Ogólny zestaw technologiczny elementu produkcyjnego może być. Opis produkcji z wykorzystaniem zestawu technologicznego

2. Zbiory produkcyjne i funkcje produkcyjne

2.1. Zbiory produkcyjne i ich właściwości

Rozważmy najważniejszego uczestnika procesów gospodarczych - indywidualnego producenta. Producent realizuje swoje cele wyłącznie poprzez konsumenta, dlatego musi odgadnąć, zrozumieć, czego chce i zaspokoić jego potrzeby. Załóżmy, że istnieje n różnych dóbr, ilość n-tego iloczynu oznaczymy przez x n, wówczas pewien zbiór dóbr oznaczymy przez X = (x 1, ..., x n). Rozważymy tylko nieujemne ilości dóbr, tak że x i  0 dla dowolnego i = 1, ..., n lub X > 0. Zbiór wszystkich zbiorów dóbr nazywany jest przestrzenią dóbr C. Zbiór towar można potraktować jako koszyk, w którym znajdują się te towary w odpowiednich ilościach.

Niech gospodarka działa w przestrzeni dóbr C = (X = (x 1, x 2, …, x n): x 1, …, x n  0). Przestrzeń iloczynu składa się z nieujemnych wektorów n-wymiarowych. Rozważmy teraz wektor T wymiaru n, którego pierwsze m składowe są nieujemne: x 1, …, x m  0, a ostatnie (n-m) składowe są nieujemne: x m +1, …, x n  0. Wektor X = (x 1,…, x m ) nazwijmy to wektor kosztów, i wektor Y = (x m+1 , …, x n) – wektor zwolnienia. Nazwijmy wektor T = (X,Y) wektor wejścia-wyjścia, czyli technologia.

Technologia (X,Y) w swoim rozumieniu to sposób przetworzenia zasobów w gotowe produkty: „mieszając” zasoby w ilości X, otrzymujemy produkty w ilości Y. Każdy konkretny producent charakteryzuje się pewnym zbiorem τ technologii, czyli tzw zestaw produkcyjny. Typowy zestaw cieniowany pokazano na ryc. 2.1. Ten producent wykorzystuje jeden produkt do produkcji innego.

Ryż. 2.1. Zestaw produkcyjny

Zestaw produkcyjny odzwierciedla szerokość możliwości producenta: im jest większy, tym szersze są jego możliwości. Zestaw produkcyjny musi spełniać następujące warunki:

jest domknięty - oznacza to, że jeśli wektor wejścia-wyjścia T zostanie aproksymowany z dowolną dokładnością wektorami z τ, to T również należy do τ (jeśli wszystkie punkty wektora T leżą w τ, to Tτ patrz rys. 2.1 punkty C i B);

w τ(-τ) = (0), czyli jeśli Tτ, T ≠ 0, to -Tτ – koszty i produkcja nie podlegają zamianie, czyli produkcja jest procesem nieodwracalnym (set – τ znajduje się w czwartej ćwiartce , gdzie y wynosi 0);

zbiór jest wypukły, założenie to prowadzi do spadku rentowności przetworzonych zasobów wraz ze wzrostem wolumenu produkcji (do wzrostu stopy wydatków na produkty gotowe). Zatem z rys. 2.1 jasne jest, że y/x  maleje wraz z x  -. W szczególności założenie o wypukłości prowadzi do spadku wydajności pracy wraz ze wzrostem produkcji.

Często wypukłość po prostu nie wystarczy i wtedy wymagana jest ścisła wypukłość zbioru produkcyjnego (lub jego części).

2.2. Krzywa możliwości produkcyjnych

i koszty alternatywne

Rozważane pojęcie produkcji charakteryzuje się dużym stopniem abstrakcji i ze względu na swą skrajną ogólność jest mało przydatne dla teorii ekonomii.

Rozważmy na przykład rys. 2.1. Zacznijmy od punktów B i C. Koszty tych technologii są takie same, ale wydajność jest inna. Producent, jeśli nie jest pozbawiony zdrowego rozsądku, nigdy nie wybierze technologii B, ponieważ istnieje lepsza technologia C. W tym przypadku (patrz ryc. 2.1) dla każdego x  0 znajdujemy najwyższy punkt (x, y ) w zestawie produkcyjnym . Oczywiście przy koszcie x technologia (x, y) jest najlepsza. Brak technologii (x, b) z b funkcją produkcji. Dokładna definicja funkcji produkcji:

Y = f(x)(x, y) τ i jeśli (x, b)  τ i b  y, to b = x .

Z ryc. 2.1 widać, że dla dowolnego x  0 taki punkt y = f(x) jest unikalny, co w istocie pozwala nam mówić o funkcji produkcji. Ale sytuacja jest taka prosta, jeśli produkowany jest tylko jeden produkt. W ogólnym przypadku dla wektora kosztu X oznaczamy zbiór M x = (Y:(X,Y)τ). Ustaw M x – jest zbiorem wszystkich możliwych wyników po kosztach X. W tym zbiorze rozważmy „krzywą” możliwości produkcyjnych K x = (YM x: jeśli ZM x i Z  Y, to Z = X), czyli K x – to wiele z najlepszych wydań, nie ma lepszych. Jeśli zostaną wyprodukowane dwa dobra, to jest to krzywa, ale jeśli wyprodukowanych zostanie więcej niż dwa dobra, to będzie to powierzchnia, bryła lub zbiór o jeszcze większych wymiarach.

Zatem dla dowolnego wektora kosztów X wszystkie najlepsze produkty leżą na krzywej możliwości produkcyjnych (powierzchni). Dlatego ze względów ekonomicznych producent musi wybrać technologię właśnie stamtąd. Dla przypadku wydania dwóch towarów y 1, y 2 obraz pokazano na rys. 2.2.

Jeśli operujemy wyłącznie wskaźnikami fizycznymi (tony, metry itp.), to dla danego wektora kosztów X pozostaje nam jedynie wybrać wektor wyjściowy Y na krzywej możliwości produkcyjnych, ale nie można jeszcze zdecydować, jaką konkretną produkcję wybrać. Jeśli sam zbiór produkcyjny τ jest wypukły, to M x jest również wypukły dla dowolnego wektora kosztu X. W dalszej części będziemy potrzebować ścisłej wypukłości zbioru M x. W przypadku produkcji dwóch dóbr oznacza to, że styczna do krzywej możliwości produkcyjnych K x ma tylko jeden punkt wspólny z tą krzywą.

Ryż. 2.2. Krzywa możliwości produkcyjnych

Zajmijmy się teraz kwestią tzw koszty alternatywne. Załóżmy, że moc wyjściowa jest ustalona w punkcie A(y 1 , y 2), patrz rys. 2.2. Teraz istnieje potrzeba zwiększenia produkcji drugiego produktu o y 2, oczywiście przy tym samym zestawie kosztów. Można to zrobić, jak widać z rys. 2.2, przeniesienie technologii do punktu B, dla którego przy wzroście produkcji drugiego produktu o y 2 konieczne będzie zmniejszenie produkcji pierwszego produktu o y 1.

Przypisanekosztypierwszy iloczyn w stosunku do drugiego w punkcie A zwany
. Jeżeli krzywa możliwości produkcyjnych jest dana przez ukryte równanie F(y 1 , y 2) = 0, to δ 1 2 (A) = (F/y 2)/(F/y 1), gdzie pochodne cząstkowe pobierane są w punkcie A. Jeśli przyjrzysz się bliżej omawianej liczbie, znajdziesz ciekawy wzór: przesuwając się w dół krzywej możliwości produkcyjnych od lewej strony, koszty alternatywne maleją z wartości bardzo dużych do bardzo małych .

2.3. Funkcje produkcji i ich właściwości

Funkcja produkcji to zależność analityczna, która łączy zmienne wartości kosztów (czynników, zasobów) z wielkością produkcji. Historycznie rzecz biorąc, jedną z pierwszych prac nad konstrukcją i wykorzystaniem funkcji produkcji były prace nad analizą produkcji rolnej w Stanach Zjednoczonych. W 1909 roku Mitscherlich zaproponował nieliniową funkcję produkcji: nawozy – plon. Niezależnie Spillman zaproponował wykładnicze równanie wydajności. Na ich bazie zbudowano szereg innych agrotechnicznych funkcji produkcyjnych.

Funkcje produkcyjne mają na celu modelowanie procesu produkcyjnego określonej jednostki gospodarczej: odrębnego przedsiębiorstwa, przemysłu lub całej gospodarki państwa jako całości. Za pomocą funkcji produkcyjnych rozwiązywane są następujące problemy:

ocena zwrotu zasobów w procesie produkcyjnym;

prognozowanie wzrostu gospodarczego;

opracowanie opcji planu rozwoju produkcji;

optymalizacja funkcjonowania jednostki biznesowej w oparciu o dane kryterium i ograniczenia zasobów.

Ogólna postać funkcji produkcji: Y = Y(X 1, X 2, ..., X i, ..., X n), gdzie Y jest wskaźnikiem charakteryzującym wyniki produkcji; X – wskaźnik czynnikowy i-tego zasobu produkcyjnego; n – liczba wskaźników czynnikowych.

Funkcje produkcji wyznaczają dwie grupy założeń: matematyczne i ekonomiczne. Matematycznie oczekuje się, że funkcja produkcji będzie ciągła i podwójnie różniczkowalna. Założenia ekonomiczne są następujące: w przypadku braku przynajmniej jednego zasobu produkcyjnego produkcja jest niemożliwa, tj. Y(0, X 2, ..., X i, ..., X n) =

Y(X 1 , 0, …, X ja , …, X n) = …

Y(X 1, X 2, …, 0, …, X n) = …

Y(X 1, X 2, …, X i, …, 0) = 0.

