Uproszczenie wyrażeń trygonometrycznych online. Identyczne transformacje wyrażeń trygonometrycznych

W identyczne transformacje wyrażenia trygonometryczne Można stosować następujące techniki algebraiczne: dodanie i odejmowanie tych samych warunków; powszechny czynnik do wsporników; Mnożenie i podział na tej samej wartości; Zastosowanie formuł skróconych mnożenia; alokacja pełnego kwadratu; Rozkład kwadratu jest trzy decyzje dotyczące mnożników; Wprowadzenie nowych zmiennych w celu uproszczenia transformacji.

W transformacjach wyrażeń trygonometrycznych zawierających frakcje, możliwe jest stosowanie właściwości proporcji, zmniejszenie frakcji lub wprowadzanie frakcji do wspólnego mianownika. Ponadto możesz użyć wyboru części frakcji, pomnożenie o numeratorze i mianownika ułamka do tej samej wartości, a także w miarę możliwości, weź pod uwagę jednorodność licznika lub mianownika. W razie potrzeby możesz reprezentować frakcję w postaci sumy lub różnicy kilku prostszych frakcji.

Ponadto stosując wszystkie niezbędne metody przekształcania wyrażeń trygonometrycznych, konieczne jest stale uwzględnienie wartości przeszkód transformowanych wyrażeń.

Rozważ kilka przykładów.

Przykład 1.

Oblicz A \u003d (Sin (2x - Π) · COS (3π - X) + SIN (2x - 9π / 2) · COS (X + π / 2)) 2 + (COS (X - π / 2) · COS ( 2x - 7π / 2) +
+ sin (3π / 2 - X) · Sin (2x -5π / 2)) 2

Decyzja.

Z formuły przynoszenia:

grzech (2x - π) \u003d -sin 2x; Cos (3π - x) \u003d -cos x;

sIN (2x - 9π / 2) \u003d -COS 2X; cos (x + π / 2) \u003d -sin x;

cos (x - π / 2) \u003d sin x; Cos (2x - 7π / 2) \u003d -sin 2x;

sIN (3π / 2 - X) \u003d -COS X; SIN (2x - 5π / 2) \u003d -COS 2X.

Gdzie jest formuła do dodawania argumentów i głównej tożsamości trygonometrycznej, otrzymujemy

A \u003d (grzech 2x · COS X + COS 2X · SIN X) 2 + (-SIN X · SIN 2X + COSS X · COS 2x) 2 \u003d SIN 2 (2x + X) + COS 2 (X + 2X) \u003d
\u003d SIN 2 3X + COS 2 3X \u003d 1

Odpowiedź 1.

Przykład 2.

Konwertuj wyrażenie M \u003d COS α + COS (α + β) · COS γ + COS β - SIN (α + β) · SIN γ + COS γ.

Decyzja.

Z formuł dodawania argumentów i formuł do konwersji suma funkcji trygonometrycznych do pracy po odpowiednim grupowaniu

M \u003d (cos (α + β) · COS γ - SIN (α + β) · SIN γ) + COS α + (COS β + COS γ) \u003d

2cos ((β + γ) / 2) · Cos ((β - γ) / 2) + (COS α + COS (α + β + γ)) \u003d

2cos ((β + γ) / 2) · Cos ((β - γ) / 2) + 2CO (α + (β + γ) / 2) · COS ((β + γ) / 2) \u003d

2cos ((β + γ) / 2) (COS ((β - γ) / 2) + COS (α + (β + γ) / 2)) \u003d

2cos ((β + γ) / 2) · 2cos ((β - γ) / 2 + α + (β + γ) / 2) / 2) · COS ((β - γ) / 2) - (α + ( β + γ) / 2) / 2) \u003d

4cos ((β + γ) / 2) · COS ((α + β) / 2) · COS ((α + γ) / 2).

Odpowiedź: M \u003d 4cos ((α + β) / 2) · Cos ((α + γ) / 2) · COS ((β + γ) / 2).

Przykład 3..

Pokaż, że wyrażenie A \u003d COS 2 (X + π / 6) - COS (x + π / 6) · COS (X - π / 6) + COS 2 (X - π / 6) trwa dla wszystkich X z jednego i to samo znaczenie. Znajdź tę wartość.

Decyzja.

