Obliczanie granic funkcji ze szczegółowym rozwiązaniem. Granica sekwencji i funkcji

Rozwiązywanie problemów ze znalezieniem limitów Rozwiązując problemy ze znalezieniem limitów, należy pamiętać o pewnych limitach, aby nie przeliczać ich za każdym razem. Łącząc te znane limity, znajdziemy nowe limity wykorzystując właściwości wskazane w § 4. Dla wygody przedstawiamy najczęściej spotykane granice: Granice 1 lim x - a x a 2 lim 1 = 0 3 lim x- ± co X ± 00 4 lim -L, = oo X->o\X\ 5 lim sin*- l X -о X 6 lim f(x) = f(a), jeśli f (x) jest ciągłe x a Jeśli wiadomo, że funkcja jest ciągła, to zamiast znajdować granicę, obliczamy wartość funkcji. Przykład 1. Znajdź lim (x*-6l:+ 8). Ponieważ funkcja wielowyrazowa X->2 jest ciągła, to lim (x*-6x4- 8) = 2*-6-2 + 8 = 4. x-+2 x*_2x 4-1 Przykład 2. Znajdź lim -G. . Najpierw znajdujemy granicę mianownika: lim [xr-\-bx)= 12 + 5-1 =6; nie jest równe zero X-Y1, co oznacza, że możemy zastosować właściwość 4 § 4, wówczas x™i *" + &* ~~ lim (x2 bx) - 12 + 5-1 ""6 1. Granica mianownik X X jest równy zero, dlatego nie można zastosować własności 4 z § 4. Ponieważ licznik jest liczbą stałą, a mianownik [x2x) -> -0 dla x - - 1, to cały ułamek rośnie nieograniczenie w wartość bezwzględna, czyli lim " 1 X - * - - 1 x* + x Przykład 4. Znajdź lim\-ll*"!"" "Granica mianownika wynosi zero: lim (xr-6lg+ 8) = 2*- 6-2 + 8 = 0, więc właściwość X 4 § 4 nie ma zastosowania. Ale granica licznika jest również równa zeru: lim (x2 - 5d; + 6) = 22 - 5-2-f 6 = 0. Zatem granice licznika i mianownika są jednocześnie równe zero. Jednak liczba 2 jest pierwiastkiem zarówno licznika, jak i mianownika, zatem ułamek można pomniejszyć o różnicę x-2 (zgodnie z twierdzeniem Bezouta). W rzeczywistości x*-5x + 6 (x-2) (x-3) x-3 x"-6x + 8~ (x-2) (x-4) ~~ x-4" zatem xr- - f- 6 g x-3 -1 1 Przykład 5. Znajdź lim xn (n liczba całkowita, dodatnia). X z Mamy xn = X* X . . X, n razy Ponieważ każdy czynnik rośnie bez ograniczeń, iloczyn również rośnie bez ograniczeń, tj. lim xn = oo. x oo Przykład 6. Znajdź lim xn(n liczba całkowita, dodatnia). X -> - CO Mamy xn = x x... x. Ponieważ każdy czynnik rośnie w wartości bezwzględnej, pozostając ujemnym, to w przypadku stopnia parzystego iloczyn będzie rósł w sposób nieograniczony, pozostając dodatnim, tj. lim *n = + oo (dla parzystego n). *-* -о W przypadku stopnia nieparzystego wartość bezwzględna iloczynu rośnie, ale pozostaje ujemna, tj. lim xn = - oo (dla n nieparzystego). p -- 00 Przykład 7. Znajdź lim . x x-*- co * Jeśli m>pu to możemy zapisać: m = n + kt gdzie k>0. Zatem xm b lim -=- = lim -=-= lim x. UP Yn x - x> A x yu Doszliśmy do przykładu 6. Jeśli ti uTL xm I lim lim lim t. X - O x -* yu A X -> co Tutaj licznik pozostaje stały, a mianownik rośnie w wartości bezwzględnej, więc lim -ь = 0. X - *oo X* Zaleca się zapamiętanie wyniku tego przykładu w w następującej postaci: Funkcja potęgi rośnie tym szybciej, im większy jest wykładnik. $хв_Зхг + 7 Przykład 8. Znajdź lim g L -г-= W tym przykładzie x-*® «J* "Г bХ -ох-о, a licznik i mianownik rosną bez ograniczeń. Podzielmy licznik i mianownik mianownik przez największą potęgę x, czyli na xb, wtedy 3 7_ Przykład 9. Znajdź lira... Wykonując przekształcenia otrzymujemy lira... ^ = lim X CO + 3 7 3 Ponieważ lim -5 = 0, lim - , = 0 , to granica mianownika rad-*® X X-+-CD X wynosi zero, natomiast granica licznika wynosi 1. W rezultacie cały ułamek rośnie bez ograniczenia, tj. t. 7x hm X-+ yu Przykład 10. Znajdź lim Obliczmy granicę S mianownika, pamiętając, że funkcja cos* jest ciągła: lira (2 + cos x) = 2 + przytulny = 2. Wtedy x->- S lim (l-fsin*) Przykład 15. Znajdź lim *<*-e>2 i lim e "(X"a)\ Polo X-+ ± co X ± CO naciśnij (l: - a)2 = z; ponieważ (Λ;-a)2 rośnie zawsze nieujemnie i bez ograniczeń z x, to dla x - ±oo nowa zmienna z-*oc. Otrzymujemy zatem qt £<*-«)* = X ->± 00 s=lim ег = oo (patrz uwaga do §5). g -*■ co Podobnie lim e~(X-a)2 = lim e~z=Q, ponieważ x ± oo g m - (x- a)z maleje bez ograniczeń jako x ->±oo (patrz uwaga do §