Nie jest jednak możliwe zadowalające określenie jedynej produkcji Y dla danych kosztów X za pomocą naturalnych wskaźników: nasz wybór zawęził się jedynie do „krzywej” możliwości produkcyjnych K x . Z tych powodów opracowano jedynie teorię funkcji produkcji producentów, której produkcję można scharakteryzować jedną wartością – albo wielkością produkcji, jeśli wytwarzany jest jeden produkt, albo całkowitą wartością całej produkcji.

Przestrzeń kosztów jest m-wymiarowa. Każdy punkt przestrzeni kosztów X = (x 1, ..., x m) odpowiada pojedynczej maksymalnej produkcji (patrz rys. 2.1) wytworzonej przy użyciu tych kosztów. Zależność tę nazywa się funkcją produkcji. Jednakże funkcja produkcji jest zwykle rozumiana w mniej restrykcyjny sposób, a każdy związek funkcjonalny między nakładami i wynikami jest uważany za funkcję produkcji. W dalszej części założymy, że funkcja produkcji ma niezbędne pochodne. Zakłada się, że funkcja produkcji f(X) spełnia dwa aksjomaty. Pierwsza z nich stwierdza, że ​​istnieje podzbiór przestrzeni kosztów zwany obszar gospodarczy E, w którym zwiększenie dowolnego rodzaju nakładów nie prowadzi do zmniejszenia produkcji. Zatem, jeśli X 1, X 2 są dwoma punktami tego obszaru, to X 1  X 2 implikuje f(X 1)  f(X 2). W formie różniczkowej wyraża się to tym, że w tym obszarze wszystkie pierwsze pochodne cząstkowe funkcji są nieujemne: f/x 1 ≥ 0 (dla dowolnej funkcji rosnącej pochodna jest większa od zera). Te pochodne nazywane są produkty marginalne, i wektor f/X = (f/x 1 , …, f/x m) – wektor produktów marginalnych (pokazuje, ile razy zmieni się wielkość produkcji, gdy zmienią się koszty).

Drugi aksjomat stwierdza, że ​​istnieje wypukły podzbiór S dziedziny ekonomicznej, dla którego podzbiory (XS:f(X)  a) są wypukłe dla wszystkich a  0. W tym podzbiorze S macierz Hessego złożona z drugie pochodne funkcji f(X) , są ujemnie określone, zatem  2 f/x 2 i

Zastanówmy się nad ekonomiczną treścią tych aksjomatów. Pierwszy aksjomat stwierdza, że ​​funkcja produkcji nie jest jakąś całkowicie abstrakcyjną funkcją wymyśloną przez teoretyka matematyki. Odzwierciedla ono, choć nie w całym zakresie definicyjnym, ale tylko w jego części, istotne ekonomicznie, bezsporne, a zarazem trywialne stwierdzenie: VW rozsądnej gospodarce wzrost kosztów nie może prowadzić do zmniejszenia produkcji. Z drugiego aksjomatu wyjaśnimy jedynie ekonomiczny sens wymagania, aby pochodna  2 f/x 2 i była mniejsza od zera dla każdego rodzaju kosztu. Ta właściwość nazywa się w ekonomii zaPrawo malejących przychodów lub malejących przychodów: w miarę wzrostu kosztów, począwszy od pewnego momentu (przy wejściu do regionu S!), przezprodukt krańcowy zaczyna spadać. Klasycznym przykładem tego prawa jest dodawanie coraz większej ilości pracy do produkcji zboża na stałym kawałku ziemi. W dalszej części założono, że funkcję produkcji rozważa się w obszarze S, w którym obowiązują oba aksjomaty.

Funkcję produkcyjną dla danego przedsiębiorstwa możesz stworzyć nawet nie mając o tym zielonego pojęcia. Wystarczy umieścić licznik (osobę lub jakieś urządzenie automatyczne) przy bramie przedsiębiorstwa, który będzie rejestrował X - importowane zasoby i Y - ilość produktów wytworzonych przez przedsiębiorstwo. Jeśli zgromadzisz wystarczającą ilość takich informacji statycznych i uwzględnisz działanie przedsiębiorstwa w różnych trybach, możesz przewidzieć produkcję, znając jedynie wielkość importowanych zasobów, a to jest znajomość funkcji produkcji.

2.4. Funkcja produkcji Cobba-Douglasa

Rozważmy jedną z najczęstszych funkcji produkcji - funkcję Cobba-Douglasa: Y = AK  L , gdzie A, ,  > 0 są stałymi,  + 

Y/K = AαK α -1 L β > 0, Y/L = AβK α L β -1 > 0.

Ujemność drugich pochodnych cząstkowych, czyli malejących iloczynów krańcowych: Y 2 /K 2 = Aα(α–1)K α -2 L β 0.

Przejdźmy do głównych cech ekonomicznych i matematycznych funkcji produkcji Cobba-Douglasa. Średnia produktywność pracy definiuje się jako y = Y/L – stosunek objętości wyprodukowanego produktu do ilości włożonej pracy; średnia produktywność kapitału k = Y/K – stosunek wielkości wyprodukowanego produktu do wartości środków.

Dla funkcji Cobba-Douglasa średnia produktywność pracy y = AK  L  , a ze względu na warunek  wraz ze wzrostem kosztów pracy średnia wydajność pracy maleje. Wniosek ten pozwala na naturalne wyjaśnienie – skoro wartość drugiego czynnika K pozostaje niezmieniona, oznacza to, że nowo przyciągnięta siła robocza nie otrzymuje dodatkowych środków produkcji, co prowadzi do spadku wydajności pracy (dotyczy to również w najbardziej ogólnym przypadku – na poziomie zestawów produkcyjnych).

Krańcowa produktywność pracy Y/L = AβK α L β -1 > 0, co pokazuje, że dla funkcji Cobba-Douglasa krańcowa produktywność pracy jest proporcjonalna do produktywności przeciętnej i jest od niej mniejsza. W podobny sposób wyznacza się średnią i krańcową produktywność kapitału. Dla nich obowiązuje również wskazany stosunek - krańcowa produktywność kapitału jest proporcjonalna do średniej produktywności kapitału i jest od niej mniejsza.

Ważną cechą jest np stosunek kapitału do pracy f = K/L, pokazujący wielkość środków na pracownika (na jednostkę pracy).

Znajdźmy teraz pracowniczą elastyczność produkcji:

(Y/L):(Y/L) = (Y/L)L/Y = AβK α L β -1 L/(AK α L β) = β.

Znaczenie jest więc jasne parametr - Ten elastyczność (stosunek krańcowej wydajności pracy do średniej wydajności pracy) produkcji przez pracę. Elastyczność pracy produkcji oznacza, że ​​aby zwiększyć produkcję o 1%, należy zwiększyć wielkość zasobów pracy o %. Ma podobne znaczenie parametr – jest elastycznością produkcji pomiędzy funduszami.

I jeszcze jedno znaczenie wydaje się interesujące. Niech  +  = 1. Łatwo sprawdzić, że Y = (Y/K)/K + (Y/L)L (podstawiając wcześniej obliczone Y/K, Y/L do ta formuła). Załóżmy, że społeczeństwo składa się wyłącznie z pracowników i przedsiębiorców. Następnie dochód Y dzieli się na dwie części – dochód pracowników i dochód przedsiębiorców. Ponieważ przy optymalnej wielkości firmy wartość Y/L – krańcowy produkt pracy – pokrywa się z płacami (można to udowodnić), to (Y/L)L reprezentuje dochód pracowników. Podobnie wartość Y/K to krańcowy zwrot z kapitału, którego znaczeniem ekonomicznym jest stopa zysku, zatem (Y/K)K oznacza dochód przedsiębiorców.

Funkcja Cobba-Douglasa jest najbardziej znaną spośród wszystkich funkcji produkcyjnych. W praktyce przy jego konstruowaniu czasami rezygnuje się z niektórych wymagań (na przykład suma  +  może być większa niż 1 itp.).

Przykład 1. Niech funkcją produkcji będzie funkcja Cobba-Douglasa. Aby zwiększyć produkcję o a = 3%, należy zwiększyć środki trwałe o b = 6% lub liczbę pracowników o c = 9%. Obecnie jeden robotnik wytwarza produkty o wartości M = 10 4 rubli miesięcznie . , a łączna liczba pracowników wynosi L = 1000. Środki trwałe wycenia się na K = 10 8 rubli. Znajdź funkcję produkcji.

Rozwiązanie. Znajdźmy współczynniki , :  = a/b = 3/6 = 1/2,  = a/c = = 3/9 = 1/3, zatem Y = AK 1/2 L 1/3. Aby znaleźć A, podstawiamy do tego wzoru wartości K, L, M, pamiętając, że Y = ML = 1000 . 10 4 = 10 7 – – 10 7 = A(10 8) 1/2 1000 1/3. Stąd A = 100. Zatem funkcja produkcji ma postać: Y = 100K 1/2 L 1/3.

2.5. Teoria firmy

W poprzedniej części analizując i modelując zachowanie producenta, korzystaliśmy wyłącznie z naturalnych wskaźników i obeszliśmy się bez cen, jednak nie udało nam się ostatecznie rozwiązać problemu producenta, czyli wskazać jedynego dla niego kierunku działania w bieżącym warunki. Teraz rozważmy ceny. Niech P będzie wektorem ceny. Jeżeli T = (X,Y) jest technologią, czyli wektorem wejścia-wyjścia, X to koszty, Y to wynik, to iloczyn skalarny PT = PX + PY to zysk ze stosowania technologii T (koszty są wielkościami ujemnymi) . Sformułujmy teraz matematyczną formalizację aksjomatu opisującego zachowanie producenta.

Problem producenta: Producent wybiera technologię ze swojego zestawu produkcyjnego, dążąc do maksymalizacji zysków . Tak więc producent rozwiązuje następujący problem: PT →max, Tτ. Aksjomat ten znacznie upraszcza sytuację wyboru. Jeśli więc ceny są dodatnie, co jest naturalne, wówczas składnik „wyjściowy” rozwiązania tego problemu automatycznie będzie leżał na krzywej możliwości produkcyjnych. Rzeczywiście, niech T = (X, Y) będzie rozwiązaniem problemu producenta. Wtedy istnieje ZK x , Z  Y, zatem P(X, Z)  P(X, Y), co oznacza, że ​​punkt (X, Z) jest również rozwiązaniem problemu producenta.

