Nodarbības tēma: “Divu apļu savstarpējais izkārtojums. Divu apļu savstarpējs izvietojums plaknē Divu apļu savstarpējs izvietojums

Ļaujiet apļiem dot vektoru no sākuma līdz centram un šī apļa rādiusu.

Aplūkosim apļus A un B ar rādiusiem Ra un Rb un rādiusa vektoriem (vektors virzienā uz centru) a un b. Turklāt Oa un Ob ir viņu centri. Nezaudējot vispārīgumu, pieņemsim, ka Ra > Rb.

Tad ir izpildīti šādi nosacījumi:

Divu apļu krustošanās punkti

Pieņemsim, ka A un B krustojas divos punktos. Atradīsim šos krustošanās punktus.

Lai to izdarītu, vektors no a līdz punktam P, kas atrodas uz apļa A un atrodas uz OaOb. Lai to izdarītu, jums jāņem vektors b - a, kas būs vektors starp diviem centriem, jānormalizē (aizstāj ar līdzvirziena vienības vektoru) un jāreizina ar Ra. Iegūtais vektors tiks apzīmēts ar p. Šo konfigurāciju var redzēt attēlā. 6

Rīsi. 6. Vektori a,b,p un to dzīvesvieta.

Apzīmē i1 un i2 kā vektorus no a līdz divu apļu krustošanās punktiem I1 un I2. Kļūst acīmredzams, ka i1 un i2 iegūst, pagriežot no p. Jo mēs zinām visas trijstūra OaI1Ob un OaI2Ob malas (Rādiuss un attālums starp centriem), varam iegūt šo leņķi fi, pagriežot vektoru p vienā virzienā, iegūsim I1, bet otrā I2.

Saskaņā ar kosinusu likumu tas ir vienāds ar:

Ja jūs pagriežat p par fi, jūs iegūstat i1 vai i2 atkarībā no tā, uz kuru pusi jāgriežas. Tālāk vektors i1 vai i2 jāpievieno a, lai iegūtu krustošanās punktu

Šī metode darbosies pat tad, ja viena apļa centrs atrodas otrā. Bet tieši tur vektors p būs jāiestata virzienā no a līdz b, ko mēs arī darījām. Ja veidosi p, pamatojoties uz citu apli, tad nekas nesanāks

Nu, nobeigumā, pie visa jāpiemin viens fakts: ja apļi saskaras, tad viegli pārliecināties, ka P ir saskares punkts (tas attiecas gan uz iekšējo, gan ārējo pieskārienu).
Šeit jūs varat redzēt vizualizāciju (noklikšķiniet, lai palaistu).

Šī metode darbojas, taču rotācijas leņķa vietā varat aprēķināt tā kosinusu un caur to sinusu, un pēc tam tos izmantot, pagriežot vektoru. Tas ievērojami vienkāršos aprēķinus, saglabājot kodu no trigonometriskām funkcijām.

7G klase, Z

Nodarbības tēma: "Divu apļu relatīvais novietojums"
Mērķis: zināt iespējamos divu apļu savstarpējās izkārtošanās gadījumus; pielietot zināšanas problēmu risināšanā.

Mērķi: Izglītojoši: lai palīdzētu skolēniem izveidot un nostiprināt vizuālu priekšstatu par iespējamiem divu apļu izvietojuma gadījumiem, studenti varēs:

Izveidot saikni starp apļu savstarpējo izvietojumu, to rādiusiem un attālumu starp to centriem;

Analizējiet ģeometrisko dizainu un garīgi modificējiet to,

Attīstīt planimetrisko iztēli.

Teorētiskās zināšanas studenti varēs pielietot problēmu risināšanā.

Nodarbības veids: jaunu zināšanu iepazīšanas un nostiprināšanas nodarbība par materiālu.

Aprīkojums: prezentācija nodarbībai; kompasi, lineāls, zīmulis un mācību grāmata katram skolēnam.

Apmācība: . "Ģeometrija 7. klase", Almati "Atamura" 2012.g

Nodarbību laikā.

Laika organizēšana. Mājas darbu pārbaude.

3. Pamatzināšanu aktualizēšana.

Atkārtojiet apļa, apļa, rādiusa, diametra, hordas, attāluma no punkta līdz līnijai definīcijas.

1) 1) Kādus taisnes un apļa atrašanās vietas gadījumus jūs zināt?

2) Kādu taisni sauc par tangensu?

3) Kādu līniju sauc par sekantu?

