Pochodna funkcji zespolonej x x. Złożone pochodne

Podano przykłady obliczania pochodnych za pomocą wzoru na pochodną funkcji zespolonej.

Zobacz też: Dowód wzoru na pochodną funkcji zespolonej

Podstawowe formuły

Tutaj podajemy przykłady obliczania pochodnych następujących funkcji:
; ; ; ; .

Jeśli funkcję można przedstawić jako funkcję złożoną w następującej postaci:
,
wówczas jego pochodną wyznacza się ze wzoru:
.
W poniższych przykładach zapiszemy tę formułę w następujący sposób:
.
Gdzie .
Tutaj indeksy dolne lub , znajdujące się pod znakiem pochodnej, oznaczają zmienne, według których przeprowadzane jest różnicowanie.

Zwykle w tablicach pochodnych podaje się pochodne funkcji od zmiennej x. Jednak x jest parametrem formalnym. Zmienną x można zastąpić dowolną inną zmienną. Dlatego różniczkując funkcję od zmiennej, po prostu zamieniamy w tabeli pochodnych zmienną x na zmienną u.

Proste przykłady

Przykład 1

Znajdź pochodną funkcji zespolonej
.

Zapiszmy daną funkcję w równoważnej formie:
.
W tabeli instrumentów pochodnych znajdujemy:
;
.

Zgodnie ze wzorem na pochodną funkcji zespolonej mamy:
.
Tutaj .

Przykład 2

Znajdź pochodną
.

Wyciągamy stałą 5 ze znaku pochodnej i z tabeli pochodnych znajdujemy:
.

.
Tutaj .

Przykład 3

Znajdź pochodną
.

Wyciągamy stałą -1 dla znaku pochodnej i z tabeli pochodnych znajdujemy:
;
Z tabeli instrumentów pochodnych znajdujemy:
.

Stosujemy wzór na pochodną funkcji zespolonej:
.
Tutaj .

Bardziej złożone przykłady

W bardziej złożonych przykładach stosujemy zasadę kilkukrotnego różniczkowania funkcji zespolonej. W tym przypadku pochodną obliczamy od końca. Oznacza to, że dzielimy funkcję na części składowe i za pomocą znajdujemy pochodne najprostszych części tabela instrumentów pochodnych. Używamy również zasady różnicowania kwot, produkty i frakcje. Następnie dokonujemy podstawień i stosujemy wzór na pochodną funkcji zespolonej.

Przykład 4

Znajdź pochodną
.

Wybierzmy najprostszą część wzoru i znajdźmy jej pochodną. .

.
Tutaj zastosowaliśmy oznaczenie
.

Korzystając z otrzymanych wyników, znajdujemy pochodną kolejnej części pierwotnej funkcji. Stosujemy zasadę różniczkowania sumy:
.

Po raz kolejny stosujemy zasadę różniczkowania funkcji zespolonych.

.
Tutaj .

Przykład 5

Znajdź pochodną funkcji
.

Wybierzmy najprostszą część wzoru i znajdźmy jej pochodną z tabeli pochodnych. .

Stosujemy zasadę różniczkowania funkcji zespolonych.
.
Tutaj
.

Rozróżnijmy kolejną część na podstawie uzyskanych wyników.
.
Tutaj
.

Rozróżnijmy następną część.

.
Tutaj
.

Teraz znajdujemy pochodną żądanej funkcji.

.
Tutaj
.

Funkcje typu złożonego nie zawsze pasują do definicji funkcji złożonej. Jeśli istnieje funkcja w postaci y = sin x - (2 - 3) · a r do t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, to nie można jej uważać za złożoną, w przeciwieństwie do y = sin 2 x.

W artykule zostanie zaprezentowane pojęcie funkcji zespolonej oraz jej identyfikacja. Pracujmy ze wzorami na znalezienie pochodnej z przykładami rozwiązań w podsumowaniu. Zastosowanie tabeli pochodnych i zasad różniczkowania znacznie skraca czas znajdowania pochodnej.

Podstawowe definicje

Funkcja złożona to taka, której argument jest również funkcją.

