Jak określić oczekiwanie na mat. Oczekiwanie ciągłej zmiennej losowej

– liczba chłopców na 10 noworodków.

Jest rzeczą oczywistą, że liczba ta nie jest z góry znana, a wśród kolejnych dziesięciorga urodzonych dzieci mogą znajdować się:

Albo chłopcy - jeden i tylko jeden z wymienionych opcji.

A żeby utrzymać formę, trochę wychowania fizycznego:

– odległość skoku w dal (w niektórych jednostkach).

Nawet mistrz sportu nie jest w stanie tego przewidzieć :)

Jednak Twoje hipotezy?

2) Ciągła zmienna losowa – akceptuje Wszystko wartości liczbowe z jakiegoś skończonego lub nieskończonego przedziału.

Notatka : skróty DSV i NSV są popularne w literaturze edukacyjnej

Najpierw przeanalizujmy dyskretną zmienną losową, a następnie - ciągły.

Prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej

- Ten korespondencja między możliwymi wartościami tej wielkości a ich prawdopodobieństwami. Najczęściej prawo jest zapisane w tabeli:

Termin ten pojawia się dość często wiersz dystrybucja, ale w niektórych sytuacjach brzmi to dwuznacznie, dlatego będę się trzymał „prawa”.

I teraz bardzo ważny punkt: od zmiennej losowej Koniecznie zaakceptuje jedna z wartości, następnie tworzą się odpowiednie zdarzenia pełna grupa a suma prawdopodobieństw ich wystąpienia jest równa jeden:

lub, jeśli napisano w formie skróconej:

I tak na przykład prawo rozkładu prawdopodobieństwa punktów wyrzuconych na kostce ma następującą postać:

Bez komentarza.

Możesz mieć wrażenie, że dyskretna zmienna losowa może przyjmować tylko „dobre” wartości całkowite. Rozwiejmy złudzenia – mogą być dowolne:

Przykład 1

W niektórych grach obowiązuje następujące prawo dotyczące zwycięskiej dystrybucji:

...o takich zadaniach pewnie marzyłeś już od dawna :) Zdradzę Ci sekret - ja też. Zwłaszcza po zakończeniu pracy nad teoria pola.

Rozwiązanie: ponieważ zmienna losowa może przyjmować tylko jedną z trzech wartości, powstają odpowiednie zdarzenia pełna grupa, co oznacza, że ​​suma ich prawdopodobieństw jest równa jedności:

Demaskowanie „partyzanta”:

– zatem prawdopodobieństwo wygrania jednostek konwencjonalnych wynosi 0,4.

Kontrola: tego właśnie musieliśmy się upewnić.

Odpowiedź:

Nierzadko zdarza się, że musisz samodzielnie sporządzić prawo dystrybucyjne. Do tego używają klasyczna definicja prawdopodobieństwa, twierdzenia o mnożeniu/dodawaniu dotyczące prawdopodobieństw zdarzeń i inne chipsy tervera:

Przykład 2

Pudełko zawiera 50 losów na loterię, spośród których 12 wygrywa, a 2 z nich wygrywają po 1000 rubli, a pozostałe po 100 rubli. Narysuj prawo rozkładu zmiennej losowej – wielkości wygranej, jeśli z pudełka zostanie wylosowany jeden kupon.

Rozwiązanie: jak zauważyłeś, zwykle umieszczane są wartości zmiennej losowej w kolejności rosnącej. Dlatego zaczynamy od najmniejszych wygranych, czyli rubli.

Takich biletów jest w sumie 50 – 12 = 38 i wg klasyczna definicja:
– prawdopodobieństwo, że losowo wylosowany los okaże się przegrany.

W innych przypadkach wszystko jest proste. Prawdopodobieństwo wygrania rubli wynosi:

Sprawdź: – i to jest szczególnie przyjemny moment takich zadań!

Odpowiedź: pożądane prawo podziału wygranych:

Poniższe zadanie należy rozwiązać samodzielnie:

Przykład 3

Prawdopodobieństwo, że strzelec trafi w cel wynosi . Narysuj prawo rozkładu zmiennej losowej – liczby trafień po 2 strzałach.

...Wiedziałem, że za nim tęskniliście :) Pamiętajmy Twierdzenia o mnożeniu i dodawaniu. Rozwiązanie i odpowiedź znajdują się na końcu lekcji.

Prawo dystrybucji całkowicie opisuje zmienną losową, ale w praktyce może być przydatne (a czasem bardziej przydatne) poznanie tylko części z niej charakterystyki numeryczne .

Oczekiwanie dyskretnej zmiennej losowej

W prostych słowach tak jest średnia wartość oczekiwana gdy testowanie jest powtarzane wiele razy. Niech zmienna losowa przyjmuje wartości z prawdopodobieństwem odpowiednio. Wtedy matematyczne oczekiwanie tej zmiennej losowej jest równe suma produktów wszystkie jego wartości do odpowiednich prawdopodobieństw:

lub upadł:

Obliczmy na przykład matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej – liczby punktów wyrzuconych na kostce:

Przypomnijmy sobie teraz naszą hipotetyczną grę:

Powstaje pytanie: czy w ogóle opłaca się grać w tę grę? ...kto ma jakieś wrażenia? Nie można więc tego powiedzieć „od ręki”! Ale na to pytanie można łatwo odpowiedzieć, obliczając oczekiwanie matematyczne, zasadniczo - Średnia ważona według prawdopodobieństwa wygranej:

Zatem matematyczne oczekiwanie na tę grę przegrywający.

Nie ufaj swoim wrażeniom – zaufaj liczbom!

Tak, tutaj można wygrać 10, a nawet 20-30 razy z rzędu, ale na dłuższą metę czeka nas nieunikniona ruina. I nie radzę Ci grać w takie gry :) No, może tylko dla zabawy.

Z powyższego wynika, że ​​oczekiwanie matematyczne nie jest już wartością LOSOWĄ.

Zadanie twórcze do niezależnych badań:

Przykład 4

Pan X gra w europejską ruletkę według następującego systemu: stale stawia 100 rubli na „czerwone”. Narysuj prawo rozkładu zmiennej losowej – jej wygranej. Oblicz matematyczne oczekiwanie wygranej i zaokrąglij je do najbliższej kopiejki. Ile przeciętny Czy gracz przegrywa za każdą postawioną setkę?

Odniesienie : Ruletka europejska zawiera 18 czerwonych, 18 czarnych i 1 zielony sektor („zero”). Jeśli pojawi się „czerwony”, gracz otrzymuje podwójną stawkę, w przeciwnym razie trafia ona do dochodu kasyna

Istnieje wiele innych systemów ruletki, dla których możesz tworzyć własne tabele prawdopodobieństwa. Ale tak jest w przypadku, gdy nie potrzebujemy żadnych praw podziału ani tabel, ponieważ ustalono z całą pewnością, że matematyczne oczekiwania gracza będą dokładnie takie same. Jedyną rzeczą, która zmienia się z systemu na system, jest

Każda indywidualna wartość jest całkowicie zdeterminowana przez jej funkcję rozkładu. Również do rozwiązywania problemów praktycznych wystarczy znać kilka charakterystyk numerycznych, dzięki czemu możliwe staje się przedstawienie w krótkiej formie głównych cech zmiennej losowej.

Ilości te obejmują przede wszystkim wartość oczekiwana I dyspersja .

Wartość oczekiwana— średnia wartość zmiennej losowej w teorii prawdopodobieństwa. Oznaczone jako .

Najprościej mówiąc, matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej X(w), znajdź jak całkaLebesgue'a w odniesieniu do miary prawdopodobieństwa R oryginalny przestrzeń prawdopodobieństwa

Można również znaleźć matematyczne oczekiwanie wartości jako Całka Lebesgue’a z X poprzez rozkład prawdopodobieństwa RX wielkie ilości X:

gdzie jest zbiorem wszystkich możliwych wartości X.

Matematyczne oczekiwanie funkcji od zmiennej losowej X znalezione poprzez dystrybucję RX. Na przykład, Jeśli X- zmienna losowa o wartościach w i k(x)- jednoznaczne Borelafunkcjonować X , To:

Jeśli F(x)- funkcja dystrybucyjna X, to oczekiwanie matematyczne jest reprezentowalne całkaLebesgue – Stieltjes (lub Riemann – Stieltjes):

w tym przypadku całkowalność X Pod względem ( * ) odpowiada skończoności całki

W konkretnych przypadkach, jeśli X ma rozkład dyskretny z wartościami prawdopodobnymi x k, k=1, 2, . , a następnie prawdopodobieństwa

Jeśli X ma rozkład absolutnie ciągły z gęstością prawdopodobieństwa p(x), To

w tym przypadku istnienie oczekiwania matematycznego jest równoznaczne z absolutną zbieżnością odpowiedniego szeregu lub całki.