W przypadku dwóch rodzajów produktów problem można rozwiązać graficznie (rys. 2.3). Aby to zrobić, należy „przesunąć” linię prostą prostopadłą do wektora P w kierunku, w którym on wskazuje; wówczas rozwiązaniem będzie ostatni punkt, w którym ta prosta nadal przecina zbiór produkcyjny (na ryc. 2.3 jest to punkt T). Jak łatwo zauważyć, ścisła wypukłość wymaganej części zestawu produkcyjnego w drugiej ćwiartce gwarantuje niepowtarzalność rozwiązania. To samo rozumowanie ma zastosowanie w ogólnym przypadku, dla większej liczby typów wejść i wyjść. Nie będziemy jednak podążać tą ścieżką, ale skorzystamy z aparatu funkcji produkcyjnych i nazwiemy producenta firmą. Zatem produkcję firmy można scharakteryzować jedną wartością – albo wielkością produkcji, jeśli wytwarzany jest jeden produkt, albo całkowitą wartością całej produkcji. Przestrzeń kosztów jest m-wymiarowa, wektor kosztów X = (x 1, ..., x m). Koszty jednoznacznie określają produkcję Y, a tą zależnością jest funkcja produkcji Y = f(X).

Ryż. 2.3. Rozwiązanie problemu producenta

W tej sytuacji oznaczmy przez P wektor cen towarów-kosztów i niech v będzie ceną jednostki wyprodukowanego dobra. Zatem zysk W, który ostatecznie jest funkcją X (i cen, ale są uważane za stałe), wynosi W(X) = vf(X) – PX →max, X  0. Równanie pochodnych cząstkowych funkcji W do zera otrzymujemy:

v(f/x j) = p jot dla j = 1, …, m lub v(f/X) = P (2.1)

Zakładamy, że wszystkie koszty są ściśle dodatnie (zero można po prostu wykluczyć z rozważań). Wówczas punkt dany zależnością (2.1) okazuje się być punktem wewnętrznym, czyli punktem ekstremalnym. A ponieważ zakłada się, że macierz Hessego funkcji produkcji f(X) jest również zdefiniowana ujemnie (w oparciu o wymagania dotyczące funkcji produkcji), jest to punkt maksymalny.

Zatem przy naturalnych założeniach o funkcjach produkcji (założenia te są spełnione dla producenta o zdrowym rozsądku i rozsądnej ekonomii) relacja (2.1) daje rozwiązanie problemu przedsiębiorstwa, czyli wyznacza objętość X* przetworzonych zasobów, w rezultacie wynik Y* = f(X*) Punkt X*, czyli (X*,f(X*)) będzie nazywany optymalnym rozwiązaniem przedsiębiorstwa. Zastanówmy się nad ekonomicznym znaczeniem relacji (2.1). Jak stwierdzono, (f/X) = (f/x 1 ,…,f/x m) nazywa się wektor produktu krańcowego lub wektor produktów krańcowych, a f/x i nazywa się i-tym produkt krańcowy, lub zwolnij odpowiedź na zmianę I -ty koszt pozycji. Dlatego vf/x i dx i jest cena I - produkt krańcowy dodatkowo otrzymany z dx ja jednostki I zasób. Jednak koszt dx i jednostek i-tego zasobu jest równy р i dx i , tj. uzyskano równowagę: możliwe jest zaangażowanie w produkcję dodatkowych dx i jednostek i-tego zasobu, wydając р i dx i na jego zakupie, ale nie będzie zysku, ponieważ po przetworzeniu produktów otrzymamy dokładnie tę samą kwotę, jaką wydaliśmy. Zatem optymalnym punktem określonym zależnością (2.1) jest punkt równowagi - nie można już wycisnąć z dóbr-zasobów więcej, niż wydatkowano na ich zakup.

Oczywiście wzrost produkcji przedsiębiorstwa następował stopniowo: początkowo koszt produktów marginalnych był niższy od ceny zakupu towarów i surowców potrzebnych do ich wytworzenia. Wielkość produkcji wzrasta aż do momentu, w którym zaczyna się spełniać zależność (2.1): równość wartości produktów krańcowych z ceną zakupu dóbr i zasobów potrzebnych do ich wytworzenia.

Załóżmy, że w problemie firmy W(X) = vf(X) – PX → max, X  0 rozwiązanie X* jest jednoznaczne dla v > 0 i P > 0. Otrzymujemy w ten sposób funkcję wektorową X* = X * ( v, P) lub funkcje x * I = x * i (v, p 1 , p m) dla i = 1, …, m. Te funkcje m nazywane są funkcje popytu na zasoby po danych cenach produktów i zasobów. W istocie funkcje te oznaczają, że jeżeli ustalono ceny P dla zasobów i cenę v dla wyprodukowanych dóbr, to dany producent (charakteryzujący się daną funkcją produkcji) określa wielkość przetworzonych zasobów korzystając z funkcji x * I = x *i (v, p 1, p m) i prosi o wprowadzenie tych tomów na rynek. Znając wielkości przetworzonych zasobów i podstawiając je do funkcji produkcji, otrzymujemy produkcję globalną w funkcji cen; oznaczmy tę funkcję przez q * = q * (v,P) = f(X(v,P)) = Y * . Nazywa się to funkcja dostarczania produktu w zależności od ceny v dla produktów i cen P dla zasobów.

A-przeorat, zasób i-tego typu zwany o małej wartości, wtedy i tylko wtedy gdy,x * i /v tj. gdy cena produktu rośnie, maleje popyt na zasób o niskiej wartości. Można udowodnić ważną zależność: q * /P = -X * /v lub q * /p i = -x * i /v, dla i = 1, …, m. W konsekwencji wzrost ceny produktu prowadzi do wzrostu (zmniejszenia) popytu na określony rodzaj zasobu wtedy i tylko wtedy, gdy wzrost płatności za ten zasób prowadzi do zmniejszenia (wzrostu) produkcji optymalnej. To pokazuje główną właściwość zasobów o niskiej wartości: wzrost płatności za nie prowadzi do wzrostu produkcji! Można jednak ściśle udowodnić istnienie takich zasobów, za które wzrost zapłaty prowadzi do zmniejszenia produkcji (tzn. nie wszystkie zasoby mogą mieć niską wartość).

Można także udowodnić, że x * i /p i są komplementarne, jeśli x * i /p j są wymienne, jeśli x * i /p j > 0. Oznacza to, że dla zasobów komplementarnych wzrost ceny jeden z nich powoduje spadek popytu na inny, a w przypadku zasobów wymiennych wzrost ceny jednego z nich powoduje wzrost popytu na drugi. Przykładowe zasoby uzupełniające: komputer i jego podzespoły, meble i drewno, szampon i odżywka do niego. Przykłady zasobów zamiennych: cukier i substytuty cukru (na przykład sorbitol), arbuzy i melony, majonez i śmietana, masło i margaryna itp.

Przykład 2. Dla firmy z funkcją produkcji Y = 100 K 1/2 L 1/3 (z przykładu 1) znajdź optymalną wielkość, jeśli okres amortyzacji środków trwałych wynosi N = 12 miesięcy, miesięczne wynagrodzenie pracownika wynosi a = 1000 rubli .

Rozwiązanie. Optymalną wielkość produkcji lub wielkość produkcji można znaleźć z zależności (2.1). W tym przypadku produkcję mierzy się w kategoriach pieniężnych, więc v = 1. Koszt miesięcznego utrzymania jednego rubla środków wynosi 1/N, tj. otrzymujemy układ równań

, rozwiązując które znajdujemy odpowiedź:
, L = 8 . 10 3, K = 144. 10 6.

2.6. Zadania

1. Niech funkcją produkcji będzie funkcja Cobba-Douglasa. Aby zwiększyć produkcję o 1%, należy zwiększyć środki trwałe o b = 4% lub liczbę pracowników o c = 3%. Obecnie jeden robotnik wytwarza produkty o wartości M = 10 5 rubli miesięcznie . , a całkowita liczba pracowników wynosi L = 10 4 . Środki trwałe wycenia się na K = 10 6 rubli. Znajdź funkcję produkcji, średnią produktywność kapitału, średnią produktywność pracy, stosunek kapitału do pracy.

2. Grupa „wahadłowców” w liczbie E postanowiła połączyć się z N sprzedawcami. Zysk z dnia pracy (przychód minus wydatki, ale nie wynagrodzenie) wyraża się wzorem Y = 600(EN) 1/3. Wynagrodzenie pracownika wahadłowca wynosi 120 rubli. dziennie, sprzedawca - 80 rubli. w dzień. Znajdź optymalny skład grupy „przewoźników” i sprzedawców, czyli ile „przewoźników” powinno być i ilu sprzedawców.

3. Biznesmen postanowił założyć małą firmę transportową. Po zapoznaniu się ze statystyką zauważył, że przybliżoną zależność dziennych przychodów od liczby samochodów A i liczby N wyraża wzór Y = 900A 1/2 N 1/4. Amortyzacja i inne dzienne wydatki na jedną maszynę wynoszą 400 rubli, dzienna pensja pracownika wynosi 100 rubli. Znajdź optymalną liczbę pracowników i pojazdów.

4. Biznesmen postanowił otworzyć bar piwny. Załóżmy, że zależność przychodów Y (minus koszt piwa i przekąsek) od liczby stołów M i liczby kelnerów F wyraża się wzorem Y = 200M 2/3 F 1/4. Koszt jednego stołu wynosi 50 rubli, pensja kelnera wynosi 100 rubli. Znajdź optymalną wielkość baru, czyli liczbę kelnerów i stołów.