Dajemy dwa sposoby rozwiązywania tego problemu. Stosując pierwszą metodę wybierając pełny kwadrat i przy użyciu odpowiednich głównych formuł trygonometrycznych, otrzymujemy

A \u003d (COS (X + π / 6) - COS (X - π / 6)) 2 + COS (X - π / 6) · COS (X - π / 6) \u003d

4SIN 2 X · SIN 2 π / 6 + 1/2 (COS 2X + COS π / 3) \u003d

SIN 2 x + 1/2 · COS 2x + 1/4 \u003d 1/2 · (1 - Cos 2x) + 1/2 · Cos 2x + 1/4 \u003d 3/4.

Rozwiązując problem w drugim sposobie, uważamy za funkcję X od R i oblicz jej pochodną. Po transformacji dostajemy

A '\u003d -2COS (X + π / 6) · SIN (X + π / 6) + (SIN (X + π / 6) · COS (X - π / 6) + COS (X + π / 6) · SIN (X + π / 6)) - 2CO (X - π / 6) · SIN (X - π / 6) \u003d

SIN 2 (X + π / 6) + SIN ((X + π / 6) + (X - π / 6)) - SIN 2 (X - π / 6) \u003d

SIN 2X - (grzech (2x + π / 3) + grzech (2x - π / 3)) \u003d

SIN 2X - 2SIN 2X · COS π / 3 \u003d SIN 2X - SIN 2X ≡ 0.

Stąd, ze względu na kryterium stałości funkcji różnicującą w przedziale, dochodzimy do wniosku

A (X) ≡ (0) \u003d COS 2 π / 6 - COS 2 π / 6 + COS 2 π / 6 \u003d (√3 / 2) 2 \u003d 3/4, X € R.

Odpowiedź: A \u003d 3/4 dla X € R.

Głównymi technikami dowodów tożsamości trygonometrycznej to:

ale) zmniejszenie lewej części tożsamości do właściwego sposobu na odpowiednie transformacje;
b) zmniejszając prawą stronę tożsamości w lewo;
w) Zmniejszenie prawej i lewej części tożsamości do tej samej formy;
re) Pamiętając na zero różnicy między lewą i prawą częścią dowodowej tożsamości.

Przykład 4.

Sprawdź, czy cos 3x \u003d -4cos x · cos (x + π / 3) · cos (x + 2π / 3).

Decyzja.

Konwersja prawej strony tej tożsamości zgodnie z odpowiednimi formułami trygonometrycznymi, mamy

4cos x · cos (x + π / 3) · cos (x + 2π / 3) \u003d

2cos x · (cos (x + π / 3) + (x + 2π / 3)) + cos ((x + π / 3) - (x + 2π / 3))) \u003d

2cos x · (cos (2x + π) + cos π / 3) \u003d

2cos x · cos 2x - cos x \u003d (Cos 3x + cos x) - COS X \u003d COS 3X.

Prawa strona tożsamości jest zmniejszona w lewo.

Przykład 5.

Udowodnij, że grzech 2 α + grzech 2 β + sin 2 γ - 2cos α · cos · · cos γ \u003d 2, jeśli α, β, γ jest wewnętrznymi kątami niektórych trójkąta.

Decyzja.

Biorąc pod uwagę, że α, β, γ - wewnętrzne kąty niektórych trójkąta, otrzymujemy to

α + β + γ \u003d π, a zatem γ \u003d π - α - β.

sIN 2 α + SIN 2 β + SIN 2 γ - 2cos α · cos · · cos γ \u003d

SIN 2 α + SIN 2 β + SIN 2 (π - α - β) - 2CO α · cos · · cos (π - α - β) \u003d

SIN 2 α + SIN 2 β + SIN 2 (α + β) + (COS (α + β) + COS (α - β) · (cos (α + β) \u003d

SIN 2 α + SIN 2 β + (SIN 2 (α + β) + COS 2 (α + β)) + COS (α - β) · (cos (α + β) \u003d

1/2 · (1 - COS 2α) + ½ · (1 - COS 2β) + 1 + 1/2 · (COS 2α + COS 2β) \u003d 2.

Udowodniono początkową równość.

Przykład 6.

Aby udowodnić, że w celu jednego z kątów α, β, trójkąt trójkąta wynosi 60 °, konieczne jest i wystarczy, aby grzeszyć 3α + SIN 3β + SIN 3γ \u003d 0.

