Rodzaje geografii projekcji. Klasyfikacje odwzorowań map

Data: 24.10.2015

projekcja mapy- matematyczny sposób przedstawiania kuli ziemskiej (elipsoidy) na płaszczyźnie.

Do rzutowanie kulistej powierzchni na płaszczyznę posługiwać się powierzchnie pomocnicze.

Według rodzaju pomocnicza powierzchnia projekcyjna kartograficzna dzieli się na:

Cylindryczny 1(powierzchnia pomocnicza to boczna powierzchnia cylindra), stożkowy 2(powierzchnia boczna stożka), azymut 3(samolot, który nazywa się płaszczyzną obrazu).

Przydziel również wielostożkowy

warunki pseudocylindryczne

i inne projekcje.

Orientacja figury pomocnicze rzutu dzielą się na:

• normalna(w którym oś walca lub stożka pokrywa się z osią modelu Ziemi, a płaszczyzna obrazu jest do niej prostopadła);
• poprzeczny(w którym oś walca lub stożka jest prostopadła do osi modelu Ziemi, a płaszczyzna obrazu jest lub jest do niej równoległa);
• skośny, gdzie oś figury pomocniczej znajduje się w położeniu pośrednim między biegunem a równikiem.

Zniekształcenie kartograficzne- jest to naruszenie właściwości geometrycznych obiektów na powierzchni ziemi (długości linii, kątów, kształtów i obszarów), gdy są one wyświetlane na mapie.

Im mniejsza skala mapy, tym większe zniekształcenie. Na mapach wielkoskalowych zniekształcenia są znikome.

Na mapach występują cztery rodzaje zniekształceń: długości, obszary, rogi oraz formularze przedmioty. Każda projekcja ma swoje własne zniekształcenia.

Ze względu na charakter zniekształceń odwzorowania map dzielą się na:

• równokątny, które przechowują kąty i kształty obiektów, ale zniekształcają długości i obszary;

• równy, w którym przechowywane są obszary, ale kąty i kształty obiektów są znacznie zmienione;

• arbitralny, w którym występują zniekształcenia długości, powierzchni i kątów, ale są one równomiernie rozłożone na mapie. Wśród nich szczególnie wyróżniają się występy, w których nie ma zniekształceń długości ani wzdłuż równoleżników, ani wzdłuż południków.

Linie i punkty zerowych zniekształceń- linie, wzdłuż których znajdują się również punkty, w których nie ma zniekształceń, ponieważ tutaj, rzutując powierzchnię kulistą na płaszczyznę, powierzchnia pomocnicza (płaszczyzna walec, stożek lub obraz) została styczne do piłki.

Skala wskazane na kartach, utrzymuje się tylko na liniach i w punktach zerowych zniekształceń. Nazywa się głównym.

We wszystkich pozostałych częściach mapy skala różni się od głównej i nazywana jest częściową. Aby to ustalić, wymagane są specjalne obliczenia.

Aby określić charakter i wielkość zniekształcenia na mapie, należy porównać siatkę stopni mapy i kuli ziemskiej.

na świecie wszystkie paralele są w tej samej odległości od siebie, wszystko południki są równe i przecinają się z równoleżnikami pod kątem prostym. Dlatego wszystkie komórki siatki stopni między sąsiednimi równoleżnikami mają ten sam rozmiar i kształt, a komórki między południkami rozszerzają się i rosną od biegunów do równika.

W celu określenia wielkości zniekształcenia analizowane są również elipsy dystorsji - figury eliptyczne powstałe w wyniku zniekształcenia w pewnym rzucie okręgów narysowanych na globusie o tej samej skali co mapa.

Projekcja konformalna elipsy dystorsji mają kształt koła, którego rozmiar zwiększa się w zależności od odległości od zerowych punktów i linii dystorsji.

W projekcji równej powierzchni elipsy dystorsji mają kształt elipsy, których obszary są takie same (długość jednej osi wzrasta, a drugiej maleje).

Równoodległa projekcja elipsy zniekształceń mają kształt elips o tej samej długości co jedna z osi.

Główne oznaki zniekształceń na mapie

1. Jeśli odległości między równoleżnikami są takie same, oznacza to, że odległości wzdłuż południków nie są zniekształcone (równoodległe wzdłuż południków).
2. Odległości nie są zniekształcone przez równoleżniki, jeśli promienie równoleżników na mapie odpowiadają promieniom równoleżników na kuli ziemskiej.
3. Obszary nie są zniekształcone, jeśli komórki utworzone przez południki i równoleżniki na równiku są kwadratami, a ich przekątne przecinają się pod kątem prostym.
4. Długości wzdłuż równoleżników są zniekształcone, jeśli długości wzdłuż południków nie są zniekształcone.
   
5. Długości są zniekształcone wzdłuż południków, jeśli długości wzdłuż równoleżników nie są zniekształcone.

Charakter zniekształceń w głównych grupach odwzorowań kartograficznych

projekcja mapy to sposób przejścia z rzeczywistej, geometrycznie złożonej powierzchni Ziemi.

Kulista powierzchnia nie może być rozłożona na płaszczyźnie bez deformacji - ściskania lub rozciągania. Oznacza to, że każda mapa ma pewne zniekształcenia. Występują zniekształcenia długości obszarów, kątów i kształtów. Na mapach wielkoskalowych (patrz) zniekształcenia mogą być prawie niezauważalne, ale w małej skali mogą być bardzo duże. Projekcje map mają różne właściwości w zależności od charakteru i wielkości zniekształcenia. Wśród nich wyróżnia się:

Projekcje równokątne. Zachowują kąty i kształty małych przedmiotów bez zniekształceń, ale długości i obszary przedmiotów są w nich mocno zdeformowane. Według map sporządzonych w takim rzucie wygodnie jest wytyczyć trasy statków, ale nie da się zmierzyć powierzchni;

Równe projekcje. Nie zniekształcają obszarów, ale kąty i kształty w nich są mocno zniekształcone. Mapy w równych rzutach są wygodne do określenia wielkości państwa, ;
Równoodległy. Mają stałą skalę długości w jednym kierunku. W nich równoważą się zniekształcenia kątów i obszarów;

Arbitralne prognozy. Mają zniekształcenia oraz kąty i powierzchnie w dowolnym stosunku.
Projekcje różnią się nie tylko charakterem i wielkością zniekształceń, ale także rodzajem powierzchni wykorzystywanej w przejściu od geoidy do płaszczyzny mapy. Wśród nich wyróżnia się:

Cylindryczny kiedy rzut z geoidy przechodzi na powierzchnię walca. Najczęściej stosowane są występy cylindryczne. Najmniejsze zniekształcenia występują w rejonie równika i średnich szerokościach geograficznych. Ta projekcja jest najczęściej używana do tworzenia map świata;

stożkowy. Rzuty te były najczęściej wybierane do tworzenia map byłego ZSRR. Najmniejsza ilość zniekształceń przy projekcjach stożkowych 47°. Jest to bardzo wygodne, ponieważ główne strefy ekonomiczne tego państwa znajdowały się między wskazanymi równoleżnikami i tutaj koncentrowało się maksymalne obciążenie map. Ale w projekcjach stożkowych regiony leżące na dużych szerokościach geograficznych i obszary wodne są silnie zniekształcone;

Projekcja azymutalna. Jest to rodzaj odwzorowania mapy, gdy odwzorowanie odbywa się na płaszczyźnie. Ten rodzaj projekcji jest używany podczas tworzenia map lub dowolnego innego obszaru Ziemi.

W wyniku odwzorowań kartograficznych każdy punkt na kuli ziemskiej, który ma określone współrzędne, odpowiada jednemu i tylko jednemu punktowi na mapie.

Oprócz rzutów cylindrycznych, stożkowych i kartograficznych istnieje duża klasa rzutów warunkowych, w których budowie nie używają analogów geometrycznych, a jedynie równania matematyczne o pożądanej formie.

Ze względu na charakter zniekształcenia rzuty są podzielone na konforemne, równe i dowolne.

Równokątny(lub konformalny) projekcje zachowaj kąty i kształty nieskończenie małych postaci. Skala długości w każdym punkcie jest stała we wszystkich kierunkach (co zapewnia regularne zwiększanie odległości między sąsiednimi równoleżnikami wzdłuż południka) i zależy tylko od położenia punktu. Elipsy zniekształceń są wyrażane jako okręgi o różnych promieniach.

