Bumbiņas definīcija. Matemātika

Bumba ir ķermenis, kas sastāv no visiem telpas punktiem, kas atrodas attālumā, kas nav lielāks par doto punktu no konkrētā punkta. Šo punktu sauc par bumbiņas centru, un šo attālumu sauc par bumbiņas rādiusu. Bumbiņas robežu sauc par sfērisku virsmu vai sfēru. Sfēras punkti ir visi lodes punkti, kas ir noņemti no centra attālumā, kas vienāds ar rādiusu. Jebkuru segmentu, kas savieno lodes centru ar punktu uz sfēriskās virsmas, sauc arī par rādiusu. Segmentu, kas iet caur lodītes centru un savieno divus punktus uz sfēriskās virsmas, sauc par diametru. Jebkura diametra galus sauc par diametrāli pretējiem lodītes punktiem.

Bumba ir apgriezienu ķermenis, tāpat kā konuss un cilindrs. Bumbu iegūst, pagriežot pusloku ap tās diametru kā asi.

Bumbiņas virsmas laukumu var atrast, izmantojot formulas:

kur r ir lodītes rādiuss, d ir lodītes diametrs.

Bumbiņas tilpumu nosaka pēc formulas:

V = 4/3 πr 3,

kur r ir lodītes rādiuss.

Teorēma. Katrs bumbiņas posms pa plakni ir aplis. Šī apļa centrs ir perpendikula pamats, kas no lodes centra novilkts uz griešanas plakni.

Pamatojoties uz šo teorēmu, ja lodi ar centru O un rādiusu R šķērso plakne α, tad šķērsgriezuma rezultātā veidojas aplis ar rādiusu r ar centru K. Var atrast lodītes šķērsgriezuma rādiusu pēc plaknes. pēc formulas

No formulas ir skaidrs, ka plaknes, kas atrodas vienādā attālumā no centra, krusto bumbu vienādos apļos. Sekcijas rādiuss ir lielāks, jo tuvāk griešanas plakne atrodas lodītes centram, tas ir, jo mazāks ir attālums OK. Vislielākajam rādiusam ir sadaļa ar plakni, kas iet caur lodītes centru. Šī apļa rādiuss ir vienāds ar lodītes rādiusu.

Plakni, kas iet caur lodītes centru, sauc par centra plakni. Lodes šķērsgriezumu diametrālajā plaknē sauc par lielo apli, un sfēras griezumu sauc par lielo apli, un lodes griezumu sauc par lielo apli.

Teorēma. Jebkura lodītes diametrālā plakne ir tās simetrijas plakne. Bumbiņas centrs ir tās simetrijas centrs.

Plakni, kas iet caur sfēriskās virsmas punktu A un ir perpendikulāra punktam A novilktajam rādiusam, sauc par pieskares plakni. Punktu A sauc par pieskares punktu.

Teorēma. Pieskares plaknei ir tikai viens kopīgs punkts ar lodi - saskares punkts.

Taisni, kas iet caur sfēriskās virsmas punktu A perpendikulāri šim punktam novilktajam rādiusam, sauc par pieskari.

Teorēma. Caur jebkuru punktu uz sfēriskās virsmas iet bezgalīgs skaits pieskares, un tās visas atrodas lodītes pieskares plaknē.

Sfērisks segments ir lodītes daļa, ko no tās nogriež plakne. Aplis ABC ir sfēriskā segmenta pamats. Perpendikulārais segments MN, kas novilkts no apļa ABC centra N līdz krustojumam ar sfērisku virsmu, ir sfēriskā segmenta augstums. Punkts M ir sfēriskā segmenta virsotne.

Sfēriska segmenta virsmas laukumu var aprēķināt, izmantojot formulu:

Sfēriskā segmenta tilpumu var atrast, izmantojot formulu:

V = πh 2 (R – 1/3h),

kur R ir lielā apļa rādiuss, h ir sfēriskā segmenta augstums.

Sfērisku sektoru iegūst no sfēriska segmenta un konusa šādi. Ja sfērisks segments ir mazāks par puslodi, tad sfērisko segmentu papildina konuss, kura virsotne atrodas lodītes centrā, bet pamatne ir segmenta pamatne. Ja segments ir lielāks par puslodi, tad no tā tiek noņemts norādītais konuss.