Decyzja.

Stan tego zadania oznacza dowód zarówno potrzeby, jak i wystarczalności.

Najpierw udowodnić konieczność.

Możesz to pokazać

sIN 3α + SIN 3β + SIN 3γ \u003d -4CO (3α / 2) · COS (3β / 2) · COS (3γ / 2).

Stąd, biorąc pod uwagę, że COS (3/2 · 60 °) \u003d COS 90 ° \u003d 0, otrzymujemy, że jeśli jeden z kątów α, β lub γ wynosi 60 °,

cOS (3α / 2) · COS (3β / 2) · COS (3γ / 2) \u003d 0, a zatem grzech 3α + SIN 3β + SIN 3γ \u003d 0.

Udowodniamy teraz adekwatność określony warunek.

Jeśli SIN 3α + SIN 3β + SIN 3γ \u003d 0, a następnie COS (3α / 2) · COS (3β / 2) · COS (3γ / 2) \u003d 0, a zatem

albo COS (3α / 2) \u003d 0, albo COS (3/2) \u003d 0 lub COS (3γ / 2) \u003d 0.

W związku z tym,

albo 3α / 2 \u003d π / 2 + πk, tj. α \u003d π / 3 + 2πK / 3,

albo 3β / 2 \u003d π / 2 + πk, tj. β \u003d π / 3 + 2πk / 3,

albo 3γ / 2 \u003d π / 2 + πk,

te. γ \u003d π / 3 + 2πK / 3, gdzie k ε z.

Od faktu, że α, β, γ są narożnikami trójkąta, mamy

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

Dlatego dla α \u003d π / 3 + 2πk / 3 lub β \u003d π / 3 + 2πK / 3 lub

γ \u003d π / 3 + 2πK / 3 ze wszystkich KεZ jest odpowiedni tylko k \u003d 0.

Od miejsca, w którym wynika, że \u200b\u200balbo α \u003d π / 3 \u003d 60 °, albo β \u003d π / 3 \u003d 60 ° lub γ \u003d π / 3 \u003d 60 °.

Udowodniono oświadczenie.

Mieć pytania? Nie wiem jak uprościć wyrażenia trygonometryczne?
Aby uzyskać pomoc na opiekun - zarejestruj się.
Pierwsza lekcja jest bezpłatna!

wymagana jest witryna, z pełnym lub częściowym kopiowaniem materiału odniesienia do oryginalnego źródła.

Sekcje: Matematyka

Klasa: 11

Lekcja 1.

Przedmiot: Klasa 11 (przygotowanie do użycia)

Uproszczenie trygonometrycznych wyrażeń.

Rozwiązanie najprostszych równań trygonometrycznych. (2 godziny)

Cele:

Systematize, podsumuj, rozszerzyć wiedzę i umiejętności studentów związanych z wykorzystaniem formuł trygonometrycznych i rozwiązywanie najprostszych równań trygonometrycznych.

Sprzęt do lekcji:

Struktura lekcji:

Orgmoment.
Testowanie na laptopach. Dyskusja na temat wyników.
Uproszczenie trygonometrycznych wyrażeń
Rozwiązanie najprostszych równań trygonometrycznych
Niezależna praca.
Wynik lekcji. Wyjaśnienie zadania domu.

1. Orgmant. (2 minuty.)

Nauczyciel z zadowoleniem przyjmuje publiczność, ogłasza temat lekcji, przypomina, że \u200b\u200bzadanie zostało wcześniej podane w celu powtórzenia formuł trygonometrycznych i dostosowuje uczniów do testowania.

2. Testowanie. (15min + 3min. Dyskusja)

Celem jest sprawdzenie wiedzy o wzorach trygonometrycznych i możliwości ich stosowania. Każdy student ma biurko na laptopa, w którym wersja testowa.

Opcje mogą być tak samo jak chcesz, dam przykład jednego z nich:

Opcja.

Uprość wyrażenia:

a) Podstawowe tożsamości trygonometryczne

1. SIN 2 3Y + COS 2 3Y + 1;

b) Dodawanie formuł

3. SIN5X - SIN3X;

c) transformacja pracy w wysokości

6. 2SIN8Y COS3Y;

d) wzorze podwójne kąty

7. 2sin5x COS5X;

e) pół rogów

e) wzory potrójnych narożników

g) powszechne podstawienie

h) niższy stopień

16. COS 2 (3x / 7);

Uczniowie na laptopie naprzeciwko każdej formuły widzą ich odpowiedzi.

