მათემატიკური მოდელების შედგენა. მათემატიკური მოდელი პრაქტიკაში რა ტიპის მათემატიკური მოდელები იყენებს ალგორითმებს

მათემატიკის მოდელირება

1. რა არის მათემატიკური მოდელირება?

მე-20 საუკუნის შუა ხანებიდან. მათემატიკური მეთოდები და კომპიუტერები ფართოდ გამოიყენეს ადამიანის საქმიანობის სხვადასხვა სფეროში. გაჩნდა ახალი დისციპლინები, როგორიცაა „მათემატიკური ეკონომიკა“, „მათემატიკური ქიმია“, „მათემატიკური ლინგვისტიკა“ და ა.შ., რომლებიც სწავლობენ შესაბამისი ობიექტებისა და ფენომენების მათემატიკურ მოდელებს, აგრეთვე ამ მოდელების შესწავლის მეთოდებს.

მათემატიკური მოდელი არის რეალური სამყაროს ნებისმიერი კლასის ფენომენის ან ობიექტის სავარაუდო აღწერა მათემატიკის ენაზე. მოდელირების მთავარი მიზანია ამ ობიექტების შესწავლა და მომავალი დაკვირვების შედეგების პროგნოზირება. თუმცა, მოდელირება არის ჩვენ გარშემო სამყაროს გაგების მეთოდიც, რაც შესაძლებელს ხდის მის კონტროლს.

მათემატიკური მოდელირება და მასთან დაკავშირებული კომპიუტერული ექსპერიმენტი შეუცვლელია იმ შემთხვევებში, როდესაც სრულმასშტაბიანი ექსპერიმენტი შეუძლებელი ან რთულია ამა თუ იმ მიზეზით. მაგალითად, შეუძლებელია ისტორიაში ბუნებრივი ექსპერიმენტის დაყენება, რათა შეამოწმო „რა მოხდებოდა თუ...“ შეუძლებელია ამა თუ იმ კოსმოლოგიური თეორიის სისწორის შემოწმება. შესაძლებელია, მაგრამ ნაკლებად სავარაუდოა, რომ იყოს გონივრული, ექსპერიმენტი ისეთი დაავადების გავრცელებაზე, როგორიცაა ჭირი, ან ბირთვული აფეთქების განხორციელება მისი შედეგების შესასწავლად. თუმცა, ეს ყველაფერი შეიძლება გაკეთდეს კომპიუტერზე, პირველად შესწავლილი ფენომენების მათემატიკური მოდელების აგებით.

2. მათემატიკური მოდელირების ძირითადი ეტაპები

1) სამოდელო შენობა. ამ ეტაპზე მითითებულია რაიმე „არამათემატიკური“ ობიექტი - ბუნებრივი მოვლენა, დიზაინი, ეკონომიკური გეგმა, წარმოების პროცესი და ა.შ. ამ შემთხვევაში, როგორც წესი, სიტუაციის მკაფიო აღწერა რთულია. პირველ რიგში, იდენტიფიცირებულია ფენომენის ძირითადი მახასიათებლები და მათ შორის კავშირები ხარისხობრივ დონეზე. შემდეგ აღმოჩენილი თვისებრივი დამოკიდებულებები ჩამოყალიბებულია მათემატიკის ენაზე, ანუ აგებულია მათემატიკური მოდელი. ეს მოდელირების ყველაზე რთული ეტაპია.

2) მათემატიკური ამოცანის ამოხსნა, რომელსაც მოდელი მივყავართ. ამ ეტაპზე დიდი ყურადღება ეთმობა კომპიუტერზე პრობლემის გადაჭრის ალგორითმებისა და რიცხვითი მეთოდების შემუშავებას, რომელთა დახმარებითაც შედეგის პოვნა შესაძლებელია საჭირო სიზუსტით და მისაღებ დროში.

3) მათემატიკური მოდელიდან მიღებული შედეგების ინტერპრეტაცია.მათემატიკის ენაში მოდელიდან მიღებული შედეგების ინტერპრეტაცია ხდება სფეროში მიღებულ ენაზე.

4) მოდელის ადეკვატურობის შემოწმება.ამ ეტაპზე დგინდება, შეესაბამება თუ არა ექსპერიმენტული შედეგები მოდელის თეორიულ შედეგებს გარკვეული სიზუსტით.

5) მოდელის მოდიფიკაცია.ამ ეტაპზე ან მოდელი რთულდება, რათა უფრო ადეკვატური იყოს რეალობასთან, ან გამარტივებულია პრაქტიკულად მისაღები გადაწყვეტის მისაღწევად.

3. მოდელების კლასიფიკაცია

მოდელები შეიძლება დაიყოს სხვადასხვა კრიტერიუმების მიხედვით. მაგალითად, მოგვარებული პრობლემების ბუნების მიხედვით, მოდელები შეიძლება დაიყოს ფუნქციურ და სტრუქტურულებად. პირველ შემთხვევაში, ფენომენის ან ობიექტის დამახასიათებელი ყველა სიდიდე გამოიხატება რაოდენობრივად. უფრო მეტიც, ზოგიერთი მათგანი განიხილება როგორც დამოუკიდებელ ცვლადებად, ზოგი კი ამ სიდიდეების ფუნქციებად. მათემატიკური მოდელი, როგორც წესი, არის სხვადასხვა ტიპის (დიფერენციალური, ალგებრული და ა.შ.) განტოლებათა სისტემა, რომელიც ადგენს რაოდენობრივ კავშირებს განსახილველ სიდიდეებს შორის. მეორე შემთხვევაში, მოდელი ახასიათებს რთული ობიექტის სტრუქტურას, რომელიც შედგება ცალკეული ნაწილებისგან, რომელთა შორის არის გარკვეული კავშირები. როგორც წესი, ეს კავშირები არ არის განსაზღვრული. ასეთი მოდელების ასაგებად მოსახერხებელია გრაფიკის თეორიის გამოყენება. გრაფიკი არის მათემატიკური ობიექტი, რომელიც წარმოადგენს სიბრტყეზე ან სივრცეში წერტილების (ვერტიკების) ერთობლიობას, რომელთაგან ზოგიერთი დაკავშირებულია ხაზებით (კიდეებით).

საწყისი მონაცემებისა და შედეგების ბუნებიდან გამომდინარე, პროგნოზირების მოდელები შეიძლება დაიყოს დეტერმინისტულ და ალბათურ-სტატისტიკურად. პირველი ტიპის მოდელები აკეთებენ გარკვეულ, ერთმნიშვნელოვან პროგნოზებს. მეორე ტიპის მოდელები ეფუძნება სტატისტიკურ ინფორმაციას და მათი დახმარებით მიღებული პროგნოზები ალბათური ხასიათისაა.

4. მათემატიკური მოდელების მაგალითები

1) ჭურვის მოძრაობის პრობლემები.

განვიხილოთ შემდეგი მექანიკის პრობლემა.

ჭურვი გაშვებულია დედამიწიდან საწყისი სიჩქარით v 0 = 30 მ/წმ კუთხით a = 45° მის ზედაპირზე; საჭიროა იპოვოთ მისი მოძრაობის ტრაექტორია და S მანძილი ამ ტრაექტორიის საწყის და დასასრულ წერტილებს შორის.

შემდეგ, როგორც ცნობილია სკოლის ფიზიკის კურსიდან, ჭურვის მოძრაობა აღწერილია ფორმულებით:

სადაც t არის დრო, g = 10 m/s 2 არის სიმძიმის აჩქარება. ეს ფორმულები იძლევა პრობლემის მათემატიკურ მოდელს. პირველი განტოლებიდან t-დან x-მდე გამოსახვით და მეორეში ჩანაცვლებით, მივიღებთ ჭურვის ტრაექტორიის განტოლებას:

ეს მრუდი (პარაბოლა) კვეთს x ღერძს ორ წერტილში: x 1 = 0 (ტრაექტორიის დასაწყისი) და (ადგილი, სადაც ჭურვი დაეცა). მოცემული v0 და a მნიშვნელობების ჩანაცვლებით მიღებულ ფორმულებში, მივიღებთ

პასუხი: y = x – 90x 2, S = 90 მ.

გაითვალისწინეთ, რომ ამ მოდელის აგებისას გამოიყენეს მთელი რიგი ვარაუდები: მაგალითად, ვარაუდობენ, რომ დედამიწა ბრტყელია და ჰაერი და დედამიწის ბრუნვა გავლენას არ ახდენს ჭურვის მოძრაობაზე.

2) პრობლემა ყველაზე მცირე ზედაპირის მქონე ავზთან დაკავშირებით.

საჭიროა ვიპოვოთ თუნუქის ავზის სიმაღლე h 0 და რადიუსი r 0 მოცულობით V = 30 მ 3, რომელსაც აქვს დახურული წრიული ცილინდრის ფორმა, რომლის ზედაპირის ფართობი S არის მინიმალური (ამ შემთხვევაში, ყველაზე ნაკლები მისი წარმოებისთვის გამოყენებული იქნება კალის რაოდენობა).

მოდით დავწეროთ შემდეგი ფორმულები h სიმაღლისა და r რადიუსის ცილინდრის მოცულობისა და ზედაპირის ფართობისთვის:

V = p r 2 h, S = 2p r (r + h).

გამოვხატავთ h-ს r და V-ს პირველი ფორმულიდან და მიღებული გამონათქვამის ჩანაცვლება მეორეში, მივიღებთ:

ამრიგად, მათემატიკური თვალსაზრისით, პრობლემა მოდის r-ის მნიშვნელობის დადგენაზე, რომლის დროსაც ფუნქცია S(r) აღწევს თავის მინიმუმს. მოდით ვიპოვოთ r 0-ის ის მნიშვნელობები, რომლებისთვისაც წარმოებული

გადადის ნულზე: შეგიძლიათ შეამოწმოთ, რომ S(r) ფუნქციის მეორე წარმოებული ცვლის ნიშანს მინუსიდან პლუსზე, როდესაც არგუმენტი r გადის r 0 წერტილში. შესაბამისად, r0 წერტილში S(r) ფუნქციას აქვს მინიმუმი. შესაბამისი მნიშვნელობა არის h 0 = 2r 0. მოცემული V მნიშვნელობის ჩანაცვლებით r 0 და h 0 გამოსახულებით, მივიღებთ სასურველ რადიუსს და სიმაღლე

3) ტრანსპორტის პრობლემა.

ქალაქს აქვს ორი ფქვილის საწყობი და ორი თონე. პირველი საწყობიდან ყოველდღიურად 50 ტონა ფქვილი იგზავნება, მეორედან 70 ტონა ქარხნებში, პირველში 40 ტონა, მეორეში 80 ტონა.

მოდით აღვნიშნოთ ა ij არის 1 ტონა ფქვილის I-ე საწყობიდან j-ე ქარხანაში ტრანსპორტირების ღირებულება (i, j = 1.2). დაე

ა 11 = 1,2 რუბლი, ა 12 = 1,6 რუბლი, ა 21 = 0,8 რუბლი., ა 22 = 1 რუბლი.

როგორ უნდა დაიგეგმოს ტრანსპორტირება ისე, რომ მისი ღირებულება იყოს მინიმალური?

მოდით მივცეთ პრობლემას მათემატიკური ფორმულირება. x 1-ით და x 2-ით ავღნიშნოთ ფქვილის რაოდენობა, რომელიც უნდა გადაიტანოს პირველი საწყობიდან პირველ და მეორე ქარხანაში, ხოლო x 3 და x 4-ით - მეორე საწყობიდან, შესაბამისად, პირველ და მეორე ქარხანაში. შემდეგ:

x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)

ყველა ტრანსპორტირების ჯამური ღირებულება განისაზღვრება ფორმულით

f = 1.2x 1 + 1.6x 2 + 0.8x 3 + x 4.

მათემატიკური თვალსაზრისით, პრობლემა მდგომარეობს იმაში, რომ ვიპოვოთ ოთხი რიცხვი x 1, x 2, x 3 და x 4, რომლებიც აკმაყოფილებს ყველა მოცემულ პირობას და იძლევა f ფუნქციის მინიმუმს. მოდით ამოხსნათ განტოლებათა სისტემა (1) xi-სთვის (i = 1, 2, 3, 4) უცნობის აღმოფხვრით. ჩვენ ამას მივიღებთ

x 1 = x 4 - 30, x 2 = 80 - x 4, x 3 = 70 - x 4, (2)

და x 4 არ შეიძლება განისაზღვროს ცალსახად. ვინაიდან x i і 0 (i = 1, 2, 3, 4), განტოლებებიდან (2) გამომდინარეობს, რომ 30Ј x 4 Ј 70. x 1, x 2, x 3 გამოხატვის ჩანაცვლება f-ის ფორმულაში, მივიღებთ

f = 148 - 0.2x 4.

ადვილი მისახვედრია, რომ ამ ფუნქციის მინიმუმი მიიღწევა მაქსიმალურ შესაძლო მნიშვნელობაზე x 4, ანუ x 4 = 70-ზე. სხვა უცნობის შესაბამისი მნიშვნელობები განისაზღვრება ფორმულებით (2): x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.

4) რადიოაქტიური დაშლის პრობლემა.

მოდით N(0) იყოს რადიოაქტიური ნივთიერების ატომების საწყისი რაოდენობა, ხოლო N(t) დაშლილი ატომების რაოდენობა t დროს. ექსპერიმენტულად დადგინდა, რომ ამ ატომების რაოდენობის ცვლილების სიჩქარე N"(t) პროპორციულია N(t), ანუ N"(t)=–l N(t), l >0 არის მოცემული ნივთიერების რადიოაქტიურობის მუდმივი. მათემატიკური ანალიზის სასკოლო კურსში ნაჩვენებია, რომ ამ დიფერენციალური განტოლების ამოხსნას აქვს ფორმა N(t) = N(0)e –l t. T დროს, რომლის დროსაც საწყისი ატომების რაოდენობა განახევრდა, ეწოდება ნახევარგამოყოფის პერიოდი და არის ნივთიერების რადიოაქტიურობის მნიშვნელოვანი მახასიათებელი. T-ს დასადგენად უნდა ჩავდოთ ფორმულა მერე მაგალითად, რადონისთვის l = 2,084 · 10 –6 და, შესაბამისად, T = 3,15 დღე.

5) მოგზაური გამყიდველის პრობლემა.

A 1 ქალაქში მცხოვრები მოგზაური გამყიდველი უნდა მოინახულოს A 2, A 3 და A 4 ქალაქები, თითოეულ ქალაქში ზუსტად ერთხელ და შემდეგ დაბრუნდეს A 1-ში. ცნობილია, რომ ყველა ქალაქი წყვილად არის დაკავშირებული გზებით, ხოლო ბ ij გზების სიგრძე A i და A j ქალაქებს შორის (i, j = 1, 2, 3, 4) ასეთია:

b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.

აუცილებელია განისაზღვროს ქალაქების მონახულების რიგი, რომლებშიც შესაბამისი ბილიკის სიგრძე მინიმალურია.

