უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებები. მხიარული ინციდენტი ცხოვრებიდან ერთეულ წრეზე ორი დიამეტრალურად საპირისპიროა

+ – 0;2 P; 4 P. - 2 P; -4 P. P -11 P 6 P -7 P 4 P -5 P 3 2 P -4 P 3 3 P -4 P P -7 P P -5 P -3 P P -2 P P - P P - P P - P P 2 5 P 2 P 2 9 P 2 5 P 2 P 2 11 P 2 7 P 2 3 P 2 11 P 2 7 P 2 3 P 2 5 P; 3 P; P. -5 P;-3 P;- P. 360° 30° 60° 45° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° X y 0

0 y X 5 P,14 -P-P ± P 2P 2 ± P P k, k Z (-1) k P 4P 4 + P g, g Z P 3P 3 ± + 2 P n, n Z P 6P 6 + P 3P 3 მ , m Z იპოვეთ შემდეგი რიცხვების შესაბამისი წერტილები

0 y X - P +2 P k, k Z P 3P P n, n Z P m, m Z P (+ m), m Z 2P 32P P n, n Z P 2P 2 P P n, n Z 1 3 P (+2 ლ ), l Z იპოვეთ შემდეგი რიცხვების შესაბამისი წერტილები

1. რიცხვითი წრის რომელ მეოთხედს ეკუთვნის A წერტილი?პირველი. B. მეორე. V. მესამე. G. მეოთხე. 2. რიცხვითი წრის რომელ მეოთხედს ეკუთვნის A წერტილი?პირველი. B. მეორე. V. მესამე. G. მეოთხე. 3. დაადგინეთ a და b რიცხვების ნიშნები, თუ: A. a>0, b>0. B. a 0. B. a>0, b0, b 0"> 0, b>0. B. a 0. B. a>0, b0, b"> 0" title="1. რიცხვითი წრის რომელი მეოთხედია წერტილი A. პირველი. B. მეორე.გ.მესამე.დ.მეოთხე.2. რიცხვითი წრის რომელ მეოთხედს მიეკუთვნება წერტილი A.პირველი.ბ.მეორე.გ.მესამე.დ.მეოთხე?3. დაადგინეთ a და b რიცხვების ნიშნები, თუ : A. a>0"> title="1. რიცხვითი წრის რომელ მეოთხედს ეკუთვნის A წერტილი?პირველი. B. მეორე. V. მესამე. G. მეოთხე. 2. რიცხვითი წრის რომელ მეოთხედს ეკუთვნის A წერტილი?პირველი. B. მეორე. V. მესამე. G. მეოთხე. 3. დაადგინეთ a და b რიცხვების ნიშნები, თუ: A. a>0"> !}

კითხვა: წრეზე არჩეულია A და B დიამეტრალურად საპირისპირო წერტილები და სხვა წერტილი C. A წერტილში წრეზე დახატული ტანგენსი და BC წრფე იკვეთება D წერტილში. დაამტკიცეთ, რომ C წერტილში წრეზე დახატული ტანგენსი ორად იკვეთება. სეგმენტი ახ.წ. ABC სამკუთხედის წრე ეხება AB და BC გვერდებს M და N წერტილებში შესაბამისად. ხაზი გადის AC-ის შუა წერტილში წრფის პარალელურად. MN კვეთს BA და BC წრფეებს D და E წერტილებში, შესაბამისად. დაამტკიცეთ, რომ AD=CE.

წრეზე არჩეულია დიამეტრულად საპირისპირო წერტილები A და B და სხვა წერტილი C. A წერტილში წრეზე დახატული ტანგენსი და BC სწორი ხაზი კვეთს D წერტილს. დაამტკიცეთ, რომ C წერტილში წრეზე დახატული ტანგენსი ორად ყოფს სეგმენტი AD. ABC სამკუთხედის წრე ეხება AB და BC გვერდებს M და N წერტილებში შესაბამისად. ხაზი გადის AC-ის შუა წერტილში წრფის პარალელურად. MN კვეთს BA და BC წრფეებს D და E წერტილებში, შესაბამისად. დაამტკიცეთ, რომ AD=CE.