Praca natychmiast sprawdza komputer. Wyniki są wyświetlane na dużym ekranie do Universal Ferris.

Również po zakończeniu pracy poprawne odpowiedzi są wyświetlane na laptopach. Każdy uczeń widzi, gdzie zostanie wykonany błąd i jakie formuły musi powtórzyć.

3. Uproszczenie wyrażeń trygonometrycznych. (25 min.)

Celem jest powtórzenie, wypracować i skonsolidować stosowanie podstawowych formuł trygonometrii. Rozwiązywanie zadań B7 z egzaminu.

Na tym etapie wskazuje, że klasa jest wskazana do podzielonego na grupy silnych (praca niezależnie, a następnie sprawdzanie) i słabych studentów, którzy pracują z nauczycielem.

Zadanie dla silnych uczniów (przygotowany na drukowanej podstawie). Głównym naciskiem jest na formule przynoszenia i podwójnego kąta, zgodnie z EGE 2011.

Uprość wyrażenia (dla silnych studentów):

Równolegle nauczyciel pracuje ze słabymi studentami, omawiając i decydując pod dyktowaniem uczniów zadań na ekranie.

Oblicz:

5) SIN (270º - α) + COS (270º + α)

Uproszczać:

Była kolejka dyskusji na temat wyników silnej grupy.

Odpowiedzi pojawiają się na ekranie, a także przy pomocy kamery, wyświetlane są 5 różnych uczniów (wyświetlane są jedno zadania).

Słabsza grupa widzi warunek i metodę rozwiązania. Istnieje dyskusja i analiza. Korzystanie ze środków technicznych zdarza się szybko.

4. Rozwiązanie najprostszych równań trygonometrycznych. (30 minut.)

Celem jest powtórzenie, systematyzacji i podsumowania roztworu najprostszych równań trygonometrycznych, rejestruj swoje korzenie. Rozwiązywanie problemu B3.

Wszelkie równanie trygonometryczne, bez względu na to, jak go rozwiązujemy, prowadzi do najprostszego.

Wykonując zadanie, uczniowie powinni zostać wypłacani na rejestrowi korzeni równań przypadków specjalnych i ogólnej formy oraz na wyborze korzeni w ostatnim równaniu.

Rozwiązuj równania:

W odpowiedzi na napisanie najmniejszego dodatniego korzenia.

5. Niezależna praca (10 min.)

Celem jest sprawdzenie zdobytych umiejętności, identyfikacji problemów, błędów i ich ścieżek eliminacyjnych.

Proponuje się, aby musiało wybrać studenta.

Opcja "3"

1) Znajdź wartość wyrażenia

2) Uprość wyrażenie 1 - SIN 2 3α - COS 2 3α

3) Rozwiązuj równanie

Opcja "4"

1) Znajdź wartość wyrażenia

2) rozwiązuj równanie W odpowiedzi na napisanie najmniejszego dodatniego korzenia.

Opcja "5"

1) Znajdź TGα, jeśli

2) Znajdź korzeń równania W odpowiedzi wpisz najmniejszy dodatni korzeń.

6. Lekcja wynikowa (5 min.)

Nauczyciel podsumowuje, że wzory trygonometryczne, roztwór najprostszych równań trygonometrycznych, zostało powtórzone i zabezpieczone na lekcji.

Zadanie domowe jest ustawione (przygotowany do drukowanej podstawy z góry) z selektywnym zameldowaniem w następnej lekcji.

Rozwiązuj równania:

10) W odpowiedzi, aby wskazać najmniejszy dodatni korzeń.

Lekcja 2.

Przedmiot: Klasa 11 (przygotowanie do użycia)

Metody rozwiązań równań trygonometrycznych. Wybór korzeni. (2 godziny)

Cele:

Podsumować i systematyzować wiedzę, aby rozwiązać równania trygonometryczne różnych typów.
Promowanie rozwoju matematycznego myślenia uczniów, zdolność do obserwowania, porównania, podsumowania, klasyfikacji.
Przenieś uczniów o przezwyciężenie trudności w procesie działalności umysłowej, do samokontroli, samozapieniowej swojej działalności.