Własności oczekiwań matematycznych zmiennej losowej.

• Matematyczne oczekiwanie na stałą wartość jest równe tej wartości:

C- stała;

• M=C.M[X]

• Oczekiwanie matematyczne sumy losowo wybranych wartości jest równe sumie ich oczekiwań matematycznych:

• Oczekiwanie matematyczne iloczynu niezależnych zmiennych losowo wybranych = iloczyn ich oczekiwań matematycznych:

M=M[X]+M[Y]

Jeśli X I Y niezależny.

jeśli szereg jest zbieżny:

Algorytm obliczania oczekiwań matematycznych.

Właściwości dyskretnych zmiennych losowych: wszystkie ich wartości można przenumerować liczbami naturalnymi; przypisz każdej wartości niezerowe prawdopodobieństwo.

1. Pomnóż pary jeden po drugim: x ja NA Liczba Pi.

2. Dodaj iloczyn każdej pary x i p ja.

Na przykład, Dla N = 4 :

Funkcja rozkładu dyskretnej zmiennej losowej stopniowo wzrasta gwałtownie w tych punktach, których prawdopodobieństwa mają znak dodatni.

Przykład: Znajdź oczekiwanie matematyczne, korzystając ze wzoru.

Oczekiwanie to rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej

Oczekiwanie matematyczne, definicja, oczekiwanie matematyczne dyskretnych i ciągłych zmiennych losowych, próbka, oczekiwanie warunkowe, obliczenia, własności, problemy, szacowanie oczekiwań, rozproszenie, dystrybuanta, wzory, przykłady obliczeń

Rozwiń zawartość

Zwiń zawartość

Oczekiwanie matematyczne jest definicją

Jedno z najważniejszych pojęć statystyki matematycznej i teorii prawdopodobieństwa, charakteryzujące rozkład wartości lub prawdopodobieństw zmiennej losowej. Zazwyczaj wyrażana jako średnia ważona wszystkich możliwych parametrów zmiennej losowej. Szeroko stosowane w analizie technicznej, badaniu szeregów liczbowych oraz badaniu procesów ciągłych i czasochłonnych. Jest ważny w ocenie ryzyka, przewidywaniu wskaźników cen podczas handlu na rynkach finansowych i jest wykorzystywany w opracowywaniu strategii i metod taktyki gier w teorii hazardu.

Oczekiwanie matematyczne jestśrednia wartość zmiennej losowej, rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej jest rozważany w teorii prawdopodobieństwa.

Oczekiwanie matematyczne jest miara średniej wartości zmiennej losowej w teorii prawdopodobieństwa. Oczekiwanie zmiennej losowej X oznaczony przez M(x).

Oczekiwanie matematyczne jest

Oczekiwanie matematyczne jest w teorii prawdopodobieństwa średnia ważona wszystkich możliwych wartości, jakie może przyjąć zmienna losowa.

Oczekiwanie matematyczne jest suma iloczynów wszystkich możliwych wartości zmiennej losowej i prawdopodobieństw tych wartości.

Oczekiwanie matematyczne jestśrednia korzyść z danej decyzji, pod warunkiem, że taką decyzję można rozpatrywać w ramach teorii wielkich liczb i dużych odległości.

Oczekiwanie matematyczne jest w teorii hazardu oznacza średnią kwotę wygranych, jaką gracz może zarobić lub stracić w przypadku każdego zakładu. W żargonie hazardowym nazywa się to czasami „przewagą gracza” (jeśli jest pozytywna dla gracza) lub „przewagą kasyna” (jeśli jest ujemna dla gracza).

Oczekiwanie matematyczne jest procent zysku na wygraną pomnożony przez średni zysk minus prawdopodobieństwo straty pomnożone przez średnią stratę.

Matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej w teorii matematyki

Jedną z ważnych liczbowych cech zmiennej losowej jest jej oczekiwanie matematyczne. Wprowadźmy pojęcie układu zmiennych losowych. Rozważmy zbiór zmiennych losowych, które są wynikami tego samego eksperymentu losowego. Jeśli jest jedną z możliwych wartości układu, wówczas zdarzenie odpowiada pewnemu prawdopodobieństwu, które spełnia aksjomaty Kołmogorowa. Funkcja zdefiniowana dla dowolnych możliwych wartości zmiennych losowych nazywana jest prawem rozkładu łącznego. Funkcja ta umożliwia obliczenie prawdopodobieństwa dowolnych zdarzeń z. W szczególności wspólne prawo dystrybucji zmiennych losowych i, które przyjmują wartości ze zbioru i, jest dane przez prawdopodobieństwa.

Termin „oczekiwanie matematyczne” został wprowadzony przez Pierre’a Simona Marquisa de Laplace’a (1795) i wywodzi się z koncepcji „oczekiwanej wartości wygranej”, która po raz pierwszy pojawiła się w XVII wieku w teorii hazardu w dziełach Blaise’a Pascala i Christiaana. Huygensa. Pierwszego jednak pełnego teoretycznego zrozumienia i oceny tej koncepcji dokonał Pafnuty Lwowicz Czebyszew (połowa XIX w.).

Prawo rozkładu losowych zmiennych liczbowych (funkcja rozkładu i szereg dystrybucyjny lub gęstość prawdopodobieństwa) całkowicie opisuje zachowanie zmiennej losowej. Jednak w przypadku wielu problemów wystarczy znać pewne cechy liczbowe badanej wielkości (na przykład jej średnią wartość i możliwe odchylenie od niej), aby odpowiedzieć na postawione pytanie. Głównymi cechami liczbowymi zmiennych losowych są matematyczne oczekiwanie, wariancja, moda i mediana.

Matematyczne oczekiwanie dyskretnej zmiennej losowej jest sumą iloczynów jej możliwych wartości i odpowiadających im prawdopodobieństw. Czasami oczekiwanie matematyczne nazywa się średnią ważoną, ponieważ jest w przybliżeniu równe średniej arytmetycznej zaobserwowanych wartości zmiennej losowej w dużej liczbie eksperymentów. Z definicji oczekiwania matematycznego wynika, że ​​jego wartość jest nie mniejsza niż najmniejsza możliwa wartość zmiennej losowej i nie większa niż największa. Matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej jest zmienną nielosową (stałą).

Oczekiwanie matematyczne ma proste znaczenie fizyczne: jeśli umieścisz masę jednostkową na linii prostej, umieszczając w niektórych punktach określoną masę (dla rozkładu dyskretnego) lub „posmarowując” ją określoną gęstością (dla rozkładu absolutnie ciągłego) , wówczas punkt odpowiadający oczekiwaniu matematycznemu będzie współrzędną „środek ciężkości” jest prosty.

Wartość średnia zmiennej losowej to pewna liczba, która jest niejako jej „przedstawicielem” i zastępuje ją w mniej więcej przybliżonych obliczeniach. Kiedy mówimy: „średni czas pracy lampy wynosi 100 godzin” lub „średni punkt trafienia jest przesunięty względem celu o 2 m w prawo”, wskazujemy na pewną charakterystykę liczbową zmiennej losowej opisującej jej położenie na osi liczbowej, tj. „charakterystyka pozycji”.

Spośród cech pozycji w teorii prawdopodobieństwa najważniejszą rolę odgrywa matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej, które czasami nazywane jest po prostu średnią wartością zmiennej losowej.

Rozważ zmienną losową X, mający możliwe wartości x1, x2, …, xn z prawdopodobieństwami p1, p2, …, pkt. Musimy scharakteryzować jakąś liczbą położenie wartości zmiennej losowej na osi x, biorąc pod uwagę fakt, że wartości te mają różne prawdopodobieństwa. Naturalne jest w tym celu wykorzystanie tzw. „średniej ważonej” wartości xi, a każdą wartość xi podczas uśredniania należy uwzględnić z „wagą” proporcjonalną do prawdopodobieństwa tej wartości. W ten sposób obliczymy średnią zmiennej losowej X, które oznaczamy M |X|:

Ta średnia ważona nazywana jest matematycznym oczekiwaniem zmiennej losowej. Tym samym wprowadziliśmy pod uwagę jedno z najważniejszych pojęć teorii prawdopodobieństwa – pojęcie oczekiwań matematycznych. Matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej jest sumą iloczynów wszystkich możliwych wartości zmiennej losowej i prawdopodobieństw tych wartości.

