Veselu skaitļu dalīšana ar atlikumu, noteikumi, piemēri. Sadaliet ar atlikumu
Skaitļu dalāmības pazīmes- tie ir noteikumi, kas ļauj salīdzinoši ātri, nedalot, noskaidrot, vai šis skaitlis dalās ar doto skaitli bez atlikuma.
Daži no dalāmības pazīmes pavisam vienkārši, daži sarežģītāki. Šajā lapā jūs atradīsiet gan pirmskaitļu dalāmības zīmes, piemēram, 2, 3, 5, 7, 11, gan salikto skaitļu dalāmības zīmes, piemēram, 6 vai 12.
Es ceru, ka šī informācija jums būs noderīga.
Laimīgu mācīšanos!
Pārbaude dalāmību ar 2
Šī ir viena no vienkāršākajām dalāmības pazīmēm. Tas izklausās šādi: ja naturāla skaitļa apzīmējums beidzas ar pāra ciparu, tad tas ir pāra (dalās bez atlikuma ar 2), un ja naturāla skaitļa apzīmējums beidzas ar nepāra ciparu, tad šis skaitlis ir nepāra .
Citiem vārdiem sakot, ja skaitļa pēdējais cipars ir 2
, 4
, 6
, 8
vai 0
- skaitlis dalās ar 2, ja nē, tad nedalās
Piemēram, skaitļi: 23 4
, 8270
, 1276
, 9038
, 502
ir dalāmi ar 2, jo tie ir pāra.
A skaitļi: 23 5
, 137
, 2303
Tie nav dalāmi ar 2, jo tie ir nepāra.
Pārbaudi dalāmību ar 3
Šai dalāmības zīmei ir pavisam citi noteikumi: ja skaitļa ciparu summa dalās ar 3, tad skaitlis dalās ar 3; Ja skaitļa ciparu summa nedalās ar 3, tad skaitlis nedalās ar 3.
Tas nozīmē, ka, lai saprastu, vai skaitlis dalās ar 3, jums vienkārši jāsaskaita skaitļi, kas to veido.
Tas izskatās šādi: 3987 un 141 dalās ar 3, jo pirmajā gadījumā 3+9+8+7= 27
(27:3=9 - dalās ar 3), bet otrajā 1+4+1= 6
(6:3=2 – arī dalās ar 3).
Bet skaitļi: 235 un 566 nedalās ar 3, jo 2+3+5= 10
un 5+6+6= 17
(un mēs zinām, ka ne 10, ne 17 nedalās ar 3 bez atlikuma).
Pārbaudiet dalāmību ar 4
Šī dalāmības zīme būs sarežģītāka. Ja skaitļa pēdējie 2 cipari veido ar 4 dalāmu skaitli vai tas ir 00, tad skaitlis dalās ar 4, pretējā gadījumā dotais skaitlis nedalās ar 4 bez atlikuma.
Piemēram: 1 00
un 3 64
dalās ar 4, jo pirmajā gadījumā skaitlis beidzas ar 00
, un otrajā ieslēgts 64
, kas savukārt dalās ar 4 bez atlikuma (64:4=16)
3. skaitļi 57
un 8 86
nedalās ar 4, jo ne 57
nē 86
nav dalāmi ar 4, kas nozīmē, ka tie neatbilst šim dalāmības kritērijam.
Dalāmības pārbaude ar 5
Un atkal mums ir diezgan vienkārša dalāmības zīme: ja naturāla skaitļa apzīmējums beidzas ar skaitli 0 vai 5, tad šis skaitlis bez atlikuma dalās ar 5. Ja skaitļa apzīmējums beidzas ar citu ciparu, tad skaitlis nedalās ar 5 bez atlikuma.
Tas nozīmē, ka jebkuri cipari, kas beidzas ar cipariem 0
Un 5
, piemēram, 1235 5
un 43 0
, ietilpst noteikumā un dalās ar 5.
Un, piemēram, 1549.g 3
un 56 4
nebeidzas ar skaitli 5 vai 0, kas nozīmē, ka tos nevar dalīt ar 5 bez atlikuma.
Pārbaudiet dalāmību ar 6
Mūsu priekšā ir saliktais skaitlis 6, kas ir skaitļu 2 un 3 reizinājums. Tāpēc arī dalāmības zīme ar 6 ir salikta: lai skaitlis dalītos ar 6, tam jāatbilst divām dalāmība vienlaikus: dalāmības zīme ar 2 un dalāmības zīme ar 3. Lūdzu, ņemiet vērā, ka tādam saliktam skaitlim kā 4 ir individuāla dalāmības zīme, jo tas ir skaitļa 2 reizinājums pats par sevi. Bet atgriezīsimies pie dalāmības ar 6 pārbaudes.
Skaitļi 138 un 474 ir pāra un atbilst kritērijiem dalīšanai ar 3 (1+3+8=12, 12:3=4 un 4+7+4=15, 15:3=5), kas nozīmē, ka tie ir dalāmi ar 6. Bet 123 un 447, lai gan tie dalās ar 3 (1+2+3=6, 6:3=2 un 4+4+7=15, 15:3=5), taču tie ir nepāra, kas tas nozīmē, ka tie neatbilst dalāmības ar 2 kritērijam un tāpēc neatbilst dalāmības ar 6 kritērijam.
Pārbaudiet dalāmību ar 7
Šis dalāmības tests ir sarežģītāks: skaitlis dalās ar 7, ja rezultāts, divreiz atņemot pēdējo ciparu no šī skaitļa desmitiem, dalās ar 7 vai vienāds ar 0.
Tas izklausās diezgan mulsinoši, bet praksē tas ir vienkārši. Skatieties paši: numurs 95
9 dalās ar 7, jo 95
-2*9=95-18=77, 77:7=11 (77 dala ar 7 bez atlikuma). Turklāt, ja rodas grūtības ar transformācijas laikā iegūto skaitli (tā lieluma dēļ ir grūti saprast, vai tas dalās ar 7 vai nē, tad šo procedūru var turpināt tik reižu, cik uzskatāt par nepieciešamu).
Piemēram, 45
5 un 4580
1 ir dalāmības ar 7 īpašības. Pirmajā gadījumā viss ir pavisam vienkārši: 45
-2*5=45-10=35, 35:7=5. Otrajā gadījumā mēs darīsim šādi: 4580
-2*1=4580-2=4578. Mums ir grūti saprast, vai 457
8 reiz 7, tāpēc atkārtosim procesu: 457
-2*8=457-16=441. Un atkal mēs izmantosim dalāmības testu, jo mūsu priekšā joprojām ir trīsciparu skaitlis 44
1. Tātad, 44
-2*1=44-2=42, 42:7=6, t.i. 42 dalās ar 7 bez atlikuma, kas nozīmē, ka 45801 dalās ar 7.
Šeit ir skaitļi 11
1 un 34
5 nedalās ar 7, jo 11
-2*1=11-2=9 (9 nedalās ar 7) un 34
-2*5=34-10=24 (24 nedalās ar 7 bez atlikuma).