Sfērisks sektors ir lodītes daļa, ko ierobežo sfēriska segmenta izliekta virsma (mūsu attēlā tas ir AMCB) un koniska virsma (mūsu attēlā tas ir OABC), kuras pamatne ir sfēriska segmenta pamatne. segments (ABC), un virsotne ir lodītes O centrs.

Sfēriskā sektora tilpumu nosaka pēc formulas:

V = 2/3 πR 2 H.

Sfērisks slānis ir lodītes daļa, kas atrodas starp divām paralēlām plaknēm (attēlā plaknes ABC un DEF), kas krustojas ar sfērisko virsmu. Sfēriskā slāņa izliekto virsmu sauc par sfērisku jostu (zonu). Apļi ABC un DEF ir sfēriskās jostas pamati. Attālums NK starp sfēriskās jostas pamatnēm ir tās augstums.

tīmekļa vietni, kopējot materiālu pilnībā vai daļēji, ir nepieciešama saite uz avotu.

Bumba un lode, pirmkārt, ir ģeometriskas figūras, un, ja bumba ir ģeometrisks ķermenis, tad lode ir lodes virsma. Šie skaitļi interesēja vairākus tūkstošus gadu pirms mūsu ēras.

Pēc tam, kad tika atklāts, ka Zeme ir bumba un debesis ir debess sfēra, ģeometrijā tika izstrādāts jauns aizraujošs virziens - ģeometrija uz sfēras jeb sfēriskā ģeometrija. Lai runātu par bumbiņas izmēru un tilpumu, vispirms tas ir jādefinē.

Bumba

Bumbiņa ar rādiusu R ar centru O punktā ģeometrijā ir ķermenis, kuru veido visi telpas punkti, kuriem ir kopīga īpašība. Šie punkti atrodas attālumā, kas nepārsniedz bumbiņas rādiusu, tas ir, tie aizpilda visu telpu mazāk nekā bumbiņas rādiuss visos virzienos no tās centra. Ja mēs ņemam vērā tikai tos punktus, kas atrodas vienādā attālumā no bumbiņas centra, mēs ņemsim vērā tās virsmu vai bumbiņas apvalku.

Kā es varu dabūt bumbu? Mēs varam izgriezt apli no papīra un sākt to griezt ap tā diametru. Tas ir, apļa diametrs būs rotācijas ass. Izveidotā figūra būs bumba. Tāpēc bumbu sauc arī par rotācijas ķermeni. Jo to var veidot, griežot plakanu figūru – apli.

Paņemsim kādu plakni un sagriezīsim ar to savu bumbu. Tāpat kā mēs ar nazi griezām apelsīnu. Gabalu, ko mēs nogriezām no bumbiņas, sauc par sfērisku segmentu.

Senajā Grieķijā viņi prata ne tikai strādāt ar bumbu un sfēru kā ģeometriskas figūras, piemēram, izmantot tās celtniecībā, bet arī zināja, kā aprēķināt bumbiņas virsmas laukumu un bumbas tilpumu.

Sfēra ir cits bumbas virsmas nosaukums. Sfēra nav ķermenis – tā ir rotējoša ķermeņa virsma. Tomēr, tā kā gan Zemei, gan daudziem ķermeņiem ir sfēriska forma, piemēram, ūdens piliens, ģeometrisko attiecību izpēte sfērā ir kļuvusi plaši izplatīta.

Piemēram, ja mēs savienojam divus lodes punktus savā starpā ar taisnu līniju, tad šo taisni sauc par hordu, un, ja šī horda iet caur lodes centru, kas sakrīt ar lodes centru, tad hordu sauc par sfēras diametru.

Ja mēs novelkam taisnu līniju, kas pieskaras sfērai tikai vienā punktā, tad šo līniju sauks par tangensu. Turklāt šī sfēras pieskare šajā punktā būs perpendikulāra sfēras rādiusam, kas novilkta līdz saskares punktam.

Ja akordu pagarināsim līdz taisnei vienā vai otrā virzienā no sfēras, tad šo hordu sauks par sekantu. Vai arī mēs to varam teikt savādāk - sfēras sekants satur savu akordu.

Bumbas tilpums

Bumbiņas tilpuma aprēķināšanas formula ir šāda:

kur R ir lodītes rādiuss.

Ja jums ir jāatrod sfēriska segmenta tilpums, izmantojiet formulu:

V seg =πh 2 (R-h/3), h ir sfēriskā segmenta augstums.