Pojęcie jest znany każdemu człowiekowi, ponieważ rodzi się i żyje wśród zestawu rzeczy charakterystycznych dla kultury materialnej jego społeczeństwa. Nawet cała teoria ekonomii zaczyna się od opisu zestawu podmiotowego, który został podany w pracy, poprzez porównanie liczby i ilości przedmiotów oraz liczby zawodów (technologii), które determinowały zamożność danego państwa. Inna sprawa, że ​​wszystkie dotychczasowe teorie przyjmowały to stanowisko aksjomatycznie, jednak wraz z utratą zainteresowania rozumianym przez nie pojęciem znaczenie zbioru przedmiotowo-technologicznego tylko w połączeniu z oddzielnym .

Dlatego jest to wciąż odkrycie, że PTM związane z, które tylko czasami mogą pokrywać się z gospodarką państwa. Zjawisko zbioru przedmiotowo-technologicznego okazało się, że nie jest to takie proste, jak sądzili ekonomiści. W tym artykule o zestawie przedmiotowo-technologicznym czytelnik znajdzie nie tylko opis zestawu przedmiotowo-technologicznego ale także historia uznania PTM jako miara porównania rozwoju krajów.

zestaw przedmiotowo-technologiczny

Sami ludzie są wytworem dość wysokiego standardu życia, który hominidy stepowe osiągnęły dzięki pojawieniu się w swoich stadach osobników stabilnych. O ile w przypadku naczelnych zbieractwo, jako sposób pozyskiwania zasobów z terytorium kompleksu przyrodniczego, nie wymagało połączonego wysiłku kilku osobników, to polowanie na duże kopytne, które stało się głównym sposobem zapewnienia bytu hominidów w okresie rozwoju stepach, było przedsięwzięciem złożonym i zorganizowanym z podziałem ról pomiędzy kilkoma uczestnikami.

Jednocześnie niewielki rozmiar hominidów stepowych nie pozwolił im zabić dużego zwierzęcia bez narzędzi myśliwskich, nawet w grupie. Jednak na stepach nie wszędzie porozrzucane są kamienie o odpowiednich kształtach i trudno znaleźć zaostrzony kij, dlatego hominidy musiały nosić ze sobą narzędzia myśliwskie. Wraz z ubraniem, które pojawiło się wraz z chodzeniem w pozycji pionowej, czego konsekwencją była utrata włosów, i po prostu ze względu na chłodny klimat stepów, Flocki-TRIBES nabywają pewien zestaw, innymi słowy - wiele- przedmioty, których obecność zapewnia członkom poziom egzystencji wolny od głodu.

Ludzie pojawiają się wraz z luksusem, czyli przedmiotami, na które hominidy wcześniej nie miały czasu – albo po to, aby po prostu przywłaszczyć sobie przedmioty z Natury, które ich interesowały, albo też wytworzyć je pracą, gdyż nie było ani potrzeby, ani możliwości ciągłego noszenia ze sobą ich. Przedmioty luksusowe obejmują wszystkie ulepszone narzędzia wszak człowiekowi, jako jednemu z gatunków ssaków, wystarcza do życia zestaw dóbr niezbędnych do życia, którego produkcja była w pełni zapewniona przez różnorodność przedmiotów, jakie hominidy posiadały w stadach. Jako istota biologiczna człowiek już miliony lat temu mógł i żył powyżej poziomu hominidów z tą samą różnorodnością przedmiotów, ale u ludzi jest to tak silne, że ludzie nie poprzestali na poziomie hominidów, jak powinno być dla gatunku zwierząt, który osiągnął poziom dobrobytu. Ludzie nie mieli możliwości poprawy warunków życia w środowisku naturalnym, dlatego zaczynają tworzyć własne sztuczne środowisko z obiektów pracy.

W plemionach ludzkich wpływy odziedziczone po hominidach nadal działały, w których stadach pierwszy konsument jakiegokolwiek luksusu (piękne pióra jako przykład „uroku”) mógł być tylko liderem. Kiedy przywódca miał dużo piór, oddawał je swoim współpracownikom - członkom o wysokim statusie. Taki praktyka dawania prezentów wśród pozostałych członków plemienia zrodziło to przekonanie, że posiadanie przedmiotu pochodzącego z użytku wodza zwiększa pozycję właściciela w hierarchii. Konsumpcja zgodna ze statusem zmusiła wysokich członków społeczeństwa do żądania rzeczy najbardziej luksusowych.

Jednocześnie wielu członków niższej rangi jest gotowych wiele poświęcić, aby uzyskać rzeczy z użytku hierarchów, ponieważ posiadanie tych rzeczy pozwala im odczuć wzrost swojego statusu przed innymi. Tym samym rzeczy, które po raz pierwszy pojawiły się w codziennym życiu hierarchów, w kopiach, stały się przedmiotem konsumpcji członków o wysokim statusie, a żądza ze strony innych członków o silnym instynkcie hierarchicznym doprowadziła do masowej produkcji, co obniżyło cenę, czyniąc rzecz dostępna dla każdego członka społeczności. Ten wyścig o rzeczy prestiżowe trwa od tysięcy lat, zwiększając różnorodność przedmiotów, tak że obecnie żyjemy w otoczeniu milionów przedmiotów, które czynią życie ludzi TYLKO DUŻO WYGODNIEJSZYM niż styl życia przodków hominidów.

Ale biologicznie człowiek jest wciąż tym samym hominidem z instynktem hierarchicznym, który realizuje w polu zwanym -. Zestaw przedmiotowo-technologiczny to kolejna różnica między ludźmi i zwierzętami – jest to nowe sztuczne siedlisko, które człowiek tworzy dzięki postępowi naukowo-technicznemu, którego siłą napędową jest. Jak widzimy, w ROZWOJU GOSPODARCZYM nie ma nic świętego, jednym z instynktów jest jedynie satysfakcja.

Można powiedzieć, że jest to znane każdemu człowiekowi, ponieważ rodzi się i żyje w otoczeniu mnóstwa przedmiotów, ale idea zestawu obiektowo-technologicznego pojawiła się, gdy zdecydowano porównywać bogactwo różnych państw. I tu zestaw przedmiotowo-technologiczny okazał się wyraźnym wyznacznikiem zamożności czy stopnia rozwoju. W jednym przypadku możliwe jest porównanie asortymentowe – tj. poprzez liczbę różnych obiektów, co pozwala scharakteryzować rozwój tego samego społeczeństwa w pewnym okresie czasu (co jest opisane w temacie postępu naukowo-technicznego). W innym przypadku możemy tak powiedzieć jedno społeczeństwo jest bogatsze od drugiego, ale wtedy trzeba dodać do parametru asortymentu cechę jakości i doskonałości technologicznej porównywanych przedmiotów (jest to badane w temacie -). Ale z reguły w zestawie obiektów bogatszego społeczeństwa pojawiają się zasadniczo nowe przedmioty, do produkcji których wykorzystano nowe technologie. Związek między bardziej zaawansowanymi i zasadniczo nowymi produktami a nowymi technologiami jest dość oczywisty, zatem to, czym dysponuje dane społeczeństwo, zakłada nie tylko listę przedmiotów, ale także zestaw technologii, zezwalając na wytwarzanie tych produktów w sferze produkcyjnej tego społeczeństwa.

W starych teoriach ekonomicznych jednostką gospodarki jest gospodarka suwerennego państwa. Za społeczność, której zbiór przedmiotowo-technologiczny wyznacza zdolność gospodarki danego państwa do wytworzenia wszystkich tych dóbr, uważa się ludność państwa. Zakłada się, że związek z technologią jest mechaniczny - dosłownie, jeśli państwo ma technologie, nic nie stoi na przeszkodzie wytwarzaniu odpowiadających im produktów.

Jednak wraz z pojawieniem się globalnego podziału systemu pracy, nieścisłość w utożsamianiu gospodarki jednego kraju z tą wspólnotą ludzi, która posiada taką cechę jak zestaw przedmiotowo-technologiczny. Faktem jest, że w krajach uczestniczących w międzynarodowym podziale pracy większość komponentów, części i części zamiennych, z których montowane są tutaj gotowe produkty, może nawet nie mogą być produkowane na terytorium tego państwa i odwrotnie, produkowane są tylko części, ale nie powstają produkty końcowe.

Tutaj trzeba to powiedzieć niezgodność DOSTĘPNOŚĆ technologii i MOŻLIWOŚĆ wytwarzania na jej podstawie niektórych produktów - istniała PRZED międzynarodowym podziałem pracy, ale stara nauka ekonomiczna niezgodność Nie zauważyłem, tym bardziej – w rozumieniu poprzednich teorii – że gospodarki wszystkich państw były równoważne (różnicę akceptowano jedynie w wielkości – jedno mogło być większe lub mniejsze od drugiego) i gdy tylko dano technologię, Natychmiast pojawiła się MOŻLIWOŚĆ wyprodukowania czegokolwiek.

Fakt, że praktyka obalała te teoretyczne założenia, nie przeszkodził starej nauce ekonomicznej w podawaniu krajom rozwijającym się recept na budowę obiektów produkcyjnych o dowolnej złożoności technologicznej. Bardzo częstym przykładem jest Rumunia, która zdaniem ekonomistów nie ma przeszkód, aby osiągnąć poziom Stanów Zjednoczonych Ameryki, przynajmniej w sferze produkcji, choć jasne jest, że aby zachować różnorodność przedmiotowo-technologiczną Rumunii, aby osiągnąć wielkość dorównującą USA, konieczne jest zatrudnienie co najmniej takiej samej liczby pracowników przy produkcji. Jeśli jednak asortyment odmian przedmiotowo-technologicznych Stanów Zjednoczonych przekroczy liczbę mieszkańców Rumunii, wówczas nie jest jasne, kto na terytorium Rumunii będzie w stanie wyprodukować tak wiele przedmiotów.