პასუხები:

მსგავსი კითხვები

დაასრულეთ წინადადებები. ვფრინავ (ჩვეულებრივ) ლენდონში
აწეული და ტყუილი სიტყვების მორფოლოგიური ანალიზი
ჩამოწერეთ იმპერიალიზმის თვისებები
14-ისა და 24-ის საერთო გამყოფი
გამოთქმის გადაყვანა მრავალწევრად!! -2(v+1)(v+4) - (v-5)(v+5)
იპოვეთ განტოლების რეალური ფესვების ნამრავლი: y^(4) - 2y^(2) - 8 = 0
იპოვეთ კუთხეები BEN და CEN, თუ გავითვალისწინებთ, რომ ისინი მიმდებარეა და ერთი მათგანი ერთნახევარჯერ მცირეა მეორეზე.
სამ ვაზაში არის 6, 21 და 9 ქლიავი, თითოეულ ვაზაში ქლიავის რაოდენობის გასათანაბრებლად, მადინამ ერთი ვაზიდან მეორეზე იმდენი ქლიავი გადაიტანა, რამდენიც ქლიავი იყო, ორი გადატანის საშუალებით გაათანაბრა ქლიავის რაოდენობა. სამ ვაზაში.როგორ გააკეთა ეს?
ქიმიის სახელმძღვანელოდან (შესწავლილი აბზაცი) ჩაწერეთ 10 საერთო სიტყვა (მეტყველების სხვადასხვა ნაწილი) და 10 განსაკუთრებული სიტყვა (ტერმინები და ტერმინოლოგიური კომბინაციები.) ტექსტიდან შერჩეული ტერმინებით შეადგინეთ და ჩამოწერეთ ფრაზები.

როგორც ჩანს, კაცობრიობის პირველი მიმართვა, რასაც მოგვიანებით სფერული გეომეტრია ეწოდა, იყო ბერძენი მათემატიკოსი ევდოქსის (დაახლოებით 408–355) პლანეტარული თეორია, პლატონის აკადემიის ერთ-ერთი მონაწილე. ეს იყო დედამიწის ირგვლივ პლანეტების მოძრაობის ახსნის მცდელობა ოთხი მბრუნავი კონცენტრული სფეროს დახმარებით, რომელთაგან თითოეულს ჰქონდა ბრუნვის სპეციალური ღერძი, ბოლოებით დამაგრებული მიმდებარე სფეროზე, რომელსაც, თავის მხრივ, ვარსკვლავები ეკავათ. "ფრჩხილი". ამ გზით აიხსნებოდა პლანეტების რთული ტრაექტორიები (ბერძნულიდან თარგმნილი „პლანეტა“ ნიშნავს ხეტიალს). სწორედ ამ მოდელის წყალობით შეძლეს ძველ ბერძენ მეცნიერებს საკმაოდ ზუსტად აღეწერათ და ეწინასწარმეტყველათ პლანეტების მოძრაობა. ეს აუცილებელი იყო, მაგალითად, ნავიგაციაში, ისევე როგორც ბევრ სხვა "მიწიერ" ამოცანებში, სადაც გასათვალისწინებელი იყო, რომ დედამიწა არ არის ბრტყელი ბლინი, რომელიც ეყრდნობა სამ ვეშაპს. სფერულ გეომეტრიაში მნიშვნელოვანი წვლილი შეიტანა მენელაოს ალექსანდრიელმა (დაახლოებით 100 წ.). Მისი სამუშაო სფერულიგახდა ბერძნული მიღწევების მწვერვალი ამ სფეროში. IN სფერიკეგანიხილება სფერული სამკუთხედები - საგანი, რომელიც არ გვხვდება ევკლიდეში. მენელაუსმა ბრტყელი სამკუთხედების ევკლიდეს თეორია გადაიტანა სფეროზე და, სხვა საკითხებთან ერთად, მიიღო პირობა, რომლის დროსაც სფერული სამკუთხედის გვერდებზე სამი წერტილი ან მათი გაფართოება ერთსა და იმავე სწორ ხაზზეა. თვითმფრინავის შესაბამისი თეორემა იმ დროს უკვე ფართოდ იყო ცნობილი, მაგრამ ის გეომეტრიის ისტორიაში შევიდა ზუსტად როგორც მენელაოსის თეორემა და, განსხვავებით პტოლემეოსისგან (დაახლოებით 150 წ.), რომელსაც მრავალი გამოთვლა ჰქონდა თავის ნაშრომებში, მენელაუსის ტრაქტატი არის გეომეტრიული მკაცრად ევკლიდური ტრადიციის სულისკვეთებით.

სფერული გეომეტრიის ძირითადი პრინციპები.