Bumbiņas vai sfēras virsmas laukums

Lai aprēķinātu sfēras laukumu vai bumbiņas virsmas laukumu (tie ir viens un tas pats):

kur R ir sfēras rādiuss.

Arhimēds ļoti mīlēja bumbiņu un sfēru, viņš pat lūdza atstāt uz sava kapa zīmējumu, kurā cilindrā bija ierakstīta bumbiņa. Arhimēds uzskatīja, ka bumbiņas un tās virsmas tilpums ir vienāds ar divām trešdaļām no cilindra tilpuma un virsmas, kurā bumbiņa ir ierakstīta.

Bumba (sfēra)

Sfēriska virsma. Bumba (sfēra). Bumbu sadaļas: aprindās.

Arhimēda teorēma. Bumbiņas daļas: sfērisks segments,

sfērisks slānis, sfēriska josta, sfērisks sektors.

Sfēriska virsma -Šo punktu atrašanās vieta(tie. daudzivisu punktu skaits)telpā, vienādā attālumā no viena punkta O , ko sauc par sfēriskās virsmas centru (90. att.). Rādiuss AOi diametrs AB tiek noteiktas tāpat kā aplī.

Bumba (sfēra) -Šo ķermenis, ko ierobežo sfēriska virsma. Var iegūstiet bumbu, pagriežot pusloku ( vai aplis ) ap diametru. Visas bumbas plaknes daļas ir aprindās ( 90. att ). Lielākais aplis atrodas sadaļā, kas iet caur lodītes centru, un to sauc lielais aplis. Tās rādiuss ir vienāds ar lodītes rādiusu. Jebkuri divi lieli apļi krustojas gar lodītes diametru ( AB, 91. att ).Šis diametrs ir arī krustojošu lielo apļu diametrs. Caur diviem sfēriskas virsmas punktiem, kas atrodas viena diametra galos(A un B, 91. att ), varat uzzīmēt neskaitāmus lielus apļus. Piemēram, caur Zemes poliem var izvilkt bezgalīgu skaitu meridiānu.

Sfēras tilpums ir pusotru reizi mazāks nekā ap to norobežotā cilindra tilpums. (92. att ), A lodītes virsma ir pusotru reizi mazāka par tā paša cilindra kopējo virsmu ( Arhimēda teorēma):

Šeit S bumba Un V bumba - attiecīgi bumbas virsma un tilpums;

S cil Un V cil - ierobežotā cilindra kopējā virsma un tilpums.

Bumbas daļas. Bumbiņas daļa (sfēra) ), no tā nogriezta kāda plakne ( ABC, 93. att.), sauca bumba(sfērisks ) segmentu. Aplis ABC sauca pamata bumbas segments. Līnijas segments MN perpendikulāri novilkta no centra N aplis ABC līdz krustojas ar sfērisku virsmu, sauc augstums bumbas segments. Punkts M sauca tops bumbas segments.

Sfēras daļa, kas norobežota starp divām paralēlām plaknēm ABC un DEF, kas krustojas ar sfērisku virsmu (93. attēls), sauca sfērisks slānis; sauc par sfēriskā slāņa izliekto virsmu lodīšu josta(zonā). Apļi ABC un DEF – pamatojums lodīšu josta. Attālums N.K. starp sfēriskās jostas pamatnēm - tās augstums. Bumbiņas daļa, ko ierobežo sfēriska segmenta izliektā virsma ( AMCB, 93. att.) un koniskā virsma OABC , kura bāze ir segmenta ( ABC ), un virsotne ir bumbiņas centrs O , zvanīja sfēriskais sektors.

Kad cilvēkiem jautā par atšķirību starp sfēru un bumbu, daudzi vienkārši parausta plecus, domājot, ka patiesībā tie ir viens un tas pats (analoģija ar apli un apli). Patiešām, vai mēs visi labi pārzinām ģeometriju no skolas mācību programmas un varam nekavējoties atbildēt uz šo jautājumu? Sfērai ir dažas atšķirības no bumbas, kas jāzina ne tikai skolēniem, lai iegūtu labu atzīmi par demonstrētajām zināšanām, bet arī daudziem citiem cilvēkiem, piemēram, kuru darbs ir tieši saistīts ar zīmējumiem.

