Zacznij naukę. Płaszczyzna współrzędnych Płaszczyzna współrzędnych, jak określić współrzędne

Jeśli skonstruujesz dwie wzajemnie prostopadłe osie numeryczne na płaszczyźnie: WÓŁ i OYwtedy będą wezwani osie współrzędnych... Pozioma oś WÓŁ nazywa odcięta (oś x), Oś pionowa OY - rzędna (oś y).

Kropka Onazywa się stojąc na przecięciu osi pochodzenie... Jest to punkt zerowy dla obu osi. Liczby dodatnie są przedstawione na osi odciętych punktami po prawej stronie, a na osi rzędnych - punktami w górę od punktu zerowego. Liczby ujemne są przedstawiane jako kropki po lewej i od początku (kropki O). Płaszczyzna, na której leżą osie współrzędnych, jest nazywana płaszczyzna współrzędnych.

Osie współrzędnych dzielą płaszczyznę na cztery części, tzw mieszkanie lub ćwiartki... Zwyczajowo numeruje się te ćwiartki cyframi rzymskimi w kolejności, w jakiej są ponumerowane na rysunku.

Współrzędne punktów na płaszczyźnie

Jeśli weźmiemy dowolny punkt na płaszczyźnie współrzędnych ZA i narysuj z niego prostopadłe do osi współrzędnych, wtedy podstawy prostopadłych będą miały dwie liczby. Nazywa się liczbę wskazywaną przez pionową prostopadłą punkt odciętych ZA... Liczba wskazywana przez poziomą prostopadłą to punkt współrzędnych ZA.

Na rysunku odcięta punktu ZA to 3, a rzędna to 5.

Odcięta i rzędna nazywamy współrzędnymi danego punktu na płaszczyźnie.

Współrzędne punktów są zapisane w nawiasach po prawej stronie oznaczenia punktu. Najpierw zapisuje się odciętą, a po niej rzędną. Więc nagraj ZA(3; 5) oznacza, że \u200b\u200bodcięta punktu ZA to trzy, a rzędna to pięć.

Współrzędne punktu to liczby określające jego położenie na płaszczyźnie.

Jeśli punkt leży na osi odciętych, jego rzędna wynosi zero (na przykład punkt b o współrzędnych -2 i 0). Jeśli punkt leży na osi rzędnych, to jego odcięta wynosi zero (na przykład punkt do o współrzędnych 0 i -4).

Początek - punkt O - ma zarówno odciętą, jak i rzędną równe zero: O (0; 0).

Ten układ współrzędnych nazywa się prostokątny lub kartezjański.

Temat tego samouczka wideo: Płaszczyzna współrzędnych.

Cele i zadania lekcji:

Zaznajomiony z prostokątny układ współrzędnych na płaszczyźnie
- uczyć swobodnej nawigacji na płaszczyźnie współrzędnych
- buduj punkty według określonych współrzędnych
- określić współrzędne punktu zaznaczonego na płaszczyźnie współrzędnych
- dobre słuchanie współrzędnych
- wyraźnie i dokładnie wykonywać konstrukcje geometryczne
- rozwój zdolności twórczych
- wzbudzanie zainteresowania tematem

Termin " współrzędne„Pochodzi od łacińskiego słowa -„ uporządkowane ”

Aby wskazać położenie punktu na płaszczyźnie, weź dwie prostopadłe linie X i Y.

Oś X - oś odciętych
Oś Y. oś rzędnych
Punkt O - początek

Płaszczyzna, na której określono układ współrzędnych, jest wywoływana płaszczyzna współrzędnych.

Każdy punkt M na płaszczyźnie współrzędnych odpowiada parze liczb: jego odciętej i rzędnej. Wręcz przeciwnie, każda para liczb odpowiada jednemu punktowi płaszczyzny, dla której te liczby są współrzędnymi.