Limity sprawiają wszystkim studentom matematyki wiele kłopotów. Aby rozwiązać granicę, czasami trzeba zastosować wiele sztuczek i wybrać spośród różnych metod rozwiązania dokładnie tę, która jest odpowiednia dla konkretnego przykładu.

W tym artykule nie pomożemy Ci zrozumieć granic Twoich możliwości ani zrozumieć granic kontroli, ale postaramy się odpowiedzieć na pytanie: jak rozumieć granice w wyższej matematyce? Zrozumienie przychodzi wraz z doświadczeniem, dlatego jednocześnie podamy kilka szczegółowych przykładów rozwiązywania granic wraz z wyjaśnieniami.

Pojęcie granicy w matematyce

Pytanie pierwsze brzmi: jaka jest ta granica i granica czego? Można mówić o granicach ciągów i funkcji numerycznych. Nas interesuje pojęcie granicy funkcji, bo z nią najczęściej spotykają się studenci. Ale najpierw najbardziej ogólna definicja granicy:

Powiedzmy, że istnieje pewna zmienna wartość. Jeśli ta wartość w procesie zmiany nieograniczona zbliża się do pewnej liczby A , To A – granica tej wartości.

Dla funkcji określonej w pewnym przedziale f(x)=y taka liczba nazywana jest granicą A , do którego funkcja dąży, gdy X , zmierzający do pewnego punktu A . Kropka A należy do przedziału, w którym zdefiniowana jest funkcja.

Brzmi to nieporęcznie, ale jest napisane bardzo prosto:

Lim- z angielskiego limit- ograniczenie.

Istnieje również geometryczne wyjaśnienie wyznaczania granicy, ale tutaj nie będziemy zagłębiać się w teorię, ponieważ bardziej interesuje nas praktyczna niż teoretyczna strona zagadnienia. Kiedy to mówimy X dąży do jakiejś wartości, oznacza to, że zmienna nie przyjmuje wartości liczby, lecz zbliża się do niej nieskończenie blisko.

Podajmy konkretny przykład. Zadanie polega na znalezieniu granicy.

Aby rozwiązać ten przykład, zastępujemy wartość x=3 w funkcję. Otrzymujemy:

Przy okazji, jeśli jesteś zainteresowany, przeczytaj osobny artykuł na ten temat.

W przykładach X może dążyć do dowolnej wartości. Może to być dowolna liczba lub nieskończoność. Oto przykład, kiedy X dąży do nieskończoności:

Intuicyjnie im większa liczba w mianowniku, tym mniejszą wartość przyjmie funkcja. A więc z nieograniczonym wzrostem X oznaczający 1/x będzie spadać i zbliżać się do zera.