Sprzęt do lekcji: Crum, laptopy dla każdego ucznia.

Struktura lekcji:

Orgmoment.
Dyskusja d / s i samot. Praca ostatniej lekcji
Powtórzenie rozwiązań równań trygonometrycznych.
Rozwiązywanie równań trygonometrycznych
Wybór korzeni na równaniach trygonometrycznych.
Niezależna praca.
Wynik lekcji. Zadanie domowe.

1. Orgmoment (2 min.)

Nauczyciel z zadowoleniem przyjmuje publiczność, ogłasza temat lekcji i planu pracy.

2. a) parsowanie zadań domowych (5 min.)

Celem jest sprawdzenie wykonania. Na ekranie wyświetlany jest jeden zadanie przy użyciu kamery wideo, reszta selektywnie sprawdza nauczyciela.

b) Analiza niezależnej pracy (3 minuty)

Celem jest popełnienie błędów, określ sposoby ich przezwyciężenia.

Na ekranie odpowiedzi i decyzje, uczniowie wcześniej wydali swoją pracę. Analiza szybko jest.

3. Powtórzenie metod rozwiązywania równań trygonometrycznych (5 min.)

Celem jest przypomnienie metod rozwiązywania równań trygonometrycznych.

Zapytaj uczniów, jakie metody rozwiązań równań trygonometrycznych, które znają. Podkreśl, że istnieją tak zwane metody podstawowe (często używane):

zmienna zastępcza
faktoryzacja,
jednorodne równania

i są stosowane metody:

zgodnie z formułami transformacji kwoty do pracy i pracy w kwocie,
według obniżenia formuł,
uniwersalna substytucja trygonometryczna
wprowadzenie kąta pomocniczego
pomnożenie o funkcję trygonometryczną.

Konieczne jest również przypomnienie, że jedno równanie można rozwiązać na różne sposoby.

4. Rozwiązanie równań trygonometrycznych (30 min.)

Celem jest granie i konsolidacja wiedzy i umiejętności na ten temat, przygotuj się na decyzję C1 z egzaminu.

Uważam, że właściwe przełamanie równania dla każdej metody wraz ze studentami.

Student dyktuje decyzję, rekordy nauczycieli na tablecie, cały proces jest wyświetlany na ekranie. Pozwoli to szybko i skutecznie przywrócić wcześniej przekazany materiał.

Rozwiązuj równania:

1) Wymiana zmiennej 6CO 2 x + 5sinx - 7 \u003d 0

2) Rozkład mnożników 3CO (X / 3) + 4CO2 (x / 3) \u003d 0

3) jednolite równań SIN 2 x + 3CO 2 x - 2SIN2X \u003d 0

4) Przekształcanie kwoty do pracy COS5X + COS7X \u003d COS (π + 6x)

5) Konwersja produktu w ilości 2SINX SIN2X + COS3X \u003d 0

6) stopień sin2x - SIN 2 2X + SIN 2 3X \u003d 0,5

7) Uniwersalna substytucja trygonometryczna SINX + 5COSX + 5 \u003d 0.

Rozwiązywanie tego równania należy zauważyć, że stosowanie tej metody prowadzi do zwężenia obszaru definicji, ponieważ zatokę i cosinus są zastępowane przez TG (X / 2). Dlatego przed napisaniem odpowiedzi, musisz sprawdzić, czy liczby są wykonane z koni SET π + 2πN, n Z tego równania.

8) Wprowadzenie kąta pomocniczego √3sinx + cosx - √2 \u003d 0

9) Mnożenie do niektórych funkcji trygonometrycznych COSX COS2X COS4X \u003d 1/8.

5. Wybór korzeni równań trygonometrycznych (20 min.)

Ponieważ w obliczu ciężkiej konkurencji przy wejściu na uniwersytety, rozwiązanie jednej pierwszej części egzaminu nie wystarczy, wtedy większość studentów zwraca uwagę na zadania drugiej części (C1, C2, C3).

Dlatego celem tego etapu zawodu jest przypomnienie wcześniej badanego materiału, przygotować się do rozwiązania problemu C1 z zadania 2011.

Istnieją równaczenia trygonometryczne, w których wybór root powinien być wybrany, gdy odpowiedź jest odprowadzana. Wynika to z pewnych ograniczeń, na przykład: mianownik frakcji nie jest zerowy, wyrażenie pod korzeniem o równym stopniu jest nieuszeżny, wyrażenie pod znakiem logarytmu pozytywnie itp.

