Współrzędne i wektory. Kompleksowy przewodnik (2020)

Nazywa się odciętą i osią rzędnych współrzędne wektor. Współrzędne wektora są zwykle podawane w formularzu (x, y), a sam wektor jako: =(x, y).

Wzór na wyznaczanie współrzędnych wektorowych dla problemów dwuwymiarowych.

W przypadku problemu dwuwymiarowego wektor o znanej wartości współrzędne punktów A(x 1; y 1) I B(X 2 ; y 2 ) można obliczyć:

= (x 2 - x 1; y 2 - y 1).

Wzór na wyznaczanie współrzędnych wektorowych dla zagadnień przestrzennych.

W przypadku problemu przestrzennego wektor o znanej wartości współrzędne punktów A (x 1; y 1;z 1 ) oraz b (X 2 ; y 2 ; z 2 ) można obliczyć korzystając ze wzoru:

= (X 2 - X 1 ; y 2 - y 1 ; z 2 - z 1 ).

Współrzędne zapewniają kompleksowy opis wektora, ponieważ możliwe jest skonstruowanie samego wektora przy użyciu współrzędnych. Znając współrzędne, łatwo jest obliczyć i długość wektora. (Właściwość 3 poniżej).

Właściwości współrzędnych wektorowych.

1. Dowolny równe wektory w jednym układzie współrzędnych równe współrzędne.

2. Współrzędne wektory współliniowe proporcjonalny. Pod warunkiem, że żaden z wektorów nie jest zerem.

3. Kwadrat długości dowolnego wektora jest równy sumie jego kwadratów współrzędne.

4.Podczas operacji mnożenie wektorów NA prawdziwy numer każda jego współrzędna jest mnożona przez tę liczbę.

5. Dodając wektory, obliczamy sumę odpowiednich współrzędne wektora.

6. Produkt skalarny dwa wektory są równe sumie iloczynów odpowiadających im współrzędnych.

12. Długość wektora, długość odcinka, kąt między wektorami, warunek prostopadłości wektorów.

Wektor - Jest to skierowany odcinek łączący dwa punkty w przestrzeni lub na płaszczyźnie. Wektory są zwykle oznaczane małymi literami lub punktami początkowymi i końcowymi. Zwykle na górze znajduje się kreska.

Na przykład wektor skierowany od punktu A do momentu B, można wyznaczyć A ,

Wektor zerowy 0 lub 0 - Jest to wektor, którego punkty początkowe i końcowe pokrywają się, tj. A = B. Stąd, 0 = – 0 .

Długość wektora (moduł)A jest długością reprezentującego go odcinka AB, oznaczone przez |A | . W szczególności | 0 | = 0.

Wektory nazywane są współliniowy, jeśli ich skierowane odcinki leżą na liniach równoległych. Wektory współliniowe A I B są wyznaczone A || B .

Nazywa się trzy lub więcej wektorów współpłaszczyznowy, jeśli leżą w tej samej płaszczyźnie.

Dodatek wektorowy. Ponieważ wektory są skierowany segmentów, wówczas można dokonać ich dodania geometrycznie. (Dodawanie algebraiczne wektorów opisano poniżej, w paragrafie „Wektory ortogonalne jednostkowe”). Udawajmy, że

A = AB I B = PŁYTA CD,

następnie wektor __ __

A + B = AB+ płyta CD

jest wynikiem dwóch operacji:

A)transfer równoległy jeden z wektorów tak, aby jego punkt początkowy pokrywał się z punktem końcowym drugiego wektora;

B)dodatek geometryczny, tj. konstruowanie wynikowego wektora przechodzącego od punktu początkowego ustalonego wektora do punktu końcowego przeniesionego wektora.

Odejmowanie wektorów. Operację tę sprowadza się do poprzedniej poprzez zastąpienie wektora odejmowania jego przeciwnym: A – B =A + (– B ) .

Prawa dodawania.

I. A + B = B + A (Prawo przejściowe).

II. (A + B ) + C = A + (B + C ) (Prawo kombinacyjne).

III. A + 0 = A .

IV. A + (– A ) = 0 .

Prawa mnożenia wektora przez liczbę.

I. 1 · A = A , 0 · A = 0 , M· 0 = 0 , (– 1) · A = – A .

II. MA = A M,| MA | = | M | · | | .

III. m (nA ) = (min)A . (C o m b e t a l

prawo mnożenia przez liczbę).

IV. (m+n) A = MA + rzA , (DYSTRYBUCJA

M(A + B ) = MA + mB . prawo mnożenia przez liczbę).