Definīcija

Bumba– visu telpas punktu kopa. Visi šie punkti atrodas no ģeometriskā ķermeņa centra attālumā, kas nav lielāks par norādīto. Šo attālumu sauc par rādiusu. Bumba kā ģeometrisks ķermenis tiek veidots šādi: pusloks griežas tuvu tā diametram. Kas attiecas uz sfēru, tā ir bumbiņas virsma (piemēram, slēgtā bumbiņā tā ir iekļauta, atvērtā ne). Bumbiņas laukuma vai tilpuma aprēķināšana ietver veselas ģeometriskas formulas, kas ir ļoti sarežģītas, neskatoties uz pašas ģeometriskās figūras šķietamo vienkāršību.

Sfēra, kā minēts iepriekš, ir bumbiņas virsma, tās apvalks. Visi telpas punkti atrodas vienādā attālumā no sfēras centra. Kas attiecas uz ģeometriskā ķermeņa rādiusu, to sauc par jebkuru segmentu, kura viens punkts ir tieši sfēras centrs, bet otrs var atrasties jebkurā virsmas punktā. Var teikt, ka sfēra ir lodītes apvalks bez satura (precīzāki piemēri tiks sniegti tālāk). Tāpat kā bumba, arī sfēra ir rotācijas ķermenis. Starp citu, daudzi arī brīnās, kāda ir atšķirība starp apli un apli no sfēras un bumbiņas. Šeit viss ir vienkārši: pirmajā gadījumā tās ir figūras plaknē, otrajā - kosmosā.

Salīdzinājums

Jau tika teikts, ka lode ir bumbiņas virsma, kas jau ļauj runāt par vienu būtisku atšķirības zīmi. Atšķirība starp diviem ģeometriskajiem ķermeņiem tiek novērota dažos citos aspektos:

• Visi bumbas punkti atrodas vienādā attālumā no centra, savukārt ķermeni ierobežo virsma (sfēra, kas iekšpusē ir tukša). Citiem vārdiem sakot, sfēra ir doba. Parasti, lai būtu vieglāk saprast, tiek dots vienkāršs piemērs ar balonu un biljarda bumbu. Abus šos objektus sauc par bumbiņām, bet pirmajā gadījumā mums ir darīšana ar sfēru, bet otrajā ar pilnvērtīgu bumbiņu ar savu saturu iekšā.
• Sfērai ir savs laukums, bet tai nav tilpuma. Sfēra ir pretēja: tās tilpumu var aprēķināt, kamēr tai nav laukuma. Daži var teikt, ka šī ir galvenā atšķirības pazīme, bet tā parādās tikai tad, ja ir nepieciešams veikt dažus aprēķinus (sarežģītas ģeometriskās formulas). Tāpēc galvenā atšķirība ir tā, ka sfēra ir doba, un bumba ir ķermenis ar saturu iekšpusē.
• Vēl viena atšķirība ir rādiusā. Piemēram, sfēras rādiuss nav tikai punktu attālums līdz centram. Rādiuss var būt jebkurš segments, kas savieno sfēras punktu ar tās centru. Visi šie segmenti ir vienādi viens ar otru. Runājot par bumbiņu, punkti, kas atrodas tās iekšpusē, tiek noņemti no centra mazāk nekā par rādiusu (tieši to ierobežojošās sfēras dēļ).

Secinājumu vietne

1. Sfēra ir doba, bet bumba ir iekšpusē piepildīts ķermenis. Piemēram, gaisa balons ir sfēra, biljarda bumba ir pilnvērtīga bumba.
2. Sfērai ir laukums un nav tilpuma, bet sfēra darbojas pretēji.
3. Trešā atšķirība ir divu ģeometrisku ķermeņu rādiusa mērīšana.

Definīcija.

Sfēru var raksturot kā trīsdimensiju figūru, kas veidojas, pagriežot apli ap tās diametru par 180° vai pusloku ap diametru par 360°.

Definīcija.

Bumbu var raksturot kā trīsdimensiju figūru, kas veidojas, pagriežot apli ap tās diametru par 180° vai pusloku ap tā diametru par 360°.

Definīcija. Sfēras (bumbiņas) rādiuss(R) ir attālums no sfēras (bumbiņas) centra O uz jebkuru punktu uz sfēras (bumbiņas virsmas).

Definīcija. Sfēras (bumbiņas) diametrs(D) ir segments, kas savieno divus lodes (bumbiņas virsmas) punktus un iet caur tās centru.