Oznacza się to w ten sposób: f (g (x)). Mamy, że funkcja g (x) jest uważana za argument f (g (x)).

Definicja 2

Jeśli istnieje funkcja f i jest to funkcja cotangens, to g(x) = ln x jest funkcją logarytmu naturalnego. Stwierdzamy, że funkcja zespolona f (g (x)) zostanie zapisana jako arctg(lnx). Lub funkcję f, która jest funkcją podniesioną do czwartej potęgi, gdzie g (x) = x 2 + 2 x - 3 uważa się za całą funkcję wymierną, otrzymujemy, że f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Oczywiście g(x) może być złożone. Z przykładu y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 widać, że wartość g ma pierwiastek sześcienny ułamka. Wyrażenie to można oznaczyć jako y = f (f 1 (f 2 (x))). Skąd mamy, że f jest funkcją sinusową, a f 1 jest funkcją znajdującą się pod pierwiastkiem kwadratowym, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 jest ułamkową funkcją wymierną.

Definicja 3

Stopień zagnieżdżenia jest określany przez dowolną liczbę naturalną i zapisywany jako y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) .

Definicja 4

Pojęcie złożenia funkcji odnosi się do liczby funkcji zagnieżdżonych zgodnie z warunkami problemu. Aby rozwiązać, użyj wzoru na znalezienie pochodnej funkcji zespolonej formy

(f (g (x))) " = fa " (g (x)) g " (x)

Przykłady

Znajdź pochodną funkcji zespolonej postaci y = (2 x + 1) 2.

Rozwiązanie

Warunek pokazuje, że f jest funkcją kwadratową, a g(x) = 2 x + 1 uważa się za funkcję liniową.

Zastosujmy wzór na pochodną dla funkcji zespolonej i napiszmy:

fa " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; sol " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (g (x)) sol " (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

Należy znaleźć pochodną z uproszczoną pierwotną postacią funkcji. Otrzymujemy:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

Stąd mamy to

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

Wyniki były takie same.

Rozwiązując problemy tego typu, ważne jest, aby zrozumieć, gdzie będzie zlokalizowana funkcja postaci f i g (x).

Przykład 2

Powinieneś znaleźć pochodne funkcji zespolonych postaci y = sin 2 x i y = sin x 2.

Rozwiązanie

Pierwszy zapis funkcji mówi, że f jest funkcją podnoszącą kwadrat, a g(x) jest funkcją sinus. Wtedy to zrozumiemy

y " = (grzech 2 x) " = 2 grzech 2 - 1 x (grzech x) " = 2 grzech x cos x

Drugi wpis pokazuje, że f jest funkcją sinusową, a g(x) = x 2 oznacza funkcję potęgową. Wynika z tego, że iloczyn funkcji zespolonej zapisujemy jako

y " = (sin x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

Wzór na pochodną y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) zostanie zapisany jako y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (. . . . ( f n (x))))) · f 1 " (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))) · · f 2 " (f 3 (. . . (f n (x)) )) )) · . . . fn "(x)

Przykład 3

Znajdź pochodną funkcji y = sin (ln 3 a r do t g (2 x)).

Rozwiązanie

Ten przykład pokazuje trudność zapisu i określenia lokalizacji funkcji. Następnie y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) oznaczają, gdzie f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) jest funkcją sinus, funkcją podnoszenia do 3 stopnia, funkcja logarytmiczna i podstawa e, arcus tangens i funkcja liniowa.