Iloczyn skalarny wektorów. __ __

Kąt między niezerowymi wektorami AB I płyta CD– jest to kąt utworzony przez wektory, gdy są przenoszone równolegle, aż punkty zrównają się A I C. Iloczyn skalarny wektorówA I B nazywa się liczbą równą iloczyn ich długości i cosinus kąta między nimi:

Jeżeli jeden z wektorów jest równy zero, to ich iloczyn skalarny, zgodnie z definicją, jest równy zero:

(A, 0 ) = ( 0 , B ) = 0 .

Jeżeli oba wektory są niezerowe, wówczas cosinus kąta między nimi oblicza się ze wzoru:

Iloczyn skalarny ( za, za ), równy | A | 2, tzw kwadrat skalarny. Długość wektora A i jego kwadrat skalarny są powiązane wzorem:

Iloczyn skalarny dwóch wektorów:

- pozytywnie, jeśli kąt między wektorami pikantny;

- negatywny, jeśli kąt między wektorami tępy.

Iloczyn skalarny dwóch niezerowych wektorów jest wtedy równy zero i tylko wtedy, gdy kąt między nimi jest prosty, tj. gdy te wektory są prostopadłe (ortogonalne):

Właściwości iloczynu skalarnego. Dla dowolnych wektorów A, pne i dowolny numer M obowiązują następujące zależności:

I. (A, B ) = (b, a ) . (Prawo przejściowe)

II. (MA, B ) = M(A, B ) .

III.(a+b, c ) = (A, C ) + (B, C ). (Prawo rozdzielcze)

Jednostkowe wektory ortogonalne. Można wprowadzić dowolny prostokątny układ współrzędnych jednostkowe wektory ortogonalne paramiI , J I k powiązane z osiami współrzędnych: I – z osią X, J – z osią Y I k – z osią Z. Zgodnie z tą definicją:

(I , J ) = (I , k ) = (J , k ) = 0,

| ja | =| j | =| k | = 1.

Dowolny wektor A można wyrazić za pomocą tych wektorów w unikalny sposób: A = Xja+ yj+ zk . Inna forma nagrywania: A = (x, y, z). Tutaj X, y, z - współrzędne wektor A w tym układzie współrzędnych. Zgodnie z ostatnią zależnością i własnościami jednostkowych wektorów ortogonalnych ja, j , k Iloczyn skalarny dwóch wektorów można wyrazić inaczej.

Pozwalać A = (x, y, z); B = (ty, v, w). Następnie ( A, B ) = xu + yw + zw.

Iloczyn skalarny dwóch wektorów jest równy sumie iloczynów odpowiednich współrzędnych.

Długość wektora (moduł) A = (X, y, z ) jest równe:

Ponadto mamy teraz możliwość prowadzenia algebraiczny operacje na wektorach, czyli dodawanie i odejmowanie wektorów, można wykonywać za pomocą współrzędnych:

+ b = (x + u, y + v, z + w) ;

A – b = (X–ty, y– v, z–w) .

Iloczyn krzyżowy wektorów. Grafika wektorowa [A, B ] wektoryA IB (w tej kolejności) nazywa się wektorem:

Istnieje inny wzór na długość wektora [ a, b ] :

| [ a, b ] | = | A | | B | grzech( a, b ) ,

tj. długość ( moduł ) iloczyn wektorowy wektorówA IB jest równy iloczynowi długości (modułów) tych wektorów i sinusa kąta między nimi. Innymi słowy: długość (moduł) wektora[ a, b ] liczbowo równy obszarowi równoległoboku zbudowanego na wektorach A IB .

Właściwości produktu wektorowego.

I. Wektor [ a, b ] prostopadle (prostokątny) oba wektory A I B .

(Udowodnij to, proszę!).

II.[ A, B ] = – [b, a ] .

III. [ MA, B ] = M[A, B ] .

IV. [ a+b, c ] = [ A, C ] + [ B, C ] .

V. [ A, [ pne ] ] = B (a, c ) – C (a, b ) .

VI. [ [ A, B ] , C ] = B (a, c ) – A (pne ) .

Warunek konieczny i wystarczający kolinearności wektory A = (x, y, z) I B = (ty, v, w) :

Warunek konieczny i wystarczający współpłaszczyznowości wektory A = (x, y, z), B = (ty, v, w) I C = (p, q, r) :

PRZYKŁAD Dane są wektory: A = (1, 2, 3) i B = (– 2 , 0 ,4).

Oblicz ich iloczyny punktowe i krzyżowe oraz kąt

pomiędzy tymi wektorami.

