Trigonometrisko vienādojumu atrisināšana. Trigonometriskie vienādojumi Atrisiniet trigonometrisko vienādojumu sinx 1 2

Videokursā "Saņem A" iekļautas visas tēmas, kas nepieciešamas matemātikas eksāmena sekmīgai nokārtošanai par 60-65 punktiem. Pilnīgi visi profila USE uzdevumi 1-13 matemātikā. Piemērots arī matemātikas pamatizmantošanas kursa nokārtošanai. Ja gribi nokārtot eksāmenu ar 90-100 punktiem, 1.daļa jāatrisina 30 minūtēs un bez kļūdām!

Sagatavošanas kurss eksāmenam 10.-11.klasei, kā arī skolotājiem. Viss nepieciešamais, lai atrisinātu eksāmena 1. daļu matemātikā (pirmās 12 problēmas) un 13. uzdevumu (trigonometrija). Un tas ir vairāk nekā 70 punkti vienotajā valsts eksāmenā, un bez tiem nevar iztikt ne simt ballu students, ne humānists.

Visa nepieciešamā teorija. Eksāmena ātrie risinājumi, lamatas un noslēpumi. Analizēti visi būtiskie FIPI bankas 1. daļas uzdevumi. Kurss pilnībā atbilst USE-2018 prasībām.

Kursā ir 5 lielas tēmas, katra 2,5 stundas. Katra tēma ir dota no nulles, vienkārši un skaidri.

Simtiem eksāmenu uzdevumu. Teksta problēmas un varbūtību teorija. Vienkārši un viegli iegaumējami problēmu risināšanas algoritmi. Ģeometrija. Teorija, izziņas materiāls, visu veidu USE uzdevumu analīze. Stereometrija. Viltīgi triki risināšanai, noderīgas blēžu lapas, telpiskās iztēles attīstīšana. Trigonometrija no nulles - līdz 13. uzdevumam. Sapratne, nevis pieblīvēšanās. Sarežģītu jēdzienu vizuāls skaidrojums. Algebra. Saknes, pakāpes un logaritmi, funkcija un atvasinājums. Eksāmena 2. daļas sarežģītu uzdevumu risināšanas bāze.

Jūsu privātums mums ir svarīgs. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši Privātuma politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un uzglabājam jūsu informāciju. Lūdzu, izlasiet mūsu privātuma politiku un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi.

Personiskās informācijas vākšana un izmantošana

Personiskā informācija attiecas uz datiem, kurus var izmantot, lai identificētu vai sazinātos ar konkrētu personu.

Jums var tikt lūgts sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināsieties ar mums.

Tālāk ir sniegti daži piemēri par to, kāda veida personas informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.

Kādu personas informāciju mēs apkopojam:

• Kad jūs iesniedzat pieteikumu vietnē, mēs varam apkopot dažādu informāciju, tostarp jūsu vārdu, tālruņa numuru, e-pasta adresi utt.

Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:

• Mūsu apkopotā personas informācija ļauj mums sazināties ar jums un informēt par unikāliem piedāvājumiem, akcijām un citiem notikumiem un gaidāmajiem pasākumiem.
• Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu jums svarīgus paziņojumus un ziņojumus.
• Mēs varam izmantot personas informāciju arī iekšējiem mērķiem, piemēram, auditu, datu analīzes un dažādu pētījumu veikšanai, lai uzlabotu mūsu sniegtos pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus par mūsu pakalpojumiem.
• Ja piedalāties balvu izlozē, konkursā vai līdzīgā stimulā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju, lai pārvaldītu šādas programmas.

Izpaušana trešajām personām

Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām.

Izņēmumi:

• Gadījumā, ja tas ir nepieciešams - saskaņā ar likumu, tiesas rīkojumu, tiesvedībā un/vai pamatojoties uz publiskiem pieprasījumiem vai valsts iestāžu pieprasījumiem Krievijas Federācijas teritorijā - atklājiet savu personas informāciju. Mēs varam arī izpaust informāciju par jums, ja konstatēsim, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības, tiesībaizsardzības vai citu sabiedrības interešu apsvērumu dēļ.
• Reorganizācijas, apvienošanas vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot mūsu apkopoto personas informāciju attiecīgajai trešajai personai, kas pārņēmusi.