Dalāmības pārbaude ar 8
Dalamības ar 8 tests izklausās šādi: ja pēdējie 3 cipari veido skaitli, kas dalās ar 8, vai arī tas ir 000, tad dotais skaitlis dalās ar 8.
Cipari 1 000
vai 1 088
dalās ar 8: pirmais beidzas ar 000
, otrais 88
:8=11 (dalās ar 8 bez atlikuma).
Un šeit ir skaitļi 1 100
vai 4 757
nedalās ar 8, jo skaitļi 100
Un 757
nedalās ar 8 bez atlikuma.
Dalāmības pārbaude ar 9
Šī dalāmības zīme ir līdzīga dalāmības zīmei ar 3: ja skaitļa ciparu summa dalās ar 9, tad skaitlis dalās ar 9; Ja skaitļa ciparu summa nedalās ar 9, tad skaitlis nedalās ar 9.
Piemēram: 3987 un 144 dalās ar 9, jo pirmajā gadījumā 3+9+8+7= 27
(27:9=3 - dalās ar 9 bez atlikuma), bet otrajā 1+4+4= 9
(9:9=1 – arī dalās ar 9).
Bet skaitļi: 235 un 141 nedalās ar 9, jo 2+3+5= 10
un 1+4+1= 6
(un mēs zinām, ka ne 10, ne 6 nedalās ar 9 bez atlikuma).
Dalāmības zīmes ar 10, 100, 1000 un citām ciparu vienībām
Es apvienoju šīs dalāmības zīmes, jo tās var aprakstīt vienādi: skaitli dala ar cipara vienību, ja nulles skaits skaitļa beigās ir lielāks vai vienāds ar nulles skaitu noteiktā cipara vienībā. .
Citiem vārdiem sakot, piemēram, mums ir šādi skaitļi: 654 0
, 46400
, 867000
, 6450
. no kuriem visi dalās ar 1 0
; 46400
un 867 000
arī dalās ar 1 00
; un tikai viens no tiem ir 867 000
dalās ar 1 000
.
Jebkuri skaitļi, kuru beigu nulles ir mazākas par ciparu vienību, nedalās ar šo ciparu vienību, piemēram, 600 30
un 7 93
nav dalāms 1 00
.
Dalāmības pārbaude ar 11
Lai noskaidrotu, vai skaitlis dalās ar 11, ir jāiegūst starpība starp šī skaitļa pāra un nepāra ciparu summām. Ja šī starpība ir vienāda ar 0 vai dalās ar 11 bez atlikuma, tad pats skaitlis dalās ar 11 bez atlikuma.
Lai padarītu to skaidrāku, iesaku aplūkot piemērus: 2
35
4 dalās ar 11, jo ( 2
+5
)-(3+4)=7-7=0. 29
19
4 arī dalās ar 11, jo ( 9
+9
)-(2+1+4)=18-7=11.
Šeit ir 1 1
1 vai 4
35
4 nedalās ar 11, jo pirmajā gadījumā mēs iegūstam (1+1)- 1
=1, un otrajā ( 4
+5
)-(3+4)=9-7=2.
Dalāmības pārbaude ar 12
Skaitlis 12 ir salikts. Tā dalāmības zīme ir atbilstība dalāmības zīmēm ar 3 un 4 vienlaikus.
Piemēram, 300 un 636 atbilst gan dalāmības zīmēm ar 4 (pēdējie 2 cipari ir nulles vai dalās ar 4), gan dalāmības zīmēm ar 3 (gan pirmā, gan trešā skaitļa ciparu summa dalās ar 3), bet visbeidzot tie dalās ar 12 bez atlikuma.
Bet 200 vai 630 nedalās ar 12, jo pirmajā gadījumā skaitlis atbilst tikai dalāmības ar 4 kritērijam, bet otrajā - tikai dalāmības ar 3 kritērijam, bet ne abiem kritērijiem vienlaikus.
Dalāmības pārbaude ar 13
Dalības zīme ar 13 ir tāda, ka, ja skaitļa desmitu skaits, kas pievienots šī skaitļa vienībām, reizināts ar 4, ir 13 vai vienāds ar 0, tad pats skaitlis dalās ar 13.
Ņemsim, piemēram 70
2. Tātad, 70
+4*2=78, 78:13=6 (78 dalās ar 13 bez atlikuma), kas nozīmē 70
2 dalās ar 13 bez atlikuma. Vēl viens piemērs ir skaitlis 114
4. 114
+4*4=130, 130:13=10. Skaitlis 130 dalās ar 13 bez atlikuma, kas nozīmē, ka dotais skaitlis atbilst dalāmības ar 13 kritērijam.
Ja ņemam skaitļus 12
5 vai 21
2, tad mēs saņemam 12
+4*5=32 un 21
Attiecīgi +4*2=29, un ne 32, ne 29 nedalās ar 13 bez atlikuma, kas nozīmē, ka dotie skaitļi nedalās ar 13 bez atlikuma.
Skaitļu dalāmība
Kā redzams no iepriekš minētā, var pieņemt, ka jebkuram no naturālajiem skaitļiem varat izvēlēties savu individuālo dalāmības zīmi vai “salikto” zīmi, ja skaitlis ir vairāku dažādu skaitļu reizinājums. Bet, kā liecina prakse, būtībā jo lielāks skaitlis, jo sarežģītāka ir tā zīme. Iespējams, ka dalāmības kritērija pārbaudei pavadītais laiks var būt vienāds ar pašu dalījumu vai lielāks par to. Tāpēc mēs parasti izmantojam visvienkāršākās dalāmības zīmes.
Apskatīsim vienkāršu piemēru:
15:5=3
Šajā piemērā mēs sadalījām naturālo skaitli 15 pilnībā ar 3, bez atlikuma.
Dažreiz naturālu skaitli nevar pilnībā sadalīt. Piemēram, apsveriet problēmu:
Skapī bija 16 rotaļlietas. Grupā bija pieci bērni. Katrs bērns paņēma vienādu skaitu rotaļlietu. Cik rotaļlietu ir katram bērnam?
Risinājums:
Izmantojot kolonnu, sadaliet skaitli 16 ar 5 un iegūstam:
Mēs zinām, ka 16 nevar dalīt ar 5. Tuvākais mazākais skaitlis, kas dalās ar 5, ir 15, bet atlikums ir 1. Skaitli 15 varam rakstīt kā 5⋅3. Rezultātā (16 – dividende, 5 – dalītājs, 3 – nepilnais koeficients, 1 – atlikums). Sapratu formula sadalīšana ar atlikumu ko var izdarīt pārbaudot risinājumu.
a=
b⋅
c+
d
a - dalāms,
b - dalītājs,
c - nepilnīgs koeficients,
d - atlikums.
Atbilde: katrs bērns paņems 3 rotaļlietas un viena rotaļlieta paliks.