4) Teorēma par diametru perpendikulāri hordai?

5) Kā pieskare pāriet attiecībā pret riņķa rādiusu?

6) Aizpildiet tabulu (uz kartēm).

Skolēni skolotāja vadībā risina un analizē problēmas.

1) Taisne a ir pieskares riņķa līnijai ar centru O. Punkts A ir dots taisnei a. Leņķis starp pieskari un nogriezni OA ir 300. Atrodiet nogriežņa OA garumu, ja rādiuss ir 2,5 m.

2) Nosakiet līnijas un apļa relatīvo pozīciju, ja:

1. R = 16 cm, d = 12 cm 2. R = 5 cm, d = 4,2 cm 3. R = 7,2 cm, d = 3,7 cm 4. R = 8 cm, d = 1,2 cm 5. R = 5 cm, d = 50 mm

a) taisnei un riņķim nav kopīgu punktu;

b) taisne ir pieskares riņķim;

c) taisne krusto apli.

d ir attālums no apļa centra līdz taisnei, R ir apļa rādiuss.

3) Ko var teikt par līnijas un apļa relatīvo novietojumu, ja apļa diametrs ir 10,3 cm, un attālums no apļa centra līdz līnijai ir 4,15 cm; 2 dm; 103 mm; 5,15 cm, 1 dm 3 cm.

4) Dots aplis ar centru O un punktu A. Kur ir punkts A, ja riņķa rādiuss ir 7 cm un nogriežņa OA garums ir: a) 4 cm; b) 10 cm; c) 70 mm.

4. Kopā ar skolēniem noskaidrot stundas tēmu, formulēt stundas mērķus.

5. Jauna materiāla ieviešana.

Praktiskais darbs grupās.

Izveidojiet 3 apļus. Katram aplim izveidojiet vēl vienu apli, lai 1) 2 apļi nekrustotos, 2) 2 apļi saskartos, 3) divi apļi krustotos. Atrodiet katra apļa rādiusu un attālumu starp apļu centriem, salīdziniet rezultātus. Kāds var būt secinājums?
2) Apkopojiet un pierakstiet piezīmju grāmatiņā divu apļu savstarpējās izkārtošanās gadījumus.

Divu apļu savstarpēja izkārtošanās plaknē.

Apļiem nav kopīgu punktu (tie nekrustojas). (R1 un R2 ir apļa rādiusi)

Ja R1 + R2< d,

d — attālums starp apļu centriem.

c) Apļiem ir divi kopīgi punkti. (krustoties).

Ja R1 + R2 > d,

Jautājums. Vai diviem apļiem var būt trīs kopīgi punkti?

6. Apgūstamā materiāla konsolidācija.

Atrodiet kļūdu datos vai paziņojumā un izlabojiet to, pamatojot savu viedokli:
a) Divi apļi saskaras. To rādiusi ir R = 8 cm un r = 2 cm, attālums starp centriem ir d = 6.
B) Diviem apļiem ir vismaz divi kopīgi punkti.
C) R = 4, r = 3, d = 5. Apļiem nav kopīgu punktu.
D) R \u003d 8, r \u003d 6, d \u003d 4. Mazākais aplis atrodas lielākā iekšpusē.
E) Divus apļus nevar novietot tā, lai viens būtu otrā iekšpusē.

7. Nodarbības rezultāti. Ko jūs iemācījāties nodarbībā? Kāds noteikums ir izveidots?

Kā var izvietot divus apļus? Kad apļiem ir viens kopīgs punkts? Kā sauc divu apļu kopējo punktu? Kādus pieskārienus jūs zināt? Kad apļi krustojas? Kādus apļus sauc par koncentriskiem?

Nodarbības tēma: " Divu apļu savstarpēja izkārtošanās plaknē.

Mērķis :

izglītojošs - jaunu zināšanu apgūšana par divu apļu relatīvo stāvokli, gatavošanās ieskaitei

Izglītojoši - skaitļošanas prasmju attīstība, loģiskās un strukturālās domāšanas attīstība; prasmju veidošana racionālu risinājumu meklēšanai un gala rezultātu sasniegšanai; izziņas darbības un radošās domāšanas attīstība.

Izglītojoši – studentu atbildības, konsekvences veidošana; kognitīvo un estētisko īpašību attīstība; studentu informācijas kultūras veidošana.

Korekcijas - attīstīt telpisko domāšanu, atmiņu, roku motoriku.