Dla każdego punktu w rzutach konforemnych obowiązują zależności:

/ L i= a = b = m = n; a>= 0°; 0 = 90°; k = 1 oraz i 0 \u003d 0 °(lub ±90°).

Takie projekcje szczególnie przydatne przy wyznaczaniu kierunków i układanie tras wzdłuż danego azymutu (na przykład przy rozwiązywaniu problemów nawigacyjnych).

izometryczny(lub równowartość) projekcje nie zniekształcaj obszaru. W tych projekcjach obszary elips zniekształceń są. Zwiększenie skali długości wzdłuż jednej osi elipsy dystorsyjnej jest kompensowane zmniejszeniem skali długości wzdłuż drugiej osi, co powoduje regularne zmniejszanie się odległości pomiędzy sąsiednimi równoleżnikami wzdłuż południka i w efekcie silne zniekształcenie kształtów.

Taki rzuty są wygodne do pomiaru powierzchni obiekty (co na przykład jest niezbędne dla niektórych map ekonomicznych lub morfometrycznych).

W teorii kartografii matematycznej udowodniono, że nie, i nie może istnieć projekcja, która byłaby jednocześnie konforemna i równopowierzchniowa. Ogólnie rzecz biorąc, im więcej zniekształceń kątów, tym mniej zniekształceń obszarów i na odwrót.

Arbitralny projekcje zniekształcają zarówno kąty, jak i obszary. Konstruując je, starają się znaleźć najkorzystniejszy rozkład zniekształceń dla każdego konkretnego przypadku, osiągając niejako pewien kompromis. Ta grupa projekcji stosowany w przypadkach, gdy nadmierne zniekształcenie kątów i obszarów jest równie niepożądane. Arbitralne projekcje według ich właściwości leżą między równokątnymi i równymi obszarami. Wśród nich są równoodległy(lub równoodległy) rzuty, we wszystkich punktach, których skala wzdłuż jednego z głównych kierunków jest stała i równa głównemu.

Klasyfikacja rzutów kartograficznych według rodzaju pomocniczej powierzchni geometrycznej .

W zależności od rodzaju pomocniczej powierzchni geometrycznej rozróżnia się rzuty: cylindryczne, azymutalne i stożkowe.

Cylindryczny nazywane są rzutami, w których sieć południków i równoleżników z powierzchni elipsoidy jest przenoszona na boczną powierzchnię cylindra stycznego (lub siecznego), a następnie walec jest cięty wzdłuż tworzącej i rozkładany na płaszczyznę (ryc. 6 ).

Rys.6. Normalna projekcja cylindryczna

Zniekształcenia są nieobecne na linii styku i są w jej pobliżu minimalne. Jeśli cylinder jest sieczny, to są dwie linie styku, co oznacza 2 LNI. Zniekształcenia między LNI są minimalne.

W zależności od orientacji walca względem osi elipsoidy ziemskiej rozróżnia się rzuty:

- normalny, gdy oś cylindra pokrywa się z osią mniejszą elipsoidy ziemskiej; południki w tym przypadku są równoodległymi liniami równoległymi, a równoleżniki są liniami prostymi prostopadłymi do nich;

- poprzeczny, gdy oś cylindra leży w płaszczyźnie równika; rodzaj siatki: środkowy południk i równik są wzajemnie prostopadłymi liniami prostymi, pozostałe południki i równoleżniki są liniami zakrzywionymi (rys. c).

- skośny, gdy oś cylindra tworzy kąt ostry z osią elipsoidy; w rzutach ukośnych cylindrycznych południki i równoleżniki są liniami zakrzywionymi.

Azymut nazywane są rzutami, w których sieć południków i równoleżników jest przenoszona z powierzchni elipsoidy na płaszczyznę styczną (lub sieczną) (ryc. 7).

Ryż. 7. Normalna projekcja azymutalna

Obraz w pobliżu punktu styku (lub linii przekroju) płaszczyzny elipsoidy ziemskiej prawie nie jest zniekształcony. Punkt dotykowy to punkt zerowego zniekształcenia.

W zależności od położenia punktu styku płaszczyzny na powierzchni elipsoidy ziemskiej, wśród rzutów azymutalnych znajdują się:

- normalny lub biegunowy, gdy samolot dotyka Ziemi na jednym z biegunów; rodzaj siatki: południki - linie proste, promieniście odbiegające od bieguna, równoleżniki - koncentryczne okręgi o środkach na biegunie (rys. 7);

- poprzeczny lub równikowy, gdy płaszczyzna dotyka elipsoidy w jednym z punktów równika; typ siatki: południk środkowy i równik są wzajemnie prostopadłymi liniami prostymi, pozostałe południki i równoleżniki są liniami krzywymi (w niektórych przypadkach równoleżniki są pokazane jako linie proste;

– ukośny lub poziomy, gdy samolot dotyka elipsoidy w pewnym punkcie leżącym między biegunem a równikiem. W rzutach ukośnych tylko środkowy południk, na którym znajduje się punkt styku, jest linią prostą, pozostałe południki i równoleżniki są liniami zakrzywionymi.

stożkowy nazywa się występy, w których sieć południków i równoleżników z powierzchni elipsoidy jest przenoszona na boczną powierzchnię stożka stycznego (lub siecznego) (ryc. 8).

Ryż. 8. Normalna projekcja stożkowa

Zniekształcenia są mało dostrzegalne wzdłuż linii styku lub dwóch linii przekroju stożka elipsoidy ziemskiej, które są linią (liniami) zerowego zniekształcenia LNI. Podobnie jak cylindryczne projekcje stożkowe dzielą się na:

- normalny, gdy oś stożka pokrywa się z mniejszą osią elipsoidy ziemskiej; południki w tych rzutach są reprezentowane przez linie proste rozchodzące się od wierzchołka stożka, a równoleżniki są reprezentowane przez łuki koncentrycznych okręgów.

- poprzeczny, gdy oś stożka leży w płaszczyźnie równika; rodzaj siatki: środkowy południk i równoleżnik styku są wzajemnie prostopadłymi liniami prostymi, pozostałe południki i równoleżniki są liniami krzywymi;

- skośny, gdy oś stożka tworzy kąt ostry z osią elipsoidy; w skośnych projekcjach stożkowych południki i równoleżniki są liniami zakrzywionymi.

W normalnych odwzorowaniach cylindrycznych, azymutalnych i stożkowych siatka kartograficzna jest prostopadła - południki i równoleżniki przecinają się pod kątem prostym, co jest jedną z ważnych cech diagnostycznych tych odwzorowań.

Jeżeli przy uzyskiwaniu rzutów cylindrycznych, azymutalnych i stożkowych stosuje się metodę geometryczną (rzut liniowy powierzchni pomocniczej na płaszczyznę), wówczas takie rzuty nazywane są odpowiednio perspektywicznym-cylindrycznym, perspektywicznym-azymutem (zwykła perspektywa) i perspektywicznym-stożkowym .

wielostożkowy zwane rzutami, w których sieć południków i równoleżników z powierzchni elipsoidy jest przenoszona na boczne powierzchnie kilku stożków, z których każdy jest przecięty wzdłuż tworzącej i rozwija się w płaszczyźnie. W rzutach polikonicznych równoleżniki są przedstawione jako łuki ekscentrycznych okręgów, południk środkowy jest linią prostą, wszystkie pozostałe południki są liniami zakrzywionymi symetrycznymi w stosunku do południka centralnego.

warunkowy zwane rzutami, których konstrukcja nie wykorzystuje pomocniczych powierzchni geometrycznych. Sieć południków i równoleżników jest budowana zgodnie z pewnymi ustalonymi warunkami. Projekcje warunkowe obejmują pseudocylindryczny, pseudo-azymut oraz pseudostożkowy rzuty, które zachowują wygląd równoległości z oryginalnych rzutów cylindrycznych, azymutalnych i stożkowych. W tych projekcjach środkowy południk jest linią prostą, pozostałe południki są liniami zakrzywionymi.

do warunkowego projekcje są również rzuty wielościenne , które uzyskuje się rzutując na powierzchnię wielościanu, który dotyka lub przecina elipsoidę Ziemi. Każda twarz to trapez równoramienny (rzadziej - sześciokąty, kwadraty, romb). Różnorodne projekcje wielościenne są projekcje wielopasmowe , a paski można ciąć zarówno wzdłuż południków, jak i wzdłuż równoleżników. Takie rzuty są korzystne, ponieważ zniekształcenia w każdym fasetce lub paśmie są bardzo małe, więc zawsze są używane w mapach wieloarkuszowych. Główną wadą rzutów wielościennych jest w niemożności połączenia bloku arkuszy map wzdłuż wspólnej ramki bez przerw.

