Нелинейная оптимизация. Условная и безусловная оптимизация, области применения
Введение
Теоретическая часть
Решение поставленной задачи в МCAD
Решение задачи с помощью табличного редактора Ms Excel
Решение задачи с помощью языка С++
Заключение
Введение
Оптимизация как раздел математики существует достаточно давно. Оптимизация - это выбор, т.е. то, чем постоянно приходится заниматься в повседневной жизни. Термином "оптимизация" в литературе обозначают процесс или последовательность операций, позволяющих получить уточненное решение. Хотя конечной целью оптимизации является отыскание наилучшего или "оптимального" решения, обычно приходится довольствоваться улучшением известных решений, а не доведением их до совершенства. Поэтому под оптимизацией понимают скорее стремление к совершенству, которое, возможно, и не будет достигнуто.
Необходимость принятия наилучших решений так же стара, как само человечество. Испокон веку люди, приступая к осуществлению своих мероприятий, раздумывали над их возможными последствиями и принимали решения, выбирая тем или другим образом зависящие от них параметры - способы организации мероприятий. Но до поры, до времени решения могли приниматься без специального математического анализа, просто на основе опыта и здравого смысла.
Наиболее сложно обстоит дело с принятием решений, когда речь идет о мероприятиях, опыта в проведении которых еще не существует и, следовательно, здравому смыслу не на что опереться, а интуиция может обмануть. Пусть, например, составляется перспективный план развития вооружения на несколько лет вперед. Образцы вооружения, о которых может идти речь, еще не существуют, никакого опыта их применения нет. При планировании приходится опираться на большое количество данных, относящихся не столько к прошлому опыту, сколько к предвидимому будущему. Выбранное решение должно по возможности уберечь нас от ошибок, связанных с неточным прогнозированием, и быть достаточно эффективным для широкого круга условий. Для обоснования такого решения приводится в действие сложная система математических расчетов.
Вообще, чем сложнее организуемое мероприятие, чем больше вкладывается в него материальных средств, чем шире спектр его возможных последствий, тем менее допустимы так называемые "волевые" решения, не опирающиеся на научный расчет, и тем большее значение получает совокупность научных методов, позволяющих заранее оценить последствия каждого решения, заранее отбросить недопустимые варианты и рекомендовать те, которые представляются наиболее удачными.
Практика порождает все новые и новые задачи оптимизации причем их сложность растет. Требуются новые математические модели и методы, которые учитывают наличие многих критериев, проводят глобальный поиск оптимума. Другими словами, жизнь заставляет развивать математический аппарат оптимизации.
Цель курсовой работы:
·изучить необходимые программные конструкции языка программирования;
·освоить стандартные алгоритмы безусловной оптимизации;
·реализовать их средствами языка программирования С++;
·научиться использовать программы MCAD и MS Excel для решения поставленных задач и сверить полученные результаты.
Задачи данной курсовой работы: 1.Рассмотреть аналитические методы поиска одномерного и многомерного безусловного экстремума.
2.Изучить численные методы поиска одномерного и многомерного безусловного экстремума.
Теоретическая часть
Для оптимизационного решения задачи требуется: Сформулировать задачу; Построить математическую модель (определить множество переменных); Определить ограничения на возможные решения; ·Аналитический
·Численный
В аналитическом f (x) задается в виде формулы, в численном f (x) задается в виде черного ящика, на входе подается х, на выходе значение целевой функции в этой точке.
Аналитический способ
1.Для одной переменной
Определение 1: Говорят, что функция имеет в точке максимум (или минимум), если существует некоторая окрестность в промежутке, где функция определена, что для всех точек этой окрестности выполняется неравенство: ().
Определение 2: Если выполняется равенство , то точку будем называть стационарной точкой.
Достаточное условие существования экстремума: Пусть функция y=f(x) : 1.непрерывна в точке ;
2.дифференцируема в этой точке ;
3. - точка возможного экстремума;
.при переходе через точку производная меняет знак.
Тогда, если меняет знак с плюса на минус, то - точка максимума, а если с минуса на плюс, то - точка минимума.
) Найти производную функции .
) Найти стационарные точки (точки, подозрительные на экстремум), решив уравнение .
) Выяснить, меняет ли производная свой знак в точках, подозрительных на экстремум. Если она меняет знак с минуса на плюс, то в этой точке функция имеет свой минимум. Если с плюса на минус, то максимум, а если знак производной не меняется, то экстремума в этой точке нет. ) Найти значение функции в точках минимума (максимума). Для двух переменных Необходимое условие локального экстремума дифференцируемой функции Если - точка экстремума функции f, то
и или
Достаточные условия локального экстремума дважды дифференцируемой функции Обозначим
Если D > 0, A > 0, то - точка минимума.
Если D > 0, A < 0, то - точка максимума.
Если D < 0, экстремума в точке нет.
Если D = 0, необходимы дополнительные исследования.
Численные методы
Метод «золотого сечения»
Метод "золотого сечения" почти столь же эффективен, как и метод Фибоначчи, однако при этом не требуется знать n - количество вычислений функции, определяемое вначале. После того как выполнено j вычислений, записываем
Lj-1=Lj+Lj+1
Однако если n не известно, то мы не можем использовать условие Ln-1 =Ln - е. Если отношение последующих интервалов будет постоянным, т.е.
т. е. τ=1+1/ τ.
Таким образом, τ2-τ-1=0, откуда. Тогда
Т.е. .
В результате анализа двух рассмотренных значений функции будет определен тот интервал, который должен исследоваться в дальнейшем. Этот интервал будет содержать одну из предыдущих точек и следующую точку, помещаемую симметрично ей. Первая точка находится на расстоянии Li/t от одного конца интервала, вторая - на таком же расстоянии от другого. Поскольку, то становится видно, что поиск методом "золотого сечения" является предельной формой поиска методом Фибоначчи. Название "золотое сечение" произошло от названия отношения в уравнении. Видно, что Lj-1 делится на две части так, что отношение целого к большей части равно отношению большей части к меньшей, т.е. равно так называемому "золотому отношению". Таким образом, если ищется интервал (х0, х3) и имеются два значения функции f1 и f2 в точках x1 и x2, то следует рассмотреть два случая (рис. 1).
Рисунок 1
Метод гарантирует нахождение минимума в самых неблагоприятных условиях, однако он обладает медленной сходимостью. Схема алгоритма метода «золотого сечения» представлена на рис. 2.
Рисунок 2. Схема алгоритма метода «золотого сечения» Здесь С - константа, 1 (поиск минимума функции F(x)), 1 (поиск минимума функции F(x)), При выводе x - координата точки, в которой функция F(x) имеет минимум (или максимум), FM - значение функции F(x) в этой точке. Метод градиентного спуска с постоянным шагом.
Постановка задачи. Пусть дана функция f(x), ограниченная снизу на множестве Rn и имеющая непрерывные частные производные первого порядка во всех его точках.
Требуется найти локальный минимум функции f(x) на множестве допустимых решений , т.е. найти такую точку , что .
Стратегия поиска Стратегия решения задачи состоит в построении последовательности точек {xk}, k=0,1,…, таких, что . Точки последовательности {xk} вычисляются по правилу
,
где точка x0 задается пользователем; - градиент функции f(x), вычисленный в точке xk; величина шага tk задается пользователем и остается постоянной до тех пор, пока функция убывает в точках последовательности, что контролируется путем проверки выполнения условия
Или Построение последовательности {xk} заканчивается в точке xk, для которой
где - заданное малое положительное число, или , где - предельное число итераций, или при двукратном одновременном выполнении двух неравенств
где - малое положительное число. Вопрос о том, может ли точка xk рассматриваться как найденное приближение искомой точки минимума, решается путем проведения дополнительного исследования.
Геометрическая интерпретация метода Геометрическая интерпретация метода для функции двух переменных f(x1,x2):
Алгоритм Шаг 1. Задать - предельное число итераций. Найти градиент функции в произвольной точке
Шаг 2. Положить k=0. Шаг 3. Вычислить .
Шаг 4. Проверить выполнение критерия окончания :
·если критерий выполнен, расчет закончен: ;
·если критерий не выполнен, то перейти к шагу 5.
Шаг 5. Проверить выполнение неравенства :
·если неравенство выполнено, то расчет окончен: ;
·если нет, то перейти к шагу 6.
Шаг 6. Задать величину шага tk.
Шаг 7. Вычислить .
Шаг 8. Проверить выполнение условия
(или ):
·если условие выполнено, то перейти к шагу 9;
·если условие не выполнено, положить и перейти к шагу 7.
Шаг 9. Проверить выполнение условий
·если оба условия выполнены при текущем значении k и k=k-1, то расчет окончен,
·если хотя бы одно из условий не выполнено, положить и перейти к шагу 3.
Процедура решения задачи 1.Используя алгоритм градиентного спуска с постоянным шагом, найти точку xk, в которой выполнен по крайней мере один из критериев окончания расчетов.
2.Провести анализ точки xk с целью установить, является ли точка xk найденным приближением решения задачи. Процедура анализа определяется наличием у функции f(x) непрерывных вторых производных. Если , то следует провести проверку выполнения достаточных условий минимума: . Если , то точка есть найденное приближение искомой точки . Если , то следует провести проверку функции f(x) на выпуклость в Q-окрестности точки , используя критерий выпуклости для функций : функция f(x) выпукла (строго выпукла) в том и только в том случае, если . Если функция f(x) выпукла (строго выпукла), то есть найденное приближение точки .
Замечание: если требуется найти глобальный минимум функции f(x), то для строго выпуклой f(x) решение этой задачи аналогично поиску локального минимума функции. В случае, когда f(x) имеет несколько локальных минимумов, поиск глобального минимума осуществляется в результате перебора всех локальных минимумов.
