Atrodiet x saknes atvasinājumu. Atrodiet atvasinājumu: algoritmu un risinājumu piemērus

Instrukcijas

Pirms atrodat saknes atvasinājumu, pievērsiet uzmanību pārējām funkcijām, kas atrodas risināmajā piemērā. Ja problēmai ir daudz radikālu izteiksmju, izmantojiet šādu noteikumu, lai atrastu kvadrātsaknes atvasinājumu:

(√x)" = 1/2√x.

Un, lai atrastu kuba saknes atvasinājumu, izmantojiet formulu:

(³√x)" = 1/3(³√x)²,

kur ³√x apzīmē x kuba sakni.

Ja diferenciācijai ir mainīgais daļskaitlī , tad pārveidojiet sakni jaudas funkcijā ar atbilstošu eksponentu. Kvadrātsaknei tas būs ½, bet kubsaknei tas būs ⅓:

√x = x^½,
³√х = x ^ ⅓,

kur ^ apzīmē eksponenci.

Lai atrastu jaudas funkcijas atvasinājumu kopumā un jo īpaši x^1, x^⅓, izmantojiet šādu noteikumu:

(x^n)" = n * x^(n-1).

Saknes atvasinājumam šī attiecība nozīmē:

(x^½)" = ½ x ^ (-½) un
(x^⅓)" = ⅓ x ^ (-⅔).

Atšķirot visu, uzmanīgi apskatiet pārējo piemēru. Ja jūsu atbildē ir ļoti apgrūtinoša izteiksme, tad droši vien varat to vienkāršot. Lielākā daļa skolu piemēru ir strukturēti tā, lai gala rezultāts būtu neliels skaitlis vai kompakta izteiksme.

Daudzās atvasinātajās problēmās saknes (kvadrāts un kubs) tiek atrastas kopā ar citām funkcijām. Lai šajā gadījumā atrastu saknes atvasinājumu, izmantojiet šādus noteikumus:
konstantes (nemainīgs skaitlis, C) atvasinājums ir vienāds ar nulli: C" = 0;
konstantais koeficients tiek izņemts no atvasinājuma zīmes: (k*f)" = k * (f)" (f ir patvaļīga funkcija);
vairāku funkciju summas atvasinājums ir vienāds ar atvasinājumu summu: (f + g)" = (f)" + (g)";
divu funkciju reizinājuma atvasinājums ir vienāds ar... nē, nevis atvasinājumu reizinājumu, bet šādu izteiksmi: (fg)" = (f)"g + f (g)";
koeficienta atvasinājums arī nav vienāds ar atvasinājumu koeficientu, bet tiek atrasts pēc šāda likuma: (f/g)" = ((f)"g – f(g)") / g².

Piezīme

Šajā lapā varat tiešsaistē aprēķināt funkcijas atvasinājumu un iegūt detalizētu problēmas risinājumu. Funkcijas atvasinājumu risinājums tiek veikts, izmantojot diferenciācijas noteikumus, kurus studenti apgūst matemātiskās analīzes gaitā institūtā. Lai atrastu funkcijas atvasinājumu, laukā "Funkcija" ir jāievada diferencēšanas funkcija atbilstoši datu ievades noteikumiem.

Noderīgs padoms

Funkcijas atvasinājums ir funkcijas pieauguma un argumenta pieauguma attiecības robeža, ja argumenta pieaugumam ir tendence uz nulli: Šīs definīcijas matemātisko nozīmi nav ļoti viegli saprast, jo skolā algebras kurss funkcijas robežas jēdziens vai nu netiek pētīts vispār vai tiek pētīts ļoti virspusēji. Bet, lai uzzinātu, kā atrast dažādu funkciju atvasinājumus, tas nav nepieciešams.