Rozważane są przykłady:

• wykreślając punkt według jego współrzędnych
• znajdowanie współrzędnych punktu znajdującego się na płaszczyźnie współrzędnych

Dodatkowe informacje:

Pomysł ustalenia położenia punktu na płaszczyźnie powstał w starożytności - głównie wśród astronomów. W II wieku. Starożytny grecki astronom Klaudiusz Ptolemeusz użył szerokości i długości geograficznej jako współrzędnych. Opis użycia współrzędnych podano w książce „Geometria” w 1637 roku.

Opis użycia współrzędnych został podany w książce „Geometria” w 1637 roku przez francuskiego matematyka Rene Descartes, dlatego też prostokątny układ współrzędnych jest często nazywany kartezjańskim.

Słowa " odcięta», « rzędna», « współrzędne„Po raz pierwszy zaczęto używać pod koniec XVII.

Aby lepiej zrozumieć płaszczyznę współrzędnych, wyobraźmy sobie, co nam dane: globus geograficzny, szachownica, bilet do teatru.

Aby określić położenie punktu na powierzchni ziemi, musisz znać długość i szerokość geograficzną.
Aby określić położenie figury na szachownicy, musisz znać dwie współrzędne, na przykład: e3.
Miejsca na widowni wyznaczają dwie współrzędne: rząd i miejsce.

Zadanie dodatkowe.

Po przestudiowaniu lekcji wideo, aby utrwalić materiał, proponuję wziąć długopis i liść w pudełku, narysować płaszczyznę współrzędnych i zbudować figury według podanych współrzędnych:

Grzyb
1) (6; 0), (6; 2), (5; 1,5), (4; 3), (2; 1), (0; 2,5), (- 1,5; 1,5), (- 2; 5), (- 3; 0,5), (- 4; 2), (- 4; 0).
2) (2; 1), (2,2; 2), (2,3; 4), (2,5; 6), (2,3; 8), (2; 10), (6; 10), (4,8; 12), (3; 13,3), (1; 14),
(0; 14), (- 2; 13,3), (- 3,8; 12), (- 5; 10), (2; 10).
3) (- 1; 10), (- 1,3; 8), (- 1,5; 6), (- 1,2; 4), (- 0,8;2).
Mała mysz 1) (3; - 4), (3; - 1), (2; 3), (2; 5), (3; 6), (3; 8), (2; 9), (1; 9), (- 1; 7), (- 1; 6),
(- 4; 4), (- 2; 3), (- 1; 3), (- 1; 1), (- 2; 1), (-2; - 1), (- 1; 0), (- 1; - 4), (- 2; - 4),
(- 2; - 6), (- 3; - 6), (- 3; - 7), (- 1; - 7), (- 1; - 5), (1; - 5), (1; - 6), (3; - 6), (3; - 7),
(4; - 7), (4; - 5), (2; - 5), (3; - 4).
2) Ogon: (3; - 3), (5; - 3), (5; 3).
3) Oko: (- 1; 5).
Łabędź
1) (2; 7), (0; 5), (- 2; 7), (0; 8), (2; 7), (- 4; - 3), (4; 0), (11; - 2), (9; - 2), (11; - 3),
(9; - 3), (5; - 7), (- 4; - 3).
2) Dziób: (- 4; 8), (- 2; 7), (- 4; 6).
3) Skrzydło: (1; - 3), (4; - 2), (7; - 3), (4; - 5), (1; - 3).
4) Oko: (0; 7).
Wielbłąd
1) (- 9; 6), (- 5; 9), (- 5; 10), (- 4; 10), (- 4; 4), (- 3; 4), (0; 7), (2; 4), (4; 7), (7; 4),
(9; 3), (9; 1), (8; - 1), (8; 1), (7; 1), (7; - 7), (6; - 7), (6; - 2), (4; - 1), (- 5; - 1), (- 5; - 7),
(- 6; - 7), (- 6; 5), (- 7;5), (- 8; 4), (- 9; 4), (- 9; 6).
2) Oko: (- 6; 7).
Słoń
1) (2; - 3), (2; - 2), (4; - 2), (4; - 1), (3; 1), (2; 1), (1; 2), (0; 0), (- 3; 2), (- 4; 5),
(0; 8), (2; 7), (6; 7), (8; 8), (10; 6), (10; 2), (7; 0), (6; 2), (6; - 2), (5; - 3), (2; - 3).
2) (4; - 3), (4; - 5), (3; - 9), (0; - 8), (1; - 5), (1; - 4), (0; - 4), (0; - 9), (- 3; - 9),
(- 3; - 3), (- 7; - 3), (- 7; - 7), (- 8; - 7), (- 8; - 8), (- 11; - 8), (- 10; - 4), (- 11; - 1),
(- 14; - 3), (- 12; - 1), (- 11;2), (- 8;4), (- 4;5).
3) Oczy: (2; 4), (6; 4).
Koń
1) (14; - 3), (6,5; 0), (4; 7), (2; 9), (3; 11), (3; 13), (0; 10), (- 2; 10), (- 8; 5,5),
(- 8; 3), (- 7; 2), (- 5; 3), (- 5; 4,5), (0; 4), (- 2; 0), (- 2; - 3), (- 5; - 1), (- 7; - 2),
(- 5; - 10), (- 2; - 11), (- 2; - 8,5), (- 4; - 8), (- 4; - 4), (0; - 7,5), (3; - 5).
2) Oko: (- 2; 7).