Схема алгоритма метода градиентного спуска
Решение поставленной задачи в МCAD
задача
Минимизация функции с одной переменной. способ
задача
Определение какого рода функция и нахождение минимума(максимума) этой функции. способ
способ
Для исследования функции на максимум или минимум мы находим производные второго порядка и по ним составляем определитель. Если он не равен 0, то экстремумы функции существуют. Если вторая производная по t больше 0 и определитель больше 0, то существующий экстремум-это минимум, что и требовалось доказать.
Решение задачи с помощью табличного редактора Ms Excel
задача:
0,0001,0000,1001,3300,2001,5180,3001,5630,4001,4650,5001,2240,6000,8400,7000,3160,800-0,3480,900-1,1491,000-2,0831,100-3,1481,200-4,3381,300-5,6481,400-7,0741,500-8,6091,600-10,2471,700-11,9801,800-13,8001,900-15,6982,000-17,6672,100-19,6952,200-21,7732,300-23,8902,400-26,0342,500-28,1932,600-30,3542,700-32,5052,800-34,6312,900-36,7183,000-38,7503,100-40,7123,200-42,5883,300-44,3613,400-46,0133,500-47,5263,600-48,8823,700-50,0603,800-51,0423,900-51,8074,000-52,3334,100-52,6004,200-52,5844,300-52,2624,400-51,6124,500-50,6094,600-49,2294,700-47,4464,800-45,2344,900-42,5665,000-39,4175,100-35,7575,200-31,5595,300-26,7945,400-21,4325,500-15,4435,600-8,7965,700-1,4615,8006,5955,90015,4046,00025,0006,10035,4166,20046,6866,30058,8456,40071,9296,50085,9746,600101,0166,700117,0946,800134,2446,900152,5057,000171,917 Поиск решений4,145-52,629 Ход решения в Ms Excel
Итак, вначале в соответствии с поставленной задачей протабулируем функцию (найти минимум при х>0). Затем по полученным данным построим график, по которому находим примерное приближение значений минимума. Записываем приближенное значение в отдельную ячейку, в соседнюю ячейку записываем формулу зависящую от приближенного значения и воспользуемся инструментом «Поиск решения». В качестве целевой ячейки указываем функцию, ставим галочку «Минимальное значение», в поле «Изменяя ячейки» ставим ячейку с приближение. Жмем «Выполнить» и получаем искомое значение минимума.
2 задача:
00,10,20,30,40,50,60,70,80,91000,050,20,450,81,251,82,453,24,0550,1-0,28-0,26-0,140,080,40,821,341,962,683,54,420,2-0,52-0,53-0,44-0,250,040,430,921,512,22,993,880,3-0,72-0,76-0,7-0,54-0,280,080,541,11,762,523,380,4-0,88-0,95-0,92-0,79-0,56-0,230,20,731,362,092,920,5-1-1,1-1,1-1-0,8-0,5-0,10,411,72,50,6-1,08-1,21-1,24-1,17-1-0,73-0,360,110,681,352,120,7-1,12-1,28-1,34-1,3-1,16-0,92-0,58-0,140,41,041,780,8-1,12-1,31-1,4-1,39-1,28-1,07-0,76-0,350,160,771,480,9-1,08-1,3-1,42-1,44-1,36-1,18-0,9-0,52-0,040,541,221-1-1,25-1,4-1,45-1,4-1,25-1-0,65-0,20,3511,1-0,88-1,16-1,34-1,42-1,4-1,28-1,06-0,74-0,320,20,821,2-0,72-1,03-1,24-1,35-1,36-1,27-1,08-0,79-0,40,090,681,3-0,52-0,86-1,1-1,24-1,28-1,22-1,06-0,8-0,440,020,581,4-0,28-0,65-0,92-1,09-1,16-1,13-1-0,77-0,44-0,010,521,50-0,4-0,7-0,9-1-1-0,9-0,7-0,400,51,60,32-0,11-0,44-0,67-0,8-0,83-0,76-0,59-0,320,050,521,70,680,22-0,14-0,4-0,56-0,62-0,58-0,44-0,20,140,581,81,080,590,2-0,09-0,28-0,37-0,36-0,25-0,040,270,681,91,5210,580,260,04-0,08-0,1-0,020,160,440,82221,4510,650,40,250,20,250,40,651-1,12-1,31-1,42-1,45-1,4-1,28-1,08-0,8-0,44-0,010,5
Поиск решений0,9680,290-1,452 Ход решения в Ms Excel
Табулируем функцию. По полученным данным построим график поверхности, по которому видим, что нужно найти минимум этой функции. С помощью встроенной функции МИН() найдем наименьшее приближенное значение функции. Далее в отдельную ячейку скопируем значения х, у и z для полученного максимума, и воспользуемся инструментом «Поиск решения». В качестве целевой ячейки указываем скопированное выше значение z, ставим галочку «Минимальное значение», в поле «Изменяя ячейки» ставим ячейку со значением х и у. Жмем «Выполнить» и получаем искомое значение максимума.
Решение задачи с помощью языка С++
численный экстремум безусловный оптимизация 1 задача:
#include #include #include #include #include {pow(x,4)/4-pow(x,3)/3-7*pow(x,2)+4*x+1;//заданная функция //Метод золотого сеченияGoldenSection(double a, double b) {x1,x2;//объявляемy1, y2;//переменные= a + 0.382*(b-a);//два отрезка на которые= a + 0.618*(b-a);//делится промежуток= fun(x1);//вычисляется значение функции в точке х1= fun(x2);//вычисляется значение функции в точке х2((b-a) > epsilon) {= x1;//к началу отрезка присваевается значение первого отрезка= x2;//= fun(x1);//вычисляется значение функции в точке х1= a + 0.618*(b-a);= fun(x2);//вычисляется значение функции в точке х2 {= x2;//к концу отрезка присваивается значение х2= x1;= fun(x2);//вычисляется значение функции в х2= a + 0.382*(b-a);= fun(x1);//вычисляется значение функции в х1 }(a+b)/2;//отрезок делится на две части {(LC_CTYPE, "Russian");a, b, min, max;//объявление переменных<< "\t Вычисление минимума функции F(x) = x^4/4-x^3/3-7*x^2)+4*x+1 \n\t метадом золотого сечения " << endl << endl;<< "Входной интервал для поиска экстремальных функций (например 0 15):\n";>> a;//Ввод начала отрезка>> b;//ввод конца отрезка= GoldenSection(a, b);//Значение минимума в золотом сечении("\n Значение точки минимум MIN=%3.3f",min);//Вывод минимума("\n значение функции F(min)=%3.3f",fun(min));//Вывод функции от точки минимума Результат программы:
2 Задача:
#include #include #include #include {(2*pow(x,2) -3*x*x + 5*x*x-3*x); //функция }dy_dx0(double *x, int n) // первая частная производная по Х }dy_dx1(double *x, int n) // первая частная производная по Y }dy2_dx0(double *x, int n)// 2-я частная производная по X }dy2_dx1(double *x, int n)// 2-я частная производная по Y { setlocale(LC_CTYPE, "Russian");_k = 0.001;//шаг_k = 0;//начальное_k = 5;//приближение(1)//будет длится до конца интервала {_k_1 = x_k- lambda_k*dy_dx0(x_k, N) ;//последвательное_k_1 = x_k - lambda_k*dy_dx1(x_k, N);//приближение(fabs(dy_dx0(x_k_1, N)) }_k = x_k_1;_k = x_k_1;("\tГрадиентный метод:\n");("\tМинимум найден на x1 =%.3lf, x2 =%.3lf, Y(X1,X2) =%3.3f\n", x_k, x_k, y(x_k, N));//Вывод минимальных точек и значения функции в этой точке();0; Результат программы:
Заключение
Путем сложных вычислений курсовая работа выполнена в математическом редакторе Mathcad, табличном редакторе Excel и языке программирования С++. Все ответы сходятся, для проверки построены графики, на которых видна приблизительная цель вычислений. Всё выполнено согласно правилам. Таким образом, можно сделать вывод, что данная курсовая работа по теме «Решение задач безусловной оптимизации» выполнена.
При решении реальных задач оптимизации данный метод применяется редко, т.к. зачастую производную целевой функции определить сложно или невозможно.
Метод равномерного перебора
Пусть дана функция (см. рис 7.1).
Рис.7.1. Графическая иллюстрация метода равномерного перебора
В соответствии с данным методом алгоритм поиска заключается в следующем. Фиксируют величину шага . Вычисляют значения целевой функции в точках и 
и . Полученные значения сравнивают. Запоминают меньшее из этих двух значений. Далее выбирается точка и в ней вычисляется значения целевой функции . Сравнивается оставшееся на предыдущем шаге значение и значение . Наименьшее из них опять запоминают. Так поступают до тех пор, пока очередное значение не превысит . Последнее оставшееся значение является приближенным значением глобального минимума.
Трудности при использовании данного метода. Если целевая функция имеет узкую впадину, подобную приведенной на рисунке, то можно ее проскочить, и вместо точки глобального минимума определить точку локального минимума. Т.е. вместо можно найти . Эта проблема частично снимается, если выбрать очень маленький шаг, но при этом потребуется много времени (в том числе и машинного) для решения задачи.
Метод золотого сечения
Рассматриваемая в данном методе функция должна быть унимодальной . Функция является унимодальной на отрезке , если она на этом отрезке имеет единственную точку глобального минимума и слева от этой точки является строго убывающей, а справа строго возрастающей. Другимисловами, функция унимодальна, если выполняются следующие соотношения (рис.7.2):
Суть метода золотого сечения заключается в том, чтобы определить точку глобального минимума на отрезке за минимальное количество шагов, т.е. за минимальное количество вычислений целевой функции.
В соответствии с данным методом в каждый текущий момент времени рассматривается всегда две точки, например, в начальный момент точки и так, чтобы 
. При этом возможен один из двух случаев (рис.7.3):
Рис.7.3. Иллюстрация обоснования исключения отрезков
Согласно свойству унимодальной функции в первом случае искомая точка не может находиться на отрезке , во втором случае на отрезке (показаны штриховкой). Значит, область поиска сужается, и следующую точку необходимо брать на одном из укороченных отрезков: - случай 1 или - случай 2.