Istnieją obiektywne ograniczenia rozwoju - i najprawdopodobniej sprowadzają się one nie tylko do wielkości podziału systemu pracy, jaki można stworzyć w danym kraju (przykładowo Indie, gdzie teoretycznie populacja pozwala na utworzenie największego na świecie , ale z teoretycznej możliwości - Indie się nie wzbogaciły) oraz w . Przykładowo Finlandii na krótki czas udało się zająć miejsce najbardziej zaawansowanego kraju w produkcji telefonów komórkowych. Ale nie wszystkie wyprodukowane telefony Nokia pozostały w obrębie tematycznego zestawu technologicznego Finlandii; uzupełniły zestawy tematyczne wielu krajów. Dlatego musimy stwierdzić - moc zestawu przedmiotowo-technologicznego O konkretnym produkcie decyduje nie tyle liczba osób zatrudnionych przy produkcji, ile w większym stopniu wielkość rynku (od niej zależy liczba produktów), a co najważniejsze, występowanie masowego efektywnego POPYTU na produkt.

Jak teraz widzisz - koncepcja zbioru przedmiotowo-technologicznego nie jest tak proste jak się wydaje. Po pierwsze, teraz to rozumiemy zestaw przedmiotowo-technologiczny raczej związany z jakimś systemem podziału pracy, a nie z państwem (w sensie, choć historycznie). zestaw przedmiotowo-technologiczny wyprowadzamy ze zbioru celów, który był pierwszy). Taki system może być część wewnętrzna Lub zewnętrzny supersystem w stosunku do populacji. Po drugie, wyobraź sobie zestaw przedmiotowo-technologiczny możemy, jeśli ma przeliczalny asortyment - w przeciwnym razie liczba różnych znajdujących się w nim obiektów jest skończona, co implikuje w danym momencie przeliczalność ograniczona liczba osób w społeczeństwie. Jeśli mamy na myśli posiadanie społeczności PMT, system podziału pracy, to musimy mówić o jego ZAMKNIĘCIU, ponieważ przedmioty ze zbioru są w tym systemie zarówno produkowane, jak i konsumowane.

Twój naukowy czyli zbiór przedmiotowo-technologiczny otrzymuje z otwarciem nowy obiekt w gospodarce, który wywołał , który reprezentuje Zamknięte, w którym produkty, które zostały wyprodukowane, są w nim również konsumowane. Przykład kompleksu reprodukcyjnego znajduje się w, ale poniższe - takie jak i zwłaszcza - mogą mieć kombinację kilku.

Termin zbiór przedmiotowo-technologiczny wykorzystywane już w jego pierwszych pracach, kiedy zainteresował się interakcjami pomiędzy krajami rozwiniętymi i rozwijającymi się. Wtedy zacząłem używać termin zbiór przedmiotowo-technologiczny, jako pewna cecha podziału systemów pracy, który rozwinął się w różnych krajach. Wtedy nie było zbyt jasne, z jakim podmiotem był powiązany PMT, Dlatego termin zbiór przedmiotowo-technologiczny był używany do charakteryzowania stanów podczas ich porównywania. Poszedłem tu za twórcą ekonomii politycznej, który w swojej pracy porównywał dobrobyt krajów poprzez porównanie liczby i wielkości produktów wytwarzanych pracą obywateli.

Kwalifikowalność stosowania Koncepcje PMT do stanu – pozostaje, ale czytelnik musi pamiętać – zestaw przedmiotowo-technologiczny charakteryzuje Zamknięte system podziału pracy, co w niektórych modelach może oznaczać gospodarka jednego niepodległego państwa.

Kolejne pytanie bezpośrednio związane z prognozą teraźniejszości - Czy różnorodność przedmiotowo-technologiczna może się zmniejszyć? Odpowiedź brzmi: oczywiście, że można, chociaż wiele osób uważa, że ​​postęp naukowy i technologiczny może tylko wzrosnąć moc zestawu przedmiotowo-technologicznego, jeśli spojrzysz na to jako na atrybut państwa. Wiadomo, że niektóre przedmioty w naturalny sposób znikają z codziennego życia ludzi, inne są tak ulepszone, że nie przypominają już swojego historycznego pierwowzoru. Ten naturalny proces wiąże się z pojawieniem się nowych technologii, jednak jak pokazała historia Cesarstwa Rzymskiego – zestaw przedmiotowo-technologiczny może się skurczyć wraz z zapomnieniem wszelkich zdobyczy techniki, jeśli zastępujący go system podziału pracy nie jest w stanie zapewnić reprodukcji PTM w całości.

Na początku naszej ery w Europie zaczyna się kryzys demograficzny, przez co plemiona nie mogą się łączyć, a chęć usunięcia nadmiaru populacji prowadzi do zawłaszczania ziemi. Na peryferiach Cesarstwa Rzymskiego zaczynają rozwijać się państwa i okazuje się, że starożytny Rzym (podobnie jak starożytna Grecja) był odgałęzieniem imperium wschodniego na kontynencie europejskim. Rdzenna Europa wkracza w naturalny stan okresu kształtowania się państwa, który w Europie, ze względu na początkowo niewielką liczbę rozwijającej ją ludności, przesunął się wieki później niż miało to miejsce na Wschodzie. Cesarstwo Rzymskie nie miało szans oprzeć się pragnieniu ekspansji plemion, a utrata terytoriów zniszczyła ustalony system podziału pracy, którego upadek doprowadził do zaniku popytu na dawne produkty codziennego użytku Rzymian. Upadek podmiotu był tak wielki, że o wielu rzymskich technologach zapomniano całkowicie i odkryto je na nowo dopiero po tysiącleciu, a poziom życia, jaki istniał w miastach starożytnego Rzymu, w Europie został ponownie osiągnięty dopiero w XIX wieku, m.in. , woda bieżąca na wyższych piętrach budynków wielopiętrowych.

Nakreśliłem główne niuanse tej koncepcji zestaw przedmiotowo-technologiczny, ale musi prowadzić definicja zbioru przedmiotowo-technologicznego z oficjalnego słownika neokonomii:

KONCEPCJA WIELORODNOŚCI PRZEDMIOTU-TECHNOLOGICZNEGO (PTM)

Ten WIELOKROTNOŚĆ PRZEDMIOTU TECHNOLOGICZNEGO składa się z przedmiotów (produktów, części, rodzajów surowców), które faktycznie istnieją w pewnym systemie podziału pracy, to znaczy są przez kogoś produkowane i odpowiednio konsumowane - sprzedawane na rynku lub dystrybuowane. Jeśli chodzi o części, mogą one nie być towarami, ale stanowić część towaru.

Kolejną częścią tego zestawu jest zbiór technologii, czyli metod wytwarzania dóbr sprzedawanych na rynku – z i/lub przy użyciu – elementów wchodzących w skład tego zestawu. Oznacza to znajomość prawidłowych sekwencji działań z materialnymi elementami zestawu.

W każdym okresie, jaki mamy zestaw przedmiotowo-technologiczny(PTM) różnią się mocą. W miarę pogłębiania się podziału pracy PTM się rozwija.

O wadze tej koncepcji decyduje fakt, że PTM determinuje możliwość postępu naukowo-technicznego. Kiedy biedny PTM nowe wynalazki, nawet jeśli da się je wdrożyć w formie prototypów, z reguły nie mają szans na wejście do produkcji seryjnej, jeśli wymagają pewnych produktów lub technologii, które nie są dostępne w PTM. Okazują się po prostu za drogie.

Powiązane materiały

Przed tobą jest tylko fragment rozdziału nr 8 książki Wiek wzrostu, w którym daje opis zestawu przedmiotowo-technologicznego:

Przedstawmy koncepcja zbioru przedmiotowo-technologicznego. Zbiór ten składa się z obiektów (produktów, części, rodzajów surowców), które rzeczywiście istnieją, czyli są przez kogoś produkowane i w związku z tym sprzedawane na rynku. Jeśli chodzi o części, mogą one nie być towarami, ale stanowić część towaru. Na drugą część tego zestawu składają się technologie, czyli metody wytwarzania dóbr sprzedawanych na rynku z i za pomocą elementów wchodzących w skład tego zestawu. To jest znajomość prawidłowych sekwencji działań z materialnymi elementami zestawu.

W każdym okresie czasu mamy inną moc zestaw przedmiotowo-technologiczny (PTM). Nawiasem mówiąc, może nie tylko się rozwijać. Niektóre przedmioty nie są już produkowane, niektóre technologie zostały utracone. Może rysunki i opisy pozostały, ale w rzeczywistości, jeśli nagle zajdzie taka potrzeba, przywrócenie elementów PTM może być złożonym projektem, zasadniczo nowym wynalazkiem. Mówią, że kiedy w naszych czasach próbowano odtworzyć maszynę parową Newcomena, musieli włożyć ogromny wysiłek, aby jakoś to zadziałało. Ale w XVIII wieku setki tych maszyn działały całkiem skutecznie.

Ale generalnie, PTM Na razie się rozwija. Przyjrzyjmy się dwóm skrajnym przypadkom, w jaki sposób może nastąpić ta ekspansja. Pierwsza to czysta innowacja, czyli zupełnie nowy przedmiot stworzony w oparciu o nieznaną wcześniej technologię z zupełnie nowych surowców. Nie wiem, podejrzewam, że taki przypadek w rzeczywistości nigdy nie miał miejsca, ale załóżmy, że tak może być.

Drugi skrajny przypadek ma miejsce, gdy nowe elementy zbioru powstają w wyniku kombinacji elementów już istniejących PTM. Takie przypadki nie są rzadkością. Już Schumpeter postrzegał innowację jako nowe połączenie tego, co już istnieje. Weźmy te same komputery osobiste. W pewnym sensie nie można powiedzieć, że zostały „wynalezione”. Wszystkie ich elementy już istniały i zostały po prostu w określony sposób połączone.