Jak widać, aby rozwiązać granicę, wystarczy wstawić wartość, do której dążymy, do funkcji X . Jest to jednak najprostszy przypadek. Często znalezienie granicy nie jest takie oczywiste. W granicach występują niepewności tego typu 0/0 Lub nieskończoność/nieskończoność . Co zrobić w takich przypadkach? Skorzystaj ze sztuczek!

Niepewność wewnątrz

Niepewność postaci nieskończoności/nieskończoności

Niech będzie granica:

Jeśli spróbujemy podstawić nieskończoność do funkcji, otrzymamy nieskończoność zarówno w liczniku, jak i mianowniku. Ogólnie rzecz biorąc, warto powiedzieć, że w rozwiązywaniu takich niepewności jest pewien element sztuki: trzeba zwrócić uwagę, jak można przekształcić funkcję w taki sposób, aby niepewność zniknęła. W naszym przypadku licznik i mianownik dzielimy przez X w stopniu starszym. Co się stanie?

Z omówionego już przykładu wiemy, że wyrazy zawierające x w mianowniku będą dążyć do zera. Zatem rozwiązaniem granicy jest:

Aby rozwiązać niepewność typu nieskończoność/nieskończoność podziel licznik i mianownik przez X w najwyższym stopniu.

Przy okazji! Dla naszych czytelników mamy teraz 10% zniżki na

Inny rodzaj niepewności: 0/0

Jak zawsze podstawianie wartości do funkcji x=-1 daje 0 w liczniku i mianowniku. Przyjrzyj się bliżej, a zauważysz, że w liczniku mamy równanie kwadratowe. Znajdźmy korzenie i napiszmy:

Zmniejszmy i otrzymamy:

Tak więc, jeśli masz do czynienia z niepewnością typu 0/0 – uwzględnij licznik i mianownik.

Aby ułatwić Ci rozwiązanie przykładów, przedstawiamy tabelę z ograniczeniami niektórych funkcji:

Wewnątrz reguła L'Hopitala

Kolejny skuteczny sposób na wyeliminowanie obu rodzajów niepewności. Jaka jest istota metody?

Jeżeli granica jest niepewna, należy liczyć pochodną licznika i mianownika, aż niepewność zniknie.

Reguła de l'Hopitala wygląda następująco:

Ważny punkt : musi istnieć granica, w której stoją pochodne licznika i mianownika zamiast licznika i mianownika.

A teraz - prawdziwy przykład:

Jest typowa niepewność 0/0 . Weźmy pochodne licznika i mianownika:

Voila, niepewność jest rozwiązywana szybko i elegancko.

Mamy nadzieję, że będziesz w stanie z pożytkiem zastosować te informacje w praktyce i znaleźć odpowiedź na pytanie „jak rozwiązywać granice w matematyce wyższej”. Jeśli potrzebujesz obliczyć granicę ciągu lub granicę funkcji w punkcie, a nie ma absolutnie czasu na tę pracę, skontaktuj się z profesjonalną obsługą studencką, aby uzyskać szybkie i szczegółowe rozwiązanie.

W tym temacie rozważymy wszystkie trzy grupy granic z irracjonalnością wymienione powyżej. Zacznijmy od granic zawierających niepewność postaci $\frac(0)(0)$.

Ujawnienie niepewności $\frac(0)(0)$.

Rozwiązanie standardowych przykładów tego typu zwykle składa się z dwóch kroków:

Pozbywamy się irracjonalności, która powodowała niepewność, mnożąc przez tak zwane wyrażenie „koniugatowe”;
Jeśli to konieczne, uwzględnij wyrażenie w liczniku lub mianowniku (lub obu);
Redukujemy czynniki prowadzące do niepewności i obliczamy pożądaną wartość granicy.

