To się nazywa postęp arytmetyczny. Jak znaleźć postęp arytmetyczny? Przykłady postępu arytmetycznego z rozwiązaniem

Wiele osób słyszało o postępie arytmetycznym, ale nie każdy ma dobre pojęcie o tym, czym jest. W tym artykule podamy odpowiednią definicję, a także rozważymy pytanie, jak znaleźć różnicę postępu arytmetycznego i podamy szereg przykładów.

Definicja matematyczna

Jeśli więc mówimy o postępie arytmetycznym lub algebraicznym (pojęcia te definiują to samo), to oznacza to, że istnieje pewien szereg liczbowy, który spełnia następujące prawo: każde dwie sąsiednie liczby w szeregu różnią się tą samą wartością. Matematycznie jest to zapisane w ten sposób:

Tutaj n oznacza numer elementu a n w ciągu, a liczba d jest różnicą postępu (jej nazwa wynika z przedstawionego wzoru).

Co oznacza znajomość różnicy d? O tym, jak „daleko” są od siebie sąsiednie liczby. Jednakże znajomość d jest warunkiem koniecznym, ale niewystarczającym do ustalenia (przywrócenia) całej progresji. Konieczne jest poznanie jeszcze jednej liczby, którą może być absolutnie dowolny element rozważanego szeregu, na przykład 4, a10, ale z reguły używają pierwszej liczby, czyli 1.

Wzory na wyznaczanie elementów progresji

Generalnie powyższe informacje są już wystarczające, aby przejść do rozwiązywania konkretnych problemów. Zanim jednak zostanie podany postęp arytmetyczny, a konieczne będzie znalezienie jego różnicy, przedstawimy kilka przydatnych wzorów, ułatwiających w ten sposób dalszy proces rozwiązywania problemów.

Łatwo pokazać, że dowolny element ciągu o numerze n można znaleźć w następujący sposób:

za n = za 1 + (n - 1) * re

Rzeczywiście każdy może sprawdzić ten wzór za pomocą prostego wyszukiwania: jeśli podstawisz n = 1, otrzymasz pierwszy element, jeśli podstawisz n = 2, wówczas wyrażenie poda sumę pierwszej liczby i różnicę i tak dalej.

Warunki wielu problemów są tak skonstruowane, że mając znaną parę liczb, której liczby również podane są w ciągu, trzeba zrekonstruować cały szereg liczbowy (znaleźć różnicę i pierwszy element). Teraz rozwiążemy ten problem w ogólnej formie.

Niech więc zostaną dane dwa elementy o liczbach n i m. Korzystając ze wzoru otrzymanego powyżej, można utworzyć układ dwóch równań:

za n = za 1 + (n - 1) * re;

za m = za 1 + (m - 1) * re

Aby znaleźć nieznane ilości, zastosujemy dobrze znaną prostą technikę rozwiązania takiego układu: odejmij parami lewą i prawą stronę, równość pozostanie ważna. Mamy:

za n = za 1 + (n - 1) * re;

za n - za m = (n - 1) * re - (m - 1) * d = d * (n - m)

Zatem wykluczyliśmy jedną niewiadomą (a 1). Teraz możemy napisać końcowe wyrażenie określające d:

d = (a n - a m) / (n - m), gdzie n > m

Otrzymaliśmy bardzo prosty wzór: aby obliczyć różnicę d zgodnie z warunkami zadania, wystarczy przyjąć stosunek różnic między samymi elementami i ich numerami seryjnymi. Należy zwrócić uwagę na jedną ważną kwestię: różnice są brane pod uwagę między członkami „starszymi” i „młodszymi”, czyli n > m („starszy” oznacza stanie dalej od początku ciągu, jego wartość bezwzględna może być albo większy lub mniej „młodszy” element).

Wyrażenie na różnicę d postępu należy na początku rozwiązania zadania podstawić do dowolnego równania, aby otrzymać wartość pierwszego wyrazu.

W dobie rozwoju technologii komputerowej wiele uczniów próbuje znaleźć rozwiązania swoich zadań w Internecie, dlatego często pojawiają się pytania tego typu: znajdź różnicę w postępie arytmetycznym online. Na takie żądanie wyszukiwarka zwróci szereg stron internetowych, przechodząc do których konieczne będzie wprowadzenie danych znanych z warunku (mogą to być albo dwa terminy progresji, albo suma określonej ich liczby ) i natychmiast otrzymaj odpowiedź. Jednak takie podejście do rozwiązania problemu jest bezproduktywne z punktu widzenia rozwoju ucznia i zrozumienia istoty powierzonego mu zadania.

Rozwiązanie bez użycia wzorów

Rozwiążmy pierwsze zadanie nie korzystając z żadnego z podanych wzorów. Niech będą dane elementy szeregu: a6 = 3, a9 = 18. Znajdź różnicę ciągu arytmetycznego.

Znane elementy stoją blisko siebie w rzędzie. Ile razy należy dodać różnicę d do najmniejszej, aby otrzymać największą? Trzy razy (za pierwszym razem dodając d otrzymamy element 7, za drugim razem - ósmy, wreszcie za trzecim razem - dziewiąty). Jaką liczbę należy dodać trzy razy do trzech, aby otrzymać 18? To jest liczba pięć. Naprawdę:

Zatem nieznana różnica d = 5.

Oczywiście rozwiązanie można było przeprowadzić stosując odpowiednią formułę, ale nie zrobiono tego celowo. Szczegółowe wyjaśnienie rozwiązania problemu powinno stać się jasnym i czytelnym przykładem tego, czym jest postęp arytmetyczny.

Zadanie podobne do poprzedniego

Rozwiążmy teraz podobny problem, ale zmieńmy dane wejściowe. Powinieneś więc znaleźć, czy a3 = 2, a9 = 19.

Oczywiście możesz ponownie zastosować metodę rozwiązania „z głową”. Ponieważ jednak podano elementy szeregu, które są od siebie stosunkowo oddalone, metoda ta nie będzie do końca wygodna. Ale użycie otrzymanej formuły szybko doprowadzi nas do odpowiedzi:

d = (za 9 - za 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2,83

Tutaj zaokrągliliśmy ostateczną liczbę. Stopień, w jakim to zaokrąglenie doprowadziło do błędu, można ocenić sprawdzając wynik:

za 9 = za 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 = 18,98

Wynik ten różni się jedynie o 0,1% od wartości podanej w warunku. Dlatego też zaokrąglenie zastosowane do setnych części można uznać za udany wybór.

Problemy ze stosowaniem wzoru na wyraz

Rozważmy klasyczny przykład problemu wyznaczania nieznanej d: znajdź różnicę ciągu arytmetycznego, jeśli a1 = 12, a5 = 40.

Gdy dane są dwie liczby o nieznanym ciągu algebraicznym i jedna z nich jest elementem a 1, to nie trzeba długo zastanawiać się, tylko należy od razu zastosować wzór na wyraz a n. W tym przypadku mamy:

za 5 = za 1 + re * (5 - 1) => d = (za 5 - za 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Dokładną liczbę otrzymaliśmy przy dzieleniu, więc nie ma sensu sprawdzać poprawności obliczonego wyniku, jak to zrobiono w poprzednim akapicie.

Rozwiążmy inny podobny problem: musimy znaleźć różnicę ciągu arytmetycznego, jeśli a1 = 16, a8 = 37.

Stosujemy podejście podobne do poprzedniego i otrzymujemy:

za 8 = za 1 + re * (8 - 1) => re = (za 8 - za 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Co jeszcze warto wiedzieć o postępie arytmetycznym?