Ze wzoru na definicję funkcji zespolonej mamy to

y " = fa " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4 (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x)

Dostajemy to, co musimy znaleźć

1. f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) jako pochodna sinusa zgodnie z tabelą pochodnych, a następnie f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 ( x)))) ) = cos (ln 3 za r do t sol (2 x)) .
2. f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) jako pochodna funkcji potęgowej, a następnie f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 za r do t sol (2 x) = 3 ln 2 za r do t sol (2 x) .
3. f 2 " (f 3 (f 4 (x))) jako pochodna logarytmiczna, następnie f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 za r do t sol (2 x) .
4. f 3 " (f 4 (x)) jako pochodna arcustangens, następnie f 3 " (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. Znajdując pochodną f 4 (x) = 2 x, usuń 2 ze znaku pochodnej, korzystając ze wzoru na pochodną funkcji potęgowej o wykładniku równym 1, a następnie f 4 " (x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Łączymy wyniki pośrednie i otrzymujemy to

y " = fa " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4 (x)) fa 3 " (f 4 (x)) fa 4 " (x) = = cos (ln 3 za r do t sol (2 x)) 3 ln 2 za r do t g (2 x) 1 za r do t sol (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 sałata (ln 3 za r do t sol (2 x)) ln 2 za r do t sol (2 x) za r do t sol (2 x) (1 + 4 x 2)

Analiza takich funkcji przypomina gniazdowanie lalek. Reguły różnicowania nie zawsze mogą być stosowane bezpośrednio przy użyciu tabeli pochodnych. Często trzeba użyć wzoru do znalezienia pochodnych funkcji złożonych.

Istnieją pewne różnice między złożonym wyglądem a złożonymi funkcjami. Dzięki wyraźnej umiejętności rozróżnienia, znalezienie instrumentów pochodnych będzie szczególnie łatwe.

Przykład 4

Warto rozważyć podanie takiego przykładu. Jeżeli istnieje funkcja w postaci y = t g 2 x + 3 t g x + 1, to można ją uznać za złożoną funkcję w postaci g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 . Oczywiście konieczne jest skorzystanie ze wzoru na pochodną złożoną:

fa " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " = = 2 · sol 2 - 1 (x) + 3 g " (x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 sol 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t sol x + 3 ; sol " (x) = (t g x) " = 1 sałata 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = fa " (g (x)) sol " (x) = (2 t sol x + 3 ) · 1 sałata 2 x = 2 t sol x + 3 sałata 2 x

Funkcja w postaci y = t g x 2 + 3 t g x + 1 nie jest uważana za złożoną, ponieważ ma sumę t g x 2, 3 t g x i 1. Jednakże t g x 2 uważa się za funkcję zespoloną, wówczas otrzymujemy funkcję potęgową w postaci g (x) = x 2 i f, która jest funkcją styczną. Aby to zrobić, różnicuj według kwoty. Rozumiemy to

y " = (t sol x 2 + 3 t g x + 1) " = (t sol x 2) " + (3 t sol x) " + 1 " = = (t sol x 2) " + 3 (t sol x) " + 0 = (t sol x 2) " + 3 razy 2x

Przejdźmy do znalezienia pochodnej funkcji zespolonej (t g x 2)”:

fa " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 sałata 2 g (x) = 1 sałata 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

Otrzymujemy, że y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 sałata 2 x = 2 x sałata 2 (x 2) + 3 sałata 2 x

Funkcje typu złożonego mogą być zawarte w funkcjach złożonych, a same funkcje złożone mogą być składnikami funkcji typu złożonego.

Przykład 5

Rozważmy na przykład funkcję złożoną w postaci y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Funkcję tę można przedstawić jako y = f (g (x)), gdzie wartość f jest funkcją logarytmu o podstawie 3, a g (x) uważa się za sumę dwóch funkcji w postaci h (x) = x 2 + 3 sałata 3 (2 x + 1) + 7 mi x 2 + 3 3 i k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . Oczywiście y = f (h (x) + k (x)).

Rozważmy funkcję h(x). To jest stosunek l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 do m (x) = e x 2 + 3 3

Mamy, że l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) jest sumą dwóch funkcji n (x) = x 2 + 7 i p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , gdzie p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) jest funkcją zespoloną o współczynniku liczbowym 3, a p 1 jest funkcją sześcianu, p 2 przez funkcję cosinus, p 3 (x) = 2 x + 1 przez funkcję liniową.

Ustaliliśmy, że m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) jest sumą dwóch funkcji q (x) = e x 2 i r (x) = 3 3, gdzie q (x) = q 1 (q 2 (x)) jest funkcją zespoloną, q 1 jest funkcją wykładniczą, q 2 (x) = x 2 jest funkcją potęgi.