მოდით გამოვსახოთ თითოეული ქალაქი, როგორც წერტილი სიბრტყეზე და აღვნიშნოთ შესაბამისი ეტიკეტით Ai (i = 1, 2, 3, 4). მოდით დავაკავშიროთ ეს წერტილები სწორი ხაზებით: ისინი წარმოადგენენ ქალაქებს შორის გზებს. ყოველი „გზისთვის“ მივუთითებთ მის სიგრძეს კილომეტრებში (ნახ. 2). შედეგი არის გრაფიკი - მათემატიკური ობიექტი, რომელიც შედგება სიბრტყის წერტილების გარკვეული სიმრავლისგან (ე.წ. წვეროები) და ამ წერტილების დამაკავშირებელი ხაზების გარკვეული ნაკრებისგან (ე.წ. კიდეები). უფრო მეტიც, ეს გრაფიკი იარლიყებულია, რადგან მის წვეროებსა და კიდეებს ენიჭება გარკვეული ეტიკეტები - რიცხვები (კიდეები) ან სიმბოლოები (ვერტიკები). ციკლი გრაფიკზე არის V 1 , V 2 , ..., V k , V 1 წვეროების თანმიმდევრობა ისეთი, რომ წვეროები V 1 , ..., V k განსხვავებულია და წვეროების ნებისმიერი წყვილი V i , V i+1 (i = 1, ..., k – 1) და წყვილი V 1, V k დაკავშირებულია კიდით. ამგვარად, განსახილველი პრობლემა არის დიაგრამაზე ციკლის პოვნა, რომელიც გადის ოთხივე წვეროზე, რომლისთვისაც კიდეების ყველა წონის ჯამი მინიმალურია. მოდით მოვძებნოთ ყველა სხვადასხვა ციკლი, რომელიც გადის ოთხ წვეროზე და იწყება A 1-დან:

1) A 1, A 4, A 3, A 2, A 1;
2) A 1, A 3, A 2, A 4, A 1;
3) A 1, A 3, A 4, A 2, A 1.

ახლა ვიპოვოთ ამ ციკლების სიგრძე (კმ): L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. ასე რომ, უმოკლესი სიგრძის მარშრუტი პირველია.

გაითვალისწინეთ, რომ თუ გრაფაში არის n წვერო და ყველა წვერო წყვილად არის დაკავშირებული კიდეებით (ასეთ გრაფიკს სრული ეწოდება), მაშინ ყველა წვეროზე გამავალი ციკლების რაოდენობა არის ამიტომ, ჩვენს შემთხვევაში არის ზუსტად სამი ციკლი.

6) ნივთიერებათა აგებულებასა და თვისებებს შორის კავშირის პოვნის პრობლემა.

მოდით შევხედოთ რამდენიმე ქიმიურ ნაერთს, რომლებსაც ჩვეულებრივ ალკანებს უწოდებენ. ისინი შედგება n ნახშირბადის ატომისგან და n + 2 წყალბადის ატომისგან (n = 1, 2 ...), ერთმანეთთან დაკავშირებული, როგორც ნაჩვენებია სურათზე 3 n = 3-ისთვის. მოდით, ცნობილი იყოს ამ ნაერთების დუღილის წერტილების ექსპერიმენტული მნიშვნელობები:

y e (3) = – 42°, y e (4) = 0°, y e (5) = 28°, y e (6) = 69°.

საჭიროა ამ ნაერთებისთვის დუღილის წერტილისა და რიცხვის n-ს მიახლოებითი კავშირის პოვნა. დავუშვათ, რომ ამ დამოკიდებულებას აქვს ფორმა

y" ა n+b,

სად ა, b - განსაზღვრული მუდმივები. Პოვნა ადა b ჩვენ ამ ფორმულაში ვცვლით თანმიმდევრულად n = 3, 4, 5, 6 და დუღილის წერტილების შესაბამის მნიშვნელობებს. Ჩვენ გვაქვს:

– 42 » 3 ა+ b, 0 »4 ა+ b, 28 » 5 ა+ b, 69 » 6 ა+ ბ.

საუკეთესოს დასადგენად ადა b არსებობს მრავალი განსხვავებული მეთოდი. მოდით გამოვიყენოთ უმარტივესი მათგანი. გამოვხატოთ ბ მეშვეობით აამ განტოლებიდან:

ბ » – 42 – 3 ა, ბ” – 4 ა, ბ » 28 – 5 ა, ბ » 69 – 6 ა.

ავიღოთ ამ მნიშვნელობების საშუალო არითმეტიკული, როგორც სასურველი b, ანუ დავდოთ b » 16 - 4.5 ა. მოდით ჩავანაცვლოთ b-ის ეს მნიშვნელობა განტოლებათა თავდაპირველ სისტემაში და გამოვთვალოთ ა, ვიღებთ ამისთვის აშემდეგი მნიშვნელობები: ა» 37, ა» 28, ა» 28, ა“ 36. ავიღოთ როგორც საჭიროა აამ რიცხვების საშუალო მნიშვნელობა, ანუ დავაყენოთ ა 34. ასე რომ, საჭირო განტოლებას აქვს ფორმა

y » 34n – 139.

მოდით შევამოწმოთ მოდელის სიზუსტე თავდაპირველ ოთხ ნაერთზე, რისთვისაც გამოვთვალოთ დუღილის წერტილები მიღებული ფორმულის გამოყენებით:

y р (3) = – 37°, y р (4) = – 3°, y р (5) = 31°, y р (6) = 65°.

ამრიგად, ამ ნაერთებისთვის ამ თვისების გამოთვლის შეცდომა არ აღემატება 5°-ს. მიღებულ განტოლებას ვიყენებთ ნაერთის დუღილის წერტილის გამოსათვლელად n = 7-ით, რომელიც არ შედის თავდაპირველ კომპლექტში, რისთვისაც ჩვენ ვცვლით n = 7-ს ამ განტოლებაში: y р (7) = 99°. შედეგი საკმაოდ ზუსტი იყო: ცნობილია, რომ დუღილის წერტილის ექსპერიმენტული მნიშვნელობა y e (7) = 98°.

7) ელექტრული წრედის საიმედოობის განსაზღვრის პრობლემა.

აქ ჩვენ შევხედავთ ალბათური მოდელის მაგალითს. პირველ რიგში, ჩვენ წარმოგიდგენთ ინფორმაციას ალბათობის თეორიიდან - მათემატიკური დისციპლინა, რომელიც სწავლობს შემთხვევითი ფენომენების ნიმუშებს, რომლებიც დაფიქსირდა ექსპერიმენტების განმეორებით გამეორებისას. მოდით, შემთხვევით მოვლენას A ვუწოდოთ რაიმე ექსპერიმენტის შესაძლო შედეგი. მოვლენები A 1, ..., A k ქმნიან სრულ ჯგუფს, თუ ერთ-ერთი მათგანი აუცილებლად ხდება ექსპერიმენტის შედეგად. მოვლენებს უწოდებენ შეუთავსებელს, თუ ისინი არ შეიძლება მოხდეს ერთდროულად ერთ გამოცდილებაში. დაე, მოვლენა A მოხდეს m-ჯერ ექსპერიმენტის n-ჯერ გამეორების დროს. A მოვლენის სიხშირე არის რიცხვი W =. ცხადია, W-ის მნიშვნელობის ზუსტად პროგნოზირება შეუძლებელია, სანამ არ განხორციელდება n ექსპერიმენტის სერია. თუმცა, შემთხვევითი მოვლენების ბუნება ისეთია, რომ პრაქტიკაში ზოგჯერ შეიმჩნევა შემდეგი ეფექტი: ექსპერიმენტების რაოდენობის მატებასთან ერთად, მნიშვნელობა პრაქტიკულად წყვეტს შემთხვევითობას და სტაბილიზდება რაღაც არა შემთხვევითი რიცხვის გარშემო P(A), რომელსაც ეწოდება ალბათობა. მოვლენა A. შეუძლებელი მოვლენისთვის (რომელიც არასდროს ხდება ექსპერიმენტში) P(A)=0 და საიმედო მოვლენისთვის (რომელიც ყოველთვის ხდება გამოცდილებაში) P(A)=1. თუ მოვლენები A 1, ..., A k ქმნიან შეუთავსებელი მოვლენების სრულ ჯგუფს, მაშინ P(A 1)+...+P(A k)=1.

მაგალითად, ექსპერიმენტი შედგება კამათლის სროლისგან და გაშლილი X წერტილების რაოდენობაზე დაკვირვებისგან. შემდეგ შეგვიძლია შემოგთავაზოთ შემდეგი შემთხვევითი მოვლენები A i = (X = i), i = 1, ..., 6. შექმენით შეუთავსებელი თანაბრად სავარაუდო მოვლენების სრული ჯგუფი, ამიტომ P(A i) = (i = 1, ..., 6).

A და B მოვლენების ჯამი არის მოვლენა A + B, რომელიც შედგება იმაში, რომ მინიმუმ ერთი მათგანი ხდება გამოცდილებაში. A და B მოვლენების პროდუქტი არის მოვლენა AB, რომელიც შედგება ამ მოვლენების ერთდროული წარმოშობისგან. დამოუკიდებელი მოვლენებისთვის A და B, შემდეგი ფორმულები მართალია:

P(AB) = P(A) P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).

8) ახლა განვიხილოთ შემდეგი დავალება. დავუშვათ, რომ სამი ელემენტი სერიულად უკავშირდება ელექტრულ წრეს და მუშაობს ერთმანეთისგან დამოუკიდებლად. 1-ლი, მე-2 და მე-3 ელემენტების წარუმატებლობის ალბათობა შესაბამისად უდრის P1 = 0.1, P2 = 0.15, P3 = 0.2. ჩვენ განვიხილავთ წრედს საიმედოდ, თუ იმის ალბათობა, რომ წრეში არ იქნება დენი არ არის 0,4-ზე მეტი. აუცილებელია იმის დადგენა, არის თუ არა მოცემული წრე საიმედო.

ვინაიდან ელემენტები სერიულად არის დაკავშირებული, წრეში არ იქნება დენი (მოვლენა A), თუ რომელიმე ელემენტი მაინც ჩავარდება. დავუშვათ A i მოვლენა, როდესაც მუშაობს i-ე ელემენტი (i = 1, 2, 3). შემდეგ P(A1) = 0.9, P(A2) = 0.85, P(A3) = 0.8. ცხადია, A 1 A 2 A 3 არის მოვლენა, რომელშიც სამივე ელემენტი ერთდროულად მუშაობს და

P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2) P(A 3) = 0.612.

მაშინ P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1, ასე რომ P(A) = 0.388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

დასასრულს, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ მათემატიკური მოდელების (მათ შორის, ფუნქციური და სტრუქტურული, დეტერმინისტული და ალბათური) მაგალითები ილუსტრაციული ხასიათისაა და, ცხადია, არ ამოწურავს საბუნებისმეტყველო და ჰუმანიტარულ მეცნიერებებში წარმოშობილი მათემატიკური მოდელების მრავალფეროვნებას.

რა არის მათემატიკური მოდელი?

მათემატიკური მოდელის კონცეფცია.

მათემატიკური მოდელი ძალიან მარტივი ცნებაა. და ძალიან მნიშვნელოვანი. სწორედ მათემატიკური მოდელები აკავშირებს მათემატიკასა და რეალურ ცხოვრებას.

მარტივი სიტყვებით, მათემატიკური მოდელი არის ნებისმიერი სიტუაციის მათემატიკური აღწერა.Სულ ეს არის. მოდელი შეიძლება იყოს პრიმიტიული, ან შეიძლება იყოს სუპერ რთული. როგორიც არ უნდა იყოს სიტუაცია, ასეთია მოდელი.)

ნებისმიერში (ვიმეორებ - ნებისმიერში!) იმ შემთხვევაში, როდესაც რაღაცის დათვლა და გამოთვლა გჭირდებათ - ჩვენ მათემატიკური მოდელირებით ვართ დაკავებული. მაშინაც კი, თუ ჩვენ არ გვეპარება ეჭვი.)

P = 2 CB + 3 CM

ეს ჩანაწერი იქნება ჩვენი შესყიდვების ხარჯების მათემატიკური მოდელი. მოდელი არ ითვალისწინებს შეფუთვის ფერს, ვარგისიანობის თარიღს, მოლარეების ზრდილობას და ა.შ. ამიტომაც ის მოდელი,არ არის რეალური შესყიდვა. მაგრამ ხარჯები, ე.ი. რაც გვჭირდება- გავარკვევთ აუცილებლად. თუ მოდელი სწორია, რა თქმა უნდა.

სასარგებლოა იმის წარმოდგენა, თუ რა არის მათემატიკური მოდელი, მაგრამ ეს არ არის საკმარისი. ყველაზე მნიშვნელოვანი ის არის, რომ შეძლოთ ამ მოდელების აშენება.

ამოცანის მათემატიკური მოდელის შედგენა (კონსტრუირება).

მათემატიკური მოდელის შექმნა ნიშნავს პრობლემის პირობების მათემატიკურ ფორმაში თარგმნას. იმათ. სიტყვების გადაქცევა განტოლებად, ფორმულებად, უტოლობად და ა.შ. უფრო მეტიც, გადააკეთეთ ის ისე, რომ ეს მათემატიკა მკაცრად შეესაბამებოდეს საწყის ტექსტს. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ჩვენ მივიღებთ სხვა ჩვენთვის უცნობი ამოცანის მათემატიკურ მოდელს.)

უფრო კონკრეტულად, გჭირდებათ

მსოფლიოში უამრავი ამოცანებია. ამიტომ, შესთავაზეთ მკაფიო ნაბიჯ-ნაბიჯ ინსტრუქციები მათემატიკური მოდელის შედგენისთვის ნებისმიერიამოცანები შეუძლებელია.

მაგრამ არსებობს სამი ძირითადი პუნქტი, რომელსაც ყურადღება უნდა მიაქციოთ.

1. ნებისმიერი პრობლემა შეიცავს ტექსტს, უცნაურად საკმარისი.) ეს ტექსტი, როგორც წესი, შეიცავს აშკარა, ღია ინფორმაცია.რიცხვები, მნიშვნელობები და ა.შ.

2. რაიმე პრობლემა აქვს ფარული ინფორმაცია.ეს არის ტექსტი, რომელიც თქვენს თავში დამატებით ცოდნას იძენს. მათ გარეშე გზა არ არის. გარდა ამისა, მათემატიკური ინფორმაცია ხშირად იმალება უბრალო სიტყვების მიღმა და... ყურადღების მიღმა სცდება.

3. ნებისმიერი დავალება უნდა იყოს მიცემული მონაცემთა ერთმანეთთან დაკავშირება.ეს კავშირი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი უბრალო ტექსტში (რაღაც უდრის რაღაცას), ან შეიძლება დამალული იყოს მარტივი სიტყვების მიღმა. მაგრამ მარტივი და ნათელი ფაქტები ხშირად იგნორირებულია. და მოდელი არანაირად არ არის შედგენილი.

მე მაშინვე ვიტყვი: ამ სამი პუნქტის გამოსაყენებლად, თქვენ უნდა წაიკითხოთ პრობლემა (და ყურადღებით!) რამდენჯერმე. ჩვეულებრივი რამ.

ახლა კი - მაგალითები.

დავიწყოთ მარტივი პრობლემით:

პეტროვიჩი დაბრუნდა თევზაობიდან და ამაყად წარუდგინა ოჯახს თავისი ნაჭერი. დაწვრილებითი შემოწმების შედეგად გაირკვა, რომ 8 თევზი ჩრდილოეთის ზღვებიდან მოდიოდა, ყველა თევზის 20% სამხრეთის ზღვიდან იყო და არც ერთი არ იყო ადგილობრივი მდინარიდან, სადაც პეტროვიჩი თევზაობდა. რამდენი თევზი იყიდა პეტროვიჩმა ზღვის პროდუქტების მაღაზიაში?

ყველა ეს სიტყვა უნდა იქცეს რაიმე სახის განტოლებად. ამისათვის საჭიროა, ვიმეორებ, დაამყარეთ მათემატიკური კავშირი პრობლემის ყველა მონაცემს შორის.

სად უნდა დაიწყოს? პირველ რიგში, მოდით ამოვიღოთ ყველა მონაცემი ამოცანიდან. დავიწყოთ თანმიმდევრობით:

ყურადღება მივაქციოთ პირველ პუნქტს.