Oprócz problemów ze znalezieniem nieznanej różnicy lub poszczególnych elementów, często konieczne jest rozwiązanie problemów sumy pierwszych wyrazów ciągu. Omówienie tych problemów wykracza poza zakres artykułu, jednakże dla kompletności informacji przedstawiamy ogólny wzór na sumę n liczb w szeregu:

∑ n ja = 1 (za ja) = n * (za 1 + za n) / 2

Jaka jest główna istota formuły?

Ta formuła pozwala znaleźć każdy PRZEZ JEGO NUMER” N" .

Oczywiście trzeba znać także pierwszy termin 1 i różnica w progresji D no cóż, bez tych parametrów nie da się zapisać konkretnej progresji.

Zapamiętywanie (lub powtarzanie) tej formuły nie wystarczy. Musisz zrozumieć jego istotę i zastosować formułę w różnych problemach. I żeby nie zapomnieć w odpowiednim momencie, tak...) Jak nie zapomnij- Nie wiem. I tu jak pamiętać W razie potrzeby na pewno Ci doradzę. Dla tych, którzy ukończą lekcję do końca.)

Przyjrzyjmy się zatem wzorowi na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego.

Czym ogólnie jest formuła? Swoją drogą, spójrz, jeśli nie czytałeś. Wszystko jest tam proste. Pozostaje dowiedzieć się, co to jest n-ty termin.

Postęp ogólnie można zapisać jako ciąg liczb:

1, 2, 3, 4, 5,.....

1- oznacza pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego, 3- trzeci członek, 4- czwarty i tak dalej. Jeśli jesteśmy zainteresowani piątą kadencją, powiedzmy, że współpracujemy 5, jeśli sto dwudziesty - s 120.

Jak możemy to ogólnie zdefiniować? każdy wyraz postępu arytmetycznego, z każdy numer? Bardzo prosta! Lubię to:

jakiś

To jest to n-ty wyraz postępu arytmetycznego. Litera n ukrywa wszystkie numery elementów jednocześnie: 1, 2, 3, 4 i tak dalej.

A co nam daje taki zapis? Pomyśl tylko, zamiast numeru napisali list...

Notacja ta daje nam potężne narzędzie do pracy z postępem arytmetycznym. Używając notacji jakiś, możemy szybko znaleźć każdy członek każdy postęp arytmetyczny. I rozwiąż kilka innych problemów z postępem. Zobaczysz sam dalej.

We wzorze na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:

1- pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego;

N- numer członkowski.

Formuła łączy kluczowe parametry każdej progresji: jakiś ; 1; D I N. Wszystkie problemy z progresją skupiają się wokół tych parametrów.

Formuły na n-ty wyraz można również użyć do zapisania określonej progresji. Na przykład problem może mówić, że postęp jest określony przez warunek:

za n = 5 + (n-1) 2.

Taki problem może być ślepym zaułkiem... Nie ma tu ani serii, ani różnicy... Ale porównując warunek ze wzorem, łatwo zrozumieć, że w tym przebiegu a 1 = 5 i d = 2.

A może być jeszcze gorzej!) Jeśli przyjmiemy ten sam warunek: za n = 5 + (n-1) 2, Tak, otwórz nawiasy i przynieś podobne? Otrzymujemy nową formułę:

zan = 3 + 2n.

Ten Tylko nie ogólnie, ale dla konkretnego postępu. Tu właśnie czai się pułapka. Niektórzy uważają, że pierwszym wyrazem jest trójka. Chociaż w rzeczywistości pierwszy wyraz to pięć... Nieco niżej będziemy pracować z tak zmodyfikowaną formułą.

W problemach progresji istnieje inny zapis - n+1. Jest to, jak się domyślacie, termin „n plus pierwszy” w progresji. Jego znaczenie jest proste i nieszkodliwe.) Jest to element postępu, którego liczba jest większa niż liczba n o jeden. Na przykład, jeśli w jakimś problemie podejmiemy jakiś zatem piąta kadencja n+1 będzie szóstym członkiem. Itp.

Najczęściej oznaczenie n+1 można znaleźć we wzorach powtarzania. Nie bój się tego strasznego słowa!) To tylko sposób wyrażenia elementu ciągu arytmetycznego przez poprzedni. Załóżmy, że mamy postęp arytmetyczny w tej formie, korzystając ze wzoru rekurencyjnego:

za n+1 = za n +3

za 2 = za 1 + 3 = 5+3 = 8

za 3 = za 2 + 3 = 8+3 = 11

Czwarty - przez trzeci, piąty - przez czwarty i tak dalej. Jak możemy od razu policzyć, powiedzmy, dwudziesty termin? 20? Ale nie ma mowy!) Dopóki nie poznamy 19-tego członu, nie możemy policzyć 20-tego. Jest to podstawowa różnica między wzorem powtarzającym się a wzorem na n-ty wyraz. Powtarzanie działa tylko poprzez poprzedni termin i formuła n-tego wyrazu jest skończona Pierwszy i pozwala od razu znajdź dowolnego członka według jego numeru. Bez obliczania całej serii liczb w kolejności.

W postępie arytmetycznym łatwo jest zamienić powtarzającą się formułę na zwykłą. Policz parę kolejnych wyrazów, oblicz różnicę D, znajdź, jeśli to konieczne, pierwszy wyraz 1, napisz formułę w jej zwykłej formie i pracuj z nią. Z takimi zadaniami w Państwowej Akademii Nauk często się spotykamy.

Zastosowanie wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego.

Najpierw przyjrzyjmy się bezpośredniemu zastosowaniu formuły. Pod koniec poprzedniej lekcji pojawił się problem:

Dany jest postęp arytmetyczny (an). Znajdź 121, jeśli a 1 = 3 i d = 1/6.

Problem ten można rozwiązać bez żadnych wzorów, po prostu w oparciu o znaczenie ciągu arytmetycznego. Dodawaj i dodawaj... Godzinę lub dwie.)

Zgodnie ze wzorem rozwiązanie zajmie mniej niż minutę. Możesz to ustalić w czasie.) Zdecydujmy.

Warunki dostarczają wszystkich danych pozwalających na użycie wzoru: a1 =3, d=1/6. Pozostaje dowiedzieć się, co jest równe N. Bez problemu! Musimy znaleźć 121. Więc piszemy:

Proszę uważać! Zamiast indeksu N pojawiła się konkretna liczba: 121. Co jest całkiem logiczne.) Nas interesuje człon ciągu arytmetycznego numer sto dwadzieścia jeden. To będzie nasze N. Takie jest znaczenie N= 121 podstawimy w dalszej części wzoru, w nawiasach. Podstawiamy wszystkie liczby do wzoru i obliczamy:

za 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Otóż ​​to. Równie szybko można było znaleźć pięćset dziesiąty wyraz i tysiąc trzeci dowolny. Umieściliśmy zamiast tego Nżądany numer w indeksie litery „ A" i w nawiasach, i liczymy.

Przypomnę ci o co chodzi: ta formuła pozwala ci znaleźć każdy wyraz postępu arytmetycznego PRZEZ JEGO NUMER” N" .

Rozwiążmy problem w bardziej przebiegły sposób. Natkniemy się na następujący problem:

Znajdź pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego (an), jeśli a 17 =-2; d=-0,5.