Divīzijas atlikums
Atlikumam vienmēr jābūt mazākam par dalītāju.
Ja dalīšanas laikā atlikums ir nulle, tas nozīmē, ka dividende tiek sadalīta pilnībā vai bez atlikuma uz dalītāju.
Ja dalīšanas laikā atlikums ir lielāks par dalītāju, tas nozīmē, ka atrastais skaitlis nav lielākais. Ir lielāks skaitlis, kas sadalīs dividendi, un atlikums būs mazāks par dalītāju.
Jautājumi par tēmu “Sadalīšana ar atlikumu”:
Vai atlikums var būt lielāks par dalītāju?
Atbilde: nē.
Vai atlikums var būt vienāds ar dalītāju?
Atbilde: nē.
Kā atrast dividendi, izmantojot nepilnīgo koeficientu, dalītāju un atlikumu?
Atbilde: Formulā aizstājam daļējā koeficienta, dalītāja un atlikuma vērtības un atrodam dividendi. Formula:
a=b⋅c+d
1. piemērs:
Veiciet dalīšanu ar atlikumu un pārbaudiet: a) 258:7 b) 1873:8
Risinājums:
a) Sadaliet pēc kolonnas: 
258 – dividende,
7 – dalītājs,
36 – nepilnīgs koeficients,
6 – atlikums. Atlikums ir mazāks par dalītāju 6<7.
7⋅36+6=252+6=258
b) Sadaliet pēc kolonnas: 
1873 – dalāms,
8 – dalītājs,
234 – nepilnīgs koeficients,
1 – atlikums. Atlikums ir mazāks par dalītāju 1<8.
Aizstāsim to formulā un pārbaudīsim, vai piemēru atrisinājām pareizi:
8⋅234+1=1872+1=1873
2. piemērs:
Kādus atlikumus iegūst, dalot naturālus skaitļus: a) 3 b)8?
Atbilde:
a) Atlikums ir mazāks par dalītāju, tāpēc mazāks par 3. Mūsu gadījumā atlikums var būt 0, 1 vai 2.
b) Atlikums ir mazāks par dalītāju, tāpēc mazāks par 8. Mūsu gadījumā atlikums var būt 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 vai 7.
3. piemērs:
Kāds ir lielākais atlikums, ko var iegūt, dalot naturālus skaitļus: a) 9 b) 15?
Atbilde:
a) Atlikums ir mazāks par dalītāju, tāpēc mazāks par 9. Bet mums jānorāda lielākais atlikums. Tas ir, dalītājam tuvākais skaitlis. Šis ir cipars 8.
b) Atlikums ir mazāks par dalītāju, tāpēc mazāks par 15. Bet mums ir jānorāda lielākais atlikums. Tas ir, dalītājam tuvākais skaitlis. Šis skaitlis ir 14.
4. piemērs:
Atrodiet dividendi: a) a:6=3(at.4) b) c:24=4(at.11)
Risinājums:
a) Atrisiniet, izmantojot formulu:
a=b⋅c+d
(a – dividende, b – dalītājs, c – daļējais koeficients, d – atlikums.)
a:6=3(pārējais.4)
(a – dividende, 6 – dalītājs, 3 – daļējais koeficients, 4 – atlikums.) Aizstāsim skaitļus formulā:
a=6⋅3+4=22
Atbilde: a=22
b) Atrisiniet, izmantojot formulu:
a=b⋅c+d
(a – dividende, b – dalītājs, c – daļējais koeficients, d – atlikums.)
s:24=4(atpūt.11)
(c – dividende, 24 – dalītājs, 4 – daļējais koeficients, 11 – atlikums.) Aizstāsim skaitļus formulā:
с=24⋅4+11=107
Atbilde: c=107
Uzdevums:
Vads 4m. jāsagriež 13 cm gabalos. Cik tādu gabalu būs?
Risinājums:
Vispirms jums jāpārvērš metri uz centimetriem.
4m.=400cm.
Mēs varam dalīt ar kolonnu vai prātā iegūstam:
400:13=30 (atlikušais 10)
Pārbaudīsim:
13⋅30+10=390+10=400
Atbilde: Jūs saņemsiet 30 gabalus un paliks 10 cm stieples.
Rakstā aplūkots veselo skaitļu dalīšanas jēdziens ar atlikumu. Pierādīsim teorēmu par veselu skaitļu dalāmību ar atlikumu un aplūkosim sakarības starp dividendēm un dalītājiem, nepilnajiem koeficientiem un atliekām. Apskatīsim noteikumus, dalot veselus skaitļus ar atlikumiem, aplūkojot tos detalizēti, izmantojot piemērus. Risinājuma beigās mēs veiksim pārbaudi.
Vispārīga izpratne par veselu skaitļu dalīšanu ar atlikumiem
Veselu skaitļu dalīšana ar atlikumu tiek uzskatīta par vispārinātu dalījumu ar naturālo skaitļu atlikumu. Tas tiek darīts, jo naturālie skaitļi ir veselu skaitļu sastāvdaļa.
Dalīšana ar patvaļīga skaitļa atlikumu saka, ka vesels skaitlis a tiek dalīts ar skaitli b, kas nav nulle. Ja b = 0, tad nedalīt ar atlikumu.
Tāpat kā naturālus skaitļus dalot ar atlikumu, veselus skaitļus a un b dala ar c un d, kur b nav nulle. Šajā gadījumā a un b sauc par dividendi un dalītāju, un d ir dalījuma atlikums, c ir vesels skaitlis vai nepilnīgs koeficients.
Ja pieņemam, ka atlikums ir nenegatīvs vesels skaitlis, tad tā vērtība nav lielāka par skaitļa b moduli. Rakstīsim šādi: 0 ≤ d ≤ b. Šo nevienādību ķēdi izmanto, salīdzinot 3 vai vairāk skaitļus.
Ja c ir nepilnīgs koeficients, tad d ir vesela skaitļa a dalīšanas ar b atlikums, ko var īsi pateikt: a: b = c (atlikušais d).
Atlikums, dalot skaitļus a ar b, var būt nulle, tad viņi saka, ka a dalās ar b pilnībā, tas ir, bez atlikuma. Dalīšana bez atlikuma tiek uzskatīta par īpašu sadalīšanas gadījumu.
Ja dalām nulli ar kādu skaitli, rezultāts ir nulle. Atlikušais sadalījums arī būs nulle. To var izsekot no teorijas par nulles dalīšanu ar veselu skaitli.
Tagad apskatīsim veselo skaitļu dalīšanas ar atlikumu nozīmi.
Zināms, ka pozitīvi veseli skaitļi ir naturāli skaitļi, tad dalot ar atlikumu iegūs tādu pašu nozīmi kā naturālus skaitļus dalot ar atlikumu.