ნებისმიერი სიბრტყე, რომელიც კვეთს სფეროს, ქმნის წრეს განივი კვეთით. თუ სიბრტყე გადის სფეროს ცენტრს, მაშინ განივი მონაკვეთი იწვევს ეგრეთ წოდებულ დიდ წრეს. სფეროს ნებისმიერი ორი წერტილის მეშვეობით, გარდა დიამეტრულად საპირისპირო წერტილებისა, შესაძლებელია ერთი დიდი წრის დახაზვა. (გლობუსზე დიდი წრის მაგალითია ეკვატორი და ყველა მერიდიანი.) დიდი წრეების უსასრულო რაოდენობა გადის დიამეტრალურად საპირისპირო წერტილებში. მცირე რკალი AmBდიდი წრის (ნახ. 1) არის მოცემული წერტილების დამაკავშირებელი სფეროს ყველა წრფე ყველაზე მოკლე. ამ ხაზს ე.წ გეოდეზიური. გეოდეზიური ხაზები იგივე როლს ასრულებენ სფეროზე, როგორც სწორი ხაზები პლანიმეტრიაში. სიბრტყეზე გეომეტრიის მრავალი დებულება ასევე მოქმედებს სფეროზე, მაგრამ, სიბრტყისგან განსხვავებით, ორი სფერული ხაზი იკვეთება ორ დიამეტრალურად საპირისპირო წერტილზე. ამრიგად, პარალელიზმის ცნება უბრალოდ არ არსებობს სფერულ გეომეტრიაში. კიდევ ერთი განსხვავება ისაა, რომ სფერული ხაზი დახურულია, ე.ი. მის გასწვრივ იმავე მიმართულებით მოძრაობთ, ჩვენ დავუბრუნდებით საწყის წერტილს; წერტილი არ ყოფს ხაზს ორ ნაწილად. და კიდევ ერთი გასაკვირი ფაქტი პლანიმეტრიის თვალსაზრისით არის ის, რომ სფეროზე სამკუთხედს შეიძლება ჰქონდეს სამივე მართი კუთხე.

ხაზები, სეგმენტები, მანძილი და კუთხეები სფეროზე.

სფეროზე დიდი წრეები სწორ ხაზებად ითვლება. თუ ორი წერტილი მიეკუთვნება დიდ წრეს, მაშინ ამ წერტილების დამაკავშირებელი რკალების სიგრძე განისაზღვრება როგორც სფერული მანძილიამ წერტილებს შორის და თავად რკალი სფერულ სეგმენტს ჰგავს. დიამეტრულად საპირისპირო წერტილები დაკავშირებულია უსასრულო რაოდენობის სფერული სეგმენტებით - დიდი ნახევარწრილებით. სფერული სეგმენტის სიგრძე განისაზღვრება ცენტრალური კუთხის a რადიანის გაზომვით და სფეროს რადიუსით. რ(ნახ. 2), რკალის სიგრძის ფორმულის მიხედვით უდრის რა. ნებისმიერი წერტილი თანსფერული სეგმენტი ABყოფს მას ორად და მათი სფერული სიგრძის ჯამი, როგორც პლანიმეტრიაში, უდრის მთელი სეგმენტის სიგრძეს, ე.ი. რ AOC+ რ ᲑᲣ= პ AOB. ნებისმიერი წერტილისთვის დსეგმენტის გარეთ ABარსებობს „სფერული სამკუთხედის უტოლობა“: სფერული მანძილების ჯამი დადრე ადა დან დადრე INმეტი AB, ე.ი. რ AOD+ რ DOB> რ AOB, – სრული კორესპონდენცია სფერულ და ბრტყელ გეომეტრიებს შორის. სამკუთხედის უტოლობა ერთ-ერთი ფუნდამენტურია სფერულ გეომეტრიაში; მისგან გამომდინარეობს, რომ, როგორც პლანიმეტრიაში, სფერული სეგმენტი უფრო მოკლეა ვიდრე ნებისმიერი სფერული გატეხილი ხაზი და, შესაბამისად, ნებისმიერი მრუდი სფეროზე, რომელიც აკავშირებს მის ბოლოებს.

ანალოგიურად, პლანიმეტრიის მრავალი სხვა კონცეფცია შეიძლება გადავიდეს სფეროზე, განსაკუთრებით ის, რაც შეიძლება გამოიხატოს დისტანციებზე. Მაგალითად, სფერული წრე– მოცემული წერტილიდან თანაბრად დაშორებული სფეროს წერტილების ერთობლიობა რ. ადვილია იმის ჩვენება, რომ წრე დევს სფეროს დიამეტრის პერპენდიკულარულ სიბრტყეში RR` (სურ. 3), ე.ი. ეს არის ჩვეულებრივი ბრტყელი წრე დიამეტრის ცენტრით RR`. მაგრამ მას აქვს ორი სფერული ცენტრი: რდა რ`. ამ ცენტრებს ჩვეულებრივ უწოდებენ ბოძები. თუ გლობუსს მივუბრუნდებით, დავინახავთ, რომ საუბარია ისეთ წრეებზე, როგორიცაა პარალელები, ხოლო ყველა პარალელის სფერული ცენტრებია ჩრდილოეთ და სამხრეთ პოლუსები. თუ სფერული წრის დიამეტრი r უდრის p/2, მაშინ სფერული წრე იქცევა სფერულ სწორ ხაზად. (გლობუსზე არის ეკვატორი). ამ შემთხვევაში, ასეთი წრე ეწოდება პოლარულითითოეული წერტილი რდა პ`.