Avoti:

• atvasināta sakne no x

1. Patvaļīgas pakāpes saknes atvasinājuma formulas vispārīgs gadījums- daļa, kuras skaitītājā ir viens, un saucējā skaitlis, kas vienāds ar saknes pakāpju, kurai aprēķināts atvasinājums, reizināts ar tās pašas pakāpes sakni, kuras radikālā izteiksme ir mainīgais saknes jauda, ​​kurai tika aprēķināts atvasinājums, samazināts par vienu
2. Kvadrātsaknes atvasinājums- ir īpašs iepriekšējās formulas gadījums. Atvasinājums no x kvadrātsaknes ir daļa, kuras skaitītājs ir viens un saucējs ir divas reizes lielāks par x kvadrātsakni
3. Kubsaknes atvasinājums, arī vispārīgās formulas īpašs gadījums. Kuba saknes atvasinājums ir dalīts ar trīs kuba saknēm x kvadrātā.

Zemāk ir pārveidojumi, kas izskaidro, kāpēc kvadrātsakņu un kubiksakņu atvasinājumu atrašanas formulas ir tieši tādas pašas, kā parādīts attēlā.

Protams, šīs formulas nemaz nav jāatceras, ja ņem vērā, ka atvasinātās pakāpes saknes iegūšana ir tas pats, kas palielināt daļskaitli, kuras saucējs ir vienāds ar to pašu jaudu. Tad saknes atvasinājuma atrašana tiek reducēta līdz formulas pielietošanai atbilstošās daļdaļas jaudas atvasinājuma atrašanai.

Mainīgā atvasinājums zem kvadrātsaknes

Paskaidrojums:
(√x)" = (x 1/2)"

Kvadrātsakne ir tieši tāda pati darbība kā paaugstināšana līdz pakāpei 1/2,Tas nozīmē, ka, lai atrastu saknes atvasinājumu, jūs varat piemērot formulu no noteikuma mainīgā atvasinājuma atrašanai uz patvaļīgu pakāpju:

(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

Kubsaknes atvasinājums (trešās saknes atvasinājums)

Iedomāsimies kuba sakni kā 1/3 pakāpju un atradīsim atvasinājumu, izmantojot vispārīgos diferenciācijas noteikumus. Īso formulu var redzēt attēlā, un zemāk ir paskaidrojums, kāpēc tas tā ir.

Jaudu -2/3 iegūst, no 1/3 atņemot vienu

Jaudas funkcijas atvasinājuma formulas atvasināšana (x līdz a pakāpei). Tiek ņemti vērā atvasinājumi no x saknēm. Formula augstākas kārtas jaudas funkcijas atvasinājumam. Atvasinājumu aprēķināšanas piemēri.

Skatīt arī: Jaudas funkcija un saknes, formulas un grafiks
Jaudas funkciju grafiki

Pamatformulas

X atvasinājums no a pakāpes ir vienāds ar x reizinājumu ar pakāpju mīnus viens:
(1) .

x n-tās saknes atvasinājums no m-tās pakāpes ir:
(2) .

Jaudas funkcijas atvasinājuma formulas atvasināšana

Gadījums x > 0

Apsveriet mainīgā x jaudas funkciju ar eksponentu a:
(3) .
Šeit a ir patvaļīgs reāls skaitlis. Vispirms apskatīsim lietu.

Lai atrastu funkcijas (3) atvasinājumu, mēs izmantojam jaudas funkcijas īpašības un pārveidojam to šādā formā:
.

Tagad mēs atrodam atvasinājumu, izmantojot:
;
.
Šeit .

Formula (1) ir pierādīta.

Formulas atvasināšana x pakāpes saknes atvasināšanai no m pakāpes

Tagad apsveriet funkciju, kas ir šādas formas sakne:
(4) .

Lai atrastu atvasinājumu, mēs pārveidojam sakni par jaudas funkciju:
.
Salīdzinot ar formulu (3), mēs to redzam
.
Tad
.

Izmantojot formulu (1), mēs atrodam atvasinājumu:
(1) ;
;
(2) .