Stosowany powyżej termin „wyrażenie koniugatu” zostanie szczegółowo wyjaśniony w przykładach. Na razie nie ma powodu się nad tym szczegółowo rozwodzić. Ogólnie rzecz biorąc, możesz pójść w drugą stronę, bez użycia wyrażenia sprzężonego. Czasami dobrze dobrany zamiennik może wyeliminować irracjonalność. Takie przykłady są rzadkie w standardowych testach, dlatego rozważymy tylko jeden przykład nr 6 dotyczący zastosowania zamiany (patrz druga część tego tematu).

Będziemy potrzebować kilku formuł, które napiszę poniżej:

\begin(równanie) a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b) \end(równanie) \begin(równanie) a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2 +ab+b^2) \end(równanie) \begin(równanie) a^3+b^3=(a+b)\cdot(a^2-ab+b^2) \end(równanie) \begin (równanie) a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\end(równanie)

Ponadto zakładamy, że czytelnik zna wzory na rozwiązywanie równań kwadratowych. Jeśli $x_1$ i $x_2$ są pierwiastkami trójmianu kwadratowego $ax^2+bx+c$, to można go rozłożyć na czynniki za pomocą następującego wzoru:

\begin(równanie) ax^2+bx+c=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2) \end(równanie)

Wzory (1)-(5) w zupełności wystarczą do rozwiązania standardowych problemów, do czego teraz przejdziemy.

Przykład nr 1

Znajdź $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$.

Ponieważ $\lim_(x\to 3)(\sqrt(7-x)-2)=\sqrt(7-3)-2=\sqrt(4)-2=0$ i $\lim_(x\ to 3) (x-3)=3-3=0$, to w danej granicy mamy niepewność postaci $\frac(0)(0)$. Różnica $\sqrt(7-x)-2$ uniemożliwia ujawnienie tej niepewności. Aby pozbyć się takich irracjonalności, stosuje się mnożenie przez tzw. „Wyrażenie sprzężone”. Przyjrzymy się teraz, jak działa takie mnożenie. Pomnóż $\sqrt(7-x)-2$ przez $\sqrt(7-x)+2$:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)$$

Aby otworzyć nawiasy zastosuj , podstawiając $a=\sqrt(7-x)$, $b=2$ po prawej stronie wspomnianego wzoru:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=(\sqrt(7-x))^2-2^2=7-x-4=3-x .$$

Jak widać, jeśli pomnożysz licznik przez $\sqrt(7-x)+2$, to pierwiastek (tj. irracjonalność) w liczniku zniknie. To wyrażenie $\sqrt(7-x)+2$ będzie miało postać sprzężony do wyrażenia $\sqrt(7-x)-2$. Nie możemy jednak po prostu pomnożyć licznika przez $\sqrt(7-x)+2$, ponieważ spowoduje to zmianę ułamka $\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$, który wynosi poniżej limitu. Musisz pomnożyć jednocześnie licznik i mianownik:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)= \left|\frac(0)(0)\right|=\lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2)) $$

Teraz pamiętaj, że $(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=3-x$ i otwórz nawiasy. A po otwarciu nawiasów i małej transformacji $3-x=-(x-3)$ zmniejszamy ułamek o $x-3$:

$$ \lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt( 7-x)+2))= \lim_(x\to 3)\frac(3-x)((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))=\\ =\lim_ (x\to 3)\frac(-(x-3))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))= \lim_(x\to 3)\frac(-1 )(\sqrt(7-x)+2) $$

Niepewność $\frac(0)(0)$ zniknęła. Teraz możesz łatwo uzyskać odpowiedź z tego przykładu:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(-1)(\sqrt(7-x)+2)=\frac(-1)(\sqrt(7-3)+2)=-\frac( 1)(\sqrt(4)+2)=-\frac(1)(4).$$

Zauważam, że wyrażenie sprzężone może zmieniać swoją strukturę, w zależności od tego, jaki rodzaj irracjonalności ma usunąć. W przykładach nr 4 i nr 5 (patrz druga część tego tematu) zostanie użyty inny typ wyrażenia koniugatu.

Odpowiedź: $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)=-\frac(1)(4)$.

Przykład nr 2

Znajdź $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$.