გეომეტრიაში ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი ცნებაა ფიგურების თანასწორობა. ფიგურები განიხილება თანაბარი, თუ ერთი შეიძლება იყოს ნაჩვენები მეორის თავზე ისე (როტაციითა და გადათარგმნით), რომ შენარჩუნდეს დისტანციები. ეს ასევე ეხება სფერულ გეომეტრიას.

კუთხეები სფეროზე განისაზღვრება შემდეგნაირად. როდესაც ორი სფერული ხაზი იკვეთება ადა ბსფეროზე წარმოიქმნება ოთხი სფერული ბიგონი, ისევე როგორც სიბრტყეზე ორი გადამკვეთი ხაზი ყოფს მას ოთხ სიბრტყე კუთხედ (ნახ. 4). თითოეულ დიაგონს შეესაბამება დიედრული კუთხე, რომელიც წარმოიქმნება დიამეტრული სიბრტყეებით, რომლებიც შეიცავს ადა ბ. ხოლო კუთხე სფერულ სწორ ხაზებს შორის უდრის მათ მიერ შექმნილ დიაგონების კუთხეებს შორის პატარას.

ჩვენ ასევე აღვნიშნავთ, რომ კუთხე P ABC, რომელიც ჩამოყალიბებულია სფეროზე დიდი წრის ორი რკალით, იზომება P კუთხით ა`ძვ.წ.` წერტილში შესაბამისი რკალების ტანგენტებს შორის IN(ნახ. 5) ან დიედრული კუთხე, რომელიც წარმოიქმნება სფერული სეგმენტების შემცველი დიამეტრული სიბრტყეებით ABდა მზე.

ისევე, როგორც სტერეომეტრიაში, სფეროს თითოეული წერტილი ასოცირდება სფეროს ცენტრიდან ამ წერტილამდე გამოყვანილ სხივთან, ხოლო სფეროს ნებისმიერი ფიგურა ასოცირდება მასზე გადამკვეთი ყველა სხივების გაერთიანებასთან. ამრიგად, სფერული სწორი ხაზი შეესაბამება მის შემცველ დიამეტრულ სიბრტყეს, სფერული სეგმენტი შეესაბამება სიბრტყის კუთხეს, დიგონი შეესაბამება დიედრალურ კუთხეს, ხოლო სფერული წრე შეესაბამება კონუსურ ზედაპირს, რომლის ღერძი გადის წრის პოლუსებზე.

სფეროს ცენტრში წვეროსანი მრავალწახნაგოვანი კუთხე კვეთს სფეროს სფერული მრავალკუთხედის გასწვრივ (ნახ. 6). ეს არის სფერო სფეროზე, რომელიც შემოიფარგლება სფერული სეგმენტების გატეხილი ხაზით. გატეხილი ხაზის რგოლები სფერული მრავალკუთხედის გვერდებია. მათი სიგრძე უდრის მრავალწახნაგოვანი კუთხის შესაბამისი სიბრტყის კუთხეების მნიშვნელობებს და კუთხის მნიშვნელობას ნებისმიერ წვეროზე. აკიდეზე დიედრული კუთხის ტოლი OA.

სფერული სამკუთხედი.

ყველა სფერულ მრავალკუთხედს შორის ყველაზე დიდი ინტერესი სფერული სამკუთხედია. სამი დიდი წრე, რომლებიც იკვეთება წყვილებში ორ წერტილში, ქმნის რვა სფერულ სამკუთხედს სფეროზე. ერთი მათგანის ელემენტების (გვერდები და კუთხეები) ცოდნით, შესაძლებელია ყველა დანარჩენის ელემენტების დადგენა, ამიტომ განვიხილავთ ურთიერთკავშირებს ერთ-ერთი მათგანის ელემენტებს შორის, რომლის ყველა მხარე დიდის ნახევარზე ნაკლებია. წრე. სამკუთხედის გვერდები იზომება სამკუთხედის სიბრტყის კუთხეებით OABC, სამკუთხედის კუთხეები იგივე სამკუთხედის ორკუთხედი კუთხეებია (სურ. 7).