Niech się wyprodukuje N niezależne eksperymenty, w każdym z nich wartość X przyjmuje określoną wartość. Załóżmy, że wartość x1 pojawił się m1 razy, wartość x2 pojawił się m2 czasy, ogólne znaczenie xi pojawiał się wiele razy. Obliczmy średnią arytmetyczną zaobserwowanych wartości wartości X, która w przeciwieństwie do oczekiwań matematycznych M|X| oznaczamy M*|X|:

Wraz ze wzrostem liczby eksperymentów N częstotliwości Liczba Pi zbliży się (zbiegnie pod względem prawdopodobieństwa) do odpowiednich prawdopodobieństw. W konsekwencji średnia arytmetyczna zaobserwowanych wartości zmiennej losowej M|X| wraz ze wzrostem liczby eksperymentów będzie zbliżał się (zbiegał się pod względem prawdopodobieństwa) do swoich matematycznych oczekiwań. Sformułowany powyżej związek średniej arytmetycznej z oczekiwaniem matematycznym stanowi treść jednej z form prawa wielkich liczb.

Wiemy już, że wszystkie formy prawa wielkich liczb stwierdzają, że niektóre średnie są stabilne w dużej liczbie eksperymentów. Mówimy tutaj o stabilności średniej arytmetycznej z serii obserwacji tej samej wielkości. Przy niewielkiej liczbie eksperymentów średnia arytmetyczna ich wyników jest losowa; przy wystarczającym wzroście liczby eksperymentów staje się „prawie nielosowy” i stabilizując się, zbliża się do stałej wartości - oczekiwania matematycznego.

Stabilność średnich w dużej liczbie eksperymentów można łatwo zweryfikować eksperymentalnie. Przykładowo ważąc ciało w laboratorium na wagach precyzyjnych, w wyniku ważenia za każdym razem uzyskujemy nową wartość; Aby zmniejszyć błąd obserwacji, ważymy ciało kilka razy i wykorzystujemy średnią arytmetyczną uzyskanych wartości. Łatwo zauważyć, że wraz ze wzrostem liczby doświadczeń (ważeń) średnia arytmetyczna coraz mniej reaguje na ten wzrost i przy odpowiednio dużej liczbie doświadczeń praktycznie przestaje się zmieniać.

Należy zauważyć, że najważniejsza cecha położenia zmiennej losowej – oczekiwanie matematyczne – nie istnieje dla wszystkich zmiennych losowych. Można ułożyć przykłady takich zmiennych losowych, dla których nie istnieje oczekiwanie matematyczne, ponieważ odpowiadająca im suma lub całka jest rozbieżna. Przypadki takie nie mają jednak większego znaczenia dla praktyki. Zazwyczaj zmienne losowe, z którymi mamy do czynienia, mają ograniczony zakres możliwych wartości i oczywiście mają matematyczne oczekiwanie.

Oprócz najważniejszych cech położenia zmiennej losowej – oczekiwania matematycznego – w praktyce czasami wykorzystuje się inne cechy położenia, w szczególności modę i medianę zmiennej losowej.

Modą zmiennej losowej jest jej najbardziej prawdopodobna wartość. Termin „najbardziej prawdopodobna wartość” ściśle rzecz biorąc odnosi się tylko do wielkości nieciągłych; dla wielkości ciągłej modą jest wartość, przy której gęstość prawdopodobieństwa jest maksymalna. Na rysunkach przedstawiono odpowiednio tryb nieciągłej i ciągłej zmiennej losowej.

Jeśli wielokąt rozkładu (krzywa rozkładu) ma więcej niż jedno maksimum, rozkład nazywa się „multimodalnym”.

Czasami istnieją rozkłady, które mają minimum pośrodku, a nie maksimum. Takie rozkłady nazywane są „antymodalnymi”.

W ogólnym przypadku tryb i oczekiwanie matematyczne zmiennej losowej nie pokrywają się. W szczególnym przypadku, gdy rozkład jest symetryczny i modalny (tj. ma modę) i istnieje oczekiwanie matematyczne, to pokrywa się on z modą i środkiem symetrii rozkładu.

Często wykorzystuje się inną charakterystykę pozycji – tzw. medianę zmiennej losowej. Cecha ta jest zwykle stosowana tylko dla ciągłych zmiennych losowych, chociaż można ją formalnie zdefiniować dla zmiennej nieciągłej. Z geometrycznego punktu widzenia mediana jest odciętą punktu, w którym obszar objęty krzywą rozkładu jest podzielony na pół.

W przypadku symetrycznego rozkładu modalnego mediana pokrywa się z matematycznym oczekiwaniem i modą.

Oczekiwanie matematyczne to średnia wartość zmiennej losowej – numeryczna charakterystyka rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej. Najogólniej mówiąc, matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej X(w) definiuje się jako całkę Lebesgue’a względem miary prawdopodobieństwa R w pierwotnej przestrzeni prawdopodobieństwa:

Oczekiwanie matematyczne można również obliczyć jako całkę Lebesgue’a X poprzez rozkład prawdopodobieństwa pikseli wielkie ilości X:

Pojęcie zmiennej losowej o nieskończonym oczekiwaniu matematycznym można zdefiniować w sposób naturalny. Typowym przykładem są czasy powrotu niektórych przypadkowych spacerów.

Za pomocą oczekiwania matematycznego wyznacza się wiele cech liczbowych i funkcjonalnych rozkładu (jako oczekiwanie matematyczne odpowiednich funkcji zmiennej losowej), np. funkcję generującą, funkcję charakterystyczną, momenty dowolnego rzędu, w szczególności dyspersję, kowariancję .

Oczekiwanie matematyczne jest cechą lokalizacji wartości zmiennej losowej (średniej wartości jej rozkładu). W tym charakterze oczekiwanie matematyczne służy jako „typowy” parametr rozkładu i jego rola jest podobna do roli momentu statycznego – współrzędnej środka ciężkości rozkładu masy – w mechanice. Od innych cech lokalizacji, za pomocą których rozkład jest opisywany w sposób ogólny - mediany, mody, oczekiwanie matematyczne, różni się tym, że ma większą wartość, jaką ona i odpowiadająca jej cecha rozpraszania - dyspersja - mają w twierdzeniach granicznych teorii prawdopodobieństwa. Znaczenie oczekiwań matematycznych najpełniej ujawnia prawo wielkich liczb (nierówność Czebyszewa) i wzmocnione prawo wielkich liczb.

Oczekiwanie dyskretnej zmiennej losowej

Niech będzie jakaś zmienna losowa, która może przyjąć jedną z kilku wartości liczbowych (na przykład liczba punktów przy rzucie kostką może wynosić 1, 2, 3, 4, 5 lub 6). Często w praktyce dla takiej wartości pojawia się pytanie: jaką wartość przyjmuje „średnio” przy dużej liczbie testów? Jaki będzie nasz średni dochód (lub strata) z każdej z ryzykownych transakcji?

Powiedzmy, że jest jakiś rodzaj loterii. Chcemy zrozumieć, czy opłaca się w nim uczestniczyć (lub nawet uczestniczyć wielokrotnie, regularnie), czy nie. Załóżmy, że co czwarty los jest zwycięzcą, nagroda wyniesie 300 rubli, a cena każdego losu wyniesie 100 rubli. Tak właśnie się dzieje przy nieskończenie dużej liczbie udziałów. W trzech czwartych przypadków przegramy, każde trzy straty będą kosztować 300 rubli. W co czwartym przypadku wygramy 200 rubli. (nagroda minus koszt), czyli za cztery uczestnictwo tracimy średnio 100 rubli, za jedno - średnio 25 rubli. W sumie średnia stawka naszej ruiny wyniesie 25 rubli za bilet.

Rzucamy kostką. Jeśli nie jest to oszustwo (bez przesuwania środka ciężkości itp.), to ile średnio będziemy mieli punktów na raz? Ponieważ każda opcja jest równie prawdopodobna, po prostu bierzemy średnią arytmetyczną i otrzymujemy 3,5. Skoro jest to ŚREDNIA, to nie ma się co oburzać, że żaden konkretny rzut nie da 3,5 punktu – cóż, ta kostka nie ma ścianki z taką liczbą!

Podsumujmy teraz nasze przykłady:

Spójrzmy na właśnie podany obraz. Po lewej stronie znajduje się tabela rozkładu zmiennej losowej. Wartość X może przyjąć jedną z n możliwych wartości (pokazanych w górnym wierszu). Nie może być innych znaczeń. Poniżej każdej możliwej wartości zapisane jest jej prawdopodobieństwo. Po prawej stronie znajduje się wzór, w którym M(X) nazywa się oczekiwaniem matematycznym. Znaczenie tej wartości jest takie, że przy dużej liczbie testów (z dużą próbą) średnia wartość będzie zgodna z tymi samymi oczekiwaniami matematycznymi.