Jeśli możemy tu mówić o jakimkolwiek odkryciu, to o tym, że początkowa hipoteza: „oni to kupią” była w pełni uzasadniona. Chociaż, jeśli się nad tym zastanowić, wcale nie było to oczywiste i właśnie na tym polega wielkość odkrycia.

Jak rozumiemy, większość nowości PTM reprezentują przypadek mieszany: bliżej pierwszego lub drugiego. Wydaje mi się więc, że historyczny trend jest taki, że udział wynalazków bliskich pierwszego typu maleje, a rośnie tych bliskich drugiemu.

Ogólnie w świetle mojej opowieści o urządzeniach z tej serii A i urządzenie B Jest jasne, dlaczego tak się dzieje. Więcej szczegółów można znaleźć w rozdziale 8 książki, klikając przycisk:

Formalizujący zbiór wszystkich technologicznie wykonalnych wektorów produktów netto.

Definicja

Niech gospodarka ma $N$ Dobry W procesie ich produkcji $N$ wydawane są świadczenia. Oznaczmy wektor tych korzyści (kosztów) $X$(wymiar wektorowy $N$). Inny $m=N-n$ towar zostaje wydany w procesie produkcyjnym (wymiar wektora wynosi $M$). Oznaczmy wektor tych korzyści $y$. Następnie wektor $z=(-x,y)$(wymiar - $N$) nazywa się wektorem kwestie netto. Całość wszystkich technologicznie wykonalnych wektorów wyników netto wynosi zestaw technologiczny. W rzeczywistości jest to pewien podzbiór przestrzeni $R^N$.

Dla czytelników, którzy mają trudności z pojęciami wektorowymi, istnieje wiele:

wektor - lista towarów, każdy towar opisany jest jego ilością, zestawem liczb;

wszystkie dobra zużyte w produkcji rejestruje się na początku wektora produkcji netto z ze znakiem minus (-x), wyprodukowane ze znakiem plus (y);

wszystkie kombinacje możliwe do produkcji tworzą zbiór technologiczny (kombinacje produkcyjne).

Nieruchomości

• Niepustość: zbiór technologiczny nie jest pusty. Niepustość oznacza podstawową możliwość produkcji.
• Akceptowalność bezczynności: wektor zerowy należy do zbioru technologicznego. Ta formalna właściwość oznacza, że ​​akceptowalne jest zerowe wyjście przy zerowym wejściu.
• Zamknięcie: zbiór technologiczny zawiera swoją własną granicę, a granica dowolnego ciągu technologicznie wykonalnych wektorów wyników netto również należy do zbioru technologicznego.
• Wolność wydawania: jeśli dany wektor $z$ należy do zbioru technologicznego, wówczas należy do niego dowolny wektor $z"\backslash leqslant\; z$. Oznacza to, że formalnie tę samą wielkość produkcji można wyprodukować po wyższych kosztach.
• Brak „rógu obfitości”: z nieujemnych wektorów produkcji netto do zbioru technologicznego należy tylko wektor zerowy. Oznacza to, że do wytworzenia dodatniej ilości produktu potrzebne są niezerowe koszty.
• Nieodwracalność: dla dowolnego prawidłowego wektora $z$, wektor przeciwny $-z$ nie należy do zbioru technologicznego. Oznacza to, że niemożliwe jest wytworzenie zasobów z wytworzonych produktów w takich samych ilościach, w jakich są one wykorzystywane do wytworzenia tych produktów.
• Addytywność: Suma dwóch prawidłowych wektorów jest również prawidłowym wektorem. Oznacza to, że dozwolona jest kombinacja technologii.
• Właściwości związane ze zwrotami ze skali produkcji:
  • Nierosnące korzyści skali: dla kazdego $\backslash lambda\; \backslash in\; (0;1)$ $\backslash lambda\; z$
  • Niemalejące korzyści skali: dla kazdego $\backslash lambda\; >1$ jeśli z należy do zbioru technologicznego, to $\backslash lambda\; z$ należy również do zestawu technologicznego.
  • Stałe zyski skali: równoczesne spełnienie dwóch poprzednich właściwości, czyli dla dowolnego pozytywu $\backslash lambda$ Jeśli $z$ należy zatem do zbioru technologicznego $\backslash lambda\; z$ należy również do zestawu technologicznego. Właściwość stałego zwrotu oznacza, że ​​zbiór technologiczny jest stożkiem.

8. Wypukły: dla dowolnych dwóch ważnych wektorów $z\_1,\; z\_2$ Wszelkie wektory są również ważne $\backslash alfa\; z\_1\; +(1-\backslash alfa)z\_2$, Gdzie . Właściwość wypukłości oznacza możliwość „mieszania” technologii. W szczególności jest to spełnione, jeśli zestaw technologiczny ma właściwość addytywności i nierosnących efektów skali. Ponadto w tym przypadku zestawem technologicznym jest stożek wypukły.

Efektywna technologia wyznacza granicę

Akceptowalna technologia $z$ zwany skuteczny, jeżeli nie istnieje inna akceptowalna technologia różniąca się od niej $z"\backslash geqslant\; z$. Powstaje wiele skutecznych technologii efektywna granica zestaw technologiczny.

Jeżeli spełniony jest warunek swobody wydatkowania i zamknięcia zestawu technologicznego, wówczas niemożliwe jest nieskończone zwiększanie produkcji jednego dobra bez zmniejszania produkcji innych. W tym przypadku dla dowolnej akceptowalnej technologii $z$ istnieje skuteczna technologia $z"\; \backslash geqslant\; z$. W takim przypadku zamiast całego zestawu technologicznego można zastosować jedynie jego efektywną granicę. Zazwyczaj granicę efektywną można wyznaczyć za pomocą jakiejś funkcji produkcji.

Funkcja produkcji

Rozważmy technologie jednoproduktowe $(-x,\; y)$, Gdzie $y$- wektor wymiarowy $m=1$, A $X$- wektor kosztu wymiaru $N$. Rozważ zestaw $X$, który obejmuje wszystkie możliwe wektory kosztów $X$, czyli dla każdego $X$ istnieje $y$, tak że wektory wyjściowe netto $(-x,\; y)$ należą do zbioru technologicznego.

Funkcja numeryczna $k(x)$ NA $X$ zwany funkcja produkcyjna, jeśli dla każdego podanego wektora kosztów $X$ oznaczający $k(x)$ określa maksymalną wartość dozwolonego wyjścia $y$(tak, że wektor wyjściowy netto (-x,y) należy do zbioru technologicznego).

Dowolny punkt efektywnej granicy zbioru technologicznego można przedstawić w postaci $(-x,f(x))$, a sytuacja jest odwrotna, jeśli $k(x)$ jest funkcją rosnącą (w tym przypadku $y=f(x)$- równanie granicy efektywnej). Jeżeli zbiór technologiczny ma właściwość swobody wydatków i można go opisać funkcją produkcji, to zbiór technologiczny wyznacza się na podstawie nierówności $y\backslash leqslant\; f(x)$.

Aby zbiór technologiczny można było określić za pomocą funkcji produkcji, wystarczy, że dla dowolnego $X$ pęczek $F(x)$ dopuszczalne produkty przy danych kosztach $X$, był ograniczony i zamknięty. W szczególności warunek ten jest spełniony, jeśli zestaw technologiczny ma właściwości domknięcia, nierosnących efektów skali i braku róg obfitości.

Jeżeli zbiór technologiczny jest wypukły, to funkcja produkcji jest wklęsła i ciągła wewnątrz zbioru $X$. Jeżeli spełniony jest warunek swobody wydatków, to $k(x)$ jest funkcją niemalejącą (w tym przypadku wklęsłość funkcji implikuje także wypukłość zbioru technologicznego). Wreszcie, jeśli jednocześnie spełniony jest warunek braku róg obfitości i dopuszczalności bezczynności, to $f(0)=0$.

Jeśli funkcja produkcji jest różniczkowalna, wówczas można zdefiniować lokalną elastyczność skali w następujące równoważne sposoby:

$e(x)=\backslash frac\; (d\; f(\backslash lambda\; x))(d\; \backslash lambda)\; \backslash cdot\; \backslash frac\; (\backslash lambda)(f(x))|\_(\backslash lambda=1)=\backslash frac\; (f"(x\; )x)(f(x))$

Gdzie $f”(x)$ jest wektorem gradientu funkcji produkcji.

Ustaliwszy w ten sposób elastyczność skali można wykazać, że jeżeli zbiór technologiczny ma właściwość stałych efektów skali, to $e(x)=1$, jeżeli korzyści skali maleją $e(x)\backslash leqslant\; 1$, jeśli zwiększamy zwroty, to $e(x)\backslash geqslant\; 1$.

Wyzwanie producenta

Jeśli podany jest wektor ceny $P$, a następnie produkt $pz$ reprezentuje zysk producenta. Zadanie producenta sprowadza się do znalezienia takiego wektora $z$, tak aby dla danego wektora ceny zysk był maksymalny. Oznaczamy zbiór cen towarów, przy których problem ten ma rozwiązanie $P$. Można wykazać, że dla niepustego, zamkniętego zbioru technologicznego z nierosnącymi korzyściami skali problem producenta ma rozwiązanie na zbiorze cen $P$, dając ujemny zysk na tzw recesywny kierunki (są to wektory $z$ zestaw technologiczny, dla którego dla dowolnego nieujemnego $\backslash lambda$ wektory $\backslash lambda\; z$ również należą do zbioru technologicznego). W szczególności, jeśli zestaw kierunków recesywnych pokrywa się z $R^N\_-$, wówczas istnieje rozwiązanie dla dowolnych cen dodatnich.