Praktycznie cenny jest podział według zasięgu terytorialnego. Za pomocą zasięg terytorialny rzuty map dla mapy świata, półkule, kontynenty i oceany, mapy poszczególnych państw i ich części. Zgodnie z tą zasadą zbudowano tabele-wyznaczniki rzutów kartograficznych. Oprócz, ostatnio podejmowane są próby opracowania klasyfikacji genetycznych odwzorowań kartograficznych na podstawie postaci opisujących je równań różniczkowych. Klasyfikacje te obejmują cały możliwy zestaw prognoz, ale są bardzo niejasne, ponieważ nie są związane z rodzajem siatki południków i równoleżników.

projekcja mapy- metoda konstruowania obrazu powierzchni Ziemi, a przede wszystkim siatki południków i równoleżników (siatka współrzędnych) na płaszczyźnie. W każdej projekcji siatka współrzędnych jest wyświetlana inaczej, inny jest też charakter zniekształceń, tj. rzuty mają pewne różnice, co powoduje konieczność ich klasyfikacji. Wszystkie odwzorowania map są zwykle klasyfikowane według dwóch kryteriów:

Z natury zniekształceń;

W formie normalnej siatki południków i równoleżników.

Ze względu na charakter projekcji zniekształcenia dzielą się na następujące grupy:

1. Równokątny (wygodny) ) - rzuty, w których nieskończenie małe figury na mapach są podobne do odpowiadających im figur na powierzchni Ziemi. Rzuty te są szeroko stosowane w żegludze powietrznej, ponieważ zapewniają najłatwiejszy sposób określenia kierunków i kątów. Ponadto konfiguracja punktów orientacyjnych o małej powierzchni jest transmitowana bez zniekształceń, co jest niezbędne do zachowania orientacji wizualnej.

2. ekwiwalent (ekwiwalent)- rzuty, w których zachowany jest stosunek powierzchni na mapach do powierzchni ziemi. Prognozy te znalazły zastosowanie w mapach geograficznych na małą skalę.

3. Równoodległy- rzuty, w których odległość wzdłuż południka i równoleżników jest wyświetlana bez zniekształceń. Projekcje te służą do tworzenia map referencyjnych.

4. Arbitralny są rzutami, które nie mają żadnych właściwości wymienionych powyżej. Rzuty te znajdują szerokie zastosowanie w żegludze powietrznej, ponieważ mają praktycznie niewielkie zniekształcenia kątów, długości i powierzchni, co pozwala na ich ignorowanie.

W postaci normalnej siatki współrzędnych południków i równoleżników rzuty są podzielone na: stożkowy, polistożkowy, cylindryczny i azymutalny.

Konstrukcję siatki kartograficznej można przedstawić jako wynik rzutowania powierzchni Ziemi na pomocniczą figurę geometryczną: stożek, walec lub płaszczyznę (rys. 2.2).

Ryż. 2.2. Lokalizacja pomocniczej figury geometrycznej

W zależności od położenia pomocniczej figury geometrycznej względem osi obrotu Ziemi istnieją trzy rodzaje rzutów (ryc. 2.2):

1. Normalna- rzuty, w których oś figury pomocniczej pokrywa się z osią obrotu Ziemi.

2. poprzeczny- rzuty, w których oś figury pomocniczej jest prostopadła do osi obrotu Ziemi, tj. pokrywa się z płaszczyzną równika.

3. skośny- rzuty, w których oś figury pomocniczej tworzy kąt skośny z osią obrotu Ziemi.

projekcje stożkowe. Aby rozwiązać problemy żeglugi powietrznej ze wszystkich odwzorowań stożkowych, stosuje się normalną konforemną projekcję stożkową, zbudowaną na stożku stycznym lub siecznym.

Normalna konforemna projekcja stożkowa na stożku stycznym. Na mapach skompilowanych w tym rzucie południki wyglądają jak linie proste zbiegające się w kierunku bieguna (ryc. 2.3). Równolegle to łuki koncentrycznych okręgów, których odległość rośnie wraz z odległością od równoleżnika stycznego. W tej projekcji publikowane są mapy dla lotnictwa w skali 1: 2 000 000, 1: 2 500 000, 1: 4 000 000 i 1: 5 000 000.

Ryż. 2.3. Normalna konforemna projekcja stożkowa na stożku stycznym

Normalna konforemna projekcja stożkowa na siecznym stożku. Na mapach skompilowanych w tym rzucie południki przedstawiono prostymi zbieżnymi liniami, a równoleżniki łukami kół (ryc. 2.4). W tej projekcji publikowane są mapy dla lotnictwa w skali 1: 2 000 000 i 1: 2 500 000.

Ryż. 2.4. Włączona normalna konforemna projekcja stożkowa

sieczny stożek

Rzuty polikoniczne. Projekcje polikoniczne nie mają praktycznego zastosowania w lotnictwie, ale są podstawą projekcji międzynarodowej, w której publikowana jest większość map lotniczych.

Zmodyfikowana projekcja polikoniczna (międzynarodowa). W 1909 r. w Londynie międzynarodowa komisja opracowała zmodyfikowaną projekcję polikoniczną dla map w skali 1: 1 000 000, którą nazwano rzutem międzynarodowym. Meridiany w tym rzucie wyglądają jak linie proste zbiegające się w kierunku bieguna, a równoleżniki wyglądają jak łuki koncentrycznych okręgów (ryc. 2.5).

Ryż. 2.5. Zmodyfikowana projekcja polikoniczna

Arkusz mapy zajmuje 4° szerokości geograficznej i 6° długości geograficznej. Obecnie ta projekcja jest najbardziej powszechna i większość map lotniczych jest w niej publikowanych w skalach 1: 1 000 000, 1: 2 000 000 i 1: 4 000 000.

Rzuty cylindryczne. Z cylindrycznych rzutów w żegludze powietrznej znalazły zastosowanie normalny, poprzeczny oraz ukośna projekcja.

Normalna konforemna projekcja cylindryczna. Projekcja ta została zaproponowana w 1569 roku przez holenderskiego kartografa Mercatora. Na mapach skompilowanych w tym rzucie południki wyglądają jak linie proste, równoległe do siebie i oddzielone od siebie w odległościach proporcjonalnych do różnicy długości geograficznych (ryc. 2.6). Równoleżniki to linie proste prostopadłe do południków. Odległości między równoleżnikami rosną wraz ze wzrostem szerokości geograficznej. Mapy morskie są publikowane w normalnej konforemnej projekcji cylindrycznej.

Ryż. 2.6. Normalna konforemna projekcja cylindryczna

Równokątny poprzeczny rzut cylindryczny. Ta projekcja została zaproponowana przez niemieckiego matematyka Gaussa. Projekcja zbudowana jest zgodnie z prawami matematycznymi. Aby zmniejszyć zniekształcenie długości, powierzchnię Ziemi pocięto na 60 stref. Każda taka strefa zajmuje 6° długości geograficznej. Z ryc. Na rysunku 2.7 widać, że średni południk w każdej strefie i na równiku są przedstawione prostymi, wzajemnie prostopadłymi liniami. Wszystkie inne południki i równoleżniki są przedstawione jako krzywe o małej krzywiźnie. Mapy w skalach 1:500 000, 1:200 000 i 1:100 000 i większych zostały sporządzone w konforemnym poprzecznym rzucie cylindrycznym.

Ryż. 2.7. Konformalny poprzeczny rzut cylindryczny

Ukośna konforemna projekcja cylindryczna. W rzucie tym nachylenie walca do osi obrotu Ziemi dobiera się tak, aby jego boczna powierzchnia stykała się z osią trasy (rys. 2.8). Meridiany i równoleżniki w rozważanym rzucie wyglądają jak zakrzywione linie. Na mapach w tym rzucie, w paśmie 500–600 km od osi trasy, dystorsja długości nie przekracza 0,5%. W skośnym, konformalnym rzucie cylindrycznym publikowane są mapy w skalach 1: 1 000 000, 1: 2 000 000 i 1: 4 000 000, aby zapewnić loty wzdłuż oddzielnych długich tras.