Formula. Sfēras tilpums:

Formula. Sfēras virsmas laukums caur rādiusu vai diametru:

S = 4π R 2 = π D 2

Sfēras vienādojums

1. Lodes vienādojums ar rādiusu R un centru Dekarta koordinātu sistēmas sākumpunktā:

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

2. Lodes ar rādiusu R un centru vienādojums punktā ar koordinātām (x 0, y 0, z 0) Dekarta koordinātu sistēmā:

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2

Definīcija. Diametriski pretēji punkti ir jebkuri divi punkti uz lodītes (sfēras) virsmas, kurus savieno diametrs.

Lodes un bumbas pamatīpašības

1. Visi sfēras punkti atrodas vienādā attālumā no centra.

2. Jebkurš sfēras griezums pa plakni ir aplis.

3. Jebkurš lodes posms pa plakni ir aplis.

4. Sfērai ir lielākais tilpums starp visām telpiskajām figūrām ar vienādu virsmas laukumu.

5. Caur jebkuriem diviem diametrāli pretējiem punktiem varat uzzīmēt lielus apļus lodei vai apļus bumbiņai.

6. Caur jebkuriem diviem punktiem, izņemot diametrāli pretējos punktus, var novilkt tikai vienu lielu apli lodei vai lielu apli bumbiņai.

7. Jebkuri divi vienas lodes lielie apļi krustojas pa taisnu līniju, kas iet caur lodītes centru, un apļi krustojas divos diametrāli pretējos punktos.

8. Ja attālums starp jebkuru divu lodīšu centriem ir mazāks par to rādiusu summu un lielāks par to rādiusu starpības moduli, tad šādas lodītes krustojas, un krustojuma plaknē veidojas aplis.

Sfēras nosēšanās, horda, nosēšanās plakne un to īpašības

Definīcija. Sfēras sekants ir taisna līnija, kas krusto sfēru divos punktos. Tiek saukti krustošanās punkti caurduršanas punkti virsmas vai ieejas un izejas punkti uz virsmas.

Definīcija. Lodes akords (bumba)- tas ir segments, kas savieno divus punktus uz sfēras (bumbiņas virsmas).

Definīcija. Griešanas plakne ir plakne, kas krusto sfēru.

Definīcija. Diametrālā plakne- šī ir šķērsplakne, kas iet caur sfēras vai lodītes centru, sekcija veidojas atbilstoši liels aplis Un lielais aplis. Lielajam aplim un lielajam aplim ir centrs, kas sakrīt ar sfēras (lodes) centru.

Jebkura horda, kas iet caur sfēras (bumbiņas) centru, ir diametrs.

Akords ir sekanta līnijas segments.

Attālums d no sfēras centra līdz sekantam vienmēr ir mazāks par sfēras rādiusu:

d< R

Attālums m starp griešanas plakni un sfēras centru vienmēr ir mazāks par rādiusu R:

m< R

Griešanas plaknes sekcijas atrašanās vieta uz sfēras vienmēr būs mazs aplis, un uz bumbas sadaļa būs mazs aplis. Mazajam aplim un mazajam aplim ir savi centri, kas nesakrīt ar sfēras (bumbiņas) centru. Šāda apļa rādiusu r var atrast, izmantojot formulu:

r = √R 2 - m 2,

Kur R ir sfēras (bumbiņas) rādiuss, m ir attālums no lodes centra līdz griešanas plaknei.

Definīcija. Puslode (puslode)- tā ir puse no sfēras (bumbiņas), kas veidojas, to pārgriežot diametrālā plaknē.

Pieskares, pieskares plakne sfērai un to īpašības

Definīcija. Pieskares sfērai ir taisna līnija, kas skar sfēru tikai vienā punktā.

Definīcija. Sfēras pieskares plakne ir plakne, kas skar sfēru tikai vienā punktā.

Pieskares līnija (plakne) vienmēr ir perpendikulāra tās sfēras rādiusam, kas novilkta uz saskares punktu

Attālums no sfēras centra līdz pieskares līnijai (plaknei) ir vienāds ar sfēras rādiusu.

Definīcija. Bumbu segments- šī ir bumbiņas daļa, kuru no bumbiņas nogriež griešanas plakne. Segmenta pamats sauc par apli, kas izveidojās sekcijas vietā. Segmenta augstums h ir perpendikula garums, kas novilkts no segmenta pamatnes vidus līdz segmenta virsmai.

Formula. Sfēras segmenta ārējās virsmas laukums ar augstumu h caur sfēras R rādiusu:

S = 2πRh