Punkty - „mieszkańcy” są „zarejestrowani”, każdy punkt ma swój „numer domu” - jego współrzędną. Jeśli punkt zostanie podjęty w samolocie, to do jego rejestracji należy podać nie tylko numer domu, ale także numer mieszkania. Przypomnijmy, jak to się robi.

Narysujemy dwie wzajemnie prostopadłe linie współrzędnych i uznamy punkt ich przecięcia, punkt O, jako początek obu prostych. W ten sposób prostokątny układ współrzędnych jest ustawiony na płaszczyźnie (rys. 20), co zmienia zwykły samolot koordynować. Punkt O nazywany jest początkiem, linie współrzędnych (oś x i oś y) nazywane są osiami współrzędnych, a kąty proste utworzone przez osie współrzędnych nazywane są kątami współrzędnych. Współrzędne prostokątne narożniki są ponumerowane, jak pokazano na rysunku 20.

A teraz przejdźmy do rysunku 21, na którym przedstawiono prostokątny układ współrzędnych i wskażmy punkt M. Poprowadźmy przez niego prostą równoległą do osi y. Prosta przecina w pewnym momencie oś X, ten punkt ma współrzędne - na osi X. Dla punktu pokazanego na rysunku 21 współrzędna ta jest równa -1,5, nazywana jest odciętą punktu M. Następnie narysuj prostą przechodzącą przez punkt M równolegle do osi x. Prosta przecina w pewnym momencie oś y, ten punkt ma współrzędne - na osi y.

Dla punktu M, pokazanego na rysunku 21, ta współrzędna jest równa 2, nazywana jest rzędną punktu M. Krótko napisane w następujący sposób: M (-1,5; 2). Na pierwszym miejscu jest zapisana odcięta, na drugim rzędna. W razie potrzeby użyj innej formy notacji: x \u003d -1,5; y \u003d 2.

Uwaga 1 ... W praktyce, aby znaleźć współrzędne punktu M, zamiast prostych równoległych do osi współrzędnych i przechodzących przez punkt M konstruują odcinki tych prostych od punktu M do osi współrzędnych (rys. 22).