Jeśli będziesz miał jakieś trudności, powiem ci pierwszy krok. Zapisz wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego! Tak tak. Zapisz rękami bezpośrednio w zeszycie:

A teraz, patrząc na litery wzoru, rozumiemy, jakie dane mamy, a jakich brakuje? Dostępny d=-0,5, jest siedemnasty członek... To wszystko? Jeśli myślisz, że to wszystko, to nie rozwiążesz problemu, tak...

Nadal mamy numer N! W stanie a 17 = -2 ukryty dwa parametry. Jest to zarówno wartość siedemnastego wyrazu (-2), jak i jego liczba (17). Te. n=17. Często ten „błahostka” prześlizguje się przez głowę i bez niej (bez „drobiazgu”, a nie głowy!) problemu nie da się rozwiązać. Chociaż... i też bez głowy.)

Teraz możemy po prostu głupio podstawić nasze dane do wzoru:

za 17 = za 1 + (17-1)·(-0,5)

O tak, 17 wiemy, że jest -2. OK, zamieńmy:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

To w zasadzie wszystko. Pozostaje wyrazić pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego ze wzoru i go obliczyć. Odpowiedź będzie brzmiała: 1 = 6.

Technika ta – spisanie wzoru i po prostu podstawienie znanych danych – jest bardzo pomocna w prostych zadaniach. No cóż, oczywiście trzeba umieć wyrazić zmienną ze wzoru, ale co zrobić!? Bez tej umiejętności matematyka może w ogóle nie być studiowana...

Kolejna popularna łamigłówka:

Znajdź różnicę postępu arytmetycznego (an), jeśli a 1 =2; 15 = 12.

Co my robimy? Będziesz zaskoczony, piszemy formułę!)

Zastanówmy się, co wiemy: a1 =2; a15=12; i (szczególnie podkreślę!) n=15. Zapraszam do podstawienia tego do wzoru:

12=2 + (15-1)d

Wykonujemy arytmetykę.)

12=2 + 14d

D=10/14 = 5/7

To jest poprawna odpowiedź.

A więc zadania dla n, 1 I D zdecydowany. Pozostaje tylko dowiedzieć się, jak znaleźć liczbę:

Liczba 99 należy do ciągu arytmetycznego (an), gdzie a 1 = 12; d=3. Znajdź numer tego członka.

Podstawiamy znane nam wielkości do wzoru na n-ty wyraz:

za n = 12 + (n-1) 3

Na pierwszy rzut oka są tu dwie nieznane wielkości: i n. Ale jakiś- to jest jakiś element progresji z liczbą N...I znamy tego członka progresji! Jest 99. Nie znamy jego numeru. N, Więc ten numer jest tym, co musisz znaleźć. Podstawiamy wyraz progresji 99 do wzoru:

99 = 12 + (n-1) 3

Wyrażamy ze wzoru N, myślimy. Otrzymujemy odpowiedź: n=30.

A teraz problem na ten sam temat, ale bardziej kreatywny):

Ustal, czy liczba 117 należy do ciągu arytmetycznego (an):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Napiszmy formułę jeszcze raz. Co, nie ma parametrów? Hm... Po co nam oczy?) Czy widzimy pierwszy człon progresji? Widzimy. To jest -3,6. Możesz spokojnie napisać: a 1 = -3,6. Różnica D Czy potrafisz to rozpoznać po serialu? To proste, jeśli wiesz, jaka jest różnica w ciągu arytmetycznym:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Zrobiliśmy więc najprostszą rzecz. Pozostaje uporać się z nieznanym numerem N i niezrozumiałą liczbę 117. W poprzednim zadaniu przynajmniej było wiadomo, że podano wyraz ciągu progresji. Ale tutaj nawet nie wiemy... Co robić!? Cóż, jak być, jak być... Włącz swoje zdolności twórcze!)

My przypuszczaćże numer 117 jest przecież członkiem naszego postępu. Z nieznanym numerem N. I tak jak w poprzednim zadaniu spróbujmy znaleźć tę liczbę. Te. piszemy wzór (tak, tak!)) i podstawiamy nasze liczby:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Ponownie wyrażamy ze wzoruN, liczymy i otrzymujemy:

Ups! Okazało się, że jest to numer frakcyjny! Sto jeden i pół. Oraz liczby ułamkowe w progresji nie może być. Jaki wniosek możemy wyciągnąć? Tak! Numer 117 nie jest członek naszego postępu. Jest gdzieś pomiędzy sto pierwszym a sto drugim terminem. Jeśli liczba okazała się naturalna, tj. jest dodatnią liczbą całkowitą, wówczas liczba ta będzie częścią progresji ze znalezioną liczbą. W naszym przypadku odpowiedzią na problem będzie: NIE.

Zadanie oparte na prawdziwej wersji GIA:

Postęp arytmetyczny jest określony przez warunek:

zan = -4 + 6,8n

Znajdź pierwszy i dziesiąty wyraz progresji.

Tutaj progresja jest osadzona w niecodzienny sposób. Jakaś formuła... Zdarza się.) Jednak ta formuła (jak pisałem powyżej) - także wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego! Ona też pozwala znajdź dowolnego członka progresji według jego numeru.

Poszukujemy pierwszego członka. Ten, który myśli. że pierwszym wyrazem jest minus cztery, jest fatalnie błędne!) Ponieważ formuła w zadaniu została zmodyfikowana. Pierwszy wyraz postępu arytmetycznego w nim ukryty. W porządku, teraz go znajdziemy.)

Podobnie jak w poprzednich zadaniach, podstawiamy n=1 w tę formułę:

za 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8

Tutaj! Pierwszy wyraz to 2,8, a nie -4!

W ten sam sposób szukamy dziesiątego wyrazu:

za 10 = -4 + 6,8 10 = 64

Otóż ​​to.

A teraz dla tych, którzy przeczytali te linijki, obiecany bonus.)

Załóżmy, że w trudnej sytuacji bojowej egzaminu państwowego lub jednolitego egzaminu państwowego zapomniałeś przydatnego wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego. Coś pamiętam, ale jakoś niepewnie... Or N tam, lub n+1 lub n-1... Jak być!?

Spokój! Wzór ten jest łatwy do wyprowadzenia. Nie jest to zbyt rygorystyczne, ale na pewno wystarczy do pewności i podjęcia właściwej decyzji!) Aby wyciągnąć wnioski, wystarczy przypomnieć sobie elementarne znaczenie ciągu arytmetycznego i mieć kilka minut czasu. Musisz tylko narysować obraz. Dla jasności.

Narysuj oś liczbową i zaznacz na niej pierwszą z nich. drugi, trzeci itd. członkowie. I zauważamy różnicę D pomiędzy członkami. Lubię to:

Patrzymy na zdjęcie i myślimy: co oznacza drugi wyraz? Drugi jeden D:

A 2 = 1 + 1 D

Jaki jest trzeci termin? Trzeci wyraz równa się pierwszemu wyrazowi plus dwa D.

A 3 = 1 + 2 D

Rozumiesz? Nie bez powodu podkreślam niektóre słowa pogrubioną czcionką. OK, jeszcze jeden krok).

Jaki jest czwarty termin? Czwarty wyraz równa się pierwszemu wyrazowi plus trzy D.

A 4 = 1 + 3 D

Czas zdać sobie sprawę, że ilość luk, tj. D, Zawsze o jeden mniej niż liczba szukanego członka N. To znaczy do numeru n, liczba spacji będzie n-1. Zatem formuła będzie (bez zmian!):

Ogólnie rzecz biorąc, obrazy wizualne są bardzo pomocne w rozwiązywaniu wielu problemów matematycznych. Nie zaniedbuj zdjęć. Ale jeśli trudno jest narysować obraz, to... tylko formuła!) Ponadto formuła n-tego członu pozwala połączyć z rozwiązaniem cały potężny arsenał matematyki - równania, nierówności, układy itp. Nie możesz wstawić obrazu do równania...