Wróćmy jeszcze raz do tej samej kostki do gry. Matematyczne oczekiwanie liczby punktów przy rzucie wynosi 3,5 (oblicz to sam, korzystając ze wzoru, jeśli mi nie wierzysz). Powiedzmy, że rzuciłeś nim kilka razy. Wyniki wyniosły 4 i 6. Średnia wyniosła 5, czyli daleko od 3,5. Rzucili jeszcze raz, dostali 3, czyli średnio (4 + 6 + 3)/3 = 4,3333... Trochę daleko od matematycznych oczekiwań. A teraz wykonaj szalony eksperyment - rzuć kostką 1000 razy! I nawet jeśli średnia nie wyniesie dokładnie 3,5, to będzie blisko tej wartości.

Obliczmy matematyczne oczekiwanie dla opisanej powyżej loterii. Płytka będzie wyglądać następująco:

Wtedy oczekiwanie matematyczne będzie takie, jak ustaliliśmy powyżej:

Inna sprawa, że ​​trudno byłoby to zrobić „na palcach” bez formuły, gdyby było więcej możliwości. Cóż, powiedzmy, że będzie 75% losów przegranych, 20% losów zwycięskich i 5% losów szczególnie zwycięskich.

Teraz niektóre właściwości oczekiwań matematycznych.

Łatwo to udowodnić:

Stały współczynnik można przyjąć jako znak oczekiwania matematycznego, czyli:

Jest to szczególny przypadek właściwości liniowości oczekiwań matematycznych.

Kolejna konsekwencja liniowości oczekiwań matematycznych:

oznacza to, że matematyczne oczekiwanie sumy zmiennych losowych jest równe sumie matematycznych oczekiwań zmiennych losowych.

Niech X, Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi, Następnie:

Można to również łatwo udowodnić) Praca XY sama w sobie jest zmienną losową i czy wartości początkowe mogą przyjąć N I M wartości zatem odpowiednio XY może przyjmować wartości nm. Prawdopodobieństwo każdej wartości oblicza się w oparciu o fakt, że prawdopodobieństwa niezależnych zdarzeń są mnożone. W rezultacie otrzymujemy to:

Oczekiwanie ciągłej zmiennej losowej

Ciągłe zmienne losowe mają taką cechę, jak gęstość rozkładu (gęstość prawdopodobieństwa). Charakteryzuje to zasadniczo sytuację, że zmienna losowa pewne wartości ze zbioru liczb rzeczywistych przyjmuje częściej, a inne rzadziej. Rozważmy na przykład ten wykres:

Tutaj X- rzeczywista zmienna losowa, k(x)- gęstość dystrybucji. Sądząc po tym wykresie, podczas eksperymentów wartość X często będzie liczbą bliską zera. Szanse zostały przekroczone 3 lub być mniejszy -3 raczej czysto teoretyczny.

Niech na przykład będzie rozkład równomierny:

Jest to całkiem zgodne ze zrozumieniem intuicyjnym. Załóżmy, że jeśli otrzymamy wiele losowych liczb rzeczywistych o równomiernym rozkładzie, każdy z segmentów |0; 1| , to średnia arytmetyczna powinna wynosić około 0,5.

Mają tu także zastosowanie właściwości oczekiwań matematycznych – liniowość itp., mające zastosowanie dla dyskretnych zmiennych losowych.

Związek oczekiwań matematycznych z innymi wskaźnikami statystycznymi

W analizie statystycznej, wraz z oczekiwaniami matematycznymi, istnieje system współzależnych wskaźników, które odzwierciedlają jednorodność zjawisk i stabilność procesów. Wskaźniki zmienności często nie mają samodzielnego znaczenia i służą do dalszej analizy danych. Wyjątkiem jest współczynnik zmienności, który charakteryzuje jednorodność danych, co jest cenną cechą statystyczną.

Stopień zmienności lub stabilności procesów w naukach statystycznych można mierzyć za pomocą kilku wskaźników.

Najważniejszym wskaźnikiem charakteryzującym zmienność zmiennej losowej jest Dyspersja, co jest najściślej i bezpośrednio związane z oczekiwaniami matematycznymi. Parametr ten jest aktywnie wykorzystywany w innych rodzajach analiz statystycznych (testowanie hipotez, analiza związków przyczynowo-skutkowych itp.). Podobnie jak średnie odchylenie liniowe, wariancja odzwierciedla również stopień rozproszenia danych wokół wartości średniej.

Przydatne jest przełożenie języka znaków na język słów. Okazuje się, że dyspersja jest średnim kwadratem odchyleń. Oznacza to, że najpierw obliczana jest wartość średnia, następnie obliczana jest różnica między każdą wartością pierwotną i średnią, podnoszona do kwadratu, dodawana, a następnie dzielona przez liczbę wartości w populacji. Różnica między wartością indywidualną a średnią odzwierciedla miarę odchylenia. Podnosi się go do kwadratu, aby wszystkie odchylenia stały się wyłącznie liczbami dodatnimi i aby podczas ich sumowania uniknąć wzajemnego niszczenia odchyleń dodatnich i ujemnych. Następnie, biorąc pod uwagę kwadraty odchyleń, po prostu obliczamy średnią arytmetyczną. Średnia - kwadrat - odchylenia. Odchylenia podniesiono do kwadratu i obliczono średnią. Odpowiedź na magiczne słowo „dyspersja” kryje się w zaledwie trzech słowach.

Jednakże w czystej postaci, takiej jak średnia arytmetyczna lub indeks, dyspersja nie jest stosowana. Jest to raczej wskaźnik pomocniczy i pośredni, wykorzystywany do innych rodzajów analiz statystycznych. Nie ma nawet normalnej jednostki miary. Sądząc po wzorze, jest to kwadrat jednostki miary oryginalnych danych.

Zmierzmy zmienną losową N razy, na przykład mierzymy prędkość wiatru dziesięć razy i chcemy znaleźć wartość średnią. Jak wartość średnia jest powiązana z funkcją rozkładu?

Albo rzucimy kostką wiele razy. Liczba punktów, które pojawią się na kostkach przy każdym rzucie, jest zmienną losową i może przyjmować dowolną wartość naturalną od 1 do 6. Średnia arytmetyczna upuszczonych punktów obliczona dla wszystkich rzutów kostką jest również zmienną losową, ale w przypadku dużych N zmierza do bardzo konkretnej liczby – oczekiwania matematycznego Mx. W tym przypadku Mx = 3,5.

Jak uzyskałeś tę wartość? Wpuść N testy n1 gdy zdobędziesz 1 punkt, n2 raz - 2 punkty i tak dalej. Następnie liczba wyników, w których spadł jeden punkt:

Podobnie w przypadku wyników, gdy wyrzucono 2, 3, 4, 5 i 6 punktów.

Załóżmy teraz, że znamy prawo rozkładu zmiennej losowej x, czyli wiemy, że zmienna losowa x może przyjmować wartości x1, x2, ..., xk z prawdopodobieństwami p1, p2, ..., pk.

Oczekiwanie matematyczne Mx zmiennej losowej x jest równe:

Oczekiwanie matematyczne nie zawsze jest rozsądnym oszacowaniem jakiejś zmiennej losowej. Zatem do oszacowania przeciętnego wynagrodzenia rozsądniej jest posługiwać się pojęciem mediany, czyli takiej wartości, aby liczba osób otrzymujących wynagrodzenie niższe od mediany i wyższe pokrywała się.

Prawdopodobieństwo p1, że zmienna losowa x będzie mniejsza niż x1/2 i prawdopodobieństwo p2, że zmienna losowa x będzie większa niż x1/2, są takie same i równe 1/2. Mediana nie jest określona jednoznacznie dla wszystkich rozkładów.

Standard lub odchylenie standardowe w statystyce nazywa się stopień odchylenia danych obserwacyjnych lub zbiorów od wartości ŚREDNIEJ. Oznaczone literami s lub s. Małe odchylenie standardowe wskazuje, że dane skupiają się wokół średniej, natomiast duże odchylenie standardowe wskazuje, że dane początkowe znajdują się daleko od niej. Odchylenie standardowe jest równe pierwiastkowi kwadratowemu wielkości zwanej wariancją. Jest to średnia sumy kwadratów różnic danych początkowych, które odbiegają od wartości średniej. Odchylenie standardowe zmiennej losowej to pierwiastek kwadratowy wariancji:

Przykład. W warunkach testowych podczas strzelania do celu oblicz rozrzut i odchylenie standardowe zmiennej losowej:

Zmiana- fluktuacja, zmienność wartości cechy pomiędzy jednostkami populacji. Poszczególne wartości liczbowe cechy występującej w badanej populacji nazywane są wariantami wartości. Niewystarczalność wartości średniej do pełnego scharakteryzowania populacji zmusza nas do uzupełnienia wartości średnich wskaźnikami, które pozwalają ocenić typowość tych średnich poprzez pomiar zmienności (wariacji) badanej cechy. Współczynnik zmienności oblicza się ze wzoru:

Zakres zmienności(R) reprezentuje różnicę między maksymalną i minimalną wartością atrybutu w badanej populacji. Wskaźnik ten daje najbardziej ogólne pojęcie o zmienności badanej cechy, ponieważ pokazuje różnicę tylko między maksymalnymi wartościami opcji. Zależność od skrajnych wartości cechy nadaje zakresowi zmienności charakter niestabilny, losowy.