To pokazuje, że h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Przechodząc do wyrażenia w postaci k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x), widać wyraźnie, że funkcja jest przedstawiona w postaci zespolonej s ( x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) z wymierną liczbą całkowitą t (x) = x 2 + 1, gdzie s 1 jest funkcją kwadratową, a s 2 (x) = ln x jest logarytmiczną z podstawa tj.

Wynika z tego, że wyrażenie będzie miało postać k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x).

Wtedy to zrozumiemy

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 mi x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = fa n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Na podstawie struktur funkcji stało się jasne, jak i jakich formuł należy użyć, aby uprościć wyrażenie podczas jego różnicowania. Aby zapoznać się z takimi problemami i koncepcją ich rozwiązania, należy przejść do punktu różniczkowania funkcji, czyli znalezienia jej pochodnej.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Jeśli G(X) I F(ty) – różniczkowalne funkcje ich argumentów odpowiednio w punktach X I ty= G(X), wówczas funkcja zespolona jest również różniczkowalna w punkcie X i można go znaleźć ze wzoru

Typowym błędem przy rozwiązywaniu problemów pochodnych jest mechaniczne przenoszenie zasad różniczkowania funkcji prostych na funkcje złożone. Nauczmy się unikać tego błędu.

Przykład 2. Znajdź pochodną funkcji

Błędne rozwiązanie: oblicz logarytm naturalny każdego wyrazu w nawiasach i poszukaj sumy pochodnych:

Prawidłowe rozwiązanie: ponownie ustalamy, gdzie jest „jabłko”, a gdzie „mięso mielone”. Tutaj logarytm naturalny wyrażenia w nawiasach to „jabłko”, czyli funkcja nad argumentem pośrednim ty, a wyrażenie w nawiasie to „mięso mielone”, czyli argument pośredni ty przez zmienną niezależną X.

Następnie (używając wzoru 14 z tabeli instrumentów pochodnych)

W wielu rzeczywistych problemach wyrażenie z logarytmem może być nieco bardziej skomplikowane, dlatego jest lekcja

Przykład 3. Znajdź pochodną funkcji

Błędne rozwiązanie:

Prawidłowe rozwiązanie. Po raz kolejny ustalamy, gdzie jest „jabłko”, a gdzie „mięso mielone”. Tutaj cosinus wyrażenia w nawiasach (wzór 7 w tabeli pochodnych) to „jabłko”, jest przygotowywany w trybie 1, który dotyczy tylko niego, a wyrażenie w nawiasach (pochodna stopnia to liczba 3 w tabeli pochodnych) to „mięso mielone”, jest przygotowywane w trybie 2, który dotyczy tylko niego. I jak zawsze łączymy dwie pochodne ze znakiem iloczynu. Wynik:

Pochodna złożonej funkcji logarytmicznej jest częstym zadaniem w testach, dlatego zdecydowanie zalecamy zapoznanie się z lekcją „Pochodna funkcji logarytmicznej”.

Pierwsze przykłady dotyczyły funkcji złożonych, w których argumentem pośrednim zmiennej niezależnej była funkcja prosta. Jednak w zadaniach praktycznych często konieczne jest znalezienie pochodnej funkcji złożonej, gdy argument pośredni albo sam jest funkcją złożoną, albo zawiera taką funkcję. Co zrobić w takich przypadkach? Znajdź pochodne takich funkcji, korzystając z tabel i reguł różniczkowania. Kiedy zostanie znaleziona pochodna argumentu pośredniego, wystarczy ją podstawić we właściwym miejscu we wzorze. Poniżej znajdują się dwa przykłady, jak to się robi.

Ponadto warto wiedzieć, co następuje. Jeśli złożoną funkcję można przedstawić jako łańcuch trzech funkcji

wówczas jej pochodną należy znaleźć jako iloczyn pochodnych każdej z tych funkcji:

Wiele zadań domowych może wymagać otwarcia przewodników w nowych oknach. Działania z mocami i korzeniami I Operacje na ułamkach .