Nodarbības veids: jauna mācību materiāla apguve, konsolidācija.

Nodarbības veids: jauktā nodarbība.

Mācību metode: verbāls, vizuāls, praktisks.

Studiju forma: kolektīvs.

Izglītības līdzekļi: dēlis

NODARBĪBU LAIKĀ:

1. Organizatoriskais posms

- sveicieni;

- gatavības pārbaude nodarbībai;

2. Pamatzināšanu atjaunināšana.
Kādas tēmas mēs apspriedām iepriekšējās nodarbībās?

Apļa vienādojuma vispārīgs skats?

Veikt mutiski:

Blitz aptauja

3. Jauna materiāla ieviešana.

Ko jūs domājat un kādu skaitli mēs šodien apsvērsim .... Ko darīt, ja ir divi?

Kā tos var atrast???

Bērni ar rokām (kaimiņiem) parāda, kā var atrasties apļi ( fiziskā audzināšana)

Nu, ko, jūsuprāt, mums vajadzētu apsvērt šodien?Šodien mums vajadzētu apsvērt abu apļu relatīvo stāvokli. Un uzziniet, kāds ir attālums starp centriem atkarībā no atrašanās vietas.

Nodarbības tēma:« Divu apļu savstarpēja izkārtošanās. Problēmu risināšana.»

1. Koncentriski apļi

2. Nekrustojošie apļi

3.Ārējais pieskāriens

4. Krustojošie apļi

5. Iekšējais pieskāriens

Tātad izdarīsim secinājumus

4. Prasmju un iemaņu veidošana

Atrodiet kļūdu datos vai paziņojumā un izlabojiet to, pamatojot savu viedokli:

a) Divi apļi saskaras. To rādiusi ir R = 8 cm un r = 2 cm, attālums starp centriem ir d = 6.
B) Diviem apļiem ir vismaz divi kopīgi punkti.

C) R = 4, r = 3, d = 5. Apļiem nav kopīgu punktu.

D) R \u003d 8, r \u003d 6, d \u003d 4. Mazākais aplis atrodas lielākā iekšpusē.

E) Divus apļus nevar novietot tā, lai viens būtu otrā iekšpusē.

5. Prasmju un iemaņu nostiprināšana.

Apļi saskaras ārēji. Mazākā apļa rādiuss ir 3 cm, lielākā rādiuss ir 5 cm Kāds ir attālums starp centriem?

Risinājums: 3+5=8(cm)

Apļi saskaras iekšēji. Mazākā apļa rādiuss ir 3 cm Lielā apļa rādiuss ir 5 cm Kāds ir attālums starp apļu centriem?

Risinājums: 5-3=2(cm)

Apļi saskaras iekšēji. Attālums starp apļu centriem ir 2,5 cm Kādi ir apļu rādiusi?

atbilde: (5,5 cm un 3 cm), (6,5 cm un 4 cm) utt.

PĀRBAUDE IZPRATNI

1) Kā var atrasties divi apļi?

2) Kad apļiem ir viens kopīgs punkts?

3) Kā sauc divu apļu kopējo punktu?

4) Kādus pieskārienus jūs zināt?

5) Kad apļi krustojas?

6) Kādus apļus sauc par koncentriskiem?

Papildus uzdevumi par tēmu: Vektori. Koordinātu metode'(ja ir laiks)

1)E(4;12), F(-4;-10), G(-2;6), H(4;-2) Atrast:

a) vektoru EF,GH koordinātas

b) vektora FG garums

c) punkta O koordinātes - EF vidus

punkta W koordinātas - viduspunkts GH

d) riņķa vienādojums ar diametru FG

e) taisnes FH vienādojums

6. Mājas darbs

& 96 #1000. Kuri no šiem vienādojumiem ir apļa vienādojumi. Atrodiet centru un rādiusu

7. Nodarbības rezumēšana(3 min.)

(sniedz kvalitatīvu klases un atsevišķu skolēnu darba novērtējumu).