Ponieważ $\lim_(x\to 2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\sqrt(2^2+5)-\sqrt(7\cdot 2 ^ 2-19)=3-3=0$ i $\lim_(x\to 2)(3x^2-5x-2)=3\cdot2^2-5\cdot 2-2=0$, wtedy my mają do czynienia z niepewnością w postaci $\frac(0)(0)$. Pozbądźmy się irracjonalności mianownika tego ułamka. Aby to zrobić, dodajemy licznik i mianownik ułamka $\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$ do wyrażenie $\sqrt(x^ 2+5)+\sqrt(7x^2-19)$ koniuguj do mianownika:

$$ \lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\left|\frac(0 )(0)\right|= \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) ((\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) $$

Ponownie, jak w przykładzie nr 1, aby rozwinąć, musisz użyć nawiasów. Podstawiając $a=\sqrt(x^2+5)$, $b=\sqrt(7x^2-19)$ po prawej stronie wspomnianego wzoru, otrzymujemy następujące wyrażenie na mianownik:

$$ \left(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19)\right)\left(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)\ prawo)=\\ =\lewo(\sqrt(x^2+5)\prawo)^2-\lewo(\sqrt(7x^2-19)\prawo)^2=x^2+5-(7x ^2-19)=-6x^2+24=-6\cdot(x^2-4) $$

Wróćmy do naszego limitu:

$$ \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((\sqrt(x ^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))= \lim_(x\do 2)\frac( (3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(-6\cdot(x^2-4))=\\ =-\ frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x^2-4) $$

W przykładzie nr 1, niemal natychmiast po pomnożeniu przez wyrażenie koniugatu, ułamek został zmniejszony. Tutaj przed redukcją będziesz musiał rozłożyć na czynniki wyrażenia $3x^2-5x-2$ i $x^2-4$, a dopiero potem przystąpić do redukcji. Aby rozłożyć wyrażenie $3x^2-5x-2$, musisz użyć . Najpierw rozwiążmy równanie kwadratowe $3x^2-5x-2=0$:

$$ 3x^2-5x-2=0\\ \begin(aligned) & D=(-5)^2-4\cdot3\cdot(-2)=25+24=49;\\ & x_1=\ frac(-(-5)-\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5-7)(6)=-\frac(2)(6)=-\frac(1)(3) ;\\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2. \end(wyrównane) $$

Podstawiając $x_1=-\frac(1)(3)$, $x_2=2$ do , będziemy mieli:

$$ 3x^2-5x-2=3\cdot\lewo(x-\lewo(-\frac(1)(3)\prawo)\prawo)(x-2)=3\cdot\lewo(x+\ frac(1)(3)\prawo)(x-2)=\lewo(3\cdot x+3\cdot\frac(1)(3)\prawo)(x-2) =(3x+1)( x-2). $$

Teraz czas na rozkład na czynniki wyrażenia $x^2-4$. Użyjmy , podstawiając do niego $a=x$, $b=2$:

$$ x^2-4=x^2-2^2=(x-2)(x+2) $$

Wykorzystajmy uzyskane wyniki. Ponieważ $x^2-4=(x-2)(x+2)$ i $3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)$, to:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2 -19)))(x^2-4) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x ^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((x-2)(x+2)) $$

Redukując przez nawias $x-2$ otrzymujemy:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^ 2-19)))((x-2)(x+2)) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt( x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(x+2). $$

Wszystko! Niepewność zniknęła. Jeszcze jeden krok i dochodzimy do odpowiedzi:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x+2)=\\ =-\frac(1)(6)\cdot\frac((3\cdot 2+1)(\sqrt(2^2+5)+\sqrt(7\cdot 2 ^2-19)))(2+2)= -\frac(1)(6)\cdot\frac(7(3+3))(4)=-\frac(7)(4). $$

Odpowiedź: $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=-\frac(7)( 4)$.

W poniższym przykładzie rozważmy przypadek, w którym irracjonalność będzie obecna zarówno w liczniku, jak i mianowniku ułamka.

Przykład nr 3

Znajdź $\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9) ))$.