Średnie odchylenie liniowe reprezentuje średnią arytmetyczną bezwzględnych (modulo) odchyleń wszystkich wartości analizowanej populacji od ich wartości średniej:

Oczekiwanie matematyczne w teorii hazardu

Oczekiwanie matematyczne jestŚrednia kwota pieniędzy, jaką gracz może wygrać lub przegrać w danym zakładzie. Jest to bardzo ważna koncepcja dla gracza, ponieważ ma fundamentalne znaczenie dla oceny większości sytuacji w grach. Oczekiwanie matematyczne jest również optymalnym narzędziem do analizy podstawowych układów kart i sytuacji w grach.

Załóżmy, że grasz ze znajomym w grę na monety i za każdym razem obstawiasz po 1 dolara, niezależnie od tego, co się wydarzy. Reszka oznacza wygraną, reszka oznacza przegraną. Szanse są 1 do 1, że wypadnie orzeł, więc obstawiasz od 1 $ do 1 $. Zatem Twoje matematyczne oczekiwania wynoszą zero, ponieważ Z matematycznego punktu widzenia nie możesz wiedzieć, czy po dwóch rzutach, czy po 200, będziesz prowadził, czy przegrał.

Twój zysk godzinowy wynosi zero. Wygrane godzinowe to kwota pieniędzy, jaką możesz wygrać w ciągu godziny. Możesz rzucić monetą 500 razy w ciągu godziny, ale nie wygrasz ani nie przegrasz, ponieważ... Twoje szanse nie są ani pozytywne, ani negatywne. Jeśli spojrzeć na to z punktu widzenia poważnego gracza, ten system zakładów nie jest zły. Ale to po prostu strata czasu.

Załóżmy jednak, że ktoś chce postawić 2 USD przeciwko Twojemu 1 USD w tej samej grze. Wtedy od razu będziesz miał pozytywne oczekiwanie na 50 centów z każdego zakładu. Dlaczego 50 centów? Średnio wygrywasz jeden zakład i przegrywasz drugi. Postaw pierwszego dolara, a stracisz 1 dolara, postaw drugiego, a wygrasz 2 dolary. Obstawiasz 1 $ dwa razy i masz przewagę o 1 $. Zatem każdy z Twoich jednodolarowych zakładów dał ci 50 centów.

Jeśli moneta pojawi się 500 razy w ciągu godziny, Twoja godzinna wygrana wyniesie już 250 $, ponieważ... Przeciętnie przegrałeś jednego dolara 250 razy i wygrałeś dwa dolary 250 razy. 500 $ minus 250 $ równa się 250 $, czyli całkowita wygrana. Należy pamiętać, że wartość oczekiwana, czyli średnia kwota wygranej w zakładzie, wynosi 50 centów. Wygrałeś 250 dolarów, stawiając dolara 500 razy, co równa się 50 centom za zakład.

Oczekiwania matematyczne nie mają nic wspólnego z wynikami krótkoterminowymi. Twój przeciwnik, który zdecydował się postawić przeciwko Tobie 2 dolary, mógłby cię pokonać w pierwszych dziesięciu rzutach z rzędu, ale ty, mając przewagę w zakładach 2 do 1, przy wszystkich innych czynnikach niezmienionych, zarobisz 50 centów za każdy zakład o wartości 1 dolara w dowolnym okoliczności. Nie ma znaczenia, czy wygrasz, czy przegrasz jeden zakład czy kilka zakładów, o ile masz wystarczającą ilość gotówki, aby wygodnie pokryć koszty. Jeśli będziesz nadal stawiać zakłady w ten sam sposób, to przez długi czas Twoje wygrane będą zbliżyć się do sumy oczekiwań w poszczególnych rzutach.

Za każdym razem, gdy robisz najlepszy zakład (zakład, który może okazać się opłacalny na dłuższą metę), gdy szanse są na twoją korzyść, na pewno coś wygrasz, niezależnie od tego, czy przegrasz, czy nie w podana ręka. I odwrotnie, jeśli postawisz zakład na słabszego gracza (zakład, który na dłuższą metę jest nieopłacalny), gdy szanse są przeciwko tobie, coś stracisz, niezależnie od tego, czy wygrasz, czy przegrasz rozdanie.

Stawiasz zakład z najlepszym wynikiem, jeśli Twoje oczekiwania są pozytywne, i jest on pozytywny, jeśli szanse są po Twojej stronie. Kiedy stawiasz zakład z najgorszym wynikiem, masz negatywne oczekiwania, co ma miejsce, gdy szanse są przeciwko tobie. Poważni gracze obstawiają tylko najlepszy wynik; jeśli zdarzy się najgorszy, spasują. Co oznacza kurs na Twoją korzyść? Możesz wygrać więcej, niż oferują rzeczywiste kursy. Prawdziwe szanse na wylądowanie orła wynoszą 1 do 1, ale dzięki ilorazowi szans otrzymujesz 2 do 1. W tym przypadku szanse są na Twoją korzyść. Zdecydowanie najlepszy wynik uzyskasz przy pozytywnym oczekiwaniu 50 centów na zakład.

Oto bardziej złożony przykład oczekiwań matematycznych. Znajomy zapisuje liczby od jednego do pięciu i stawia 5 dolarów przeciwko Twojemu 1 dolara, że ​​nie odgadniesz liczby. Czy warto zgodzić się na taki zakład? Jakie jest tutaj oczekiwanie?

Średnio mylisz się cztery razy. Na tej podstawie prawdopodobieństwo, że odgadniesz liczbę, wynosi 4 do 1. Szansa, że ​​stracisz dolara przy jednej próbie. Jednak wygrywasz 5 do 1, z możliwością przegranej 4 do 1. Zatem szanse są na twoją korzyść, możesz przyjąć zakład i mieć nadzieję na najlepszy wynik. Jeśli postawisz ten zakład pięć razy, średnio cztery razy stracisz 1 dolara i raz wygrasz 5 dolarów. Na tej podstawie za wszystkie pięć prób zarobisz 1 dolara, przy dodatnim oczekiwaniu matematycznym wynoszącym 20 centów za zakład.

Gracz, który wygra więcej, niż postawił, jak w powyższym przykładzie, ryzykuje. Wręcz przeciwnie, rujnuje swoje szanse, gdy spodziewa się wygranej mniejszej niż stawia. Gracz może mieć albo pozytywne, albo negatywne oczekiwania, w zależności od tego, czy wygra, czy zrujnuje kursy.

Jeśli postawisz 50 $, aby wygrać 10 $, mając szansę na wygraną 4 do 1, otrzymasz ujemną oczekiwaną wartość 2 $, ponieważ Średnio cztery razy wygrasz 10 $ i raz przegrasz 50 $, co pokazuje, że strata na zakład wyniesie 10 $. Ale jeśli postawisz 30 $, aby wygrać 10 $, przy takich samych szansach na wygraną 4 do 1, to w tym przypadku masz dodatnie oczekiwanie na 2 $, ponieważ ponownie wygrywasz 10 $ cztery razy i tracisz 30 $ raz, co daje zysk w wysokości 10 $. Te przykłady pokazują, że pierwszy zakład jest zły, a drugi dobry.

Oczekiwania matematyczne stanowią sedno każdej sytuacji w grze. Kiedy bukmacher zachęca kibiców piłki nożnej do postawienia 11 dolarów, aby wygrać 10 dolarów, ma pozytywne oczekiwania w wysokości 50 centów za każde 10 dolarów. Jeśli kasyno wypłaca nawet pieniądze z linii pass w kościach, wówczas pozytywne oczekiwanie kasyna wyniesie około 1,40 dolara na każde 100 dolarów, ponieważ Ta gra jest tak skonstruowana, że ​​każdy, kto obstawia tę linię, traci średnio 50,7% i wygrywa 49,3% całkowitego czasu. Bez wątpienia to właśnie te pozornie minimalne pozytywne oczekiwania przynoszą ogromne zyski właścicielom kasyn na całym świecie. Jak zauważył Bob Stupak, właściciel kasyna Vegas World, „negatywne prawdopodobieństwo wynoszące jedną tysięczną jednego procenta na wystarczająco dużej odległości zrujnuje najbogatszego człowieka na świecie”.

Oczekiwania podczas gry w pokera

Gra w pokera jest przykładem najbardziej ilustracyjnym i ilustracyjnym z punktu widzenia wykorzystania teorii i właściwości oczekiwań matematycznych.