Praksē formula (2) nav jāiegaumē. Daudz ērtāk ir vispirms pārveidot saknes par jaudas funkcijām un pēc tam atrast to atvasinājumus, izmantojot formulu (1) (skatiet piemērus lapas beigās).

Gadījums x = 0

Ja , tad jaudas funkcija ir definēta mainīgā x = vērtībai 0 . Atradīsim funkcijas (3) atvasinājumu pie x = 0 . Lai to izdarītu, mēs izmantojam atvasinājuma definīciju:
.

Aizstāsim x = 0 :
.
Šajā gadījumā ar atvasinājumu mēs saprotam labās puses robežu, kurai .

Tātad mēs atradām:
.
No tā ir skaidrs, ka , .
Pie , .
Pie , .
Šo rezultātu iegūst arī no formulas (1):
(1) .
Tāpēc formula (1) ir derīga arī x = 0 .

Lieta x< 0

Vēlreiz apsveriet funkciju (3):
(3) .
Noteiktām konstantes a vērtībām tas ir definēts arī mainīgā x negatīvajām vērtībām. Proti, lai a ir racionāls skaitlis. Tad to var attēlot kā nesamazināmu daļu:
,
kur m un n ir veseli skaitļi, kuriem nav kopīga dalītāja.

Ja n ir nepāra, tad jaudas funkcija tiek definēta arī mainīgā x negatīvajām vērtībām. Piemēram, ja n = 3 un m = 1 mums ir x kuba sakne:
.
Tas ir definēts arī mainīgā x negatīvajām vērtībām.

Atradīsim jaudas funkcijas (3) atvasinājumu konstantes a racionālajām vērtībām, kurām tā ir definēta. Lai to izdarītu, attēlosim x šādā formā:
.
Tad,
.
Mēs atrodam atvasinājumu, novietojot konstanti ārpus atvasinājuma zīmes un piemērojot noteikumu kompleksas funkcijas diferencēšanai:

.
Šeit . Bet
.
Kopš tā laika
.
Tad
.
Tas ir, formula (1) ir derīga arī:
(1) .

Augstākas kārtas atvasinājumi

Tagad atradīsim jaudas funkcijas augstākas kārtas atvasinājumus
(3) .
Mēs jau esam atraduši pirmās kārtas atvasinājumu:
.

Ņemot konstanti a ārpus atvasinājuma zīmes, mēs atrodam otrās kārtas atvasinājumu:
.
Līdzīgi mēs atrodam trešās un ceturtās kārtas atvasinājumus:
;

.

No tā ir skaidrs, ka patvaļīgas n-tās kārtas atvasinājums ir šāda forma:
.

ievērojiet, tas ja a ir naturāls skaitlis, tad n-tais atvasinājums ir nemainīgs:
.
Tad visi nākamie atvasinājumi ir vienādi ar nulli:
,
plkst.

Atvasinājumu aprēķināšanas piemēri

Piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu:
.

Pārveidosim saknes pakāpēs:
;
.
Tad sākotnējā funkcija iegūst šādu formu:
.

Pilnvaru atvasinājumu atrašana:
;
.
Konstantes atvasinājums ir nulle:
.

Atvasinājuma atrašanas darbību sauc par diferenciāciju.

Vienkāršāko (un ne pārāk vienkāršo) funkciju atvasinājumu atrašanas problēmu risināšanas rezultātā, definējot atvasinājumu kā pieauguma un argumenta pieauguma attiecības robežu, parādījās atvasinājumu tabula un precīzi definēti diferenciācijas noteikumi. . Pirmie, kas strādāja atvasinājumu atrašanas jomā, bija Īzaks Ņūtons (1643-1727) un Gotfrīds Vilhelms Leibnics (1646-1716).