რომელია აქ? გამოკვეთილიმათემატიკური ინფორმაცია? 8 თევზი და 20%. ბევრი არა, მაგრამ ბევრი არ გვჭირდება.)

ყურადღება მივაქციოთ მეორე პუნქტს.

ეძებენ დამალულიინფორმაცია. Ის აქ არის. ეს არის სიტყვები: "ყველა თევზის 20%.„აქ უნდა გაიგოთ, რა პროცენტებია და როგორ იანგარიშება, თორემ პრობლემა ვერ მოგვარდება, ეს არის ზუსტად ის დამატებითი ინფორმაცია, რომელიც თქვენს თავში უნდა იყოს.

Არსებობს ასევე მათემატიკურიინფორმაცია, რომელიც სრულიად უხილავია. ეს დავალების კითხვა: "რამდენი თევზი ვიყიდე..."ესეც რიცხვია. და ამის გარეშე არც ერთი მოდელი არ ჩამოყალიბდება. მაშასადამე, ეს რიცხვი ასოთი ავღნიშნოთ "X".ჩვენ ჯერ არ ვიცით რას უდრის x, მაგრამ ეს აღნიშვნა ძალიან გამოგვადგება. მეტი დეტალი იმის შესახებ, თუ რა უნდა ავიღოთ X-ისთვის და როგორ მოვიქცეთ, წერია გაკვეთილზე როგორ გადავჭრათ ამოცანები მათემატიკაში? მოდი მაშინვე ჩავწეროთ:

x ცალი - თევზის საერთო რაოდენობა.

ჩვენს პრობლემაში სამხრეთის თევზი მოცემულია პროცენტულად. ჩვენ უნდა გადავაქციოთ ისინი ნაწილებად. Რისთვის? მერე რაში ნებისმიერიმოდელის პრობლემა უნდა იყოს შედგენილი იმავე ტიპის რაოდენობით.ცალი - ასე რომ ყველაფერი ნაწილებად არის. თუ მოცემულია, ვთქვათ, საათები და წუთები, ჩვენ ყველაფერს ვთარგმნით ერთ რამედ - ან მხოლოდ საათებში, ან მხოლოდ წუთებში. არ აქვს მნიშვნელობა რა არის. მნიშვნელოვანია, რომ ყველა მნიშვნელობა იყო იგივე ტიპის.

დავუბრუნდეთ ინფორმაციის გამჟღავნებას. ვინც არ იცის რა არის პროცენტი, არასოდეს გაამჟღავნებს, დიახ... მაგრამ ვინც იცის, მაშინვე იტყვის, რომ აქ პროცენტები თევზის საერთო რაოდენობაზეა დაფუძნებული. და ჩვენ არ ვიცით ეს რიცხვი. არაფერი გამოვა!

ტყუილად არ ვწერთ თევზის მთლიან რაოდენობას (ნაწილებად!) "X"დანიშნული. სამხრეთის თევზის რაოდენობის დათვლა შეუძლებელი იქნება, მაგრამ შეგვიძლია ჩავწეროთ? Ამგვარად:

0,2 x ცალი - თევზის რაოდენობა სამხრეთ ზღვიდან.

ახლა ჩვენ გადმოვწერეთ ყველა ინფორმაცია ამოცანიდან. აშკარაც და ფარულიც.

მივაქციოთ ყურადღება მესამე პუნქტს.

ეძებენ მათემატიკური კავშირიდავალების მონაცემებს შორის. ეს კავშირი იმდენად მარტივია, რომ ბევრი ვერ ამჩნევს... ეს ხშირად ხდება. აქ სასარგებლოა უბრალოდ ჩაწეროთ შეგროვებული მონაცემები გროვად და ნახოთ რა არის.

რა გვაქვს? ჭამე 8 ცალიჩრდილოეთის თევზი, 0.2 x ცალი- სამხრეთის თევზი და x თევზი- მთლიანი რაოდენობა. შესაძლებელია თუ არა ამ მონაცემების ერთმანეთთან დაკავშირება? დიახ მარტივად! თევზის საერთო რაოდენობა უდრისსამხრეთისა და ჩრდილოეთის ჯამი! აბა, ვინ იფიქრებდა...) ასე რომ ჩავწერთ:

x = 8 + 0.2x

ეს არის განტოლება ჩვენი პრობლემის მათემატიკური მოდელი.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ამ პრობლემაში ჩვენ არაფრის დაკეცვას არ გვთხოვენ!ჩვენ თვითონ, უაზროდ მივხვდით, რომ სამხრეთისა და ჩრდილოეთის თევზის ჯამი მოგვცემდა საერთო რაოდენობას. საქმე იმდენად აშკარაა, რომ შეუმჩნეველი რჩება. მაგრამ ამ მტკიცებულების გარეშე მათემატიკური მოდელის შექმნა შეუძლებელია. Ამგვარად.

ახლა თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ მათემატიკის სრული ძალა ამ განტოლების ამოსახსნელად). სწორედ ამიტომ შეადგინეს მათემატიკური მოდელი. ჩვენ ვხსნით ამ წრფივ განტოლებას და ვიღებთ პასუხს.

პასუხი: x=10

მოდით შევქმნათ სხვა პრობლემის მათემატიკური მოდელი:

მათ ჰკითხეს პეტროვიჩს: "ბევრი ფული გაქვს?" პეტროვიჩმა ტირილი დაიწყო და უპასუხა: "დიახ, სულ ცოტა. ფულის ნახევარს რომ დავხარჯავ, დანარჩენს ნახევარს, მაშინ მხოლოდ ერთი ტომარა ფული დამრჩება..." რამდენი ფული აქვს პეტროვიჩს. ?

ისევ წერტილი-პუნქტი ვმუშაობთ.

1. ჩვენ ვეძებთ მკაფიო ინფორმაციას. მაშინვე ვერ იპოვით! აშკარა ინფორმაციაა ერთიფულის ჩანთა. არის კიდევ რამდენიმე ნახევარი... კარგად, ამას მეორე აბზაცში განვიხილავთ.

2. ჩვენ ვეძებთ ფარულ ინფორმაციას. ეს ნახევრებია. Რა? არც ისე ნათელია. ჩვენ უფრო შორს ვიყურებით. არის კიდევ ერთი კითხვა: – რამდენი ფული აქვს პეტროვიჩს?თანხის ოდენობა ასოებით აღვნიშნოთ "X":

X- მთელი ფული

და ისევ წავიკითხეთ პრობლემა. პეტროვიჩმა უკვე იცის Xფული. ეს არის სადაც ნახევარი იმუშავებს! ჩვენ ვწერთ:

0,5 x- მთელი ფულის ნახევარი.

დარჩენილიც იქნება ნახევარი, ე.ი. 0,5 x.და ნახევარი შეიძლება დაიწეროს ასე:

0.5 0.5 x = 0.25x- დარჩენილი ნაწილის ნახევარი.

ახლა ყველა ფარული ინფორმაცია გამოვლინდა და ჩაიწერა.

3. ჩვენ ვეძებთ კავშირს ჩაწერილ მონაცემებს შორის. აქ შეგიძლიათ უბრალოდ წაიკითხოთ პეტროვიჩის ტანჯვა და ჩაწეროთ იგი მათემატიკურად):

თუ მთელი ფულის ნახევარს დავხარჯავ...

მოდით ჩავწეროთ ეს პროცესი. მთელი ფული - X.ნახევარი - 0,5 x. დახარჯვა არის წართმევა. ფრაზა იქცევა ჩანაწერად:

x - 0,5 x

კი დანარჩენი ნახევარი...

დარჩენილი ნაწილის კიდევ ნახევარი გამოვაკლოთ:

x - 0.5 x - 0.25x

მაშინ მე მხოლოდ ერთი ტომარა ფული დამრჩება...

და აქ ვიპოვეთ თანასწორობა! ყველა გამოკლების შემდეგ რჩება ერთი ტომარა ფული:

x - 0.5 x - 0.25x = 1

აი ეს არის მათემატიკური მოდელი! ეს ისევ წრფივი განტოლებაა, ჩვენ ვხსნით მას, მივიღებთ:

კითხვა განსახილველად. რა არის ოთხი? რუბლი, დოლარი, იუანი? და რა ერთეულებით იწერება ფული ჩვენს მათემატიკურ მოდელში? ჩანთებში!ეს ნიშნავს ოთხს ჩანთაფული პეტროვიჩისგან. ასევე კარგი.)

ამოცანები, რა თქმა უნდა, ელემენტარულია. ეს არის კონკრეტულად მათემატიკური მოდელის შედგენის არსი. ზოგიერთი დავალება შეიძლება შეიცავდეს ბევრად მეტ მონაცემს, რომლის დაკარგვაც ადვილია. ეს ხშირად ხდება ე.წ. კომპეტენციის ამოცანები. როგორ ამოვიღოთ მათემატიკური შინაარსი სიტყვებისა და რიცხვების გროვიდან ნაჩვენებია მაგალითებით

კიდევ ერთი შენიშვნა. კლასიკურ სასკოლო პრობლემებში (მილები, რომლებიც ავსებენ აუზს, ნავები სადმე მცურავდნენ და ა.შ.), ყველა მონაცემი, როგორც წესი, შერჩეულია ძალიან ფრთხილად. არსებობს ორი წესი:
- პრობლემის გადასაჭრელად საკმარისი ინფორმაციაა,
- პრობლემაში ზედმეტი ინფორმაცია არ არის.

ეს არის მინიშნება. თუ მათემატიკურ მოდელში გამოუყენებელი დარჩა რაიმე მნიშვნელობა, დაფიქრდით არის თუ არა შეცდომა. თუ არ არის საკმარისი მონაცემები, სავარაუდოდ, ყველა ფარული ინფორმაცია არ არის გამოვლენილი და დაფიქსირებული.

კომპეტენციებთან დაკავშირებულ და სხვა ცხოვრებისეულ ამოცანებში ეს წესები მკაცრად არ არის დაცული. არანაირი ნახავ. მაგრამ ასეთი პრობლემების მოგვარებაც შეიძლება. თუ, რა თქმა უნდა, ვარჯიშობთ კლასიკურზე.)

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. ვისწავლოთ - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.

სოვეტოვისა და იაკოვლევის სახელმძღვანელოს მიხედვით: ”მოდელი (ლათ. modulus - ზომა) არის ორიგინალური ობიექტის შემცვლელი ობიექტი, რომელიც უზრუნველყოფს ორიგინალის ზოგიერთი თვისების შესწავლას”. (გვ. 6) „ერთი ობიექტის მეორეთი ჩანაცვლება მოდელის ობიექტის გამოყენებით ორიგინალური ობიექტის ყველაზე მნიშვნელოვანი თვისებების შესახებ ინფორმაციის მისაღებად ეწოდება მოდელირება“. (გვ. 6) „მათემატიკური მოდელირებით ჩვენ გვესმის მოცემულ რეალურ ობიექტთან შესაბამისობის დადგენის პროცესი გარკვეულ მათემატიკურ ობიექტთან, რომელსაც ეწოდება მათემატიკური მოდელი, და ამ მოდელის შესწავლა, რომელიც საშუალებას გვაძლევს მივიღოთ რეალურის მახასიათებლები. განსახილველი ობიექტი. მათემატიკური მოდელის ტიპი დამოკიდებულია როგორც რეალური ობიექტის ბუნებაზე, ასევე ობიექტის შესწავლის ამოცანებზე და ამ პრობლემის გადაჭრის საჭირო სანდოობასა და სიზუსტეზე“.

და ბოლოს, მათემატიკური მოდელის ყველაზე მოკლე განმარტება: "განტოლება, რომელიც გამოხატავს იდეას."

მოდელის კლასიფიკაცია

მოდელების ფორმალური კლასიფიკაცია

მოდელების ფორმალური კლასიფიკაცია ეფუძნება გამოყენებული მათემატიკური ინსტრუმენტების კლასიფიკაციას. ხშირად აგებულია დიქოტომიის სახით. მაგალითად, დიქოტომიის ერთ-ერთი პოპულარული ნაკრები:

და ასე შემდეგ. თითოეული აგებული მოდელი არის წრფივი ან არაწრფივი, დეტერმინისტული თუ სტოქასტური,... ბუნებრივია, შესაძლებელია შერეული ტიპებიც: კონცენტრირებული ერთ მხრივ (პარამეტრების მიხედვით), განაწილებული მეორეში და ა.შ.

კლასიფიკაცია ობიექტის წარმოდგენის მიხედვით

ფორმალურ კლასიფიკაციასთან ერთად, მოდელები განსხვავდებიან ობიექტის წარმოდგენით:

• სტრუქტურული ან ფუნქციური მოდელები

სტრუქტურული მოდელები წარმოადგენს ობიექტს, როგორც სისტემას თავისი სტრუქტურით და ფუნქციონირების მექანიზმით. ფუნქციური მოდელები არ იყენებენ ასეთ გამოსახულებებს და ასახავს მხოლოდ ობიექტის გარეგნულად აღქმულ ქცევას (ფუნქციონირებას). მათი ექსტრემალური გამოხატულებით, მათ ასევე უწოდებენ "შავ ყუთს" მოდელებს, ასევე შესაძლებელია კომბინირებული ტიპის მოდელები, რომლებსაც ზოგჯერ "ნაცრისფერი ყუთის" მოდელებსაც უწოდებენ.

შინაარსი და ფორმალური მოდელები

თითქმის ყველა ავტორი, რომელიც აღწერს მათემატიკური მოდელირების პროცესს, მიუთითებს, რომ პირველ რიგში აგებულია სპეციალური იდეალური სტრუქტურა, შინაარსის მოდელი. აქ არ არის დადგენილი ტერმინოლოგია და სხვა ავტორები ამ იდეალურ ობიექტს უწოდებენ კონცეპტუალური მოდელი , სპეკულაციური მოდელიან პრემოდელი. ამ შემთხვევაში საბოლოო მათემატიკური კონსტრუქცია ეწოდება ფორმალური მოდელიან უბრალოდ მოცემული გააზრებული მოდელის (პრემოდელის) ფორმალიზების შედეგად მიღებული მათემატიკური მოდელი. მნიშვნელოვანი მოდელის აგება შეიძლება განხორციელდეს მზა იდეალიზაციების ნაკრების გამოყენებით, როგორც მექანიკაში, სადაც იდეალური ზამბარები, ხისტი სხეულები, იდეალური ქანქარები, ელასტიური მედია და ა.შ. უზრუნველყოფს მზა სტრუქტურულ ელემენტებს აზრიანი მოდელირებისთვის. თუმცა, ცოდნის სფეროებში, სადაც არ არსებობს სრულად დასრულებული ფორმალიზებული თეორიები (ფიზიკის, ბიოლოგიის, ეკონომიკის, სოციოლოგიის, ფსიქოლოგიის და სხვა სფეროების უახლესი ზღვარი), მნიშვნელოვანი მოდელების შექმნა მკვეთრად რთულდება.

მოდელების შინაარსის კლასიფიკაცია

მეცნიერებაში არც ერთი ჰიპოთეზა არ შეიძლება ერთხელ და სამუდამოდ დადასტურდეს. რიჩარდ ფეინმანმა ეს ძალიან მკაფიოდ ჩამოაყალიბა:

„ჩვენ ყოველთვის გვაქვს შესაძლებლობა უარვყოთ თეორია, მაგრამ გაითვალისწინეთ, რომ ჩვენ ვერასოდეს დავამტკიცებთ, რომ ეს არის სწორი. დავუშვათ, რომ თქვენ წამოაყენეთ წარმატებული ჰიპოთეზა, გამოთვალეთ სად მივყავართ მას და აღმოაჩინეთ, რომ მისი ყველა შედეგი დადასტურებულია ექსპერიმენტულად. ეს ნიშნავს რომ შენი თეორია სწორია? არა, ეს უბრალოდ ნიშნავს, რომ თქვენ ვერ უარყავით ეს“.