Ponieważ $\lim_(x\to 5)(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))=\sqrt(9)-\sqrt(9)=0$ i $\lim_( x \to 5)(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9))=\sqrt(16)-\sqrt(16)=0$, wtedy mamy niepewność postaci $ \frac (0)(0)$. Ponieważ w tym przypadku pierwiastki występują zarówno w mianowniku, jak i liczniku, aby pozbyć się niepewności, będziesz musiał pomnożyć przez dwa nawiasy jednocześnie. Najpierw do wyrażenia $\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)$ skoniuguj z licznikiem. A po drugie, wyrażenie $\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9)$ skoniuguj do mianownika.

$$ \lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))=\left|\frac(0)(0)\right|=\\ =\lim_(x\to 5)\frac((\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16) )(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((\sqrt(x^2 -3x+6)-\sqrt(5x-9))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9))(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2 -16))) $$ $$ -x^2+x+20=0;\\ \begin(aligned) & D=1^2-4\cdot(-1)\cdot 20=81;\\ & x_1=\frac(-1-\sqrt(81))(-2)=\frac(-10)(-2)=5;\\ & x_2=\frac(-1+\sqrt(81))( -2)=\frac(8)(-2)=-4. \end(aligned) \\ -x^2+x+20=-1\cdot(x-5)(x-(-4))=-(x-5)(x+4). $$

Dla wyrażenia $x^2-8x+15$ otrzymujemy:

$$ x^2-8x+15=0;\\ \begin(aligned) & D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 15=4;\\ & x_1=\frac(-(- 8)-\sqrt(4))(2)=\frac(6)(2)=3;\\ & x_2=\frac(-(-8)+\sqrt(4))(2)=\frac (10)(2)=5. \end(aligned)\\ x^2+8x+15=1\cdot(x-3)(x-5)=(x-3)(x-5). $$

Podstawiając powstałe rozwinięcia $-x^2+x+20=-(x-5)(x+4)$ i $x^2+8x+15=(x-3)(x-5)$ do granicy pod uwagę, będzie miał:

$$ \lim_(x\to 5)\frac((-x^2+x+20)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x^2 -8x+15)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \lim_(x\to 5)\frac(-(x-5)(x+4)(\ sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3)(x-5)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)) )=\\ =\lim_(x\to 5)\frac(-(x+4)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3) (\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \frac(-(5+4)(\sqrt(5^2-3\cdot 5+6)+\sqrt(5 \cdot 5-9)))((5-3)(\sqrt(5+4)+\sqrt(5^2-16)))=-6. $$

Odpowiedź: $\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))=-6$.

W kolejnej (drugiej) części rozważymy jeszcze kilka przykładów, w których wyrażenie koniugatu będzie miało inną formę niż w poprzednich zadaniach. Najważniejszą rzeczą do zapamiętania jest to, że celem użycia wyrażeń sprzężonych jest pozbycie się irracjonalności, która powoduje niepewność.

Funkcje elementarne i ich wykresy.

Głównymi funkcjami elementarnymi są: funkcja potęgowa, funkcja wykładnicza, funkcja logarytmiczna, funkcje trygonometryczne i odwrotne funkcje trygonometryczne, a także wielomian i funkcja wymierna, czyli stosunek dwóch wielomianów.

Do funkcji elementarnych zalicza się także te funkcje, które uzyskuje się z funkcji elementarnych, stosując cztery podstawowe operacje arytmetyczne i tworząc funkcję zespoloną.

Wykresy funkcji elementarnych

	Linia prosta- wykres funkcji liniowej y = topór + b. Funkcja y monotonicznie rośnie dla a > 0 i maleje dla a< 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т. 0 (y = ax - прямая пропорциональность)
	Parabola- wykres funkcji trójmianu kwadratowego y = topór 2 + bx + do. Posiada pionową oś symetrii. Jeśli a > 0, ma minimum, jeśli a< 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения topór 2 + bx +c =0
	Hiperbola- wykres funkcji. Gdy a > O znajduje się w I i III ćwiartce, gdy a< 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х(а >0) lub y - - x(a< 0).
	Funkcja wykładnicza. Wystawca(funkcja wykładnicza do podstawy e) y = mi x. (Inna pisownia y = exp(x)). Asymptota jest osią odciętych.
	Funkcja logarytmiczna y = log a x(a > 0)
	y = sinx. Sinusoida- funkcja okresowa o okresie T = 2π

Granica funkcji.