Wartość oczekiwana w pokerze to średnia korzyść z konkretnej decyzji, pod warunkiem, że taką decyzję można rozpatrywać w ramach teorii wielkich liczb i odległości. Udana gra w pokera polega na tym, aby zawsze akceptować ruchy o dodatniej wartości oczekiwanej.

Matematyczne znaczenie oczekiwań matematycznych podczas gry w pokera polega na tym, że podczas podejmowania decyzji często spotykamy się ze zmiennymi losowymi (nie wiemy, jakie karty ma w ręku przeciwnik, jakie karty pojawią się w kolejnych rundach licytacji). Każde z rozwiązań musimy rozpatrywać z punktu widzenia teorii wielkich liczb, która głosi, że przy dostatecznie dużej próbie średnia wartość zmiennej losowej będzie zmierzać do jej matematycznych oczekiwań.

Spośród konkretnych wzorów obliczania oczekiwań matematycznych w pokerze najbardziej przydatne są następujące:

Podczas gry w pokera oczekiwaną wartość można obliczyć zarówno w przypadku zakładów, jak i połączeń. W pierwszym przypadku należy wziąć pod uwagę krotność equity, w drugim szanse własne banku. Oceniając matematyczne oczekiwania dotyczące konkretnego ruchu, powinieneś pamiętać, że spasowanie zawsze wiąże się z zerowymi oczekiwaniami. Zatem odrzucenie kart zawsze będzie bardziej opłacalną decyzją niż jakikolwiek negatywny ruch.

Oczekiwania mówią Ci, czego możesz się spodziewać (zysku lub straty) w odniesieniu do każdego ryzykowanego dolara. Kasyna zarabiają pieniądze, ponieważ matematyczne oczekiwania dotyczące wszystkich gier w nich rozgrywanych są na korzyść kasyna. Przy wystarczająco długiej serii gier możesz spodziewać się, że klient straci swoje pieniądze, ponieważ „szanse” są na korzyść kasyna. Jednakże profesjonalni gracze w kasynie ograniczają swoje gry do krótkich okresów czasu, zwiększając w ten sposób szanse na swoją korzyść. To samo tyczy się inwestowania. Jeśli Twoje oczekiwania są pozytywne, możesz zarobić więcej pieniędzy, dokonując wielu transakcji w krótkim czasie. Oczekiwanie to procent zysku na wygraną pomnożony przez średni zysk minus prawdopodobieństwo straty pomnożone przez średnią stratę.

Na pokera można również spojrzeć z punktu widzenia oczekiwań matematycznych. Możesz założyć, że dany ruch jest opłacalny, ale w niektórych przypadkach może nie być najlepszy, ponieważ inny ruch jest bardziej opłacalny. Załóżmy, że trafiłeś fulla w pokerze pięciokartowym. Twój przeciwnik stawia zakład. Wiesz, że jeśli podbijesz zakład, on zareaguje. Dlatego podbicie wydaje się najlepszą taktyką. Jeśli jednak podbijesz zakład, pozostali dwaj gracze na pewno spasują. Ale jeśli sprawdzisz, masz całkowitą pewność, że pozostali dwaj gracze za tobą zrobią to samo. Kiedy podbijesz swój zakład, otrzymasz jedną jednostkę, a kiedy po prostu sprawdzisz, otrzymasz dwie. Zatem sprawdzenie daje wyższą dodatnią wartość oczekiwaną i będzie najlepszą taktyką.

Oczekiwania matematyczne mogą również dać wyobrażenie o tym, które taktyki pokerowe są mniej opłacalne, a które bardziej. Na przykład, jeśli rozgrywasz określone rozdanie i myślisz, że Twoja strata wyniesie średnio 75 centów, włączając ante, powinieneś rozegrać to rozdanie, ponieważ jest to lepsze niż spasowanie, gdy ante wynosi 1 dolara.

Innym ważnym powodem, dla którego warto zrozumieć koncepcję wartości oczekiwanej, jest to, że daje ona poczucie spokoju ducha niezależnie od tego, czy wygrasz zakład, czy nie: jeśli postawiłeś dobry zakład lub spasowałeś we właściwym czasie, będziesz wiedział, że zarobiłeś lub nie. zaoszczędził pewną ilość pieniędzy, której słabszy gracz nie był w stanie zaoszczędzić. Znacznie trudniej jest spasować, jeśli jesteś zdenerwowany, ponieważ przeciwnik ma silniejszą rękę. Dzięki temu pieniądze, które zaoszczędzisz, nie grając zamiast obstawiać, zostaną dodane do Twoich wygranych za noc lub miesiąc.

Pamiętaj tylko, że gdybyś zmienił ręce, przeciwnik by cię sprawdził, a jak zobaczysz w artykule o Podstawowych twierdzeniach pokera, jest to tylko jedna z twoich zalet. Powinieneś być szczęśliwy, kiedy to się stanie. Możesz nawet nauczyć się czerpać przyjemność z przegrywania rozdania, ponieważ wiesz, że inni gracze na twojej pozycji straciliby znacznie więcej.

Jak wspomniano na początku w przykładzie gry na monety, godzinowa stopa zysku jest powiązana z oczekiwaniami matematycznymi, a koncepcja ta jest szczególnie ważna dla profesjonalnych graczy. Kiedy idziesz grać w pokera, powinieneś w myślach oszacować, ile możesz wygrać w ciągu godziny gry. W większości przypadków będziesz musiał polegać na swojej intuicji i doświadczeniu, ale możesz też posłużyć się matematyką. Na przykład, grasz w remis lowball i widzisz trzech graczy, którzy stawiają 10 dolarów, a następnie wymieniają dwie karty, co jest bardzo złą taktyką. Możesz się dowiedzieć, że za każdym razem, gdy stawiają 10 dolarów, tracą około 2 dolarów. Każdy z nich robi to osiem razy na godzinę, co oznacza, że ​​wszyscy trzej tracą około 48 dolarów na godzinę. Jesteś jednym z pozostałych czterech graczy, których liczba jest mniej więcej równa, więc ci czterej gracze (i ty wśród nich) muszą podzielić się 48 $, a każdy z nich zarabia 12 $ na godzinę. Twoje szanse godzinowe w tym przypadku są po prostu równe Twojemu udziałowi w kwocie pieniędzy przegranej przez trzech złych graczy w ciągu godziny.

W długim okresie łączne wygrane gracza stanowią sumę jego matematycznych oczekiwań w poszczególnych rozdaniach. Im więcej rąk rozegrasz z pozytywnymi oczekiwaniami, tym więcej wygrasz i odwrotnie, im więcej rąk rozegrasz z negatywnymi oczekiwaniami, tym więcej przegrasz. W rezultacie powinieneś wybrać grę, która może zmaksymalizować Twoje pozytywne oczekiwania lub zanegować negatywne oczekiwania, abyś mógł zmaksymalizować swoje godzinne wygrane.

Pozytywne oczekiwania matematyczne w strategii gier

Jeśli umiesz liczyć karty, możesz mieć przewagę nad kasynem, o ile cię nie zauważy i nie wyrzuci. Kasyna kochają pijanych graczy i nie tolerują graczy liczących karty. Przewaga pozwoli Ci wygrać więcej razy, niż stracisz w miarę upływu czasu. Dobre zarządzanie pieniędzmi przy użyciu obliczeń wartości oczekiwanej może pomóc Ci wydobyć większy zysk z przewagi i zmniejszyć straty. Bez korzyści lepiej przekazać pieniądze na cele charytatywne. W grze na giełdzie przewagę daje system gry, który generuje większe zyski niż straty, różnice cenowe i prowizje. Żadne zarządzanie pieniędzmi nie jest w stanie uratować złego systemu gier.

Pozytywne oczekiwanie definiuje się jako wartość większą od zera. Im większa jest ta liczba, tym silniejsze jest oczekiwanie statystyczne. Jeżeli wartość jest mniejsza od zera, wówczas oczekiwanie matematyczne również będzie ujemne. Im większy moduł wartości ujemnej, tym gorsza sytuacja. Jeśli wynik wynosi zero, oczekiwanie jest progiem rentowności. Możesz wygrać tylko wtedy, gdy masz pozytywne oczekiwania matematyczne i rozsądny system gry. Granie intuicją prowadzi do katastrofy.

Oczekiwania matematyczne i handel akcjami

Oczekiwanie matematyczne jest dość powszechnie stosowanym i popularnym wskaźnikiem statystycznym przy przeprowadzaniu obrotu giełdowego na rynkach finansowych. Przede wszystkim ten parametr służy do analizy sukcesu handlu. Nietrudno zgadnąć, że im wyższa jest ta wartość, tym więcej powodów, by uważać badaną branżę za udaną. Oczywiście analizy pracy tradera nie można przeprowadzić na podstawie samego tego parametru. Jednak obliczona wartość w połączeniu z innymi metodami oceny jakości pracy może znacznie zwiększyć dokładność analizy.