Funkcja zysku $\backslash pypeć)$ zdefiniowana jako $pz(p)$, Gdzie $z\; p)$- rozwiązanie problemu producenta przy danych cenach (jest to tzw. funkcja podaży, ewentualnie wielowartościowa). Funkcja zysku jest dodatnio jednorodna (pierwszego stopnia), tj $\backslash pi(\backslash lambda\; p)=\backslash lambda\; \backslash pi(p)$ i ciągły od wewnątrz $P$. Jeśli zbiór technologiczny jest ściśle wypukły, to funkcja zysku jest również różniczkowalna w sposób ciągły. Jeżeli zbiór technologiczny jest domknięty, to funkcja zysku jest wypukła na dowolnym wypukłym podzbiorze cen akceptowalnych $P$.

Funkcja zdania (wyświetlacz) $z\; p)$ jest dodatnio jednorodny stopnia zerowego. Jeśli zbiór technologiczny jest ściśle wypukły, to funkcja podaży jest jednowartościowa na P i ciągła wewnątrz $P$. Jeśli funkcja podaży jest dwukrotnie różniczkowalna, to macierz Jakobiana tej funkcji jest symetryczna i nieujemnie określona.

Jeśli zbiór technologiczny jest reprezentowany przez funkcję produkcji, wówczas zysk definiuje się jako $pf(x)-wx$, Gdzie $w$- wektor cen czynników produkcji, $P$ w tym przypadku cena wytworzonych produktów. Następnie dla dowolnego rozwiązania wewnętrznego (czyli należącego do wnętrza $X$) problem producenta jest sprawiedliwy: równość produktu krańcowego każdego czynnika z jego względną ceną, czyli w postaci wektorowej $f"(x)=w/p$.

Jeśli podana jest funkcja zysku $\backslash pypeć)$, który jest funkcją dwukrotnie różniczkowalną w sposób ciągły, wypukłą i dodatnio jednorodną (pierwszego stopnia), to zbiór technologiczny można odtworzyć jako zbiór zawierający dla dowolnego nieujemnego wektora ceny $P$ czyste wektory uwalniania $z$, spełniając nierówność $pz\backslash leqslant\backslash pi(p)$. Można także wykazać, że jeśli funkcja podaży jest dodatnio jednorodna stopnia zerowego, a macierz jej pierwszych pochodnych jest ciągła, symetryczna i nieujemnie określona, ​​to odpowiadająca jej funkcja zysku spełnia powyższe wymagania (prawda jest również odwrotna).

Zobacz też

Napisz recenzję o artykule "Zestaw technologiczny"

Literatura

Wyciąg charakteryzujący zestaw technologiczny

Nagle wstał książę Hipolit i zatrzymując wszystkich gestami i prosząc, aby usiedli, powiedział:
- Ach! aujourd"hui on m"a raconte une anegdote moscovite, Charmante: il faut que je vous en regale. Vous m"excusez, vicomte, il faut que je raconte en russe. Autrement on ne sentira pas le sel de l"histoire. [Dziś opowiedziano mi uroczy moskiewski żart; musisz ich tego nauczyć. Przepraszam, wicehrabio, powiem to po rosyjsku, inaczej stracimy cały sens żartu.]
A książę Hipolit zaczął mówić po rosyjsku z akcentem, jakim mówią Francuzi, gdy są w Rosji od roku. Wszyscy zamilkli: książę Hipolit z ożywieniem i pilnością zażądał zwrócenia uwagi na swoją historię.
– W Moskwie jest jedna pani, une dame. I jest bardzo skąpa. Potrzebowała dwóch lokajów do powozu. I bardzo wysoki. To jej się podobało. I miała une femme de chambre [pokojówkę], wciąż bardzo wysoką. Powiedziała…
Tutaj książę Hipolit zaczął myśleć, najwyraźniej mając trudności z myśleniem logicznym.
„Powiedziała... tak, powiedziała: «dziewczyno (a la femme de chambre), załóż livree [liberię] i chodź ze mną za powozem, faire des Visites”. [odwiedzaj.]
Tutaj książę Hipolit parskał i śmiał się znacznie wcześniej niż jego słuchacze, co wywarło na narratorze niekorzystne wrażenie. Jednak wielu, w tym starsza pani i Anna Pawłowna, uśmiechnęło się.
- Poszła. Nagle zerwał się silny wiatr. Dziewczyna zgubiła kapelusz, a jej długie włosy zostały zaczesane...
Tutaj nie mógł już wytrzymać i zaczął się gwałtownie śmiać i poprzez ten śmiech powiedział:
- I cały świat wiedział...
To koniec żartu. Chociaż nie było jasne, dlaczego to mówił i dlaczego trzeba to mówić po rosyjsku, Anna Pawłowna i inni docenili towarzyską uprzejmość księcia Hipolita, który tak miło zakończył nieprzyjemny i niewdzięczny żart pana Pierre'a. Rozmowa po anegdocie rozpadła się na małą, nic nie znaczącą pogawędkę o przyszłości i minionym balu, występie, o tym, kiedy i gdzie się zobaczą.

Rozważmy gospodarkę z l dóbr. W przypadku konkretnej firmy naturalne jest traktowanie niektórych z tych dóbr jako czynników produkcji, a innych jako produktów wyjściowych. Należy zaznaczyć, że podział ten jest raczej arbitralny, gdyż przedsiębiorstwo ma wystarczającą swobodę w wyborze asortymentu wytwarzanych produktów i struktury kosztów. Opisując technologię, będziemy rozróżniać produkcję i koszty, przedstawiając te ostatnie jako produkcję ze znakiem minus. Dla wygody prezentacji technologii produkty, które nie są konsumowane ani produkowane przez przedsiębiorstwo, będą klasyfikowane jako jego produkcja, a wielkość produkcji tych produktów będzie uważana za równą 0. Co do zasady sytuacja, w której produkt wytworzony przez przedsiębiorstwo nie można wykluczyć, że firma jest przez nią również zużywana w procesie produkcyjnym. W tym przypadku będziemy brać pod uwagę jedynie produkcję netto tego produktu, tj. jego produkcję pomniejszoną o koszty.

Niech liczba czynników produkcji będzie równa n, a liczba rodzajów produkcji równa m, tak że l = m + n. Oznaczmy wektor kosztów (w wartości bezwzględnej) przez r Rn + , a wielkość produkcji przez y Rm + . Nazwiemy wektor (−r, yo ) wektor problemów netto. Zbiór wszystkich technicznie wykonalnych wektorów wyników netto y = (−r, yo ) wynosi zestaw technologiczny Y. Zatem w rozpatrywanym przypadku dowolny zbiór technologiczny jest podzbiorem Rn − × Rm +.

Niniejszy opis produkcji ma charakter ogólny. Jednocześnie nie można trzymać się ścisłego podziału towarów na produkty i czynniki produkcji: to samo dobro można wydawać jedną technologią, a wytwarzać inną. W tym przypadku Y Rl.

Opiszmy właściwości zbiorów technologicznych, za pomocą których zwykle opisuje się określone klasy technologii.

1. Niepustość

Zbiór technologiczny Y jest niepusty.

Właściwość ta oznacza zasadniczą możliwość prowadzenia działalności produkcyjnej.

2. Zamknięcie

Zbiór technologiczny Y jest zamknięty.

Ta właściwość jest raczej techniczna; oznacza to, że zbiór technologiczny zawiera swoją granicę, a granica dowolnego ciągu technicznie wykonalnych wektorów wyjściowych netto jest również technicznie wykonalnym wektorem wyjściowym netto.

3. Swoboda wydawania:

jeśli y Y i y0 6 y, to y0 Y.

Właściwość tę można interpretować jako zdolność do wytworzenia tej samej ilości produktu, ale przy wyższych kosztach, lub mniejszej produkcji przy tych samych kosztach.

4. Żadnych „rógów obfitości” („bez darmowego lunchu”)

jeśli y Y i y > 0, to y = 0.

Właściwość ta oznacza, że ​​aby wytworzyć produkt w dodatniej ilości, wymagane są koszty w niezerowej objętości.

Ryż. 4.1. Różnorodność technologiczna przy rosnących korzyściach skali.

5. Nierosnące korzyści skali:

jeśli y Y i y0 = λy, gdzie 0< λ < 1, тогда y0 Y.

Właściwość tę nazywa się czasem (nie do końca) malejącymi korzyściami skali. W przypadku dwóch dóbr, gdzie jedno jest wydawane, a drugie produkowane, malejące zyski oznaczają, że (maksymalna możliwa) średnia produktywność nakładów nie wzrasta. Jeśli w ciągu godziny można rozwiązać co najwyżej 5 podobnych problemów z mikroekonomii, to w ciągu dwóch godzin, w warunkach malejących przychodów, nie można rozwiązać więcej niż 10 takich problemów.

50 . Niemalejące korzyści skali:

jeśli y Y i y0 = λy, gdzie λ > 1, to y0 Y.

W przypadku dwóch dóbr, gdzie jedno jest wydawane, a drugie produkowane, rosnące zyski oznaczają, że (maksymalna możliwa) średnia produktywność nakładów nie maleje.

500. Stałe korzyści skali to sytuacja, gdy zbiór technologiczny spełnia jednocześnie warunki 5 i 50, tj.

jeśli y Y i y0 = λy0 , to y0 Y λ > 0.

Z geometrycznego punktu widzenia stałe zwroty skali oznaczają, że Y jest stożkiem (prawdopodobnie nie zawierającym 0).

W przypadku dwóch dóbr, z których jedno stanowi wkład, a drugie jest produkowane, stała produkcja oznacza, że ​​średnia produktywność wkładu nie zmienia się wraz ze zmianą produkcji.

Ryż. 4.2. Zestaw technologii wypukłych z malejącymi efektami skali

Właściwość wypukłości oznacza możliwość „mieszania” technologii w dowolnych proporcjach.

7. Nieodwracalność

jeśli y Y i y 6= 0, to (-y) / Y.

Załóżmy, że z kilograma stali można wyprodukować 5 łożysk. Nieodwracalność oznacza, że ​​z 5 łożysk nie da się wyprodukować kilograma stali.

8. Addytywność.

jeśli y Y i y0 Y , to y + y0 Y.