Ryż. 2.8. Ukośna konforemna projekcja cylindryczna

Projekcje azymutalne. Spośród wszystkich odwzorowań azymutalnych na potrzeby nawigacji lotniczej stosuje się głównie projekcje biegunowe centralne i stereograficzne.

Centralna projekcja biegunowa. Na mapach skompilowanych w tym rzucie południki wyglądają jak linie proste rozchodzące się od bieguna pod kątem równym różnicy długości geograficznych (ryc. 2.9). Równolegle są koncentrycznymi okręgami, których odległość rośnie wraz z odległością od bieguna. W tej projekcji mapy Arktyki i Antarktyki były wcześniej publikowane w skalach 1: 2 000 000 i 1: 5 000 000.

Ryż. 2.10. Stereograficzna projekcja biegunowa

W stereograficznej projekcji biegunowej mapy Arktyki i Antarktyki publikowane są w skalach 1: 2 000 000 i 1: 4 000 000.

Przechodząc od fizycznej powierzchni Ziemi do jej zobrazowania na płaszczyźnie (na mapie) wykonuje się dwie operacje: rzutowanie powierzchni ziemi z jej złożonym reliefem na powierzchnię elipsoidy ziemskiej, której wymiary ustala się za pomocą pomiarów geodezyjnych i astronomicznych oraz obraz powierzchni elipsoidy na płaszczyźnie z wykorzystaniem jednego z rzutów kartograficznych.
Rzut mapy to specyficzny sposób wyświetlania powierzchni elipsoidy na płaszczyźnie.
Wyświetlanie powierzchni ziemi na płaszczyźnie odbywa się na różne sposoby. Najprostszy to perspektywiczny . Jego istota polega na rzutowaniu obrazu z powierzchni modelu Ziemi (kuli, elipsoidy) na powierzchnię walca lub stożka, a następnie skręcie w płaszczyznę (walcową, stożkową) lub bezpośredniej projekcji obrazu sferycznego na płaszczyznę (azymut).
Jednym z łatwych sposobów zrozumienia, w jaki sposób odwzorowania mapy zmieniają właściwości przestrzenne, jest wizualizacja projekcji światła przez Ziemię na powierzchnię zwaną powierzchnią projekcyjną.
Wyobraź sobie, że powierzchnia Ziemi jest przezroczysta i ma na niej siatkę mapy. Owiń kawałek papieru wokół ziemi. Źródło światła w środku ziemi rzuca cienie z siatki na kartkę papieru. Możesz teraz rozłożyć papier i położyć go płasko. Kształt siatki współrzędnych na płaskiej powierzchni papieru bardzo różni się od jej kształtu na powierzchni Ziemi (rys. 5.1).

Ryż. 5.1. Siatka układu współrzędnych geograficznych rzutowana na powierzchnię cylindryczną

Rzut mapy zniekształcał siatkę kartograficzną; przedmioty w pobliżu bieguna są wydłużone.
Budowanie perspektywiczne nie wymaga posługiwania się prawami matematyki. Należy pamiętać, że w nowoczesnej kartografii budowane są siatki kartograficzne analityczny (matematyczny) sposób. Jego istota polega na obliczeniu położenia punktów węzłowych (punktów przecięcia południków i równoleżników) siatki kartograficznej. Obliczenia wykonywane są na podstawie rozwiązania układu równań, które wiążą szerokość geograficzną i długość geograficzną punktów węzłowych ( φ, λ ) z ich prostokątnymi współrzędnymi ( x, y) na powierzchni. Zależność tę można wyrazić dwoma równaniami postaci:

zwane równaniami rzutowania mapy. Pozwalają obliczyć współrzędne prostokątne x, y wyświetlany punkt według współrzędnych geograficznych φ oraz λ . Liczba możliwych zależności funkcjonalnych, a co za tym idzie projekcji, jest nieograniczona. Konieczne jest tylko, aby każdy punkt φ , λ elipsoida została przedstawiona na płaszczyźnie przez wyjątkowo odpowiadający punkt x, y i że obraz jest ciągły.

5.2. ZNIEKSZTAŁCENIE

Rozkładanie sferoidy na samolot nie jest łatwiejsze niż spłaszczenie kawałka skórki arbuza. Przechodząc do płaszczyzny, z reguły zniekształca się kąty, obszary, kształty i długości linii, dlatego w określonych celach możliwe jest tworzenie rzutów, które znacznie zmniejszą każdy rodzaj zniekształcenia, na przykład obszary. Zniekształcenie kartograficzne jest naruszeniem właściwości geometrycznych odcinków powierzchni ziemi i znajdujących się na nich obiektów, gdy są one przedstawiane na płaszczyźnie. .
Wszelkiego rodzaju zniekształcenia są ze sobą ściśle powiązane. Są w takiej relacji, że zmniejszenie jednego rodzaju zniekształceń natychmiast prowadzi do wzrostu innego. Wraz ze zmniejszaniem się zniekształcenia powierzchniowego zwiększa się zniekształcenie kątowe i tak dalej. Ryż. Rysunek 5.2 pokazuje, w jaki sposób obiekty 3D są kompresowane w celu dopasowania do płaskiej powierzchni.

Ryż. 5.2. Rzutowanie powierzchni sferycznej na powierzchnię projekcyjną

Na różnych mapach zniekształcenia mogą mieć różne rozmiary: na mapach o dużej skali są prawie niezauważalne, ale na mapach o małej skali mogą być bardzo duże.
W połowie XIX wieku francuski naukowiec Nicolas August Tissot przedstawił ogólną teorię zniekształceń. W swojej pracy zaproponował użycie specjalnego elipsy zniekształceń, które są nieskończenie małymi elipsami w dowolnym punkcie na mapie, reprezentującymi nieskończenie małe okręgi w odpowiednim punkcie na powierzchni elipsoidy lub kuli ziemskiej. Elipsa staje się kołem w punkcie zerowej dystorsji. Zmiana kształtu elipsy odzwierciedla stopień zniekształcenia kątów i odległości, a wielkość - stopień zniekształcenia obszarów.

Ryż. 5.3. Elipsa na mapie ( a) i odpowiednie kółko na kuli ziemskiej ( b)

Elipsa dystorsji na mapie może zająć inną pozycję w stosunku do południka przechodzącego przez jej środek. Orientacja elipsy dystorsji na mapie jest zwykle określana przez azymut jego wielkiej półosi . Nazywa się kąt między kierunkiem północnym południka przechodzącego przez środek elipsy dystorsji a jej najbliższą półosią wielką kąt orientacji elipsy zniekształcenia. Na ryc. 5.3, a ten róg jest oznaczony literą ALE 0 i odpowiedni kąt na kuli ziemskiej α 0 (rys. 5.3, b).
Azymuty dowolnego kierunku na mapie i globusie są zawsze mierzone od kierunku północnego południka zgodnie z ruchem wskazówek zegara i mogą mieć wartości od 0 do 360°.
Dowolny arbitralny kierunek ( OK) na mapie lub na globusie ( O 0 Do 0 ) można określić na podstawie azymutu danego kierunku ( ALE- na mapie, α - na globusie) lub kąt między wielką półosią najbliższą północnemu kierunkowi południka a danym kierunkiem ( v- na mapie, ty- na świecie).

5.2.1. Zniekształcenie długości

Zniekształcenie długości - zniekształcenie podstawowe. Reszta zniekształceń wynika z tego logicznie. Zniekształcenie długości oznacza niespójność skali płaskiego obrazu, która objawia się zmianą skali od punktu do punktu, a nawet w tym samym punkcie, w zależności od kierunku.
Oznacza to, że na mapie znajdują się 2 rodzaje skali:

• skala główna (M);
• skala prywatna .

skala główna mapy nazywają stopniem ogólnej redukcji kuli ziemskiej do określonej wielkości kuli ziemskiej, z której powierzchnia ziemi zostaje przeniesiona na płaszczyznę. Pozwala ocenić zmniejszenie długości segmentów, gdy są one przenoszone z kuli ziemskiej na kulę ziemską. Skala główna jest zapisana pod południową ramką mapy, ale nie oznacza to, że odcinek mierzony gdziekolwiek na mapie będzie odpowiadał odległości na powierzchni Ziemi.
Skala w danym punkcie na mapie w danym kierunku nazywa się prywatny . Jest definiowany jako stosunek nieskończenie małego segmentu na mapie dl Do do odpowiedniego segmentu na powierzchni elipsoidy dl Z . Stosunek skali prywatnej do głównej, oznaczany przez μ , charakteryzuje zniekształcenie długości

(5.3)

Aby ocenić odchylenie określonej skali od głównej, użyj koncepcji zbliżenie (Z) zdefiniowany przez relację

(5.4)

Ze wzoru (5.4) wynika, że:

• w Z= 1 skala cząstkowa jest równa skali głównej ( µ = M), tj. nie ma zniekształceń długości w danym punkcie mapy w danym kierunku;
• w Z> 1 częściowa skala większa niż główna ( µ > M);
• w Z < 1 частный масштаб мельче главного (µ < М ).