Zadania do samodzielnego rozwiązania.

Rozgrzać się:

1. W postępie arytmetycznym (an) a 2 =3; a 5 = 5,1. Znajdź 3.

Wskazówka: według obrazka problem można rozwiązać w 20 sekund... Według wzoru okazuje się to trudniejsze. Ale do opanowania formuły jest to bardziej przydatne.) W sekcji 555 problem ten został rozwiązany zarówno za pomocą obrazu, jak i wzoru. Poczuj różnicę!)

I to już nie jest rozgrzewka.)

2. W postępie arytmetycznym (an) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Znajdź 3 .

Co, nie chcesz rysować?) Oczywiście! Lepiej według wzoru, tak...

3. Postęp arytmetyczny jest określony przez warunek:a1 = -5,5; za n+1 = za n +0,5. Znajdź sto dwudziesty piąty wyraz tego postępu.

W tym zadaniu progresja jest określona w sposób powtarzalny. Ale licząc do stu dwudziestego piątego wyrazu... Nie każdy jest w stanie dokonać takiego wyczynu.) Ale formuła n-tego wyrazu jest w mocy każdego!

4. Biorąc pod uwagę postęp arytmetyczny (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Znajdź numer najmniejszego dodatniego wyrazu progresji.

5. Zgodnie z warunkami zadania 4 znajdź sumę najmniejszych dodatnich i największych ujemnych wyrazów progresji.

6. Iloczyn piątego i dwunastego wyrazu rosnącego ciągu arytmetycznego wynosi -2,5, a suma trzeciego i jedenastego wyrazu jest równa zero. Znajdź 14.

Nie jest to najłatwiejsze zadanie, tak...) Metoda „na palca” nie sprawdzi się tutaj. Będziesz musiał pisać formuły i rozwiązywać równania.

Odpowiedzi (w nieładzie):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Stało się? To miłe!)

Nie wszystko się układa? Dzieje się. Nawiasem mówiąc, w ostatnim zadaniu jest jeden subtelny punkt. Podczas czytania problemu należy zachować ostrożność. I logika.

Rozwiązanie wszystkich tych problemów zostało szczegółowo omówione w rozdziale 555. A element fantazji dla czwartego i subtelny punkt dla szóstego oraz ogólne podejścia do rozwiązywania wszelkich problemów związanych z formułą n-tego członu - wszystko jest opisane. Polecam.

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)

Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)

Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Suma postępu arytmetycznego.

Suma postępu arytmetycznego jest rzeczą prostą. Zarówno w znaczeniu, jak i formule. Ale jest wiele zadań na ten temat. Od podstawowego po całkiem solidny.

Najpierw zrozumiemy znaczenie i formułę kwoty. I wtedy podejmiemy decyzję. Dla własnej przyjemności.) Znaczenie kwoty jest proste jak muu. Aby znaleźć sumę ciągu arytmetycznego, wystarczy dokładnie dodać wszystkie jego wyrazy. Jeśli tych terminów jest niewiele, możesz dodać je bez żadnych formuł. Ale jeśli jest tego dużo, albo bardzo dużo... dodawanie jest denerwujące.) W tym przypadku na ratunek przychodzi formuła.

Wzór na kwotę jest prosty:

Zastanówmy się, jakie litery są zawarte we wzorze. To wiele wyjaśni.

S n - suma postępu arytmetycznego. Wynik dodania wszyscy członkowie, z Pierwszy Przez ostatni. To jest ważne. Dokładnie się sumują Wszystko członków z rzędu, bez pomijania i pomijania. A dokładnie zaczynając od Pierwszy. W przypadku problemów takich jak znalezienie sumy wyrazów trzeciego i ósmego lub sumy wyrazów od piątego do dwudziestego bezpośrednie zastosowanie wzoru rozczaruje.)

1 - Pierwszy członek progresji. Tutaj wszystko jest jasne, to proste Pierwszy Numer wiersza.

jakiś- ostatni członek progresji. Ostatni numer serii. Niezbyt znana nazwa, ale zastosowana do kwoty jest bardzo odpowiednia. Wtedy zobaczysz sam.

N - numer ostatniego członka. Ważne jest, aby zrozumieć, że we wzorze jest to liczba pokrywa się z liczbą dodanych terminów.

Zdefiniujmy pojęcie ostatni członek jakiś. Podchwytliwe pytanie: który członek będzie ostatni jeśli podano nieskończony postęp arytmetyczny?)

Aby odpowiedzieć pewnie, trzeba zrozumieć elementarne znaczenie postępu arytmetycznego i… uważnie przeczytać zadanie!)

W zadaniu znalezienia sumy ciągu arytmetycznego zawsze pojawia się ostatni wyraz (bezpośrednio lub pośrednio), które należy ograniczyć. W przeciwnym razie ostateczna, konkretna kwota po prostu nie istnieje. Dla rozwiązania nie ma znaczenia, czy dany jest postęp: skończony czy nieskończony. Nie ma znaczenia, jak to zostanie podane: ciąg liczb, czy wzór na n-ty wyraz.

Najważniejsze jest zrozumienie, że formuła działa od pierwszego wyrazu progresji do wyrazu z liczbą N. Właściwie pełna nazwa formuły wygląda następująco: suma pierwszych n wyrazów ciągu arytmetycznego. Liczba tych pierwszych członków, tj. N, zależy wyłącznie od zadania. W zadaniu wszystkie te cenne informacje są często szyfrowane, tak… Ale nieważne, w poniższych przykładach ujawniamy te tajemnice.)

Przykłady zadań na sumie ciągu arytmetycznego.

Na początek przydatne informacje:

Główna trudność w zadaniach polegających na sumie postępu arytmetycznego polega na prawidłowym określeniu elementów wzoru.

Autorzy zadań szyfrują te właśnie elementy z nieograniczoną wyobraźnią.) Najważniejsze tutaj to nie bać się. Rozumiejąc istotę elementów, wystarczy je po prostu rozszyfrować. Przyjrzyjmy się szczegółowo kilku przykładom. Zacznijmy od zadania opartego na prawdziwym GIA.

1. Postęp arytmetyczny jest określony przez warunek: a n = 2n-3,5. Znajdź sumę pierwszych 10 wyrazów.

Dobra robota. Łatwe.) Co musimy wiedzieć, aby określić kwotę za pomocą wzoru? Pierwszy członek 1, ostatni termin jakiś, tak, numer ostatniego członka N.

Gdzie mogę zdobyć numer ostatniego członka? N? Tak, właśnie tam, pod warunkiem! Mówi: znajdź sumę pierwszych 10 członków. No właśnie, z jakim numerem to będzie? ostatni, dziesiąty członek?) Nie uwierzysz, jego liczba jest dziesiąta!) Dlatego zamiast jakiś Podstawimy do wzoru 10, i zamiast N- dziesięć. Powtarzam, liczba ostatniego członka pokrywa się z liczbą członków.

Pozostaje ustalić 1 I 10. Można to łatwo obliczyć, korzystając ze wzoru na n-ty wyraz podanego w opisie problemu. Nie wiesz jak to zrobić? Weź udział w poprzedniej lekcji, bez tego nie ma mowy.