Uwaga 2. W poprzednim akapicie wprowadziliśmy inną notację dla przedziałów liczbowych. W szczególności, zgodnie z ustaleniami, zapis (3, 5) oznacza, że \u200b\u200bna linii współrzędnych rozważamy przedział z końcami w punktach 3 i 5. W tej sekcji rozważamy parę liczb jako współrzędne punktu; na przykład (3; 5) jest punktem na płaszczyzna współrzędnych z odciętą 3 i rzędną 5. Jak prawidłowo określić na podstawie zapisu symbolicznego, o co chodzi: o przedział czy współrzędne punktu? Najczęściej wynika to z tekstu. A jeśli nie jest jasne? Zwróć uwagę na jeden szczegół: użyliśmy przecinka w oznaczeniu przedziału i średnika w oznaczeniu współrzędnych. To oczywiście nie jest zbyt znaczące, ale nadal stanowi różnicę; zastosujemy to.

Biorąc pod uwagę wprowadzone terminy i oznaczenia, poziomą linię współrzędnych nazywamy odciętą lub osią x, a pionową linią współrzędnych, osią współrzędnych lub osią y. Oznaczenia x, y są zwykle używane przy określaniu prostokątnego układu współrzędnych na płaszczyźnie (patrz rys. 20) i często tak mówią: dany układ współrzędnych xOy. Istnieją jednak inne oznaczenia: na przykład na rysunku 23 określono układ współrzędnych tOs.
Algorytm znajdowania współrzędnych punktu M podanego w prostokątnym układzie współrzędnych xOy

Dokładnie tak postąpiliśmy, znajdując współrzędne punktu M na rysunku 21. Jeśli punkt M 1 (x; y) należy do pierwszego kąta współrzędnych, to x\u003e 0, y\u003e 0; jeśli punkt М 2 (x; y) należy do drugiego kąta współrzędnych, to x< 0, у > 0; jeśli punkt М 3 (x; y) należy do trzeciego kąta współrzędnych, to x< О, у < 0; если точка М 4 (х; у) принадлежит четвертому координатному углу, то х > OU< 0 (рис. 24).

Ale co się stanie, jeśli punkt, którego współrzędne chcesz znaleźć, leży na jednej z osi współrzędnych? Niech punkt A leży na osi x, a punkt B na osi y (rys. 25). Nie ma sensu narysować prostej przez punkt A równoległej do osi yi znaleźć punkt przecięcia tej prostej z osią x, ponieważ taki punkt przecięcia już istnieje - to jest punkt A, jego współrzędna (odcięta) to 3. W ten sam sposób nie trzeba rysować przez punkt I prosta równoległa do osi x - ta prosta jest samą osią x, która przecina oś y w punkcie O ze współrzędną (rzędną) 0. W rezultacie dla punktu A otrzymujemy A (3; 0). Podobnie dla punktu B otrzymujemy B (0; - 1,5). A dla punktu O mamy O (0; 0).

Ogólnie rzecz biorąc, każdy punkt na osi X ma współrzędne (x; 0), a każdy punkt na osi Y ma współrzędne (0; y)

Więc omówiliśmy, jak znaleźć współrzędne punktu na płaszczyźnie współrzędnych. A jak rozwiązać problem odwrotny, czyli jak, mając podane współrzędne, skonstruować odpowiedni punkt? Aby opracować algorytm, przeprowadzimy dwa pomocnicze, ale jednocześnie ważne rozumowanie.

Pierwsze rozumowanie. Niech zostanę narysowany w układzie współrzędnych xOy, równoległym do osi y i przecinającym oś x w punkcie o współrzędnej (odciętych) 4

(rys. 26). Każdy punkt leżący na tej prostej ma odciętą 4. Zatem dla punktów М 1, М 2, М 3 mamy М 1 (4; 3), М 2 (4; 6), М 3 (4; - 2). Innymi słowy, odcięta dowolnego punktu M na prostej spełnia warunek x \u003d 4. Mówią, że x \u003d 4 - równanie linia l lub ta linia I spełnia równanie x \u003d 4.

Rysunek 27 pokazuje proste, które spełniają równania x \u003d - 4 (linia I 1), x \u003d - 1
(proste I 2) x \u003d 3,5 (proste I 3). A która linia spełnia równanie x \u003d 0? Zgadłeś? Oś Y.