Właściwość addytywności oznacza zdolność łączenia technologii.

9. Dopuszczalność bezczynności:

Twierdzenie 44:

1) Z nierosnących korzyści skali i addytywności zestawu technologicznego wynika jego wypukłość.

2) Nierosnące korzyści skali wynikają z wypukłości zestawu technologicznego i dopuszczalności bezczynności. (Nie zawsze jest odwrotnie: w przypadku nierosnących zysków technologia może nie być wypukła, patrz ryc. 4.3 .)

3) Zbiór technologiczny ma właściwości addytywne i nierosnące

powraca do skali wtedy i tylko wtedy, gdy jest to stożek wypukły.

Ryż. 4.3. Niewypukły zbiór technologiczny z nierosnącymi korzyściami skali.

Nie wszystkie kwalifikujące się technologie są równie ważne z ekonomicznego punktu widzenia. Wśród dozwolonych wyróżniają się te specjalne wydajne technologie. Dopuszczalna technologia y nazywana jest zwykle efektywną, jeśli nie ma innej (różnej od niej) dopuszczalnej technologii y0 takiej, że y0 > y. Oczywiście z tej definicji efektywności wynika, że ​​wszystkie dobra są w pewnym sensie pożądane. Skuteczne technologie stanowią efektywna granica zestaw technologiczny. Pod pewnymi warunkami możliwe staje się wykorzystanie w analizie granicy efektywnej zamiast całego zestawu technologicznego. W tym przypadku ważne jest, aby dla każdej dopuszczalnej technologii y istniała technologia efektywna y0 taka, że ​​y0 > y. Aby warunek ten był spełniony wymagane jest zamknięcie zbioru technologicznego oraz to, aby w obrębie zbioru technologicznego nie było możliwości zwiększania produkcji jednego dobra w nieskończoność bez zmniejszania produkcji innych dóbr. Można wykazać, że jeśli technologiczne

Ryż. 4.4. Efektywna technologia wyznacza granicę

zbiór ma właściwość swobody wydatków, wówczas efektywna granica jednoznacznie definiuje odpowiedni zbiór technologiczny.

Kursy wprowadzające i średniozaawansowane w opisie zachowania producenta opierają się na reprezentacji jego produkcji poprzez funkcję produkcji. Istotnym pytaniem jest, w jakich warunkach na planie produkcyjnym taka reprezentacja jest możliwa. Choć możliwe jest podanie szerszej definicji funkcji produkcji, w dalszej części będziemy mówić jedynie o technologiach „jednoproduktowych”, czyli m = 1.

Niech R będzie rzutem zbioru technologicznego Y na przestrzeń wektorów kosztów, tj.

R = ( r Rn | yo R: (-r, yo ) Y ) .

Definicja 37:

Wywołuje się funkcję f(·): R 7 → R funkcja produkcyjna, reprezentujący technologię Y, jeśli dla każdego r R wartość f(r) jest wartością następującego problemu:

tak → maks

(-r, yo) Y.

Należy zauważyć, że dowolny punkt efektywnej granicy zbioru technologicznego ma postać (−r, f(r)). Odwrotna sytuacja ma miejsce, jeśli f(r) jest funkcją rosnącą. W tym przypadku yo = f(r) jest efektywnym równaniem granicznym.

Poniższe twierdzenie podaje warunki, w jakich można przedstawić zbiór technologiczny? funkcja produkcyjna.

Twierdzenie 45:

Niech dla zbioru technologicznego Y R × (−R) dla dowolnego r R zbioru

fa (r) = ( yo | (−r, yo ) Y )

zamknięte i ograniczone od góry. Następnie Y można przedstawić za pomocą funkcji produkcji.

Uwaga: Spełnienie warunków tego stwierdzenia można zagwarantować np. jeśli zbiór Y jest domknięty i ma właściwości nierosnących przychodów skali oraz brak róg obfitości.

Twierdzenie 46:

Niech zbiór Y będzie domknięty i będzie miał właściwości nierosnących efektów skali i braku róg obfitości. Następnie dla dowolnego r R zbiór

fa (r) = ( yo | (−r, yo ) Y )

zamknięte i ograniczone od góry.

Dowód: Zamknięcie zbiorów F (r) wynika bezpośrednio z domknięcia Y. Pokażmy, że F (r) są ograniczone z góry. Niech tak nie będzie i dla pewnego r R istnieje

istnieje nieskończenie rosnący ciąg (yn) taki, że yn F (r). Następnie, ze względu na nierosnące korzyści skali (−r/yn , 1) Y. Dlatego (ze względu na domknięcie) (0, 1) Y , co zaprzecza brakowi róg obfitości.

Należy także zauważyć, że jeśli zbiór technologiczny Y spełnia hipotezę swobodnych wydatków i reprezentuje ją funkcja produkcji f(·), to zbiór Y opisuje się zależnością:

Y = ( (-r, yo ) | yo 6 f(r), r R ) .

Ustalmy teraz pewne zależności pomiędzy właściwościami zbioru technologicznego a reprezentującą go funkcją produkcji.

Twierdzenie 47:

Niech zbiór technologiczny Y będzie taki, że dla każdego r R określona będzie funkcja produkcji f(·). Wtedy prawdą jest, co następuje.

1) Jeśli zbiór Y jest wypukły, to funkcja f(·) jest wklęsła.

2) Jeśli zbiór Y spełnia hipotezę swobodnego wydatkowania, to zachodzi także sytuacja odwrotna, tj. jeśli funkcja f(·) jest wklęsła, to zbiór Y jest wypukły.

3) Jeśli Y jest wypukłe, to f(·) jest ciągłe wewnątrz zbioru R.

4) Jeśli zbiór Y ma własność swobody wydawania, to funkcja f(·) nie maleje.

5) Jeśli Y ma tę właściwość, że nie ma róg obfitości, to f(0) 6 0.

6) Jeżeli zbiór Y ma właściwość dopuszczalnej bezczynności, to f(0) > 0.

Dowód: (1) Niech r0 , r00 R. Wtedy (−r0 , f(r0 )) Y i (−r00 , f(r00 )) Y , oraz

(−αr0 − (1 − α)r00 , αf(r0 ) + (1 − α)f(r00 )) Y α ,

ponieważ zbiór Y jest wypukły. Następnie z definicji funkcji produkcji

αf(r0 ) + (1 – α)f(r00 ) 6 f(αr0 + (1 – α)r00 ),

co oznacza, że ​​f(·) jest wklęsła.

(2) Ponieważ zbiór Y ma właściwość darmowych wydatków, zbiór Y (aż do znaku wektora kosztów) pokrywa się z jego podgrafem. A podgraf funkcji wklęsłej jest zbiorem wypukłym.

(3) Fakt do udowodnienia wynika z faktu, że funkcja wklęsła jest wewnętrznie ciągła.

wielkość jego dziedziny definicji.

(4) Niech r 00 > r0 (r0 , r00 R). Ponieważ (−r0 , f(r0 )) Y , to z własności swobody wydatkowania (−r00 , f(r0 )) Y . Zatem z definicji funkcji produkcji f(r00) > f(r0), czyli f(·) nie maleje.

(5) Nierówność f(0) > 0 przeczy założeniu o braku róg obfitości. Zatem f(0) 6 0.

(6) Przy założeniu dopuszczalności bezczynności (0, 0) Y . Tak z definicji

Zakładając istnienie funkcji produkcji, właściwości technologii można opisać bezpośrednio w kategoriach tej funkcji. Zademonstrujmy to na przykładzie tzw. elastyczności skali.

Niech funkcja produkcji będzie różniczkowalna. W punkcie r, gdzie f(r) > 0, definiujemy

lokalna elastyczność skali e(r) jako:

Jeśli w pewnym momencie e(r) jest równe 1, to uważa się, że w tym momencie stałe zyski skali, jeśli więcej niż 1 to rosnące zyski, mniej - malejące korzyści skali. Powyższą definicję można przepisać w następujący sposób:

P. ∂f(r) e(r) = ja ∂r ja r ja .

Twierdzenie 48:

Niech zbiór technologiczny Y będzie opisany funkcją produkcji f(·) i

V w punkcie r mamy e(r) > 0. Wtedy prawdą jest, co następuje:

1) Jeżeli zbiór technologiczny Y ma właściwość malejących korzyści skali, to e(r) 6 1.

2) Jeżeli zbiór technologiczny Y ma właściwość zwiększania korzyści skali, to e(r) > 1.

3) Jeśli Y ma właściwość stałych zysków skali, to e(r) = 1.

Dowód: (1) Rozważmy ciąg (λn ) (0< λn < 1), такую что λn → 1. Тогда (−λn r, λn f(r)) Y , откуда следует, что f(λn r) >λnf(r). Zapiszmy tę nierówność jako:

W formularzu można podać zestawy technologiczne Y ukryte funkcje produkcji G(·). Z definicji funkcję g(·) nazywa się ukrytą funkcją produkcji, jeśli technologia y należy do zbioru technologicznego Y wtedy i tylko wtedy, gdy g(y) >

Należy pamiętać, że taką funkcję zawsze można znaleźć. Na przykład odpowiednią funkcją jest taka, że ​​g(y) = 1 dla y Y i g(y) = −1 dla y / Y . Należy jednak pamiętać, że funkcja ta nie jest różniczkowalna. Ogólnie rzecz biorąc, nie każdy zbiór technologiczny można opisać jedną różniczkowalną ukrytą funkcją produkcji i takie zbiory technologiczne nie są czymś wyjątkowym. W szczególności zbiory technologiczne rozważane na początkowych kursach mikroekonomii są często takie, że ich opis wymaga dwóch (lub więcej) nierówności z funkcjami różniczkowalnymi, gdyż konieczne jest uwzględnienie dodatkowych ograniczeń nieujemności czynników produkcji. Aby uwzględnić takie ograniczenia, można użyć ukrytego wektora