Na przykład, jeśli główna skala mapy to 1: 1 000 000, powiększ Z równa się 1,2, to µ \u003d 1,2/1 000 000 \u003d 1/833 333, tj. jeden centymetr na mapie odpowiada około 8,3 km na ziemi. Skala prywatna jest większa niż główna (wartość ułamka jest większa).
Podczas przedstawiania powierzchni globusa na płaszczyźnie, skale cząstkowe będą numerycznie większe lub mniejsze niż skala główna. Jeśli weźmiemy skalę główną równą jeden ( M= 1), to skale cząstkowe będą liczbowo większe lub mniejsze od jedności. W tym przypadku pod skalą prywatną, liczbowo równą wzrostowi skali, należy rozumieć stosunek nieskończenie małego odcinka w danym punkcie na mapie w danym kierunku do odpowiadającego mu nieskończenie małego odcinka na kuli ziemskiej:

(5.5)

Częściowe odchylenie skali (µ )od jedności określa zniekształcenie długości w danym punkcie na mapie w danym kierunku ( V):

V = µ - 1 (5.6)

Często zniekształcenie długości jest wyrażane jako procent jedności, tj. do skali głównej, i nazywa się zniekształcenie względnej długości :

q = 100(µ - 1) = V×100(5.7)

Na przykład, kiedy µ = 1,2 zniekształcenia długości V= +0.2 lub względne zniekształcenie długości V= +20%. Oznacza to, że odcinek o długości 1 cm, zrobiony na kuli ziemskiej, zostanie wyświetlony na mapie jako odcinek o długości 1,2 cm.
Wygodnie jest ocenić obecność zniekształcenia długości na mapie porównując wielkość segmentów południków pomiędzy sąsiednimi równoleżnikami. Jeśli są wszędzie równe, to nie ma zniekształcenia długości wzdłuż południków, jeśli nie ma takiej równości (ryc. 5.5 segmenty AB oraz płyta CD), to występuje zniekształcenie długości linii.

Ryż. 5.4. Część mapy półkuli wschodniej pokazująca zniekształcenia kartograficzne

Jeśli mapa przedstawia tak duży obszar, że pokazuje zarówno równik 0º, jak i równoleżnik 60º szerokości geograficznej, to nie jest trudno na jej podstawie stwierdzić, czy występuje zniekształcenie długości wzdłuż równoleżników. Aby to zrobić, wystarczy porównać długość odcinków równika i równoleżników o szerokości 60 ° między sąsiednimi południkami. Wiadomo, że równoleżnik 60° szerokości geograficznej jest dwa razy krótszy niż równik. Jeśli stosunek wskazanych odcinków na mapie jest taki sam, to nie ma zniekształcenia długości wzdłuż równoleżników; w przeciwnym razie istnieje.
Największy wskaźnik zniekształcenia długości w danym punkcie (główna półoś elipsy zniekształcenia) jest oznaczony literą łacińską a, a najmniejsza (pół-oś mała elipsy dystorsji) - b. wzajemnie prostopadłe kierunki, w których działają największe i najmniejsze wskaźniki zniekształcenia długości, nazwane głównymi kierunkami .
Do oceny różnych zniekształceń na mapach, wszystkich skal cząstkowych, największe znaczenie mają skale cząstkowe w dwóch kierunkach: wzdłuż południków i wzdłuż równoleżników. skala prywatna wzdłuż południka zwykle oznaczany literą m , a skala prywatna równoległy - list n.
W granicach map małoskalowych stosunkowo niewielkich terytoriów (np. Ukraina) odchylenia skal długości od skali wskazanej na mapie są niewielkie. Błędy pomiaru długości w tym przypadku nie przekraczają 2 - 2,5% mierzonej długości i można je pominąć podczas pracy z mapami szkolnymi. Niektórym mapom do pomiarów przybliżonych towarzyszy skala pomiarowa wraz z tekstem objaśniającym.
Na mapy morskie , zbudowany w rzucie Mercator i na którym lokodrom jest przedstawiony linią prostą, nie podano specjalnej skali liniowej. Jego rolę pełnią wschodnia i zachodnia ramka mapy, które są południkami podzielonymi na podziały do ​​1′ szerokości geograficznej.
W żegludze morskiej odległości mierzone są w milach morskich. Mila morska to średnia długość łuku południka 1′ szerokości geograficznej. Zawiera 1852 m. W ten sposób ramki mapy morskiej są faktycznie podzielone na odcinki równe jednej mili morskiej. Wyznaczając w linii prostej odległość między dwoma punktami na mapie w minutach południka, uzyskuje się rzeczywistą odległość w milach morskich wzdłuż lokodromu.

Rysunek 5.5. Pomiar odległości na mapie morza.

5.2.2. Zniekształcenie narożnika

Zniekształcenia kątowe wynikają logicznie ze zniekształceń długości. Różnica kątów między kierunkami na mapie a odpowiadającymi im kierunkami na powierzchni elipsoidy jest traktowana jako cecha zniekształcenia kątów na mapie.
Do zniekształceń kątowych między liniami siatki kartograficznej przyjmują wartość swojego odchylenia od 90 ° i oznaczają ją grecką literą ε (epsilon).
ε = Ө - 90°, (5.8)
w którym Ө (theta) - kąt mierzony na mapie między południkiem a równoleżnikiem.

Rysunek 5.4 wskazuje, że kąt Ө jest równy 115°, zatem ε = 25°.
W punkcie, w którym kąt przecięcia południka i równoleżnika pozostaje dokładnie na mapie, kąty między innymi kierunkami można zmieniać na mapie, ponieważ w dowolnym punkcie wielkość zniekształcenia kąta może zmieniać się wraz z kierunkiem.
Dla ogólnego wskaźnika zniekształcenia kątów ω (omega) przyjmuje się największe zniekształcenie kąta w danym punkcie, równe różnicy między jego wielkością na mapie i na powierzchni elipsoidy ziemskiej (kulki). Kiedy wiadomo x wskaźniki a oraz b wartość ω określone wzorem:

(5.9)

5.2.3. Zniekształcenie obszaru

Zniekształcenia powierzchni wynikają logicznie ze zniekształceń długości. Odchylenie obszaru elipsy zniekształcenia od pierwotnego obszaru na elipsoidzie jest uważane za cechę zniekształcenia obszaru.
Prostym sposobem identyfikacji zniekształceń tego typu jest porównanie obszarów komórek siatki kartograficznej, ograniczonych równoleżnikami o tej samej nazwie: jeśli obszary komórek są równe, zniekształcenia nie ma. Odbywa się to w szczególności na mapie półkuli (ryc. 4.4), na której zacieniowane komórki różnią się kształtem, ale mają ten sam obszar.
Wskaźnik zniekształceń powierzchni (R) oblicza się jako iloczyn największych i najmniejszych wskaźników zniekształcenia długości w danym miejscu na mapie
p = a×b (5.10)
Główne kierunki w danym punkcie na mapie mogą pokrywać się z liniami siatki kartograficznej, ale mogą się z nimi nie pokrywać. Następnie wskaźniki a oraz b według sławnych m oraz n obliczone według wzorów:

(5.11)
(5.12)

Współczynnik zniekształcenia zawarty w równaniach R rozpoznać w tym przypadku po produkcie:

Gdzie ε (epsilon) - odchylenie kąta przecięcia siatki kartograficznej od 9 0°.