Теперь следует определиться, где на исходном отрезке необходимо выбирать точки и . Первоначально ничего не известно о положении точки (графиков нет, и они не строятся, здесь мы их приводим для наглядной иллюстрации сути метода, при реальной оптимизации есть только выражение для целевой функции). Поэтому любой из приведенных выше случаев возможен с одинаковой вероятностью. Это означает, что лишним может оказаться любой из отрезков: или . Отсюда ясно, что точки и следует выбирать симметрично относительно середины отрезка .
Далее для того, чтобы максимально сузить область поиска, эти точки должны быть поближе к середине исходного отрезка. Однако слишком близко к середине отрезка их тоже брать не следует, т.к. мы хотим построить алгоритм, для реализации которого необходимо общее минимальное количество вычислений целевой функции. Рассмотрим рис. 7.4.
Рис.7.4. Иллюстрация обоснования расположения точек на отрезке
Выбирая на первом шаге сравниваемые точки слишком близко к середине отрезка , мы исключим из рассмотрения большой отрезок для случая 1 или для случая 2. Но на втором шаге величина исключаемого отрезка значительно уменьшится (будет исключен отрезок для случая 1 или отрезок для случая 2).
Таким образом, с одной стороны, точки следует брать рядом с серединой отрезка, а, с другой стороны, слишком близко друг от друга их брать нельзя. Т.е. необходимо найти некую «золотую середину». Для этого рассмотрим для простоты вместо отрезка отрезок единичной длины – рис.7.5.
Рис.7.5. Обоснование «золотой середины» расположения точек на отрезке
На этом рисунке .
Для того, чтобы точка B была «выгодной» как на данном, так и на следующем этапе (шаге), она должна делить отрезок AD в таком же отношении, как и AC: AB/AD = BC/AC. При этом в силу симметрии аналогичным свойством будет обладать и точка C: CD/AD = BC/BD. В обозначениях координаты x эти пропорции принимают вид: x /1 = (1 – 2x )/(1 – x ). Решим эту пропорцию:
Корни этого уравнения равны:
не приемлем, т.е. уравнение имеет один корень.
О точке, которая расположена на расстоянии длины от одного из концов отрезка, говорят, что она осуществляет «золотое сечение» данного отрезка.
Очевидно, что каждый отрезок имеет две такие точки, расположенные симметрично относительно его середины.
Итак, алгоритм метода «золотого сечения» заключается в следующем (см. также рис.7.6). На исходном отрезке [a ,b ] выбираются две точки x 1 и x 2 , так, чтобы выполнялось приведенное выше соотношение «золотого сечения» этого отрезка. Вычисляются значения целевой функции в этих точках – и . Они сравниваются, и из дальнейшего рассмотрения исключается отрезок, прилегающий к точке, дающей большее значение целевой функции (здесь отрезок [x 2 ,b ]). Т.е. исходный отрезок [a ,b ] «стягивается» до отрезка [a ,b 1 ]. Для этого нового отрезка находится его середина, и по отношению к ней симметрично оставшейся точке x 1 ставится точка x 3 . Для нее рассчитывается значение целевой функции и сравнивается с . Из дальнейшего рассмотрения опять исключается отрезок, прилегающий к точке с большим значением целевой функции, здесь это отрезок [a ,x 3 ]. Текущий отрезок «стягивается» до нового отрезка, здесь это [a 1 ,b 1 ] и т.д.
Рис.7.6. Иллюстрация алгоритма метода «золотого сечения»
Метод «золотого сечения» прост, эффективен и широко применяется в практической оптимизации.
Численные методы решения задач нелинейного программирования (поиск экстремума функции n – переменных)
Метод линеаризации (приведения задачи нелинейного программирования к задаче линейного программирования)
Данный метод строго не относится к численным методам решения задач оптимизации. Но он эффективен и часто используется для решения практических задач. Рассмотрим суть данного метода на примере, который решался в лекции 5. Напомним формулировку задачи:
найти и . Целевая функция 
, ограничения:
1 этап . Приводим данную задачу к задаче линейного программирования. Для этого проводим логарифмирование ограничений и целевой функции:
После вычислений получим:
 | (8.1) |
| (8.2) |
 | (8.3) |
После логарифмирования целевой функции:
Далее задача решается с применением симплекс - алгоритма или графо – аналитически (см. рис.8.1 и вычисления, сопровождающие построения). Для построения области допустимых решений (ОДР) в логарифмических координатах работаем с ограничениями (8.1) – (8.3). Ограничения (8.1) и (8.2) – это ограничения, графически представляющие собой прямые линии, параллельные соответственно осям и . Причем, левая ограничительная линия в ограничении (8.1) совпадает с осью . Ограничение (8.3) представляет собой прямую линию, наклонную под углом 45 градусов к осям, имеющая координаты пересечения осей «0-1». Для нахождения точки касания линии, соответствующей целевой функции, сначала строим «произвольную» линию для целевой функции, приравнивая ее выражение к произвольному числу в данном масштабе. Приравняем выражение для целевой функции к числу «1,2»:
| 0,3 | ||
| 1,2 | 1,5 |
Если целевая функция стремится к минимуму, т.е. , то прямая линия, соответствующая ей, коснется границы ОДР в точке с координатами:
Рис.8.1. Графическая иллюстрация графо - аналитического решения задачи оптимизации методом линеаризации
Метод покоординатного спуска в задачах без ограничений
Это задача безусловной минимизации
, т.е. задачи минимизации целевой функции
на всем пространстве переменных (на всем евклидовом пространстве). Если требуется решить задачу максимизации, то выражение целевой функции умножают на (-1) и снова решается задача минимизации.
Суть данного метода заключается в построении последовательности точек
, монотонно уменьшающих значение целевой функции .
Согласно этому методу направления спуска выбирается параллельно координатным осям, т.е. сначала спуск осуществляется вдоль первой оси ОХ 1 затем вдоль второй оси ОХ 2 и т.д. до последней оси ОХ n .
Пусть – начальная точка (см. рис. 8.2), a – некоторое положительное число. Вычисляют значение целевой функции в этой точке – . Далее вычисляют значение целевой функции при и проверяют выполнение неравенства
В случае выполнения этого неравенства полагают x (1) = x (0) - a. Если оба неравенства и (8.4), и (8.5) не выполняются, то x (1) = x (0) .
Рис.8.2. Графическая иллюстрация поиска точки минимума методом покоординатного спуска
Второй шаг производят вдоль координатной оси OX 2 . Вычисляют значение функции в точке (x (1) + a) и сравнивают его с предыдущим значением, т.е. проверяют выполнение неравенства
В случае выполнения неравенства (8.7) считают, что x (2) = x (1) – a. Если оба неравенства и (8.6), и (8.7) не выполняются, то принимают x (2) = x (1) .
Так перебирают все n – направлений координатных осей. На этом первая итерация закончена. На n - м шаге будет получена некоторая точка x (n) . Если , то аналогично, начиная с x (n) осуществляют вторую итерацию. Если же x (n) = x (0) (это имеет место, если на каждом шаге ни одно из пары неравенств не окажется выполненным), то величину шага нужно уменьшить, взяв, например, a n+1 = a n /2, и в следующей итерации использовать новое значение величины шага.
Последующие итерации выполняют аналогично. На практике вычисления прекращают при выполнении какого – либо условия окончания счета, например
,
где f (x ) (k+1) – значение целевой функции на (к+1) итерации;
f (x ) (k) – значение целевой функции на к –ой итерации;
Некоторое положительное число, характеризующее точность решения исходной задачи
минимизации целевой функции.
Метод покоординатного спуска в задачах с ограничениями
Данный метод распространяется на задачи, с простыми ограничениями типа:
| (8.8) |
| (8.9) |
| (8.10) |
Основные процедуры данного метода аналогичны предыдущему методу. Различие заключается в том, что наряду с проверкой выполнения неравенств f (x (0) + a) < f (x (0)) (f (x (0) – a) < f (x (0))), f (x (1) + a) < f (x (1)) (f (x (1) – a) < f (x (1))) и т.д. осуществляют проверку выполнения неравенств (8.8) – (8.10). Выполнение или невыполнение этих неравенств приводит к тем же последствиям, что и выполнение или невыполнение неравенств, приведенных выше.
Методы решения многокритериальных задач оптимизации
Эта задачи проектирования (оптимизации), в которых используется не один, а несколько критериев. На практике такие задачи возникают, когда проектируемый объект не может быть описан однокритериальной зависимостью, или объединить отдельные критерии в единый критерий не представляется возможным. Такое объединение критериев в единый критерий применяется, и оно будет рассмотрено ниже. Но это объединение, как правило, бывает формальным, искусственным. С математической точки зрения не существует идеального способа, метода решения таких задач. Каждый из них имеет преимущества и недостатки. Рассмотрим некоторые методы решения многокритериальных задач оптимизации.
Метод поиска Парето – эффективных решений
Рассмотрим его суть на примере использования двух критериев. Критерии при использовании данного метода являются равнозначными.
Пусть имеется множество вариантов решения. По каждому из вариантов определены значения всех критериев. Представим множество оценок вариантов решения в пространстве критериев (рис.9.1).
Рис.9.1. Иллюстрация поиска Парето – эффективных решений
На рис.9.1 приняты следующие обозначения:
К 1 и К 2 – критерии оценки вариантов решения;
Y = {y 1 , y 2 , …, y m }- множество оценок альтернативных вариантов решения;
К 11 , К 12 , … , К 1m - значения первого критерия для 1, 2, … , m - го варианта решения;
К 21 , К 22 , … , К 2m – значения второго критерия для 1, 2, … , m - го варианта решения;
P(Y) – множество Парето – эффективных оценок решений.