Drugie rozumowanie. Niech w układzie współrzędnych xOy zostanie narysowana prosta I, równoległa do osi X i przecinająca oś Y w punkcie o współrzędnej (rzędnej) 3 (rys. 28). Każdy punkt leżący na tej prostej ma rzędną 3. Zatem dla punktów М 1, М 2, М 3 mamy: М 1 (0; 3), М 2 (4; 3), М 3 (- 2; 3) ... Innymi słowy, rzędna dowolnego punktu M prostej I spełnia warunek y \u003d 3. Mówią, że y \u003d 3 to równanie prostej I lub prosta I spełnia równanie y \u003d 3.

Rysunek 29 pokazuje proste, które spełniają równania y \u003d - 4 (proste l 1), y \u003d - 1 (proste I 2), y \u003d 3,5 (proste I 3) - Która linia prosta spełnia równanie y \u003d 01 Zgadnij? Oś X.

Zwróć uwagę, że matematycy, dążąc do zwięzłości wypowiedzi, mówią „prosta x \u003d 4”, a nie „prosta spełniająca równanie x \u003d 4”. Podobnie mówią „linia y \u003d 3”, a nie „linia spełniająca równanie y \u003d 3”. Zrobimy to samo. Wróćmy teraz do Rysunku 21. Zauważmy, że punkt M (- 1,5; 2), który jest tam pokazany, jest punktem przecięcia prostej x \u003d -1,5 i prostej y \u003d 2. Teraz, najwyraźniej, algorytm konstruowania punktu będzie zrozumiały zgodnie z podanymi współrzędnymi.

Algorytm konstrukcji punktu M (a; b) w prostokątnym układzie współrzędnych xOy

Elementarz. W układzie współrzędnych xOy zbuduj punkty: A (1; 3), B (- 2; 1), C (4; 0), D (0; - 3).

Decyzja. Punkt A jest punktem przecięcia prostych x \u003d 1 iy \u003d 3 (patrz rys. 30).

Punkt B jest punktem przecięcia prostych x \u003d - 2 iy \u003d 1 (rys. 30). Punkt C należy do osi x, a punkt D do osi y (patrz rys. 30).

Podsumowując sekcję, zauważamy, że po raz pierwszy prostokątny układ współrzędnych na płaszczyźnie zaczął być aktywnie używany do zastępowania algebraicznego modele francuski filozof geometryczny Rene Descartes (1596-1650). Dlatego czasami mówią: „Kartezjański układ współrzędnych”, „Kartezjański układ współrzędnych”.

Pełna lista tematów według klas, plan kalendarza według szkolnego programu nauczania matematyki online, materiał wideo w matematyce dla klasy 7 do pobrania

A. V. Pogorelov, Geometria dla klas 7-11, Podręcznik dla instytucji edukacyjnych

§ 1 Układ współrzędnych: definicja i metoda konstrukcji

W tej lekcji zapoznamy się z pojęciami „układu współrzędnych”, „płaszczyzny współrzędnych”, „osi współrzędnych”, nauczymy się budować punkty na płaszczyźnie za pomocą współrzędnych.

Weź linię współrzędnych x z punktem początkowym O, dodatnim kierunkiem i segmentem jednostkowym.

Przez początek współrzędnych, punkt O linii współrzędnych x, narysuj kolejną linię współrzędnych y, prostopadłą do x, ustaw dodatni kierunek w górę, segment jednostkowy jest taki sam. W ten sposób zbudowaliśmy układ współrzędnych.

Zdefiniujmy:

Dwie wzajemnie prostopadłe linie współrzędnych przecinające się w punkcie będącym początkiem każdej z nich tworzą układ współrzędnych.

§ 2 Oś współrzędnych i płaszczyzna współrzędnych

Proste linie tworzące układ współrzędnych nazywane są osiami współrzędnych, z których każda ma swoją własną nazwę: linia współrzędnych x jest osią odciętych, linia współrzędnych y jest osią współrzędnych.