5.2.4. Zniekształcenie formy

Zniekształcenie kształtu polega na tym, że kształt terenu lub terytorium zajmowanego przez obiekt na mapie różni się od ich kształtu na płaskiej powierzchni Ziemi. Obecność tego typu zniekształcenia na mapie można stwierdzić porównując kształt komórek siatki kartograficznej znajdujących się na tej samej szerokości geograficznej: jeśli są takie same, to zniekształcenia nie ma. Na rysunku 5.4 dwie zacienione komórki o różnym kształcie wskazują na obecność tego typu zniekształcenia. Możliwe jest również zidentyfikowanie zniekształcenia kształtu danego obiektu (kontynentu, wyspy, morza) na podstawie stosunku jego szerokości do długości na analizowanej mapie i na kuli ziemskiej.
Wskaźnik zniekształcenia kształtu (k) zależy od różnicy największych ( a) i najmniej ( b) wskaźniki zniekształcenia długości w danym miejscu mapy i wyraża się wzorem:

(5.14)

Podczas badania i wybierania odwzorowania mapy użyj izokole - linie o równych zniekształceniach. Można je nanieść na mapę jako linie kropkowane, aby pokazać stopień zniekształcenia.

Ryż. 5.6. Izokoły największego zniekształcenia kątów

5.3. KLASYFIKACJA PROJEKCJI WEDŁUG CHARAKTERU ZNIEKSZTAŁCEŃ

W różnych celach tworzone są projekcje różnego rodzaju zniekształceń. Charakter zniekształcenia projekcji determinuje brak w nim pewnych zniekształceń. (kąty, długości, powierzchnie). W zależności od tego wszystkie rzuty kartograficzne są podzielone na cztery grupy w zależności od charakteru zniekształceń:
- równokątny (konformalny);
- równoodległy (równoodległy);
— równy (równoważny);
- arbitralne.

5.3.1. Projekcje równokątne

Równokątny takie projekcje są nazywane, w których kierunki i kąty są przedstawiane bez zniekształceń. Kąty zmierzone na mapach projekcji konforemnej są równe odpowiednim kątom na powierzchni Ziemi. Nieskończenie małe koło w tych projekcjach zawsze pozostaje kołem.
W rzutach konforemnych skale długości w dowolnym punkcie we wszystkich kierunkach są takie same, dlatego nie mają zniekształceń kształtu nieskończenie małych figur ani zniekształceń kątów (ryc. 5.7, B). Ta ogólna właściwość rzutów konforemnych jest wyrażona wzorem ω = 0°. Ale formy rzeczywistych (ostatecznych) obiektów geograficznych zajmujących całe sekcje na mapie są zniekształcone (ryc. 5.8, a). Projekcje konforemne mają szczególnie duże zniekształcenia powierzchniowe (co wyraźnie pokazują elipsy zniekształceń).

Ryż. 5.7. Widok elips zniekształceń w rzutach równopowierzchniowych — ALE, równokątny - B, arbitralnie - W, w tym w równej odległości wzdłuż południka - G i równoodległe wzdłuż równoleżnika - D. Diagramy pokazują zniekształcenie pod kątem 45°.

Rzuty te służą do wyznaczania kierunków i wyznaczania tras wzdłuż danego azymutu, dlatego zawsze są używane na mapach topograficznych i nawigacyjnych. Wadą projekcji konforemnych jest to, że obszary są w nich znacznie zniekształcone (ryc. 5.7, a).

Ryż. 5.8. Zniekształcenia w rzucie cylindrycznym:
a - równokątny; b - w równej odległości; c - równe

5.6.2. Równoodległe projekcje

Równoodległy rzuty nazywane są rzutami, w których zachowana jest skala długości jednego z głównych kierunków (pozostaje niezmieniona) (ryc. 5.7, D. Ryc. 5.7, E.) Są one używane głównie do tworzenia map referencyjnych w małej skali i gwiazd wykresy.

5.6.3. Projekcje o równej powierzchni

Równej wielkości nazywane są projekcje, w których nie ma zniekształceń powierzchni, to znaczy powierzchnia figury zmierzona na mapie jest równa powierzchni tej samej figury na powierzchni Ziemi. W odwzorowaniach map równego obszaru skala obszaru ma wszędzie taką samą wartość. Tę właściwość odwzorowań równopowierzchniowych można wyrazić wzorem:

Nieuniknioną konsekwencją równej powierzchni tych rzutów jest silne zniekształcenie ich kątów i kształtów, co dobrze tłumaczą elipsy zniekształceń (ryc. 5.7, A).

5.6.4. Arbitralne prognozy

arbitralnie obejmują rzuty, w których występują zniekształcenia długości, kątów i obszarów. Konieczność stosowania dowolnych rzutów tłumaczy się tym, że przy rozwiązywaniu niektórych problemów konieczne staje się mierzenie kątów, długości i powierzchni na jednej mapie. Ale żadna projekcja nie może być jednocześnie konforemna, równoodległa i równa powierzchni. Już wcześniej powiedziano, że wraz ze spadkiem obrazowanego obszaru powierzchni Ziemi na płaszczyźnie zmniejszają się również zniekształcenia obrazu. Przy przedstawianiu niewielkich obszarów powierzchni ziemi w dowolnym rzucie zniekształcenia kątów, długości i pól są nieznaczne, a przy rozwiązywaniu wielu problemów można je pominąć.

5.4. KLASYFIKACJA PROJEKCJI WEDŁUG RODZAJU NORMALNEJ SIATKI

W praktyce kartograficznej powszechna jest klasyfikacja rzutów ze względu na rodzaj pomocniczej powierzchni geometrycznej, którą można wykorzystać do ich budowy. Z tego punktu widzenia rozróżnia się projekcje: cylindryczny gdy powierzchnia boczna cylindra służy jako powierzchnia pomocnicza; stożkowy gdy płaszczyzna pomocnicza jest boczną powierzchnią stożka; azymutalny gdy powierzchnia pomocnicza jest płaszczyzną (płaszczyzną obrazu).
Powierzchnie, na które rzutowany jest globus, mogą być do niego styczne lub sieczne. Mogą być również inaczej zorientowane.
Rzuty, w których konstrukcji osie walca i stożka zrównały się z osią biegunową globu, a płaszczyzna obrazu, na którą rzutowany był obraz, została umieszczona stycznie w punkcie biegunowym, nazywamy normalnymi.
Konstrukcja geometryczna tych występów jest bardzo przejrzysta.

5.4.1. Rzuty cylindryczne

Dla uproszczenia rozumowania zamiast elipsoidy używamy kuli. Kulę zamykamy w cylindrze stycznym do równika (ryc. 5.9, a).

Ryż. 5.9. Budowa siatki kartograficznej w równopowierzchniowym rzucie cylindrycznym

Kontynuujemy płaszczyzny południków PA, PB, PV, ... i bierzemy przecięcie tych płaszczyzn z boczną powierzchnią walca jako obraz południków na nim. Jeśli przetniemy boczną powierzchnię cylindra wzdłuż tworzącej aAa 1 i rozłożyć go na płaszczyźnie, wówczas południki będą przedstawione jako równoległe, równomiernie rozmieszczone linie proste aAa 1 , BBB 1 , vVv 1 ... prostopadle do równika ABV.
Obraz paraleli można uzyskać na różne sposoby. Jednym z nich jest kontynuacja płaszczyzn równoleżników, aż do przecięcia się z powierzchnią walca, co da w rozwinięciu drugą rodzinę równoległych linii prostych, prostopadłych do południków.
Powstały cylindryczny rzut (ryc. 5.9, b) będzie równy, ponieważ powierzchnia boczna pasa kulistego AGED, równa 2πRh (gdzie h jest odległością między płaszczyznami AG i ED), odpowiada obszarowi obrazu tego pasa na skanie. Skala główna jest utrzymywana wzdłuż równika; łuski prywatne rosną wzdłuż równoleżnika i zmniejszają się wzdłuż południków w miarę oddalania się od równika.
Inny sposób określenia położenia równoleżników opiera się na zachowaniu długości południków, tj. zachowaniu głównej skali wzdłuż wszystkich południków. W takim przypadku rzut cylindryczny będzie w równej odległości wzdłuż południków(ryc. 5.8, b).
Do równokątny Rzut cylindryczny wymaga w dowolnym momencie stałości skali we wszystkich kierunkach, co wymaga zwiększenia skali wzdłuż południków w miarę oddalania się od równika zgodnie ze wzrostem skali wzdłuż równoleżników na odpowiednich szerokościach geograficznych (patrz ryc. 5.8, a).
Często zamiast walca stycznego stosuje się walec, który przecina kulę wzdłuż dwóch równoległych (ryc. 5.10), wzdłuż których zachowana jest skala główna podczas zamiatania. W tym przypadku łuski cząstkowe wzdłuż wszystkich równoleżników między równoleżnikami przekroju będą mniejsze, a na pozostałych równoleżnikach - większe niż skala główna.