სფერული სამკუთხედის მრავალი თვისება (და ისინი ასევე სამკუთხედის თვისებებია) თითქმის მთლიანად იმეორებს ჩვეულებრივი სამკუთხედის თვისებებს. მათ შორის არის სამკუთხედის უტოლობა, რომელიც, სამკუთხედის კუთხით, ამბობს, რომ სამკუთხედის ნებისმიერი სიბრტყე კუთხე ნაკლებია დანარჩენი ორის ჯამზე. ან, მაგალითად, სამკუთხედების თანასწორობის სამი ნიშანი. ზემოაღნიშნული თეორემების ყველა პლანიმეტრიული შედეგი, მათ მტკიცებულებებთან ერთად, ძალაში რჩება სფეროზე. ამრიგად, სეგმენტის ბოლოებიდან თანაბრად დაშორებული წერტილების სიმრავლე ასევე იქნება მის პერპენდიკულარულ სფეროზე, მის შუაზე გავლის სწორი ხაზი, საიდანაც ირკვევა, რომ ბისექტრები პერპენდიკულარულია სფერული სამკუთხედის გვერდებზე. ABCაქვს საერთო წერტილი, უფრო სწორად, ორი დიამეტრალურად საპირისპირო საერთო წერტილი რდა რ`, რომლებიც მისი ერთადერთი შემოხაზული წრის პოლუსებია (სურ. 8). სტერეომეტრიაში ეს ნიშნავს, რომ კონუსი შეიძლება აღწერილი იყოს ნებისმიერი სამკუთხედის გარშემო. სფეროზე ადვილია გადაიტანო თეორემა იმის შესახებ, რომ სამკუთხედის ბისექტრები იკვეთებიან მისი წრის ცენტრში.

სიმაღლისა და მედიანას კვეთაზე თეორემები ასევე ჭეშმარიტი რჩება, მაგრამ მათი ჩვეულებრივი მტკიცებულებები პლანიმეტრიაში პირდაპირ ან ირიბად იყენებენ პარალელიზმს, რომელიც არ არსებობს სფეროზე და, შესაბამისად, უფრო ადვილია მათი ხელახლა დამტკიცება, სტერეომეტრიის ენაზე. ბრინჯი. ნახაზი 9 ასახავს სფერული მედიანის თეორემის დადასტურებას: სფერული სამკუთხედის მედიანას შემცველი სიბრტყეები ABC, კვეთენ სიბრტყის სამკუთხედს იგივე წვეროებით მისი ჩვეულებრივი შუამავლების გასწვრივ, შესაბამისად, ისინი ყველა შეიცავს სფეროს რადიუსს, რომელიც გადის სიბრტყის შუამავლების გადაკვეთის წერტილში. რადიუსის დასასრული იქნება სამი "სფერული" მედიანის საერთო წერტილი.

სფერული სამკუთხედების თვისებები მრავალმხრივ განსხვავდება სიბრტყეზე არსებული სამკუთხედების თვისებებისგან. ამრიგად, მართკუთხა სამკუთხედების ტოლობის ცნობილ სამ შემთხვევას ემატება მეოთხე: ორი სამკუთხედი. ABCდა А`В`С` ტოლია, თუ სამი კუთხე P ტოლია, შესაბამისად ა= პ ა`, რ IN= პ IN`, რ თან= პ თან`. ამრიგად, სფეროზე არ არის მსგავსი სამკუთხედები; უფრო მეტიც, სფერულ გეომეტრიაში არ არსებობს მსგავსების კონცეფცია, რადგან არ არსებობს ტრანსფორმაციები, რომლებიც ცვლის ყველა მანძილს ერთი და იგივე (არა ტოლი 1) რაოდენობის ჯერ. ეს მახასიათებლები დაკავშირებულია პარალელური წრფეების ევკლიდური აქსიომის დარღვევასთან და ასევე თანდაყოლილია ლობაჩევსკის გეომეტრიაში. სამკუთხედებს, რომლებსაც აქვთ თანაბარი ელემენტები და განსხვავებული ორიენტაცია, უწოდებენ სიმეტრიულებს, როგორიცაა სამკუთხედები AC`თანდა VSS` (სურ. 10).

ნებისმიერი სფერული სამკუთხედის კუთხეების ჯამი ყოველთვის 180°-ზე მეტია. განსხვავება პ ა+პ IN+პ თან -გვ = d (იზომება რადიანებში) დადებითი სიდიდეა და მას სფერული ჭარბი ეწოდება მოცემული სფერული სამკუთხედის. სფერული სამკუთხედის ფართობი: S = R 2 d სად რარის სფეროს რადიუსი და d არის სფერული ჭარბი. ეს ფორმულა პირველად გამოაქვეყნა ჰოლანდიელმა ა.ჟირარმა 1629 წელს და დაარქვა მისი სახელი.