8. Pārdomu stadija(2 minūtes.)

(ar zīmējumu palīdzību rosināt skolēnu pārdomas par savu emocionālo stāvokli, aktivitātēm, mijiedarbību ar skolotāju un klasesbiedriem)

Krievijas Federācijas Izglītības un zinātnes ministrija

Pašvaldības budžeta izglītības iestāde

Novosibirskas pilsēta "Ģimnāzija Nr. 4"

Sadaļa: matemātika

PĒTNIECĪBAS DARBS

par šo tēmu:

DIVU ATKARĪŠANU APĻU ĪPAŠĪBAS

10. klases skolēni:

Haziakhmetovs Radiks Ildarovičs

Zubarevs Jevgeņijs Vladimirovičs

Pārraugs:

L.L. Barinova

Matemātikas skolotājs

Augstākā kvalifikācijas kategorija

1. §. Ievads………..………………………….……………………………………………………3

1.1. § Divu apļu savstarpēja izkārtošanās……………………………………………………3

2. § Īpašības un to pierādījumi…………………………………………………………………….…4

2.1. § 1. īpašums…………………………………………………………..………………………….…4

2.2. § Īpašums 2…………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………

2.3. § 3. īpašums………………………………………………………..…………………………………6

2.4. § Īpašums 4…………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………….

2.5. § 5. īpašums…………………………………..…………………………………………………8

2.6. § 6. īpašums………………………………………………………………………………………………9

3. § Uzdevumi…………………………………………………..……………………………………..…11

Atsauces………………………………………………………………….………….13

§ viens. Ievads

Daudzas problēmas, kas saistītas ar diviem pieskares apļiem, var atrisināt kodolīgāk un vienkāršāk, zinot dažas īpašības, kas tiks prezentētas vēlāk.

Divu apļu savstarpēja izkārtošanās

Sākumā apspriedīsim abu apļu iespējamo savstarpējo izkārtojumu. Var būt 4 dažādi gadījumi.

1. Apļi nedrīkst krustoties.

2. Krusts.

3. Pieskarieties vienā punktā ārpusē.

4. Pieskarieties vienā punktā iekšpusē.

2. §. Īpašības un to pierādījumi

Turpināsim tieši pie īpašību pierādīšanas.

2.1. § 1. īpašums

Nogriežņi starp pieskares krustpunktiem ar riņķiem ir vienādi viens ar otru un vienādi ar diviem šo apļu ģeometriski vidējiem rādiusiem.

Pierādījums 1. O 1 A 1 un O 2 V 1 - rādiusi, kas novilkti uz saskares punktiem.

2. O 1 A 1 ┴ A 1 V 1, O2V1 ┴ A 1 V 1 → O 1 A 1 ║ O 2 V 1. (saskaņā ar 1. punktu)

1. ▲O 1 O 2 D - taisnstūrveida, jo O 2 D ┴ O 2 V 1
2. O 1 O 2 \u003d R + r, O 2 D \u003d R - r

1. Pēc Pitagora teorēmas А 1 В 1 = 2√Rr

(O 1D 2 = (R+r) 2 -(R-r) 2 =R 2 +2Rr+r2-R2 +2Rr-r 2 =√4Rr=2√Rr)

A 2 B 2 = 2√Rr (pierādīts līdzīgi)

1) Uzzīmējiet rādiusus pieskares krustpunktiem ar apļiem.

2) Šie rādiusi būs perpendikulāri pieskarēm un paralēli viens otram.

3) Nometiet perpendikulu no mazākā apļa centra uz lielākā apļa rādiusu.

4) Iegūtā taisnleņķa trijstūra hipotenūza ir vienāda ar apļu rādiusu summu. Kāja ir vienāda ar to starpību.

5) Izmantojot Pitagora teorēmu, mēs iegūstam vēlamo sakarību.

2. 2. § Īpašums 2

Taisnes krustpunkti, kas krustojas ar riņķu pieskares punktu un neatrodas nevienā no tiem, ar pieskarēm sadala uz pusēm ārējo pieskares posmus, ko ierobežo pieskares punkti, daļās, no kurām katra ir vienāda ar šo apļu rādiusu ģeometriskais vidējais.

Pierādījums 1.JAUNKUNDZE= MA 1 (kā pieskares segmenti)

2.MS = MV 1 (kā pieskares segmenti)

3.A 1 M \u003d MV 1 \u003d √Rr, A 2 N \u003d NB 2 \u003d √Rr (saskaņā ar 1. un 2. punktu )

Pierādījumā izmantotie apgalvojumi Pieskares segmenti, kas novilkti no viena punkta uz kādu apli, ir vienādi. Mēs izmantojam šo īpašumu abiem norādītajiem lokiem.

2.3. § Īpašums 3

Iekšējās pieskares segmenta garums, kas atrodas starp ārējām pieskarēm, ir vienāds ar ārējās pieskares segmenta garumu starp saskares punktiem un ir vienāds ar diviem šo apļu ģeometriski vidējiem rādiusiem.