Personiskās informācijas aizsardzība

Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvus, tehniskus un fiziskus, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju pret pazaudēšanu, zādzību un ļaunprātīgu izmantošanu, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, pārveidošanas un iznīcināšanas.

Jūsu privātuma saglabāšana uzņēmuma līmenī

Lai nodrošinātu jūsu personiskās informācijas drošību, mēs saviem darbiniekiem paziņojam par privātuma un drošības praksi un stingri īstenojam privātuma praksi.

Reiz es biju liecinieks sarunai starp diviem pretendentiem:

– Kad jāpievieno 2πn, un kad – πn? Es nevaru atcerēties!

- Un man ir tāda pati problēma.

Es gribēju viņiem pateikt: "Nav nepieciešams iegaumēt, bet saprast!"

Šis raksts galvenokārt ir adresēts vidusskolēniem, un es ceru, ka tas palīdzēs viņiem "izprast" visvienkāršākos trigonometriskos vienādojumus:

Skaitļu aplis

Līdzās skaitļu līnijas jēdzienam pastāv arī skaitļa apļa jēdziens. Kā mēs zinām, taisnstūra koordinātu sistēmā apli, kura centrs atrodas punktā (0; 0) un rādiusu 1, sauc par vienības apli. Iedomājieties skaitļa līniju ar plānu pavedienu un aptiniet to ap šo apli: atskaites punktu (punkts 0), pievienojiet to vienības apļa “labajam” punktam, aptiniet pozitīvo pusasi pretēji pulksteņrādītāja virzienam un negatīvo pusasi virzienā ( 1. att.). Šādu vienību apli sauc par skaitļu apli.

Skaitļu apļa īpašības

• Katrs reālais skaitlis atrodas vienā skaitļu apļa punktā.
• Katrā skaitļu apļa punktā ir bezgalīgi daudz reālu skaitļu. Tā kā vienības apļa garums ir 2π, starpība starp jebkuriem diviem skaitļiem vienā apļa punktā ir vienāda ar vienu no skaitļiem ±2π; ±4π; ±6π; …

Secinam: zinot vienu no punkta A skaitļiem, varam atrast visus punkta A skaitļus.

Uzzīmēsim maiņstrāvas diametru (2. att.). Tā kā x_0 ir viens no punkta A skaitļiem, tad skaitļi x_0±π ; x_0±3π; x_0±5π; … un tikai tie būs punkta C skaitļi. Izvēlēsimies vienu no šiem skaitļiem, teiksim, x_0+π, un izmantosim to, lai pierakstītu visus punkta C skaitļus: x_C=x_0+π+2πk ,k∈ Z. Ņemiet vērā, ka skaitļus punktos A un C var apvienot vienā formulā: x_(A ; C)=x_0+πk ,k∈Z (ja k = 0; ±2; ±4; ... iegūstam skaitļus punkts A un ja k = ±1, ±3, ±5, … ir punkta C skaitļi).

Secinam: zinot vienu no skaitļiem vienā no diametra AC punktiem A vai C, mēs varam atrast visus skaitļus šajos punktos.

• Divi pretēji skaitļi atrodas apļa punktos, kas ir simetriski pret abscisu asi.

Uzzīmēsim vertikālu hordu AB (2. att.). Tā kā punkti A un B ir simetriski ap Ox asi, tad skaitlis -x_0 atrodas punktā B, un tāpēc visi punkta B skaitļi ir doti pēc formulas: x_B=-x_0+2πk ,k∈Z. Punktos A un B skaitļus rakstām ar vienu formulu: x_(A ; B)=±x_0+2πk ,k∈Z. Secinam: zinot vienu no skaitļiem vienā no vertikālās hordas AB punktiem A vai B, mēs varam atrast visus skaitļus šajos punktos. Apsveriet horizontālo hordu AD un atrodiet punkta D skaitļus (2. att.). Tā kā BD ir diametrs un skaitlis -x_0 pieder punktam B, tad -x_0 + π ir viens no punkta D skaitļiem un tāpēc visi šī punkta skaitļi ir doti pēc formulas x_D=-x_0+π+2πk ,k∈Z. Skaitļus punktos A un D var uzrakstīt, izmantojot vienu formulu: x_(A ; D)=(-1)^k∙x_0+πk ,k∈Z . (ja k= 0; ±2; ±4; ... iegūstam punkta A skaitļus, un k = ±1; ±3; ±5; ... - punkta D skaitļus).