Płaszczyzna, na której wybrany jest układ współrzędnych, nazywana jest płaszczyzną współrzędnych.

Opisany układ współrzędnych nazywa się prostokątnym. Nazywa się go często kartezjańskim układem współrzędnych od nazwiska francuskiego filozofa i matematyka René Descartes.

Każdy punkt płaszczyzny współrzędnych ma dwie współrzędne, które można określić, zrzucając prostopadłe z punktu na osi współrzędnych. Współrzędne punktu na płaszczyźnie to para liczb, z których pierwsza liczba to odcięta, a druga liczba to rzędna. Odcięta jest pokazana jako prostopadła do osi X, a rzędna jest prostopadła do osi Y.

Zaznaczamy punkt A na płaszczyźnie współrzędnych, rysujemy z niego prostopadłe do osi układu współrzędnych.

Wzdłuż prostopadłej do osi odciętych (osi x) wyznaczamy odciętą punktu A, to jest 4, rzędna punktu A - wzdłuż prostopadłej do rzędnej (oś y) wynosi 3. Współrzędne naszego punktu to 4 i 3. A (4; 3). Zatem współrzędne można znaleźć dla dowolnego punktu na płaszczyźnie współrzędnych.

§ 3 Budowa punktu na płaszczyźnie

Jak zbudować punkt na płaszczyźnie o podanych współrzędnych, tj. na podstawie współrzędnych punktu na płaszczyźnie określić jego położenie? W takim przypadku czynności wykonujemy w odwrotnej kolejności. Na osiach współrzędnych znajdujemy punkty odpowiadające podanym współrzędnym, przez które rysujemy proste prostopadłe do osi x i y. Punkt przecięcia prostopadłych będzie punktem pożądanym, tj. punkt o podanych współrzędnych.

Dokończmy zadanie: zbuduj punkt M (2; -3) na płaszczyźnie współrzędnych.

Aby to zrobić, na osi odciętych znajdujemy punkt o współrzędnej 2, poprowadzimy przez ten punkt linię prostą prostopadłą do osi x. Na rzędnej znajdujemy punkt o współrzędnej -3, przez niego narysujemy linię prostą prostopadłą do osi y. Punktem przecięcia prostych prostopadłych będzie dany punkt M.

Przyjrzyjmy się teraz kilku specjalnym przypadkom.

Zaznaczmy na płaszczyźnie współrzędnych punkty A (0; 2), B (0; -3), C (0; 4).

Odcięte tych punktów są równe 0. Rysunek pokazuje, że wszystkie punkty znajdują się na osi rzędnych.

Dlatego punkty, których odcięte są równe zero, leżą na osi rzędnych.

Zmieńmy miejscami współrzędne tych punktów.

Okazuje się, że A (2; 0), B (-3; 0) C (4; 0). W tym przypadku wszystkie rzędne mają wartość 0, a punkty znajdują się na osi odciętych.

Oznacza to, że punkty, których rzędne są równe zero, leżą na osi odciętych.

Przeanalizujmy jeszcze dwa przypadki.

Na płaszczyźnie współrzędnych zaznacz punkty M (3; 2), N (3; -1), P (3; -4).

Łatwo zauważyć, że wszystkie odcięte punktów są takie same. Jeśli połączysz te punkty, otrzymasz prostą równoległą do osi rzędnych i prostopadłą do osi odciętych.

Wniosek nasuwa się sam: punkty o tej samej odciętej leżą na jednej prostej, która jest równoległa do osi rzędnych i prostopadła do osi odciętych.

Jeśli zmienisz współrzędne punktów M, N, P w miejscach, otrzymasz M (2; 3), N (-1; 3), P (-4; 3). Współrzędne punktów staną się takie same. W tym przypadku, jeśli połączysz te punkty, otrzymasz linię prostą równoległą do osi odciętych i prostopadłą do osi rzędnych.