Pierādījums Šis secinājums izriet no iepriekšējā īpašuma.

MN = MC + CN = 2MC = 2A 1 M = A 1 B 1 = 2√Rr

2.4. § Īpašums 4

Trijstūris, ko veido pieskares apļu centri un pieskares segmenta viduspunkts starp rādiusiem, kas novilkti uz pieskares punktiem, ir taisnstūrveida. Tā kāju attiecība ir vienāda ar šo apļu rādiusu sakņu koeficientu.

Pierādījums 1.MO 1 ir leņķa A 1 MC bisektrise, MO 2 ir leņķa B 1 MC bisektrise, jo Leņķī ierakstīta riņķa centrs atrodas uz šī leņķa bisektrise.

2. Saskaņā ar 1. punktu РО 1 МS + РСМО 2 = 0,5 (РА1МС + РСМВ 1) = 0,5 p = p/2

3.РО 1 MO 2 - taisns. MS - trijstūra O 1 MO 2 augstums, jo pieskares MN ir perpendikulāra rādiusiem, kas novilkti uz saskares punktiem → trijstūri О 1 МС un MO 2 С ir līdzīgi.

4.O 1 M / MO 2 \u003d O 1 C / MS \u003d r / √Rr \u003d √r / R (pēc līdzības)

Pierādījumā izmantotie apgalvojumi 1) Leņķī ierakstīta riņķa centrs atrodas uz šī leņķa bisektrise. Trijstūra kājas ir leņķu bisektrise.

2) Izmantojot to, ka šādi izveidotie leņķi ir vienādi, iegūstam, ka meklētais leņķis ir taisns leņķis. Mēs secinām, ka šis trīsstūris patiešām ir taisnleņķa trīsstūris.

3) Mēs pierādam trīsstūru līdzību, kuros augstums (jo pieskares ir perpendikulāra saskares punktos novilktajiem rādiusiem) sadala taisnleņķa trīsstūri, un pēc līdzības iegūstam vēlamo attiecību.

2.5. § 5. īpašums

Trijstūris, ko veido apļu saskares punkts viens ar otru un apļu krustošanās punkti ar pieskari, ir taisnleņķa trijstūris. Tā kāju attiecība ir vienāda ar šo apļu rādiusu sakņu koeficientu.

Pierādījums

1. ▲А 1 МС un ▲СМВ 1 ir vienādsānu → РМА 1 С = РМСА 1 = α, РМВ 1 С = РМСВ 1 = β.

1. 2α + 2β + РА 1 MS + РСМВ 1 = 2p → 2α + 2β = 2p - (РА 1 МS + РСМВ 1) = 2p - p = p, α + β = p/2

1. Bet RA 1 SV 1 = α + β → RA 1 SV 1 - tiešs → РВ 1 CO 2 = РSV 1 О 2 = p/2 - β = α

1. ▲A 1 MS un ▲CO 2 B 1 ir līdzīgi → A 1 C / SV 1 = MS / O 2 B 1 = √Rr / R = √r / R

Pierādījumā izmantotie apgalvojumi 1) Mēs krāsojam trīsstūru leņķu summu, izmantojot to, ka tie ir vienādsānu. Vienādsānu trijstūri tiek pierādīti, izmantojot īpašību par pieskares segmentu vienādību.

2) Šādi nokrāsojot leņķu summu, iegūstam, ka aplūkojamajā trijstūrī ir taisns leņķis, tātad taisnstūrveida. Apgalvojuma pirmā daļa ir pierādīta.

3) Pēc trijstūra līdzības (to pamatojot, izmantojam līdzības zīmi divos leņķos) atrodam taisnleņķa trijstūra kāju attiecību.

2.6. § Īpašums 6

Četrstūris, ko veido riņķu krustošanās punkti ar pieskari, ir trapece, kurā var ierakstīt riņķi.

Pierādījums 1.▲A 1 RA 2 un ▲ B 1 RV 2 ir vienādsānu, jo A 1 P \u003d RA 2 un B 1 P \u003d PB 2 kā pieskares segmenti → ▲A 1 RA 2 un ▲B 1 PB 2 ir līdzīgi.

2.A 1 A 2 ║ B 1 B 2, jo sekanta A 1 B 1 krustpunktā izveidotie attiecīgie leņķi ir vienādi.