Rozwiązanie Stosując odpowiednie wzory (patrz wyżej) otrzymujemy:

A). iloczyn skalarny:

(a, b ) = 1 · (– 2) + 2 · 0 + 3 · 4 = 10 ;

B). produkt wektorowy:

Znalezienie współrzędnych wektora jest dość powszechnym warunkiem wielu problemów matematycznych. Możliwość znalezienia współrzędnych wektorowych pomoże Ci w innych, bardziej złożonych problemach o podobnej tematyce. W tym artykule przyjrzymy się wzorowi na znalezienie współrzędnych wektorowych i kilku problemom.

Znajdowanie współrzędnych wektora w płaszczyźnie

Co to jest samolot? Płaszczyzna jest uważana za przestrzeń dwuwymiarową, przestrzeń o dwóch wymiarach (wymiar x i wymiar y). Na przykład papier jest płaski. Powierzchnia stołu jest płaska. Każda figura nieobjętościowa (kwadrat, trójkąt, trapez) jest również płaszczyzną. Tak więc, jeśli w opisie problemu musisz znaleźć współrzędne wektora leżącego na płaszczyźnie, natychmiast pamiętamy o x i y. Współrzędne takiego wektora można znaleźć w następujący sposób: Współrzędne AB wektora = (xB – xA; yB – xA). Wzór pokazuje, że należy odjąć współrzędne punktu początkowego od współrzędnych punktu końcowego.

Przykład:

• Vector CD ma współrzędne początkowe (5; 6) i końcowe (7; 8).
• Znajdź współrzędne samego wektora.
• Korzystając z powyższego wzoru otrzymujemy następujące wyrażenie: CD = (7-5; 8-6) = (2; 2).
• Zatem współrzędne wektora CD = (2; 2).
• Odpowiednio współrzędna x jest równa dwa, współrzędna y również wynosi dwa.

Znajdowanie współrzędnych wektora w przestrzeni

Czym jest przestrzeń? Przestrzeń jest już wymiarem trójwymiarowym, w którym podane są 3 współrzędne: x, y, z. Jeśli chcesz znaleźć wektor leżący w przestrzeni, wzór praktycznie się nie zmienia. Dodawana jest tylko jedna współrzędna. Aby znaleźć wektor, należy odjąć współrzędne początku od współrzędnych końca. AB = (xB – xA; yB – yA; zB – zA)

Przykład:

• Wektor DF ma początkowy (2; 3; 1) i końcowy (1; 5; 2).
• Stosując powyższy wzór otrzymujemy: Współrzędne wektora DF = (1-2; 5-3; 2-1) = (-1; 2; 1).
• Pamiętaj, że wartość współrzędnej może być ujemna, nie ma problemu.

Jak znaleźć współrzędne wektora online?

Jeśli z jakiegoś powodu nie chcesz samodzielnie znajdować współrzędnych, możesz skorzystać z kalkulatora online. Aby rozpocząć, wybierz wymiar wektorowy. Wymiar wektora odpowiada za jego wymiary. Wymiar 3 oznacza, że ​​wektor znajduje się w przestrzeni, wymiar 2 oznacza, że ​​znajduje się na płaszczyźnie. Następnie wpisz współrzędne punktów w odpowiednie pola, a program sam wyznaczy współrzędne wektora. Wszystko jest bardzo proste.

Po kliknięciu przycisku strona automatycznie przewinie się w dół i wyświetli poprawną odpowiedź wraz z krokami rozwiązania.

Warto dobrze przestudiować ten temat, ponieważ pojęcie wektora występuje nie tylko w matematyce, ale także w fizyce. Studenci Wydziału Informatyki również zajmują się tematyką wektorów, ale na bardziej złożonym poziomie.

1. Definicja wektora. Długość wektora. Kolinearność, współpłaszczyznowość wektorów.

Wektor jest segmentem skierowanym. Długość lub moduł wektora to długość odpowiedniego skierowanego odcinka.

Moduł wektorowy A oznaczony przez . Wektor A nazywa się jednostką jeśli . Wektory nazywamy współliniowymi, jeśli są równoległe do tej samej prostej. Wektory nazywane są współpłaszczyznowymi, jeśli są równoległe do tej samej płaszczyzny.