1= 2 1 - 3,5 = -1,5

10=2·10 - 3,5 =16,5

S n = S 10.

Ustaliliśmy znaczenie wszystkich elementów wzoru na sumę postępu arytmetycznego. Pozostaje tylko je zastąpić i policzyć:

Otóż ​​to. Odpowiedź: 75.

Kolejne zadanie w oparciu o GIA. Trochę bardziej skomplikowane:

2. Biorąc pod uwagę postęp arytmetyczny (an), którego różnica wynosi 3,7; a1 =2,3. Znajdź sumę pierwszych 15 wyrazów.

Natychmiast zapisujemy formułę sumy:

Formuła ta pozwala nam znaleźć wartość dowolnego terminu na podstawie jego liczby. Szukamy prostego podstawienia:

za 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Pozostaje wstawić wszystkie elementy do wzoru na sumę ciągu arytmetycznego i obliczyć odpowiedź:

Odpowiedź: 423.

Nawiasem mówiąc, jeśli w formule sumy zamiast jakiś Po prostu zastępujemy wzór n-tym wyrazem i otrzymujemy:

Przedstawmy podobne i uzyskajmy nowy wzór na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego:

Jak widać, n-ty wyraz nie jest tutaj wymagany jakiś. W niektórych problemach ta formuła bardzo pomaga, tak... Pamiętasz tę formułę. Możesz też po prostu wyświetlić go we właściwym czasie, jak tutaj. W końcu zawsze trzeba pamiętać wzór na sumę i wzór na n-ty wyraz.)

Teraz zadanie w formie krótkiego szyfrowania):

3. Znajdź sumę wszystkich dodatnich liczb dwucyfrowych, które są wielokrotnościami trzech.

Wow! Ani twój pierwszy członek, ani ostatni, ani w ogóle żaden postęp... Jak żyć!?

Trzeba będzie pomyśleć z głową i wyciągnąć z warunku wszystkie elementy sumy postępu arytmetycznego. Wiemy, co to są liczby dwucyfrowe. Składają się z dwóch liczb.) Jaka będzie liczba dwucyfrowa Pierwszy? 10, prawdopodobnie.) A Ostatnia rzecz liczba dwucyfrowa? 99, oczywiście! Za nim pójdą trzycyfrowe...

Wielokrotność trzech... Hm... To są liczby podzielne przez trzy, proszę! Dziesięć nie jest podzielne przez trzy, 11 nie jest podzielne... 12... jest podzielne! Zatem coś się pojawia. Można już zapisać szereg zgodnie z warunkami zadania:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Czy ten szereg będzie postępem arytmetycznym? Z pewnością! Każdy termin różni się od poprzedniego ściśle trzema. Jeśli dodasz 2 lub 4 do terminu, powiedzmy, wynik, tj. nowa liczba nie jest już podzielna przez 3. Możesz od razu określić różnicę ciągu arytmetycznego: d = 3. Przyda się!)

Możemy więc spokojnie zapisać niektóre parametry progresji:

Jaki będzie numer? N ostatni członek? Każdy, kto uważa, że ​​99 to fatalna pomyłka... Liczby zawsze idą w rzędzie, ale nasi członkowie przeskakują powyżej trzech. Nie pasują.

Istnieją tutaj dwa rozwiązania. Jednym ze sposobów jest superpracowitość. Możesz zapisać progresję, całą serię liczb i policzyć palcem liczbę członków.) Drugi sposób jest dla myślących. Trzeba zapamiętać wzór na n-ty wyraz. Jeśli zastosujemy wzór do naszego problemu, okaże się, że 99 jest trzydziestym wyrazem progresji. Te. n = 30.

Spójrzmy na wzór na sumę postępu arytmetycznego:

Patrzymy i cieszymy się.) Wyciągnęliśmy z zestawienia problemu wszystko, co niezbędne do obliczenia kwoty:

1= 12.

30= 99.

S n = S 30.

Pozostaje tylko elementarna arytmetyka. Podstawiamy liczby do wzoru i obliczamy:

Odpowiedź: 1665

Inny rodzaj popularnej łamigłówki:

4. Biorąc pod uwagę postęp arytmetyczny:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Znajdź sumę wyrazów od dwudziestego do trzydziestu czterech.

Patrzymy na wzór na kwotę i... denerwujemy się.) Wzór, przypomnę, oblicza kwotę od pierwszego członek. A w zadaniu musisz obliczyć sumę od dwudziestego... Formuła nie będzie działać.

Można oczywiście całą progresję rozpisać w serii i dodać wyrazy od 20 do 34. Ale… to jakoś głupie i zajmuje dużo czasu, prawda?)

Istnieje bardziej eleganckie rozwiązanie. Podzielmy naszą serię na dwie części. Pierwsza część będzie od pierwszego semestru do XIX. Druga część - od dwudziestu do trzydziestu czterech. Oczywiste jest, że jeśli obliczymy sumę wyrazów pierwszej części S 1-19, dodajmy to do sumy wyrazów drugiej części S 20-34, otrzymujemy sumę progresji od pierwszego do trzydziestego czwartego wyrazu S 1-34. Lubię to:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Z tego widzimy, że znajdujemy sumę S 20-34 można wykonać poprzez proste odejmowanie

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Uwzględniane są obie kwoty po prawej stronie od pierwszego członek, tj. standardowy wzór na sumę ma do nich całkiem zastosowanie. Zacznijmy?

Wyodrębniamy parametry progresji ze stwierdzenia problemu:

d = 1,5.

1= -21,5.

Aby obliczyć sumę pierwszych 19 i pierwszych 34 wyrazów, będziemy potrzebować 19 i 34 wyrazów. Obliczamy je korzystając ze wzoru na n-ty wyraz, jak w zadaniu 2:

19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

Nic nie zostało. Od sumy 34 wyrazów odejmij sumę 19 wyrazów:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Odpowiedź: 262,5

Jedna ważna uwaga! Istnieje bardzo przydatna sztuczka, która pozwala rozwiązać ten problem. Zamiast bezpośrednich obliczeń czego potrzebujesz (S 20-34), liczyliśmy coś, co wydawałoby się nie potrzebne – S 1-19. A potem ustalili S 20-34, odrzucając niepotrzebne z pełnego wyniku. Ten rodzaj „zwodu za pomocą uszu” często ratuje cię przed niegodziwymi problemami).

Na tej lekcji przyjrzeliśmy się problemom, dla których wystarczy zrozumieć znaczenie sumy postępu arytmetycznego. Cóż, musisz znać kilka formuł.)

Praktyczne porady:

Przy rozwiązywaniu dowolnego problemu dotyczącego sumy postępu arytmetycznego zalecam natychmiastowe wypisanie dwóch głównych wzorów z tego tematu.

Wzór na n-ty wyraz:

Te formuły od razu podpowiedzą Ci, czego szukać i w jakim kierunku myśleć, aby rozwiązać problem. Pomaga.

A teraz zadania do samodzielnego rozwiązania.

5. Znajdź sumę wszystkich liczb dwucyfrowych, które nie są podzielne przez trzy.

Super?) Podpowiedź jest ukryta w notatce do zadania 4. Cóż, zadanie 3 pomoże.

6. Postęp arytmetyczny wyraża warunek: a 1 = -5,5; za n+1 = za n +0,5. Znajdź sumę pierwszych 24 wyrazów.

Niezwykłe?) To powtarzająca się formuła. Przeczytałeś o tym w poprzedniej lekcji. Nie ignoruj ​​​​linku, takie problemy często występują w Państwowej Akademii Nauk.