Oczekiwanie matematyczne jest często obliczane w usługach monitorowania konta handlowego, co pozwala szybko ocenić pracę wykonaną na depozycie. Wyjątkiem są strategie wykorzystujące nierentowne transakcje typu „przesiadywanie”. Trader może przez jakiś czas mieć szczęście i dlatego w jego pracy może w ogóle nie być strat. W takim przypadku nie będzie można kierować się wyłącznie oczekiwaniami matematycznymi, ponieważ ryzyko stosowane w pracy nie będzie brane pod uwagę.

W handlu rynkowym oczekiwania matematyczne są najczęściej wykorzystywane do przewidywania rentowności dowolnej strategii handlowej lub do przewidywania dochodu tradera na podstawie danych statystycznych z jego poprzednich transakcji.

Jeśli chodzi o zarządzanie pieniędzmi, bardzo ważne jest, aby zrozumieć, że dokonując transakcji z negatywnymi oczekiwaniami, nie ma schematu zarządzania pieniędzmi, który z pewnością przyniósłby wysokie zyski. Jeśli będziesz nadal grać na giełdzie w takich warunkach, niezależnie od tego, jak będziesz zarządzać swoimi pieniędzmi, stracisz całe konto, niezależnie od tego, jak duże było na początku.

Ten aksjomat jest prawdziwy nie tylko w przypadku gier lub transakcji z negatywnymi oczekiwaniami, jest również prawdziwy w przypadku gier o równych szansach. Dlatego jedyną szansą na osiągnięcie zysku w dłuższej perspektywie jest zawarcie transakcji o dodatniej wartości oczekiwanej.

Różnica między negatywnymi i pozytywnymi oczekiwaniami jest różnicą między życiem a śmiercią. Nie ma znaczenia, jak pozytywne lub negatywne są oczekiwania; Ważne jest tylko to, czy jest to pozytywne, czy negatywne. Dlatego zanim rozważysz zarządzanie pieniędzmi, powinieneś znaleźć grę z pozytywnymi oczekiwaniami.

Jeśli nie masz tej gry, żadne zarządzanie pieniędzmi na świecie Cię nie uratuje. Z drugiej strony, jeśli masz pozytywne oczekiwania, możesz – poprzez odpowiednie zarządzanie pieniędzmi – przekształcić je w funkcję wykładniczego wzrostu. Nie ma znaczenia, jak małe są pozytywne oczekiwania! Innymi słowy, nie ma znaczenia, jak opłacalny jest system transakcyjny oparty na pojedynczym kontrakcie. Jeśli masz system, który wygrywa 10 USD na kontrakt na transakcję (po prowizji i poślizgu), możesz zastosować techniki zarządzania pieniędzmi, aby uczynić go bardziej zyskownym niż system, w którym średnio 1000 USD na transakcję (po odjęciu prowizji i poślizgu).

Liczy się nie to, jak rentowny był system, ale to, jak pewna jest pewność, że system wykaże w przyszłości przynajmniej minimalny zysk. Dlatego najważniejszym przygotowaniem, jakie może poczynić trader, jest upewnienie się, że system będzie w przyszłości wykazywał dodatnią wartość oczekiwaną.

Aby w przyszłości uzyskać dodatnią wartość oczekiwaną, bardzo ważne jest, aby nie ograniczać stopni swobody systemu. Osiąga się to nie tylko poprzez eliminację lub redukcję liczby parametrów podlegających optymalizacji, ale także poprzez redukcję jak największej liczby reguł systemowych. Każdy dodany parametr, każda wprowadzona reguła, każda drobna zmiana dokonana w systemie zmniejsza liczbę stopni swobody. Idealnie byłoby zbudować dość prymitywny i prosty system, który będzie konsekwentnie generował niewielkie zyski na prawie każdym rynku. Ponownie ważne jest, abyś zrozumiał, że nie ma znaczenia, jak opłacalny jest system, ważne, aby był on opłacalny. Pieniądze, które zarobisz na handlu, zostaną zarobione dzięki efektywnemu zarządzaniu pieniędzmi.

System transakcyjny to po prostu narzędzie, które zapewnia dodatnią wartość oczekiwaną, dzięki czemu można zarządzać pieniędzmi. Systemy, które działają (wykazują przynajmniej minimalne zyski) tylko na jednym lub kilku rynkach lub mają różne zasady lub parametry dla różnych rynków, najprawdopodobniej nie będą działać w czasie rzeczywistym wystarczająco długo. Problem z większością traderów zorientowanych technicznie polega na tym, że spędzają zbyt dużo czasu i wysiłku na optymalizacji różnych zasad i wartości parametrów systemu transakcyjnego. Daje to zupełnie odwrotne rezultaty. Zamiast marnować energię i czas komputera na zwiększanie zysków systemu transakcyjnego, skieruj swoją energię na zwiększenie poziomu pewności uzyskania minimalnego zysku.

Wiedząc, że zarządzanie pieniędzmi to tylko gra liczbowa wymagająca pozytywnych oczekiwań, trader może przestać szukać „świętego Graala” w handlu akcjami. Zamiast tego może zacząć testować swoją metodę handlu, dowiedzieć się, jak logiczna jest ta metoda i czy daje pozytywne oczekiwania. Właściwe metody zarządzania pieniędzmi, zastosowane do wszelkich, nawet bardzo przeciętnych metod handlu, resztę pracy wykonają same.

Aby każdy trader odniósł sukces w swojej pracy, musi rozwiązać trzy najważniejsze zadania: . Aby zapewnić, że liczba udanych transakcji przewyższa nieuniknione błędy i błędne obliczenia; Skonfiguruj swój system transakcyjny tak, abyś miał możliwość zarabiania pieniędzy tak często, jak to możliwe; Osiągaj stabilne, pozytywne wyniki swojej działalności.

I tutaj, dla nas, pracujących traderów, oczekiwania matematyczne mogą być bardzo pomocne. Termin ten jest jednym z kluczowych w teorii prawdopodobieństwa. Za jego pomocą możesz podać średnie oszacowanie jakiejś losowej wartości. Matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej jest podobne do środka ciężkości, jeśli wyobrażasz sobie wszystkie możliwe prawdopodobieństwa jako punkty o różnych masach.

W odniesieniu do strategii handlowej do oceny jej efektywności najczęściej stosuje się matematyczne oczekiwanie zysku (lub straty). Parametr ten definiuje się jako sumę iloczynów danych poziomów zysków i strat oraz prawdopodobieństwa ich wystąpienia. Przykładowo opracowana strategia handlowa zakłada, że ​​37% wszystkich transakcji przyniesie zysk, a pozostała część – 63% – będzie nieopłacalna. Jednocześnie średni dochód z udanej transakcji wyniesie 7 dolarów, a średnia strata wyniesie 1,4 dolara. Obliczmy matematyczne oczekiwania dotyczące handlu za pomocą tego systemu:

Co oznacza ta liczba? Mówi, że zgodnie z zasadami tego systemu z każdej zamkniętej transakcji otrzymamy średnio 1708 dolarów. Ponieważ uzyskana wydajność jest większa od zera, taki system można wykorzystać do rzeczywistej pracy. Jeśli w wyniku obliczeń matematyczne oczekiwanie okaże się ujemne, oznacza to już średnią stratę i taki handel doprowadzi do ruiny.

Kwotę zysku na transakcję można również wyrazić jako wartość względną w postaci %. Na przykład:

– procent dochodu na 1 transakcję – 5%;

– odsetek udanych operacji handlowych – 62%;

– procent straty na 1 transakcję – 3%;

– odsetek nieudanych transakcji – 38%;

Oznacza to, że średni handel przyniesie 1,96%.

Można opracować system, który pomimo przewagi transakcji nierentownych, przyniesie wynik dodatni, gdyż jego MO>0.

Jednak samo czekanie nie wystarczy. Trudno jest zarabiać pieniądze, jeśli system daje bardzo mało sygnałów transakcyjnych. W tym przypadku jego rentowność będzie porównywalna z oprocentowaniem banku. Niech każda operacja generuje średnio tylko 0,5 dolara, ale co, jeśli system obejmuje 1000 operacji rocznie? Będzie to bardzo znacząca kwota w stosunkowo krótkim czasie. Logicznie wynika z tego, że kolejną cechą wyróżniającą dobry system transakcyjny można uznać za krótki okres utrzymywania pozycji.