Secinam: zinot vienu no skaitļiem vienā no horizontālās hordas AD punktiem A vai D, mēs varam atrast visus skaitļus šajos punktos.

Sešpadsmit galvenie skaitļu apļa punkti

Praksē lielākās daļas vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu risinājums ir saistīts ar sešpadsmit riņķa punktiem (3. att.). Kas ir šie punkti? Sarkanie, zilie un zaļie punkti sadala apli 12 vienādās daļās. Tā kā pusloka garums ir π, tad loka A1A2 garums ir π/2, loka A1B1 garums ir π/6 un loka A1C1 garums ir π/3.

Tagad punktos varam norādīt vienu skaitli:

π/3 uz С1 un

Oranžā kvadrāta virsotnes ir katras ceturtdaļas loku viduspunkti, tāpēc loka A1D1 garums ir vienāds ar π/4, un līdz ar to π/4 ir viens no punkta D1 skaitļiem. Izmantojot skaitļu apļa īpašības, mēs varam pierakstīt visus skaitļus visos mūsu apļa atzīmētajos punktos, izmantojot formulas. Attēlā redzamas arī šo punktu koordinātas (to iegūšanas aprakstu izlaižam).

Uzzinot iepriekš minēto, mums tagad ir pietiekama sagatavošanās īpašu gadījumu risināšanai (deviņām skaitļa vērtībām a) vienkāršākie vienādojumi.

Atrisiniet vienādojumus

1)sinx=1⁄(2).

– Kas no mums tiek prasīts?

– Atrodiet visus tos skaitļus x, kuru sinuss ir 1/2.

Atgādiniet sinusa definīciju: sinx - skaitļa apļa punkta ordināta, uz kuras atrodas skaitlis x. Uz apļa mums ir divi punkti, kuru ordināta ir vienāda ar 1/2. Tie ir horizontālās hordas B1B2 gali. Tas nozīmē, ka prasība “atrisināt vienādojumu sinx=1⁄2” ir līdzvērtīga prasībai “atrast visus skaitļus punktā B1 un visus skaitļus punktā B2”.

2)sinx=-√3⁄2 .

Mums jāatrod visi skaitļi punktos C4 un C3.

3) sinx=1. Uz apļa mums ir tikai viens punkts ar ordinātu 1 - punkts A2, un tāpēc mums jāatrod tikai visi šī punkta skaitļi.

Atbilde: x=π/2+2πk , k∈Z .

4)sinx=-1 .

Tikai punktam A_4 ir ordināta -1. Visi šī punkta skaitļi būs vienādojuma zirgi.

Atbilde: x=-π/2+2πk , k∈Z .

5) sinx=0 .

Uz apļa mums ir divi punkti ar ordinātu 0 - punkti A1 un A3. Ciparus var norādīt katram no punktiem atsevišķi, taču, ņemot vērā, ka šie punkti ir diametrāli pretēji, labāk tos apvienot vienā formulā: x=πk ,k∈Z .

Atbilde: x=πk ,k∈Z .

6)cosx=√2⁄2 .

Atcerieties kosinusa definīciju: cosx - skaitliskā apļa punkta abscisa, uz kuras atrodas skaitlis x. Uz apļa mums ir divi punkti ar abscisu √2⁄2 - horizontālās hordas D1D4 gali. Mums ir jāatrod visi skaitļi šajos punktos. Mēs tos pierakstām, apvienojot tos vienā formulā.

Atbilde: x=±π/4+2πk , k∈Z .

7) cosx=-1⁄2 .

Mums jāatrod skaitļi punktos C_2 un C_3 .

Atbilde: x=±2π/3+2πk , k∈Z .

10) cosx=0 .

Tikai punktiem A2 un A4 ir abscisa 0, kas nozīmē, ka visi skaitļi katrā no šiem punktiem būs vienādojuma risinājumi.
.