Ryż. 5.10. Cylinder, który przecina piłkę wzdłuż dwóch równoległych

5.4.2. Stożkowe projekcje

Aby skonstruować rzut stożkowy, zamykamy kulę w stożku stycznym do kuli wzdłuż równoległego ABCD (ryc. 5.11 a).

Ryż. 5.11. Budowa siatki kartograficznej w równoodległym rzucie stożkowym

Podobnie jak w poprzedniej konstrukcji, kontynuujemy płaszczyzny południków PA, PB, PV, ... i przyjmujemy ich przecięcia z boczną powierzchnią stożka jako obraz południków na nim. Po rozwinięciu bocznej powierzchni stożka na płaszczyźnie (ryc. 5.11, b) południki zostaną przedstawione promieniowymi liniami prostymi TA, TB, TV, ... wychodzącymi z punktu T. Należy pamiętać, że kąty między je (zbieżność południków) będą proporcjonalne (ale nie równe) do różnic w długościach geograficznych. Wzdłuż stycznej równoległej ABV (łuk koła o promieniu TA) zachowana jest skala główna.
Położenie innych równoleżników, zobrazowanych łukami koncentrycznych okręgów, można określić na podstawie pewnych warunków, z których jeden - zachowanie głównej skali wzdłuż południków (AE = Ae) - prowadzi do stożkowego rzutu równoodległego.

5.4.3. Projekcje azymutalne

Aby skonstruować rzut azymutalny, użyjemy płaszczyzny stycznej do kuli w punkcie bieguna P (ryc. 5.12). Przecięcia południków z płaszczyzną styczną dają obraz południków Pa, Pe, Pv, ... w postaci linii prostych, których kąty są równe różnicy długości geograficznej. Równolegle, które są koncentrycznymi okręgami, można definiować na różne sposoby, na przykład rysować promieniami równymi wyprostowanym łukom południków od bieguna do odpowiadającego mu równoległego PA = Pa. Taka projekcja byłaby równoodległy na południki i zachowuje wzdłuż nich główną skalę.

Ryż. 5.12. Budowa siatki kartograficznej w rzucie azymutalnym

Szczególnym przypadkiem projekcji azymutalnych są obiecujący rzuty budowane zgodnie z prawami perspektywy geometrycznej. W tych projekcjach każdy punkt na powierzchni kuli ziemskiej jest przenoszony na płaszczyznę obrazu wzdłuż promieni wychodzących z jednego punktu Z zwanym punktem widzenia. W zależności od położenia punktu widzenia względem środka kuli ziemskiej rzuty dzielą się na:

• centralny - punkt widzenia pokrywa się ze środkiem kuli ziemskiej;
• stereograficzny - punkt widzenia znajduje się na powierzchni globusa w punkcie diametralnie przeciwległym do punktu styku płaszczyzny obrazu z powierzchnią globusa;
• zewnętrzny - punkt widzenia jest wyjęty z globu;
• pisowniany - punkt widzenia jest rozciągnięty w nieskończoność, tj. projekcja jest realizowana przez promienie równoległe.

Ryż. 5.13. Rodzaje rzutów perspektywicznych: a - centralne;
b - stereograficzny; w - zewnętrzny; d - ortograficzny.

5.4.4. Projekcje warunkowe

Rzuty warunkowe to rzuty, dla których nie można znaleźć prostych analogów geometrycznych. Są one budowane na podstawie określonych warunków, na przykład pożądanego typu siatki geograficznej, takiego lub innego rozkładu zniekształceń na mapie, danego typu siatki itp. W szczególności pseudocylindryczne, pseudostożkowe, pseudoazymutalne i inne projekcje uzyskane przez konwersję jednej lub kilku oryginalnych projekcji.
Na pseudocylindryczny rzuty równikowe i równoległe są liniami prostymi równoległymi do siebie (co czyni je podobnymi do rzutów cylindrycznych), a południki są krzywymi symetrycznymi względem średniego południka prostoliniowego (ryc. 5.14)

Ryż. 5.14. Widok siatki kartograficznej w rzucie pseudocylindrycznym.

Na pseudostożkowy rzuty równoległe to łuki koncentrycznych okręgów, a południki to krzywe symetryczne względem średniego południka prostoliniowego (ryc. 5.15);

Ryż. 5.15. Siatka mapy w jednym z odwzorowań pseudostożkowych

Budowanie siatki w rzut polikoniczny może być reprezentowana przez rzutowanie segmentów siatki globu na powierzchnię kilka stożki styczne i późniejsze rozwinięcie się w płaszczyznę pasków uformowanych na powierzchni stożków. Ogólną zasadę takiego projektu pokazano na rysunku 5.16.

Ryż. 5.16. Zasada konstruowania rzutu polistożkowego:
a - pozycja szyszek; b - paski; c - zamiatanie

literami S wierzchołki szyszek są wskazane na rysunku. Dla każdego stożka rzutowany jest odcinek równoleżnikowy powierzchni kuli, przylegający do równoległości styku odpowiedniego stożka.
Dla zewnętrznego wyglądu siatek kartograficznych w rzucie polistożkowym charakterystyczne jest to, że południki mają kształt zakrzywionych linii (z wyjątkiem środkowej - prostej), a równoleżniki są łukami ekscentrycznych okręgów.
W odwzorowaniach wielokątnych używanych do budowy map świata przekrój równikowy rzutowany jest na walec styczny, dlatego na powstałej siatce równik ma postać linii prostej prostopadłej do środkowego południka.
Po zeskanowaniu stożków sekcje te są obrazowane jako paski na płaszczyźnie; paski stykają się wzdłuż środkowego południka mapy. Ostateczny kształt siatka uzyskuje po usunięciu szczelin między paskami poprzez rozciąganie (rys. 5.17).

Ryż. 5.17. Siatka kartograficzna w jednym z polikonów

Rzuty wielościenne - rzuty uzyskane przez rzutowanie na powierzchnię wielościanu (ryc. 5.18), styczne lub sieczne do kuli (elipsoida). Najczęściej każda twarz jest trapezem równoramiennym, chociaż możliwe są inne opcje (na przykład sześciokąty, kwadraty, romby). Różnorodne wielościenne są rzuty wielopasmowe, ponadto paski można „ciąć” zarówno wzdłuż południków, jak i wzdłuż równoleżników. Takie rzuty są korzystne, ponieważ zniekształcenia w każdym fasetce lub paśmie są bardzo małe, więc zawsze są używane w mapach wieloarkuszowych. Topograficzne i geodezyjne-topograficzne tworzone są wyłącznie w rzucie wielopłaszczyznowym, a ramą każdego arkusza jest trapez złożony z linii południków i równoleżników. Musisz za to "zapłacić" - blok arkuszy mapy nie może być połączony wzdłuż wspólnej ramki bez przerw.

Ryż. 5.18. Schemat rzutowania wielościennego i układ arkuszy map

Należy zauważyć, że obecnie powierzchnie pomocnicze nie są wykorzystywane do uzyskiwania odwzorowań map. Nikt nie wkłada kuli do cylindra i nie kładzie na nim stożka. To tylko analogie geometryczne, które pozwalają zrozumieć geometryczną istotę rzutu. Wyszukiwanie rzutów odbywa się analitycznie. Modelowanie komputerowe pozwala na szybkie obliczenie dowolnej projekcji przy zadanych parametrach, a automatyczne plotery wykresów z łatwością wykreślą odpowiednią siatkę południków i równoleżników oraz, w razie potrzeby, mapę izokol.
Istnieją specjalne atlasy rzutów, które pozwalają wybrać odpowiednią projekcję dla dowolnego terytorium. Ostatnio powstały elektroniczne atlasy projekcyjne, za pomocą których łatwo znaleźć odpowiednią siatkę, od razu ocenić jej właściwości, a w razie potrzeby dokonać interaktywnie pewnych modyfikacji lub przekształceń.

5.5. KLASYFIKACJA PROJEKCJI W ZALEŻNOŚCI OD ORIENTACJI POMOCNICZEJ POWIERZCHNI KARTOGRAFICZNEJ

Normalne projekcje - płaszczyzna rzutu dotyka kuli ziemskiej w punkcie biegunowym lub oś cylindra (stożka) pokrywa się z osią obrotu Ziemi (ryc. 5.19).