Takie równania są uważane za równania zwiększonej złożoności, aw wersji użytkowania znajdują się w drugiej części, a mianowicie C1.

Rozwiązuj równanie:

Frakcja jest zerowa, jeśli Korzystając z pojedynczego koła, wykonamy wybór root (patrz rysunek 1)

Obrazek 1.

otrzymujemy x \u003d π + 2πn, n z

Odpowiedź: π + 2πn, n z

Na ekranie wybór korzeni jest wyświetlany na okręgu na kolorowym obrazie.

Praca ma zero, gdy przynajmniej jeden z mnożników wynosi zero, a łuk, podczas gdy nie traga sensu. Następnie

Za pomocą pojedynczego kręgu, zapisz korzenie (patrz rysunek 2)

Samouczek wideo "Uproszczenie wyrażeń trygonometrycznych" jest przeznaczony do tworzenia umiejętności u studentów w rozwiązywaniu problemów trygonometrycznych przy użyciu podstawowych tożsamości trygonometrycznych. Podczas samouczka wideo rozpatrywane są typy tożsamości trygonometrycznej, przykłady rozwiązywania problemów z ich użyciem. Nakładanie podręcznika wizualnego, nauczyciel jest łatwiejszy do osiągnięcia celów lekcji. Jasna prezentacja materiału przyczynia się do zapamiętywania ważnych punktów. Wykorzystanie efektów animowanych i brzmiących pozwala całkowicie zastąpić nauczyciela w fazie wyjaśnienia materiału. Tak więc, stosując ten wizualny dodatek w lekcjach matematyki, nauczyciel może zwiększyć skuteczność uczenia się.

Na początku filmu ogłoszono jego temat. Następnie wspomniano wcześniej tożsamość trygonometryczne. Ekran Wyświetla równość SIN 2 T + COS 2 T \u003d 1, TG T \u003d SIN T / COS T, gdzie t ≠ π / 2 + πk dla KεZ, CTG T \u003d COS T / SIN T, poprawne dla t πk, Gdzie KεZ, Tg T · CTG T \u003d 1, w t πk / 2, gdzie Kεz, zwany główną tożsamością trygonometryczną. Należy zauważyć, że tożsamości te są często używane w rozwiązywaniu zadań, w których konieczne jest udowodnienie równości lub uproszczenia wyrażenia.

Przykłady są uważane za przykłady zastosowania tożsamości w rozwiązywaniu zadań. Po pierwsze, proponuje się rozważenie rozwiązywania zadań w celu uproszczenia wyrażeń. W przykładzie 1 konieczne jest uproszczenie wyrażenia COS 2 T- COS 4 T + SIN 4 T. Aby rozwiązać przykład, ogólny mnożnik COS 2 T jest składany do nawiasów. W wyniku takiego transformacji w nawiasach uzyskano wyrażenie 1-cos 2 t, którego wartość z głównej tożsamości trygonometrii jest SIN 2 T. Po przekształceniu wyrażenia, możliwość wykopu dla wspornika innego ogólnego mnożnika grzechu 2 t jest oczywisty, po czym wyrażenie nabywa rodzaj grzechu 2 t (grzech 2 t + cos 2 t). Z tej samej tożsamości podstawowej czerpiemy wartość ekspresji w nawiasach, równa 1. W wyniku uproszczenia, otrzymujemy COS 2 T- COS 4 T + SIN 4 T \u003d SIN 2 T.

W przykładzie 2, koszt ekspresji / (1- Sint) + koszt / (1+ Sint) musi być uproszczona. Ponieważ w licznikach obu frakcji jest ekspresja kosztów, można uzyskać wspornik jako wspólny czynnik. Następnie frakcje w nawiasach są podane do wspólnego mnożenia mianownika (1+ Sint). Po wprowadzeniu takich terminów w liczniku, 2 pozostaje, aw mianowniku 1- SIN 2 T. Prawa strona ekranu przypomina główną tożsamość trygonometryczną SIN 2 T + COS 2 T \u003d 1. Używając go, znajdziemy COS 2 t denomoter. Po wycięciu frakcji otrzymujemy uproszczony typ ekspresji kosztów / (1- Sint) + koszt / (1+ Sint) \u003d 2 / Koszt.