Ir jēga dalīt negatīvu veselu skaitli a ar pozitīvu veselu skaitli b. Apskatīsim piemēru. Iedomājieties situāciju, kad mums ir priekšmetu parāds a apmērā, kas jāatmaksā b personai. Lai to panāktu, visiem ir jāiegulda vienāds ieguldījums. Lai noteiktu parāda summu katram, jums jāpievērš uzmanība privāto s vērtību. Atlikušais d norāda, ka ir zināms vienību skaits pēc parādu nomaksas.
Apskatīsim ābolu piemēru. Ja 2 cilvēki ir parādā 7 ābolus. Ja parēķinām, ka katram jāatdod 4 āboli, tad pēc pilna aprēķina paliks 1 ābols. Rakstīsim to kā vienādību: (− 7) : 2 = − 4 (no t. 1) .
Jebkuru skaitli a dalīt ar veselu skaitli nav jēgas, taču tas ir iespējams kā opcija.
Teorēma par veselu skaitļu dalāmību ar atlikumu
Mēs esam identificējuši, ka a ir dividende, tad b ir dalītājs, c ir daļējais koeficients un d ir atlikums. Tie ir savienoti viens ar otru. Mēs parādīsim šo savienojumu, izmantojot vienādību a = b · c + d. Saikni starp tiem raksturo dalāmības teorēma ar atlikumu.
Teorēma
Jebkuru veselu skaitli var attēlot tikai ar veselu skaitli un skaitli b, kas nav nulle, šādā veidā: a = b · q + r, kur q un r ir daži veseli skaitļi. Šeit mums ir 0 ≤ r ≤ b.
Pierādīsim a = b · q + r pastāvēšanas iespējamību.
Pierādījums
Ja ir divi skaitļi a un b, un a dalās ar b bez atlikuma, tad no definīcijas izriet, ka ir skaitlis q, un vienādība a = b · q būs patiesa. Tad vienādību var uzskatīt par patiesu: a = b · q + r, ja r = 0.
Tad jāņem q tāds, kas dots ar nevienādību b · q< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .
Mums ir, ka izteiksmes a − b · q vērtība ir lielāka par nulli un nav lielāka par skaitļa b vērtību, no tā izriet, ka r = a − b · q. Mēs atklājam, ka skaitli a var attēlot formā a = b · q + r.
Tagad mums jāapsver iespēja attēlot a = b · q + r negatīvām b vērtībām.
Skaitļa modulis izrādās pozitīvs, tad iegūstam a = b · q 1 + r, kur vērtība q 1 ir kāds vesels skaitlis, r ir vesels skaitlis, kas atbilst nosacījumam 0 ≤ r< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .
Unikalitātes pierādījums
Pieņemsim, ka a = b q + r, q un r ir veseli skaitļi ar nosacījumu 0 ≤ r patiess< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где q 1 Un r 1 ir daži skaitļi, kur q 1 ≠ q, 0 ≤ r 1< b .
Ja nevienādību atņem no kreisās un labās puses, tad iegūstam 0 = b · (q − q 1) + r − r 1, kas ir ekvivalents r - r 1 = b · q 1 - q. Tā kā modulis tiek izmantots, mēs iegūstam vienādību r - r 1 = b · q 1 - q.
Dotais nosacījums saka, ka 0 ≤ r< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что q Un q 1- vesels, un q ≠ q 1, tad q 1 - q ≥ 1. No šejienes mēs iegūstam, ka b · q 1 - q ≥ b. Rezultātā iegūtās nevienādības r - r 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.
No tā izriet, ka skaitli a nevar attēlot citādi, kā vien rakstot a = b · q + r.
Attiecība starp dividendi, dalītāju, daļējo koeficientu un atlikumu
Izmantojot vienādību a = b · c + d, var atrast nezināmo dividendi a, ja ir zināms dalītājs b ar nepilno koeficientu c un atlikumu d.
1. piemērs
Nosakiet dividendi, ja dalot iegūstam - 21, daļējais koeficients ir 5 un atlikums ir 12.
Risinājums
Jāaprēķina dividende a ar zināmu dalītāju b = − 21, nepilno koeficientu c = 5 un atlikumu d = 12. Mums jāvēršas pie vienādības a = b · c + d, no šejienes mēs iegūstam a = (− 21) · 5 + 12. Ja sekojam darbību secībai, mēs reizinām - 21 ar 5, pēc kā iegūstam (− 21) · 5 + 12 = − 105 + 12 = − 93.
Atbilde: - 93 .
Saikni starp dalītāju un parciālo koeficientu un atlikumu var izteikt, izmantojot vienādības: b = (a − d) : c , c = (a − d) : b un d = a − b · c . Ar viņu palīdzību mēs varam aprēķināt dalītāju, daļējo koeficientu un atlikumu. Tas nozīmē, ka pastāvīgi jāatrod atlikums, dalot veselu skaitļu a ar b ar zināmu dividendi, dalītāju un daļējo koeficientu. Tiek piemērota formula d = a − b · c. Apskatīsim risinājumu sīkāk.
2. piemērs
Atrodiet atlikumu, dalot veselu skaitli - 19 ar veselu skaitli 3 ar zināmu nepilnīgo koeficientu, kas vienāds ar - 7.
Risinājums
Lai aprēķinātu dalījuma atlikumu, mēs izmantojam formulu formā d = a − b · c. Pēc nosacījuma visi dati ir pieejami: a = -19, b = 3, c = -7. No šejienes mēs iegūstam d = a − b · c = − 19 − 3 · (− 7) = − 19 − (− 21) = − 19 + 21 = 2 (starpība − 19 − (− 21). Šis piemērs ir aprēķināts izmantojot atņemšanas noteikumu, negatīvs vesels skaitlis.
Atbilde: 2 .
Visi pozitīvie veselie skaitļi ir naturāli skaitļi. No tā izriet, ka dalīšana tiek veikta saskaņā ar visiem dalīšanas noteikumiem ar naturālo skaitļu atlikumu. Dalīšanas ātrums ar atlikušajiem naturālajiem skaitļiem ir svarīgs, jo uz to balstās ne tikai pozitīvo skaitļu dalīšana, bet arī noteikumi par patvaļīgu veselu skaitļu dalīšanu.
Ērtākā dalīšanas metode ir kolonna, jo ir vieglāk un ātrāk iegūt nepilnu vai vienkārši koeficientu ar atlikumu. Apskatīsim risinājumu sīkāk.
3. piemērs
Sadaliet 14671 ar 54.
Risinājums
Šis dalījums jāveic kolonnā:
Tas ir, daļējais koeficients ir vienāds ar 271, bet atlikums ir 37.
Atbilde: 14 671: 54 = 271. (pārējie 37)
Noteikums pozitīva vesela skaitļa dalīšanai ar atlikumu ar negatīvu veselu skaitli, piemēri
Lai veiktu dalīšanu ar pozitīvā skaitļa atlikumu ar negatīvu veselu skaitli, ir jāformulē noteikums.