Правило . Множество Парето – эффективных оценок P(Y’) представляет собой «северо – восточную» границу множества Y без тех его частей, которые параллельны одной из координатных осей или лежат в «глубоких» провалах.
Для случая, изображенного на рис.9.1, Парето – эффективные оценки состоят из точек кривой (bc), исключая точку (c), и линии (de).
Преимущества метода: 1) Критерии равнозначны; 2) Метод математически объективен.
Недостаток метода: 1) Одно окончательное решение получается только в частном случае, т.е. количество Парето – эффективных решений, как правило, более одного.
Пример . Имеется 10 вариантов металлорежущих станков, среди которых для проектируемого участка необходимо выбрать наилучший. Станки оценены экспертами по двум показателям (критериям): производительности и надежности. Оценивание производилось по 11 - бальной шкале от 0 до 10. Результаты оценки станков приведены в таблице 9.1.
Таблица 9.1 Экспертные оценки станков по критериям производительности и надежности
Представим множество оценок вариантов металлорежущих станков в пространстве критериев (рис.9.2):
Парето – эффективными решениями здесь являются варианты станков С 5 , С 7 и С 9 .
Рис.9.2. Пример поиска Парето – эффективных решений
Метод решения многокритериальных задач оптимизации с использованием обобщенного (интегрального) критерия
Суть данного метода заключается в том, что частные критерии каким - либо образом объединяются в один интегральный критерий , а затем находится максимум или минимум данного критерия.
Если объединение частных критериев производится, исходя из объектной взаимосвязи частных критериев и критерия обобщенного, то тогда оптимальное решение будет корректно. Но такое объединение осуществить крайне сложно или невозможно, поэтому, как правило, обобщенный критерий есть результат чисто формального объединения частных критериев.
В зависимости от того, каким образом частные критерии объединяются в обобщенный критерий различают следующие виды обобщенных критериев:
Частные критерии имеют различную физическую природу и поэтому различную размерность. А значит просто суммировать их некорректно. В связи с этим в предыдущей формуле числовые значения частных критериев делятся на некоторые нормирующие делители, которые назначается следующим образом:
1. В качестве нормирующих делителей принимаются директивные значения параметров или критериев, заданные заказчиком. Считается, что значения параметров, заложенные в техническом задании, являются оптимальными или наилучшими.
2. В качестве нормирующих делителей принимаются максимальные (минимальные) значения критериев, достигаемые в области допустимых решений.
Размерности самих частных критериев и соответствующих нормирующих делителей одинаковы, поэтому в итоге обобщенный аддитивный критерий получается безразмерной величиной.
Пример . Определить оптимальный вариант машины с использованием обобщенного (интегрального) аддитивного критерия. Частными критериями, с помощью которых оценены варианты машины, являются ее производительность и надежность (наработка на отказ). Оба критерия «работают» на максимум, т.е. наилучшими вариантами машины являются те из них, которые обеспечивают наибольшую ее производительность и надежность. Исходные данные для решения задачи приведены в таблице 9.2.
Таблица 9.2. Исходные данные для определения оптимального варианта исполнения машины
Целевая функция на основе аддитивного критерия запишется следующим образом:
В качестве нормирующих делителей в данной задаче примем наилучшие (максимальные) значения частных критериев:
Значения обобщенного аддитивного критерия рассчитываются для каждого варианта машины:
Вариант 1.
F (X ) = 0,6(1000/4000) + 0,4(1500/1500) = 0,55.
Вариант 2
F (X ) = 0,6(2000/4000) + 0,4(1000/1500) = 0,558.
Вариант 3
F (X ) = 0,6(4000/4000) + 0,4(500/1500) = 0,732.
Оптимальным является 3 вариант машины , т.к. ему соответствует максимальное значение обобщенного аддитивного критерия.
Один из недостатков этого метода заключается в том, что весовые коэффициенты назначает проектировщик. Разные проектировщики могут назначать разные весовые коэффициенты. Пусть, например, C 1 = 0,4; C 2 = 0,6. Определим теперь значения аддитивных критериев для вариантов машины:
Вариант 1.
Вариант 2.
Вариант 3.
Т.е. при таком изменении значений весовых коэффициентов оптимальным уже будет 1 вариант машины.
Преимущество данного метода: как правило, всегда удается определить единственный оптимальный вариант решения.
Нелинейное программирование
Целевая функция задачи оптимизации представляет собой нелинейную функцию действительных переменных 
. Определить значения переменных, при которых функция принимает минимальное значение при отсутствии ограничений на изменение переменных.
Задачи оптимизации, в которых нет ограничений на оптимизируемые переменные, называются задачами безусловной оптимизации.
Ввиду сложности задачи параметрической оптимизации применения классических метод поиска экстремума оказывается крайне сложным. Поэтому на практике предпочтение отдается поисковым (итерационным) методом оптимизации.
Все поисковые методы выполняются по одному алгоритму. Исходными данными в методах поиска является начальная точка поиска и требуемая точность метода . Затем выбирается величина шага поиска и по правилу метода происходит получение новых точек по предыдущей точке при таких, что 
. Получение новых точек продолжается до тех пор, пока не будет выполнено условие прекращения поиска. Последняя точка считается решением задачи оптимизации. Все точки поиска составляют траекторию поиска.
Методы поиска могут отличаться процедурой выбора шага (он может быть постоянным на всех итерациях или рассчитываться на каждой итерации), алгоритмом получения новой точки и условием прекращения поиска.
Методы поисковой оптимизации принято классифицировать по порядку производной целевой функции, используемой для получения новых точек. Методы, не использующие производные целевой функции, называются методами нулевого порядка (прямыми), использующие первую производную называются методами первого порядка, вторую – методы второго порядка. Чем выше порядок производной, тем более обоснованным является выбор следующей точки и тем меньше число итераций метода. Эффективность поискового метода определяется по числу итераций и по количеству вычислений целевой функции 
.
Введение………………………..………………………………………………2
1.Построение модели……………………………………………………..6
2.Задача Лагранжа. Безусловный и условный экстремумы……………7
3.Задача Лагранжа с одним ограничением……………………………..11
4.Смысл множителей Лагранжа………………………………………...15
5.Простейшая модель управления запасами…………………………...18
6.Модель I. Модель Уилсона без ограничений……………………..….26
7.Модель II. Модель Уилсона с ограничениями на складские помещения……………………………………………………………...33
8.Рацион Робинзона……………………………………………………...38
9.Взаимные экстремальные задачи……………………………………..42
10.Модель потребительского выбора……………………………………44
11.Лабораторные задачи…………………………………………………..47
12.Заключение……………………………………………………………..51
Список использованной литературы………………………………...………52
Введение
Научная модель является отображением некоторых интересующих нас явлений (например, определенных объектов, событий, процессов, систем) и используется в целях управления и предсказания. Основная функция научной модели заключается не в том, чтобы описать явления, а в том, чтобы объяснить их. Модель должна помочь выяснить, каким образом некоторые стороны явления влияют на другие стороны или же на явления в целом. Если построена достаточно верная модель, то эти вопросы можно выяснить, производя соответствующие опыты на модели, не меняя характеристик изучаемого объекта.
Преимущества использования модели для этих целей особенно очевидны, когда опыты на самом объекте или невозможны, как, например, в астрономии, или очень дороги, как в сложных промышленных организациях. Но знание моделей этих далеко не исчерпывается. В самом дели, в некотором смысле научные теории, объясняющие определенные явления, аналогичны моделям этого явления, потому наука не могла бы существовать без моделей, как она не могла бы существовать без теории.
Таким образом, модели играют важнейшую роль в исследовательском процессе и поэтому неизменно возрастает интерес к их изучению. Существующие модели можно разделить на три типа: изобразительные (модели геометрического подобия), модели - аналогии и символические (математические).
Изобразительная модель отображает внешние характеристики системы (как фотография и ли модель самолета). Она подобна оригиналу. Многие фотографии, картины и скульптуры являются изобразительными моделями людей, различных предметов или сцен. Игрушечный автомобиль является изобразительной моделью “настоящего” автомобиля. Глобус является изобразительной моделью земного шара. В общем случае всякое отображение представляет собой изобразительную модель в той мере, в какой его свойства совпадают со свойствами оригинала. Правда, эти свойства обычно подвергаются метрическому преобразованию, т.е. берётся определенный масштаб. Например, глобус имеет уменьшенный диаметр по сравнению с земным шаром, хотя форма и относительные размеры континентов, морей и т.д. приблизительно правильные. Модель атома, наоборот, имеет увеличенные размеры, чтобы его можно было разглядеть не вооруженным глазом. Масштаб в модели вводится для экономии и удобства пользователя. В обычных условиях гораздо легче работать с моделью здания, атома или производственной системы, чем с самим объектом. Так, с опытным заводом, который является уменьшенной моделью полного завода, работать гораздо легче, чем с настоящим заводом.
Изобразительные модели хорошо приспособлены для отображения статического или динамического явления в определенный момент времени. Например, фотография или схема производственных потоков может дать хорошую “картину” работы завода. Но такие модели не подходят для отображения динамики явлений, например для отображения рабочих операций, на заводе. Поэтому они не годятся для изучения изменяющегося процесса, или динамики системы.
Хотя изобразительная модель и подобна оригиналу, она, как и другие типы моделей, отличается от оригинала и не может отразить всех его свойств. В ней отображается только свойства оригинала, существенные для задач, решаемых с помощью данной модели. Этой избирательностью во многом определяется экономичность использования любой научной модели.
Модель - аналог использует ряд свойств одного явления для отображения свойств другого явления (например, в некоторых случаях поток воды через трубы можно принять за аналог “потока” электричества по проводам).