Tāpēc mūsdienās, lai atrastu jebkuras funkcijas atvasinājumu, jums nav jāaprēķina iepriekš minētā funkcijas pieauguma attiecības pret argumenta pieauguma robeža, bet tikai jāizmanto tabula atvasinājumi un diferenciācijas noteikumi. Atvasinājuma atrašanai ir piemērots šāds algoritms.

Lai atrastu atvasinājumu, jums ir nepieciešama izteiksme zem galvenās zīmes sadalīt vienkāršas funkcijas komponentos un noteikt, kādas darbības (produkts, summa, koeficients)šīs funkcijas ir saistītas. Tālāk elementāro funkciju atvasinājumus atrodam atvasinājumu tabulā, bet reizinājuma, summas un koeficienta atvasinājumu formulas - diferenciācijas noteikumos. Atvasinājumu tabula un diferenciācijas noteikumi ir doti pēc pirmajiem diviem piemēriem.

1. piemērs. Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Risinājums. No diferenciācijas likumiem noskaidrojam, ka funkciju summas atvasinājums ir funkciju atvasinājumu summa, t.i.

No atvasinājumu tabulas mēs uzzinām, ka "x" atvasinājums ir vienāds ar vienu, un sinusa atvasinājums ir vienāds ar kosinusu. Mēs šīs vērtības aizstājam ar atvasinājumu summu un atrodam atvasinājumu, kas nepieciešams problēmas nosacījumam:

2. piemērs. Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Risinājums. Diferencējam kā summas atvasinājumu, kurā otrajam loceklim ir nemainīgs faktors; to var izņemt no atvasinājuma zīmes:

Ja joprojām rodas jautājumi par to, no kurienes kaut kas nāk, tie parasti tiek noskaidroti pēc iepazīšanās ar atvasinājumu tabulu un vienkāršākajiem diferenciācijas noteikumiem. Mēs šobrīd pārejam pie tiem.

Vienkāršu funkciju atvasinājumu tabula

1. Konstantes (skaitļa) atvasinājums. Jebkurš skaitlis (1, 2, 5, 200...), kas ir funkcijas izteiksmē. Vienmēr vienāds ar nulli. Tas ir ļoti svarīgi atcerēties, jo tas tiek prasīts ļoti bieži
2. Neatkarīgā mainīgā atvasinājums. Visbiežāk "X". Vienmēr vienāds ar vienu. Tas ir arī svarīgi atcerēties ilgu laiku
3. Grāda atvasinājums. Risinot problēmas, jums ir jāpārvērš ne-kvadrātsaknes pakāpēs.
4. Mainīgā atvasinājums pakāpei -1
5. Kvadrātsaknes atvasinājums
6.Sinusa atvasinājums
7.Kosinusa atvasinājums
8. Pieskares atvasinājums
9. Kotangensa atvasinājums
10.Arksīna atvasinājums
11.Arkosīna atvasinājums
12.Arktangenta atvasinājums
13. Loka kotangensa atvasinājums
14.Naturālā logaritma atvasinājums
15. Logaritmiskās funkcijas atvasinājums
16. Eksponenta atvasinājums
17.Eksponenciālās funkcijas atvasinājums

Diferencēšanas noteikumi

1. Summas vai starpības atvasinājums
2. Produkta atvasinājums
2a. Izteiksmes atvasinājums, kas reizināts ar konstantu koeficientu
3. Koeficienta atvasinājums
4. Sarežģītas funkcijas atvasinājums

1. noteikums.Ja funkcijas

ir diferencējami kādā brīdī, tad funkcijas ir diferencējamas tajā pašā punktā

un

tie. funkciju algebriskās summas atvasinājums ir vienāds ar šo funkciju atvasinājumu algebrisko summu.

Sekas. Ja divas diferencējamas funkcijas atšķiras ar konstantu vārdu, tad to atvasinājumi ir vienādi, t.i.