7. Vasya zaoszczędziła pieniądze na wakacje. Aż 4550 rubli! I postanowiłem podarować mojej ulubionej osobie (sobie) kilka dni szczęścia). Żyj pięknie, nie odmawiając sobie niczego. Wydaj 500 rubli pierwszego dnia, a każdego kolejnego dnia wydawaj o 50 rubli więcej niż poprzedni! Dopóki nie skończą się pieniądze. Ile dni szczęścia miała Wasia?

Czy to trudne?) Pomocny będzie dodatkowy wzór z zadania 2.

Odpowiedzi (w nieładzie): 7, 3240, 6.

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)

Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)

Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Jeśli dla każdej liczby naturalnej N dopasować liczbę rzeczywistą jakiś , to mówią, że jest dane sekwencja liczb :

A 1 , A 2 , A 3 , . . . , jakiś , . . . .

Zatem sekwencja liczb jest funkcją argumentu naturalnego.

Numer A 1 zwany pierwszy wyraz ciągu , numer A 2 — drugi wyraz ciągu , numer A 3 — trzeci i tak dalej. Numer jakiś zwany n-ty element ciągu i liczba naturalna N — jego numer .

Od dwóch sąsiednich członków jakiś I jakiś +1 członek sekwencji jakiś +1 zwany późniejszy (w kierunku jakiś ), A jakiś — poprzedni (w kierunku jakiś +1 ).

Aby zdefiniować ciąg, należy określić metodę, która pozwoli znaleźć element ciągu o dowolnym numerze.

Często kolejność jest określana za pomocą n-te formuły wyrazowe , czyli formuła pozwalająca określić element ciągu na podstawie jego numeru.

Na przykład,

Za pomocą wzoru można podać ciąg dodatnich liczb nieparzystych

jakiś= 2N- 1,

i kolejność naprzemienności 1 I -1 - formuła

B N = (-1)N +1 . ◄

Można ustalić kolejność powtarzalna formuła, to znaczy formuła wyrażająca dowolny element sekwencji, zaczynając od niektórych, a kończąc na poprzednich (jednym lub większej liczbie) elementów.

Na przykład,

Jeśli A 1 = 1 , A jakiś +1 = jakiś + 5

A 1 = 1,

A 2 = A 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

A 3 = A 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

A 4 = A 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

A 5 = A 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Jeśli 1= 1, 2 = 1, jakiś +2 = jakiś + jakiś +1 , wówczas pierwsze siedem wyrazów ciągu liczbowego ustala się w następujący sposób:

1 = 1,

2 = 1,

3 = 1 + 2 = 1 + 1 = 2,

4 = 2 + 3 = 1 + 2 = 3,

5 = 3 + 4 = 2 + 3 = 5,

A 6 = A 4 + A 5 = 3 + 5 = 8,

A 7 = A 5 + A 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Sekwencje mogą być finał I nieskończony .

Sekwencja nazywa się ostateczny , jeśli ma skończoną liczbę członków. Sekwencja nazywa się nieskończony , jeśli ma nieskończenie wiele elementów.

Na przykład,

ciąg dwucyfrowych liczb naturalnych:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

finał.

Sekwencja liczb pierwszych:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

nieskończony. ◄

Sekwencja nazywa się wzrastający , jeśli każdy z jego członków, zaczynając od drugiego, jest większy od poprzedniego.

Sekwencja nazywa się malejące , jeśli każdy z jego członków, zaczynając od drugiego, jest mniejszy od poprzedniego.

Na przykład,

2, 4, 6, 8, . . . , 2N, . . . — ciąg rosnący;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /N, . . . — ciąg malejący. ◄

Nazywa się ciąg, którego elementy nie zmniejszają się wraz ze wzrostem liczby lub odwrotnie monotonna sekwencja .

W szczególności ciągi monotoniczne to sekwencje rosnące i malejące.

Postęp arytmetyczny

Postęp arytmetyczny to ciąg, w którym każdy człon, zaczynając od drugiego, jest równy poprzedniemu, do którego dodawana jest ta sama liczba.

A 1 , A 2 , A 3 , . . . , jakiś, . . .

jest postępem arytmetycznym, jeśli dla dowolnej liczby naturalnej N warunek jest spełniony:

jakiś +1 = jakiś + D,

Gdzie D - pewna liczba.

Zatem różnica pomiędzy kolejnymi i poprzednimi wyrazami danego ciągu arytmetycznego jest zawsze stała:

2 - A 1 = 3 - A 2 = . . . = jakiś +1 - jakiś = D.

Numer D zwany różnica postępu arytmetycznego.

Aby zdefiniować postęp arytmetyczny, wystarczy wskazać jego pierwszy wyraz i różnicę.

Na przykład,

Jeśli A 1 = 3, D = 4 , to znajdujemy pierwsze pięć wyrazów ciągu w następujący sposób:

1 =3,

2 = 1 + D = 3 + 4 = 7,

3 = 2 + D= 7 + 4 = 11,

4 = 3 + D= 11 + 4 = 15,

A 5 = A 4 + D= 15 + 4 = 19. ◄

Dla postępu arytmetycznego z pierwszym wyrazem A 1 i różnica D jej N

jakiś = 1 + (N- 1)D.

Na przykład,

znajdź trzydziesty wyraz ciągu arytmetycznego

1, 4, 7, 10, . . .

1 =1, D = 3,

30 = 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

n-1 = 1 + (N- 2)D,

jakiś= 1 + (N- 1)D,

jakiś +1 = A 1 + II,

wtedy oczywiście

Każdy element ciągu arytmetycznego, zaczynając od drugiego, jest równy średniej arytmetycznej poprzednich i kolejnych elementów.

liczby a, b i c są kolejnymi wyrazami pewnego postępu arytmetycznego wtedy i tylko wtedy, gdy jedna z nich jest równa średniej arytmetycznej dwóch pozostałych.

Na przykład,

jakiś = 2N- 7 , jest postępem arytmetycznym.

Skorzystajmy z powyższego stwierdzenia. Mamy:

jakiś = 2N- 7,

n-1 = 2(N- 1) - 7 = 2N- 9,

n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2N- 5.

Stąd,

◄

Zauważ to N Wyraz dziewiątego ciągu arytmetycznego można znaleźć nie tylko poprzez A 1 , ale także wszelkie poprzednie k

jakiś = k + (N- k)D.

Na przykład,

Dla A 5 można zapisać

5 = 1 + 4D,

5 = 2 + 3D,

5 = 3 + 2D,

5 = 4 + D. ◄

jakiś = nk + kd,

jakiś = n+k - kd,

wtedy oczywiście

każdy element ciągu arytmetycznego, zaczynając od drugiego, jest równy połowie sumy równo rozmieszczonych elementów tego postępu arytmetycznego.

Ponadto dla dowolnego postępu arytmetycznego zachodzi równość:

za m + za n = za k + za l,

m + n = k + l.

Na przykład,

w postępie arytmetycznym

1) A 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (A 9 + A 11 )/2;

2) 28 = 10 = 3 + 7D= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) za 2 + za 12 = za 5 + za 9, ponieważ

2 + 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= za 1 + za 2 + za 3 + . . .+ jakiś,

Pierwszy N wyrazy ciągu arytmetycznego są równe iloczynowi połowy sumy skrajnych wyrazów i liczby wyrazów:

Stąd w szczególności wynika, że ​​jeśli trzeba podsumować warunki

k, k +1 , . . . , jakiś,

wówczas poprzednia formuła zachowuje swoją strukturę:

Na przykład,

w postępie arytmetycznym 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Jeśli podany jest postęp arytmetyczny, to ilości A 1 , jakiś, D, N IS N połączone dwoma wzorami:

Dlatego też, jeśli podane zostaną wartości trzech z tych wielkości, wówczas z tych wzorów zostaną określone odpowiadające im wartości dwóch pozostałych wielkości, połączone w układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi.