При построении модели различных объектов, событий, процессов или систем не всегда можно простым изменением масштаба изобразить все интересующие нас свойства. Например, мы не можем наглядно представить на глобусе геометрическую структуру Земли. Но мы легко можем представить различные геометрические формации с помощью разноцветной окраски. При этом мы производим подмену одного свойства (цвет) другим (геометрическая структура) в соответствии с некоторыми правилами преобразования. В картографии, например, такое преобразование является узаконенным, причем правила для преобразования приводятся в легенде. В легенде на карте приводится также перечень обозначений: например, сплошная линией обозначается грунтовая дорога, а пунктирной - шоссейная. Такая модель называется моделью - аналогом, поскольку в ней совокупность одних свойств представляется с помощью совокупности других свойств.
Примером простой аналогии является графики. На графиках пользуются расстоянием для отображения таких свойств, как время, число, проценты, вес, и многих других. Графики часто удобны для представления количественных соотношений и дают возможность предсказывать, как изменения одного свойства сказывается на другом свойстве.
Используя модели - аналоги, мы увеличиваем наши возможности проверять на модели изменения различных параметров. Обычно проще изменить модель - аналог, чем изобразительную модель.
Модели - аналоги удобны для отображения динамических процессов или систем. Можно построить модель, работа которой будет аналогична работе конвейера на заводе. Или можно отобразить колебания спроса путем соответствующего изменения некоторой входной величины модели. Однако на изобразительной модели, например уменьшенной действующей модели цеха, такое изменение провести трудно.
Другим преимуществом модели - аналога по сравнению с изобразительной моделью является большая универсальность этой модели. Так, незначительно изменение модели, можно отобразить различные процессы одного класса.
Символическая модель использует символы для отображения свойств изучаемой системы (с помощью математического уравнения или системы уравнений). Элементы модели и их взаимосвязь задаются с помощью символов (обычно математического или логического характера).
Во многих случаях построения моделей - аналогов затруднительно, поскольку изучение динамики явления отнимает много времени. Например, чтобы изучить с помощью аналоговой модели влияния колебания спроса на производственный процесс, нужно проделать на модели много опытов. Если же системы можно представить с помощью математического выражения, то влияние изменить какого-нибудь параметра можно установить с помощью математической дедукции за несколько шагов. Поэтому мы рассматриваем в основном символические модели.
1. Построение модели
Для постановки задачи необходима анализ системы, исследование её особенностей и возможных методов управления системой. Схема, построения в результате такого анализа, является либо изобразительной, либо аналоговой моделью. Таким образом, первый этап построения модели выполняется в процессе постановки задачи. После такого анализа системы уточняется перечень различных вариантов в решения, которые надо оценить. Затем определяются меры общей эффективности этих вариантов. Следовательно, следующий этап заключается в построении такой модели, в которой эффективность системы можно выразить в функции переменных, определяющих систему. Некоторые из этих переменных в реальной системе можно менять, другие переменные менять нельзя. Те переменные, которые можно изменить, назовем “управляемыми”. Различные варианты решения задачи необходимо выразить с помощью управляемых переменных.
Построение математической (символической) модели системы можно начать с перечисления всех элементов системы, которые влияют на эффективность работы системы. Если в качестве меры общей эффективности используется “общие ожидаемые издержки”, то можно начать с исследования изобразительной или аналоговой модели, полученной на стадии постановки задачи. Можно выделить операции и материалы, которым сопоставляется некоторые затраты. При этом получим, например, следующий исходный список:
1.Производственные затраты:
а) закупочная цена сырья;
б) издержки перевозки сырья;
в) стоимость приемки сырья;
г) стоимость хранения сырья;
д) стоимость планирования производства;
е) стоимость наладочных работ в цехе;
ж) стоимость процесса обработки;
з) стоимость хранения запасов в процессе производства;
и) стоимость завершения производства и передачи готовых изделий на склад;
к) стоимость анализа результатов работы группой планирования;
л) стоимость хранения готовых изделий.
2.Затраты на сбыт.
3.Накладные расходы.
2. Задача Лагранжа
Безусловный и условный экстремумы
Важное место в математиком аппарате экономики занимают оптимальные задачи - задачи, которых ищется наилучшее в определенном смысле решение. В экономической практике требуется использовать имеющиеся ресурс наиболее выгодным образом. В экономической теории одним из отправных пунктов является постулат о том, что каждый экономический субъект, имея определенную свободу выбора своего поведения, отыскивает наилучший со своей точки зрения вариант. И оптимизационные задачи служат средством описания поведения экономических субъектов, инструментом исследования закономерностей этого поведения.
Многие задачи оптимизации формулируются следующим образом. Решение, которое должен принять субъект, описывается набором чисел х1 ,х2 ,…,хn (или точкой Х=(х1 ,х2 ,…,хn) n-мерного пространства). Достоинства того или иного решения определяются значениями функция f(X) = f(х1, х2 ,…,хn) — целевой функции. Наилучшее решение — это такая точка Х, в которой функция f(Х) принимает наибольшее значение. Задача нахождения такой точки описывается следующим образом:
Если функция f(X) характеризует отрицательные стороны решения (ущерб, убытки и т. п.), то ищется точка Х, в которой значение f(X) минимально:
Минимум и максимум объединяются понятием экстремума. Для определенности мы будем говорить только о задачах максимизации. Поиск минимума не требует специального рассмотрения, поскольку заменой целевой функции f(X) на -f(Х) всегда можно “превратить недостатки в достоинства” и свести минимизацию к максимизации.
Из каких вариантов должен быть выбран наилучший? Иными словами, среди каких точек пространства нужно искать оптимум. Ответ на этот вопрос связан с таким элементом оптимизационной задачи, как множество допустимых решений. В некоторых задачах допустимыми являются любые комбинации чисел х1, х2,…,хn то есть множество допустимых решений - это все рассматриваемое пространство.
В других задачах следует принимать во внимание различные ограничения, означающие, что не все точки пространства доступны при выборе. В содержательных постановках задач это может быть связано, например, с ограниченностью располагаемого количества ресурсов.
Ограничения могут быть представлены в форме равенств вида
или неравенства
Если условия имеют несколько другую форму, скажем, g1(Х) = g2(X) или g(X) A, то их можно привести к стандартному виду, перенеся в функции и константы в одну из частей равенства или неравенства.
Экстремум, отыскиваемый во всем пространстве, без каких-либо ограничивающих условий, носит название безусловного. Если целевая функция непрерывно дифференцируема, то, необходимое условие безусловного экстремума функции состоит в равенстве нулю всех ее частных производных:
Если же заданы ограничения, то экстремум ищется лишь среди точек, которые удовлетворяют всем ограничениям задачи, так как только такие точки являются допустимыми. В этом случае экстремум носит название условного.
Рассмотрим задачу поиска условного экстремума:
при условиях(2)
g1(Х) = 0; g2(Х) = 0, …, gn(Х) = 0,
все ограничения которой представляют собой равенства.
Если при этом целевая функция и все ограничивающие функции непрерывно дифференцируемы, то такую задачу мы будем называть задачей Лагранжа.
3. Задача Лагранжа с одним ограничением
Рассмотрим задачу, имеющую следующую структуру:
при условии (3)
Рассмотрим пример. По склону горы идет дорога, требуется найти на ней самую высокую точку. На рис. 1 представлена карта местности с нанесенными на нее линиями
равных высот; толстая линия - это дорога. Точка М, в которой дорога касается одной линий уровня, - это и есть наивысшая точка дороги.
Если Х = (х1, х2) - точка плотности, х1 и х2 - её координаты, то задаче можно придать следующую форму. Пусть f(Х) — высота точки Х над уровнем моря, а уравнение g(X) = 0 описывает дорогу. Тогда наивысшая точка дороги - решение задачи (3).
Если бы дорога проходила через вершину горы, то ее высшая точка была бы самой высокой точкой местности, и ограничение можно было бы не принимать во внимание.
Если же дорога не проходит через вершину, то, немного отклонившись от дороги, можно было бы подняться выше, чем двигаясь строго по дороге. Отклонение от дороги соответствует попаданию в такие точки, где g(X) 0; при малых отклонениях достижимую при этом высоту можно приближенно считать пропорциональной отклонению.
Идею решения задачи Лагранжа можно представить следующим образом: можно попытаться “исправить” рельеф местности так, чтобы отклонение от дороги не давало преимуществ в достижении высоты. Для этого нужно заменить высоту f(Х) функцией.
L(X) = f(X) - g(Х),
где множитель подбирается таким образом, чтобы участок склона в окрестности точки М стал горизонтальным (слишком малое не устранит преимуществ отклонений от дороги, а слишком большое - придаст преимущество отклонениям в противоположную сторону).
Теперь, поскольку рельеф L(X) делает площадку в окрестности точки оптимума горизонтальной, эта точка удовлетворяет равенствам
а так как точка лежит на дороге, то - и ограничению g(X) = 0.
Пример с горой и дорогой — лишь иллюстрация идеи; точно так же двумерный случай использован исключительно для наглядности. Подобным образом можно было бы рассуждать и в общем, n-мерном случае.
Справедливо следующее утверждение:
Если f(х1,…,хn) и g(х1,…,хn) - непрерывно дифференцируемые функции всех своих аргументов, то решение задачи
f(х1,…,хn) max
при условии
g(х1,…,хn) = 0
удовлетворяет равенствам
L(х1,…,хn;) = f(х1,…,хn) — g(х1,…,хn).
Функция L(X; ) получила название функции Лагранжа (или лагранжиана) задачи (3), а коэффициент — множителя Лагранжа.
Заметим, что равенство (5) — это представленное в другой форме ограничение g(Х) = 0.
Приведенные выше рассуждения, разумеется, не являются доказательством сформулированного здесь утверждения; они лишь помогают понять существо метода: составляющая g(Х) в составе функции Лагранжа должна уравновешивать возможное увеличение максимального значения функции g(Х) от нуля. Это обстоятельство в дальнейшем будет весьма полезно при обсуждении смысла множителя Лагранжа.
Рассмотрим чрезвычайно простой пример. Веревкой длины А требуется огородить на берегу моря прямоугольный участок наибольшей площади (берег считается прямолинейным).