2. noteikums.Ja funkcijas

ir diferencējami kādā brīdī, tad to produkts ir diferencējams tajā pašā punktā

un

tie. Divu funkciju reizinājuma atvasinājums ir vienāds ar katras šīs funkcijas reizinājumu summu un otras funkcijas atvasinājumu.

Secinājums 1. Pastāvīgo koeficientu var izņemt no atvasinājuma zīmes:

Secinājums 2. Vairāku diferencējamu funkciju reizinājuma atvasinājums ir vienāds ar katra faktora un visu pārējo atvasinājuma produktu summu.

Piemēram, trim reizinātājiem:

3. noteikums.Ja funkcijas

kādā brīdī atšķirties Un , tad šajā brīdī arī to koeficients ir diferencējamsu/v , un

tie. divu funkciju koeficienta atvasinājums ir vienāds ar daļskaitli, kuras skaitītājs ir starpība starp saucēja reizinājumu un skaitītāja atvasinājumu un skaitītāju un saucēja atvasinājumu, un saucējs ir skaitļa kvadrāts. bijušais skaitītājs.

Kur meklēt lietas citās lapās

Meklējot reizinājuma atvasinājumu un koeficientu reālās problēmās, vienmēr ir jāpiemēro vairāki diferenciācijas noteikumi vienlaikus, tāpēc rakstā ir vairāk piemēru par šiem atvasinājumiem."Produkta atvasinājums un funkciju koeficients".

komentēt. Nevajag jaukt konstanti (tas ir, skaitli) kā terminu summā un kā nemainīgu faktoru! Termina gadījumā tā atvasinājums ir vienāds ar nulli, un nemainīga faktora gadījumā tas tiek izņemts no atvasinājumu zīmes. Tā ir tipiska kļūda, kas rodas atvasinājumu izpētes sākumposmā, taču, risinot vairākus viendaļīgus un divdaļīgus piemērus, vidusmēra students vairs nepieļauj šo kļūdu.

Un, ja, diferencējot produktu vai koeficientu, jums ir termins u"v, kurā u- skaitlis, piemēram, 2 vai 5, tas ir, konstante, tad šī skaitļa atvasinājums būs vienāds ar nulli un līdz ar to viss termins būs vienāds ar nulli (šis gadījums ir apskatīts 10. piemērā).

Vēl viena izplatīta kļūda ir sarežģītas funkcijas atvasinājuma mehāniska atrisināšana kā vienkāršas funkcijas atvasinājums. Tāpēc kompleksas funkcijas atvasinājums ir veltīts atsevišķs raksts. Bet vispirms mēs iemācīsimies atrast vienkāršu funkciju atvasinājumus.

Pa ceļam jūs nevarat iztikt bez izteiksmju pārveidošanas. Lai to izdarītu, rokasgrāmata var būt jāatver jaunos logos. Darbības ar spējām un saknēm Un Darbības ar daļskaitļiem .

Ja meklējat risinājumus daļskaitļu atvasinājumiem ar pakāpēm un saknēm, tas ir, kad funkcija izskatās šādi , pēc tam izpildiet nodarbību “Daļskaitļu summu atvasinājums ar pakāpēm un saknēm”.

Ja jums ir tāds uzdevums kā , tad jūs apmeklēsiet nodarbību “Vienkāršu trigonometrisko funkciju atvasinājumi”.

Soli pa solim piemēri - kā atrast atvasinājumu

3. piemērs. Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Risinājums. Mēs definējam funkcijas izteiksmes daļas: visa izteiksme attēlo reizinājumu, un tās faktori ir summas, no kurām otrajā viens no terminiem satur nemainīgu faktoru. Mēs piemērojam produktu diferenciācijas noteikumu: divu funkciju reizinājuma atvasinājums ir vienāds ar katras šīs funkcijas produktu summu ar otras funkcijas atvasinājumu:

Tālāk piemērojam summas diferenciācijas likumu: funkciju algebriskās summas atvasinājums ir vienāds ar šo funkciju atvasinājumu algebrisko summu. Mūsu gadījumā katrā summā otrajam vārdam ir mīnusa zīme. Katrā summā redzam gan neatkarīgu mainīgo, kura atvasinājums ir vienāds ar vienu, gan konstanti (skaitli), kuras atvasinājums ir vienāds ar nulli. Tātad “X” pārvēršas par vienu, un mīnus 5 pārvēršas par nulli. Otrajā izteiksmē "x" tiek reizināts ar 2, tāpēc mēs reizinām divus ar tādu pašu vienību kā "x" atvasinājums. Mēs iegūstam šādas atvasinātās vērtības:

Atrastos atvasinājumus aizstājam produktu summā un iegūstam visas uzdevuma nosacījumam nepieciešamās funkcijas atvasinājumu:

Un jūs varat pārbaudīt atvasinātās problēmas risinājumu.

4. piemērs. Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Risinājums. Mums ir jāatrod koeficienta atvasinājums. Mēs izmantojam koeficienta diferenciācijas formulu: divu funkciju koeficienta atvasinājums ir vienāds ar daļskaitli, kuras skaitītājs ir starpība starp saucēja reizinājumu un skaitītāja un skaitītāja atvasinājumu un skaitītāja atvasinājumu un atvasinājumu. saucējs, un saucējs ir iepriekšējā skaitītāja kvadrāts. Mēs iegūstam:

Mēs jau esam atraduši faktoru atvasinājumu skaitītājā 2. piemērā. Neaizmirsīsim arī to, ka reizinājums, kas pašreizējā piemērā ir otrais skaitītāja faktors, tiek ņemts ar mīnusa zīmi:

Ja meklējat risinājumus problēmām, kurās jums jāatrod funkcijas atvasinājums, kurā ir nepārtraukta sakņu un pakāpju kaudze, piemēram, , tad laipni lūdzam nodarbībā "Atvasinājums no daļskaitļu summām ar pakāpēm un saknēm" .

Ja jums ir nepieciešams uzzināt vairāk par sinusu, kosinusu, tangenšu un citu trigonometrisko funkciju atvasinājumiem, tas ir, kad funkcija izskatās šādi , tad mācība jums "Vienkāršu trigonometrisko funkciju atvasinājumi" .

5. piemērs. Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Risinājums. Šajā funkcijā mēs redzam reizinājumu, kura viens no faktoriem ir kvadrātsakne no neatkarīgā mainīgā, ar kura atvasinājumu mēs iepazināmies atvasinājumu tabulā. Izmantojot reizinājuma diferencēšanas noteikumu un kvadrātsaknes atvasinājuma tabulas vērtību, mēs iegūstam:

Atvasinātās problēmas risinājumu varat pārbaudīt vietnē tiešsaistes atvasinājumu kalkulators .

6. piemērs. Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Risinājums. Šajā funkcijā mēs redzam koeficientu, kura dividende ir neatkarīgā mainīgā kvadrātsakne. Izmantojot koeficientu diferenciācijas likumu, ko atkārtojām un piemērojām 4. piemērā, un kvadrātsaknes atvasinājuma vērtību tabulā, iegūstam:

Lai atbrīvotos no daļskaitļa skaitītājā, reiziniet skaitītāju un saucēju ar .

Sarežģīta veida funkcijas ne vienmēr atbilst sarežģītas funkcijas definīcijai. Ja ir funkcija formā y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, tad to nevar uzskatīt par kompleksu, atšķirībā no y = sin 2 x.

Šajā rakstā tiks parādīts sarežģītas funkcijas jēdziens un tās identificēšana. Strādāsim ar formulām atvasinājuma atrašanai ar risinājumu piemēriem noslēgumā. Atvasinājumu tabulas un diferenciācijas noteikumu izmantošana ievērojami samazina atvasinājuma atrašanas laiku.

Pamatdefinīcijas

Sarežģīta funkcija ir funkcija, kuras arguments ir arī funkcija.