თუ აშენდა პირველი ტიპის მოდელი, ეს ნიშნავს, რომ ის დროებით აღიარებულია ჭეშმარიტებად და შეიძლება სხვა პრობლემებზე კონცენტრირება. თუმცა, ეს არ შეიძლება იყოს კვლევის წერტილი, არამედ მხოლოდ დროებითი პაუზა: პირველი ტიპის მოდელის სტატუსი შეიძლება იყოს მხოლოდ დროებითი.

ტიპი 2: ფენომენოლოგიური მოდელი (ვიქცევით თითქოს…)

ფენომენოლოგიური მოდელი შეიცავს ფენომენის აღწერის მექანიზმს. თუმცა, ეს მექანიზმი არ არის საკმარისად დამაჯერებელი, არ შეიძლება საკმარისად დადასტურდეს არსებული მონაცემებით, ან კარგად არ ჯდება არსებულ თეორიებთან და ობიექტის შესახებ დაგროვილ ცოდნასთან. აქედან გამომდინარე, ფენომენოლოგიურ მოდელებს აქვთ დროებითი გადაწყვეტის სტატუსი. ითვლება, რომ პასუხი ჯერ კიდევ უცნობია და „ჭეშმარიტი მექანიზმების“ ძიება უნდა გაგრძელდეს. Peierls მოიცავს, მაგალითად, კალორიულ მოდელს და ელემენტარული ნაწილაკების კვარკის მოდელს, როგორც მეორე ტიპს.

მოდელის როლი კვლევაში შეიძლება დროთა განმავლობაში შეიცვალოს და შეიძლება მოხდეს, რომ ახალი მონაცემები და თეორიები ადასტურებენ ფენომენოლოგიურ მოდელებს და ისინი ჰიპოთეზის სტატუსამდე მიდიან. ანალოგიურად, ახალი ცოდნა თანდათან შეიძლება შევიდეს კონფლიქტში პირველი ტიპის მოდელ-ჰიპოთეზებთან და მათი გადატანა მეორეში. ამრიგად, კვარკის მოდელი თანდათან გადადის ჰიპოთეზების კატეგორიაში; ატომიზმი ფიზიკაში წარმოიშვა, როგორც დროებითი გამოსავალი, მაგრამ ისტორიის მსვლელობისას იგი გახდა პირველი ტიპი. მაგრამ ეთერულმა მოდელებმა გაიარეს გზა 1-დან მე-2 ტიპამდე და ახლა მეცნიერების მიღმა არიან.

გამარტივების იდეა ძალიან პოპულარულია მოდელების აშენებისას. მაგრამ გამარტივება სხვადასხვა ფორმით მოდის. Peierls განსაზღვრავს სამ ტიპს მოდელირების გამარტივებას.

ტიპი 3: დაახლოება (ჩვენ მიგვაჩნია რაღაც ძალიან დიდი ან ძალიან პატარა)

თუ შესაძლებელია განტოლებების აგება, რომლებიც აღწერს შესასწავლ სისტემას, ეს არ ნიშნავს, რომ მათი ამოხსნა შესაძლებელია კომპიუტერის დახმარებითაც კი. საერთო ტექნიკა ამ შემთხვევაში არის მიახლოებების გამოყენება (ტიპი 3 მოდელები). Მათ შორის ხაზოვანი რეაგირების მოდელები. განტოლებები შეიცვალა წრფივი. სტანდარტული მაგალითია ომის კანონი.

აქ მოდის ტიპი 8, რომელიც ფართოდ არის გავრცელებული ბიოლოგიური სისტემების მათემატიკურ მოდელებში.

ტიპი 8: მხატვრული დემონსტრირება (მთავარია აჩვენოს შესაძლებლობის შინაგანი თანმიმდევრულობა)

ეს არის ასევე აზროვნების ექსპერიმენტები წარმოსახვით არსებებთან, რაც ადასტურებს ამას სავარაუდო ფენომენიშეესაბამება ძირითად პრინციპებს და შინაგანად თანმიმდევრული. ეს არის მთავარი განსხვავება 7 ტიპის მოდელებისგან, რომლებიც ავლენენ ფარულ წინააღმდეგობებს.

ამ ექსპერიმენტებიდან ერთ-ერთი ყველაზე ცნობილი არის ლობაჩევსკის გეომეტრია (ლობაჩოვსკიმ მას "წარმოსახვითი გეომეტრია" უწოდა). კიდევ ერთი მაგალითია ქიმიური და ბიოლოგიური ვიბრაციების ფორმალურად კინეტიკური მოდელების მასობრივი წარმოება, ავტოტალღები და ა.შ. აინშტაინ-პოდოლსკი-როზენის პარადოქსი ჩაფიქრებული იყო, როგორც მე-7 ტიპის მოდელი კვანტური მექანიკის შეუსაბამობის დემონსტრირებისთვის. სრულიად დაუგეგმავად, საბოლოოდ გადაიქცა მე-8 ტიპის მოდელად - ინფორმაციის კვანტური ტელეპორტაციის შესაძლებლობის დემონსტრირება.

მაგალითი

განვიხილოთ მექანიკური სისტემა, რომელიც შედგება ერთ ბოლოზე დამაგრებული ზამბარისგან და მასის მასისგან მმიმაგრებულია ზამბარის თავისუფალ ბოლოზე. ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ დატვირთვას შეუძლია გადაადგილება მხოლოდ ზამბარის ღერძის მიმართულებით (მაგალითად, მოძრაობა ხდება ღეროს გასწვრივ). მოდით ავაშენოთ ამ სისტემის მათემატიკური მოდელი. ჩვენ აღვწერთ სისტემის მდგომარეობას მანძილით xდატვირთვის ცენტრიდან წონასწორობის პოზიციამდე. მოდით აღვწეროთ ზამბარის ურთიერთქმედება და დატვირთვის გამოყენებით ჰუკის კანონი (ფ = − კx ) და შემდეგ გამოიყენეთ ნიუტონის მეორე კანონი მისი დიფერენციალური განტოლების სახით გამოსახატავად:

სადაც ნიშნავს მეორე წარმოებულს xდროით: .

შედეგად მიღებული განტოლება აღწერს განხილული ფიზიკური სისტემის მათემატიკურ მოდელს. ამ მოდელს ეწოდება "ჰარმონიული ოსცილატორი".

ფორმალური კლასიფიკაციის მიხედვით, ეს მოდელი არის წრფივი, დეტერმინისტული, დინამიური, კონცენტრირებული, უწყვეტი. მისი აგების პროცესში ჩვენ გამოვთქვით მრავალი ვარაუდი (გარე ძალების არარსებობის, ხახუნის არარსებობის, გადახრების სიმცირის შესახებ და ა.შ.), რაც შეიძლება რეალურად არ შესრულდეს.

რეალობასთან დაკავშირებით, ეს ყველაზე ხშირად ტიპის 4 მოდელია გამარტივება("ჩვენ გამოვტოვებთ ზოგიერთ დეტალს სიცხადისთვის"), რადგან გამოტოვებულია ზოგიერთი არსებითი უნივერსალური მახასიათებელი (მაგალითად, გაფანტვა). გარკვეული მიახლოებით (ვთქვათ, წონასწორობიდან დატვირთვის გადახრა მცირეა, დაბალი ხახუნით, არც თუ ისე დიდი ხნის განმავლობაში და ექვემდებარება გარკვეულ სხვა პირობებს), ასეთი მოდელი საკმაოდ კარგად აღწერს რეალურ მექანიკურ სისტემას, რადგან უგულებელყოფილი ფაქტორები მის ქცევაზე უმნიშვნელო გავლენა. თუმცა, მოდელის დახვეწა შესაძლებელია ზოგიერთი ამ ფაქტორების გათვალისწინებით. ეს გამოიწვევს ახალ მოდელს, გამოყენების უფრო ფართო (თუმცა ისევ შეზღუდული) ფარგლებს.

თუმცა, მოდელის დახვეწისას, მისი მათემატიკური კვლევის სირთულე შეიძლება მნიშვნელოვნად გაიზარდოს და მოდელი პრაქტიკულად უსარგებლო გახდეს. ხშირად, უფრო მარტივი მოდელი რეალური სისტემის უკეთ და ღრმა შესწავლის საშუალებას იძლევა, ვიდრე უფრო რთული (და, ფორმალურად, „უფრო სწორი“).

თუ ჰარმონიული ოსცილატორის მოდელს გამოვიყენებთ ფიზიკისგან შორს მდებარე ობიექტებზე, მისი არსებითი სტატუსი შეიძლება განსხვავებული იყოს. მაგალითად, ბიოლოგიურ პოპულაციებზე ამ მოდელის გამოყენებისას, სავარაუდოდ, ის უნდა იყოს კლასიფიცირებული, როგორც ტიპი 6 ანალოგი(„გავითვალისწინოთ მხოლოდ ზოგიერთი მახასიათებელი“).

მყარი და რბილი მოდელები

ჰარმონიული ოსცილატორი არის ეგრეთ წოდებული "მყარი" მოდელის მაგალითი. ის მიიღება რეალური ფიზიკური სისტემის ძლიერი იდეალიზაციის შედეგად. მისი გამოყენებადობის საკითხის გადასაჭრელად აუცილებელია გვესმოდეს, რამდენად მნიშვნელოვანია ის ფაქტორები, რომლებიც ჩვენ უგულებელყოფილია. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, აუცილებელია „რბილი“ მოდელის შესწავლა, რომელიც მიიღება „ხისტის“ მცირე აშლილობით. ეს შეიძლება იყოს მოცემული, მაგალითად, შემდეგი განტოლებით:

აქ არის რამდენიმე ფუნქცია, რომელსაც შეუძლია გაითვალისწინოს ხახუნის ძალა ან ზამბარის სიხისტის კოეფიციენტის დამოკიდებულება მისი გაჭიმვის ხარისხზე - რაღაც მცირე პარამეტრი. აშკარა ფუნქციის ფორმა ვჩვენ ამ მომენტში არ ვართ დაინტერესებული. თუ დავამტკიცებთ, რომ რბილი მოდელის ქცევა ფუნდამენტურად არ განსხვავდება მძიმე მოდელის ქცევისგან (მიუხედავად იმისა, რომ აშკარა ტიპის დამაბნეველი ფაქტორებია, თუ ისინი საკმარისად მცირეა), პრობლემა დაიყვანება მყარი მოდელის შესწავლაზე. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ხისტი მოდელის შესწავლით მიღებული შედეგების გამოყენება დამატებით კვლევას მოითხოვს. მაგალითად, ჰარმონიული ოსცილატორის განტოლების ამონახსნი არის ფორმის ფუნქციები, ანუ რხევები მუდმივი ამპლიტუდით. აქედან გამომდინარეობს თუ არა, რომ რეალური ოსცილატორი განუსაზღვრელი ვადით ირხევა მუდმივი ამპლიტუდით? არა, რადგან თვითნებურად მცირე ხახუნის მქონე სისტემის გათვალისწინებით (ყოველთვის არის რეალურ სისტემაში), ჩვენ ვიღებთ დარბილებულ რხევებს. ხარისხობრივად შეიცვალა სისტემის ქცევა.

თუ სისტემა ინარჩუნებს თავის ხარისხობრივ ქცევას მცირე დარღვევების დროს, ამბობენ, რომ ის სტრუქტურულად სტაბილურია. ჰარმონიული ოსცილატორი არის სტრუქტურულად არასტაბილური (არაუხეში) სისტემის მაგალითი. თუმცა, ეს მოდელი შეიძლება გამოყენებულ იქნას პროცესების შესასწავლად შეზღუდული დროის განმავლობაში.

მოდელების მრავალფეროვნება

ყველაზე მნიშვნელოვან მათემატიკურ მოდელებს, როგორც წესი, აქვთ მნიშვნელოვანი თვისება მრავალმხრივობა: ფუნდამენტურად განსხვავებული რეალური ფენომენები შეიძლება აღწერილი იყოს ერთი და იგივე მათემატიკური მოდელით. მაგალითად, ჰარმონიული ოსცილატორი აღწერს არა მხოლოდ დატვირთვის ქცევას ზამბარზე, არამედ სხვა რხევის პროცესებსაც, ხშირად სრულიად განსხვავებული ხასიათისა: ქანქარის მცირე რხევები, სითხის დონის რყევები უ- ფორმის ჭურჭელი ან დენის სიძლიერის ცვლილება რხევის წრეში. ამრიგად, ერთი მათემატიკური მოდელის შესწავლით, ჩვენ დაუყოვნებლივ ვსწავლობთ მის მიერ აღწერილ ფენომენთა მთელ კლასს. სწორედ მათემატიკური მოდელებით გამოხატული კანონების ეს იზომორფიზმია სამეცნიერო ცოდნის სხვადასხვა სეგმენტში, რომელმაც შთააგონა ლუდვიგ ფონ ბერტალანფი შექმნა „სისტემების ზოგადი თეორია“.

მათემატიკური მოდელირების პირდაპირი და შებრუნებული ამოცანები

მათემატიკური მოდელირებასთან დაკავშირებული ბევრი პრობლემაა. პირველ რიგში, თქვენ უნდა შეადგინოთ მოდელირებული ობიექტის ძირითადი დიაგრამა, მისი რეპროდუცირება ამ მეცნიერების იდეალიზაციების ფარგლებში. ამრიგად, მატარებლის ვაგონი იქცევა ფირფიტების სისტემად და სხვადასხვა მასალისგან უფრო რთულ სხეულებად, თითოეული მასალა მითითებულია, როგორც მისი სტანდარტული მექანიკური იდეალიზება (სიმკვრივე, ელასტიური მოდული, სტანდარტული სიძლიერის მახასიათებლები), რის შემდეგაც დგება განტოლებები და გზაზე. ზოგიერთი დეტალი უგულებელყოფილია, როგორც უმნიშვნელო, კეთდება გამოთვლები, გაზომვებთან შედარებით, მოდელი დახვეწილია და ა.შ. თუმცა, მათემატიკური მოდელირების ტექნოლოგიების შესამუშავებლად, სასარგებლოა ამ პროცესის დაშლა მის ძირითად კომპონენტებად.

ტრადიციულად, მათემატიკურ მოდელებთან დაკავშირებული პრობლემების ორი ძირითადი კლასია: პირდაპირი და ინვერსიული.

პირდაპირი დავალება: მოდელის სტრუქტურა და მისი ყველა პარამეტრი ცნობად ითვლება, მთავარი ამოცანაა მოდელის შესწავლა ობიექტის შესახებ სასარგებლო ცოდნის გამოსატანად. რა სტატიკურ დატვირთვას გაუძლებს ხიდი? როგორ რეაგირებს ის დინამიურ დატვირთვაზე (მაგალითად, ჯარისკაცების ასეულის მსვლელობაზე, ან მატარებლის სხვადასხვა სიჩქარით გავლაზე), როგორ გადალახავს თვითმფრინავი ხმის ბარიერს, დაიშლება თუ არა ფრიალისგან - ეს არის პირდაპირი პრობლემის ტიპიური მაგალითები. სწორი პირდაპირი პრობლემის დაყენება (სწორი კითხვის დასმა) განსაკუთრებულ უნარს მოითხოვს. თუ სწორი კითხვები არ დაისმება, ხიდი შეიძლება ჩამოინგრეს, მაშინაც კი, თუ აშენდა მისი ქცევის კარგი მოდელი. ასე რომ, 1879 წელს ინგლისში ჩამოინგრა ლითონის ხიდი მდინარე ტეისზე, რომლის დიზაინერებმა ააშენეს ხიდის მოდელი, გამოთვალეს, რომ მას აქვს 20-ჯერადი უსაფრთხოების ფაქტორი ტვირთის მოქმედებისთვის, მაგრამ მუდმივად დაივიწყეს ქარები. უბერავს იმ ადგილებში. და წელიწადნახევრის შემდეგ დაინგრა.