თუ განვიხილავთ დიაგონს a კუთხით, მაშინ 226 = 2p/ ნ (n –მთელი რიცხვი) სფერო შეიძლება ზუსტად დაიჭრას პასეთი დიაგონის ასლები და სფეროს ფართობია 4 nR 2 = 4p at რ= 1, ასე რომ, დიაგონის ფართობი არის 4p/ ნ= 2a. ეს ფორმულა ასევე მართალია ა = 2გვ ტ/ნდა ამიტომ მართალია ყველასთვის ა. თუ გავაგრძელებთ სფერული სამკუთხედის გვერდებს ABCდა გამოხატეთ სფეროს ფართობი მიღებული ბიგონების არეებით კუთხეებით ა,IN,თანდა მისი საკუთარი ფართობი, მაშინ შეგვიძლია მივიღოთ ზემოთ ჟირარის ფორმულა.

კოორდინატები სფეროზე.

სფეროს თითოეული წერტილი მთლიანად განისაზღვრება ორი რიცხვის მითითებით; ეს ნომრები ( კოორდინატები) განისაზღვრება შემდეგნაირად (სურ. 11). რაღაც დიდი წრე ფიქსირდება QQ` (ეკვატორი), სფეროს დიამეტრის გადაკვეთის ორი წერტილიდან ერთ-ერთი PP`, ეკვატორული სიბრტყის პერპენდიკულარულად, სფეროს ზედაპირით, მაგალითად რ (ბოძი), და ერთ-ერთი დიდი ნახევარწრი PAP` პოლუსიდან გამოსული ( პირველი მერიდიანი). დიდი ნახევარწრეები გამოდის პ, მერიდიანებს უწოდებენ, ეკვატორის პარალელურად პატარა წრეებს, მაგ LL`, – პარალელები. როგორც ერთ-ერთი წერტილის კოორდინატი მსფეროზე აღებულია q კუთხე = POM (წერტილის სიმაღლე), როგორც მეორე – კუთხე j = AONპირველ მერიდიანსა და წერტილში გამავალ მერიდიანს შორის მ (გრძედიქულები, დათვლილია საათის ისრის საწინააღმდეგოდ).

გეოგრაფიაში (გლობუსზე), ჩვეულებრივად გამოიყენება გრინვიჩის მერიდიანი, როგორც პირველი მერიდიანი, რომელიც გადის გრინვიჩის ობსერვატორიის მთავარ დარბაზში (გრინვიჩი არის ლონდონის დაბა), ის დედამიწას ყოფს, შესაბამისად, აღმოსავლეთ და დასავლეთ ნახევარსფეროებად. და გრძედი არის აღმოსავლეთი ან დასავლეთი და იზომება 0-დან 180°-მდე გრინვიჩიდან ორივე მიმართულებით. და გეოგრაფიაში წერტილის სიმაღლის ნაცვლად, ჩვეულებრივ გამოიყენება გრძედი ზე, ე.ი. კუთხე NOM = 90° – q, იზომება ეკვატორიდან. იმიტომ რომ ვინაიდან ეკვატორი დედამიწას ყოფს ჩრდილოეთ და სამხრეთ ნახევარსფეროებად, გრძედი არის ჩრდილოეთი ან სამხრეთი და მერყეობს 0-დან 90°-მდე.

მარინა ფედოსოვა

დასკვნითი სამუშაო მათემატიკაში
მე-10 კლასი
2017 წლის 28 აპრილი
ვარიანტი MA00602
(საბაზისო დონე)
შეავსო: სრული სახელი _______________________________________ კლასი ______
სამუშაოს შესრულების ინსტრუქცია
მათემატიკური სამუშაოს დასასრულებლად გეძლევათ 90 წუთი. Სამუშაო
მოიცავს 15 ამოცანას და შედგება ორი ნაწილისგან.
პასუხი პირველი ნაწილის (1-10) ამოცანებში არის მთელი რიცხვი,
ათობითი წილადი ან რიცხვების თანმიმდევრობა. დაწერეთ თქვენი პასუხი ველში
პასუხი ნაწარმოების ტექსტში.
მეორე ნაწილის მე-11 ამოცანაში თქვენ უნდა ჩაწეროთ პასუხი სპეციალურად
ამისთვის გამოყოფილი ველი.
მეორე ნაწილის 12-14 ამოცანებში უნდა ჩაწეროთ ამოხსნა და უპასუხოთ
ამ მიზნით გათვალისწინებულ სფეროში. პასუხი მე-15 ამოცანაზე არის
ფუნქციის გრაფიკი.
თითოეული დავალება 5 და 11 წარმოდგენილია ორი ვერსიით, რომელთაგან
თქვენ მხოლოდ ერთი უნდა აირჩიოთ და შეასრულოთ.
სამუშაოს შესრულებისას არ შეიძლება სახელმძღვანელოების გამოყენება, მუშაობა
რვეულები, საცნობარო წიგნები, კალკულატორი.
საჭიროების შემთხვევაში, შეგიძლიათ გამოიყენოთ მონახაზი. პროექტში ჩანაწერები არ განიხილება ან შეფასდება.
დავალებების შესრულება შეგიძლიათ ნებისმიერი თანმიმდევრობით, მთავარია ეს სწორად გააკეთოთ
რაც შეიძლება მეტი ამოცანის გადაჭრა. ჩვენ გირჩევთ დაზოგოთ დრო
გამოტოვეთ დავალება, რომლის შესრულებაც შეუძლებელია დაუყოვნებლივ და გადადით
შემდეგზე. თუ ყველა სამუშაოს დასრულების შემდეგ ჯერ კიდევ გაქვთ დრო,
თქვენ შეძლებთ გამოტოვებულ დავალებებს დაუბრუნდეთ.
გისურვებთ წარმატებებს!