Ryż. 5.19. Projekcje normalne (bezpośrednie)

Rzuty poprzeczne - płaszczyzna rzutu dotyka w pewnym momencie równika lub oś cylindra (stożka) pokrywa się z płaszczyzną równika (ryc. 5.20).

Ryż. 5.20. Rzuty poprzeczne

ukośne projekcje - płaszczyzna rzutowania dotyka kuli ziemskiej w dowolnym punkcie (rys. 5.21).

Ryż. 5.21. ukośne projekcje

Z rzutów ukośnych i poprzecznych najczęściej stosuje się ukośne i poprzeczne cylindryczne, azymutalne (perspektywiczne) i pseudoazymutalne rzuty. Azymuty poprzeczne są używane do map półkul, ukośne - dla terytoriów o zaokrąglonym kształcie. Mapy kontynentów są często wykonywane w rzutach poprzecznych i ukośnych azymutalnych. Poprzeczne odwzorowanie cylindryczne Gaussa-Krugera jest używane w stanowych mapach topograficznych.

5.6. WYBÓR PROJEKCJI

Na wybór rzutów wpływa wiele czynników, które można pogrupować w następujący sposób:

• cechy geograficzne mapowanego terytorium, jego położenie na kuli ziemskiej, wielkość i konfiguracja;
• cel, skalę i przedmiot mapy, zamierzony krąg odbiorców;
• warunki i sposoby posługiwania się mapą, zadania, które będą rozwiązywane z wykorzystaniem mapy, wymagania dotyczące dokładności wyników pomiarów;
• cechy samego rzutu - wielkość zniekształceń długości, powierzchni, kątów i ich rozmieszczenia na terytorium, kształt południków i równoleżników, ich symetria, obraz biegunów, krzywizna linii o najkrótszej odległości.

Pierwsze trzy grupy czynników są ustalane na początku, czwarta zależy od nich. W przypadku sporządzania mapy do nawigacji należy zastosować konforemne odwzorowanie cylindryczne Mercatora. Jeśli mapowana jest Antarktyda, prawie na pewno zostanie przyjęta normalna (polarna) projekcja azymutalna i tak dalej.
Znaczenie tych czynników może być różne: w jednym przypadku na pierwszym miejscu stawiana jest widoczność (np. dla szkolnej mapy ściennej), w innym cechy korzystania z mapy (nawigacja), w trzecim położenie terytorium na kuli ziemskiej (region polarny). Możliwe są dowolne kombinacje, a co za tym idzie - różne warianty rzutów. Co więcej, wybór jest bardzo duży. Jednak nadal można wskazać niektóre preferowane i najbardziej tradycyjne projekcje.
Mapy świata zwykle komponują się w rzucie cylindrycznym, pseudocylindrycznym i polistożkowym. Aby zmniejszyć zniekształcenia, często stosuje się sieczne cylindry, a czasami na oceanach podaje się pseudocylindryczne projekcje z nieciągłościami.
Mapy półkuliste zawsze budowane w projekcjach azymutalnych. W przypadku półkuli zachodniej i wschodniej naturalne jest przyjmowanie rzutów poprzecznych (równikowych), dla półkuli północnej i południowej - normalnych (polarnych), aw innych przypadkach (na przykład dla półkul kontynentalnych i oceanicznych) - ukośnych rzutów azymutalnych.
Mapy kontynentów Europa, Azja, Ameryka Północna, Ameryka Południowa, Australia i Oceania są najczęściej budowane w równych powierzchniach skośnych rzutów azymutalnych, dla Afryki przyjmują rzuty poprzeczne, a dla Antarktydy - normalne rzuty azymutalne.
Mapy wybranych krajów , regiony administracyjne, prowincje, państwa są wykonywane w ukośnych, konforemnych i równopowierzchniowych projekcjach stożkowych lub azymutalnych, ale wiele zależy od konfiguracji terytorium i jego położenia na kuli ziemskiej. W przypadku małych obszarów problem wyboru rzutu traci na znaczeniu, można stosować różne rzuty konforemne, pamiętając, że zniekształcenia pola na małych obszarach są prawie niezauważalne.
Mapy topograficzne Ukraina jest tworzona w poprzecznym cylindrycznym rzucie Gaussa, a Stany Zjednoczone i wiele innych krajów zachodnich - w uniwersalnym poprzecznym cylindrycznym rzucie Mercatora (w skrócie UTM). Obie projekcje są zbliżone w swoich właściwościach; w rzeczywistości oba są wielownękowe.
Mapy morskie i lotnicze są zawsze podawane wyłącznie w cylindrycznej projekcji Mercatora, a mapy tematyczne mórz i oceanów tworzone są w najróżniejszych, czasem dość złożonych projekcjach. Na przykład do wspólnego wyświetlania oceanów atlantyckich i arktycznych stosuje się specjalne projekcje z owalnymi izokolami, a do obrazu całego oceanu światowego stosuje się równe projekcje z nieciągłościami na kontynentach.
W każdym razie przy wyborze rzutu, zwłaszcza dla map tematycznych, należy pamiętać, że zniekształcenie mapy jest zazwyczaj minimalne w centrum i szybko narasta w kierunku krawędzi. Ponadto im mniejsza jest skala mapy i im szerszy zasięg przestrzenny, tym większą uwagę należy zwracać na „matematyczne” czynniki doboru projekcji i odwrotnie – dla małych obszarów i dużych skal coraz bardziej stają się czynniki „geograficzne”. istotne.

5.7. ROZPOZNAWANIE PROJEKCJI

Rozpoznać rzut, w którym narysowana jest mapa, oznacza ustalić jej nazwę, określić, czy należy ona do tego czy innego gatunku, klasy. Jest to konieczne, aby mieć pojęcie o właściwościach odwzorowania, naturze, rozkładzie i wielkości zniekształcenia - jednym słowem, aby wiedzieć, jak korzystać z mapy, czego można się po niej spodziewać.
Niektóre normalne projekcje na raz rozpoznawane po pojawieniu się południków i równoleżników. Na przykład normalne cylindryczne, pseudocylindryczne, stożkowe projekcje azymutalne są łatwo rozpoznawalne. Ale nawet doświadczony kartograf nie rozpoznaje od razu wielu arbitralnych projekcji, konieczne będą specjalne pomiary na mapie, aby ujawnić ich równość, równoważność lub równość w jednym z kierunków. W tym celu istnieją specjalne techniki: najpierw ustala się kształt ramy (prostokąt, okrąg, elipsa), określa sposób przedstawienia biegunów, a następnie mierzy odległość między sąsiednimi równoleżnikami wzdłuż południka, obszar sąsiednie komórki siatki, kąty przecięcia południków i równoleżników, charakter ich krzywizny itp. .P.
Są specjalne stoły projekcyjne do map świata, półkul, kontynentów i oceanów. Po wykonaniu niezbędnych pomiarów na siatce możesz znaleźć nazwę rzutu w takiej tabeli. To da wyobrażenie o jej właściwościach, pozwoli ocenić możliwości oznaczeń ilościowych na tej mapie i wybrać odpowiednią mapę z izokołami do nanoszenia poprawek.

Wideo
Rodzaje projekcji ze względu na charakter zniekształceń

Pytania do samokontroli:

1. Jakie elementy składają się na matematyczną podstawę mapy?
2. Jaka jest skala mapy geograficznej?
3. Jaka jest główna skala mapy?
4. Jaka jest prywatna skala mapy?
5. Jaki jest powód odchylenia skali prywatnej od głównej na mapie geograficznej?
6. Jak zmierzyć odległość między punktami na mapie morza?
7. Co to jest elipsa dystorsji i do czego służy?
8. Jak określić największą i najmniejszą skalę z elipsy dystorsji?
9. Jakie są metody przeniesienia powierzchni elipsoidy Ziemi na płaszczyznę, jaka jest ich istota?
10. Co to jest odwzorowanie mapy?
11. Jak klasyfikuje się projekcje według charakteru zniekształceń?
12. Jakie projekcje nazywamy konforemnymi, jak przedstawić elipsę zniekształcenia na tych projekcjach?
13. Jakie projekcje nazywamy równoodległymi, jak przedstawić elipsę zniekształceń na tych projekcjach?
14. Jakie projekcje nazywamy równymi obszarami, jak przedstawić elipsę zniekształceń na tych projekcjach?
15. Jakie prognozy nazywamy arbitralnymi?