Рис.3 к задаче Дидона
Обозначим стороны прямоугольника х1 и х2 (см. рис. 3). Решим сначала задачу без использования метода Лагранжа.
Очевидно, х2 = А - 2 х1 и площадь прямоугольника равна S = х1х2 = x1(А - 2х1). Рассматривая ее как функцию одного аргумента х1, нетрудно найти его значение, при котором площадь максимальна: х1 = А/4. Отсюда х2 = А/2. Максимальная площадь равна S* = А2/8.
Теперь рассмотрим эту же задачу в форме задачи Лагранжа:
при условии
2 х1 + х2 - А = 0
Лагранжиан этой задачи равен
L(х1,х2; ) = х1х2 - (2х1 + х2 - А),
и условия экстремума имеют вид
2 х1 + х2 = А
Подставляя значения х1 и х2 из первого и второго равенств в третье, находим, что 4 = А, откуда
= А/4; х1 = А/4; х2 =А/2,
как и при решении первым способом.
Этот пример показывает распространенный способ решения задачи Лагранжа. Соотношения (4) и (5) образуют систему уравнений относительно х1,…,хn и ,. Система состоит из n + 1 уравнения - n уравнений вида (4) и одно уравнение вида (5). Число уравнений равно числу неизвестных. Из уравнений вида (4) можно попытаться выразить каждую из неизвестных х1,…,х2 через , то есть решить ее как систему из n уравнений, рассматривая как параметр. Подставляя получившиеся выражения в уравнение (5) - нам известно, что оно совпадает с ограничением, - получаем уравнение относительно . Решая его, находят , после чего определяются исходные неизвестные х1,…,хn.
4. Смысл множителей Лагранжа
При решении задачи Лагранжа мы интересовались значениями х1,…,хn; кроме того, нас могло интересовать экстремальное значение целевой функции f(X). Но в процессе решения попутно было определено значение еще одной величины - множителя Лагранжа.
Оказывается, множитель Лагранжа — весьма существенная характеристика решаемой задачи. Чтобы смысл ее стал яснее, несколько изменим формулировку ограничения, ничего не изменяя по существу.
Типичная экономическая ситуация характеризуется тем, что приходится искать наиболее выгодное решение при ограниченном количестве некоторого ресурса. Если r - заданное количество ресурса, а функция h(X) характеризует потребное его количество для достижения точки Х, то ограничению естественно придать форму
По характеру задачи часто бывает ясно, что для достижения оптимума ресурс нужно использовать полностью, так что ограничение может быть записано в виде равенства
F(r) = max f(X) h(X) = r.
В правой части - принятое обозначение условного экстремума: после вертикальной черты выписывается условие.
Вспомним, что при обсуждении структуры лагранжиана мы интерпретировали g(Х) как составляющую, уравновешивающую возможный прирост максимума f(X) при отклонении g(X) от нуля. Но отклонение g(X) от нуля есть отклонение h(Х) от r. Если располагаемое количество ресурса получает приращение r, то мы должны ожидать приращение максимума функции f(X) на r.
В действительности это соотношение носит приближенный характер. Точный результат мы получили бы в пределе при r 0:
Таким образом, множитель Лагранжа характеризует скорость изменения максимума целевой функции при изменении ограничивающей константы r в ограничении вида (6).
В рассмотренном в предыдущем пункте варианте задачи Дидоны ограниченным ресурсом была длина веревки А. Максимальная площадь оказалось равной S(A) = A2/8. Отсюда dS(А)/dА = А/4, что в точности соответствует найденному при решении значению .
Приведем еще одно рассуждение. Для всевозможных точек Х найдем значения f(X) и h(Х) и отложим эти значения в виде точек в декартовых координатах (рис. 4). Если при каждом значении h(Х) существует максимум функции f(Х), то все точки расположатся ниже некоторой кривой, показанной на рисунке жирной линией.
Нас интересуют точки, соответствующие условию h(X) = r. Максимум f(X) помечен точкой М*; обозначим наклон кривой в этой точке. Если в качестве ординаты брать не f(X), а L(X; ) =f(X) - , то новая верхняя граница имела бы в точке М* горизонтальную касательную. Это значит, что в исходном n-мерном пространстве соответствующая точка М — стационарная точка функции L (X; ) с данным значением параметра . Таким образом, - множитель Лагранжа.
Но жирная черная кривая — это график функции F(r), а - его угловой коэффициент, откуда и следует равенство (7).
5. Простейшие модели управления запасами.
Рассмотренные ниже задачи связаны с оптимальным регулированием запасов. Эти задачи можно сформулировать следующим образом:
1.Моменты времени, в которые принимаются заказы на пополнение запасов, фиксированы. Остается определить объем и время заказов.
2.Необходимо определить и объем и время заказов.
1.Расходы, вызываемые оформлением и получением заказа при закупке или производстве. Это величина, не зависящая от размера партии, и, следовательно, переменная для единицы продукции.
2.Стоимость хранения единицы продукции на складе. Сюда включается затраты, связанные с организацией хранения, устареванием и порчей, расходы на страхование и налог.
3.Расходы (штрафы), возникает при истощении запасов, когда происходит задержка в обслуживании или спрос вообще невозможно удовлетворить.
Все затраты могут оставаться постоянными или изменяться как функции времени (например, в зависимости от сезона может быть различным штраф за зависимость хранения единицы товара на складе).
В задачах управления запасами учитывается также характеристики спроса и возможности пополнения запасов.
Спрос может быть известным или неизвестным, постоянным или зависящем от времени. Величина, характеризующая спрос, может быть как дискретной (например, количество автомобилей), так и непрерывной.
Спрос на запасенные товары может возникать в определенные моменты времени (спрос на мороженое на стадионе) или существовать постоянно (спрос на мороженное в большом аэропорту).
Заказы на пополнение запасов в ряде случаев могут выполняться немедленно (например, при заказе молока в небольшом магазине). В других случаях выполнение заказа требует значительного времени. Заказы можно делать в любые или только в определенные моменты времени.
Объем поступающий на склад продукции может измеряться дискретной или непрерывной и может быть как постоянным, так и переменным. Само поступление может быть дискретным и непрерывным и происходить равномерно или неравномерно.
Примем следующие обозначения:
q - объем заказа (при пополнении запасов);
q0 - оптимальный размер заказа;
t - интервал времени;
ts - интервал времени между двумя заказами;
tso - оптимальный интервал времени между заказами;
T - период времени, для которого ищется оптимальная стратегия;
R - полный спрос за время Т;
C1 - стоимость хранения единицы продукции в единицу времени;
C2 - величина штрафа за нехватку одной единицы продукции (в определенный момент времени).
Cs - стоимость заказа (при покупке или производстве),
Cs - ожидаемые суммарные накладные расходы;
Qo - минимум ожидаемых суммарных накладных расходов;
So - оптимальный уровень запасов к началу некоторого интервала времени.
Пусть некий предприниматель должен поставлять своим клиентов R изделий равномерно в течение интервала времени Т. таким образом, спрос фиксирован и известен. Нехватка товара не допускается, т.е. штраф при неудовлетворенном спросе бесконечно велик (C2 =). Переменные затраты производства складываются из следующих элементов: C1 - стоимость хранения одного изделия (в единицу времени), C2 - стоимость запуска в производство одной партии изделий.
Предприниматель должен решать, как часто ему следует организовывать выпуск партии и каким должен быть размер каждой партии.
Уравнение цен и его аналитическое решение. Только что описанная ситуация представлена графически на рис.5. Пусть q -размер партии, ts - интервал времени между запусками в производство партии, а R - полный спрос за всё времени планирования T.
Тогда R/q - число партий за время Т и
Если интервал ts начинается, когда на кладе имеется q изделий и заканчивается при.
отсутствии заказов, тогда q/2 - средний запас в течение ts (равенство q/2= qср следует рассматривать как приближенное. Точность его тем выше, чем больше R) q/2* C1 ts затраты на хранения в интервале ts.
Общая стоимость создания запасов в интервале ts равна сумме стоимости запуска в производство
Для вычисления полной стоимости создания запасов за время Т следует эту величину умножить на общее число партий за это время:
Подставляя сюда выражение для ts, получаем
Члены в правой части уравнений (44) представляют стоимость хранения и полную стоимость заказа в производстве всех партий. С увеличением размера партий первый член возрастает, а второй убывает. Решение задачи управления запасами и состоит в определении такого размера партии qo, при котором суммарная стоимость была бы наименьшей (рис. 6)
Найденное оптимальное значение qo размер партии
Для оптимальных tsо и Qo имеем
Пример I: Пусть предприниматель должен поставлять своему заказчику 24000 единиц продукции в год. Так как получаемая продукция используется непосредственно на сборочной линии и заказчик не имеет для нее специальных складов, поставщик должен единично отгружать дневную норму. В случаи нарушения поставок поставщик рискует потерять заказ. Поэтому нехватка продукции недопустима, т.е. штраф при нехватке можно бесконечным. Хранение единицы продукции в месяц стоит 0,1 долл. Стоимость запуска в производство одной партии продукции составляет 350 долл.
Требуется определить оптимальный размер партии q0, оптимальный период и tsо вычислить минимум общих ожидаемых годовых затрат Qо. В данном случае Т = 12 месяцам, R = 24 000 единиц, Сs = 0,1 долл./партия Сs = 350 дол/партия. Подстановка этих значений в уравнения (9), (10) и (11) дает нам.
Модель II.
Рассмотрим теперь случай, который отличается от предыдущего только тем, что превышение спроса над запасами уже допускается, т.е. штраф за нехватку конечный.
Уравнение цен и его аналитическое решение. Рассматриваемая ситуация изображена на рис. 7. В начале каждого интервала имеется уровень запасов. Из подобия треугольников находим.