Funkcja y=f(x) ma jako granicę liczbę A, ponieważ x dąży do a, jeśli dla dowolnej liczby ε › 0 istnieje liczba δ › 0 taka, że | y – A | ‹ ε jeśli |x - a| ‹ δ,

lub lim y = A

Ciągłość funkcji.

Funkcja y=f(x) jest ciągła w punkcie x = a jeśli lim f(x) = f(a), tj.

granica funkcji w punkcie x = a jest równa wartości funkcji w danym punkcie.

Znajdowanie granic funkcji.

Podstawowe twierdzenia o granicach funkcji.

1. Granica stałej wartości jest równa tej stałej wartości:

2. Granica sumy algebraicznej jest równa sumie algebraicznej granic tych funkcji:

lim (f + g - h) = lim fa + lim g - lim godz

3. Granica iloczynu kilku funkcji jest równa iloczynowi granic tych funkcji:

lim (f * g* h) = lim f * lim g * lim godz

4. Granica ilorazu dwóch funkcji jest równa ilorazowi granic tych funkcji, jeżeli granica mianownika nie jest równa 0:

lim------- = ----------

Pierwsza niezwykła granica: lim --------- = 1

Druga niezwykła granica: lim (1 + 1/x) x = e (e = 2, 718281..)

Przykłady wyznaczania granic funkcji.

5.1. Przykład:

Każdy limit składa się z trzech części:

1) Dobrze znana ikona limitu.

2) Wpisy pod ikoną limitu. Wpis brzmi: „X dąży do jedności”. Najczęściej jest to x, choć zamiast „x” może występować dowolna inna zmienna. Zamiast jedynki może być absolutnie dowolna liczba, a także nieskończoność 0 lub .

3) Funkcje pod znakiem ograniczenia, w tym przypadku .

Samo nagranie brzmi następująco: „granica funkcji, gdy x dąży do jedności”.

Bardzo ważne pytanie - co oznacza wyrażenie „x”? stara się do jednego"? Wyrażenie „x” stara się do jednego” należy rozumieć następująco: „x” konsekwentnie przyjmuje wartości które zbliżają się do jedności nieskończenie blisko i praktycznie z nią pokrywają się.

Jak rozwiązać powyższy przykład? W oparciu o powyższe wystarczy podstawić jeden do funkcji pod znakiem ograniczającym:

Zatem pierwsza zasada : Gdy zostanie podany limit, najpierw po prostu wstawiasz liczbę do funkcji.

5.2. Przykład z nieskończonością:

Zastanówmy się, co to jest? Dzieje się tak w przypadku, gdy wzrasta bez ograniczeń.

Więc jeśli , a następnie funkcja dąży do minus nieskończoności:

Zgodnie z naszą pierwszą zasadą zamiast „X” podstawiamy w funkcji nieskończoność i otrzymamy odpowiedź.

5.3. Inny przykład z nieskończonością:

Znowu zaczynamy zwiększać do nieskończoności i przyglądamy się zachowaniu funkcji.
Wniosek: funkcja rośnie w nieskończoność

5.4. Seria przykładów:

Spróbuj samodzielnie przeanalizować w myślach poniższe przykłady i rozwiązać najprostsze typy limitów:

, , , , , , , , ,

O czym musisz pamiętać i rozumieć z powyższego?

Jeśli zostanie podany dowolny limit, najpierw po prostu podłącz liczbę do funkcji. Jednocześnie musisz zrozumieć i natychmiast rozwiązać najprostsze ograniczenia, takie jak , , itp.

6. Granice z niepewnością typu oraz sposób ich rozwiązania.

Teraz rozważymy grupę granic, gdy , a funkcja jest ułamkiem, którego licznik i mianownik zawierają wielomiany.