2. Mnożenie wektora przez liczbę. Właściwości operacji.

Mnożenie wektora przez liczbę daje wektor skierowany przeciwnie, który jest dwa razy dłuższy. Mnożenie wektora przez liczbę w postaci współrzędnych odbywa się poprzez pomnożenie wszystkich współrzędnych przez tę liczbę:

Na podstawie definicji otrzymujemy wyrażenie na moduł wektora pomnożony przez liczbę:

Podobnie jak w przypadku liczb, operację dodania wektora do siebie można zapisać poprzez pomnożenie przez liczbę:

Odejmowanie wektorów można przepisać poprzez dodawanie i mnożenie:

Bazując na tym, że mnożenie przez nie zmienia długości wektora, a jedynie kierunek i biorąc pod uwagę definicję wektora, otrzymujemy:

3. Dodawanie wektorów, odejmowanie wektorów.

W reprezentacji współrzędnych wektor sumy uzyskuje się przez zsumowanie odpowiednich współrzędnych terminów:

Aby geometrycznie skonstruować wektor sumy, stosuje się różne reguły (metody), ale wszystkie dają ten sam wynik. Zastosowanie tej lub innej reguły jest uzasadnione rozwiązanym problemem.

Reguła trójkąta

Zasada trójkąta wynika w najbardziej naturalny sposób z rozumienia wektora jako przeniesienia. Oczywiste jest, że skutek zastosowania kolejno dwóch przeniesień w pewnym momencie będzie taki sam, jak zastosowanie jednego przeniesienia na raz, co odpowiada tej regule. Aby dodać dwa wektory zgodnie z regułą trójkąt oba te wektory są przenoszone równolegle do siebie, tak że początek jednego z nich pokrywa się z końcem drugiego. Następnie wektor sumy jest dany przez trzeci bok powstałego trójkąta, a jego początek pokrywa się z początkiem pierwszego wektora, a jego koniec z końcem drugiego wektora.

Zasadę tę można bezpośrednio i naturalnie uogólnić na dodanie dowolnej liczby wektorów, zamieniając się w zasada linii łamanej:

Reguła wielokąta

Początek drugiego wektora pokrywa się z końcem pierwszego, początek trzeciego z końcem drugiego i tak dalej, suma wektorów jest wektorem, którego początek pokrywa się z początkiem pierwszego, i koniec pokrywający się z końcem th (to znaczy jest przedstawiony przez skierowany odcinek zamykający linię przerywaną) . Nazywana także regułą linii łamanej.

Reguła równoległoboku

Aby dodać dwa wektory i zgodnie z regułą równoległobok oba te wektory są przenoszone równolegle do siebie, tak że ich początki pokrywają się. Następnie wektor sumy jest dany przez przekątną zbudowanego na nich równoległoboku, zaczynając od ich wspólnego początku. (Łatwo zauważyć, że ta przekątna pokrywa się z trzecim bokiem trójkąta, korzystając z reguły trójkąta).

Reguła równoległoboku jest szczególnie wygodna, gdy istnieje potrzeba przedstawienia wektora sumy bezpośrednio zastosowanego do tego samego punktu, do którego zastosowano oba terminy - to znaczy zobrazowania wszystkich trzech wektorów jako mających wspólny początek.

Moduł sumy wektorów

Moduł sumy dwóch wektorów można obliczyć za pomocą twierdzenie cosinus:

Gdzie jest cosinus kąta między wektorami.

Jeśli wektory zostaną przedstawione zgodnie z zasadą trójkąta i kąt zostanie przyjęty zgodnie z rysunkiem - pomiędzy bokami trójkąta - co nie pokrywa się ze zwykłą definicją kąta między wektorami, a zatem z kątem w powyższym formuła, wówczas ostatni termin uzyskuje znak minus, co odpowiada twierdzeniu o cosinus w jego bezpośrednim sformułowaniu.

Dla sumy dowolnej liczby wektorów obowiązuje podobny wzór, w którym wyrazów z cosinusem jest więcej: dla każdej pary wektorów ze zbioru zsumowanego istnieje jeden taki wyraz. Przykładowo dla trzech wektorów formuła wygląda następująco:

Odejmowanie wektorów

Dwa wektory i wektor ich różnicy

Aby uzyskać różnicę w postaci współrzędnych, należy odjąć odpowiednie współrzędne wektorów:

Aby otrzymać wektor różnicowy, łączymy początki wektorów i początek wektora będzie końcem, a koniec będzie końcem. Jeśli napiszemy to za pomocą punktów wektorowych, to.