Poniższe adresy przykłady dowodów tożsamości, w których stosowana jest wiedza zdobyta na głównych tożsamości trygonometrii. W przykładzie 3 konieczne jest udowodnienie tożsamości (TG 2 T-SIN 2 t) · CTG 2 T \u003d SIN 2 T. Po prawej stronie ekranu wyświetlane są trzy tożsamości, które będą potrzebne do dowodu - tg t · ctg t \u003d 1, ctg t \u003d cos t / sin t i tg t \u003d sin t / cos t z ograniczeniami. Aby udowodnić tożsamość, wsporniki są najpierw ujawnione, po czym powstaje produkt, odzwierciedlając ekspresję głównej tożsamości trygonometrycznej Tg T · CTG T \u003d 1. Następnie, zgodnie z tożsamością z definicji Kotangent, CTG 2 T jest konwertowane. W wyniku transformacji uzyskano wyrażenie 1-cos 2 t. Korzystając z głównej tożsamości, znajdziemy wartość wyrażenia. Dlatego udowodniono, że (TG 2 T-Sin 2 t) · CTG 2 T \u003d SIN 2 T.

W przykładzie 4 konieczne jest znalezienie wartości ekspresji TG 2 T + CTG 2 T, IF TG T + CTG T \u003d 6. Aby obliczyć wyrażenie, najpierw prawą i lewą część równości (TG T + CTG T) 2 \u003d 6 2. Formuła skróconego mnożenia przypomina się po prawej stronie ekranu. Po ujawnieniu nawiasów w lewej części wyrażenia, suma TG 2 T + 2 · Tg T · CTG T + CTG 2 t, aby przekonwertować, który z trygonometrycznych tożsamości TG T · CTG T \u003d 1 , którego widok przypomina się po prawej stronie ekranu. Po transformacji otrzymuje się równość TG 2 T + CTG 2 T \u003d 34. Lewa część równości pokrywa się z warunkami problemu, więc odpowiedź wynosi 34. Zadanie zostało rozwiązane.

Samouczek wideo "Uprość wyrażenia trygonometryczne" zaleca się stosowanie w tradycyjnej lekcji matematyki. Również materiał będzie przydatny dla nauczyciela, który prowadzi naukę na odległość. W celu utworzenia umiejętności w rozwiązywaniu zadań trygonometrycznych.

Dekodowanie tekstu:

"Uprość wyrażenia trygonometryczne".

Równość

1) SIN 2 T + COS 2 T \u003d 1 (Sinus Square TE Plus Cospotny Pe Pe jest równy)

2) TGT \u003d, w t ≠ + πk, KεZ (Tenthene PE równa się stosunek zatoky TE do Cosinusu TE z PE na nie równych dwóch plus PI, KA należy do ustawienia)

3) CTGT \u003d, w t ≠ πk, Kεz (TE Kenangent jest równy stosunku cosinusa na zatokę TE z PE z PI, KA należy do zestawu).

4) TGT ∙ CTGT \u003d 1 w T ≠, KεZ (produkt Tegensa TE na Kotangent PE jest równy jednej przy PE nie równy PI, podzielonym przez dwa, Kat należy do zestawu)

zwane podstawową tożsamością trygonometryczną.

Często są one stosowane w uproszczeniu i dowodu wyrażeń trygonometrycznych.

Rozważmy przykłady stosowania tych formuł przy uproszczeniu wyrażeń trygonometrycznych.

Przykład 1. Wyrażenie życia: COS 2 T - COS 4 T + SIN 4 T. (Wyrażenie i Cosine Square TE Minus Cosine Fourth Depress Pa Plus Sinus czwarty stopień).

Decyzja. COS 2 T - COS 4 T + SIN 4 T \u003d COS 2 t ∙ (1 - COS 2 t) + SIN 4 T \u003d COS 2 T ∙ SIN 2 T + SIN 4 T \u003d SIN 2 T (COS 2 T + SIN 2 t) \u003d grzech 2 t · 1 \u003d sin 2 t

(Przyniosę całkowitego mnożnika Cosine Square TE w nawiasach, w nawiasach, weźmy różnicę między urządzeniem a kwadratem Cosino Te, co jest równe pierwszej tożsamości placu sinusego. Uzyskamy sumę zatok czwartego stopnia TE dzieła Cosine Square TE i Sinus Square TE . W rezultacie otrzymujemy kwadrat zatoki TE).