Postęp arytmetyczny jest ciągiem monotonicznym. W której:

• Jeśli D > 0 , to rośnie;
• Jeśli D < 0 , to maleje;
• Jeśli D = 0 , to ciąg będzie stacjonarny.

Postęp geometryczny

Postęp geometryczny to ciąg, w którym każdy element, zaczynając od drugiego, jest równy poprzedniemu pomnożonemu przez tę samą liczbę.

B 1 , B 2 , B 3 , . . . , b n, . . .

jest postępem geometrycznym, jeśli dla dowolnej liczby naturalnej N warunek jest spełniony:

b n +1 = b n · Q,

Gdzie Q ≠ 0 - pewna liczba.

Zatem stosunek kolejnego wyrazu danego ciągu geometrycznego do poprzedniego jest liczbą stałą:

B 2 / B 1 = B 3 / B 2 = . . . = b n +1 / b n = Q.

Numer Q zwany mianownik postępu geometrycznego.

Aby zdefiniować postęp geometryczny, wystarczy wskazać jego pierwszy wyraz i mianownik.

Na przykład,

Jeśli B 1 = 1, Q = -3 , to znajdujemy pierwsze pięć wyrazów ciągu w następujący sposób:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · Q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · Q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · Q= 9 · (-3) = -27,

B 5 = B 4 · Q= -27 · (-3) = 81. ◄

B 1 i mianownik Q jej N Termin ten można znaleźć korzystając ze wzoru:

b n = B 1 · qn -1 .

Na przykład,

znajdź siódmy wyraz postępu geometrycznego 1, 2, 4, . . .

B 1 = 1, Q = 2,

B 7 = B 1 · Q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = B 1 · qn,

wtedy oczywiście

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

każdy element ciągu geometrycznego, zaczynając od drugiego, jest równy średniej geometrycznej (proporcjonalnej) elementów poprzedzających i kolejnych.

Ponieważ prawdą jest również sytuacja odwrotna, zachodzi następujące stwierdzenie:

liczby a, b i c są kolejnymi wyrazami pewnego postępu geometrycznego wtedy i tylko wtedy, gdy kwadrat jednej z nich jest równy iloczynowi dwóch pozostałych, to znaczy jedna z liczb jest średnią geometryczną dwóch pozostałych.

Na przykład,

Udowodnimy, że ciąg określony wzorem b n= -3 2 N , jest postępem geometrycznym. Skorzystajmy z powyższego stwierdzenia. Mamy:

b n= -3 2 N,

b n -1 = -3 2 N -1 ,

b n +1 = -3 2 N +1 .

Stąd,

b n 2 = (-3 2 N) 2 = (-3 2 N -1 ) · (-3 · 2 N +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

co dowodzi pożądanego stwierdzenia. ◄

Zauważ to N Termin ciągu geometrycznego można znaleźć nie tylko poprzez B 1 , ale także każdego poprzedniego członka b k , dla czego wystarczy skorzystać ze wzoru

b n = b k · qn - k.

Na przykład,

Dla B 5 można zapisać

b 5 = b 1 · Q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · Q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

wtedy oczywiście

b n 2 = b n - k· b n + k

kwadrat dowolnego wyrazu ciągu geometrycznego, zaczynając od drugiego, jest równy iloczynowi wyrazów tego ciągu w równej odległości od niego.

Ponadto dla dowolnego postępu geometrycznego prawdziwa jest równość:

b m· b n= b k· b l,

M+ N= k+ l.

Na przykład,

w postępie geometrycznym

1) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = B 5 · B 7 ;

2) 1024 = B 11 = B 6 · Q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = B 4 · B 8 ;

4) B 2 · B 7 = B 4 · B 5 , ponieważ

B 2 · B 7 = 2 · 64 = 128,

B 4 · B 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= B 1 + B 2 + B 3 + . . . + b n

Pierwszy N elementy ciągu geometrycznego z mianownikiem Q ≠ 0 obliczane według wzoru:

I kiedy Q = 1 - zgodnie ze wzorem

S n= uwaga 1

Pamiętaj, że jeśli chcesz zsumować warunki

b k, b k +1 , . . . , b n,

wówczas stosuje się wzór:

Na przykład,

w postępie geometrycznym 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Jeśli podany jest postęp geometryczny, to ilości B 1 , b n, Q, N I S n połączone dwoma wzorami:

Dlatego jeśli podane zostaną wartości dowolnych trzech z tych wielkości, wówczas z tych wzorów zostaną określone odpowiednie wartości pozostałych dwóch wielkości, połączone w układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi.

Dla postępu geometrycznego z pierwszym wyrazem B 1 i mianownik Q mają miejsce następujące zdarzenia właściwości monotoniczności :

• progresja wzrasta, jeśli spełniony jest jeden z poniższych warunków:

B 1 > 0 I Q> 1;

B 1 < 0 I 0 < Q< 1;

• Progresja maleje, jeśli spełniony jest jeden z poniższych warunków:

B 1 > 0 I 0 < Q< 1;

B 1 < 0 I Q> 1.

Jeśli Q< 0 , to postęp geometryczny jest naprzemienny: jego wyrazy o liczbach nieparzystych mają ten sam znak, co pierwszy wyraz, a wyrazy o liczbach parzystych mają znak przeciwny. Jest oczywiste, że naprzemienny postęp geometryczny nie jest monotoniczny.

Produkt pierwszy N wyrazy postępu geometrycznego można obliczyć korzystając ze wzoru:

Pn= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) N / 2 .

Na przykład,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Nieskończenie malejący postęp geometryczny

Nieskończenie malejący postęp geometryczny nazywany nieskończonym postępem geometrycznym, którego moduł mianownika jest mniejszy 1 , to jest

|Q| < 1 .

Należy zauważyć, że nieskończenie malejący postęp geometryczny może nie być sekwencją malejącą. Pasuje do okazji

1 < Q< 0 .

Przy takim mianowniku sekwencja jest naprzemienna. Na przykład,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Suma nieskończenie malejącego postępu geometrycznego podaj liczbę, do której suma pierwszych zbliża się bez ograniczeń N członkowie progresji o nieograniczonym zwiększeniu liczby N . Liczba ta jest zawsze skończona i wyrażana jest wzorem

Na przykład,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Związek pomiędzy postępem arytmetycznym i geometrycznym

Postęp arytmetyczny i geometryczny są ze sobą ściśle powiązane. Spójrzmy tylko na dwa przykłady.

A 1 , A 2 , A 3 , . . . D , To

b.a 1 , b.a 2 , b.a 3 , . . . b d .

Na przykład,

1, 3, 5, . . . - postęp arytmetyczny z różnicą 2 I

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - postęp geometryczny z mianownikiem 7 2 . ◄

B 1 , B 2 , B 3 , . . . - postęp geometryczny z mianownikiem Q , To

zaloguj a b 1, zaloguj a b 2, zaloguj a b 3, . . . - postęp arytmetyczny z różnicą zaloguj sięQ .

Na przykład,

2, 12, 72, . . . - postęp geometryczny z mianownikiem 6 I

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - postęp arytmetyczny z różnicą lg 6 . ◄

Matematyka ma swoje piękno, podobnie jak malarstwo i poezja.