1. definīcija
Pozitīvā veselā skaitļa a dalīšanas ar negatīvo veselo skaitli b nepilnīgais koeficients iegūst skaitli, kas ir pretējs nepilnīgajam koeficientam, dalot skaitļu a moduļus ar b. Tad atlikums ir vienāds ar atlikumu, kad a tiek dalīts ar b.
Tādējādi mēs esam sapratuši, ka nepilnīgais koeficients, kas dala pozitīvu veselu skaitli ar negatīvu veselu skaitli, tiek uzskatīts par nepozitīvu veselu skaitli.
Mēs iegūstam algoritmu:
- sadalām dividendes moduli ar dalītāja moduli, tad iegūstam nepilnu koeficientu un
- atlikums;
- Pierakstīsim pretēju skaitli tam, ko ieguvām.
Apskatīsim algoritma piemēru pozitīva vesela skaitļa dalīšanai ar negatīvu veselu skaitli.
4. piemērs
Sadaliet ar atlikumu 17 ar -5.
Risinājums
Pielietosim algoritmu pozitīva vesela skaitļa dalīšanai ar negatīvu veselu skaitli. Ir nepieciešams sadalīt 17 ar - 5 modulo. No šejienes mēs iegūstam, ka daļējais koeficients ir vienāds ar 3, bet atlikums ir vienāds ar 2.
Mēs iegūstam nepieciešamo skaitli, dalot 17 ar - 5 = - 3 ar atlikumu, kas vienāds ar 2.
Atbilde: 17: (- 5) = - 3 (atlikušais 2).
5. piemērs
Jums ir jāsadala 45 ar - 15.
Risinājums
Ir nepieciešams sadalīt skaitļus modulo. Sadaliet skaitli 45 ar 15, iegūstam koeficientu 3 bez atlikuma. Tas nozīmē, ka skaitlis 45 dalās ar 15 bez atlikuma. Atbilde ir - 3, jo sadalīšana tika veikta modulo.
45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3
Atbilde: 45: (− 15) = − 3 .
Noteikuma formulējums dalīšanai ar atlikumu ir šāds.
2. definīcija
Lai iegūtu nepilnu koeficientu c, dalot negatīvu veselu skaitli a ar pozitīvu b, jāpiemēro dotā skaitļa pretējs un no tā jāatņem 1, tad atlikums d tiks aprēķināts pēc formulas: d = a − b · c.
Pamatojoties uz noteikumu, varam secināt, ka dalot mēs iegūstam nenegatīvu veselu skaitli. Lai nodrošinātu risinājuma precizitāti, izmantojiet algoritmu a dalīšanai ar b ar atlikumu:
- atrast dividendes un dalītāja moduļus;
- sadalīt modulo;
- pierakstiet dotā skaitļa pretējo un atņemiet 1;
- izmantojiet formulu atlikumam d = a − b · c.
Apskatīsim risinājuma piemēru, kur tiek izmantots šis algoritms.
6. piemērs
Atrodiet dalījuma daļējo koeficientu un atlikumu - 17 ar 5.
Risinājums
Dotos skaitļus sadalām modulo. Mēs atklājam, ka, dalot, koeficients ir 3 un atlikums ir 2. Tā kā mums ir 3, pretējais ir 3. Jums ir jāatņem 1.
− 3 − 1 = − 4 .
Vēlamā vērtība ir vienāda ar - 4.
Lai aprēķinātu atlikumu, nepieciešams a = − 17, b = 5, c = − 4, tad d = a − b c = − 17 − 5 (− 4) = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3 .
Tas nozīmē, ka dalīšanas nepilnīgais koeficients ir skaitlis - 4 ar atlikumu, kas vienāds ar 3.
Atbilde:(− 17) : 5 = − 4 (atlikušais 3).
7. piemērs
Sadaliet negatīvo veselo skaitli - 1404 ar pozitīvo 26.
Risinājums
Ir nepieciešams sadalīt pa kolonnu un moduli.
Mēs saņēmām skaitļu moduļu dalījumu bez atlikuma. Tas nozīmē, ka dalīšana tiek veikta bez atlikuma, un vēlamais koeficients = - 54.
Atbilde: (− 1 404) : 26 = − 54 .
Dalīšanas noteikums ar atlikumu negatīviem veseliem skaitļiem, piemēri
Ir jāformulē noteikums dalīšanai ar negatīvo veselo skaitļu atlikumu.
3. definīcija
Lai iegūtu nepilnu koeficientu c no negatīva vesela skaitļa a dalīšanas ar negatīvu veselu skaitli b, nepieciešams veikt moduļu aprēķinus, tad saskaitīt 1, tad varam veikt aprēķinus, izmantojot formulu d = a − b · c.
No tā izriet, ka negatīvo veselo skaitļu dalīšanas nepilnīgais koeficients būs pozitīvs skaitlis.
Formulēsim šo noteikumu algoritma veidā:
- atrast dividendes un dalītāja moduļus;
- sadaliet dividendes moduli ar dalītāja moduli, lai iegūtu nepilnu koeficientu ar
- atlikums;
- nepilnajam koeficientam pievienojot 1;
- atlikuma aprēķins, pamatojoties uz formulu d = a − b · c.
Apskatīsim šo algoritmu, izmantojot piemēru.
8. piemērs
Atrodiet daļējo koeficientu un atlikumu, dalot - 17 ar - 5.
Risinājums
Risinājuma pareizības labad mēs izmantojam algoritmu dalīšanai ar atlikumu. Vispirms sadaliet skaitļus modulo. No tā mēs iegūstam, ka daļējais koeficients = 3 un atlikums ir 2. Saskaņā ar noteikumu jums ir jāpievieno nepilnais koeficients un 1. Mēs iegūstam, ka 3 + 1 = 4. No šejienes mēs iegūstam, ka doto skaitļu dalīšanas daļējais koeficients ir vienāds ar 4.
Lai aprēķinātu atlikumu, mēs izmantosim formulu. Pēc nosacījuma mums ir, ka a = − 17, b = − 5, c = 4, tad, izmantojot formulu, mēs iegūstam d = a − b c = − 17 − (− 5) 4 = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3 . Nepieciešamā atbilde, tas ir, atlikums, ir vienāds ar 3, un daļējais koeficients ir vienāds ar 4.
Atbilde:(− 17) : (− 5) = 4 (atlikušais 3).
Veselu skaitļu dalīšanas ar atlikumu rezultāta pārbaude
Pēc skaitļu dalīšanas ar atlikumu jums jāveic pārbaude. Šī pārbaude ietver 2 posmus. Vispirms pārbauda atlikumu d attiecībā uz nenegatīvismu, nosacījums 0 ≤ d ir izpildīts.< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.
Apskatīsim piemērus.
9. piemērs
Sadalījums tiek veikts - 521 ar - 12. Koeficients ir 44, atlikums ir 7. Veikt pārbaudi.
Risinājums
Tā kā atlikums ir pozitīvs skaitlis, tā vērtība ir mazāka par dalītāja moduli. Dalītājs ir - 12, kas nozīmē, ka tā modulis ir 12. Jūs varat pāriet uz nākamo pārbaudes punktu.