Moduł różnicy wektorów

Trzy wektory, podobnie jak przy dodawaniu, tworzą trójkąt, a wyrażenie na moduł różnicowy jest podobne:

gdzie jest cosinusem kąta między wektorami

Różnica w stosunku do wzoru na moduł sumy znajduje się w znaku przed cosinusem, w tym przypadku należy uważnie monitorować, który kąt jest przyjmowany (wersja wzoru na moduł sumy z kątem pomiędzy boki trójkąta przy sumowaniu według reguły trójkąta nie różnią się formą od tego wzoru na moduł różnicy, ale trzeba mieć. Należy pamiętać, że tutaj brane są pod uwagę różne kąty: w przypadku sumy kąt wynosi przy przenoszeniu wektora na koniec wektora, przy poszukiwaniu modelu różnicowego przyjmuje się kąt między wektorami przyłożonymi do jednego punktu, wyrażenie na moduł sumy przy użyciu tego samego kąta, co w podanym wyrażeniu na moduł różnicy różni się znakiem przed cosinusem).

Przede wszystkim musimy zrozumieć samo pojęcie wektora. Aby wprowadzić definicję wektora geometrycznego, przypomnijmy sobie, czym jest odcinek. Wprowadźmy następującą definicję.

Definicja 1

Odcinek to część linii, która ma dwie granice w postaci punktów.

Segment może mieć 2 kierunki. Aby oznaczyć kierunek, jedną z granic odcinka nazwiemy jego początkiem, a drugą końcem. Kierunek jest wskazywany od początku do końca segmentu.

Definicja 2

Odcinkiem wektorowym lub skierowanym będzie odcinek, dla którego wiadomo, która z granic odcinka jest uważana za początek, a która za jego koniec.

Oznaczenie: Dwuliterowe: $\overline(AB)$ – (gdzie $A$ to początek, a $B$ to koniec).

Jedną małą literą: $\overline(a)$ (ryc. 1).

Wprowadźmy teraz bezpośrednio pojęcie długości wektorów.

Definicja 3

Długość wektora $\overline(a)$ będzie długością odcinka $a$.

Notacja: $|\overline(a)|$

Pojęcie długości wektora kojarzone jest na przykład z takim pojęciem, jak równość dwóch wektorów.

Definicja 4

Dwa wektory nazwiemy równymi, jeśli spełniają dwa warunki: 1. Są współkierunkowe; 1. Ich długości są równe (ryc. 2).

Aby zdefiniować wektory należy podać układ współrzędnych i określić współrzędne wektora w wprowadzonym układzie. Jak wiemy, dowolny wektor można rozłożyć do postaci $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$, gdzie $m$ i $n$ są liczbami rzeczywistymi, a $\overline (i )$ i $\overline(j)$ są wektorami jednostkowymi odpowiednio na osi $Ox$ i $Oy$.

Definicja 5

Współrzędne tego wektora we wprowadzonym układzie współrzędnych nazwiemy współczynnikami rozwinięcia wektora $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$. Matematycznie:

$\overline(c)=(m,n)$

Jak znaleźć długość wektora?

Aby wyprowadzić wzór na obliczenie długości dowolnego wektora ze względu na jego współrzędne, należy rozważyć następujący problem:

Przykład 1

Dane: wektor $\overline(α)$ o współrzędnych $(x,y)$. Znajdź: długość tego wektora.

Wprowadźmy na płaszczyźnie kartezjański układ współrzędnych $xOy$. Odsuńmy $\overline(OA)=\overline(a)$ od początków wprowadzonego układu współrzędnych. Skonstruujmy rzuty $OA_1$ i $OA_2$ skonstruowanego wektora odpowiednio na osie $Ox$ i $Oy$ (rys. 3).

Skonstruowany przez nas wektor $\overline(OA)$ będzie wektorem promienia punktu $A$, zatem będzie miał współrzędne $(x,y)$, co oznacza

$=x$, $[OA_2]=y$

Teraz możemy łatwo znaleźć wymaganą długość, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, otrzymujemy

$|\overline(α)|^2=^2+^2$

$|\overline(α)|^2=x^2+y^2$

$|\overline(α)|=\sqrt(x^2+y^2)$

Odpowiedź: $\sqrt(x^2+y^2)$.

Wniosek: Aby znaleźć długość wektora, którego współrzędne są podane, należy znaleźć pierwiastek kwadratowy z sumy tych współrzędnych.

Przykładowe zadania

Przykład 2

Znajdź odległość pomiędzy punktami $X$ i $Y$, które mają współrzędne odpowiednio: $(-1,5)$ i $(7,3)$.

Dowolne dwa punkty można łatwo powiązać z pojęciem wektora. Rozważmy na przykład wektor $\overline(XY)$. Jak już wiemy, współrzędne takiego wektora można znaleźć odejmując odpowiednie współrzędne punktu początkowego ($X$) od współrzędnych punktu końcowego ($Y$). Rozumiemy to