To apzīmē šādi: f (g (x)). Mums ir, ka funkcija g (x) tiek uzskatīta par argumentu f (g (x)).

2. definīcija

Ja ir funkcija f un tā ir kotangentes funkcija, tad g(x) = ln x ir naturālā logaritma funkcija. Mēs atklājam, ka kompleksā funkcija f (g (x)) tiks uzrakstīta kā arctg(lnx). Vai arī funkcija f, kas ir funkcija, kas paaugstināta līdz 4. pakāpei, kur g (x) = x 2 + 2 x - 3 tiek uzskatīta par veselu racionālu funkciju, mēs iegūstam, ka f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Acīmredzot g (x) var būt sarežģīts. No piemēra y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 ir skaidrs, ka g vērtībai ir daļas kubsakne. Šo izteiksmi var apzīmēt kā y = f (f 1 (f 2 (x))). No tā izriet, ka f ir sinusa funkcija un f 1 ir funkcija, kas atrodas zem kvadrātsaknes, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 ir daļēja racionāla funkcija.

3. definīcija

Ligzdošanas pakāpi nosaka jebkurš naturāls skaitlis, un to raksta kā y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) .

4. definīcija

Funkciju kompozīcijas jēdziens attiecas uz ligzdoto funkciju skaitu atbilstoši problēmas apstākļiem. Lai atrisinātu, izmantojiet formulu, lai atrastu formas kompleksās funkcijas atvasinājumu

(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)

Piemēri

Atrodiet atvasinājumu kompleksai funkcijai formā y = (2 x + 1) 2.

Risinājums

Nosacījums parāda, ka f ir kvadrātveida funkcija, un g(x) = 2 x + 1 tiek uzskatīta par lineāru funkciju.

Pielietosim atvasināto formulu sarežģītai funkcijai un ierakstīsim:

f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

Jāatrod atvasinājums ar vienkāršotu funkcijas oriģinālformu. Mēs iegūstam:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

No šejienes mums tas ir

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

Rezultāti bija tādi paši.

Risinot šāda veida uzdevumus, ir svarīgi saprast, kur atradīsies formas f un g (x) funkcija.

2. piemērs

Jums vajadzētu atrast kompleksu funkciju atvasinājumus formā y = sin 2 x un y = sin x 2.

Risinājums

Pirmajā funkcijas apzīmējumā teikts, ka f ir kvadrātveida funkcija un g(x) ir sinusa funkcija. Tad mēs to saņemam

y " = (sin 2 x) " = 2 sin 2 - 1 x (sin x) " = 2 sin x cos x

Otrais ieraksts parāda, ka f ir sinusa funkcija, un g(x) = x 2 apzīmē pakāpes funkciju. No tā izriet, ka sarežģītas funkcijas reizinājumu mēs rakstām kā

y " = (sin x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

Atvasinājuma y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) formula tiks uzrakstīta kā y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (..). .. ( f n (x))))) · f 1 " (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))) · · f 2" (f 3 (. . . (f n (x)) )) )) · . . . fn "(x)

3. piemērs

Atrodiet funkcijas y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)) atvasinājumu.

Risinājums

Šis piemērs parāda, cik grūti ir rakstīt un noteikt funkciju atrašanās vietu. Tad y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) apzīmē kur f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) ir sinusa funkcija, paaugstināšanas funkcija līdz 3 grādiem, funkcija ar logaritmu un e bāzi, arktangenta un lineāra funkcija.