Pēc nosacījuma mums ir, ka a = − 521, b = − 12, c = 44, d = 7. No šejienes mēs aprēķinām b · c + d, kur b · c + d = − 12 · 44 + 7 = − 528 + 7 = − 521. No tā izriet, ka vienlīdzība ir patiesa. Verifikācija nokārtota.
10. piemērs
Veikt dalīšanas pārbaudi (− 17): 5 = − 3 (atlikušais − 2). Vai vienlīdzība ir patiesa?
Risinājums
Pirmā posma būtība ir tāda, ka ir jāpārbauda veselo skaitļu dalījums ar atlikumu. No tā ir skaidrs, ka darbība tika veikta nepareizi, jo tiek dots atlikums, kas vienāds ar - 2. Atlikušais nav negatīvs skaitlis.
Mums ir, ka otrais nosacījums ir izpildīts, bet nav pietiekams šajā gadījumā.
Atbilde: Nē.
11. piemērs
Skaitlis - 19 tika dalīts ar - 3. Daļējais koeficients ir 7, bet atlikums ir 1. Pārbaudiet, vai šis aprēķins tika veikts pareizi.
Risinājums
Dots atlikums, kas vienāds ar 1. Viņš ir pozitīvs. Vērtība ir mazāka par dalītāja moduli, kas nozīmē, ka tiek pabeigts pirmais posms. Pārejam uz otro posmu.
Aprēķināsim izteiksmes vērtību b · c + d. Pēc nosacījuma mums ir, ka b = − 3, c = 7, d = 1, kas nozīmē, ka, aizstājot skaitliskās vērtības, mēs iegūstam b · c + d = − 3 · 7 + 1 = − 21 + 1 = − 20. No tā izriet, ka a = b · c + d vienādība nepastāv, jo nosacījums dod a = - 19.
No tā izriet, ka dalījums tika veikts ar kļūdu.
Atbilde: Nē.
Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter
Šajā rakstā mēs apskatīsim veselu skaitļu dalījums ar atlikumu. Sāksim ar vispārējo principu veselus skaitļus dalīt ar atlikumu, formulēsim un pierādīsim teorēmu par veselu skaitļu dalāmību ar atlikumu un izsekosim saiknes starp dividendi, dalītāju, nepilno koeficientu un atlikumu. Tālāk mēs izklāstīsim noteikumus, ar kuriem veselus skaitļus dala ar atlikumu, un apsvērsim šo noteikumu piemērošanu, risinot piemērus. Pēc tam mēs uzzināsim, kā pārbaudīt rezultātu, dalot veselus skaitļus ar atlikumu.
Lapas navigācija.
Vispārīga izpratne par veselu skaitļu dalīšanu ar atlikumu
Veselo skaitļu dalīšanu ar atlikumu uzskatīsim par dalīšanas ar naturālo skaitļu atlikumu vispārinājumu. Tas ir saistīts ar faktu, ka naturālie skaitļi ir veselu skaitļu sastāvdaļa.
Sāksim ar terminiem un apzīmējumiem, kas tiek izmantoti aprakstā.
Pēc analoģijas ar naturālu skaitļu dalīšanu ar atlikumu, pieņemsim, ka dalīšanas rezultāts ar divu veselu skaitļu a un b atlikumu (b nav vienāds ar nulli) ir divi veseli skaitļi c un d. Tiek izsaukti skaitļi a un b dalāms Un sadalītājs attiecīgi cipars d – atgādinājums dalot a ar b, un tiek izsaukts vesels skaitlis c nepilnīgs privātais(vai vienkārši Privāts, ja atlikums ir nulle).
Piekritīsim pieņemt, ka atlikums ir nenegatīvs vesels skaitlis un tā vērtība nepārsniedz b, tas ir, (mēs saskārāmies ar līdzīgām nevienādību ķēdēm, runājot par trīs vai vairāku veselu skaitļu salīdzināšanu).
Ja skaitlis c ir nepilnīgs koeficients, un skaitlis d ir vesela skaitļa a dalīšanas ar veselo skaitli b atlikums, tad šo faktu īsi ierakstīsim kā vienādību formā a:b=c (atlikušais d).
Ņemiet vērā, ka, dalot veselu skaitli a ar veselu skaitli b, atlikums var būt nulle. Šajā gadījumā mēs sakām, ka a dalās ar b bez pēdām(vai pilnībā). Tādējādi veselu skaitļu dalīšana bez atlikuma ir īpašs veselu skaitļu dalīšanas gadījums ar atlikumu.
Ir arī vērts teikt, ka, dalot nulli ar kādu veselu skaitli, mēs vienmēr nodarbojamies ar dalīšanu bez atlikuma, jo šajā gadījumā koeficients būs vienāds ar nulli (skatiet teorijas sadaļu par nulles dalīšanu ar veselu skaitli), bet atlikums arī būs vienāda ar nulli.
Mēs esam izlēmuši par terminoloģiju un apzīmējumiem, tagad sapratīsim veselo skaitļu dalīšanas ar atlikumu nozīmi.
Nozīmi var piešķirt arī negatīva vesela skaitļa a dalīšanai ar pozitīvu veselu skaitli b. Lai to izdarītu, uzskatiet negatīvu veselu skaitli par parādu. Iedomāsimies šo situāciju. Parāds, kas veido preces, ir jāatmaksā b cilvēkiem, veicot vienādu ieguldījumu. Nepilnīgā koeficienta c absolūtā vērtība šajā gadījumā noteiks katra no šiem cilvēkiem parāda summu, bet atlikums d parādīs, cik posteņu paliks pēc parāda nomaksas. Sniegsim piemēru. Pieņemsim, ka 2 cilvēki ir parādā 7 ābolus. Ja pieņemam, ka katrs ir parādā 4 ābolus, tad pēc parāda nomaksas viņiem paliks 1 ābols. Šī situācija atbilst vienādībai (−7):2=−4 (atlikušais 1).
Mēs nepiešķirsim nekādu nozīmi dalīšanai ar patvaļīga vesela skaitļa a atlikumu ar negatīvu veselu skaitli, taču mēs paturēsim tā pastāvēšanas tiesības.
Teorēma par veselu skaitļu dalāmību ar atlikumu
Kad mēs runājām par naturālu skaitļu dalīšanu ar atlikumu, mēs noskaidrojām, ka dividende a, dalītājs b, daļējais koeficients c un atlikums d ir saistīti ar vienādību a=b·c+d. Veseliem skaitļiem a, b, c un d ir vienādas attiecības. Šis savienojums tiek apstiprināts šādi dalāmības teorēma ar atlikumu.
Teorēma.
Jebkuru veselu skaitli a var unikāli attēlot ar veselu skaitli un skaitli b formā a=b·q+r, kur q un r ir daži veseli skaitļi un .
Pierādījums.