Sistēmas vienādojuma atrisinājumi ir skaitļi punktos B_3 un B_4. Nevienādība cosx<0 удовлетворяют только числа b_3
Atbilde: x=-5π/6+2πk , k∈Z .

Ņemiet vērā, ka jebkurai pieļaujamai x vērtībai otrais faktors ir pozitīvs, un tāpēc vienādojums ir līdzvērtīgs sistēmai

Sistēmas vienādojuma atrisinājumi ir punktu skaits D_2 un D_3 . Punkta D_2 skaitļi neapmierina nevienādību sinx≤0,5, bet punkta D_3 skaitļi apmierina.

blog.site, pilnībā vai daļēji kopējot materiālu, ir nepieciešama saite uz avotu.

Galvenās metodes trigonometrisko vienādojumu risināšanai ir: vienādojumu reducēšana uz vienkāršākajiem (izmantojot trigonometriskās formulas), jaunu mainīgo lielumu ieviešana, faktorings. Apskatīsim to pielietojumu ar piemēriem. Pievērsiet uzmanību trigonometrisko vienādojumu atrisinājuma reģistrēšanai.

Nepieciešams nosacījums veiksmīgam trigonometrisko vienādojumu risinājumam ir trigonometrisko formulu zināšanas (6. darba 13. tēma).

Piemēri.

1. Reducēšana uz vienkāršākajiem vienādojumiem.

1) Atrisiniet vienādojumu

Risinājums:

Atbilde:

2) Atrodiet vienādojuma saknes

(sinx + cosx) 2 = 1 – segmentam piederošais sinxcosx .

Risinājums:

Atbilde:

2. Vienādojumi, kas reducēti uz kvadrātvienādojumiem.

1) Atrisiniet vienādojumu 2 sin 2 x - cosx -1 = 0.

Risinājums: Izmantojot formulu sin 2 x \u003d 1 - cos 2 x, mēs iegūstam

Atbilde:

2) Atrisiniet vienādojumu cos 2x = 1 + 4 cosx.

Risinājums: Izmantojot formulu cos 2x = 2 cos 2 x - 1, mēs iegūstam

Atbilde:

3) Atrisiniet vienādojumu tgx - 2ctgx + 1 = 0

Risinājums:

Atbilde:

3. Homogēni vienādojumi

1) Atrisiniet vienādojumu 2sinx - 3cosx = 0

Risinājums: Lai cosx = 0, tad 2sinx = 0 un sinx = 0 - pretruna ar to, ka sin 2 x + cos 2 x = 1. Tātad cosx ≠ 0 un vienādojumu var dalīt ar cosx. gūt

Atbilde:

2) Atrisiniet vienādojumu 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x

Risinājums:

Izmantojot formulas 1 = sin 2 x + cos 2 x un sin 2x = 2 sinxcosx, mēs iegūstam

sin2x + cos2x + 7cos2x = 6sinxcosx
sin2x — 6sinxcosx+ 8cos2x = 0

Lai cosx = 0, tad sin 2 x = 0 un sinx = 0 - pretruna ar to, ka sin 2 x + cos 2 x = 1.
Tātad cosx ≠ 0 un mēs varam dalīt vienādojumu ar cos 2 x . gūt

tg 2x – 6 tgx + 8 = 0
Apzīmējiet tgx = y
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2=2
a) tanx = 4, x = arctg4 + 2 k, k
b) tgx = 2, x = arctg2 + 2 k, k .

Atbilde: arctg4+2 k, arctan2 + 2 labi labi

4. Formas vienādojumi a sinx + b cosx = ar, ar≠ 0.

1) Atrisiniet vienādojumu.

Risinājums:

Atbilde:

5. Faktorizācijas vienādojumi.

1) Atrisiniet vienādojumu sin2x - sinx = 0.

Vienādojuma sakne f (X) = φ ( X) var kalpot tikai kā skaitlis 0. Pārbaudīsim šo:

cos 0 = 0 + 1 - vienādība ir patiesa.

Skaitlis 0 ir vienīgā šī vienādojuma sakne.

Atbilde: 0.