Rosyjski naukowiec, mechanik N.E. Żukowski

Bardzo częstym problemem na egzaminach wstępnych z matematyki są problemy związane z koncepcją postępu arytmetycznego. Aby skutecznie rozwiązywać takie problemy, trzeba mieć dobrą wiedzę na temat właściwości postępu arytmetycznego i posiadać pewne umiejętności w ich stosowaniu.

Przypomnijmy najpierw podstawowe własności ciągu arytmetycznego i przedstawmy najważniejsze wzory, związane z tą koncepcją.

Definicja. Sekwencja numerów, w którym każdy kolejny wyraz różni się od poprzedniego o tę samą liczbę, zwany postępem arytmetycznym. W tym przypadku numernazywana różnicą progresji.

Dla postępu arytmetycznego obowiązują następujące wzory:

, (1)

Gdzie . Wzór (1) nazywany jest wzorem na ogólny wyraz postępu arytmetycznego, a wzór (2) reprezentuje główną właściwość postępu arytmetycznego: każdy wyraz ciągu pokrywa się ze średnią arytmetyczną sąsiadujących z nim wyrazów i .

Należy zauważyć, że właśnie ze względu na tę właściwość rozważany postęp nazywa się „arytmetyką”.

Powyższe wzory (1) i (2) uogólniono w następujący sposób:

(3)

Aby obliczyć kwotę Pierwszy terminy postępu arytmetycznegozwykle używa się tej formuły

(5) gdzie i .

Jeśli weźmiemy pod uwagę wzór (1), następnie ze wzoru (5) wynika

Jeśli oznaczymy , to

Gdzie . Ponieważ , wzory (7) i (8) są uogólnieniem odpowiednich wzorów (5) i (6).

W szczególności , ze wzoru (5) wynika, Co

Większości uczniów mało znana jest właściwość postępu arytmetycznego, sformułowana za pomocą następującego twierdzenia.

Twierdzenie. Jeśli następnie

Dowód. Jeśli następnie

Twierdzenie zostało udowodnione.

Na przykład , korzystając z twierdzenia, można to wykazać

Przejdźmy do rozważenia typowych przykładów rozwiązywania problemów na temat „Postęp arytmetyczny”.

Przykład 1. Niech będzie. Znajdować .

Rozwiązanie. Stosując wzór (6) otrzymujemy . Od i , następnie lub .

Przykład 2. Niech będzie trzy razy większa, a po podzieleniu przez iloraz otrzymamy 2, a reszta 8. Określ i .

Rozwiązanie. Z warunków przykładu wynika układ równań

Ponieważ , i , to z układu równań (10) otrzymujemy

Rozwiązaniem tego układu równań jest i .

Przykład 3. Znajdź jeśli i .

Rozwiązanie. Zgodnie ze wzorem (5) mamy lub . Korzystając jednak z własności (9) otrzymujemy .

Od i , to z równości równanie następuje Lub .

Przykład 4. Znajdź jeśli.

Rozwiązanie.Zgodnie ze wzorem (5) mamy

Korzystając jednak z twierdzenia, możemy pisać

Stąd i ze wzoru (11) otrzymujemy .

Przykład 5. Dany: . Znajdować .

Rozwiązanie. Od tego czasu. Jednak dlatego.

Przykład 6. Niech , i . Znajdować .

Rozwiązanie. Korzystając ze wzoru (9) otrzymujemy . Dlatego jeśli , to lub .

Od i wtedy mamy układ równań

Rozwiązując które, otrzymujemy i .

Pierwiastek naturalny równania Jest .

Przykład 7. Znajdź jeśli i .

Rozwiązanie. Skoro zgodnie ze wzorem (3) mamy to , to układ równań wynika z warunków problemowych

Jeśli zastąpimy wyrażeniedo drugiego równania układu, wtedy otrzymujemy lub .

Pierwiastki równania kwadratowego to I .

Rozważmy dwa przypadki.

1. Niech więc . Od i , wtedy .

W tym przypadku, zgodnie ze wzorem (6), mamy

2. Jeśli , to i

Odpowiedź: i.

Przykład 8. Wiadomo, że i. Znajdować .

Rozwiązanie. Biorąc pod uwagę wzór (5) i warunek z przykładu, piszemy i .

Oznacza to układ równań

Jeśli pomnożymy pierwsze równanie układu przez 2, a następnie dodamy to do drugiego równania, otrzymamy

Zgodnie ze wzorem (9) mamy. W związku z tym wynika z (12) Lub .

Od i , wtedy .

Odpowiedź: .

Przykład 9. Znajdź jeśli i .

Rozwiązanie. Ponieważ , i według warunku , następnie lub .

Ze wzoru (5) wiadomo, Co . Od tego czasu.

Stąd , tutaj mamy układ równań liniowych

Stąd otrzymujemy i . Uwzględniając wzór (8) piszemy .

Przykład 10. Rozwiązać równanie.

Rozwiązanie. Z podanego równania wynika, że ​​. Załóżmy, że , i . W tym przypadku .

Zgodnie ze wzorem (1) możemy napisać lub .

Ponieważ , to równanie (13) ma jedyny odpowiedni pierwiastek .

Przykład 11. Znajdź maksymalną wartość pod warunkiem, że i .

Rozwiązanie. Ponieważ , to rozważany postęp arytmetyczny jest malejący. Pod tym względem wyrażenie nabiera maksymalnej wartości, gdy jest liczbą minimalnego dodatniego wyrazu progresji.

Skorzystajmy ze wzoru (1) i faktu, to i . Wtedy otrzymujemy to lub .

Ponieważ , wtedy lub . Jednak w tej nierównościnajwiększą liczbę naturalną, Dlatego .

Jeśli wartości , i podstawimy do wzoru (6), otrzymamy .

Odpowiedź: .

Przykład 12. Oblicz sumę wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych, które po podzieleniu przez liczbę 6 dają resztę 5.

Rozwiązanie. Oznaczmy przez zbiór wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych, tj. . Następnie skonstruujemy podzbiór składający się z tych elementów (liczb) zbioru, które po podzieleniu przez liczbę 6 dają resztę 5.

Łatwe do zainstalowania, Co . Oczywiście , że elementy zestawutworzą postęp arytmetyczny, w którym i .

Aby ustalić liczność (liczbę elementów) zbioru, zakładamy, że . Ponieważ i , wynika ze wzoru (1) lub . Biorąc pod uwagę wzór (5) otrzymujemy .

Powyższe przykłady rozwiązywania problemów w żadnym wypadku nie mogą być wyczerpujące. Artykuł ten został napisany w oparciu o analizę współczesnych metod rozwiązywania typowych problemów na zadany temat. W celu dokładniejszego przestudiowania metod rozwiązywania problemów związanych z postępem arytmetycznym warto zapoznać się z listą zalecanej literatury.

1. Zbiór problemów z matematyki dla kandydatów na studia / wyd. MI. Scanavi. – M.: Pokój i edukacja, 2013. – 608 s.

2. Suprun V.P. Matematyka dla uczniów szkół średnich: dodatkowe działy programu nauczania. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 s.

3. Medyński M.M. Kompletny kurs matematyki elementarnej w zadaniach i ćwiczeniach. Księga 2: Sekwencje liczb i progresje. – M.: Edyta, 2015. – 208 s.

Nadal masz pytania?

Aby uzyskać pomoc korepetytora zarejestruj się.

stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do źródła.