Przykład 4. Znajdź pochodną funkcji

Stosujemy zasadę różniczkowania funkcji zespolonej, nie zapominając, że w otrzymanym iloczynie pochodnych występuje argument pośredni w odniesieniu do zmiennej niezależnej X nie zmienia:

Przygotowujemy drugi czynnik iloczynu i stosujemy zasadę różniczkowania sumy:

Drugi wyraz to pierwiastek, tzw

W ten sposób odkryliśmy, że argument pośredni, którym jest suma, zawiera funkcję złożoną jako jeden z terminów: podnoszenie do potęgi jest funkcją złożoną, a to, co jest podnoszone do potęgi, jest argumentem pośrednim w odniesieniu do niezależnej zmienny X.

Dlatego ponownie stosujemy zasadę różniczkowania funkcji zespolonej:

Stopień pierwszego czynnika przekształcamy na pierwiastek, a różniczkując drugi czynnik nie zapominamy, że pochodna stałej jest równa zeru:

Teraz możemy znaleźć pochodną argumentu pośredniego potrzebną do obliczenia pochodnej funkcji zespolonej wymaganej w opisie problemu y:

Przykład 5. Znajdź pochodną funkcji

Najpierw korzystamy z reguły różniczkowania sumy:

Otrzymaliśmy sumę pochodnych dwóch funkcji zespolonych. Znajdźmy pierwszy:

W tym przypadku podniesienie sinusa do potęgi jest funkcją złożoną, a sam sinus jest pośrednim argumentem na rzecz zmiennej niezależnej X. Dlatego po drodze skorzystamy z reguły różniczkowania funkcji zespolonej wyjmując czynnik z nawiasów :

Teraz znajdujemy drugi wyraz pochodnych funkcji y:

Tutaj podniesienie cosinusa do potęgi jest funkcją złożoną F, a sam cosinus jest argumentem pośrednim zmiennej niezależnej X. Skorzystajmy jeszcze raz z reguły różniczkowania funkcji zespolonej:

Wynikiem jest wymagana pochodna:

Tabela pochodnych niektórych funkcji złożonych

Dla funkcji złożonych, bazując na zasadzie różniczkowania funkcji zespolonej, wzór na pochodną funkcji prostej przyjmuje inną postać.

1. Pochodna złożonej funkcji potęgowej, gdzie ty X
2. Pochodna pierwiastka wyrażenia
3. Pochodna funkcji wykładniczej
4. Szczególny przypadek funkcji wykładniczej
5. Pochodna funkcji logarytmicznej o dowolnej podstawie dodatniej A
6. Pochodna złożonej funkcji logarytmicznej, gdzie ty– różniczkowalna funkcja argumentu X
7. Pochodna sinusa
8. Pochodna cosinusa
9. Pochodna tangensa
10. Pochodna kotangensu
11. Pochodna arcsine
12. Pochodna arckosinusa
13. Pochodna arcustangens
14. Pochodna cotangensu łukowego

Bardzo łatwe do zapamiętania.

Cóż, nie odchodźmy daleko, od razu rozważmy funkcję odwrotną. Która funkcja jest odwrotnością funkcji wykładniczej? Logarytm:

W naszym przypadku podstawą jest liczba:

Taki logarytm (czyli logarytm z podstawą) nazywa się „naturalnym” i używamy dla niego specjalnego zapisu: zamiast tego piszemy.

Czemu to jest równe? Oczywiście, .

Pochodna logarytmu naturalnego jest również bardzo prosta:

Przykłady:

1. Znajdź pochodną funkcji.
2. Jaka jest pochodna funkcji?

Odpowiedzi: Logarytm wykładniczy i logarytm naturalny są wyjątkowo prostymi funkcjami z punktu widzenia pochodnej. Funkcje wykładnicze i logarytmiczne o dowolnej innej podstawie będą miały inną pochodną, ​​którą przeanalizujemy później, po zapoznaniu się z zasadami różniczkowania.

Zasady różnicowania

Zasady czego? Znowu nowy termin, znowu?!...