Ნაწილი 1
1-10 ამოცანებში მიეცით პასუხი მთელი რიცხვის, ათობითი წილადის ან
რიცხვების თანმიმდევრობა. დაწერეთ თქვენი პასუხი ტექსტის პასუხის ველში
მუშაობა.
1

ელექტრო ქვაბზე ფასი 10%-ით გაიზარდა და შეადგინა
1980 რუბლი. რამდენი მანეთი ღირდა ქვაბი ფასის მატებამდე?

ოლეგმა და ტოლიამ ერთდროულად დატოვეს სკოლა და იმავე მიმართულებით წავიდნენ სახლში.
ძვირი. ბიჭები ერთ სახლში ცხოვრობენ. ფიგურაში ნაჩვენებია გრაფიკი
თითოეულის მოძრაობები: ოლეგი - მყარი ხაზით, ტოლია - წერტილოვანი ხაზით. მიერ
ვერტიკალური ღერძი აჩვენებს მანძილს (მეტრებში), ჰორიზონტალური ღერძი აჩვენებს მანძილს
მგზავრობის დრო თითოეულისთვის წუთებში.

გრაფიკის გამოყენებით აირჩიეთ სწორი განცხადებები.
1)
2)
3)

ოლეგი სახლში დაბრუნდა ტოლიას წინ.
სკოლიდან სამი წუთის შემდეგ ოლეგი ტოლიას დაეწია.
მთელი მოგზაურობის მანძილზე ბიჭებს შორის მანძილი ნაკლები იყო
100 მეტრი.
4) პირველ ექვს წუთში ბიჭებმა იგივე მანძილი დაფარეს.

პასუხი: __________________________

იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

π
π
- 2 ცოდვა 2.
8
8

პასუხი: __________________________
StatGrad 2016−2017 სასწავლო წელი. გამოქვეყნება ონლაინ ან ბეჭდვით
StatGrad-ის წერილობითი თანხმობის გარეშე აკრძალულია

მათემატიკა. მე-10 კლასი. ვარიანტი 00602 (ძირითადი დონე)

ერთეულ წრეზე ორია მონიშნული
დიამეტრულად საპირისპირო წერტილები Pa α და
Pβ, რომელიც შეესაბამება α და კუთხეების მეშვეობით ბრუნვას
β (იხ. სურათი).
შესაძლებელია თუ არა ამის თქმა:
1) α  β  0
2) cosα  cosβ
3) α  β  2π
4) sin α  sin β  0

თქვენს პასუხში მიუთითეთ სწორი განცხადებების ნომრები ინტერვალის, მძიმეებისა და
სხვა დამატებითი სიმბოლოები.
პასუხი: __________________________
აირჩიეთ და შეასრულეთ მხოლოდ ერთი დავალება 5.1 ან 5.2.
5.1

ფიგურაში ნაჩვენებია გრაფიკი
ფუნქცია y  f (x) განსაზღვრულია   3;11 ინტერვალზე.
იპოვეთ ყველაზე პატარა მნიშვნელობა
ფუნქციები  1 სეგმენტზე; 5.

პასუხი: __________________________
5.2

ამოხსენით განტოლება ჟურნალი 2 4 x5  6.

პასუხი: __________________________

StatGrad 2016−2017 სასწავლო წელი. გამოქვეყნება ონლაინ ან ბეჭდვით
StatGrad-ის წერილობითი თანხმობის გარეშე აკრძალულია

მათემატიკა. მე-10 კლასი. ვარიანტი 00602 (ძირითადი დონე)

თვითმფრინავი, რომელიც გადის A, B და C წერტილებს (იხ.
ფიგურა), ყოფს კუბს ორ პოლიედრად. Ერთ - ერთი
მას აქვს ოთხი მხარე. რამდენი სახე აქვს მეორეს?