Przykład 2. Wyrażenie: +.

(Wyrażenie jest sumą dwóch frakcji w liczniku pierwszego cosinusu TE w jednostce mianownika minus zatokę TE, w liczniku drugiego cosinusu TE w mianowniku, druga jednostka plus Sinus TE).

(Podsumowuję cosinuse na wsporniki, aw nawiasach dajemy wspólny mianownik, który jest pracą Jedną minus Sinus Te dla jednego plus Sinus Te.

W liczbie otrzymujemy: jednostka plus Sinus TE plus Jednostka Minus Sinus Te, dajemy tym podobne, numerator jest dwa po wprowadzeniu podobnego.

W mianowniku możesz zastosować formułę skróconego mnożenia (różnicy kwadratów) i uzyskać różnicę między jednostką a kwadratem Sinusa TE, który jest główną tożsamością trygonometryczną

podobnie, kwadrat cosinusu te. Po wycięciu na cosinusie uzyskujemy ostateczną odpowiedź: Dwa podzielone przez Cosine TE).

Rozważmy przykłady stosowania tych formuł w dowodzie wyrażeń trygonometrycznych.

Przykład 3. Aby udowodnić tożsamość (TG 2 t - Sin 2 t) ∙ CTG 2 T \u003d SIN 2 T (produkt różnicy w kwadratach Tegensa Te i zatoky TE do kwadratu Cotangent PE jest równe kwadratowi z zatoki TE).

Dowód.

Przekształcimy lewą część równości:

(TG 2 t - SIN 2 T) ∙ CTG 2 T \u003d TG 2 T ∙ CTG 2 T - SIN 2 T ∙ CTG 2 T \u003d 1 - SIN 2 T ∙ CTG 2 T \u003d 1 - SIN 2 T ∙ \u003d 1 - COS 2 t \u003d sin 2 t

(Otworzymy wsporniki, od uprzednio uzyskanego relacji, wiadomo, że produkt kwadratów Tegensa na Cotangent PE jest równy jednej. Przypomnijmy, że Cotangent PE jest równy stosunku cosinusu na zatok TE, oznacza to, że plac Kotangen jest stosunek Cosinus Square TE Sinus zatok zatok zatok zatok zatok zatok zatok zatok zatok zatok zatok zatok zatok zatok zatok zatok zatok zatok zatok zatok zatok zatok zatok zatok zatok zatok sinus

Po zmniejszeniu zatok, kwadrat TE otrzymuje różnicę w jednostce i cosinusie placu Te, który jest równy placu zatokowego TE). co było do okazania

Przykład 4. Ogłasza wartość ekspresji TG 2 T + CTG 2 T, IF TGT + CTGT \u003d 6.

(Suma kwadratów Styczna Te i Kotangens Te, jeśli suma stycznego i Kotangent wynosi sześć).

Decyzja. (TGT + CTGT) 2 \u003d 6 2

tG 2 T + 2 ∙ TGT ∙ CTGT + CTG 2 T \u003d 36

tG 2 T + 2 + CTG 2 T \u003d 36

tG 2 T + CTG 2 T \u003d 36-2

tG 2 T + CTG 2 T \u003d 34

Ustal obie części początkowej równości na placu:

(TGT + CTGT) 2 \u003d 6 2 (kwadrat suma Tegensa TE i Cotgensa TE jest równa sześciu na kwadracie). Przypomnijmy formułę skróconego mnożenia: Plac suma dwóch wartości jest równy kwadratowi pierwszego plus podwójny produkt najpierw na drugim plus drugim kwadratem. (A + B) 2 \u003d A 2 + 2Ab + B 2 Otrzymujemy TG 2 T + 2 ∙ TGT ∙ CTGT + CTG 2 T \u003d 36 (Square Square TE plus podwójny produkt Tangens Te na Cotangent PE Plus Cotangent Pa Placu równa trzydzieści sześć).

Ponieważ dzieło Tangensa TE na Cotangent PE jest równe, a następnie TG 2 T + 2 + CTG 2 T \u003d 36 (suma kwadratów stycznych te i Kotangens Te i dwóch są równe trzydzieści sześć),