უმარტივეს შემთხვევაში (მაგალითად, ერთი ოსცილატორის განტოლება), პირდაპირი ამოცანა ძალიან მარტივია და მცირდება ამ განტოლების აშკარა ამონახვამდე.

ინვერსიული პრობლემა: ცნობილია მრავალი შესაძლო მოდელი, კონკრეტული მოდელი უნდა შეირჩეს ობიექტის შესახებ დამატებითი მონაცემების საფუძველზე. ყველაზე ხშირად, მოდელის სტრუქტურა ცნობილია და საჭიროა გარკვეული უცნობი პარამეტრების დადგენა. დამატებითი ინფორმაცია შეიძლება შედგებოდეს დამატებითი ემპირიული მონაცემებისგან ან ობიექტის მოთხოვნებისგან ( დიზაინის პრობლემა). დამატებითი მონაცემები შეიძლება მოვიდეს ინვერსიული პრობლემის გადაჭრის პროცესის მიუხედავად ( პასიური დაკვირვება) ან იყოს ხსნარის დროს სპეციალურად დაგეგმილი ექსპერიმენტის შედეგი ( აქტიური მეთვალყურეობა).

შებრუნებული პრობლემის ოსტატურად გადაწყვეტის ერთ-ერთი პირველი მაგალითი ხელმისაწვდომი მონაცემების სრულად გამოყენებით იყო ი. ნიუტონის მიერ შექმნილი მეთოდი ხახუნის ძალების რეკონსტრუქციისთვის დაკვირვებული დაბერებული რხევებიდან.

დამატებითი მაგალითები

სად x ს- მოსახლეობის „ბალანსირებული“ ზომა, რომლის დროსაც შობადობა ზუსტად ანაზღაურდება სიკვდილიანობის მაჩვენებლით. პოპულაციის ზომა ასეთ მოდელში მიდრეკილია წონასწორობის მნიშვნელობისკენ x სდა ეს ქცევა სტრუქტურულად სტაბილურია.

ამ სისტემას აქვს წონასწორული მდგომარეობა, როდესაც კურდღლებისა და მელაების რაოდენობა მუდმივია. ამ მდგომარეობიდან გადახრა იწვევს კურდღლებისა და მელაების რიცხვის რყევებს, ჰარმონიული ოსცილატორის რყევების მსგავსი. როგორც ჰარმონიული ოსცილატორის შემთხვევაში, ეს ქცევა არ არის სტრუქტურულად სტაბილური: მოდელის მცირე ცვლილებამ (მაგალითად, კურდღლების მიერ მოთხოვნილი შეზღუდული რესურსების გათვალისწინებით) შეიძლება გამოიწვიოს ქცევის ხარისხობრივი ცვლილება. მაგალითად, წონასწორობის მდგომარეობა შეიძლება გახდეს სტაბილური და რიცხვების რყევები გაქრება. შესაძლებელია საპირისპირო ვითარებაც, როდესაც წონასწორობის პოზიციიდან რაიმე მცირე გადახრა გამოიწვევს კატასტროფულ შედეგებს, ერთ-ერთი სახეობის სრულ გადაშენებამდე. ვოლტერა-ლოტკას მოდელი არ პასუხობს კითხვას, თუ რომელი სცენარი რეალიზდება: აქ საჭიროა დამატებითი კვლევა.

შენიშვნები

1. "რეალობის მათემატიკური წარმოდგენა" (ენციკლოპედია Britanica)
2. ნოვიკ I.B., კიბერნეტიკური მოდელირების ფილოსოფიურ საკითხებზე. მ., ცოდნა, 1964 წ.
3. Sovetov B. Ya., Yakovlev S.A., სისტემების მოდელირება: პროკ. უნივერსიტეტებისთვის - მე-3 გამოცემა, შესწორებული. და დამატებითი - მ.: უმაღლესი. სკოლა, 2001. - 343გვ. ISBN 5-06-003860-2
4. სამარსკი ა.ა., მიხაილოვი ა.პ.მათემატიკის მოდელირება. Იდეები. მეთოდები. მაგალითები. . - მე-2 გამოცემა, შესწორებული - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. მიშკის ა.დ., მათემატიკური მოდელების თეორიის ელემენტები. - მე-3 გამოცემა, რევ. - M.: KomKniga, 2007. - 192 ISBN 978-5-484-00953-4-ით
6. ვიქციონარი: მათემატიკური მოდელი
7. CliffsNotes
8. Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, Complexity series, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 pp. ISBN 3-540-35885-4
9. „თეორია განიხილება წრფივი ან არაწრფივი იმისდა მიხედვით, თუ რა სახის მათემატიკური აპარატურა - წრფივი თუ არაწრფივი - და რა სახის ხაზოვან ან არაწრფივ მათემატიკურ მოდელებს იყენებს. ...ამ უკანასკნელის უარყოფის გარეშე. თანამედროვე ფიზიკოსს, თუ მას მოუწევდა ხელახლა შეექმნა ისეთი მნიშვნელოვანი ერთეულის განმარტება, როგორიცაა არაწრფივიობა, დიდი ალბათობით სხვაგვარად იმოქმედებდა და, უპირატესობას ანიჭებდა არაწრფივობას, როგორც ორ დაპირისპირებულს შორის უფრო მნიშვნელოვანს და ფართოდ გავრცელებულს, განსაზღვრავს წრფივობას, როგორც „არა. არაწრფივი“. დანილოვი იუ.ა., ლექციები არაწრფივი დინამიკაზე. ელემენტარული შესავალი. სერია "სინერგეტიკა: წარსულიდან მომავალამდე". გამოცემა 2. - M.: URSS, 2006. - 208გვ. ISBN 5-484-00183-8
10. „დინამიკურ სისტემებს, რომლებიც მოდელირებულია ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლებების სასრული რაოდენობით, ეწოდება კონცენტრირებულ ან წერტილოვან სისტემებს. ისინი აღწერილია სასრულ-განზომილებიანი ფაზის სივრცის გამოყენებით და ხასიათდება თავისუფლების სასრული რაოდენობის ხარისხით. ერთი და იგივე სისტემა სხვადასხვა პირობებში შეიძლება ჩაითვალოს კონცენტრირებულად ან განაწილებულად. განაწილებული სისტემების მათემატიკური მოდელებია ნაწილობრივი დიფერენციალური განტოლებები, ინტეგრალური განტოლებები ან ჩვეულებრივი დაყოვნების განტოლებები. განაწილებული სისტემის თავისუფლების ხარისხების რაოდენობა უსასრულოა და მონაცემების უსასრულო რაოდენობაა საჭირო მისი მდგომარეობის დასადგენად“. ანიშჩენკო V.S., დინამიური სისტემები, სოროსის საგანმანათლებლო ჟურნალი, 1997, No11, გვ. 77-84 წწ.
11. „S სისტემაში შესწავლილი პროცესების ბუნებიდან გამომდინარე, ყველა ტიპის მოდელირება შეიძლება დაიყოს დეტერმინისტულ და სტოქასტურ, სტატიკური და დინამიური, დისკრეტული, უწყვეტი და დისკრეტულ-უწყვეტი. დეტერმინისტული მოდელირება ასახავს დეტერმინისტულ პროცესებს, ანუ პროცესებს, რომლებშიც ვარაუდობენ რაიმე შემთხვევითი გავლენის არარსებობას; სტოქასტური მოდელირება ასახავს ალბათურ პროცესებსა და მოვლენებს. ... სტატიკური მოდელირება ემსახურება ობიექტის ქცევის აღწერას დროის ნებისმიერ მომენტში, ხოლო დინამიური მოდელირება ასახავს ობიექტის ქცევას დროთა განმავლობაში. დისკრეტული მოდელირება გამოიყენება პროცესების აღსაწერად, რომლებიც ვარაუდობენ, რომ დისკრეტულია, შესაბამისად, უწყვეტი მოდელირება საშუალებას გვაძლევს ასახოთ უწყვეტი პროცესები სისტემებში, ხოლო დისკრეტულ-უწყვეტი მოდელირება გამოიყენება იმ შემთხვევებში, როდესაც მათ სურთ ხაზი გაუსვან როგორც დისკრეტულ, ასევე უწყვეტ პროცესებს. ” Sovetov B. Ya., Yakovlev S.A., სისტემების მოდელირება: პროკ. უნივერსიტეტებისთვის - მე-3 გამოცემა, შესწორებული. და დამატებითი - მ.: უმაღლესი. სკოლა, 2001. - 343გვ. ISBN 5-06-003860-2
12. როგორც წესი, მათემატიკური მოდელი ასახავს მოდელირებული ობიექტის სტრუქტურას (მოწყობილობას), ამ ობიექტის კომპონენტების თვისებებსა და მიმართებებს, რომლებიც აუცილებელია კვლევის მიზნებისათვის; ასეთ მოდელს სტრუქტურული ეწოდება. თუ მოდელი ასახავს მხოლოდ იმას, თუ როგორ ფუნქციონირებს ობიექტი - მაგალითად, როგორ რეაგირებს ის გარე გავლენებზე - მაშინ მას უწოდებენ ფუნქციურ ან, ფიგურალურად, შავ ყუთს. შესაძლებელია კომბინირებული მოდელებიც. მიშკის ა.დ., მათემატიკური მოდელების თეორიის ელემენტები. - მე-3 გამოცემა, რევ. - M.: KomKniga, 2007. - 192 ISBN 978-5-484-00953-4-ით
13. მათემატიკური მოდელის აგების ან შერჩევის აშკარა, მაგრამ ყველაზე მნიშვნელოვანი საწყისი ეტაპი არის მოდელირებული ობიექტის რაც შეიძლება მკაფიო სურათის მიღება და მისი მნიშვნელოვანი მოდელის დახვეწა არაფორმალური დისკუსიების საფუძველზე. ამ ეტაპზე არ უნდა დაზოგოთ დრო და ძალისხმევა, მასზე დიდწილად არის დამოკიდებული მთელი კვლევის წარმატება. არაერთხელ მომხდარა, რომ მათემატიკური ამოცანის ამოხსნაზე დახარჯული მნიშვნელოვანი სამუშაო აღმოჩნდა არაეფექტური ან თუნდაც ფუჭად, ამ მხარისადმი არასაკმარისი ყურადღების გამო“. მიშკის ა.დ., მათემატიკური მოდელების თეორიის ელემენტები. - მე-3 გამოცემა, რევ. - M.: KomKniga, 2007. - 192 ISBN 978-5-484-00953-4, გვ. 35.
14. « სისტემის კონცეპტუალური მოდელის აღწერა.სისტემის მოდელის აგების ამ ქვესაფეხურზე: ა) კონცეპტუალური მოდელი M აღწერილია აბსტრაქტული ტერმინებითა და ცნებებით; ბ) მოდელის აღწერა მოცემულია სტანდარტული მათემატიკური სქემების გამოყენებით; გ) ჰიპოთეზები და ვარაუდები საბოლოოდ მიღებულია; დ) მოდელის აგებისას რეალური პროცესების მიახლოების პროცედურის არჩევა გამართლებულია.“. Sovetov B. Ya., Yakovlev S.A., სისტემების მოდელირება: პროკ. უნივერსიტეტებისთვის - მე-3 გამოცემა, შესწორებული. და დამატებითი - მ.: უმაღლესი. სკოლა, 2001. - 343გვ. ISBN 5-06-003860-2, გვ. 93.
15. ბლეხმან ი.ი., მიშკის ა.დ., პანოვკო ნ.გ., გამოყენებითი მათემატიკა: საგანი, ლოგიკა, მიდგომების თავისებურებები. მაგალითებით მექანიკიდან: სახელმძღვანელო. - მე-3 გამოცემა, რევ. და დამატებითი - M.: URSS, 2006. - 376გვ. ISBN 5-484-00163-3, თავი 2.

ლექცია 1.

მოდელირების მეთოდოლოგიური საფუძვლები

სისტემის მოდელირების პრობლემის ამჟამინდელი მდგომარეობა

მოდელირებისა და სიმულაციის კონცეფციები

მოდელირებაშეიძლება ჩაითვალოს შესასწავლი ობიექტის (ორიგინალის) ჩანაცვლება მისი ჩვეულებრივი გამოსახულებით, აღწერით ან სხვა ობიექტით ე.წ. მოდელიდა ორიგინალთან მიახლოებული ქცევის უზრუნველყოფა გარკვეული ვარაუდებისა და მისაღები შეცდომების ფარგლებში. მოდელირება ჩვეულებრივ ხორციელდება ორიგინალის თვისებების გაგების მიზნით მისი მოდელის შესწავლით და არა თავად ობიექტის. რა თქმა უნდა, მოდელირება გამართლებულია, როცა უფრო მარტივია, ვიდრე თავად ორიგინალის შექმნა, ან როცა რატომღაც ჯობია საერთოდ არ შეიქმნას ორიგინალი.

ქვეშ მოდელიგაგებულია, როგორც ფიზიკური ან აბსტრაქტული ობიექტი, რომლის თვისებები გარკვეულწილად მსგავსია შესასწავლი ობიექტის თვისებებთან.ამ შემთხვევაში მოდელზე მოთხოვნები განისაზღვრება გადაჭრის პრობლემისა და არსებული საშუალებების მიხედვით. მოდელებისთვის არსებობს მთელი რიგი ზოგადი მოთხოვნები:

2) სისრულე – მიმღებს ყველა საჭირო ინფორმაციის მიწოდება

ობიექტის შესახებ;

3) მოქნილობა - ყველაფერში სხვადასხვა სიტუაციის რეპროდუცირების უნარი

პირობებისა და პარამეტრების ცვლილებების დიაპაზონი;

4) განვითარების სირთულე არსებულისთვის მისაღები უნდა იყოს

დრო და პროგრამული უზრუნველყოფა.

მოდელირებაარის ობიექტის მოდელის აგების და მისი თვისებების შესწავლის პროცესი მოდელის შესწავლით.

ამრიგად, მოდელირება მოიცავს 2 ძირითად ეტაპს:

1) მოდელის შემუშავება;

2) მოდელის შესწავლა და დასკვნების გამოტანა.

ამავდროულად, თითოეულ ეტაპზე სხვადასხვა ამოცანები წყდება და

არსებითად განსხვავებული მეთოდები და საშუალებები.

პრაქტიკაში გამოიყენება მოდელირების სხვადასხვა მეთოდი. განხორციელების მეთოდიდან გამომდინარე, ყველა მოდელი შეიძლება დაიყოს ორ დიდ კლასად: ფიზიკური და მათემატიკური.

მათემატიკის მოდელირებაჩვეულებრივ განიხილება, როგორც პროცესების ან ფენომენების შესწავლის საშუალება მათი მათემატიკური მოდელების გამოყენებით.

ქვეშ ფიზიკური მოდელირებაეხება საგნების და ფენომენების შესწავლას ფიზიკურ მოდელებზე, როდესაც შესასწავლი პროცესი რეპროდუცირებულია მისი ფიზიკური ბუნების შენარჩუნებისას ან გამოიყენება სხვა ფიზიკური ფენომენი, როგორც შესწავლილი. სადაც ფიზიკური მოდელებიროგორც წესი, ისინი იღებენ ორიგინალის იმ ფიზიკური თვისებების რეალურ განსახიერებას, რომლებიც მნიშვნელოვანია კონკრეტულ სიტუაციაში, მაგალითად, ახალი თვითმფრინავის დაპროექტებისას იქმნება მაკეტი, რომელსაც აქვს იგივე აეროდინამიკური თვისებები; განვითარების დაგეგმვისას, არქიტექტორები ქმნიან მოდელს, რომელიც ასახავს მისი ელემენტების სივრცით მოწყობას. ამასთან დაკავშირებით ფიზიკურ მოდელირებასაც უწოდებენ პროტოტიპირება.