6.1. Przykład:

Oblicz limit

Zgodnie z naszą regułą staramy się podstawić nieskończoność do funkcji. Co dostajemy na górze? Nieskończoność. A co dzieje się poniżej? Także nieskończoność. Mamy zatem do czynienia z tak zwaną niepewnością gatunkową. Można by pomyśleć, że = 1 i odpowiedź jest gotowa, ale w ogólnym przypadku wcale tak nie jest i trzeba zastosować pewną technikę rozwiązania, którą teraz rozważymy.

Jak rozwiązać tego typu limity?

Najpierw patrzymy na licznik i znajdujemy najwyższą potęgę:

Potęga wiodąca w liczniku wynosi dwa.

Teraz patrzymy na mianownik i znajdujemy go również do najwyższej potęgi:

Najwyższy stopień mianownika to dwa.

Następnie wybieramy największą potęgę licznika i mianownika: w tym przykładzie są one takie same i równe dwa.

Zatem metoda rozwiązania jest następująca: ujawnić niepewność musisz podzielić licznik i mianownik przez w stopniu starszym.

Zatem odpowiedź nie brzmi 1.

Przykład

Znajdź granicę

Ponownie w liczniku i mianowniku znajdujemy w najwyższym stopniu:

Maksymalny stopień w liczniku: 3

Maksymalny stopień w mianowniku: 4

Wybierać największy wartość, w tym przypadku cztery.
Zgodnie z naszym algorytmem, aby ujawnić niepewność, dzielimy licznik i mianownik przez .

Przykład

Znajdź granicę

Maksymalny stopień „X” w liczniku: 2

Maksymalny stopień „X” w mianowniku: 1 (można zapisać jako)
Aby ujawnić niepewność, należy podzielić licznik i mianownik przez . Ostateczne rozwiązanie może wyglądać następująco:

Podziel licznik i mianownik przez

Rozwiązanie ograniczenia funkcji online. Znajdź wartość graniczną funkcji lub ciągu funkcjonalnego w punkcie, oblicz ostateczny wartość funkcji w nieskończoności. określenie zbieżności szeregu liczbowego i wiele więcej można zrobić dzięki naszemu serwisowi online -. Umożliwiamy szybkie i dokładne znalezienie ograniczeń funkcji online. Sam wprowadzasz zmienną funkcji i granicę do której ona dąży, a nasz serwis wykonuje za Ciebie wszystkie obliczenia dając dokładną i prostą odpowiedź. I dla znalezienie limitu w Internecie można wprowadzać zarówno szeregi liczbowe, jak i funkcje analityczne zawierające stałe w wyrażeniu dosłownym. W tym przypadku znaleziony limit funkcji będzie zawierał te stałe jako stałe argumenty w wyrażeniu. Nasz serwis rozwiązuje wszelkie złożone problemy związane ze znalezieniem limity w Internecie, wystarczy wskazać funkcję i punkt, w którym należy wykonać obliczenia wartość graniczna funkcji. Obliczenie limity w Internecie, możesz zastosować różne metody i zasady ich rozwiązywania, sprawdzając uzyskany wynik rozwiązywanie limitów online na stronie www., co doprowadzi do pomyślnego wykonania zadania - unikniesz własnych błędów i błędów pisarskich. Możesz też całkowicie nam zaufać i wykorzystać nasz wynik w swojej pracy, nie poświęcając dodatkowego wysiłku i czasu na samodzielne obliczanie granicy funkcji. Umożliwiamy wprowadzenie wartości granicznych takich jak nieskończoność. Konieczne jest wprowadzenie wspólnego elementu ciągu liczbowego i www.strona obliczy wartość ogranicz w Internecie do plus lub minus nieskończoności.

Jednym z podstawowych pojęć analizy matematycznej jest granica funkcji I limit sekwencji w punkcie i w nieskończoności ważne jest, aby móc poprawnie rozwiązać limity. Z naszym serwisem nie będzie to trudne. Podjęto decyzję limity w Internecie w ciągu kilku sekund odpowiedź jest dokładna i kompletna. Nauka analizy matematycznej rozpoczyna się od przejście do limitu, limity są używane w prawie wszystkich obszarach wyższej matematyki, dlatego warto mieć pod ręką serwer rozwiązania limitowe online, czyli ta witryna.