1. MN — vidējā līnija pēc 2. īpašuma → A 1 A 2 + B 1 B 2 = 2MN = 4√Rr

1. A 1 B 1 + A 2 B 2 \u003d 2 √ Rr + 2 √ Rr \u003d 4 √ Rr \u003d A 1 A 2 + B 1 B 2 → trapecē A 2 A 1 B 1 B 2 summa bāze ir vienāda ar malu summu, un tas ir nepieciešams un pietiekams nosacījums ierakstīta apļa pastāvēšanai.

Pierādījumā izmantotie apgalvojumi 1) Atkal izmantosim pieskares segmentu īpašību. Ar tā palīdzību pierādīsim vienādsānu trijstūrus, ko veido pieskares un pieskares punktu krustpunkts.

2) No tā izrietēs šo trīsstūru līdzība un to pamatu paralēlisms. Pamatojoties uz to, mēs secinām, ka šis četrstūris ir trapecveida forma.

3) Saskaņā ar iepriekš pierādīto īpašību (2) mēs atrodam trapeces viduslīniju. Tas ir vienāds ar diviem ģeometriski vidējiem apļa rādiusiem. Iegūtajā trapecē pamatu summa ir vienāda ar malu summu, un tas ir nepieciešams un pietiekams nosacījums ierakstīta apļa pastāvēšanai.

§ 3. Uzdevumi

Apsveriet, izmantojot praktisku piemēru, kā problēmas risinājumu var vienkāršot, izmantojot iepriekš minētās īpašības.

1. uzdevums

Trijstūrī ABC mala AC = 15 cm Trijstūrī ir ierakstīts aplis. Otrais aplis pieskaras pirmajam un malām AB un BC. Punkts F ir izvēlēts malā AB, un punkts M ir izvēlēts malā BC, lai segments FM būtu kopīgs riņķa pieskares loks. Atrodiet trīsstūra BFM un četrstūra AFMC laukumu attiecību, ja FM ir 4 cm un punkts M ir divreiz tālāk no viena apļa centra nekā no otra centra.

Ņemot vērā: FM kopējā pieskare AC=15cm FM=4cm O 2 M=2O 1 M

Atrodiet S BFM / S AFMC

Risinājums:

1) FM = 2√Rr, ​​O 1 M/O 2 M = √r/R

2) 2√Rr=4, √r/R=0,5 →r=1, R=4; PQ=FM=4

3)▲BO 1 P un ▲BO 2 Q ir līdzīgi → BP/BQ=O 1 P/O 2 Q, BP/(BP+PQ)=r/R,BP/(BP+4)=0,25;BP = 4/3

4) FM+BP=16/3, S FBM=r*P FBM=1*(16/3)=16/3; AC+BQ=15+4/3+4=61/3

5) S ABC \u003d R * R ABC \u003d 4 * (61/3) \u003d 244/3 → S BFM / S AFMC \u003d (16/3): (244/3) \u003d 4/61

2. uzdevums

Vienādsānu trijstūrī ABC ir ierakstīti divi pieskares apļi ar kopējo punktu D un kopējo pieskares punktu FK, kas iet caur šo punktu. Atrodiet attālumu starp šo apļu centriem, ja trijstūra AC pamatne AC = 9 cm un trijstūra sānu malas segments, kas ietverts starp apļu saskares punktiem, ir 4 cm.

Ņemot vērā: ABC ir vienādsānu trīsstūris; FK ir ierakstīto apļu kopējā tangensa. AC = 9 cm; ZA = 4 cm

Risinājums:

Ļaujiet taisnēm AB un CD krustoties punktā O. Tad OA = OD, OB = OC, tātad CD = AB = 2√Rr

Punkti O 1 un O 2 atrodas uz leņķa AOD bisektrise. Vienādsānu trijstūra AOD bisektrise ir tā augstums, tātad AD ┴ O 1 O 2 un BC ┴ O 1 O 2, tātad

AD ║ BC un ABCD ir vienādsānu trapece.

Segments MN ir tā viduslīnija, tāpēc AD + BC = 2MN = 2AB = AB + CD

Tāpēc šajā trapecē var ierakstīt apli.

Lai AP ir trapeces augstums, taisnleņķa trijstūri АРВ un О 1 FO 2 ir līdzīgi, tāpēc АР/О 1 F = АВ/О 1 О 2 .

No šejienes mēs to atrodam

Bibliogrāfija

• Pielikums laikrakstam "Pirmais septembris" "Matemātika" Nr.43 2003.g.
• USE 2010. Matemātika. Uzdevums C4. Gordins R.K.