ნახევარგამოყოფის მოდელირებაარის კონტროლირებადი სისტემების შესწავლა სამოდელო კომპლექსებზე, მოდელში რეალური აღჭურვილობის ჩართვით. რეალურ აღჭურვილობასთან ერთად, დახურული მოდელი მოიცავს ზემოქმედებისა და ჩარევის სიმულატორებს, გარე გარემოს მათემატიკურ მოდელებს და პროცესებს, რომელთა საკმარისად ზუსტი მათემატიკური აღწერა უცნობია. რეალური აღჭურვილობის ან რეალური სისტემების ჩართვა რთული პროცესების მოდელირების წრეში შესაძლებელს ხდის აპრიორი გაურკვევლობის შემცირებას და პროცესების შესწავლას, რომელთა ზუსტი მათემატიკური აღწერა არ არსებობს. ნახევრად ბუნებრივი მოდელირების გამოყენებით, კვლევა ტარდება მცირე დროის მუდმივებისა და რეალური აღჭურვილობის თანდაყოლილი წრფივობების გათვალისწინებით. რეალური აღჭურვილობის გამოყენებით მოდელების შესწავლისას, კონცეფცია გამოიყენება დინამიური სიმულაციართული სისტემებისა და ფენომენების შესწავლისას - ევოლუციური, იმიტაციადა კიბერნეტიკური მოდელირება.

ცხადია, მოდელირების რეალური სარგებლის მიღება შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ დაკმაყოფილებულია ორი პირობა:

1) მოდელი უზრუნველყოფს თვისებების სწორ (ადეკვატურ) ჩვენებას

ორიგინალი, საკვლევი ოპერაციის თვალსაზრისით მნიშვნელოვანი;

2) მოდელი საშუალებას გაძლევთ აღმოფხვრას ზემოთ ჩამოთვლილი თანდაყოლილი პრობლემები

რეალურ ობიექტებზე კვლევის ჩატარება.

2. მათემატიკური მოდელირების ძირითადი ცნებები

მათემატიკური მეთოდების გამოყენებით პრაქტიკული ამოცანების ამოხსნა თანმიმდევრულად ხორციელდება პრობლემის ფორმულირებით (მათემატიკური მოდელის შემუშავებით), მიღებული მათემატიკური მოდელის შესწავლის მეთოდის არჩევით და მიღებული მათემატიკური შედეგის ანალიზით. პრობლემის მათემატიკური ფორმულირება ჩვეულებრივ წარმოდგენილია გეომეტრიული გამოსახულებების, ფუნქციების, განტოლებათა სისტემების სახით და ა.შ. ობიექტის (ფენომენის) აღწერა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს უწყვეტი ან დისკრეტული, დეტერმინისტული ან სტოქასტური და სხვა მათემატიკური ფორმების გამოყენებით.

მათემატიკური მოდელირების თეორიაუზრუნველყოფს გარემომცველ სამყაროში სხვადასხვა ფენომენის წარმოშობის შაბლონების იდენტიფიცირებას ან სისტემებისა და მოწყობილობების ფუნქციონირებას მათი მათემატიკური აღწერისა და მოდელირების საშუალებით სრულმასშტაბიანი ტესტების ჩატარების გარეშე. ამ შემთხვევაში გამოიყენება მათემატიკის დებულებები და კანონები, რომლებიც აღწერს იმიტირებულ მოვლენებს, სისტემებსა თუ მოწყობილობებს მათი იდეალიზაციის გარკვეულ დონეზე.

მათემატიკური მოდელი (MM)არის სისტემის (ან ოპერაციის) ფორმალიზებული აღწერა რომელიმე აბსტრაქტულ ენაზე, მაგალითად, მათემატიკური მიმართებების ნაკრების ან ალგორითმის დიაგრამის სახით, ე.ი. ანუ ისეთი მათემატიკური აღწერა, რომელიც უზრუნველყოფს სისტემების ან მოწყობილობების მუშაობის სიმულაციას საკმარისად ახლოს მათ რეალურ ქცევასთან, რომელიც მიღებულ იქნა სისტემების ან მოწყობილობების სრულმასშტაბიანი ტესტირების დროს.

ნებისმიერი MM აღწერს რეალურ ობიექტს, ფენომენს ან პროცესს რეალობასთან გარკვეული მიახლოებით. MM-ის ტიპი დამოკიდებულია როგორც რეალური ობიექტის ბუნებაზე, ასევე კვლევის მიზნებზე.

მათემატიკის მოდელირებასოციალური, ეკონომიკური, ბიოლოგიური და ფიზიკური ფენომენები, ობიექტები, სისტემები და სხვადასხვა მოწყობილობები არის ბუნების გაგებისა და მრავალფეროვანი სისტემებისა და მოწყობილობების დიზაინის ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი საშუალება. ცნობილია მოდელირების ეფექტური გამოყენების მაგალითები ბირთვული ტექნოლოგიების, საავიაციო და კოსმოსური სისტემების შექმნაში, ატმოსფერული და ოკეანეური მოვლენების პროგნოზირებაში, ამინდის და ა.შ.

თუმცა, მოდელირების ასეთი სერიოზული სფეროები ხშირად მოითხოვს სუპერკომპიუტერებს და მეცნიერთა დიდი გუნდების მრავალწლიან მუშაობას მოდელირებისა და მისი გამართვისთვის მონაცემების მოსამზადებლად. ამასთან, ამ შემთხვევაში, რთული სისტემებისა და მოწყობილობების მათემატიკური მოდელირება არა მხოლოდ დაზოგავს ფულს კვლევასა და ტესტირებაზე, არამედ შეიძლება აღმოფხვრას გარემოსდაცვითი კატასტროფები - მაგალითად, ეს საშუალებას გაძლევთ უარი თქვათ ბირთვული და თერმობირთვული იარაღის ტესტირებაზე მათი მათემატიკური მოდელირების სასარგებლოდ. ან საჰაერო კოსმოსური სისტემების ტესტირება მათ რეალურ ფრენამდე. აქედან გამომდინარე, მათემატიკური მოდელირება უფრო მარტივი ამოცანების გადაჭრის დონეზე, მაგალითად, მექანიკის, ელექტროინჟინერიის, ელექტრონიკის, რადიოინჟინერიის და მეცნიერებისა და ტექნოლოგიების მრავალი სხვა სფეროდან ახლა გახდა. ხელმისაწვდომია თანამედროვე კომპიუტერებზე შესასრულებლად. და განზოგადებული მოდელების გამოყენებისას შესაძლებელი ხდება საკმაოდ რთული სისტემების სიმულაცია, მაგალითად, სატელეკომუნიკაციო სისტემები და ქსელები, რადარი ან რადიო სანავიგაციო სისტემები.

მათემატიკური მოდელირების მიზანიარის რეალური პროცესების (ბუნებაში ან ტექნოლოგიაში) ანალიზი მათემატიკური მეთოდების გამოყენებით. თავის მხრივ, ეს მოითხოვს შესწავლას MM პროცესის ფორმალიზაციას. მოდელი შეიძლება იყოს მათემატიკური გამოხატულება, რომელიც შეიცავს ცვლადებს, რომელთა ქცევა რეალური სისტემის ქცევის მსგავსია. მოდელი შეიძლება შეიცავდეს შემთხვევითობის ელემენტებს, რომლებიც ითვალისწინებს ალბათობას. ორი ან მეტი „მოთამაშის“ შესაძლო მოქმედებები, როგორიცაა, მაგალითად, თეორიულ თამაშებში; ან შეიძლება წარმოადგენდეს ოპერაციული სისტემის ურთიერთდაკავშირებული ნაწილების რეალურ ცვლადებს.

მათემატიკური მოდელირება სისტემების მახასიათებლების შესასწავლად შეიძლება დაიყოს ანალიტიკურ, სიმულაციურ და კომბინირებულად. თავის მხრივ, MM იყოფა სიმულაციური და ანალიტიკური.

ანალიტიკური მოდელირება

ამისთვის ანალიტიკური მოდელირებადამახასიათებელია, რომ სისტემის ფუნქციონირების პროცესები იწერება გარკვეული ფუნქციონალური მიმართებების სახით (ალგებრული, დიფერენციალური, ინტეგრალური განტოლებები). ანალიტიკური მოდელის შესწავლა შესაძლებელია შემდეგი მეთოდების გამოყენებით:

1) ანალიტიკური, როდესაც ისინი ცდილობენ მიიღონ, ზოგადი ფორმით, აშკარა დამოკიდებულებები სისტემების მახასიათებლებისთვის;

2) რიცხვითი, როდესაც შეუძლებელია განტოლებების ამოხსნის პოვნა ზოგადი ფორმით და ისინი ამოხსნილია კონკრეტული საწყისი მონაცემებისთვის;

3) ხარისხობრივი, როდესაც ხსნარის არარსებობის შემთხვევაში აღმოჩენილია მისი ზოგიერთი თვისება.

ანალიტიკური მოდელების მიღება შესაძლებელია მხოლოდ შედარებით მარტივი სისტემებისთვის. რთული სისტემებისთვის ხშირად წარმოიქმნება დიდი მათემატიკური პრობლემები. ანალიტიკური მეთოდის გამოსაყენებლად ისინი მიდიან ორიგინალური მოდელის მნიშვნელოვან გამარტივებამდე. თუმცა, გამარტივებული მოდელის გამოყენებით კვლევა ხელს უწყობს მხოლოდ ინდიკატური შედეგების მიღებას. ანალიტიკური მოდელები მათემატიკურად სწორად ასახავს ურთიერთობას შეყვანის და გამომავალი ცვლადებსა და პარამეტრებს შორის. მაგრამ მათი სტრუქტურა არ ასახავს ობიექტის შიდა სტრუქტურას.

ანალიტიკური მოდელირების დროს მისი შედეგები წარმოდგენილია ანალიტიკური გამონათქვამების სახით. მაგალითად, შეერთებით რ.- წრე მუდმივი ძაბვის წყაროსთან ე(რ, Cდა ე- ამ მოდელის კომპონენტები), ჩვენ შეგვიძლია შევქმნათ ანალიტიკური გამოხატულება ძაბვის დროზე დამოკიდებულებისთვის u(ტ) კონდენსატორზე C:

ეს წრფივი დიფერენციალური განტოლება (DE) არის ამ მარტივი წრფივი წრედის ანალიტიკური მოდელი. მისი ანალიზური ხსნარი, საწყის პირობებში u(0) = 0, რაც ნიშნავს განმუხტულ კონდენსატორს Cმოდელირების დასაწყისში, საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ სასურველი დამოკიდებულება - ფორმულის სახით:

u(ტ) = ე(1− ყოფილიგვ(- ტ/RC)). (2)

თუმცა, ამ უმარტივეს მაგალითშიც კი, საჭიროა გარკვეული ძალისხმევა DE (1) გადასაჭრელად ან გამოსაყენებლად კომპიუტერული მათემატიკის სისტემები(SCM) სიმბოლური გამოთვლებით – კომპიუტერული ალგებრული სისტემები. ამ სრულიად ტრივიალური შემთხვევისთვის, ხაზოვანი მოდელის პრობლემის გადაჭრა რ.- ჩართვა იძლევა საკმაოდ ზოგადი ფორმის ანალიტიკურ გამოხატულებას (2) - ის შესაფერისია მიკროსქემის მუშაობის აღსაწერად ნებისმიერი კომპონენტის რეიტინგისთვის. რ, Cდა ედა აღწერს კონდენსატორის ექსპონენციალურ მუხტს Cრეზისტორის მეშვეობით რმუდმივი ძაბვის წყაროდან ე.

რა თქმა უნდა, ანალიზური მოდელირების დროს ანალიტიკური გადაწყვეტილებების პოვნა ძალზე ღირებული აღმოჩნდება მარტივი ხაზოვანი სქემების, სისტემებისა და მოწყობილობების ზოგადი თეორიული შაბლონების იდენტიფიცირებისთვის, თუმცა, მისი სირთულე მკვეთრად იზრდება, როდესაც მოდელზე ზემოქმედება უფრო რთული ხდება და რიგი და რაოდენობა. სახელმწიფო განტოლებები, რომლებიც აღწერს მოდელირებულ ობიექტს, იზრდება. თქვენ შეგიძლიათ მიიღოთ მეტ-ნაკლებად თვალსაჩინო შედეგები მეორე ან მესამე რიგის ობიექტების მოდელირებისას, მაგრამ უფრო მაღალი რიგის შემთხვევაში, ანალიტიკური გამონათქვამები ხდება ზედმეტად შრომატევადი, რთული და ძნელად აღსაქმელი. მაგალითად, თუნდაც მარტივი ელექტრონული გამაძლიერებელი ხშირად შეიცავს ათეულ კომპონენტს. თუმცა, ბევრი თანამედროვე SCM, მაგალითად, სიმბოლური მათემატიკის სისტემები ნეკერჩხალი, მათემატიკაან გარემო MATLAB, შეუძლიათ დიდწილად ავტომატიზირება მოახდინონ რთული ანალიტიკური მოდელირების პრობლემების გადაწყვეტაზე.

მოდელირების ერთ-ერთი სახეობაა რიცხვითი მოდელირება,რომელიც შედგება სისტემების ან მოწყობილობების ქცევის შესახებ საჭირო რაოდენობრივი მონაცემების მიღებაში ნებისმიერი შესაფერისი რიცხვითი მეთოდით, როგორიცაა Euler ან Runge-Kutta მეთოდები. პრაქტიკაში, რიცხვითი მეთოდების გამოყენებით არაწრფივი სისტემებისა და მოწყობილობების მოდელირება ბევრად უფრო ეფექტურია, ვიდრე ინდივიდუალური კერძო ხაზოვანი სქემების, სისტემების ან მოწყობილობების ანალიტიკური მოდელირება. მაგალითად, DE (1) ან DE სისტემების გადასაჭრელად უფრო რთულ შემთხვევებში, ამონახსნის ანალიტიკური ფორმით ვერ მიიღება, მაგრამ რიცხვითი სიმულაციური მონაცემების გამოყენებით, შეგიძლიათ მიიღოთ საკმაოდ სრული მონაცემები სიმულირებული სისტემებისა და მოწყობილობების ქცევაზე, ასევე. როგორც ამ ქცევის აღწერის დამოკიდებულებების გრაფიკების კონსტრუქცია.

სიმულაციური მოდელირება

ზე იმიტაცია 10 და მოდელირება, ალგორითმი, რომელიც ახორციელებს მოდელს, რეპროდუცირებს სისტემის ფუნქციონირების პროცესს დროთა განმავლობაში. პროცესის შემადგენელი ელემენტარული ფენომენები სიმულირებულია, დროთა განმავლობაში ინარჩუნებს მათ ლოგიკურ სტრუქტურას და მოვლენათა თანმიმდევრობას.

სიმულაციური მოდელების მთავარი უპირატესობა ანალიტიკურთან შედარებით არის უფრო რთული პრობლემების გადაჭრის უნარი.

სიმულაციური მოდელები აადვილებს დისკრეტული ან უწყვეტი ელემენტების, არაწრფივი მახასიათებლების, შემთხვევითი ზემოქმედების და ა.შ. არსებობის გათვალისწინებას. ამიტომ, ეს მეთოდი ფართოდ გამოიყენება რთული სისტემების დიზაინის ეტაპზე. სიმულაციური მოდელირების განხორციელების მთავარი საშუალებაა კომპიუტერი, რომელიც იძლევა სისტემებისა და სიგნალების ციფრული მოდელირების საშუალებას.