პასუხი: __________________________
7

აირჩიეთ სწორი განცხადებების ნომრები.
1)
2)
3)
4)

სივრცეში, წერტილის მეშვეობით, რომელიც არ დევს მოცემულ ხაზზე, შეგიძლიათ
დახაზეთ სიბრტყე, რომელიც არ კვეთს მოცემულ ხაზს და, უფრო მეტიც, მხოლოდ
ერთი.
სიბრტყისკენ მიდრეკილი დახრილი ხაზი ქმნის იმავე კუთხეს
ყველა სწორი ხაზი დევს ამ სიბრტყეში.
თვითმფრინავის დახატვა შესაძლებელია ნებისმიერი ორი გადამკვეთი ხაზით.
სივრცის წერტილის გავლით, რომელიც არ დევს მოცემულ ხაზზე, შეიძლება
დახაზეთ ორი სწორი ხაზი, რომლებიც არ კვეთენ მოცემულ ხაზს.

თქვენს პასუხში მიუთითეთ სწორი განცხადებების ნომრები ინტერვალის, მძიმეებისა და
სხვა დამატებითი სიმბოლოები.
პასუხი: __________________________
8

მეფრინველეობის ფერმაში მხოლოდ ქათმები და იხვებია, ხოლო ქათამი 7-ჯერ მეტია
იხვები იპოვეთ ალბათობა, რომ შემთხვევით შერჩეული ფერმა
ჩიტი იხვი აღმოჩნდება.
პასუხი: __________________________

ჭერის სახურავი მდებარეობს 14 კუთხით
ჰორიზონტალურამდე. მანძილი ორ საყრდენს შორის
არის 400 სანტიმეტრი. მაგიდის გამოყენებით,
დაადგინეთ რამდენი სანტიმეტრია ერთი საყრდენი
მეორეზე გრძელი.
α
13
14
15
16
17
18
19

სინ α
0,225
0,241
0,258
0,275
0,292
0,309
0,325

Cos α
0,974
0,970
0,965
0,961
0,956
0,951
0,945

Tg α
0,230
0,249
0,267
0,286
0,305
0,324
0,344

მათემატიკა. მე-10 კლასი. ვარიანტი 00602 (ძირითადი დონე)

იპოვეთ უმცირესი ბუნებრივი შვიდნიშნა რიცხვი, რომელიც იყოფა 3-ზე,
მაგრამ არ იყოფა 6-ზე და რომლის თითოეული ციფრი მეორედან დაწყებული ნაკლებია
წინა.
პასუხი: __________________________
Მე -2 ნაწილი
მე-11 ამოცანაში ჩაწერეთ თქვენი პასუხი მითითებულ ადგილზე. ამოცანებში
12-14 თქვენ უნდა ჩაწეროთ გამოსავალი და უპასუხოთ სპეციალურად გამოყოფილ სივრცეში
ამ სფეროსთვის. მე-15 დავალების პასუხი არის ფუნქციის გრაფიკი.
აირჩიეთ და შეასრულეთ მხოლოდ ერთი დავალება: 11.1 ან 11.2.

2
. ჩამოწერეთ სამი განსხვავებული შესაძლო მნიშვნელობა
2
ასეთი კუთხეები. გაეცით პასუხი რადიანებში.

იპოვეთ უმცირესი ნატურალური რიცხვი, რომელიც 7 80-ზე მეტია.

კუთხის კოსინუსი არის 

მათემატიკა. მე-10 კლასი. ვარიანტი 00602 (ძირითადი დონე)

სამკუთხედში ABC მონიშნულია გვერდები AB და BC
წერტილები M და K, შესაბამისად, ისე, რომ BM: AB  1: 2 და
BK:BC  2:3. რამდენჯერ არის ABC სამკუთხედის ფართობი?
მეტია MVK სამკუთხედის ფართობზე?

აირჩიეთ a და b რიცხვების რამდენიმე წყვილი ისე, რომ უტოლობა ცული  b  0
დააკმაყოფილა ფიგურაში მონიშნული ხუთი პუნქტიდან ზუსტად სამი.
-1

მათემატიკა. მე-10 კლასი. ვარიანტი 00602 (ძირითადი დონე)

იგივე პროცენტით ორჯერ გაიზარდა რკინის ფასი. ჩართულია
რამდენ პროცენტით იზრდებოდა რკინის ფასი ყოველ ჯერზე თუ იგი
საწყისი ღირებულება 2000 რუბლია, ხოლო საბოლოო ღირებულება 3380 რუბლია?

მათემატიკა. მე-10 კლასი. ვარიანტი 00602 (ძირითადი დონე)

y  f (x) ფუნქციას აქვს შემდეგი თვისებები:
1) f (x)  3 x  4 2  x  1-ზე;
2) f (x)  x  2 1  x  0-ზე;
3) f (x)  2  2 x 0  x  2;
4) ფუნქცია y  f (x) პერიოდულია მე-4 პერიოდით.
დახაზეთ ამ ფუნქციის გრაფიკი  6;4 სეგმენტზე.
წ