Różnicowanie to proces znajdowania pochodnej.

To wszystko. Jak inaczej można nazwać ten proces jednym słowem? Nie pochodna. Matematycy nazywają różniczkę tym samym przyrostem funkcji. Termin ten pochodzi od łacińskiego słowa Differentia – różnica. Tutaj.

Wyprowadzając wszystkie te reguły, użyjemy na przykład dwóch funkcji i. Będziemy również potrzebować wzorów na ich przyrosty:

W sumie jest 5 zasad.

Stała jest usuwana ze znaku pochodnej.

Jeśli - jakaś stała liczba (stała), to.

Oczywiście ta zasada działa również w przypadku różnicy: .

Udowodnijmy to. Niech tak będzie, albo prościej.

Przykłady.

Znajdź pochodne funkcji:

1. w pewnym momencie;
2. w pewnym momencie;
3. w pewnym momencie;
4. w tym punkcie.

Rozwiązania:

1. (pochodna jest taka sama we wszystkich punktach, ponieważ jest to funkcja liniowa, pamiętasz?);

Pochodna produktu

Tutaj wszystko jest podobne: wprowadźmy nową funkcję i znajdźmy jej inkrementację:

Pochodna:

Przykłady:

1. Znajdź pochodne funkcji i;
2. Znajdź pochodną funkcji w punkcie.

Rozwiązania:

Pochodna funkcji wykładniczej

Teraz twoja wiedza jest wystarczająca, aby dowiedzieć się, jak znaleźć pochodną dowolnej funkcji wykładniczej, a nie tylko wykładniki (zapomniałeś już, co to jest?).

Więc gdzie jest jakaś liczba.

Znamy już pochodną funkcji, więc spróbujmy sprowadzić naszą funkcję do nowej podstawy:

W tym celu zastosujemy prostą regułę: . Następnie:

Cóż, zadziałało. Teraz spróbuj znaleźć pochodną i nie zapominaj, że ta funkcja jest złożona.

Stało się?

Tutaj sprawdź sam:

Wzór okazał się bardzo podobny do pochodnej wykładnika: jak był, pozostaje taki sam, pojawił się tylko czynnik, który jest tylko liczbą, a nie zmienną.

Przykłady:
Znajdź pochodne funkcji:

Odpowiedzi:

To po prostu liczba, której nie da się obliczyć bez kalkulatora, czyli nie da się jej zapisać w prostszej formie. Dlatego zostawiamy to w tej formie w odpowiedzi.

Zauważ, że tutaj jest iloraz dwóch funkcji, dlatego stosujemy odpowiednią regułę różniczkowania:

W tym przykładzie iloczyn dwóch funkcji:

Pochodna funkcji logarytmicznej

Tutaj jest podobnie: znasz już pochodną logarytmu naturalnego:

Dlatego, aby znaleźć dowolny logarytm o innej podstawie, na przykład:

Musimy sprowadzić ten logarytm do podstawy. Jak zmienić podstawę logarytmu? Mam nadzieję, że pamiętasz tę formułę:

Dopiero teraz zamiast tego napiszemy:

Mianownik jest po prostu stałą (liczbą stałą, bez zmiennej). Pochodną otrzymuje się bardzo prosto:

Pochodne funkcji wykładniczych i logarytmicznych prawie nigdy nie znajdują się w Unified State Examination, ale ich znajomość nie będzie zbyteczna.

Pochodna funkcji zespolonej.

Co to jest „funkcja złożona”? Nie, to nie jest logarytm ani arcustangens. Funkcje te mogą być trudne do zrozumienia (chociaż jeśli logarytm wydaje ci się trudny, przeczytaj temat „Logarity” i wszystko będzie dobrze), ale z matematycznego punktu widzenia słowo „złożony” nie oznacza „trudny”.

Wyobraź sobie mały przenośnik taśmowy: dwie osoby siedzą i wykonują pewne czynności z niektórymi przedmiotami. Przykładowo, pierwszy zawija tabliczkę czekolady w opakowanie, a drugi zawiązuje ją wstążką. W rezultacie powstał obiekt złożony: tabliczka czekolady owinięta i przewiązana wstążką. Aby zjeść tabliczkę czekolady, należy wykonać kroki w odwrotnej kolejności.