ამასთან დაკავშირებით განვსაზღვროთ ფრაზა „ კომპიუტერული მოდელირება”, რომელიც სულ უფრო ხშირად გამოიყენება ლიტერატურაში. დავუშვათ, რომ კომპიუტერული მოდელირებაარის მათემატიკური მოდელირება კომპიუტერული ტექნოლოგიების გამოყენებით. შესაბამისად, კომპიუტერული მოდელირების ტექნოლოგია მოიცავს შემდეგი მოქმედებების შესრულებას:

1) მოდელირების მიზნის განსაზღვრა;

2) კონცეპტუალური მოდელის შემუშავება;

3) მოდელის ფორმალიზაცია;

4) მოდელის პროგრამული დანერგვა;

5) სამოდელო ექსპერიმენტების დაგეგმვა;

6) ექსპერიმენტული გეგმის განხორციელება;

7) მოდელირების შედეგების ანალიზი და ინტერპრეტაცია.

ზე სიმულაციური მოდელირებაგამოყენებული MM ასახავს დროთა განმავლობაში შესწავლილი სისტემის ფუნქციონირების ალგორითმს ("ლოგიკა") სისტემის პარამეტრების მნიშვნელობებისა და გარე გარემოს სხვადასხვა კომბინაციისთვის.

უმარტივესი ანალიტიკური მოდელის მაგალითია მართკუთხა ერთიანი მოძრაობის განტოლება. სიმულაციური მოდელის გამოყენებით ასეთი პროცესის შესწავლისას უნდა განხორციელდეს დროში გავლილი გზაზე ცვლილებების დაკვირვება, ცხადია, ზოგ შემთხვევაში უფრო სასურველია ანალიტიკური მოდელირება, ზოგ შემთხვევაში – სიმულაცია (ან ორივეს კომბინაცია). წარმატებული არჩევანის გასაკეთებლად, თქვენ უნდა უპასუხოთ ორ კითხვას.

რა არის მოდელირების მიზანი?

რა კლასში შეიძლება იყოს მოდელირებული ფენომენი?

ორივე ამ კითხვაზე პასუხის მიღება შესაძლებელია მოდელირების პირველი ორი ეტაპის განმავლობაში.

სიმულაციური მოდელები არა მხოლოდ თვისებებით, არამედ სტრუქტურაშიც შეესაბამება მოდელირებულ ობიექტს. ამ შემთხვევაში, არსებობს ცალსახა და აშკარა შესაბამისობა მოდელზე მიღებულ პროცესებსა და ობიექტზე მიმდინარე პროცესებს შორის. სიმულაციის მინუსი არის ის, რომ პრობლემის გადაჭრას დიდი დრო სჭირდება კარგი სიზუსტის მისაღებად.

სტოქასტური სისტემის მოქმედების სიმულაციური მოდელირების შედეგები არის შემთხვევითი ცვლადების ან პროცესების რეალიზაცია. ამიტომ, სისტემის მახასიათებლების საპოვნელად საჭიროა მრავალჯერადი გამეორება და შემდგომი მონაცემთა დამუშავება. ყველაზე ხშირად ამ შემთხვევაში გამოიყენება სიმულაციის ტიპი - სტატისტიკური

მოდელირება(ან მონტე კარლოს მეთოდი), ე.ი. შემთხვევითი ფაქტორების, მოვლენების, რაოდენობების, პროცესების, ველების რეპროდუქცია მოდელებში.

სტატისტიკური მოდელირების შედეგების საფუძველზე განისაზღვრება მართული სისტემის ფუნქციონირებისა და ეფექტურობის დამახასიათებელი ალბათური ხარისხის კრიტერიუმების შეფასება, ზოგადი და კონკრეტული. სტატისტიკური მოდელირება ფართოდ გამოიყენება მეცნიერებისა და ტექნოლოგიების სხვადასხვა დარგში მეცნიერული და გამოყენებითი პრობლემების გადასაჭრელად. სტატისტიკური მოდელირების მეთოდები ფართოდ გამოიყენება რთული დინამიური სისტემების შესწავლისას, მათი ფუნქციონირებისა და ეფექტურობის შესაფასებლად.

სტატისტიკური მოდელირების დასკვნითი ეტაპი ეფუძნება მიღებული შედეგების მათემატიკურ დამუშავებას. აქ გამოყენებულია მათემატიკური სტატისტიკის მეთოდები (პარამეტრული და არაპარამეტრული შეფასება, ჰიპოთეზის ტესტირება). პარამეტრული შემფასებელის მაგალითია შესრულების საზომის სანიმუშო საშუალო. არაპარამეტრულ მეთოდებს შორის ფართოდ არის გავრცელებული ჰისტოგრამის მეთოდი.

განხილული სქემა ეფუძნება სისტემის განმეორებით სტატისტიკურ ტესტებს და დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადების სტატისტიკის მეთოდებს, ეს სქემა ყოველთვის არ არის ბუნებრივი პრაქტიკაში და ოპტიმალური ხარჯების თვალსაზრისით. სისტემის ტესტირების დროის შემცირება მიიღწევა უფრო ზუსტი შეფასების მეთოდების გამოყენებით. როგორც ცნობილია მათემატიკური სტატისტიკიდან, ეფექტურ შეფასებებს აქვთ ყველაზე დიდი სიზუსტე მოცემული ნიმუშის ზომაზე. ოპტიმალური გაფილტვრა და მაქსიმალური ალბათობის მეთოდი იძლევა ზოგად მეთოდს ასეთი შეფასებების მისაღებად, სტატისტიკური მოდელირების ამოცანებში შემთხვევითი პროცესების დამუშავების განხორციელება აუცილებელია არა მხოლოდ გამომავალი პროცესების ანალიზისთვის.

შეყვანის შემთხვევითი გავლენის მახასიათებლების კონტროლი ასევე ძალიან მნიშვნელოვანია. კონტროლი შედგება გენერირებული პროცესების განაწილების მოცემულ დისტრიბუციებთან შესაბამისობის შემოწმებაზე. ეს პრობლემა ხშირად ჩამოყალიბებულია როგორც ჰიპოთეზის ტესტირების პრობლემა.

რთული კონტროლირებადი სისტემების კომპიუტერული მოდელირების ზოგადი ტენდენციაა მოდელირების დროის შემცირების სურვილი, ასევე კვლევის ჩატარება რეალურ დროში. მოსახერხებელია გამოთვლითი ალგორითმების წარმოდგენა განმეორებადი ფორმით, რაც საშუალებას იძლევა მათი განხორციელება მიმდინარე ინფორმაციის მიღების სიჩქარით.

სისტემური მიდგომის პრინციპები მოდელირებაში

სისტემების თეორიის ძირითადი პრინციპები

სისტემების თეორიის ძირითადი პრინციპები წარმოიშვა დინამიური სისტემებისა და მათი ფუნქციური ელემენტების შესწავლისას. სისტემა გაგებულია, როგორც ურთიერთდაკავშირებული ელემენტების ჯგუფი, რომლებიც ერთად მოქმედებენ წინასწარ განსაზღვრული ამოცანის შესასრულებლად. სისტემების ანალიზი საშუალებას გვაძლევს განვსაზღვროთ მოცემული ამოცანის შესრულების ყველაზე რეალისტური გზები, რაც უზრუნველყოფს მითითებული მოთხოვნების მაქსიმალურ დაკმაყოფილებას.

ელემენტები, რომლებიც ქმნიან სისტემების თეორიის საფუძველს, არ იქმნება ჰიპოთეზებით, არამედ აღმოჩენილია ექსპერიმენტულად. სისტემის აშენების დასაწყებად აუცილებელია ტექნოლოგიური პროცესების ზოგადი მახასიათებლები. იგივე ეხება მათემატიკურად ჩამოყალიბებული კრიტერიუმების შექმნის პრინციპებს, რომლებსაც პროცესი ან მისი თეორიული აღწერა უნდა აკმაყოფილებდეს. მოდელირება სამეცნიერო კვლევისა და ექსპერიმენტების ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი მეთოდია.

ობიექტების მოდელების აგებისას გამოიყენება სისტემური მიდგომა, რომელიც წარმოადგენს კომპლექსური პრობლემების გადაჭრის მეთოდოლოგიას, რომელიც ემყარება ობიექტის გარკვეულ გარემოში მოქმედ სისტემად განხილვას. სისტემური მიდგომა გულისხმობს ობიექტის მთლიანობის გამოვლენას, მისი შიდა სტრუქტურის იდენტიფიცირებას და შესწავლას, ასევე გარე გარემოსთან კავშირებს. ამ შემთხვევაში ობიექტი წარმოდგენილია როგორც რეალური სამყაროს ნაწილი, რომელიც იზოლირებული და შესწავლილია მოდელის აგების პრობლემასთან დაკავშირებით. გარდა ამისა, სისტემური მიდგომა გულისხმობს თანმიმდევრულ გადასვლას ზოგადიდან კონკრეტულზე, როდესაც დიზაინის მიზანი განხილვის საფუძველია, ხოლო ობიექტი განიხილება გარემოსთან მიმართებაში.

რთული ობიექტი შეიძლება დაიყოს ქვესისტემებად, რომლებიც წარმოადგენს ობიექტის ნაწილებს, რომლებიც აკმაყოფილებენ შემდეგ მოთხოვნებს:

1) ქვესისტემა არის ობიექტის ფუნქციურად დამოუკიდებელი ნაწილი. იგი დაკავშირებულია სხვა ქვესისტემებთან, მათთან ცვლის ინფორმაციას და ენერგიას;

2) თითოეული ქვესისტემისთვის შეიძლება განისაზღვროს ფუნქციები ან თვისებები, რომლებიც არ ემთხვევა მთელი სისტემის თვისებებს;

3) თითოეული ქვესისტემა შეიძლება დაექვემდებაროს შემდგომ დაყოფას ელემენტების დონეზე.

ამ შემთხვევაში, ელემენტი გაგებულია, როგორც ქვედა დონის ქვესისტემა, რომლის შემდგომი დაყოფა შეუსაბამოა მოგვარებული პრობლემის თვალსაზრისით.

ამრიგად, სისტემა შეიძლება განისაზღვროს, როგორც ობიექტის წარმოდგენა ქვესისტემების, ელემენტებისა და კავშირების ნაკრების სახით მისი შექმნის, კვლევის ან გაუმჯობესების მიზნით. ამ შემთხვევაში, სისტემის გაფართოებულ წარმოდგენას, მათ შორის ძირითად ქვესისტემებსა და მათ შორის კავშირებს, ეწოდება მაკროსტრუქტურა, ხოლო სისტემის შიდა სტრუქტურის დეტალურ გამოვლენას ელემენტების დონეზე ეწოდება მიკროსტრუქტურა.

სისტემასთან ერთად, როგორც წესი, არსებობს სუპერსისტემა – უმაღლესი დონის სისტემა, რომელიც მოიცავს განსახილველ ობიექტს და ნებისმიერი სისტემის ფუნქციის დადგენა შესაძლებელია მხოლოდ სუპერსისტემის მეშვეობით.

აუცილებელია ხაზგასმით აღვნიშნოთ გარემოს კონცეფცია, როგორც გარე სამყაროს ობიექტების ერთობლიობა, რომლებიც მნიშვნელოვან გავლენას ახდენენ სისტემის ეფექტურობაზე, მაგრამ არ არიან სისტემის და მისი სუპერსისტემის ნაწილი.

შენობის მოდელების სისტემურ მიდგომასთან დაკავშირებით გამოიყენება ინფრასტრუქტურის ცნება, რომელიც აღწერს სისტემის ურთიერთობას მის გარემოსთან (გარემოსთან) ამ შემთხვევაში ობიექტის არსებითი თვისებების იდენტიფიცირება, აღწერა და შესწავლა. კონკრეტული ამოცანის ფარგლებში ეწოდება ობიექტის სტრატიფიკაცია, ხოლო ობიექტის ნებისმიერი მოდელი არის მისი სტრატიფიცირებული აღწერა.

სისტემური მიდგომისთვის მნიშვნელოვანია სისტემის სტრუქტურის განსაზღვრა, ე.ი. სისტემის ელემენტებს შორის კავშირების ნაკრები, რომელიც ასახავს მათ ურთიერთქმედებას. ამისათვის ჩვენ პირველ რიგში განვიხილავთ მოდელირების სტრუქტურულ და ფუნქციურ მიდგომებს.

სტრუქტურული მიდგომით ვლინდება სისტემის შერჩეული ელემენტების შემადგენლობა და მათ შორის კავშირები. ელემენტებისა და კავშირების ნაკრები საშუალებას გვაძლევს ვიმსჯელოთ სისტემის სტრუქტურაზე. სტრუქტურის ყველაზე ზოგადი აღწერა არის ტოპოლოგიური აღწერა. ეს საშუალებას გაძლევთ განსაზღვროთ სისტემის კომპონენტები და მათი კავშირები გრაფიკების გამოყენებით. ნაკლებად ზოგადია ფუნქციური აღწერა, როდესაც განიხილება ცალკეული ფუნქციები, ანუ სისტემის ქცევის ალგორითმები. ამ შემთხვევაში დანერგილია ფუნქციური მიდგომა, რომელიც განსაზღვრავს იმ ფუნქციებს, რომლებსაც სისტემა ასრულებს.

სისტემური მიდგომიდან გამომდინარე, შეიძლება შემოგვთავაზოს მოდელის შემუშავების თანმიმდევრობა, როდესაც გამოიყოფა დიზაინის ორი ძირითადი ეტაპი: მაკროდიზაინი და მიკროდიზაინი.

მაკროდიზაინის ეტაპზე აგებულია გარე გარემოს მოდელი, იდენტიფიცირებულია რესურსები და შეზღუდვები, შეირჩევა სისტემის მოდელი და კრიტერიუმები ადეკვატურობის შესაფასებლად.

მიკროდიზაინის ეტაპი დიდწილად დამოკიდებულია არჩეული მოდელის კონკრეტულ ტიპზე. ზოგადად, ის გულისხმობს ინფორმაციის, მათემატიკური, ტექნიკური და პროგრამული მოდელირების სისტემების შექმნას. ამ ეტაპზე დგინდება შექმნილი მოდელის ძირითადი ტექნიკური მახასიათებლები, ფასდება მასთან მუშაობისთვის საჭირო დრო და რესურსების ღირებულება მოდელის მითითებული ხარისხის მისაღებად.

მოდელის ტიპის მიუხედავად, მისი აგებისას აუცილებელია იხელმძღვანელოთ სისტემატური მიდგომის მთელი რიგი პრინციპებით:

1) თანმიმდევრული პროგრესი მოდელის შექმნის ეტაპებზე;

2) ინფორმაციის, რესურსის, სანდოობის და სხვა მახასიათებლების კოორდინაცია;

3) მოდელის კონსტრუქციის სხვადასხვა დონეებს შორის სწორი ურთიერთობა;

4) მოდელის დიზაინის ცალკეული ეტაპების მთლიანობა.

ამ სტატიაში გთავაზობთ მათემატიკური მოდელების მაგალითებს. გარდა ამისა, ყურადღებას გავამახვილებთ მოდელების შექმნის ეტაპებზე და გავაანალიზებთ მათემატიკურ მოდელირებასთან დაკავშირებულ ზოგიერთ პრობლემას.