Pirmkārt, mēs pierādam iespēju attēlot a=b·q+r.
Ja veseli skaitļi a un b ir tādi, ka a dalās ar b, tad pēc definīcijas ir tāds vesels skaitlis q, ka a=b·q. Šajā gadījumā ir spēkā vienādība a=b·q+r pie r=0.
Tagad pieņemsim, ka b ir pozitīvs vesels skaitlis. Izvēlēsimies veselu skaitli q, lai reizinājums b·q nepārsniegtu skaitli a, un reizinājums b·(q+1) jau būtu lielāks par a. Tas ir, mēs ņemam q tādu, ka nevienādības b q Atliek pierādīt iespēju a=b·q+r attēlot negatīvam b . Tā kā skaitļa b modulis šajā gadījumā ir pozitīvs skaitlis, tad ir attēlojums, kurā q 1 ir kāds vesels skaitlis, un r ir vesels skaitlis, kas atbilst nosacījumiem. Tad, ņemot q=−q 1, mēs iegūstam reprezentāciju, kas nepieciešama a=b·q+r negatīvam b. Pāriesim pie unikalitātes pierādījuma. Pieņemsim, ka papildus attēlojumam a=b·q+r q un r ir veseli skaitļi un ir vēl viens attēlojums a=b·q 1 +r 1, kur q 1 un r 1 ir daži veseli skaitļi, un q 1 ≠ q un . Pēc otrās vienādības kreisās un labās puses atņemšanas no pirmās vienādības kreisās un labās puses attiecīgi iegūstam 0=b·(q−q 1)+r−r 1, kas ir ekvivalents vienādībai r− r 1 =b·(q 1 −q) . Tad formas vienlīdzība No nosacījumiem mēs to varam secināt. Tā kā q un q 1 ir veseli skaitļi un q≠q 1, tad secinām, ka Vienādība a=b·c+d ļauj atrast nezināmo dividendi a, ja ir zināms dalītājs b, daļējais koeficients c un atlikums d. Apskatīsim piemēru. Piemērs. Kāda ir dividendes vērtība, ja, dalot ar veselu skaitli −21, tiek iegūts nepilnīgs koeficients 5 un atlikums 12? Risinājums. Jāaprēķina dividende a, ja ir zināms dalītājs b=−21, daļējais koeficients c=5 un atlikums d=12. Pievēršoties vienādībai a=b·c+d, iegūstam a=(−21)·5+12. Novērojot, vispirms reizinām veselos skaitļus −21 un 5 pēc veselu skaitļu reizināšanas noteikuma ar dažādām zīmēm, pēc tam veicam veselu skaitļu saskaitīšanu ar dažādām zīmēm: (−21)·5+12=−105+12=−93 . Atbilde: −93
.
Sakarības starp dividendi, dalītāju, daļējo koeficientu un atlikumu izsaka arī ar vienādībām formā b=(a−d):c, c=(a−d):b un d=a−b·c. Šīs vienādības ļauj aprēķināt attiecīgi dalītāju, daļējo koeficientu un atlikumu. Bieži vien mums būs jāatrod atlikums, dalot veselu skaitli a ar veselu skaitli b, kad ir zināma dividende, dalītājs un daļējais koeficients, izmantojot formulu d=a−b·c. Lai izvairītos no turpmākiem jautājumiem, apskatīsim atlikuma aprēķināšanas piemēru. Piemērs. Atrodiet atlikumu, dalot veselu skaitli −19 ar veselu skaitli 3, ja zināt, ka daļējais koeficients ir vienāds ar −7. Risinājums. Lai aprēķinātu dalījuma atlikumu, mēs izmantojam formulu formā d=a-b·c. No nosacījuma mums ir visi nepieciešamie dati a=−19, b=3, c=−7. Iegūstam d=a−b·c=−19−3·(−7)= −19−(−21)=−19+21=2 (starpību aprēķinājām −19−(−21), izmantojot noteikumu atņemot negatīvu veselu skaitli ). Atbilde: Kā jau vairākkārt esam atzīmējuši, pozitīvi veseli skaitļi ir naturāli skaitļi. Tāpēc dalīšana ar pozitīvo veselo skaitļu atlikumu tiek veikta saskaņā ar visiem noteikumiem par dalīšanu ar naturālo skaitļu atlikumu. Ir ļoti svarīgi viegli veikt dalīšanu ar naturālu skaitļu atlikumu, jo tas ir pamatā ne tikai pozitīvo veselo skaitļu dalīšanai, bet arī visu dalīšanas noteikumu pamatam ar atlikušajiem patvaļīgiem veseliem skaitļiem. No mūsu viedokļa visērtāk ir veikt kolonnu dalīšanu, šī metode ļauj iegūt gan nepilnu koeficientu (vai vienkārši koeficientu), gan atlikumu. Apskatīsim dalīšanas piemēru ar pozitīvo veselo skaitļu atlikumu. Piemērs. Sadaliet ar atlikumu 14 671 ar 54. Risinājums. Sadalīsim šos pozitīvos veselos skaitļus ar kolonnu: Daļējais koeficients izrādījās vienāds ar 271, bet atlikums ir vienāds ar 37. Atbilde: 14 671:54=271 (pārējais 37) . Formulēsim noteikumu, kas ļauj mums veikt dalīšanu ar pozitīvā veselā skaitļa atlikumu ar negatīvu veselu skaitli. Pozitīva vesela skaitļa a dalīšanas ar negatīvu veselu skaitli b daļējais koeficients ir pretējs daļējam koeficientam, dalot a ar moduli b, un atlikums, dalot a ar b, ir vienāds ar dalīšanas ar atlikumu. No šī noteikuma izriet, ka daļējais koeficients, kas dalot pozitīvu veselu skaitli ar negatīvu veselu skaitli, ir nepozitīvs vesels skaitlis. Pārveidosim norādīto noteikumu par algoritmu pozitīva vesela skaitļa dalīšanai ar negatīvu veselu skaitli: Sniegsim piemēru, kā izmantot algoritmu pozitīva vesela skaitļa dalīšanai ar negatīvu veselu skaitli. Piemērs. Sadaliet ar pozitīvā veselā skaitļa 17 atlikumu ar negatīvo veselo skaitli −5. Risinājums. Izmantosim algoritmu pozitīva vesela skaitļa dalīšanai ar negatīvu veselu skaitli. Dalot Pretējais skaitlis 3 ir –3. Tādējādi nepieciešamais daļējais koeficients 17 dalīšanai ar –5 ir –3, bet atlikums ir 2. Atbilde: 17:(-5)=-3 (atlikušais 2). Piemērs. Sadaliet 45 līdz –15. Risinājums. Dividenžu un dalītāja moduļi ir attiecīgi 45 un 15. Skaitlis 45 dalās ar 15 bez atlikuma, un koeficients ir 3. Tāpēc pozitīvs vesels skaitlis 45 tiek dalīts ar negatīvo veselo skaitli −15 bez atlikuma, un koeficients ir vienāds ar skaitli, kas atrodas pretī 3, tas ir, −3. Patiešām, saskaņā ar noteikumu par veselu skaitļu dalīšanu ar dažādām zīmēm mums ir . Atbilde: 45:(−15)=−3
.