Stwórzmy podobny potok matematyczny: najpierw znajdziemy cosinus liczby, a następnie podniesiemy wynikową liczbę do kwadratu. Dostajemy więc liczbę (czekoladę), znajduję jej cosinus (opakowanie), a następnie podnoszę do kwadratu to, co otrzymam (przewiązuję wstążką). Co się stało? Funkcjonować. To jest przykład funkcji złożonej: gdy, aby znaleźć jej wartość, wykonujemy pierwszą akcję bezpośrednio ze zmienną, a następnie drugą akcję z tym, co wynika z pierwszej.

Innymi słowy, funkcja złożona to funkcja, której argumentem jest inna funkcja: .

Dla naszego przykładu .

Możemy z łatwością wykonać te same kroki w odwrotnej kolejności: najpierw podnieś wynik do kwadratu, a następnie szukam cosinusa otrzymanej liczby: . Łatwo się domyślić, że wynik prawie zawsze będzie inny. Ważna cecha funkcji złożonych: gdy zmienia się kolejność działań, zmienia się funkcja.

Drugi przykład: (to samo). .

Akcja, którą wykonamy jako ostatnia, zostanie wywołana funkcja „zewnętrzna”., oraz czynność wykonaną jako pierwsza – odpowiednio funkcję „wewnętrzną”.(są to nazwy nieformalne, używam ich jedynie w celu wyjaśnienia materiału prostym językiem).

Spróbuj sam określić, która funkcja jest zewnętrzna, a która wewnętrzna:

Odpowiedzi: Oddzielenie funkcji wewnętrznej i zewnętrznej jest bardzo podobne do zmiany zmiennych: na przykład w funkcji

1. Jaką czynność wykonamy jako pierwszą? Najpierw obliczmy sinus, a dopiero potem sześcian. Oznacza to, że jest to funkcja wewnętrzna, ale zewnętrzna.
   A oryginalną funkcją jest ich skład: .
2. Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
   Badanie: .
3. Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
   Badanie: .
4. Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
   Badanie: .
5. Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
   Badanie: .

Zmieniamy zmienne i otrzymujemy funkcję.

Cóż, teraz wyodrębnimy naszą tabliczkę czekolady i poszukamy pochodnej. Procedura jest zawsze odwrotna: najpierw szukamy pochodnej funkcji zewnętrznej, następnie mnożymy wynik przez pochodną funkcji wewnętrznej. W odniesieniu do pierwotnego przykładu wygląda to tak:

Inny przykład:

Sformułujmy więc w końcu oficjalną zasadę:

Algorytm znajdowania pochodnej funkcji zespolonej:

Wydaje się to proste, prawda?

Sprawdźmy na przykładach:

Rozwiązania:

1) Wewnętrzne: ;

Zewnętrzny: ;

2) Wewnętrzne: ;

(Tylko nie próbuj już tego ciąć! Spod cosinusa nic nie wychodzi, pamiętasz?)

3) Wewnętrzne: ;

Zewnętrzny: ;

Od razu widać, że jest to funkcja złożona na trzech poziomach: w końcu jest to już sama w sobie funkcja złożona i wyodrębniamy z niej również korzeń, to znaczy wykonujemy trzecią akcję (włóż czekoladę do opakowania i ze wstążką w teczce). Ale nie ma powodu się bać: nadal „rozpakowujemy” tę funkcję w tej samej kolejności, co zwykle: od końca.

Oznacza to, że najpierw różnicujemy pierwiastek, potem cosinus, a dopiero potem wyrażenie w nawiasach. A potem to wszystko mnożymy.

W takich przypadkach wygodnie jest ponumerować działania. To znaczy wyobraźmy sobie to, co wiemy. W jakiej kolejności wykonamy czynności, aby obliczyć wartość tego wyrażenia? Spójrzmy na przykład:

Im później akcja zostanie wykonana, tym bardziej „zewnętrzna” będzie odpowiednia funkcja. Sekwencja działań jest taka sama jak poprzednio:

Tutaj zagnieżdżenie jest zazwyczaj 4-poziomowe. Ustalmy kierunek działania.