კიდევ ერთი კითხვა, რაც გვაქვს, არის მათემატიკური მოდელები ეკონომიკაში, რომლის მაგალითებს განვიხილავთ განმარტებას ცოტა მოგვიანებით. ჩვენ ვთავაზობთ, რომ დავიწყოთ ჩვენი საუბარი თავად "მოდელის" კონცეფციით, მოკლედ განვიხილოთ მათი კლასიფიკაცია და გადავიდეთ ჩვენს მთავარ კითხვებზე.

"მოდელის" კონცეფცია

ხშირად გვესმის სიტყვა "მოდელი". Რა არის ეს? ამ ტერმინს აქვს მრავალი განმარტება, აქ არის მხოლოდ სამი მათგანი:

• კონკრეტული ობიექტი, რომელიც შექმნილია ინფორმაციის მისაღებად და შესანახად, რომელიც ასახავს ამ ობიექტის ორიგინალის ზოგიერთ თვისებას ან მახასიათებელს და ა.შ.
• მოდელი ასევე ნიშნავს კონკრეტული სიტუაციის, ცხოვრების ან მენეჯმენტის წარმოდგენას;
• მოდელი შეიძლება იყოს ობიექტის შემცირებული ასლი (ისინი იქმნება უფრო დეტალური შესწავლისა და ანალიზისთვის, რადგან მოდელი ასახავს სტრუქტურას და ურთიერთობებს).

ყველაფერზე დაყრდნობით, რაც ადრე ითქვა, შეგვიძლია გამოვიტანოთ მცირე დასკვნა: მოდელი საშუალებას გაძლევთ დეტალურად შეისწავლოთ რთული სისტემა ან ობიექტი.

ყველა მოდელი შეიძლება დაიყოს რამდენიმე მახასიათებლის მიხედვით:

• გამოყენების სფეროს მიხედვით (საგანმანათლებლო, ექსპერიმენტული, სამეცნიერო და ტექნიკური, სათამაშო, სიმულაცია);
• დინამიკის მიხედვით (სტატიკური და დინამიკური);
• ცოდნის დარგის მიხედვით (ფიზიკური, ქიმიური, გეოგრაფიული, ისტორიული, სოციოლოგიური, ეკონომიკური, მათემატიკური);
• პრეზენტაციის მეთოდით (მატერიალური და საინფორმაციო).

ინფორმაციის მოდელები, თავის მხრივ, იყოფა სიმბოლურ და სიტყვიერად. სიმბოლური კი - კომპიუტერულ და არაკომპიუტერულში. ახლა მოდით გადავიდეთ მათემატიკური მოდელის მაგალითების დეტალურ განხილვაზე.

მათემატიკური მოდელი

როგორც თქვენ ალბათ მიხვდებით, მათემატიკური მოდელი ასახავს ობიექტის ან ფენომენის ნებისმიერ მახასიათებელს სპეციალური მათემატიკური სიმბოლოების გამოყენებით. მათემატიკა საჭიროა იმისთვის, რომ მიმდებარე სამყაროს ნიმუშები მის კონკრეტულ ენაზე მოდელირდეს.

მათემატიკური მოდელირების მეთოდი წარმოიშვა საკმაოდ დიდი ხნის წინ, ათასობით წლის წინ, ამ მეცნიერების გაჩენასთან ერთად. თუმცა ამ მოდელირების მეთოდის შემუშავებას ბიძგი მისცა კომპიუტერების (ელექტრონული კომპიუტერების) გაჩენამ.

ახლა გადავიდეთ კლასიფიკაციაზე. ის ასევე შეიძლება განხორციელდეს გარკვეული ნიშნების მიხედვით. ისინი წარმოდგენილია ქვემოთ მოცემულ ცხრილში.

ჩვენ ვთავაზობთ შეჩერებას და ყურადღებით დავაკვირდეთ უახლეს კლასიფიკაციას, რადგან ის ასახავს მოდელირების ზოგად შაბლონებს და შექმნილი მოდელების მიზნებს.

აღწერითი მოდელები

ამ თავში ჩვენ ვთავაზობთ უფრო დეტალურად ვისაუბროთ აღწერილობით მათემატიკურ მოდელებზე. ყველაფერი ძალიან გასაგებად რომ იყოს, მოყვანილი იქნება მაგალითი.

დავიწყოთ იმით, რომ ამ ტიპს შეიძლება ეწოდოს აღწერილობა. ეს გამოწვეულია იმით, რომ ჩვენ უბრალოდ ვაკეთებთ გამოთვლებს და პროგნოზებს, მაგრამ ვერანაირად ვერ ვიმოქმედებთ მოვლენის შედეგზე.

აღწერილობითი მათემატიკური მოდელის თვალსაჩინო მაგალითია ფრენის ბილიკის, სიჩქარისა და დედამიწიდან მანძილის გაანგარიშება იმ კომეტის, რომელიც შემოიჭრა ჩვენი მზის სისტემის სივრცეში. ეს მოდელი აღწერითი ხასიათისაა, ვინაიდან მიღებული ყველა შედეგი მხოლოდ რაიმე საფრთხის შესახებ გვაფრთხილებს. სამწუხაროდ, ღონისძიების შედეგზე გავლენას ვერ მოვახდენთ. თუმცა, მიღებული გათვლებიდან გამომდინარე, შესაძლებელია ნებისმიერი ზომის მიღება დედამიწაზე სიცოცხლის შესანარჩუნებლად.

ოპტიმიზაციის მოდელები

ახლა ცოტათი ვისაუბრებთ ეკონომიკურ და მათემატიკურ მოდელებზე, რომელთა მაგალითები შეიძლება იყოს სხვადასხვა მიმდინარე სიტუაციები. ამ შემთხვევაში, ჩვენ ვსაუბრობთ მოდელებზე, რომლებიც გარკვეულ პირობებში დაგეხმარებათ სწორი პასუხის პოვნაში. მათ ნამდვილად აქვთ გარკვეული პარამეტრები. სრულყოფილად გასაგებად, მოდით შევხედოთ მაგალითს სოფლის მეურნეობის სექტორიდან.

ჩვენ გვაქვს მარცვალი, მაგრამ მარცვალი ძალიან სწრაფად ფუჭდება. ამ შემთხვევაში ჩვენ უნდა ავირჩიოთ სწორი ტემპერატურული პირობები და მოვახდინოთ შენახვის პროცესის ოპტიმიზაცია.

ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია განვსაზღვროთ "ოპტიმიზაციის მოდელის" კონცეფცია. მათემატიკური თვალსაზრისით, ეს არის განტოლებათა სისტემა (როგორც წრფივი, ასევე არა), რომლის ამოხსნა გვეხმარება კონკრეტულ ეკონომიკურ სიტუაციაში ოპტიმალური ამოხსნის პოვნაში. ჩვენ გადავხედეთ მათემატიკური მოდელის მაგალითს (ოპტიმიზაცია), მაგრამ მე მინდა დავამატო: ეს ტიპი მიეკუთვნება ექსტრემალური ამოცანების კლასს, ისინი ხელს უწყობენ ეკონომიკური სისტემის ფუნქციონირების აღწერას.

მოდით აღვნიშნოთ კიდევ ერთი ნიუანსი: მოდელები შეიძლება იყოს განსხვავებული ხასიათის (იხ. ცხრილი ქვემოთ).

მრავალკრიტერიუმიანი მოდელები

ახლა გეპატიჟებით ცოტა ვისაუბროთ მულტიკრიტერიუმების ოპტიმიზაციის მათემატიკურ მოდელზე. მანამდე ჩვენ მივეცით მათემატიკური მოდელის მაგალითი რომელიმე ერთი კრიტერიუმის მიხედვით პროცესის ოპტიმიზაციისთვის, მაგრამ რა მოხდება, თუ ბევრი მათგანია?

მრავალკრიტერიუმიანი ამოცანის თვალსაჩინო მაგალითია ადამიანთა დიდი ჯგუფებისთვის სათანადო, ჯანსაღი და ამავე დროს ეკონომიური კვების ორგანიზება. ასეთი ამოცანები ხშირად გვხვდება ჯარში, სკოლის სასადილოებში, საზაფხულო ბანაკებში, საავადმყოფოებში და ა.შ.

რა კრიტერიუმები გვაძლევს ამ ამოცანას?

1. კვება უნდა იყოს ჯანსაღი.
2. საკვების ხარჯები მინიმალური უნდა იყოს.

როგორც ხედავთ, ეს მიზნები საერთოდ არ ემთხვევა ერთმანეთს. ეს ნიშნავს, რომ პრობლემის გადაჭრისას საჭიროა მოძებნოთ ოპტიმალური გადაწყვეტა, ბალანსი ორ კრიტერიუმს შორის.

თამაშის მოდელები

თამაშის მოდელებზე საუბრისას აუცილებელია „თამაშის თეორიის“ კონცეფციის გაგება. მარტივად რომ ვთქვათ, ეს მოდელები ასახავს რეალური კონფლიქტების მათემატიკურ მოდელებს. თქვენ უბრალოდ უნდა გესმოდეთ, რომ რეალური კონფლიქტისგან განსხვავებით, თამაშის მათემატიკურ მოდელს აქვს საკუთარი სპეციფიკური წესები.

ახლა ჩვენ მოგაწვდით მინიმალურ ინფორმაციას თამაშის თეორიიდან, რომელიც დაგეხმარებათ გაიგოთ რა არის თამაშის მოდელი. ასე რომ, მოდელი აუცილებლად შეიცავს წვეულებებს (ორი ან მეტი), რომლებსაც ჩვეულებრივ მოთამაშეებს უწოდებენ.

ყველა მოდელს აქვს გარკვეული მახასიათებლები.

თამაშის მოდელი შეიძლება იყოს დაწყვილებული ან მრავალჯერადი. თუ გვაქვს ორი სუბიექტი, მაშინ კონფლიქტი დაწყვილებულია, თუ მეტია, მრავალჯერადი. თქვენ ასევე შეგიძლიათ განასხვავოთ ანტაგონისტური თამაში, მას ასევე უწოდებენ ნულოვანი ჯამის თამაშს. ეს არის მოდელი, რომელშიც ერთ-ერთი მონაწილის მოგება უდრის მეორის დანაკარგს.

სიმულაციური მოდელები

ამ განყოფილებაში ყურადღებას მივაქცევთ სიმულაციური მათემატიკურ მოდელებს. დავალებების მაგალითები მოიცავს:

• მიკროორგანიზმების პოპულაციის დინამიკის მოდელი;
• მოლეკულური მოძრაობის მოდელი და ა.შ.

ამ შემთხვევაში საუბარია რეალურ პროცესებთან მაქსიმალურად მიახლოებულ მოდელებზე. ზოგადად, ისინი ბაძავენ ბუნებაში რაიმე გამოვლინებას. პირველ შემთხვევაში, მაგალითად, შეგვიძლია ერთ კოლონიაში ჭიანჭველების რაოდენობის დინამიკის სიმულაცია. ამავდროულად, შეგიძლიათ დააკვირდეთ თითოეული ინდივიდის ბედს. ამ შემთხვევაში, მათემატიკური აღწერილობა იშვიათად გამოიყენება; წერილობითი პირობები უფრო ხშირად გვხვდება:

• ხუთი დღის შემდეგ ქალი დებს კვერცხებს;
• ოცი დღის შემდეგ ჭიანჭველა კვდება და ა.შ.

ამრიგად, ისინი გამოიყენება დიდი სისტემის აღსაწერად. მათემატიკური დასკვნა არის მიღებული სტატისტიკური მონაცემების დამუშავება.

მოთხოვნები

ძალიან მნიშვნელოვანია იცოდეთ, რომ ამ ტიპის მოდელს აქვს გარკვეული მოთხოვნები, მათ შორის ქვემოთ მოცემულ ცხრილში.

მოდელირების ეტაპები

საერთო ჯამში, მათემატიკური მოდელირება ჩვეულებრივ იყოფა ოთხ ეტაპად.

1. მოდელის ნაწილების დამაკავშირებელი კანონების ფორმულირება.
2. მათემატიკური ამოცანების შესწავლა.
3. პრაქტიკული და თეორიული შედეგების დამთხვევის დადგენა.
4. მოდელის ანალიზი და მოდერნიზაცია.

ეკონომიკური და მათემატიკური მოდელი

ამ განყოფილებაში ჩვენ მოკლედ გამოვყოფთ საკითხს. ამოცანების მაგალითები მოიცავს:

• ხორცპროდუქტების წარმოების საწარმოო პროგრამის ფორმირება, რომელიც უზრუნველყოფს წარმოების მაქსიმალურ მოგებას;
• ორგანიზაციის მოგების მაქსიმიზაცია ავეჯის ქარხანაში წარმოებული მაგიდების და სკამების ოპტიმალური რაოდენობის გაანგარიშებით და ა.შ.

ეკონომიკურ-მათემატიკური მოდელი აჩვენებს ეკონომიკურ აბსტრაქციას, რომელიც გამოიხატება მათემატიკური ტერმინებისა და სიმბოლოების გამოყენებით.

კომპიუტერული მათემატიკური მოდელი

კომპიუტერული მათემატიკური მოდელის მაგალითებია:

• ჰიდრავლიკური პრობლემები დიაგრამების, დიაგრამების, ცხრილების და ა.შ. გამოყენებით;
• პრობლემები მყარი მექანიკის შესახებ და ა.შ.

კომპიუტერული მოდელი არის ობიექტის ან სისტემის გამოსახულება, წარმოდგენილი სახით:

• მაგიდები;
• ბლოკ-სქემები;
• დიაგრამები;
• გრაფიკა და ა.შ.

უფრო მეტიც, ეს მოდელი ასახავს სისტემის სტრუქტურას და ურთიერთკავშირებს.

ეკონომიკური და მათემატიკური მოდელის აგება

რა არის ეკონომიკურ-მათემატიკური მოდელი, უკვე ვისაუბრეთ. პრობლემის მოგვარების მაგალითი ახლავე განიხილება. ჩვენ უნდა გავაანალიზოთ საწარმოო პროგრამა, რათა დავადგინოთ რეზერვი მოგების გაზრდისთვის ასორტიმენტის ცვლასთან ერთად.

ჩვენ ბოლომდე არ განვიხილავთ პრობლემას, არამედ ავაშენებთ მხოლოდ ეკონომიკურ და მათემატიკურ მოდელს. ჩვენი ამოცანის კრიტერიუმია მოგების მაქსიმიზაცია. მაშინ ფუნქციას აქვს ფორმა: А=р1*х1+р2*х2..., მიდრეკილია მაქსიმუმზე. ამ მოდელში p არის მოგება ერთეულზე და x არის წარმოებული ერთეულების რაოდენობა. შემდეგ, აგებული მოდელის საფუძველზე, აუცილებელია გამოთვლების გაკეთება და შეჯამება.

მარტივი მათემატიკური მოდელის აგების მაგალითი

დავალება.მეთევზე დაბრუნდა შემდეგი დაჭერით:

• 8 თევზი - ჩრდილოეთის ზღვების მკვიდრნი;
• დაჭერის 20% სამხრეთის ზღვების მკვიდრნი არიან;
• ადგილობრივი მდინარიდან არც ერთი თევზი არ აღმოჩნდა.

რამდენი თევზი იყიდა მან მაღაზიაში?

ასე რომ, ამ პრობლემის მათემატიკური მოდელის აგების მაგალითი ასე გამოიყურება. თევზის საერთო რაოდენობას x-ით აღვნიშნავთ. ამ მდგომარეობის მიხედვით, 0.2x არის სამხრეთ განედებში მცხოვრები თევზის რაოდენობა. ახლა ვაერთებთ ყველა არსებულ ინფორმაციას და ვიღებთ ამოცანის მათემატიკურ მოდელს: x=0.2x+8. ვხსნით განტოლებას და ვიღებთ პასუხს მთავარ კითხვაზე: მან მაღაზიაში იყიდა 10 თევზი.