Sniegsim noteikuma formulējumu negatīva vesela skaitļa dalīšanai ar atlikumu ar pozitīvu veselu skaitli. Lai iegūtu nepilnu koeficientu c, dalot negatīvu veselu skaitli a ar pozitīvu veselu skaitli b, jāņem skaitlis, kas ir pretējs nepilnīgajam koeficientam no sākotnējo skaitļu moduļu dalīšanas, un jāatņem no tā viens, pēc kura tiek aprēķināts atlikums d izmantojot formulu d=a-b·c. No šī dalīšanas ar atlikumu noteikuma izriet, ka daļējais koeficients, kas dalot negatīvu veselu skaitli ar pozitīvu veselu skaitli, ir negatīvs vesels skaitlis. No norādītā noteikuma izriet algoritms negatīva vesela skaitļa a dalīšanai ar pozitīvu veselu skaitli b: Analizēsim piemēra risinājumu, kurā izmantojam rakstīto dalīšanas algoritmu ar atlikumu. Piemērs. Atrodiet daļējo koeficientu un atlikumu, dalot negatīvo veselo skaitli −17 ar pozitīvo veselo skaitli 5. Risinājums. Dividendes modulis −17 ir vienāds ar 17, un dalītāja 5 modulis ir vienāds ar 5. Dalot 17 ar 5, mēs iegūstam daļējo koeficientu 3 un atlikušo daļu 2. 3 pretstats ir −3. Atņemiet vienu no −3: −3−1=−4. Tātad nepieciešamais daļējais koeficients ir vienāds ar −4. Atliek tikai aprēķināt atlikumu. Mūsu piemērā a=-17, b=5, c=-4, tad d=a-b·c=-17-5·(-4)= -17-(-20)=-17+20=3 . Tādējādi daļējais negatīvā veselā skaitļa −17 dalījums ar pozitīvo veselo skaitli 5 ir −4, bet atlikums ir 3. Atbilde: (-17):5=-4 (atlikušais 3) . Piemērs. Sadaliet negatīvo veselo skaitli –1,404 ar pozitīvo veselo skaitli 26. Risinājums. Dividendes modulis ir 1404, dalītāja modulis ir 26. Sadaliet 1404 ar 26, izmantojot kolonnu: Tā kā dividendes modulis tiek dalīts ar dalītāja moduli bez atlikuma, sākotnējie veselie skaitļi tiek dalīti bez atlikuma, un vēlamais koeficients ir vienāds ar skaitli, kas atrodas pretī 54, tas ir, −54. Atbilde: (−1 404):26=−54
.
Formulēsim dalīšanas noteikumu ar negatīvo veselo skaitļu atlikumu. Lai iegūtu nepilnu koeficientu c, dalot negatīvu veselu skaitli a ar negatīvu veselu skaitli b, ir jāaprēķina nepilnais koeficients, dalot sākotnējo skaitļu moduļus, un jāpievieno tam viens, pēc kura atlikumu d aprēķina, izmantojot formulu d =a−b·c. No šī noteikuma izriet, ka negatīvo veselo skaitļu dalīšanas daļējais koeficients ir pozitīvs vesels skaitlis. Pārrakstīsim norādīto noteikumu negatīvu veselu skaitļu dalīšanas algoritma formā: Apskatīsim negatīvu veselu skaitļu dalīšanas algoritma izmantošanu, risinot piemēru. Piemērs. Atrodiet daļējo koeficientu un atlikumu, dalot negatīvu veselu skaitli −17 ar negatīvu veselu skaitli −5. Risinājums. Izmantosim atbilstošo dalīšanas algoritmu ar atlikumu. Dividendes modulis ir 17, dalītāja modulis ir 5. Divīzija 17 virs 5 dod daļējo koeficientu 3 un atlikušo daļu 2. Nepilnīgajam koeficientam 3 pievienojam vienu: 3+1=4. Tāpēc nepieciešamais daļējais koeficients –17 dalīšanai ar –5 ir vienāds ar 4. Atliek tikai aprēķināt atlikumu. Šajā piemērā a=−17 , b=−5 , c=4, tad d=a−b·c=−17−(−5)·4= −17−(−20)=−17+20=3 . Tātad daļējais koeficients negatīva vesela skaitļa −17 dalīšanai ar negatīvu veselu skaitli −5 ir 4, bet atlikums ir 3. Atbilde: (-17):(-5)=4 (atlikušais 3) . Pēc veselu skaitļu dalīšanas ar atlikumu ir lietderīgi pārbaudīt rezultātu. Pārbaude tiek veikta divos posmos. Pirmajā posmā tiek pārbaudīts, vai atlikums d ir nenegatīvs skaitlis, kā arī tiek pārbaudīts, vai nosacījums ir izpildīts. Ja ir izpildīti visi verifikācijas pirmā posma nosacījumi, varat pāriet uz otro verifikācijas posmu, pretējā gadījumā var apgalvot, ka, dalot ar atlikumu, kaut kur tika pieļauta kļūda. Otrajā posmā tiek pārbaudīta vienādības a=b·c+d derīgums. Ja šī vienādība ir patiesa, tad dalīšana ar atlikumu tika veikta pareizi, pretējā gadījumā kaut kur tika pieļauta kļūda. Apskatīsim risinājumus piemēriem, kuros tiek pārbaudīts rezultāts, dalot veselus skaitļus ar atlikumu. Piemērs. Dalot skaitli −521 ar −12, daļējais koeficients bija 44, bet atlikums bija 7, pārbaudiet rezultātu. Risinājums. −2, ja b=–3, c=7, d=1. Mums ir b·c+d=−3·7+1=−21+1=−20. Tādējādi vienādība a=b·c+d ir nepareiza (mūsu piemērā a=−19). Tāpēc dalīšana ar atlikumu tika veikta nepareizi.
, un skaitļu moduļa īpašību dēļ vienādība 
.
. No iegūtajām nevienādībām un no tā izriet, ka formas vienlīdzība pēc mūsu pieņēmuma nav iespējams. Tāpēc nav cita skaitļa a attēlojuma kā a=b·q+r.Attiecības starp dividendi, dalītāju, daļējo koeficientu un atlikumu
Dalījums ar pozitīvo veselo skaitļu atlikumu, piemēri
Noteikums pozitīva vesela skaitļa dalīšanai ar atlikumu ar negatīvu veselu skaitli, piemēri
Dalīšana ar negatīva vesela skaitļa atlikumu ar pozitīvu veselu skaitli, piemēri
Dalīšanas noteikums ar atlikumu negatīviem veseliem skaitļiem, piemēri
Veselu skaitļu dalīšanas ar atlikumu rezultāta pārbaude