Zatem punkty o tej samej rzędnej leżą na jednej prostej równoległej do osi odciętych i prostopadłej do osi rzędnych.

Podczas tej lekcji zapoznałeś się z pojęciami „układ współrzędnych”, „płaszczyzna współrzędnych”, „osie współrzędnych - oś odciętych i oś rzędnych”. Nauczył się, jak znaleźć współrzędne punktu na płaszczyźnie współrzędnych i nauczył się budować punkty na płaszczyźnie według jego współrzędnych.

Lista wykorzystanej literatury:

1. Matematyka. Ocena 6: plany lekcji do podręcznika autorstwa I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // opracowane przez L.A. Topilin. - Mnemosyne, 2009.
2. Matematyka. Klasa 6: podręcznik dla studentów placówek edukacyjnych. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich. - M .: Mnemosina, 2013.
3. Matematyka. Klasa 6: podręcznik dla instytucji edukacyjnych / G.V. Dorofeev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorov i inni / pod redakcją G.V. Dorofeeva, I.F. Sharygin; Rosyjska Akademia Nauk, Rosyjska Akademia Edukacji. - M .: „Edukacja”, 2010
4. Odniesienie do matematyki - http://lyudmilanik.com.ua
5. Podręcznik dla uczniów szkół średnich http://shkolo.ru

Podstawowe informacje o układzie współrzędnych

Każdy obiekt (np. Dom, miejsce na widowni, punkt na mapie) ma swój własny uporządkowany adres (współrzędne), który ma oznaczenie numeryczne lub literowe.

Matematycy opracowali model, który pozwala określić położenie obiektu i nazywa się płaszczyzna współrzędnych.

Aby zbudować płaszczyznę współrzędnych, musisz narysować 2 $ prostopadłe linie proste, na końcu których kierunki „w prawo” i „w górę” są zaznaczone strzałkami. Linie są oznaczone podziałami, a punktem przecięcia linii jest punkt zerowy dla obu skal.

Definicja 1

Linia pozioma jest nazywana odcięta i jest oznaczony przez x, a nazywana jest linia pionowa rzędna i jest oznaczony przez y.

Dwie prostopadłe osie xiy z podziałami to prostokątnylub kartezjański, system współrzędnychzaproponowany przez francuskiego filozofa i matematyka René Descartes.

Płaszczyzna współrzędnych

Współrzędne punktu

Punkt na płaszczyźnie współrzędnych jest określony przez dwie współrzędne.

Aby określić współrzędne punktu $ A $ na płaszczyźnie współrzędnych, musisz narysować przez niego linie proste, które będą równoległe do osi współrzędnych (na rysunku zaznaczone są linią przerywaną). Punkt przecięcia prostej z odciętą daje współrzędną $ x $ punktu $ A $, a przecięcie z rzędną współrzędną w punkcie $ A $. Podczas zapisywania współrzędnych punktu najpierw zapisywana jest współrzędna $ x $, a następnie współrzędna $ y $.

Punkt $ A $ na rysunku ma współrzędne $ (3; 2) $, a punkt $ B (–1; 4) $.

Aby narysować punkt na płaszczyźnie współrzędnych, postępuj w odwrotnej kolejności.

Rysowanie punktu za pomocą określonych współrzędnych

Przykład 1

Narysuj punkty $ A (2; 5) $ i $ B (3; –1) na płaszczyźnie współrzędnych. $

Decyzja.

Punkt kreślenia $ A $:

• umieść liczbę 2 $ na osi $ x $ i narysuj prostopadłą linię;
• na osi y umieszczamy liczbę $ 5 $ i rysujemy linię prostopadłą do osi $ y $. Na przecięciu prostych prostopadłych otrzymujemy punkt $ A $ o współrzędnych $ (2; 5) $.

Punkt kreślenia $ B $:

• umieść liczbę 3 $ na osi $ x $ i narysuj linię prostą prostopadłą do osi x;
• na osi $ y $ odkładamy liczbę $ (- 1) $ i rysujemy linię prostopadłą do osi $ y $. Na przecięciu prostych prostopadłych otrzymujemy punkt $ B $ o współrzędnych $ (3; –1) $.

