложенных в него сумм на 34,56% ежегодно и на 44% ежегодно в течение следующих двух лет. Проект «Б» предполагает рост на постоянное целое число n процентов ежегодно. Найдите наименьшее значение n , при котором за первые четыре года проект «Б» будет выгоднее проекта «А».
10. Найдите все значения параметра , , при каждом из которых система уравнений имеет единственное решение
11. Аня играет в игру: на доске написаны два различных натуральных числа и , оба меньше 1000. Если и оба натуральные, то Аня делает ход - заменяет этими двумя числами предыдущие. Если хотя бы одно из этих чисел не является натуральным, то игра прекращается.
    а) Может ли игра продолжаться ровно три хода?
    б) Существуют ли два начальных числа таких, что игра будет продолжаться не менее 9 ходов?
    в) Аня сделала первый ход в игре. Найдите наибольшее возможное отношение произведения полученных двух чисел к произведению