Средний запас в течении t1, равен S/2. Поэтому затраты на хранение за всё время t1
составляют S/2 * t1 С1. Средняя нехватка (превышение спроса над уровнем запасов) за врем t2 равна (q-S)/2, и штраф за время t2 равна (q - S)/2, и штраф за время t2 составляет ((q - S)/2)* Q2 t2 .
Таким образом, ожидаемые суммарные расходы за всё время Т определяется следующим выражением:
Подставляя сюда найденные выше выражения для t1 и t2 учитывая полученное раннее выражение для ts, имеем
Из уравнения (12) можно найти оптимальные значения для q и S, при которых полные ожидаемый расходы будут минимальными.
После дифференцирования уравнения (12) имеем:
Приравнивая эти частные производные нулю и упрощая, получаем выражения,
Решая эту систему уравнений относительно S и q, находим
и, следовательно,
Что бы получить Qо, заменим, что
Поставляем (14) и (51) в (12), после упрощения получаем
При сравнении результатов, полученных для моделей I и II, можно заметить, что во первых уравнения (9), (10) и (11) можно получить из уравнения (13), (15), и (16), если в них устремиться С2 к бесконечности. Этот результат нельзя считать неожиданным, так как модель I есть частный случай модели II.
Во - вторых, если С2 , то
Следовательно, ожидаемые суммарные расходы в модели II меньше, чем в модели I.
Пример II: Пусть сохраняются все условия примера I, но только штраф С2 за нехватку теперь равен 0,2 долл. за одно изделие в месяц. И уравнения (13) - (16) получаем:
При оптимальной стратегии ожидаемый дефицит к концу каждого периода составлял бы 4578 - 3058 = 1522 изделия.
6. Модель I. Модель Уилсона без ограничений
В качестве простейшей модели управления запасами рассмотрим модель оптимизации текущих товарных запасов, позволяющих повысить эффективность работы торгового предприятия. Такая модель строится в следующей ситуации: некоторое торговое предприятие в течении фиксированного периода времени собирается завести и реализовать товар конкретного (заранее известного) объема и при этом необходимо смоделировать работу предприятия так, чтобы суммарные издержки были минимальны. При построении этой модели используется следующие исходные предложения:
1.планируется запасы только одного товара или одной товарной группы;
2.уровень запасов снижается равномерно в результате равномерно производимой продажи;
3.спрос и планируемом периоде заранее полностью определен;
4.поступление товаров производится строго в соответствии с планом, отклонения не допускаются, штраф при неудовлетворенном спросе бесконечно велик;
5.издержки управления запасами складывается только из издержек по завозу и хранению запасов.
Суммарные издержки будем считать зависящими от величины одной поставки q. Таким образом, задача оптимального регулирования запасов сводится к нахождению оптимального размера q0 одной постановки. Найдя оптимальное значение управляемой переменной q, можно вычислить и другие параметры модели, а именно: количество поставок n0, оптимальный интервал времени tso между двумя последовательными поставками, минимальные (теоретические) суммарные издержки Q0.
Введем следующие обозначения для заранее известных параметров модели:
T - полный период времени, для которого строится модель;
R - весь объем (полный спрос) повара за время T;
C1 - стоимость хранения одной единицы товара в единицы времени;
Cs - расходы по завозу одной партии товара.
Обозначим через Q неизвестную пока суммарную стоимость создания запасов или, что то же самое, целевую функцию. Задача моделирования состоит в построении целевой функции Q = Q(q). Суммарные издержки, будут состоять из издержек по завозу и хранению товара.
Полные издержки по хранению текущего запаса будет равны
т.е. произведению стоимости хранению одной единицы товара на “средний” текущий запас. По предложению 2 уровень запасов снижается равномерно в результате равномерно производимой продажи, т.е. если в начальный момент создания запаса он равен q, то в конце периода времени ts он стал равен 0 и тогда “средний” запас равен
Полные издержки по завозу товара будут равны
т.е. произведению стоимости завоза одной партии товара на количество поставок n, которые очевидно равны.
Тогда суммарные издержки управления текущими запасами составят
т.е. целевая функция Q является нелинейной функцией величины q, изменяющейся в пределах от 0 до R.
Таким образом, для задачи оптимального управления текущими запасами построена следующая математическая модель:
при ограничениях 0
определить значения q, обращающее в минимум нелинейную целевую функцию
Формализованная задача строго математически записывается в виде:
Решение задачи проведем по известной схеме. Вычисляем производную:
И приравниваем её к нулю:
Чтобы убедиться, что в точке q = q0 функция Q(q) действительно достигает своего минимума, вычислим вторую производную:
Итак, оптимальный размер одной поставки равен:
оптимальный средний текущий запас:
оптимальное число поставок:
оптимальный интервал между двумя последовательными поставками:
оптимальные (теоретические) издержки составят:
ПРИМЕР 1. Торговое предприятие в течение года планирует завести и реализовать сахар общим объёмом 10 тысяч тон. Стоимость завоза одной партии товара равна 1000 рублей, а хранение одной тонны сахара обходится в 50 рублей. Определить оптимальный размер одной поставки, чтобы суммарные расходы по завозу и хранению товара были минимальны, а также количество поставок, интервал времени между двумя последовательными поставками и минимальные (теоретические) суммарные издержки.
По условию задачи: R = 10000, Cs = 1000, C1 = 50, T = 12 мес.
По формулам (19), (21), (22) и (23) имеем:
Итак, оптимальный размер одной поставки равен 632 тонны, количество поставок nо равно 16, время tso между двумя последовательными поставками равно 23 дня, а минимальные суммарные расходы составят 31600 рублей.
Заметим, что условия рассмотренной задачи во многом являются идеализированными. На практике не всегда является возможным придерживаться полученных теоретических параметров модели управления запасами. Например, в рассмотренной задаче мы получили, что оптимальный размер одной поставки равен 632 тонны, но может так оказаться, что завод-изготовитель отпускает сахар только вагонами по 60 тонн. Значит, торговое предприятие вынуждено отклоняться от оптимального размера одной поставки. Поэтому важно определить такие пределы отклонения, которые не приводят к существенному возрастанию суммарных издержек.
Целевая функция Q(q) управления запасами является суммой двух функций - линейной и гиперболической. Изобразим её график схематически.
В области минимума она изменяется медленно, но с удалением от точки qo, особенно в сторону малых q, величина Q быстро возрастает. Определим доступные изменения размера одной поставки по доступному уровню возрастания издержек. Пусть торговое предприятие “согласно” на возрастание минимальных издержек в не более, чем раз ( > 1), т.е. предприятие допускает издержки
Отклонение размера одной поставки q от оптимального зададим с помощью дополнительного параметра в виде:
Тогда суммарные издержки при таком размере одной поставки будет равны:
из (24) и (25) следует:
Разрешая (26) относительно получаем:
Пусть в примере 1 предприятие допускает увеличение суммарных издержек на 20% по сравнению с оптимальными, т.е. = 1,2. Тогда по формулам (27) получаем: 1 = 1,2 - 1,44 - 1 = 0,54; 2 = 1,2 + 1,44 - 1 = 1,86. И интервал допустимых величин есть 0,54 1,86. Тогда: 1qo = 0,54 * 632 341; 2qo = 1,86 * 632 1176 и объём одной постановки q может изменяться в интервале (1qo; 2q0) = (341; 1176). При этом суммарные издержки не превысят оптимальные более чем в 1, 2 раза.
Заметим здесь, что полученный допустимый интервал значений q не симметричен относительно qо, поскольку в сторону уменьшения значений q можно отклониться от qo на 632 - 341 = 291 единиц, а в сторону увеличения значений q можно отклоняться от q0 на 1176 - 632 = 544 единиц.
Такая асимметричность допустимых значений q относительно q0 легко объясняется из графика функции Q на рис.1: при отклонении влево от q0 график функции возрастает “быстрее”, чем при отклонении на такую же величину вправо от q0.
Рассмотренная выше модель конечно же достаточно проста и может применяться только на предприятиях реализующих один тип товара, что встречается крайне редко. Обычно у любого торгового предприятия имеются запасы самых различных товаров. Если при этом товар не является взаимозаменяемыми, то определение оптимальных размеров запасов производится отдельно по каждому товару, как это было показано выше. Взаимозаменяемые товары целесообразно объединить в группы и для них производить оптимизацию товарных запасов как для отдельных товаров. На практике, однако, не всегда можно воспользоваться такими рекомендациями, поскольку могут возникнуть другие ограничительные условия, в частности ограниченность размеров складских помещений. Такие ограничительные условия приводят к тому, что оптимальная по величине партия товара не может быть размещена в имеющийся складской емкости. Рассматриваемая далее модель учитывает такие ограничения.
7. Модель II. Модель Уилсона с ограничениями на складские помещения
Пусть торговое предприятие в течении периода времени Т должно завести и реализовать n видов товара. Соответственно обозначим:
Ri - полный спрос i - го товара за время Т;
C1i - стоимость хранения одной единицы i-го товара планируемом периоде времени;
CSi - расходы по завозу одной партии i - го товара;
Vi - объем складского помещения занимаемый одной единицей i -го товара.
V - вся ёмкость складского помещения.
Все эти значения считаются заранее известными. Неизвестный пока размер одной поставки i-го товара обозначим через qi, а через qio будем в дальнейшем обозначать оптимальный размер одной поставки i-го товара.
Тогда в соответствии с (2) полные издержки по завозу и хранению i-го товара будут равны:
а суммарные издержки по всем видам товара принимают вид:
qi Ri, qi 0 (30).