Źródła i linki

dic.academic.ru – akademicki słownik internetowy

matematyka.ru – edukacyjny portal matematyczny

nsu.ru – strona edukacyjna Nowosybirskiego Uniwersytetu Państwowego

webmath.ru to portal edukacyjny dla studentów, kandydatów i uczniów.

exponenta.ru edukacyjna strona matematyczna

ru.tradimo.com – bezpłatna szkoła handlu online

crypto.hut2.ru – multidyscyplinarne źródło informacji

poker-wiki.ru – darmowa encyklopedia pokera

sernam.ru – Biblioteka naukowa wybranych publikacji z zakresu nauk przyrodniczych

reshim.su – strona internetowa ROZWIĄZUJEMY problemy z zajęciami testowymi

unfx.ru – Forex na UNFX: szkolenia, sygnały handlowe, zarządzanie zaufaniem

slovopedia.com – Wielki słownik encyklopedyczny Slovopedia

pokermansion.3dn.ru – Twój przewodnik po świecie pokera

statanaliz.info – blog informacyjny „Analiza danych statystycznych”

forex-trader.rf – portal Forex-Trader

megafx.ru – aktualna analityka Forex

fx-by.com – wszystko dla tradera

W teorii prawdopodobieństwa i w wielu jej zastosowaniach ogromne znaczenie mają różne charakterystyki liczbowe zmiennych losowych. Najważniejsze z nich to matematyczne oczekiwanie i wariancja.

1. Oczekiwanie matematyczne zmiennej losowej i jej własności.

Rozważmy najpierw następujący przykład. Niech roślina otrzyma partię składającą się z N namiar. W której:

m 1 x 1,
m 2- liczba łożysk o średnicy zewnętrznej x 2,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
m n- liczba łożysk o średnicy zewnętrznej x rz,

Tutaj m 1 +m 2 +...+m n =N. Znajdźmy średnią arytmetyczną x śrśrednica zewnętrzna łożyska. Oczywiście,
Zewnętrzną średnicę łożyska pobranego losowo można uznać za zmienną losową przyjmującą wartości x 1, x 2, ..., x rz, z odpowiednimi prawdopodobieństwami p 1 = m 1 /N, p 2 = m 2 /N, ..., p n = m n /N, ponieważ prawdopodobieństwo Liczba Pi wygląd łożyska o średnicy zewnętrznej x ja równy m i / N. Zatem średnia arytmetyczna x śr Zewnętrzną średnicę łożyska można wyznaczyć korzystając z zależności
Niech będzie dyskretną zmienną losową z zadanym prawem rozkładu prawdopodobieństwa

Oczekiwanie matematyczne Dyskretna zmienna losowa jest sumą sparowanych produktów wszystkich możliwych wartości zmiennej losowej według odpowiadających im prawdopodobieństw, tj. *
W tym przypadku zakłada się, że istnieje całka niewłaściwa po prawej stronie równości (40).

Rozważmy właściwości oczekiwań matematycznych. W tym przypadku ograniczymy się do dowodu tylko dwóch pierwszych własności, który przeprowadzimy dla dyskretnych zmiennych losowych.

1°. Matematyczne oczekiwanie na stałą C jest równe tej stałej.
Dowód. Stały C można traktować jako zmienną losową, która może przyjmować tylko jedną wartość C z prawdopodobieństwem równym jeden. Dlatego

2°. Stały współczynnik można przyjąć poza znak oczekiwania matematycznego, tj.
Dowód. Korzystając z zależności (39) mamy

3°. Oczekiwanie matematyczne sumy kilku zmiennych losowych jest równe sumie oczekiwań matematycznych tych zmiennych:

Wartość oczekiwana- średnia wartość zmiennej losowej (rozkład prawdopodobieństwa stacjonarnej zmiennej losowej), gdy liczba próbek lub liczba pomiarów (czasami nazywana liczbą testów) dąży do nieskończoności.

Zwykle nazywa się średnią arytmetyczną jednowymiarowej zmiennej losowej ze skończonej liczby prób matematyczne oszacowanie oczekiwań. Ponieważ liczba prób stacjonarnego procesu losowego dąży do nieskończoności, oszacowanie oczekiwań matematycznych zmierza do oczekiwań matematycznych.

Oczekiwanie matematyczne jest jednym z podstawowych pojęć teorii prawdopodobieństwa).

Encyklopedyczny YouTube

1 / 5

✪ Oczekiwanie i wariancja - bezbotvy

✪ Teoria prawdopodobieństwa 15: Oczekiwanie

✪ Oczekiwanie matematyczne

✪ Oczekiwanie i wariancja. Teoria

✪ Oczekiwania matematyczne w handlu

Napisy na filmie obcojęzycznym

Definicja

Niech będzie dana przestrzeń prawdopodobieństwa (Ω, ZA, P) (\ Displaystyle (\ Omega, (\ mathfrak (A)), \ mathbb (P)}) i zdefiniowaną na nim zmienną losową X (\ displaystyle X). Czyli z definicji X: Ω → R (\ Displaystyle X \ dwukropek \ Omega \ do \ mathbb (R))- funkcja mierzalna. Jeśli istnieje całka Lebesgue’a z X (\ displaystyle X) przez przestrzeń Ω (\ displaystyle \ Omega), wówczas nazywa się to oczekiwaniem matematycznym lub wartością średnią (oczekiwaną) i jest oznaczane M [ X ] (\ displaystyle M [X]) Lub mi [ X ] (\ Displaystyle \ mathbb (E) [X]).

Podstawowe wzory na oczekiwania matematyczne

M [ X ] = ∫ - ∞ ∞ x re fa X (x) ; x ∈ R (\ Displaystyle M [X] = \ int \ limity _ (- \ infty) ^ (\ infty) \! x \, dF_ (X) (x); x \ in \ mathbb (R) ).

Matematyczne oczekiwanie na rozkład dyskretny

to wynika bezpośrednio z definicji całki Lebesgue’a, że

Oczekiwanie wartości całkowitej

wówczas jego matematyczne oczekiwanie można wyrazić poprzez funkcję generującą ciągu ( p ja ) (\ Displaystyle \ (p_ (i) \))

jako wartość pierwszej pochodnej w jedności: M [ X ] = P. ′ (1) (\ displaystyle M [X] = P" (1)). Jeśli oczekiwanie matematyczne X (\ displaystyle X) w nieskończoność lim s → 1 P. ′ (s) = ∞ (\ Displaystyle \ lim _ (s \ do 1) P" (s) = \ infty) i napiszemy P ′ (1) = M [ X ] = ∞ (\ Displaystyle P" (1) = M [X] = \ infty)

Weźmy teraz funkcję generującą Q (s) (\ displaystyle Q (s)) sekwencje ogonów dystrybucyjnych ( q k ) (\ displaystyle \ (q_ (k) \))

Ta funkcja generująca jest powiązana z wcześniej zdefiniowaną funkcją P (s) (\ displaystyle P (s)) nieruchomość: Q (s) = 1 - P. (s) 1 - s (\ Displaystyle Q (s) = (\ Frac (1-P (s)) (1-s)}} Na | s |< 1 {\displaystyle |s|<1} . Z twierdzenia o wartości średniej wynika, że ​​oczekiwanie matematyczne jest po prostu równe wartości tej funkcji w jedności:

Matematyczne oczekiwanie rozkładu absolutnie ciągłego

Matematyczne oczekiwanie wektora losowego

Pozwalać X = (X 1,…, X n) ⊤: Ω → R n (\ Displaystyle X = (X_ (1), \ kropki, X_ (n)) ^ (\ góra) \ dwukropek \ Omega \ do \ mathbb ( R)^(n))- wektor losowy. Wtedy z definicji

to znaczy matematyczne oczekiwanie wektora jest określane składnik po składniku.

Oczekiwanie transformacji zmiennej losowej

Pozwalać g: R → R (\ Displaystyle g \ dwukropek \ mathbb (R) \ do \ mathbb (R) ) jest funkcją borelową taką, że zmienna losowa Y = sol (X) (\ displaystyle Y = g (X)) ma skończone oczekiwanie matematyczne. Wtedy formuła jest dla niego ważna

Jeśli X (\ displaystyle X) ma dyskretny rozkład;

Jeśli X (\ displaystyle X) ma rozkład absolutnie ciągły.

Jeśli dystrybucja P X (\ Displaystyle \ mathbb (P) ^ (X)) zmienna losowa X (\ displaystyle X) w takim razie widok ogólny

W szczególnym przypadku, kiedy sol (X) = X k (\ Displaystyle g (X) = X ^ (k)), wartość oczekiwana M [ sol (X) ] = M [ X k ] (\ displaystyle M = M) zwany k (\ displaystyle k)-m moment zmiennej losowej.

Najprostsze właściwości oczekiwań matematycznych

• Matematycznym oczekiwaniem liczby jest sama liczba.

• To znaczy, że oczekiwanie matematyczne jest liniowe