Przykład 2

Konstruuj punkty na płaszczyźnie współrzędnych o określonych współrzędnych $ C (3; 0) $ i $ D (0; 2) $.

Decyzja.

Punkt kreślenia $ C $:

• umieść liczbę 3 $ na osi $ x $;
• współrzędna $ y $ jest równa zero, więc punkt $ C $ będzie leżeć na osi $ x $.

Punkt kreślenia $ D $:

• umieść liczbę 2 $ na osi $ y $;
• współrzędna $ x $ jest równa zero, więc punkt $ D $ będzie leżeć na osi $ y $.

Uwaga 1

Dlatego dla współrzędnej $ x \u003d 0 $ punkt będzie leżał na osi $ y $, a dla współrzędnej $ y \u003d 0 $ punkt będzie leżał na osi $ x $.

Przykład 3

Określ współrzędne punktów A, B, C, D. $

Decyzja.

Zdefiniujmy współrzędne punktu $ A $. Aby to zrobić, narysuj przez ten punkt $ 2 $ proste linie, które będą równoległe do osi współrzędnych. Punkt przecięcia prostej z osią odciętych daje współrzędną $ x $, punkt przecięcia prostej z osią rzędnych współrzędną $ y $. W ten sposób otrzymujemy punkt $ A (1; 3). $

Zdefiniujmy współrzędne punktu $ B $. Aby to zrobić, narysuj przez ten punkt $ 2 $ proste linie, które będą równoległe do osi współrzędnych. Punkt przecięcia prostej z osią odciętych daje współrzędną $ x $, punkt przecięcia prostej z osią rzędnych współrzędną $ y $. Otrzymujemy punkt $ B (–2; 4). $

Zdefiniujmy współrzędne punktu $ C $. Dlatego znajduje się na osi $ y $, wówczas współrzędna $ x $ tego punktu wynosi zero. Współrzędna y wynosi –2 $. Zatem punktem jest $ C (0; –2) $.

Zdefiniujmy współrzędne punktu $ D $. Dlatego znajduje się na osi $ x $, wtedy współrzędna $ y $ wynosi zero. Współrzędna $ x $ tego punktu wynosi –5 $. Zatem punkt $ D (5; 0). $

Przykład 4

Konstruuj punkty $ E (–3; –2), F (5; 0), G (3; 4), H (0; –4), O (0; 0). $

Decyzja.

Punkt kreślenia $ E $:

• umieść liczbę $ (- 3) $ na osi $ x $ i narysuj prostopadłą linię;
• na osi $ y $ umieść liczbę $ (- 2) $ i narysuj linię prostopadłą do osi $ y $;
• na przecięciu prostych prostopadłych otrzymujemy punkt $ E (–3; –2). $

Punkt kreślenia $ F $:

• współrzędna $ y \u003d 0 $, więc punkt leży na osi $ x $;
• umieść liczbę 5 $ na osi $ x $ i uzyskaj punkt $ F (5; 0). $

Punkt kreślenia $ G $:

• umieść liczbę 3 $ na osi $ x $ i narysuj linię prostopadłą do osi $ x $;
• na osi $ y $ umieść liczbę 4 $ i narysuj linię prostopadłą do osi $ y $;
• na przecięciu prostych prostopadłych otrzymujemy punkt $ G (3; 4). $

Punkt kreślenia $ H $:

• współrzędna $ x \u003d 0 $, więc punkt leży na osi $ y $;
• umieść liczbę $ (- 4) $ na osi $ y $ i uzyskaj punkt $ H (0; –4). $

Punkt kreślenia $ O $:

• obie współrzędne punktu są równe zeru, co oznacza, że \u200b\u200bpunkt leży jednocześnie na osi $ y $ i osi $ x $, a więc jest punktem przecięcia obu osi (początek).