Итак, приходим к следующей задаче Лагранжа:
Найти минимум нелинейной функции (12) при линейных ограничениях (29) и (30). Функция Лагранжа рассматриваемой задачи (28) - (30) имеет вид:
Функция Лагранжа (31) совпадает с целевой функцией (28) в случаи если в (31)
Следуя алгоритму решения задачи Лагранжа, найдем частные производные функции (31) по всем qi и прировняем их к нулю:
Каждое из уравнений системы (34) определяет соответствующее значение
где в правой части все значения параметров известны за исключением множителя . Для определения значения подставим выражения qi в условие (32). Получаем:
В соотношении (36) все величины, кроме , заранее известны, т.е. оно является иррациональным уравнением с одним неизвестным. Его всегда можно разрешить относительно множителя . Найдя значения = 0, можно определить оптимальные величины поставок каждого из товаров по формулам:
Теперь можно рассматривать конкретный пример.
Пусть торговое предприятие намерено завести и реализовать товар трех видов (n = 3) объемами соответственно 24 тыс. ед, 20 тыс. ед. и 16 тыс. ед. Весь объем складских помещений составляет 18 000 куб. м. Стоимость хранения одной единицы первого вида товара 6 руб., второго - 8 руб., третьего - 10 руб. Расходы по завозу одной партии первого вида товара 1200 руб., второго - 1600 руб., третьего - 2000 руб. При этом одна единица первого вида товара занимает 3 куб. м., второго - 4 куб. м., третьего - 5 куб. м. Найти оптимальные размеры поставок каждого из видов товара. По условию имеем:
R1 = 24000, R2 = 20000, R3 = 16000;
C11 = 6, C12 = 8, C13 = 10;
Cs1 = 1200, Cs2 = 1600, Cs3 = 2000;
V1 = 3, V2 = 4, V3 = 5;
Составляем уравнение вида (36) для определения значения множителя ;
откуда о = - 2,41.
Найдем величины оптимальных поставок каждого из товаров по формулам (37):
Проверим выполнимость условия (29) при найденных объемах оптимальных поставок. Должно выполняться:
V1 * q1о + V2 * q2о + V3 * q3о V = 18000.
3 * 1677 + 4 * 1531 + 5 * 1369 = 5031 + 6124 + 6845 = 18000.
Выполнимость неравенства (29) служит подтверждением того, что объемы оптимальных поставок определены верно. Более того. Неравенство (29) в нашем примере выполнилось как равенство, что говорит о том, что при первом завозе товара все складские помещения будут заполнены максимально полно. С течением времени, при последующих завозах товара, картина будет конечно же не столь идеальной и какая та часть складских помещений будет не заполнена.
Здесь можем заметить одну небольшую “уловку” в этом примере исходные данные в примере подобраны так, что иррациональное уравнение (*) вида (36) имеет во всех трех слагаемых один и тот же знаменатель, что конечно же упрощает решение уравнения. Эта “уловка” использована для облегчения рассмотрения примера, поскольку нашей главной целью в настоящий момент не является возможность разрешения иррационального уравнения. И тем не менее, возникает вопрос: а что же делать, когда при использовании этой модели на практике исходные данные будут таковы, что нашей “уловкой” воспользоваться будет невозможно. Ответ на этот вопрос достаточно прост: в современной математике разработаны десятки методов приближенных решений уравнений и потому значения множителя можно определить из уравнения (36) приближенно с любой степенью точности. К тому же несмотря на нашу “уловку” облегчающую нахождения значения , тем не менее мы определили его приближение. С учетом выше сказанного, можем прийти к выводу, что использованная “уловка” не сужается общностью рассмотрения модели.
8. Рацион Робинзона
Обратимся теперь к задаче о потреблении примерно в таком виде, в каком ее ставил Госсен.
Человек может потреблять блага n видов в количествах хi, i = 1, …, n. Общая полезность потребления i-того блага описывается функцией TUi(xi). Предельная полезность MUi(хi) = dTUi(хi)/dxi убывает с ростом хi - в этом состоит закон Госсена. Полезность потребления всех: благ суммируется по отдельным благам, так что
Будем считать, опять-таки следуя Госсену, что потребительские возможности человека ограничены лишь временем, которое он может затачивать на добывание и потребление благ, как это имело место у Робинзона Крузо. Если на единицу i-того блага ему приходится тратить ti единиц времени, то ресурсное ограничение выражается равенством
где Т — фонд времени, выделяемый на потребление благ.
Оптимизация - процесс нахождения экстремума (глобального максимума или минимума) определённой функции или выбора наилучшего (оптимального) варианта из множества возможных. Наиболее надёжным способом нахождения наилучшего варианта является сравнительная оценка всех возможных вариантов (альтернатив). Если число альтернатив велико, при поиске наилучшей обычно используют методы математического программирования. Применить эти методы можно, если есть строгая постановка задачи: задан набор переменных, установлена область их возможного изменения (заданы ограничения) и определён вид целевой функции (функции, экстремум которой нужно найти) от этих переменных. Последняя представляет собой количественную меру (критерий) оценки степени достижения поставленной цели.
Задача безусловной оптимизации состоит в нахождении минимума или максимума функции в отсутствие каких-либо ограничений. Несмотря на то что большинство практических задач оптимизации содержит ограничения, изучение методов безусловной оптимизации важно с нескольких точек зрения. Многие алгоритмы решения задачи с ограничениями предполагают сведение ее к последовательности задач безусловной оптимизации. Другой класс методов основан на поиске подходящего направления и последующей минимизации вдоль этого направления. Обоснование методов безусловной оптимизации может быть естественным образом распространено на обоснование процедур решения задач с ограничениями.
Задача условной оптимизации заключается в поиске минимального или максимального значения скалярной функции f(x) n-мерного векторного аргументах. Решение задачи основывается на линейной или квадратичной аппроксимации целевой функции для определения приращений x1, …,xn на каждой итерации. Существуют также приближенные методы решения нелинейных задач. Это методы основанные на методе кусочно-линейной аппроксимации. Точность нахождения решений зависит от количества интервалов, на которых мы находим решение линейной задачи, максимально приближенной к нелинейной. Такой метод позволяет производить расчеты с помощью симплекс-метода. Обычно в линейных моделях коэффициенты целевой функции постоянны и не зависят от значения переменных. Однако существует ряд задач, где затраты зависят от объема нелинейно.
Алгоритм решения:
- 1. Работа начинается с построения регулярного симплекса в пространстве независимых переменных и оценивая значения целевой функции в каждой из вершин симплекса.
- 2. Определяется вершина - наибольшее значение функции.
- 3. Вершина проецируется через центр тяжести остальных вершин в новую точку, которая используется в качестве вершины нового симплекса.
- 4. Если функция убывает достаточно плавно, итерации продолжаются до тех пор, пока либо не будет накрыта точка min, либо не начнется циклическое движение по 2 или более симплексам.
- 5. Поиск завершается, когда или размеры симплекса, или разности между значениями функции в вершинах останутся достаточно малыми.
Задача: оптимизация емкостей. Добиться минимальных затрат на изготовление емкости объёмом 2750 литров для хранения песка.
Z = C1X1 + C2X2 + C3X3 + C4X4 + C5X5 min;
где: X1 - количество необходимого металла, кг;
C1 - стоимость металла, руб/кг;
X2 - масса требующихся электродов, кг;
C2 - стоимость электродов, руб/кг;
X3 - количество затраченной электроэнергии, кВт ч;
C3 - стоимость электроэнергии, руб/кВт ч;
X4 - время работы сварщика, ч;
C4 - тарифная ставка сварщика, руб/ч;
X5 - время работы подъемника, ч;
C5 - оплата подъемника, руб/ч.
1. Найдем оптимальную поверхностную площадь емкости:
F = 2ab+2bh+2ah min (1)
где V=2750 литров.
x1=16,331; x2=10,99
Минимум функции получен в процессе оптимизации по методу Бокса- 1196,065 дм2
В соответствие с ГОСТ 19903 - 74, примем:
h=16,50 дм, b=10,00 дм.
Выразим a из (1) и получим:
Рассчитаем оптимальную толщину листа металла
Выберем углеродистую обыкновенную сталь Ст2сп
Для этой стали 320 МПа, ;
Масса песка.
Нагрузка на стенку емкости наибольшей площади:
Высчитаем нагрузку на 1 погонный сантиметр листа шириной 100 см:
Определим толщину стенки, исходя из условия:
где: l - длина листа (желательно наибольшая, чтобы оставить дополнительный запас прочности);
q - нагрузка на 1 погонный сантиметр, кг/см;
Толщина листа металла, м
Максимально допустимое напряжение металла, Н/мм2.
Выразим из (2) толщину стенки:
Учитывая, что 320 МПа = 3263 кг/см2,
Масса металла
где: F - площадь поверхности емкости, м2 ;
Толщина стенки металла, м;
Плотность металла, кг/м3.
Цена на сталь Ст2сп составляет около 38 руб/кг.
2. Длина сварного шва:
Воспользуемся электродами для нержавеющей стали «УОНИ-13/45»
Цена 88,66 руб/кг;
где: Sшва - поперечная площадь сечения сварного шва, м2;
l - длина сварного шва, м;
Плотность наплавленного металла, кг/м3.
3. Время сварки:
где l - длина сварного шва, м;
v - скорость сварки, м/ч.
Суммарная потребляемая мощность:
Рсум = 5 17 = 85 кВт ч;
Стоимость электроэнергии 5,7 руб/ кВт ч.
4. Для ручной дуговой сварки затраты вспомогательного, подготовительно-заключительного времени и времени на обслуживание рабочего места составляют в среднем 40 - 60%. Воспользуемся средним значением в 50%.
Общее время:
Оплата сварщика VI разряда - 270 руб/час.
Плюс тарифный коэффициент 17% за работу в замкнутом плохо проветриваемом пространстве:
Оплата помощника составит 60% от оплаты сварщика:
8055 0,6 = 4833 руб.
Итого: 8055+4833 = 12888 рублей.
5. Кран понадобиться для того, чтобы держать листы металла во время сварки, погрузки и выгрузки листов металла и непосредственно готовой емкости.
Чтобы «прихватить» всю конструкцию, сварщику необходимо наложить около 30% швов.
Оплата крана - 1000 руб/час.
Общая стоимость емкости.