1. Radykalne wyrażenie. .

2. Korzeń. .

3. Sinus. .

4. Kwadrat. .

5. Łączenie wszystkiego w jedną całość:

POCHODNA. KRÓTKO O NAJWAŻNIEJSZYCH RZECZACH

Pochodna funkcji- stosunek przyrostu funkcji do przyrostu argumentu dla nieskończenie małego przyrostu argumentu:

Podstawowe pochodne:

Zasady różnicowania:

Stała jest usuwana ze znaku pochodnej:

Pochodna sumy:

Pochodna produktu:

Pochodna ilorazu:

Pochodna funkcji złożonej:

Algorytm znajdowania pochodnej funkcji zespolonej:

1. Definiujemy funkcję „wewnętrzną” i znajdujemy jej pochodną.
2. Definiujemy funkcję „zewnętrzną” i znajdujemy jej pochodną.
3. Mnożymy wyniki pierwszego i drugiego punktu.

W „starych” podręcznikach nazywa się to także zasadą „łańcucha”. Więc jeśli y = f (u) i u = φ (x), to jest

y = f (φ (x))

złożona - wówczas funkcja złożona (złożenie funkcji).

Gdzie , po obliczeniu uwzględnia się przy u = φ (x).

Zauważ, że tutaj wzięliśmy „różne” kompozycje z tych samych funkcji, a wynik zróżnicowania w naturalny sposób okazał się zależny od kolejności „mieszania”.

Reguła łańcucha naturalnie rozciąga się na kompozycje trzech lub więcej funkcji. W tym przypadku w „łańcuchu” tworzącym instrument pochodny będą znajdować się trzy lub więcej „ogniw”. Oto analogia z mnożeniem: „mamy” tablicę pochodnych; „tam” - tabliczka mnożenia; „z nami” to reguła łańcucha, a „tam” to zasada mnożenia „kolumny”. Przy obliczaniu takich „złożonych” pochodnych nie wprowadza się oczywiście żadnych argumentów pomocniczych (u¸v itp.), Ale po zauważeniu liczby i sekwencji funkcji biorących udział w kompozycji odpowiednie łącza są „nawleczone” we wskazanej kolejności.

. Tutaj, za pomocą „x”, aby uzyskać wartość „y”, wykonuje się pięć operacji, czyli powstaje kompozycja pięciu funkcji: „zewnętrzna” (ostatnia z nich) - wykładnicza - e  ; następnie w odwrotnej kolejności, moc. (♦) 2 ; grzech trygonometryczny(); stateczny. () 3 i wreszcie logarytmiczne ln.(). Dlatego

Na poniższych przykładach „upieczemy parę ptaków na jednym ogniu”: poćwiczymy różniczkowanie funkcji złożonych i dodamy do tablicy pochodnych funkcji elementarnych. Więc:

4. Dla funkcji potęgowej - y = x α - przepisując ją korzystając ze znanej „podstawowej tożsamości logarytmicznej” - b=e ln b - w postaci x α = x α ln x otrzymujemy

5. Dla dowolnej funkcji wykładniczej, używając tej samej techniki, którą będziemy mieli

6. Dla dowolnej funkcji logarytmicznej, korzystając ze znanego wzoru na przejście do nowej podstawy, konsekwentnie otrzymujemy

.

7. Aby różniczkować styczną (cotangens), stosujemy zasadę różniczkowania ilorazów:

Aby otrzymać pochodne odwrotnych funkcji trygonometrycznych, korzystamy z zależności, którą spełniają pochodne dwóch wzajemnie odwrotnych funkcji, czyli funkcje φ (x) i f (x) powiązane zależnościami:

To jest stosunek

Wynika to ze wzoru na funkcje wzajemnie odwrotne

I
,

Na koniec podsumujmy te i kilka innych pochodnych, które również można łatwo uzyskać, w poniższej tabeli.