No formulas sarežģītas funkcijas definēšanai mums ir tā

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x)

Mēs iegūstam to, kas mums jāatrod

1. f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) kā sinusa atvasinājums saskaņā ar atvasinājumu tabulu, tad f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 ()) x)))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) kā jaudas funkcijas atvasinājums, tad f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
3. f 2 " (f 3 (f 4 (x))) kā logaritmisks atvasinājums, tad f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3 " (f 4 (x)) kā arktangenta atvasinājums, tad f 3 " (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. Atrodot atvasinājumu f 4 (x) = 2 x, no atvasinājuma zīmes noņemiet 2, izmantojot formulu pakāpes funkcijas atvasinājumam ar eksponentu, kas vienāds ar 1, tad f 4 " (x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Mēs apvienojam starprezultātus un iegūstam to

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

Šādu funkciju analīze atgādina ligzdošanas lelles. Diferenciācijas noteikumus ne vienmēr var tieši piemērot, izmantojot atvasinājumu tabulu. Bieži vien ir jāizmanto formula, lai atrastu sarežģītu funkciju atvasinājumus.

Pastāv dažas atšķirības starp sarežģītu izskatu un sarežģītām funkcijām. Ar skaidru spēju to atšķirt, atrast atvasinājumus būs īpaši viegli.

4. piemērs

Ir jāapsver iespēja sniegt šādu piemēru. Ja ir funkcija formā y = t g 2 x + 3 t g x + 1, tad to var uzskatīt par formas g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 kompleksu funkciju. . Acīmredzot kompleksam atvasinājumam ir jāizmanto formula:

f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g " (x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3 ; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

Funkcija formā y = t g x 2 + 3 t g x + 1 netiek uzskatīta par kompleksu, jo tai ir summa t g x 2, 3 t g x un 1. Taču t g x 2 uzskata par kompleksu funkciju, tad iegūstam pakāpju funkciju formā g (x) = x 2 un f, kas ir pieskares funkcija. Lai to izdarītu, atšķiriet pēc daudzuma. Mēs to saņemam

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 un 2 x

Pāriesim pie sarežģītas funkcijas atvasinājuma atrašanas (t g x 2) ":

f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

Mēs iegūstam, ka y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Sarežģīta tipa funkcijas var iekļaut sarežģītās funkcijās, un pašas sarežģītas funkcijas var būt sarežģīta tipa funkciju sastāvdaļas.

5. piemērs

Piemēram, apsveriet kompleksu funkciju formā y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Šo funkciju var attēlot kā y = f (g (x)), kur f vērtība ir 3. bāzes logaritma funkcija, un g (x) tiek uzskatīta par divu funkciju summu formā h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 un k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . Acīmredzot y = f (h (x) + k (x)).

Apsveriet funkciju h(x). Šī ir attiecība l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 līdz m (x) = e x 2 + 3 3

Mums ir, ka l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) ir divu funkciju summa n (x) = x 2 + 7 un p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , kur p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) ir sarežģīta funkcija ar skaitlisko koeficientu 3, un p 1 ir kuba funkcija, p 2 pēc kosinusa funkcijas, p 3 (x) = 2 x + 1 pēc lineāras funkcijas.

Mēs noskaidrojām, ka m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) ir divu funkciju q (x) = e x 2 un r (x) = 3 3 summa, kur q (x) = q 1 (q 2 (x)) ir kompleksa funkcija, q 1 ir funkcija ar eksponenciālu, q 2 (x) = x 2 ir pakāpes funkcija.

Tas parāda, ka h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3) (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Pārejot uz izteiksmi formā k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x), ir skaidrs, ka funkcija ir parādīta kompleksa s ( x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) ar racionālu veselu skaitli t (x) = x 2 + 1, kur s 1 ir kvadrātveida funkcija un s 2 (x) = ln x ir logaritmisks ar bāze e.

No tā izriet, ka izteiksme būs formā k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x).

Tad mēs to saņemam

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 () x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Pamatojoties uz funkcijas struktūrām, kļuva skaidrs, kā un kādas formulas jāizmanto izteiksmes vienkāršošanai, to diferencējot. Lai iepazītos ar šādām problēmām un to risinājuma jēdzienu, ir jāvēršas pie funkcijas diferencēšanas, tas ir, jāatrod tās atvasinājums.

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter